Driehoek is een van de meest voorkomende geometrische vormen, waarmee we al kennis maken Lagere school. Elke student wordt geconfronteerd met de vraag hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden in meetkundelessen. Dus welke kenmerken van het vinden van het gebied van een bepaald figuur kunnen worden geïdentificeerd? In dit artikel zullen we kijken naar de basisformules die nodig zijn om een ​​dergelijke taak te voltooien, en ook de soorten driehoeken analyseren.

Soorten driehoeken

Je kunt de oppervlakte van een driehoek absoluut vinden verschillende manieren, omdat er in de meetkunde meer dan één type figuren bestaat met drie hoeken. Deze typen omvatten:

  • Stomp.
  • Gelijkzijdig (correct).
  • Rechte driehoek.
  • Gelijkbenig.

Laten we ze allemaal eens nader bekijken bestaande typen driehoeken.

Deze geometrische figuur wordt als de meest voorkomende beschouwd bij het oplossen van geometrische problemen. Wanneer de noodzaak zich voordoet om een ​​willekeurige driehoek te tekenen, komt deze optie te hulp.

In een scherpe driehoek zijn, zoals de naam al doet vermoeden, alle hoeken scherp en zijn ze samen 180°.

Dit type driehoek komt ook veel voor, maar komt iets minder vaak voor dan een scherpe driehoek. Als u bijvoorbeeld driehoeken oplost (dat wil zeggen dat verschillende zijden en hoeken bekend zijn en u de overige elementen moet vinden), moet u soms bepalen of de hoek stomp is of niet. Cosinus is een negatief getal.

B, de waarde van een van de hoeken is groter dan 90°, dus de overige twee hoeken kunnen kleine waarden aannemen (bijvoorbeeld 15° of zelfs 3°).

Om het gebied van een driehoek van dit type te vinden, moet je enkele nuances kennen, waarover we later zullen praten.

Regelmatige en gelijkbenige driehoeken

Regelmatige veelhoek is een figuur met n hoeken en waarvan de zijden en hoeken allemaal gelijk zijn. Dit is wat een regelmatige driehoek is. Omdat de som van alle hoeken van een driehoek 180° is, is elk van de drie hoeken 60°.

Een regelmatige driehoek wordt vanwege zijn eigenschap ook wel een gelijkzijdige figuur genoemd.

Het is ook vermeldenswaard dat er in een regelmatige driehoek slechts één cirkel kan worden ingeschreven, en dat er slechts één cirkel omheen kan worden beschreven, en dat hun middelpunten zich op hetzelfde punt bevinden.

Naast het gelijkzijdige type kan men ook een gelijkbenige driehoek onderscheiden, die er enigszins van afwijkt. In zo'n driehoek zijn twee zijden en twee hoeken gelijk aan elkaar, en de derde zijde (waaraan de aangrenzende gelijke hoeken) is de basis.

De figuur toont een gelijkbenige driehoek DEF waarvan de hoeken D en F gelijk zijn en DF de basis is.

Rechte driehoek

Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van de hoeken gelijk is aan 90°. De andere twee hoeken zijn samen 90°.

De grootste zijde van zo'n driehoek, die tegenover de hoek van 90° ligt, is de hypotenusa, terwijl de overige twee zijden de benen zijn. Voor dit type driehoek geldt de stelling van Pythagoras:

De som van de kwadraten van de lengtes van de benen is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.

De figuur toont een rechthoekige driehoek BAC met hypotenusa AC en benen AB en BC.

Om de oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek te vinden, moet je dit weten numerieke waarden zijn benen.

Laten we verder gaan met de formules voor het vinden van de oppervlakte van een bepaald figuur.

Basisformules voor het vinden van oppervlakte

In de meetkunde zijn er twee formules die geschikt zijn om de oppervlakte van de meeste soorten driehoeken te vinden, namelijk voor acute, stompe, regelmatige en gelijkbenige driehoeken. Laten we ze allemaal bekijken.

Aan de zijkant en hoogte

Deze formule is universeel voor het vinden van het gebied van de figuur die we overwegen. Om dit te doen, volstaat het om de lengte van de zijde en de lengte van de hoogte die ernaartoe wordt getrokken te kennen. De formule zelf (de helft van het product van de basis en de hoogte) ziet er zo uit op de volgende manier:

waarbij A de zijde van een gegeven driehoek is, en H de hoogte van de driehoek.

Om bijvoorbeeld de oppervlakte van een scherpe driehoek ACB te vinden, moet u de zijde AB vermenigvuldigen met de hoogte CD en de resulterende waarde door twee delen.

Het is echter niet altijd eenvoudig om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als u deze formule bijvoorbeeld voor een stompe driehoek wilt gebruiken, moet u een van de zijden verlengen en er pas daarna een hoogte naar toe tekenen.

In de praktijk wordt deze formule vaker gebruikt dan andere.

Aan beide zijden en hoek

Deze formule is, net als de vorige, geschikt voor de meeste driehoeken en is in zijn betekenis een gevolg van de formule voor het vinden van de oppervlakte naast elkaar en de hoogte van een driehoek. Dat wil zeggen dat de betreffende formule gemakkelijk kan worden afgeleid van de vorige. De formulering ziet er als volgt uit:

S = ½*sinO*A*B,

waarbij A en B de zijden van de driehoek zijn, en O de hoek tussen zijden A en B.

Laten we ons herinneren dat de sinus van een hoek kan worden bekeken in een speciale tabel, genoemd naar de vooraanstaande Sovjetwiskundige V. M. Bradis.

Laten we nu verder gaan met andere formules die alleen geschikt zijn voor uitzonderlijke soorten driehoeken.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Naast de universele formule, die de noodzaak omvat om de hoogte in een driehoek te vinden, kan het gebied van een driehoek met een rechte hoek worden gevonden vanaf de benen.

De oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek is dus de helft van het product van zijn benen, of:

waarbij a en b de benen zijn van een rechthoekige driehoek.

Regelmatige driehoek

Dit type geometrische figuren verschillen doordat het gebied ervan kan worden gevonden met de aangegeven waarde van slechts één van de zijden (aangezien alle zijden regelmatige driehoek zijn gelijk). Dus als u wordt geconfronteerd met de taak om "de oppervlakte van een driehoek te vinden als de zijden gelijk zijn", moet u de volgende formule gebruiken:

S = EEN 2 *√3 / 4,

waarbij A de zijde van de gelijkzijdige driehoek is.

De formule van Heron

De laatste optie om de oppervlakte van een driehoek te vinden is de formule van Heron. Om het te kunnen gebruiken, moet je de lengtes van de drie zijden van de figuur kennen. De formule van Heron ziet er als volgt uit:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

waarbij a, b en c de zijden van een gegeven driehoek zijn.

Soms wordt het probleem gegeven: "de oppervlakte van een regelmatige driehoek is het vinden van de lengte van zijn zijde." In dit geval moeten we de formule gebruiken die we al kennen om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden en daaruit de waarde van de zijde (of het vierkant) afleiden:

A2 = 4S / √3.

Examen taken

Er zijn veel formules voor GIA-problemen in de wiskunde. Bovendien is het vaak nodig om het gebied van een driehoek op geruit papier te vinden.

In dit geval is het het handigst om de hoogte naar een van de zijkanten van de figuur te tekenen, de lengte ervan uit de cellen te bepalen en de universele formule te gebruiken om het gebied te vinden:

Dus na het bestuderen van de formules die in het artikel worden gepresenteerd, zul je geen problemen hebben om het gebied van een driehoek van welke aard dan ook te vinden.

Gebied van een driehoek - formules en voorbeelden van probleemoplossing

Hieronder staan formules voor het vinden van de oppervlakte van een willekeurige driehoek die geschikt zijn voor het vinden van de oppervlakte van elke driehoek, ongeacht de eigenschappen, hoeken of afmetingen ervan. De formules worden gepresenteerd in de vorm van een afbeelding, met uitleg voor hun toepassing of rechtvaardiging voor hun juistheid. Correspondenties zijn ook in een aparte figuur aangegeven letteraanduidingen in formules en grafische symbolen in de tekening.

Opmerking . Als de driehoek speciale eigenschappen heeft (gelijkbenig, rechthoekig, gelijkzijdig), kunt u de onderstaande formules gebruiken, evenals aanvullende speciale formules die alleen geldig zijn voor driehoeken met deze eigenschappen:

  • "Formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek"

Formules voor driehoeksoppervlakken

Uitleg voor formules:
a, b, c- de lengtes van de zijden van de driehoek waarvan we de oppervlakte willen vinden
R- straal van de cirkel ingeschreven in de driehoek
R- straal van de cirkel rond de driehoek
H- hoogte van de driehoek naar de zijkant verlaagd
P- halve omtrek van een driehoek, 1/2 van de som van de zijden (omtrek)
α - hoek tegenovergesteld aan zijde a van de driehoek
β - hoek tegenovergesteld aan zijde b van de driehoek
γ - hoek tegenovergesteld aan zijde c van de driehoek
H A, H B , H C- hoogte van de driehoek verlaagd naar zijden a, b, c

Houd er rekening mee dat de gegeven notaties overeenkomen met de afbeelding hierboven, zodat u bij het oplossen van een reëel meetkundeprobleem gemakkelijker visueel kunt vervangen de juiste plaatsen formules zijn correcte waarden.

  • De oppervlakte van de driehoek is de helft van het product van de hoogte van de driehoek en de lengte van de zijde waarmee deze hoogte wordt verlaagd(Formule 1). De juistheid van deze formule kan logisch worden begrepen. De hoogte verlaagd tot de basis splitst een willekeurige driehoek in twee rechthoekige. Als je ze allemaal in een rechthoek bouwt met de afmetingen b en h, dan is de oppervlakte van deze driehoeken uiteraard gelijk aan precies de helft van de oppervlakte van de rechthoek (Spr = bh)
  • De oppervlakte van de driehoek is de helft van het product van de twee zijden en de sinus van de hoek daartussen(Formule 2) (zie hieronder een voorbeeld van het oplossen van een probleem met deze formule). Ook al lijkt het anders dan het vorige, het kan er gemakkelijk naar worden getransformeerd. Als we de hoogte van hoek B naar zijde b verlagen, blijkt dat het product van zijde a en de sinus van hoek γ, volgens de eigenschappen van de sinus in een rechthoekige driehoek, gelijk is aan de hoogte van de driehoek die we tekenden , wat ons de vorige formule geeft
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden door werk de helft van de straal van de cirkel die erin is ingeschreven door de som van de lengtes van al zijn zijden(Formule 3), simpel gezegd, je moet de halve omtrek van de driehoek vermenigvuldigen met de straal van de ingeschreven cirkel (dit is gemakkelijker te onthouden)
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden door het product van al zijn zijden te delen door 4 stralen van de cirkel eromheen (Formule 4)
  • Formule 5 is het vinden van de oppervlakte van een driehoek door de lengtes van zijn zijden en zijn halve omtrek (de helft van de som van al zijn zijden)
  • De formule van Heron(6) is een weergave van dezelfde formule zonder het concept van halve omtrek te gebruiken, alleen door de lengtes van de zijkanten
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het product van het kwadraat van de zijde van de driehoek en de sinussen van de hoeken grenzend aan deze zijde gedeeld door de dubbele sinus van de hoek tegenovergesteld aan deze zijde (Formule 7)
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden als het product van twee vierkanten van de cirkel die eromheen wordt begrensd door de sinussen van elk van zijn hoeken. (Formule 8)
  • Als de lengte van één zijde en de waarden van twee aangrenzende hoeken bekend zijn, kan de oppervlakte van de driehoek worden gevonden als het kwadraat van deze zijde gedeeld door de dubbele som van de cotangensen van deze hoeken (Formule 9)
  • Als alleen de lengte van elk van de hoogten van de driehoek bekend is (Formule 10), dan is de oppervlakte van zo’n driehoek omgekeerd evenredig met de lengten van deze hoogten, zoals volgens de formule van Heron
  • Met Formule 11 kunt u berekenen oppervlakte van een driehoek gebaseerd op de coördinaten van zijn hoekpunten, die worden gespecificeerd als (x;y)-waarden voor elk van de hoekpunten. Houd er rekening mee dat de resulterende waarde modulo moet worden genomen, aangezien de coördinaten van individuele (of zelfs alle) hoekpunten zich in het gebied van negatieve waarden kunnen bevinden

Opmerking. Hieronder volgen voorbeelden van het oplossen van geometrieproblemen om de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als je een geometrieprobleem moet oplossen dat hier niet vergelijkbaar is, schrijf er dan over op het forum. In oplossingen, in plaats van het symbool " Vierkantswortel" De functie sqrt() kan worden gebruikt, waarbij sqrt het vierkantswortelsymbool is en de radicale uitdrukking tussen haakjes wordt aangegeven.Soms kan voor eenvoudige radicale uitdrukkingen het symbool worden gebruikt √

Taak. Zoek het gebied met twee zijden en de hoek daartussen

De zijden van de driehoek zijn 5 en 6 cm, de hoek daartussen is 60 graden. Zoek het gebied van de driehoek.

Oplossing.

Om dit probleem op te lossen gebruiken we formule nummer twee uit het theoretische deel van de les.
De oppervlakte van een driehoek kan worden gevonden door de lengtes van twee zijden en de sinus van de hoek ertussen en zal gelijk zijn aan
S=1/2 ab sin γ

Omdat we over alle benodigde gegevens voor de oplossing beschikken (volgens de formule), kunnen we alleen de waarden uit de probleemvoorwaarden in de formule vervangen:
S = 1/2 * 5 * 6 * zonde 60

In de waardentabel trigonometrische functies Laten we de waarde van sinus 60 graden zoeken en in de uitdrukking vervangen. Het zal gelijk zijn aan de wortel van drie keer twee.
S = 15 √3 / 2

Antwoord: 7,5 √3 (afhankelijk van de eisen van de leraar kun je waarschijnlijk 15 √3/2 laten)

Taak. Zoek de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek

Zoek de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm.

Oplossing .

De oppervlakte van een driehoek kun je vinden met de formule van Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Omdat a = b = c heeft de formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek de vorm:

S = √3 / 4 * een 2

S = √3 / 4 * 3 2

Antwoord: 9 √3 / 4.

Taak. Verander het gebied bij het veranderen van de lengte van de zijkanten

Hoe vaak wordt de oppervlakte van de driehoek groter als de zijden vier keer groter worden?

Oplossing.

Omdat de afmetingen van de zijden van de driehoek ons ​​onbekend zijn, zullen we, om het probleem op te lossen, aannemen dat de lengtes van de zijden respectievelijk gelijk zijn aan willekeurige getallen a, b, c. Om de vraag van het probleem te beantwoorden, zullen we vervolgens de oppervlakte van de gegeven driehoek vinden, en dan zullen we de oppervlakte van de driehoek vinden waarvan de zijden vier keer groter zijn. De verhouding van de oppervlakten van deze driehoeken zal ons het antwoord op het probleem geven.

Hieronder geven we stap voor stap een tekstuele uitleg van de oplossing van het probleem. Helemaal aan het einde wordt dezelfde oplossing echter in een beter leesbare vorm gegeven. grafische vorm. Geïnteresseerden kunnen meteen de oplossingen bekijken.

Om dit op te lossen gebruiken we de formule van Heron (zie hierboven in het theoretische deel van de les). Het ziet er zo uit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(zie eerste regel van de afbeelding hieronder)

De lengtes van de zijden van een willekeurige driehoek worden gespecificeerd door de variabelen a, b, c.
Als de zijden 4 keer worden vergroot, wordt de oppervlakte van de nieuwe driehoek c:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(zie tweede regel in onderstaande afbeelding)

Zoals u kunt zien, is 4 een gemeenschappelijke factor die tussen haakjes uit alle vier de uitdrukkingen kan worden gehaald algemene regels wiskunde.
Dan

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - op de derde regel van de afbeelding
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - vierde lijn

De vierkantswortel van het getal 256 is perfect geëxtraheerd, dus laten we deze onder de wortel vandaan halen
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(zie vijfde regel van onderstaande afbeelding)

Om de vraag in het probleem te beantwoorden, hoeven we alleen maar de oppervlakte van de resulterende driehoek te delen door de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek.
Laten we de oppervlakteverhoudingen bepalen door de uitdrukkingen door elkaar te delen en de resulterende breuk te verkleinen.

Een driehoek is de eenvoudigste geometrische figuur, die uit drie zijden en drie hoekpunten bestaat. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om verschillende metingen uit te voeren, en tegenwoordig kan de figuur nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van een driehoek

Het cijfer wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen. Landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-hoek uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van veelhoeken. Voltijdbaan met driehoeken, vooral met de rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van de wiskunde: trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

Eigenschappen geometrische figuur worden al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd gevonden in Egyptische papyri van 4000 jaar geleden. Vervolgens werd de figuur bestudeerd Het oude Griekenland en de grootste bijdragen aan de geometrie van de driehoek werden geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek hield nooit op en in de 18e eeuw introduceerde Leonhard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de Euler-cirkel. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over hoekdriesectoren, en Waclaw Sierpinski stelde de fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn schoolcursus geometrie:

  • acuut - alle hoeken van de figuur zijn acuut;
  • stomp - de figuur heeft er een stompe hoek(meer dan 90 graden);
  • rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
  • gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
  • gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
  • IN echte leven Er zijn allerlei soorten driehoeken, en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte is een schatting van hoeveel van het vlak een figuur omsluit. Het gebied van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, met behulp van de zijkanten, hoogte, hoeken, straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel, maar ook met behulp van de formule van Heron of het berekenen van de dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is:

waarbij a de zijde van de driehoek is, is h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u de oppervlakte berekenen, wetende:

  • drie zijden;
  • twee zijden en de hoek ertussen;
  • één kant en twee hoeken.

Om de oppervlakte via drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

Het gebied aan twee zijden en een hoek wordt berekend met behulp van de klassieke formule:

S = a × b × sin(alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen zijden a en b.

Om de oppervlakte te bepalen in termen van één zijde en twee hoeken, gebruiken we de relatie die:

a / sin(alfa) = b / sin(bèta) = c / sin(gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde, waarna we de oppervlakte berekenen met de formule S = a × b × sin(alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren om het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt plaveien met driehoekige tegels, en bepaal het aantal benodigde materiaal, zou je het oppervlak van één tegel en het oppervlak van de vloer moeten achterhalen. Stel dat je 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met een tegel waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruikt de rekenmachine uiteraard de formule van Heron en geeft het resultaat:

Het oppervlak van één tegelelement zal dus 0,021 zijn vierkante meter, en je hebt 6/0,021 = 285 driehoeken nodig voor de vloerverbetering. De getallen 20, 21 en 29 vormen een Pythagoras drietal-getallen die voldoen aan . En dat klopt, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

Bij een schoolprobleem moet je de oppervlakte van een driehoek vinden, wetende dat zijde a = 5 cm, en de hoeken alfa en bèta respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de beeldverhouding en de sinusverhouding tegenovergestelde hoeken, waarna de oppervlakte werd bepaald met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin(alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens in het rekenmachineformulier invoeren en direct antwoord krijgen

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct aan te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een uniek figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen voorkomt. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van welke driehoek dan ook te bepalen.

De driehoek is een figuur die iedereen kent. En dit ondanks de rijke verscheidenheid aan vormen. Rechthoekig, gelijkzijdig, acuut, gelijkbenig, stomp. Elk van hen is op de een of andere manier anders. Maar voor iedereen moet je de oppervlakte van een driehoek achterhalen.

Formules die voor alle driehoeken gelden en die de lengtes van zijden of hoogtes gebruiken

De daarin aangenomen aanduidingen: zijden - a, b, c; hoogten op de overeenkomstige zijden op a, n in, n met.

1. De oppervlakte van een driehoek wordt berekend als het product van ½, een zijde en de hoogte daarvan afgetrokken. S = ½ * een * n een. De formules voor de andere twee zijden moeten op dezelfde manier worden geschreven.

2. De formule van Heron, waarin de halve omtrek verschijnt (deze wordt meestal aangegeven met de kleine letter p, in tegenstelling tot de volledige omtrek). De halve omtrek moet als volgt worden berekend: tel alle zijden bij elkaar op en deel ze door 2. De formule voor de halve omtrek is: p = (a+b+c) / 2. Dan de gelijkheid voor de oppervlakte van ​​de figuur ziet er als volgt uit: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Als u geen halve omtrek wilt gebruiken, is een formule die alleen de lengtes van de zijden bevat nuttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Het is iets langer dan de vorige, maar het zal helpen als je vergeten bent hoe je de halve omtrek kunt vinden.

Algemene formules met betrekking tot de hoeken van een driehoek

Notaties die nodig zijn om de formules te lezen: α, β, γ - hoeken. Ze liggen respectievelijk tegenover de zijden a, b, c.

1. Volgens dit is de helft van het product van twee zijden en de sinus van de hoek daartussen gelijk aan de oppervlakte van de driehoek. Dat wil zeggen: S = ½ a * b * sin γ. De formules voor de andere twee gevallen moeten op een vergelijkbare manier worden geschreven.

2. De oppervlakte van een driehoek kan worden berekend vanuit één zijde en drie bekende hoeken. S = (a 2 * zonde β * zonde γ) / (2 zonde α).

3. Er is ook een formule met één bekende partij en twee aangrenzende hoeken. Het ziet er zo uit: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De laatste twee formules zijn niet de eenvoudigste. Het is best moeilijk om ze te onthouden.

Algemene formules voor situaties waarin de stralen van ingeschreven of omgeschreven cirkels bekend zijn

Aanvullende aanduidingen: r, R - stralen. De eerste wordt gebruikt voor de straal van de ingeschreven cirkel. De tweede is voor degene die wordt beschreven.

1. De eerste formule waarmee de oppervlakte van een driehoek wordt berekend, heeft betrekking op de halve omtrek. S = r * r. Een andere manier om het te schrijven is: S = ½ r * (a + b + c).

2. In het tweede geval moet je alle zijden van de driehoek vermenigvuldigen en deze delen door de straal van de omgeschreven cirkel te verviervoudigen. In letterlijke uitdrukking ziet het er als volgt uit: S = (a * b * c) / (4R).

3. In de derde situatie kun je het doen zonder de zijkanten te kennen, maar je hebt de waarden van alle drie de hoeken nodig. S = 2 R 2 * zonde α * zonde β * zonde γ.

Speciaal geval: rechthoekige driehoek

Dit is de eenvoudigste situatie, omdat alleen de lengte van beide benen nodig is. Ze worden aangeduid met de Latijnse letters a en b. De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek die eraan wordt toegevoegd.

Wiskundig gezien ziet het er als volgt uit: S = ½ a * b. Het is het gemakkelijkst te onthouden. Omdat het lijkt op de formule voor de oppervlakte van een rechthoek, verschijnt er slechts een breuk, die de helft aangeeft.

Speciaal geval: gelijkbenige driehoek

Omdat het twee gelijke zijden heeft, zien sommige formules voor de oppervlakte er enigszins vereenvoudigd uit. De formule van Heron, die de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekent, heeft bijvoorbeeld de volgende vorm:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Als je het transformeert, wordt het korter. In dit geval wordt de formule van Heron voor een gelijkbenige driehoek als volgt geschreven:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

De oppervlakteformule ziet er iets eenvoudiger uit dan voor een willekeurige driehoek als de zijden en de hoek daartussen bekend zijn. S = ½ a 2 * zonde β.

Speciaal geval: gelijkzijdige driehoek

Meestal is bij problemen de kant ervan bekend of kan deze op een of andere manier achterhaald worden. Dan is de formule voor het vinden van de oppervlakte van zo'n driehoek als volgt:

S = (een 2 √3) / 4.

Problemen om het gebied te vinden als de driehoek op geruit papier is afgebeeld

De eenvoudigste situatie is wanneer een rechthoekige driehoek zo wordt getekend dat de benen samenvallen met de lijnen van het papier. Dan hoef je alleen maar het aantal cellen te tellen dat in de benen past. Vermenigvuldig ze vervolgens en deel ze door twee.

Wanneer de driehoek scherp of stomp is, moet deze tot een rechthoek worden getekend. Dan heeft de resulterende figuur 3 driehoeken. Eén ervan is degene die in het probleem wordt gegeven. En de andere twee zijn hulp- en rechthoekig. De oppervlakten van de laatste twee moeten worden bepaald met behulp van de hierboven beschreven methode. Bereken vervolgens de oppervlakte van de rechthoek en trek daarvan de berekende oppervlakten voor de hulpstukken af. Het gebied van de driehoek wordt bepaald.

De situatie waarin geen van de zijden van de driehoek samenvalt met de lijnen van het papier blijkt veel ingewikkelder te zijn. Vervolgens moet het in een rechthoek worden ingeschreven, zodat de hoekpunten van de originele figuur op de zijkanten liggen. In dit geval zijn er drie rechthoekige hulpdriehoeken.

Voorbeeld van een probleem met de formule van Heron

Voorwaarde. Sommige driehoeken hebben bekende zijden. Ze zijn gelijk aan 3, 5 en 6 cm, je moet de oppervlakte ervan bepalen.

Nu kunt u de oppervlakte van de driehoek berekenen met behulp van de bovenstaande formule. Onder de vierkantswortel bevindt zich het product van vier getallen: 7, 4, 2 en 1. Dat wil zeggen, de oppervlakte is √(4 * 14) = 2 √(14).

Als grotere nauwkeurigheid niet vereist is, kunt u de vierkantswortel van 14 nemen. Deze is gelijk aan 3,74. Dan is de oppervlakte 7,48.

Antwoord. S = 2 √14 cm 2 of 7,48 cm 2.

Voorbeeldprobleem met een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Eén been van een rechthoekige driehoek is 31 cm groter dan de tweede. Je moet hun lengte achterhalen als de oppervlakte van de driehoek 180 cm 2 is.
Oplossing. We zullen een stelsel van twee vergelijkingen moeten oplossen. De eerste heeft betrekking op de oppervlakte. De tweede betreft de verhouding van de benen, die in de opgave wordt gegeven.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Ten eerste moet de waarde van “a” worden vervangen door de eerste vergelijking. Het blijkt: 180 = ½ (in + 31) * in. Er is slechts één onbekende grootheid, dus het is gemakkelijk op te lossen. Na het openen van de beugels krijgen we kwadratische vergelijking: in 2 + 31 in - 360 = 0. Het geeft twee waarden voor "in": 9 en - 40. Het tweede getal is niet geschikt als antwoord, aangezien de lengte van de zijde van een driehoek niet negatief kan zijn waarde.

Rest ons nog het tweede deel te berekenen: tel bij het resulterende getal 31 op, het blijkt 40. Dit zijn de hoeveelheden die in het probleem worden gezocht.

Antwoord. De poten van de driehoek zijn 9 en 40 cm.

Probleem bij het vinden van een zijde door het gebied, de zijde en de hoek van een driehoek

Voorwaarde. De oppervlakte van een bepaalde driehoek is 60 cm2. Het is noodzakelijk om een ​​van de zijden te berekenen als de tweede zijde 15 cm is en de hoek daartussen 30 graden is.

Oplossing. Gebaseerd op de geaccepteerde notatie is de gewenste zijde “a”, de bekende zijde is “b”, de gegeven hoek is “γ”. Vervolgens kan de oppervlakteformule als volgt worden herschreven:

60 = ½ a * 15 * zonde 30º. Hier is de sinus van 30 graden 0,5.

Na transformaties blijkt “a” gelijk te zijn aan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Dat is 16.

Antwoord. De benodigde zijde is 16 cm.

Probleem over een vierkant ingeschreven in een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Het hoekpunt van een vierkant met een zijde van 24 cm valt samen met de rechte hoek van de driehoek. De andere twee liggen aan de zijkanten. De derde behoort tot de hypotenusa. De lengte van een van de poten is 42 cm, wat is de oppervlakte van de rechthoekige driehoek?

Oplossing. Laten we er twee overwegen rechthoekige driehoek. De eerste is degene die in de taak is opgegeven. De tweede is gebaseerd op beroemd been de oorspronkelijke driehoek. Ze lijken op elkaar omdat ze een gemeenschappelijke hoek hebben en worden gevormd door evenwijdige lijnen.

Dan zijn de verhoudingen van hun benen gelijk. De poten van de kleinere driehoek zijn gelijk aan 24 cm (zijde van het vierkant) en 18 cm (gegeven been 42 cm, trek de zijkant van het vierkant 24 cm af). De overeenkomstige benen van een grote driehoek zijn 42 cm en x cm, het is deze “x” die nodig is om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.

18/42 = 24/x, dat wil zeggen x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Dan is de oppervlakte gelijk aan het product van 56 en 42 gedeeld door twee, dat wil zeggen 1176 cm2.

Antwoord. De benodigde oppervlakte is 1176 cm2.

Vanaf het tegenovergestelde hoekpunt) en deel het resulterende product door twee. Dit ziet er zo uit:

S = ½ * een * h,

Waar:
S – oppervlakte van de driehoek,
a is de lengte van zijn zijde,
h is de hoogte verlaagd naar deze kant.

De lengte en hoogte van de zijkant moeten in dezelfde maateenheden worden weergegeven. In dit geval wordt de oppervlakte van de driehoek verkregen in de overeenkomstige “ ”-eenheden.

Voorbeeld.
Aan de ene kant van een ongelijkzijdige driehoek van 20 cm lang wordt een loodlijn van het tegenoverliggende hoekpunt van 10 cm lang verlaagd.
Het gebied van de driehoek is vereist.
Oplossing.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Als de lengtes van twee zijden van een ongelijkzijdige driehoek en de hoek daartussen bekend zijn, gebruik dan de formule:

S = ½ * a * b * sinγ,

waarbij: a, b de lengtes zijn van twee willekeurige zijden, en γ de hoek daartussen.

In de praktijk is het gebruik van de bovenstaande formules, bijvoorbeeld bij het meten van percelen, soms moeilijk, omdat hiervoor extra constructie en hoekmeting nodig is.

Als je de lengtes van alle drie de zijden van een ongelijkzijdige driehoek kent, gebruik dan de formule van Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – lengtes van de zijden van de driehoek,
p – semi-perimeter: p = (a+b+c)/2.

Als, naast de lengtes van alle zijden, de straal van de in de driehoek ingeschreven cirkel bekend is, gebruik dan de volgende compacte formule:

waarbij: r – straal van de ingeschreven cirkel (р – halve omtrek).

Gebruik de formule om de oppervlakte van een ongelijkzijdige driehoek en de lengte van de zijden te berekenen:

waarbij: R – straal van de omgeschreven cirkel.

Als je de lengte kent van een van de zijden van de driehoek en drie hoeken (in principe zijn twee voldoende - de waarde van de derde wordt berekend op basis van de gelijkheid van de som van de drie hoeken van de driehoek - 180 °), gebruik dan de Formule:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

waarbij α de waarde is van de hoek tegenovergesteld aan zijde a;
β, γ – waarden van de resterende twee hoeken van de driehoek.

De noodzaak om verschillende elementen te vinden, inclusief gebied driehoek, verscheen vele eeuwen voor Christus onder de geleerde astronomen van het oude Griekenland. Vierkant driehoek kan worden berekend verschillende manieren gebruik van verschillende formules. De berekeningsmethode is afhankelijk van welke elementen driehoek bekend.

Instructies

Als we uit de voorwaarde de waarden kennen van twee zijden b, c en de hoek die daardoor wordt gevormd?, dan is het gebied driehoek ABC wordt gevonden met de formule:
S = (bcsin?)/2.

Als we uit de voorwaarde de waarden kennen van twee zijden a, b en de hoek die er niet door wordt gevormd?, dan is het gebied driehoek ABC wordt als volgt gevonden:
De hoek vinden?, zonde? = bsin?/a, gebruik dan de tabel om de hoek zelf te bepalen.
De hoek vinden?, ? = 180°-?-?.
We vinden het gebied zelf S = (absin?)/2.

Als we uit de voorwaarde de waarden van slechts drie zijden kennen driehoek a, b en c, en vervolgens de oppervlakte driehoek ABC wordt gevonden met de formule:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), waarbij p de halve omtrek is p = (a+b+c)/2

Als we uit de probleemomstandigheden de hoogte kennen driehoek h en de kant waar deze hoogte wordt verlaagd, en vervolgens het gebied driehoek ABC volgens de formule:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Als we de betekenis van de zijkanten kennen driehoek a, b, c en de straal die hierover wordt beschreven driehoek R, dan de oppervlakte hiervan driehoek ABC wordt bepaald door de formule:
S = abc/4R.
Als drie zijden a, b, c en de straal van de ingeschreven zijde bekend zijn, dan is het gebied driehoek ABC wordt gevonden met de formule:
S = pr, waarbij p de halve omtrek is, p = (a+b+c)/2.

Als ABC gelijkzijdig is, wordt de oppervlakte gevonden met de formule:
S = (a^2v3)/4.
Als driehoek ABC– gelijkbenig, dan wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, waarbij c – driehoek.
Als driehoek ABC rechthoekig is, wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = ab/2, waarbij a en b benen zijn driehoek.
Als driehoek ABC een rechthoekige gelijkbenige driehoek is, wordt de oppervlakte bepaald door de formule:
S = c^2/4 = a^2/2, waarbij c de hypotenusa is driehoek, a=b – been.

Video over het onderwerp

Bronnen:

  • hoe je de oppervlakte van een driehoek meet

Tip 3: Zo vind je de oppervlakte van een driehoek als de hoek bekend is

Het kennen van slechts één parameter (de hoek) is niet voldoende om het gebied te vinden tre vierkant . Als er extra afmetingen zijn, kunt u om het gebied te bepalen een van de formules kiezen waarin de hoekwaarde ook als een van de bekende variabelen wordt gebruikt. Hieronder vindt u een aantal van de meest gebruikte formules.

Instructies

Als, naast de grootte van de hoek (γ) gevormd door de twee zijden tre vierkant , dan zijn ook de lengtes van deze zijden (A en B) bekend vierkant(S) van een figuur kan worden gedefinieerd als de helft van het product van de lengtes van de zijden en de sinus van deze bekende hoek: S=½×A×B×sin(γ).