Studenten komen het concept van een piramide tegen lang voordat ze geometrie bestuderen. Geef de schuld aan de beroemde grote Egyptische wereldwonderen. Daarom stellen de meeste studenten zich bij het begin van de studie van dit prachtige veelvlak al duidelijk voor. Alle bovenstaande bezienswaardigheden zijn in de juiste vorm. Wat is er gebeurd juiste piramide, en welke eigenschappen het heeft en zal verder worden besproken.

In contact met

Definitie

Er zijn veel definities van een piramide. Sinds de oudheid is het erg populair.

Euclides definieerde het bijvoorbeeld als een solide figuur, bestaande uit vlakken die, uitgaande van één, op een bepaald punt samenkomen.

Heron zorgde voor een preciezere formulering. Hij stond erop dat het een cijfer was dat heeft een basis en vlakken in de vorm van driehoeken, samenkomen op een punt.

Vertrouwen op moderne interpretatie, wordt de piramide weergegeven als een ruimtelijk veelvlak, bestaande uit een bepaalde k-hoek en k platte figuren met een driehoekige vorm, met één gemeenschappelijk punt.

Laten we dat eens van dichterbij bekijken, Uit welke elementen bestaat het?

• k-gon wordt beschouwd als de basis van de figuur;
• 3-hoekige figuren steken uit als de zijkanten van het zijdeel;
• bovenste gedeelte waaruit ze afkomstig zijn zij elementen, wordt een hoekpunt genoemd;
• alle segmenten die het hoekpunt verbinden, worden randen genoemd;
• als een rechte lijn onder een hoek van 90 graden van het hoekpunt naar het vlak van de figuur wordt neergelaten, dan is het deel ingesloten in innerlijke ruimte- de hoogte van de piramide;
• in elk zij-element aan de zijkant van ons veelvlak kun je een loodlijn tekenen, apothem genaamd.

Het aantal randen wordt berekend met de formule 2*k, waarbij k het aantal zijden van de k-hoek is. Hoeveel vlakken een veelvlak zoals een piramide heeft kan worden bepaald door de uitdrukking k + 1.

Belangrijk! Een regelmatig gevormde piramide is een stereometrische figuur waarvan het basisvlak een k-hoek is met gelijke zijden.

Basis eigenschappen

Juiste piramide heeft veel eigenschappen die uniek zijn voor haar. Laten we ze opsommen:

1. De basis is een figuur van de juiste vorm.
2. De randen van de piramide, die de zij-elementen beperken, hebben gelijke numerieke waarden.
3. De zijelementen zijn gelijkbenige driehoeken.
4. De basis van de hoogte van de figuur valt in het midden van de veelhoek, terwijl het tegelijkertijd het middelpunt is van het ingeschreven en beschrevene.
5. Alle zijribben hellen onder dezelfde hoek naar het basisvlak.
6. Alle zijvlakken hebben dezelfde hellingshoek ten opzichte van de basis.

Dankzij alle vermelde eigenschappen wordt de uitvoering van elementberekeningen sterk vereenvoudigd. Op basis van bovenstaande eigenschappen letten wij op twee tekens:

1. Wanneer een veelhoek is ingeschreven in een cirkel, zij gezichten zal hebben met de basis gelijke hoeken.
2. Bij het beschrijven van een cirkel rond een veelhoek, hebben alle randen van de piramide die uit de top komen dezelfde lengte en gelijke hoeken met de basis.

Het plein is gebaseerd

Regelmatige vierhoekige piramide - een veelvlak gebaseerd op een vierkant.

Het heeft vier zijvlakken, die qua uiterlijk gelijkbenig zijn.

Op een vlak wordt een vierkant afgebeeld, maar ze zijn gebaseerd op alle eigenschappen van een regelmatige vierhoek.

Als het bijvoorbeeld nodig is om de zijde van een vierkant met zijn diagonaal te verbinden, wordt de volgende formule gebruikt: de diagonaal is gelijk aan het product van de zijde van het vierkant en de vierkantswortel van twee.

Gebaseerd op een regelmatige driehoek

Juist driehoekige piramide is een veelvlak waarvan de basis een regelmatige 3-hoek is.

Als de basis een regelmatige driehoek is en de zijranden gelijk zijn aan de randen van de basis, dan is zo'n figuur een tetraëder genoemd.

Alle vlakken van een tetraëder zijn gelijkzijdige 3-hoeken. In dit geval moet u enkele punten kennen en er geen tijd aan verspillen bij het berekenen:

• de hellingshoek van de ribben naar elke basis is 60 graden;
• de waarde van alle interne vlakken is ook 60 graden;
• elk gezicht kan als basis dienen;
• getekend in de figuur zijn gelijke elementen.

Delen van een veelvlak

In elk veelvlak zijn er meerdere soorten secties vliegtuig. Vaak binnen schoolcursus geometrieën werken met twee:

• axiaal;
• parallelle basis.

Een axiale doorsnede wordt verkregen door een veelvlak te snijden met een vlak dat door het hoekpunt, de zijranden en de as gaat. In dit geval is de as de hoogte die vanaf het hoekpunt wordt getrokken. Het snijvlak wordt begrensd door de snijlijnen met alle vlakken, wat resulteert in een driehoek.

Aandacht! In een regelmatige piramide is de axiale doorsnede een gelijkbenige driehoek.

Als het snijvlak evenwijdig aan de basis loopt, is het resultaat de tweede optie. In dit geval hebben we in de context van een figuur vergelijkbaar met de basis.

Als de basis bijvoorbeeld een vierkant is, dan zal de sectie evenwijdig aan de basis ook een vierkant zijn, maar dan kleiner.

Bij het oplossen van problemen onder deze voorwaarde worden tekenen en eigenschappen van gelijkenis van figuren gebruikt, gebaseerd op de stelling van Thales. Allereerst is het noodzakelijk om de coëfficiënt van overeenstemming te bepalen.

Als het vlak evenwijdig aan de basis wordt getrokken en het afsnijdt bovenste deel veelvlak, dan wordt in het onderste deel een regelmatige afgeknotte piramide verkregen. Dan wordt gezegd dat de bases van het afgeknotte veelvlak soortgelijke veelhoeken zijn. In dit geval zijn de zijvlakken gelijkbenige trapeziums. De axiale sectie is ook gelijkbenig.

Om de hoogte van een afgeknot veelvlak te bepalen, is het noodzakelijk om de hoogte in te tekenen axiale sectie, dat wil zeggen in een trapezium.

Oppervlaktes

De belangrijkste geometrische problemen die moeten worden opgelost in de cursus meetkunde op school zijn het vinden van de oppervlakte en het volume van een piramide.

Er zijn twee soorten oppervlakte:

• gebied van zijelementen;
• de gehele oppervlakte.

Uit de titel zelf blijkt al waar het over gaat. Het zijvlak bevat alleen de zij-elementen. Hieruit volgt dat om het te vinden, je gewoon de oppervlakten van de laterale vlakken hoeft op te tellen, dat wil zeggen de oppervlakten van gelijkbenige 3-hoeken. Laten we proberen de formule af te leiden voor het gebied van de zij-elementen:

1. De oppervlakte van een gelijkbenige 3-hoek is Str=1/2(aL), waarbij a de zijde van de basis is, L de apothem is.
2. Het aantal zijvlakken hangt af van het type k-gon aan de basis. Een regelmatige vierhoekige piramide heeft bijvoorbeeld vier zijvlakken. Daarom is het noodzakelijk om de oppervlakten van vier cijfers op te tellen Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . De uitdrukking wordt op deze manier vereenvoudigd omdat de waarde 4a=POS, waarbij POS de omtrek van de basis is. En de uitdrukking 1/2 * Rosn is de halve omtrek.
3. We concluderen dus dat de oppervlakte van de zij-elementen van een regelmatige piramide gelijk is aan het product van de halve omtrek van de basis en de apothem: Sside \u003d Rosn * L.

De oppervlakte van het volledige oppervlak van de piramide bestaat uit de som van de oppervlakten van de laterale vlakken en de basis: Sp.p = Sside + Sbase.

Wat betreft het gebied van de basis, hier wordt de formule gebruikt volgens het type polygoon.

Volume van een regelmatige piramide is gelijk aan het product van de oppervlakte van het basisvlak en de hoogte gedeeld door drie: V=1/3*Sbasis*H, waarbij H de hoogte is van het veelvlak.

Wat is een regelmatige piramide in geometrie

eigenschappen van het juiste vierhoekige piramide

Eerste level

Piramide. visuele gids (2019)

Wat is een piramide?

Hoe ziet ze eruit?

Je ziet: bij de piramide beneden (ze zeggen " op de basis"") een veelhoek, en alle hoekpunten van deze veelhoek zijn verbonden met een punt in de ruimte (dit punt heet " hoekpunt»).

Deze hele structuur heeft zij gezichten, zijribben En basis ribben. Laten we nogmaals een piramide tekenen met al deze namen:

Sommige piramides zien er misschien heel vreemd uit, maar het zijn nog steeds piramides.

Hier bijvoorbeeld nogal "schuin" piramide.

En nog wat meer over de namen: als er een driehoek aan de basis van de piramide staat, dan wordt de piramide driehoekig genoemd;

Tegelijkertijd het punt waar het viel hoogte, wordt genoemd hoogte basis. Merk op dat in de "scheve" piramides hoogte kan zelfs buiten de piramide zijn. Soortgelijk:

En hier is niets vreselijks aan. Het lijkt op een stompe driehoek.

Juiste piramide.

Veel complexe woorden? Laten we ontcijferen: " Aan de basis - correct"- dit is begrijpelijk. En onthoud nu dat een regelmatige veelhoek een middelpunt heeft - een punt dat het middelpunt is van en , en .

Welnu, en de woorden "de bovenkant wordt in het midden van de basis geprojecteerd" betekenen dat de basis van de hoogte precies in het midden van de basis valt. Kijk hoe glad en schattig het eruit ziet juiste piramide.

Zeshoekig: aan de basis - een regelmatige zeshoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

vierhoekig: aan de basis - een vierkant, de bovenkant wordt geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant.

driehoekig: aan de basis is een regelmatige driehoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd naar het snijpunt van de hoogten (ze zijn ook medianen en bissectrices) van deze driehoek.

Erg belangrijke eigenschappen juiste piramide:

In de rechterpiramide

• alle zijranden zijn gelijk.
• alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Piramidevolume

De hoofdformule voor het volume van de piramide:

Waar kwam het precies vandaan? Dit is niet zo eenvoudig, en in het begin moet je gewoon onthouden dat de piramide en de kegel volume hebben in de formule, maar de cilinder niet.

Laten we nu het volume van de meest populaire piramides berekenen.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijrand gelijk. Ik moet en vinden.

Dit is het gebied rechthoekige driehoek.

Laten we onthouden hoe we naar dit gebied moeten zoeken. We gebruiken de gebiedsformule:

We hebben "" - dit, en "" - dit ook, hè.

Laten we nu zoeken.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Wat maakt het uit? Dit is de straal van de omgeschreven cirkel in, omdat piramidejuist en dus het centrum.

Sinds - het snijpunt en ook de mediaan.

(Stelling van Pythagoras voor)

Vervang in de formule door.

Laten we alles in de volumeformule stoppen:

Aandacht: als je een regelmatige tetraëder hebt (d.w.z.), dan is de formule:

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijrand gelijk.

U hoeft hier niet te zoeken; omdat aan de basis een vierkant is, en daarom.

Laten we vinden. Volgens de stelling van Pythagoras voor

Weten we? Bijna. Kijk:

(we zagen dit door te beoordelen).

Vervang in de formule door:

En nu vervangen we en in de volumeformule.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn, en de zijkant.

Hoe te vinden? Kijk, een zeshoek bestaat uit precies zes identieke regelmatige driehoeken. We hebben al gezocht naar de oppervlakte van een regelmatige driehoek bij het berekenen van het volume van een regelmatige driehoekige piramide, hier gebruiken we de gevonden formule.

Laten we nu (dit) zoeken.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Maar wat maakt het uit? Het is eenvoudig omdat (en alle anderen ook) gelijk hebben.

Wij vervangen:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDE. KORT OVER DE HOOFD

Een piramide is een veelvlak dat bestaat uit een willekeurige platte veelhoek (), een punt dat niet in het vlak van de basis ligt (bovenkant van de piramide) en alle segmenten die de bovenkant van de piramide verbinden met de basispunten (zijranden).

Een loodlijn viel van de top van de piramide naar het vlak van de basis.

Juiste piramide- een piramide waarvan de basis is regelmatige veelhoek, en de top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

Eigenschap van een regelmatige piramide:

• In een regelmatige piramide zijn alle zijranden gelijk.
• Alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Hypothese: wij geloven dat de perfectie van de vorm van de piramide te danken is aan de wiskundige wetten die in zijn vorm zijn ingebed.

Doel: de piramide als een geometrisch lichaam hebben bestudeerd, om de perfectie van zijn vorm te verklaren.

Taken:

1. Geef een wiskundige definitie van een piramide.

2. Bestudeer de piramide als een geometrisch lichaam.

3. Begrijp welke wiskundige kennis de Egyptenaren in hun piramides legden.

Privé vragen:

1. Wat is een piramide als geometrisch lichaam?

2. Hoe kan de unieke vorm van de piramide wiskundig worden verklaard?

3. Wat verklaart de geometrische wonderen van de piramide?

4. Wat verklaart de perfectie van de vorm van de piramide?

Definitie van een piramide.

PIRAMIDE (van het Griekse pyramis, geslacht n. Pyramidos) - een veelvlak, waarvan de basis een veelhoek is, en de overige vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt (figuur). Volgens het aantal hoeken van de basis zijn piramides driehoekig, vierhoekig, enz.

PIRAMIDE - een monumentaal bouwwerk dat de geometrische vorm heeft van een piramide (soms ook trap- of torenvormig). Gigantische graven van de oude Egyptische farao's van het 3e-2e millennium voor Christus worden piramides genoemd. e., evenals oude Amerikaanse sokkels van tempels (in Mexico, Guatemala, Honduras, Peru) geassocieerd met kosmologische culten.

Het is mogelijk dat het Griekse woord "piramide" afkomstig is van de Egyptische uitdrukking per-em-us, dat wil zeggen van een term die de hoogte van de piramide betekende. De prominente Russische egyptoloog V. Struve geloofde dat het Griekse "puram...j" afkomstig is van het oud-Egyptische "p"-mr".

Uit de geschiedenis. Na bestudering van het materiaal in het leerboek "Geometry" van de auteurs van Atanasyan. Butuzova en anderen, hebben we geleerd dat: Een veelvlak bestaande uit n-gon A1A2A3 ... An en n driehoeken RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 wordt een piramide genoemd. De veelhoek A1A2A3 ... An is de basis van de piramide, en de driehoeken RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 zijn de zijvlakken van de piramide, P is de top van de piramide, de segmenten RA1, RA2, .. ., RAn zijn de zijranden.

Een dergelijke definitie van de piramide bestond echter niet altijd. Bijvoorbeeld, de oude Griekse wiskundige, de auteur van theoretische verhandelingen over wiskunde die tot ons zijn gekomen, Euclides, definieert een piramide als een solide figuur begrensd door vlakken die samenkomen van het ene vlak naar het ene punt.

Maar deze definitie is al in de oudheid bekritiseerd. Dus stelde Heron de volgende definitie van een piramide voor: "Dit is een figuur begrensd door driehoeken die op één punt samenkomen en waarvan de basis een veelhoek is."

Onze groep, die deze definities vergeleek, kwam tot de conclusie dat ze geen duidelijke formulering van het concept "fundament" hebben.

We bestudeerden deze definities en vonden de definitie van Adrien Marie Legendre, die in 1794 in zijn werk "Elements of Geometry" de piramide als volgt definieert: "Piramide is een lichaamsfiguur gevormd door driehoeken die op één punt samenkomen en eindigen op verschillende kanten platte basis."

Het lijkt ons dat de laatste definitie geeft Helder zicht over de piramide, want erin in kwestie dat de basis plat is. Een andere definitie van een piramide verscheen in een 19e-eeuws leerboek: "een piramide is een vaste hoek die wordt doorsneden door een vlak."

Piramide als geometrisch lichaam.

Dat. Een piramide is een veelvlak, waarvan één van de vlakken (basis) een veelhoek is, de overige vlakken (zijden) zijn driehoeken die één gemeenschappelijk hoekpunt hebben (de top van de piramide).

De loodlijn getrokken van de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt genoemd hoogteH piramides.

Naast een willekeurige piramide zijn er juiste piramide, aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek is en afgeknotte piramide.

In de figuur - de piramide PABCD, ABCD - de basis, PO - hoogte.

Volledige oppervlakte Een piramide wordt de som van de oppervlakten van al zijn vlakken genoemd.

Sfull = Zzijde + Sbase, Waar Zijkant is de som van de oppervlakten van de zijvlakken.

piramide volume wordt gevonden volgens de formule:

V=1/3Sbasis H, waar Sosn. - basisgebied H- hoogte.

De as van een regelmatige piramide is een rechte lijn die de hoogte bevat.
Apothema ST - de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide.

De oppervlakte van het zijvlak van een regelmatige piramide wordt als volgt uitgedrukt: Sside. =1/2P H, waarbij P de omtrek van de basis is, H- de hoogte van het zijvlak (de apothem van een regelmatige piramide). Als de piramide wordt doorkruist door vlak A'B'C'D' evenwijdig aan de basis, dan:

1) zijranden en hoogte worden door dit vlak in proportionele delen verdeeld;

2) in de sectie wordt een polygoon A'B'C'D' verkregen, vergelijkbaar met de basis;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

De basis van de afgeknotte piramide zijn gelijkaardige veelhoeken ABCD en A`B`C`D`, zijvlakken zijn trapeziums.

Hoogte afgeknotte piramide - de afstand tussen de basissen.

Afgeknot volume piramide wordt gevonden door de formule:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide wordt als volgt uitgedrukt: Skant = ½(P+P') H, waarbij P en P' de omtrekken van de basissen zijn, H- de hoogte van het zijvlak (de apothem van een regelmatige afgekapt door feesten

Delen van de piramide.

Secties van de piramide door vliegtuigen die door de top gaan, zijn driehoeken.

Het gedeelte dat door twee niet-aangrenzende zijranden van de piramide gaat, wordt genoemd diagonaal gedeelte.

Als de sectie door een punt op de zijrand en de zijkant van de basis gaat, dan zal deze zijde het spoor zijn op het vlak van de basis van de piramide.

Een sectie die door een punt gaat dat op het vlak van de piramide ligt, en een bepaald spoor van de sectie op het vlak van de basis, dan moet de constructie als volgt worden uitgevoerd:

vind het snijpunt van het vlak van het gegeven vlak en het spoor van de piramidesectie en wijs het aan;

een rechte lijn bouwen die door een bepaald punt en het resulterende snijpunt gaat;

· Herhaal deze stappen voor de volgende gezichten.

, wat overeenkomt met de verhouding van de benen rechthoekige driehoek 4:3. Deze verhouding van de benen komt overeen met de bekende rechthoekige driehoek met zijden 3:4:5, die de "perfecte", "heilige" of "Egyptische" driehoek wordt genoemd. Volgens historici kreeg de "Egyptische" driehoek een magische betekenis. Plutarchus schreef dat de Egyptenaren de aard van het universum vergeleken met een 'heilige' driehoek; ze vergeleken symbolisch het verticale been met de echtgenoot, de basis met de vrouw en de hypotenusa met wat uit beide is geboren.

Voor een driehoek 3:4:5 is de gelijkheid waar: 32 + 42 = 52, wat de stelling van Pythagoras uitdrukt. Is het niet deze stelling die de Egyptische priesters wilden bestendigen door een piramide op te richten op basis van de driehoek 3:4:5? Moeilijk om meer te vinden goed voorbeeld om de stelling van Pythagoras te illustreren, die al lang voor de ontdekking ervan door Pythagoras bij de Egyptenaren bekend was.

Aldus de ingenieuze makers Egyptische piramides probeerden verre afstammelingen te imponeren met de diepte van hun kennis, en ze bereikten dit door als het "geometrische hoofdidee" te kiezen voor de piramide van Cheops - de "gouden" rechthoekige driehoek, en voor de piramide van Chefren - de "heilige " of "Egyptische" driehoek.

Heel vaak gebruiken wetenschappers in hun onderzoek de eigenschappen van piramides met de verhoudingen van de Gulden Snede.

Op wiskundig encyclopedisch woordenboek de volgende definitie van de Gulden Snede wordt gegeven - dit is een harmonische verdeling, verdeling in de uiterste en gemiddelde verhouding - verdeling van het segment AB in twee delen zodanig dat het grootste deel van zijn AC de gemiddelde evenredigheid is tussen het gehele segment AB en zijn kleinere deel CB.

Algebraïsche bevinding van de gulden snede van een segment AB = een reduceert tot het oplossen van de vergelijking a: x = x: (a - x), waarbij x ongeveer gelijk is aan 0,62a. De x-verhouding kan worden uitgedrukt als breuken 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, waarbij 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-getallen zijn.

De geometrische constructie van de Gulden Snede van het segment AB wordt als volgt uitgevoerd: op punt B wordt de loodlijn op AB hersteld, het segment BE \u003d 1/2 AB wordt erop gelegd, A en E zijn verbonden, DE \ u003d BE wordt uitgesteld en ten slotte AC \u003d AD, dan is de gelijkheid AB vervuld: CB = 2: 3.

gouden ratio vaak gebruikt in kunstwerken, architectuur, gevonden in de natuur. Levendige voorbeelden zijn het beeldhouwwerk van Apollo Belvedere, het Parthenon. Tijdens de constructie van het Parthenon werd de verhouding tussen de hoogte van het gebouw en de lengte ervan gebruikt en deze verhouding is 0,618. Objecten om ons heen geven ook voorbeelden van de Gulden Snede. De bindingen van veel boeken hebben bijvoorbeeld een breedte-lengteverhouding van bijna 0,618. Gezien de rangschikking van bladeren op een gemeenschappelijke stengel van planten, kan men opmerken dat tussen elke twee paar bladeren het derde zich bevindt op de plaats van de Gulden Snede (dia's). Ieder van ons "draagt" de gulden snede bij ons "in onze handen" - dit is de verhouding van de vingerkootjes van de vingers.

Dankzij de ontdekking van verschillende wiskundige papyri hebben egyptologen iets geleerd over de oude Egyptische systemen van calculus en maten. De taken die erin stonden, werden opgelost door schriftgeleerden. Een van de meest bekende is de Rhind Wiskundige Papyrus. Door deze puzzels te bestuderen, leerden egyptologen hoe de oude Egyptenaren ermee omgingen verschillende hoeveelheden die ontstond bij het berekenen van gewichts-, lengte- en volumematen, waarbij vaak breuken werden gebruikt, en hoe men omging met hoeken.

De oude Egyptenaren gebruikten een methode om hoeken te berekenen op basis van de verhouding van de hoogte tot de basis van een rechthoekige driehoek. Ze drukten elke hoek uit in de taal van het verloop. De hellingsgradiënt werd uitgedrukt als een verhouding van een geheel getal, "seked" genoemd. In Mathematics in the Time of the Pharaohs legt Richard Pillins uit: “De seked van een regelmatige piramide is de helling van elk van de vier driehoekige vlakken naar het vlak van de basis, gemeten door een n-de aantal horizontale eenheden per verticale eenheid van hoogte . Deze maateenheid is dus gelijk aan onze moderne cotangens van de hellingshoek. Daarom is het Egyptische woord "seked" verwant aan onze modern woord"gradiënt"".

De numerieke sleutel tot de piramides ligt in de verhouding van hun hoogte tot de basis. Praktisch gezien is dit de gemakkelijkste manier om sjablonen te maken die nodig zijn om constant de juiste hellingshoek te controleren tijdens de constructie van de piramide.

Egyptologen zouden ons graag overtuigen dat elke farao graag zijn individualiteit tot uitdrukking wilde brengen, vandaar de verschillen in hellingshoeken voor elke piramide. Maar er kan nog een reden zijn. Misschien wilden ze allemaal verschillende symbolische associaties belichamen, verborgen in verschillende verhoudingen. De hoek van de piramide van Khafre (gebaseerd op de driehoek (3:4:5) komt echter voor in de drie problemen die worden gepresenteerd door de piramides in de Rhind Mathematical Papyrus). Deze houding was dus goed bekend bij de oude Egyptenaren.

Om eerlijk te zijn tegenover egyptologen die beweren dat de oude Egyptenaren de driehoek 3:4:5 niet kenden, laten we zeggen dat de lengte van de schuine zijde 5 nooit werd genoemd. Maar wiskundige problemen met betrekking tot de piramides worden altijd opgelost op basis van de seked hoek - de verhouding van de hoogte tot de basis. Aangezien de lengte van de schuine zijde nooit werd vermeld, werd geconcludeerd dat de Egyptenaren nooit de lengte van de derde zijde hadden berekend.

De hoogte-basisverhoudingen die in de piramides van Gizeh werden gebruikt, waren ongetwijfeld bekend bij de oude Egyptenaren. Het is mogelijk dat deze verhoudingen voor elke piramide willekeurig zijn gekozen. Dit is echter in tegenspraak met het belang dat wordt gehecht aan numerieke symboliek in alle soorten Egyptische beeldende kunst. Het is zeer waarschijnlijk dat dergelijke relaties significant waren, aangezien ze specifiek waren religieuze ideeën. Met andere woorden, het hele complex van Gizeh was onderworpen aan een samenhangend ontwerp, ontworpen om een ​​of ander goddelijk thema weer te geven. Dit zou verklaren waarom de ontwerpers verschillende hoeken kozen voor de drie piramides.

In The Secret of Orion presenteerden Bauval en Gilbert overtuigend bewijs van het verband tussen de piramiden van Gizeh en het sterrenbeeld Orion, in het bijzonder met de sterren van Orion's Belt.Dezelfde constellatie is aanwezig in de mythe van Isis en Osiris, en daar is reden om elke piramide te beschouwen als een afbeelding van een van de drie belangrijkste goden - Osiris, Isis en Horus.

WONDEREN "GEOMETRISCH".

Onder de grandioze piramides van Egypte wordt een speciale plaats ingenomen door Grote Piramide van Farao Cheops (Khufu). Voordat we verder gaan met de analyse van de vorm en grootte van de piramide van Cheops, moeten we onthouden welk maatsysteem de Egyptenaren gebruikten. De Egyptenaren hadden drie lengte-eenheden: "el" (466 mm), gelijk aan zeven "palmen" (66,5 mm), wat op zijn beurt gelijk was aan vier "vingers" (16,6 mm).

Laten we de grootte van de Cheops-piramide analyseren (figuur 2), volgens de redenering die wordt gegeven in het prachtige boek van de Oekraïense wetenschapper Nikolai Vasyutinskiy "Golden Proportion" (1990).

De meeste onderzoekers zijn het erover eens dat de lengte van de zijkant van de basis van de piramide bijvoorbeeld GF is gelijk aan L\u003d 233,16 m. Deze waarde komt bijna exact overeen met 500 "ellen". Volledige naleving van 500 "ellen" zal zijn als de lengte van de "el" wordt beschouwd als gelijk aan 0,4663 m.

Piramidehoogte ( H) wordt door onderzoekers anders geschat van 146,6 tot 148,2 m. En afhankelijk van de geaccepteerde hoogte van de piramide veranderen alle verhoudingen van de geometrische elementen. Wat is de reden voor de verschillen in de schatting van de hoogte van de piramide? Feit is dat, strikt genomen, de piramide van Cheops is afgekapt. Het bovenste platform heeft tegenwoordig een afmeting van ongeveer 10 ´ 10 m, en een eeuw geleden was het 6 ´ 6 m. Het is duidelijk dat de top van de piramide werd ontmanteld en komt niet overeen met de originele.

Bij het schatten van de hoogte van de piramide moet rekening worden gehouden met een dergelijke fysieke factor als de "diepgang" van de structuur. Achter lange tijd onder invloed van kolossale druk (tot 500 ton per 1 m2 van het onderste oppervlak), nam de hoogte van de piramide af in vergelijking met de oorspronkelijke hoogte.

Wat was de oorspronkelijke hoogte van de piramide? Deze hoogte kan opnieuw worden gemaakt als u het "geometrische basisidee" van de piramide vindt.

Figuur 2.

In 1837 mat de Engelse kolonel G. Wise de hellingshoek van de vlakken van de piramide: deze bleek gelijk te zijn aan A= 51°51". Deze waarde wordt tegenwoordig door de meeste onderzoekers erkend. Gespecificeerde waarde hoek komt overeen met de raaklijn (tg A), gelijk aan 1,27306. Deze waarde komt overeen met de verhouding van de hoogte van de piramide AC tot de helft van zijn basis CB(Fig.2), d.w.z. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

En hier stonden de onderzoekers voor een grote verrassing!.png" width="25" height="24">= 1.272. Deze waarde vergelijken met de tg-waarde A= 1,27306, zien we dat deze waarden heel dicht bij elkaar liggen. Als we de hoek nemen A\u003d 51 ° 50", dat wil zeggen, om het met slechts één boogminuut te verminderen, dan is de waarde A zal gelijk worden aan 1.272, dat wil zeggen, het zal samenvallen met de waarde van . Opgemerkt moet worden dat G. Wise in 1840 zijn metingen herhaalde en verduidelijkte dat de waarde van de hoek A=51°50".

Deze metingen brachten onderzoekers tot de volgende zeer interessante hypothese: de driehoek ASV van de piramide van Cheops was gebaseerd op de relatie AC / CB = = 1,272!

Beschouw nu een rechthoekige driehoek abc, waarin de verhouding van de benen AC / CB= (Afb.2). Als nu de lengtes van de zijden van de rechthoek abc duiden door X, j, z, en houd er ook rekening mee dat de verhouding j/X= , dan, in overeenstemming met de stelling van Pythagoras, de lengte z kan worden berekend met de formule:

Indien accepteren X = 1, j= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

figuur 3"Gouden" rechthoekige driehoek.

Een rechthoekige driehoek waarin de zijden aan elkaar gerelateerd zijn T:gouden" rechthoekige driehoek.

Als we dan als basis uitgaan van de hypothese dat het belangrijkste "geometrische idee" van de Cheops-piramide de "gouden" rechthoekige driehoek is, dan is het vanaf hier gemakkelijk om de "ontwerp" -hoogte van de Cheops-piramide te berekenen. Het is gelijk aan:

H = (L / 2) ´ = 148,28 m.

Laten we nu enkele andere relaties afleiden voor de piramide van Cheops, die volgen uit de 'gouden' hypothese. In het bijzonder vinden we de verhouding van het buitenste gebied van de piramide tot het gebied van de basis. Om dit te doen, nemen we de lengte van het been CB per eenheid, dat wil zeggen: CB= 1. Maar dan de lengte van de zijkant van de basis van de piramide GF= 2, en het gebied van de basis EFGH zal gelijk zijn aan SEFGH = 4.

Laten we nu de oppervlakte van het zijvlak van de Cheops-piramide berekenen SD. Omdat de hoogte AB driehoek AEF is gelijk aan T, dan is het oppervlak van het zijvlak gelijk aan SD = T. Dan is de totale oppervlakte van alle vier de zijvlakken van de piramide gelijk aan 4 T, en de verhouding van het totale externe gebied van de piramide tot het basisgebied is gelijk aan de gulden snede! Dat is wat het is - het belangrijkste geometrische geheim van de piramide van Cheops!

De groep van "geometrische wonderen" van de piramide van Cheops omvat de echte en gekunstelde eigenschappen van de relatie tussen de verschillende dimensies in de piramide.

In de regel worden ze verkregen op zoek naar een "constante", in het bijzonder het getal "pi" (Ludolf-getal), gelijk aan 3,14159...; gronden natuurlijke logaritmen"e" (Napier-nummer), gelijk aan 2,71828...; het getal "F", het getal van de "gulden snede", is bijvoorbeeld gelijk aan 0,618 ... enz..

U kunt bijvoorbeeld een naam geven: 1) Eigenschap van Herodotus: (Hoogte) 2 \u003d 0,5 st. voornaamst x Apothema; 2) Eigendom van V. Prijs: Hoogte: 0,5 st. osn \u003d Vierkantswortel van "Ф"; 3) Eigenschap van M. Eist: Omtrek van de basis: 2 Hoogte = "Pi"; in een andere interpretatie - 2 el. voornaamst : Hoogte = "Pi"; 4) G. Rebers eigenschap: Straal van de ingeschreven cirkel: 0,5 st. voornaamst = "V"; 5) Eigenschap van K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2e hoofd X Apothema) + (eerste hoofd) 2). Enz. Je kunt veel van dergelijke eigenschappen bedenken, vooral als je twee naburige piramides met elkaar verbindt. Als "Eigenschappen van A. Arefiev" kan bijvoorbeeld worden vermeld dat het verschil tussen de volumes van de piramide van Cheops en de piramide van Khafre gelijk is aan tweemaal het volume van de piramide van Menkaure...

Veel interessante bepalingen, met name over de constructie van piramides volgens de "gulden snede", zijn uiteengezet in de boeken van D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" en M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Bedenk dat de "gulden snede" de verdeling van het segment in een dergelijke verhouding is, wanneer deel A evenveel keer groter is dan deel B, hoeveel keer A kleiner is dan het hele segment A + B. De verhouding A / B is gelijk aan het getal "Ф" == 1.618. .. Het gebruik van de "gulden snede" wordt niet alleen aangegeven in individuele piramides, maar in het hele piramidecomplex in Gizeh.

Het meest merkwaardige is echter dat een en dezelfde piramide van Cheops simpelweg niet zoveel prachtige eigenschappen "kan" bevatten. Als je een bepaalde eigenschap één voor één neemt, kun je deze 'aanpassen', maar ineens passen ze niet - ze vallen niet samen, ze spreken elkaar tegen. Dus als bijvoorbeeld bij het controleren van alle eigenschappen in eerste instantie één en dezelfde zijde van de basis van de piramide (233 m) wordt genomen, dan zullen de hoogten van piramides met verschillende eigenschappen ook anders zijn. Met andere woorden, er is een bepaalde 'familie' van piramiden, uiterlijk vergelijkbaar met die van Cheops, maar met andere eigenschappen. Merk op dat er niets bijzonder wonderbaarlijks is aan de "geometrische" eigenschappen - veel komt puur automatisch voort uit de eigenschappen van de figuur zelf. Een "wonder" moet alleen worden beschouwd als iets dat duidelijk onmogelijk was voor de oude Egyptenaren. Dit omvat met name "kosmische" wonderen, waarbij de afmetingen van de piramide van Cheops of het piramidecomplex van Gizeh worden vergeleken met enkele astronomische metingen en "even" getallen worden aangegeven: een miljoen keer, een miljard keer minder, enzovoort . Laten we eens kijken naar enkele "kosmische" relaties.

Een van de uitspraken is deze: "als we de zijkant van de basis van de piramide delen door de exacte lengte van het jaar, krijgen we precies 10 miljoenste van de aardas." Bereken: deel 233 door 365, we krijgen 0,638. De straal van de aarde is 6378 km.

Een andere verklaring is eigenlijk het tegenovergestelde van de vorige. F. Noetling wees erop dat als je de door hem uitgevonden "Egyptische elleboog" gebruikt, de zijkant van de piramide overeenkomt met "de meest nauwkeurige duur zonne jaar, uitgedrukt tot op de dichtstbijzijnde miljardste van een dag" - 365.540.903.777.

De verklaring van P. Smith: "De hoogte van de piramide is precies een miljardste van de afstand van de aarde tot de zon." Hoewel de hoogte van 146,6 m gewoonlijk wordt genomen, nam Smith het als 148,2 m. Volgens moderne radarmetingen is de halve hoofdas van de baan van de aarde 149.597.870 + 1,6 km. Dit is de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, maar in het perihelium is het 5.000.000 kilometer minder dan in het aphelium.

Laatste merkwaardige uitspraak:

"Hoe te verklaren dat de massa's van de piramides van Cheops, Khafre en Menkaure aan elkaar gerelateerd zijn, zoals de massa's van de planeten Aarde, Venus, Mars?" Laten we berekenen. De massa's van de drie piramides zijn gerelateerd als: Chefren - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. De verhoudingen van de massa's van de drie planeten: Venus - 0,815; Land - 1.000; Mars - 0,108.

Laten we dus, ondanks de scepsis, de bekende harmonie van de constructie van uitspraken opmerken: 1) de hoogte van de piramide, als een lijn die "de ruimte in gaat" - komt overeen met de afstand van de aarde tot de zon; 2) de kant van de basis van de piramide die zich het dichtst "bij het substraat" bevindt, dat wil zeggen bij de aarde, is verantwoordelijk voor de straal van de aarde en de circulatie van de aarde; 3) de volumes van de piramide (lees - massa's) komen overeen met de verhouding van de massa's van de planeten die zich het dichtst bij de aarde bevinden. Een soortgelijk "cijfer" is bijvoorbeeld terug te vinden in de bijentaal, geanalyseerd door Karl von Frisch. Wij onthouden ons echter voorlopig van commentaar hierop.

VORM VAN DE PIRAMIDES

De beroemde tetraëdrische vorm van de piramides verscheen niet meteen. De Scythen maakten begrafenissen in de vorm van aarden heuvels - terpen. De Egyptenaren bouwden "heuvels" van steen - piramides. Dit gebeurde voor het eerst na de eenwording van Boven- en Beneden-Egypte, in de 28e eeuw voor Christus, toen de stichter van de III-dynastie, farao Djoser (Zoser), de taak kreeg om de eenheid van het land te versterken.

En hier, volgens historici, speelde het 'nieuwe concept van vergoddelijking' van de tsaar een belangrijke rol bij het versterken van de centrale macht. Hoewel de koninklijke begrafenissen zich onderscheidden door grotere pracht, verschilden ze in principe niet van de graven van hofedelen, het waren dezelfde structuren - mastaba's. Boven de kamer met de sarcofaag die de mummie bevatte, werd een rechthoekige heuvel van kleine stenen gestort, waar vervolgens een klein gebouw van grote stenen blokken werd geplaatst - "mastaba" (in het Arabisch - "bank"). Op de plaats van de mastaba van zijn voorganger, Sanakht, richtte farao Djoser de eerste piramide op. Het was getrapt en was een zichtbaar overgangsstadium van de ene architectonische vorm naar de andere, van een mastaba naar een piramide.

Op deze manier werd de farao 'opgevoed' door de wijze en architect Imhotep, die later als magiër werd beschouwd en door de Grieken werd geïdentificeerd met de god Asclepius. Het was alsof er zes mastaba's achter elkaar stonden. Bovendien besloeg de eerste piramide een oppervlakte van 1125 x 115 meter, met een geschatte hoogte van 66 meter (volgens Egyptische maatregelen - 1000 "palmen"). Aanvankelijk was de architect van plan een mastaba te bouwen, maar niet langwerpig, maar vierkant van opzet. Later is het uitgebreid, maar doordat de aanbouw lager is gemaakt, zijn er als het ware twee treden ontstaan.

Deze situatie bevredigde de architect niet, en op het bovenste platform van een enorme platte mastaba plaatste Imhotep er nog drie, geleidelijk afnemend naar de top. Het graf bevond zich onder de piramide.

Er zijn nog meer getrapte piramides bekend, maar later gingen de bouwers verder met het bouwen van meer bekende tetraëdrische piramides. Waarom echter niet driehoekig of bijvoorbeeld achthoekig? Een indirect antwoord wordt gegeven door het feit dat bijna alle piramides perfect georiënteerd zijn op de vier windstreken en dus vier zijden hebben. Bovendien was de piramide een "huis", een schil van een vierhoekige grafkamer.

Maar wat veroorzaakte de hellingshoek van de gezichten? In het boek "The Principle of Proportions" is hier een heel hoofdstuk aan gewijd: "Wat zou de hoeken van de piramides kunnen bepalen." In het bijzonder wordt aangegeven dat "het beeld waarnaar de grote piramides van het Oude Rijk neigen, een driehoek is met een rechte hoek aan de bovenkant.

In de ruimte is het een halve octaëder: een piramide waarin de randen en zijkanten van de basis gelijk zijn, de vlakken zijn gelijkzijdige driehoeken.Bepaalde overwegingen worden over dit onderwerp gegeven in de boeken van Hambidge, Geek en anderen.

Wat is het voordeel van de hoek van de halve octaëder? Volgens de beschrijvingen van archeologen en historici stortten sommige piramides in onder hun eigen gewicht. Wat nodig was, was een "duurzaamheidshoek", een hoek die energetisch het meest betrouwbaar was. Zuiver empirisch gezien kan deze hoek worden ontleend aan de tophoek in een stapel afbrokkelend droog zand. Maar om nauwkeurige gegevens te krijgen, moet u het model gebruiken. Als je vier stevig bevestigde ballen neemt, moet je de vijfde erop plaatsen en de hellingshoeken meten. Hier kun je echter een fout maken, daarom helpt een theoretische berekening: je moet de middelpunten van de ballen verbinden met lijnen (mentaal). Aan de basis krijg je een vierkant met een zijde gelijk aan tweemaal de straal. Het vierkant is slechts de basis van de piramide, waarvan de lengte van de randen ook gelijk zal zijn aan tweemaal de straal.

Dus een dichte stapeling van ballen van het 1:4 type geeft ons een regelmatige halve octaëder.

Maar waarom behouden veel piramides, die naar een vergelijkbare vorm neigen, deze toch niet? Waarschijnlijk worden de piramides oud. In tegenstelling tot het bekende gezegde:

"Alles in de wereld is bang voor tijd, en de tijd is bang voor de piramides", de gebouwen van de piramides moeten verouderen, ze kunnen en moeten niet alleen de processen van externe verwering plaatsvinden, maar ook de processen van interne "krimp" , van waaruit de piramides lager kunnen worden. Krimp is ook mogelijk omdat, zoals ontdekt door de werken van D. Davidovits, de oude Egyptenaren de technologie gebruikten om blokken te maken van kalkschilfers, met andere woorden, van "beton". Het zijn deze processen die de reden zouden kunnen verklaren voor de vernietiging van de Medum-piramide, 50 km ten zuiden van Caïro. Het is 4600 jaar oud, de afmetingen van de basis zijn 146 x 146 m, de hoogte is 118 m. "Waarom is het zo verminkt?" vraagt ​​V. Zamarovsky. "De gebruikelijke verwijzingen naar de destructieve effecten van tijd en "het gebruik van steen voor andere gebouwen" passen hier niet.

Immers, de meeste van zijn blokken en tegenoverliggende platen en staat nog steeds op zijn plaats, in de ruïnes aan zijn voet. "Zoals we zullen zien, doen een aantal voorzieningen ons zelfs nadenken over het feit dat de beroemde piramide van Cheops ook" is gekrompen ". In ieder geval staat op alle oude afbeeldingen de piramides zijn puntig ...

De vorm van de piramides kan ook worden gegenereerd door imitatie: sommige natuurlijke patronen, "wonderbaarlijke perfectie", bijvoorbeeld, sommige kristallen in de vorm van een octaëder.

Dergelijke kristallen kunnen diamant- en goudkristallen zijn. Karakteristiek een groot aantal van"kruisende" tekens voor concepten als farao, zon, goud, diamant. Overal - nobel, briljant (briljant), geweldig, onberispelijk enzovoort. De overeenkomsten zijn niet toevallig.

De zonnecultus was, zoals u weet, een belangrijk onderdeel van de religie. het oude Egypte. "Het maakt niet uit hoe we de naam van de grootste van de piramides vertalen", zegt een van de moderne leerboeken, "Sky Khufu" of "Sky Khufu", het betekende dat de koning de zon is. Als Khufu, in de schittering van zijn macht, zich voorstelde een tweede zon te zijn, dan werd zijn zoon Jedef-Ra de eerste van de Egyptische koningen die zichzelf "de zoon van Ra" begon te noemen, dat wil zeggen, de zoon van de Zon. De zon werd door bijna alle volkeren gesymboliseerd als "zonnemetaal", goud. "De grote schijf van helder goud" - zo noemden de Egyptenaren ons daglicht. De Egyptenaren kenden goud heel goed, ze kenden de oorspronkelijke vormen, waar goudkristallen kunnen verschijnen in de vorm van octaëders.

Als "voorbeeld van vormen" is de "zonnesteen" - een diamant - hier ook interessant. De naam van de diamant kwam net uit de Arabische wereld, "almas" - de hardste, hardste, onverwoestbare. De oude Egyptenaren kenden de diamant en zijn eigenschappen zijn redelijk goed. Volgens sommige auteurs gebruikten ze zelfs bronzen pijpen met diamantslijpers om te boren.

Zuid-Afrika is nu de belangrijkste leverancier van diamanten, maar West-Afrika is ook rijk aan diamanten. Het grondgebied van de Republiek Mali wordt daar zelfs het "Diamond Land" genoemd. Ondertussen leven de Dogon op het grondgebied van Mali, met wie de aanhangers van de paleovisit-hypothese veel hoop vestigen (zie hieronder). Diamanten konden niet de reden zijn voor de contacten van de oude Egyptenaren met deze regio. Het is echter op de een of andere manier mogelijk dat de oude Egyptenaren, juist door de octaëders van diamant en goudkristallen te kopiëren, de farao's vergoddelijkten, "onverwoestbaar" zoals diamant en "briljant" zoals goud, de zonen van de zon, vergelijkbaar alleen met de mooiste creaties van de natuur.

Conclusie:

Nadat we de piramide als een geometrisch lichaam hadden bestudeerd en kennis hadden gemaakt met de elementen en eigenschappen ervan, waren we overtuigd van de geldigheid van de mening over de schoonheid van de vorm van de piramide.

Als resultaat van ons onderzoek kwamen we tot de conclusie dat de Egyptenaren, nadat ze de meest waardevolle wiskundige kennis hadden verzameld, deze in een piramide belichaamden. Daarom is de piramide echt de meest perfecte creatie van de natuur en de mens.

BIBLIOGRAFIE

"Geometrie: Proc. voor 7 - 9 cellen. algemene educatie instellingen \, enz. - 9e ed. - M.: Onderwijs, 1999

Geschiedenis van de wiskunde op school, M: "Verlichting", 1982

Meetkunde graad 10-11, M: "Verlichting", 2000

Peter Tompkins "Geheimen van de Grote Piramide van Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

Internetbronnen

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Videoles 2: Piramide uitdaging. Piramidevolume

Videoles 3: Piramide uitdaging. Juiste piramide

Lezing: Piramide, zijn basis, zijranden, hoogte, zijoppervlak; driehoekige piramide; juiste piramide

Piramide, zijn eigenschappen

Piramide- Dit is een driedimensionaal lichaam met een veelhoek aan de basis en alle vlakken bestaan ​​uit driehoeken.

Een speciaal geval van een piramide is een kegel, aan de basis waarvan een cirkel ligt.

Overweeg de belangrijkste elementen van de piramide:

Apothema is een segment dat de bovenkant van de piramide verbindt met het midden van de onderrand van het zijvlak. Met andere woorden, dit is de hoogte van het vlak van de piramide.

In de figuur zie je de driehoeken ADS, ABS, BCS, CDS. Als je goed naar de namen kijkt, kun je zien dat elke driehoek één gemeenschappelijke letter in zijn naam heeft - S. Dat wil zeggen, dit betekent dat alle zijvlakken (driehoeken) samenkomen op één punt, dat de top van de piramide wordt genoemd.

Het segment OS, dat het hoekpunt verbindt met het snijpunt van de diagonalen van de basis (in het geval van driehoeken, op het snijpunt van de hoogten), wordt genoemd piramide hoogte.

Een diagonale sectie is een vlak dat door de top van de piramide gaat, evenals een van de diagonalen van de basis.

Aangezien het zijvlak van de piramide uit driehoeken bestaat, zijn deze te vinden volledige oppervlakte zijoppervlak, moet u het gebied van elk strandgezicht vinden en toevoegen. Het aantal en de vorm van de vlakken hangt af van de vorm en grootte van de zijden van de veelhoek die aan de basis ligt.

Het enige vlak in een piramide dat geen hoekpunt heeft, wordt genoemd basis piramides.

In de figuur zien we dat de basis een parallellogram is, maar er kan elke willekeurige veelhoek zijn.

Eigenschappen:

Beschouw het eerste geval van een piramide, waarin deze randen van dezelfde lengte heeft:

• Rond de basis van zo'n piramide kan een cirkel worden beschreven. Als je de top van zo'n piramide projecteert, bevindt de projectie zich in het midden van de cirkel.
• De hoeken aan de basis van de piramide zijn voor elk vlak hetzelfde.
• Tegelijkertijd kan een voldoende voorwaarde voor het feit dat een cirkel rond de basis van de piramide kan worden beschreven, en ook dat alle randen verschillende lengtes hebben, worden beschouwd als dezelfde hoeken tussen de basis en elke rand van de vlakken .

Als je een piramide tegenkomt waarin de hoeken tussen de zijvlakken en de basis gelijk zijn, dan gelden de volgende eigenschappen:

• Je kunt een cirkel om de basis van de piramide beschrijven, waarvan de top precies naar het midden wordt geprojecteerd.
• Als je aan elke zijde de hoogte naar de basis tekent, dan zullen ze even lang zijn.
• Om het laterale oppervlak van zo'n piramide te vinden, volstaat het om de omtrek van de basis te vinden en deze te vermenigvuldigen met de helft van de lengte van de hoogte.
• Sbp = 0,5P oc H.
• Soorten piramide.
• Afhankelijk van welke veelhoek aan de basis van de piramide ligt, kunnen ze driehoekig, vierhoekig, enz. Zijn. Als een regelmatige veelhoek (met gelijke zijden) aan de basis van de piramide ligt, dan wordt zo'n piramide regelmatig genoemd.

Regelmatige driehoekige piramide

Deze videozelfstudie helpt gebruikers een idee te krijgen van het thema Piramide. Juiste piramide. In deze les zullen we kennis maken met het concept van een piramide, het een definitie geven. Overweeg wat een gewone piramide is en welke eigenschappen deze heeft. Daarna bewijzen we de stelling op het mantelvlak van een regelmatige piramide.

In deze les zullen we kennis maken met het concept van een piramide, het een definitie geven.

Beschouw een veelhoek A 1 A 2...Een, dat in het vlak α ligt, en een punt P, die niet in het vlak α ligt (fig. 1). Laten we de stip verbinden P met pieken Een 1, een 2, een 3, … Een. Krijgen N driehoeken: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R enzovoort.

Definitie. Veelvlak RA 1 A 2 ... A n, gemaakt van N-gon A 1 A 2...Een En N driehoeken RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n Een n-1, belde N- kolenpiramide. Rijst. 1.

Rijst. 1

Beschouw een vierhoekige piramide PABCD(Fig. 2).

R- de top van de piramide.

ABCD- de basis van de piramide.

RA- zijrib.

AB- basisrand.

Vanaf een punt R laat de loodlijn vallen RN op het grondvlak ABCD. De getekende loodlijn is de hoogte van de piramide.

Rijst. 2

Volledig oppervlak De piramide bestaat uit een zijvlak, dat wil zeggen de oppervlakte van alle zijvlakken, en de oppervlakte van de basis:

S volledig \u003d S kant + S hoofd

Een piramide wordt correct genoemd als:

• de basis is een regelmatige veelhoek;
• het segment dat de top van de piramide verbindt met het midden van de basis is de hoogte.

Uitleg over het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide

Beschouw een regelmatige vierhoekige piramide PABCD(Afb. 3).

R- de top van de piramide. basis van de piramide ABCD- een regelmatige vierhoek, dat wil zeggen een vierkant. Punt OVER, het snijpunt van de diagonalen, is het middelpunt van het vierkant. Middelen, RO is de hoogte van de piramide.

Rijst. 3

Uitleg: rechts N-gon vallen het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het middelpunt van de omgeschreven cirkel samen. Dit middelpunt wordt het middelpunt van de veelhoek genoemd. Soms zeggen ze dat de bovenkant in het midden wordt geprojecteerd.

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf de bovenkant, wordt genoemd apothema en aangegeven h een.

1. alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk;

2. zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken.

Laten we deze eigenschappen bewijzen aan de hand van het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide.

Gegeven: RABCD- regelmatige vierhoekige piramide,

ABCD- vierkant,

RO is de hoogte van de piramide.

Bewijzen:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Zie afb. 4.

Rijst. 4

Bewijs.

RO is de hoogte van de piramide. Dat wil zeggen, rechtdoor RO loodrecht op het vlak abc, en dus rechtstreeks AO, VO, ZO En DOEN erin liggen. De driehoeken dus ROA, ROV, ROS, ROD- rechthoekig.

Overweeg een vierkant ABCD. Uit de eigenschappen van een vierkant volgt dat AO = BO = CO = DOEN.

Dan de rechthoekige driehoeken ROA, ROV, ROS, ROD been RO- algemeen en benen AO, VO, ZO En DOEN gelijk, dus deze driehoeken zijn gelijk in twee benen. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt de gelijkheid van segmenten, RA = PB = PC = PD. Punt 1 is bewezen.

Segmenten AB En Zon gelijk zijn omdat ze zijden zijn van hetzelfde vierkant, RA = RV = PC. De driehoeken dus AVR En videorecorder - gelijkbenig en gelijk aan drie zijden.

Op dezelfde manier krijgen we dat de driehoeken ABP, BCP, CDP, DAP zijn gelijkbenig en gelijk, wat nodig was om te bewijzen in punt 2.

Het oppervlak van het manteloppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothem:

Voor het bewijs kiezen we een regelmatige driehoekige piramide.

Gegeven: RAVS is een regelmatige driehoekige piramide.

AB = BC = AC.

RO- hoogte.

Bewijzen: . Zie afb. 5.

Rijst. 5

Bewijs.

RAVS is een regelmatige driehoekige piramide. Dat is AB= AC = BC. Laten OVER- het middelpunt van de driehoek abc, Dan RO is de hoogte van de piramide. De basis van de piramide is een gelijkzijdige driehoek. abc. Let erop dat .

driehoeken RAV, RVS, RSA- gelijke gelijkbenige driehoeken (per eigenschap). Een driehoekige piramide heeft drie zijvlakken: RAV, RVS, RSA. Het gebied van het manteloppervlak van de piramide is dus:

S-zijde = 3S RAB

De stelling is bewezen.

De straal van een cirkel ingeschreven in de basis van een regelmatige vierhoekige piramide is 3 m, de hoogte van de piramide is 4 m. Zoek het gebied van het manteloppervlak van de piramide.

Gegeven: regelmatige vierhoekige piramide ABCD,

ABCD- vierkant,

R= 3 meter,

RO- de hoogte van de piramide,

RO= 4 meter.

Vinden: S-kant. Zie afb. 6.

Rijst. 6

Oplossing.

Volgens de bewezen stelling, .

Zoek eerst de zijkant van de basis AB. We weten dat de straal van een ingeschreven cirkel in de basis van een regelmatige vierhoekige piramide 3 m is.

Dan, m.

Zoek de omtrek van het vierkant ABCD met een zijde van 6 m:

Overweeg een driehoek BCD. Laten M- middenzijde gelijkstroom. Omdat OVER- midden BD, Dat (M).

Driehoek DPC- gelijkbenig. M- midden gelijkstroom. Dat is, RM- de mediaan, en dus de hoogte in de driehoek DPC. Dan RM- apothem van de piramide.

RO is de hoogte van de piramide. Dan, rechtdoor RO loodrecht op het vlak abc, en vandaar de directe OM erin liggen. Laten we een apothema vinden RM uit een rechthoekige driehoek rom.

Nu kunnen we het zijoppervlak van de piramide vinden:

Antwoord: 60 m2.

De straal van een omgeschreven cirkel nabij de basis van een regelmatige driehoekige piramide is m. Het laterale oppervlak is 18 m 2. Zoek de lengte van de apothema.

Gegeven: ABCP- regelmatige driehoekige piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-zijde = 18 m 2.

Vinden: . Zie afb. 7.

Rijst. 7

Oplossing.

In een rechthoekige driehoek abc gegeven de straal van de omgeschreven cirkel. Laten we een kant zoeken AB deze driehoek met behulp van de sinusstelling.

Als we de zijde van een regelmatige driehoek (m) kennen, vinden we de omtrek.

Volgens de stelling over het gebied van het manteloppervlak van een regelmatige piramide, waar h een- apothem van de piramide. Dan:

Antwoord: 4 meter.

Dus we onderzochten wat een piramide is, wat een gewone piramide is, we bewezen de stelling op het manteloppervlak van een gewone piramide. In de volgende les maken we kennis met de afgeknotte piramide.

Bibliografie

1. Geometrie. Graad 10-11: leerboek voor studenten onderwijsinstellingen(basis- en profielniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e druk, ds. en aanvullend - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ziek.
2. Geometrie. Graad 10-11: leerboek voor algemeen onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin IF - M.: Trap, 1999. - 208 p.: ziek.
3. Geometrie. Graad 10: leerboek voor algemene onderwijsinstellingen met verdieping en profielstudie wiskunde / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 008. - 233 p.: ziek.

1. Internetportaal "Yaklass" ()
2. Internetportaal "Festival van pedagogische ideeën "1 september" ()
3. Internetportaal "Slideshare.net" ()

Huiswerk

1. Kan een regelmatige veelhoek de basis zijn van een onregelmatige piramide?
2. Bewijs dat niet-snijdende randen van een regelmatige piramide loodrecht staan.
3. Zoek de waarde van de dihedrale hoek aan de zijkant van de basis van een regelmatige vierhoekige piramide, als de apothem van de piramide gelijk is aan de zijkant van de basis.
4. RAVS is een regelmatige driehoekige piramide. Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoek aan de basis van de piramide.