Een van de gebieden van de wiskunde waar leerlingen het meest mee worstelen is trigonometrie. Het is niet verrassend: om dit kennisgebied vrijelijk onder de knie te krijgen, heb je ruimtelijk denken nodig, het vermogen om sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen te vinden met behulp van formules, uitdrukkingen te vereenvoudigen en het getal pi te kunnen gebruiken in berekeningen. Bovendien moet je trigonometrie kunnen gebruiken bij het bewijzen van stellingen, en dit vereist een ontwikkeld wiskundig geheugen of het vermogen om complexe logische ketens af te leiden.
Oorsprong van trigonometrie
Kennismaken met deze wetenschap zou moeten beginnen met de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek, maar eerst moet je begrijpen wat trigonometrie in het algemeen doet.
Historisch gezien waren rechthoekige driehoeken het belangrijkste studieobject in deze tak van de wiskundige wetenschap. De aanwezigheid van een hoek van 90 graden maakt het mogelijk om verschillende bewerkingen uit te voeren waarmee je de waarden van alle parameters van de figuur in kwestie kunt bepalen met behulp van twee zijden en één hoek of twee hoeken en één zijde. In het verleden merkten mensen dit patroon op en begonnen het actief te gebruiken bij de constructie van gebouwen, navigatie, astronomie en zelfs in de kunst.
Eerste fase
Aanvankelijk spraken mensen over de relatie tussen hoeken en zijden uitsluitend aan de hand van het voorbeeld van rechthoekige driehoeken. Toen werden er speciale formules ontdekt die het mogelijk maakten de grenzen van het gebruik te verleggen Alledaagse leven deze tak van de wiskunde.
De studie van trigonometrie op school begint vandaag met rechthoekige driehoeken, waarna studenten de opgedane kennis in de natuurkunde gebruiken en abstracte problemen oplossen. goniometrische vergelijkingen, werk waarmee begint op de middelbare school.
Sferische trigonometrie
Later, toen de wetenschap naar buiten kwam volgende niveau Ontwikkeling begonnen formules met sinus, cosinus, raaklijn en cotangens te worden gebruikt in de sferische meetkunde, waar verschillende regels van toepassing zijn en de som van de hoeken in een driehoek altijd meer dan 180 graden is. Dit gedeelte wordt niet op school bestudeerd, maar het is noodzakelijk om van het bestaan ervan op de hoogte te zijn, tenminste omdat het aardoppervlak, en het oppervlak van elke andere planeet, convex is, wat betekent dat elke oppervlaktemarkering “boogvormig” zal zijn. driedimensionale ruimte.
Neem de wereldbol en de draad. Bevestig de draad aan twee willekeurige punten op de wereldbol, zodat deze strak staat. Let op: het heeft de vorm van een boog aangenomen. Sferische geometrie houdt zich bezig met dergelijke vormen, die worden gebruikt in de geodesie, astronomie en andere theoretische en toegepaste velden.
Rechte driehoek
Nadat we iets hebben geleerd over de manieren om trigonometrie te gebruiken, gaan we terug naar de basistrigonometrie om beter te begrijpen wat sinus, cosinus en tangens zijn, welke berekeningen met hun hulp kunnen worden uitgevoerd en welke formules we moeten gebruiken.
De eerste stap is het begrijpen van de concepten die verband houden met een rechthoekige driehoek. Ten eerste is de hypotenusa de zijde tegenover de hoek van 90 graden. Het is de langste. We herinneren ons dat volgens de stelling van Pythagoras de numerieke waarde ervan gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de andere twee zijden.
Als de twee zijden bijvoorbeeld respectievelijk 3 en 4 centimeter zijn, is de lengte van de hypotenusa 5 centimeter. Trouwens, de oude Egyptenaren wisten hiervan ongeveer vier en een half duizend jaar geleden.
De twee overige zijden, die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd. Bovendien moeten we niet vergeten dat de som van de hoeken in een driehoek in een rechthoekig coördinatensysteem gelijk is aan 180 graden.
Definitie
Ten slotte kan men, met een goed begrip van de geometrische basis, zich wenden tot de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek.
De sinus van een hoek is de verhouding tussen het tegenoverliggende been (dat wil zeggen de zijde tegenover de gewenste hoek) en de hypotenusa. De cosinus van een hoek is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de hypotenusa.
Bedenk dat sinus noch cosinus groter dan één kunnen zijn! Waarom? Omdat de hypotenusa standaard het langst is. Hoe lang het been ook is, het zal korter zijn dan de hypotenusa, wat betekent dat hun verhouding altijd kleiner zal zijn dan één. Als u dus in uw antwoord op een probleem een sinus of cosinus krijgt met een waarde groter dan 1, zoek dan naar een fout in de berekeningen of redenering. Dit antwoord is duidelijk onjuist.
Ten slotte is de raaklijn van een hoek de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde. Het delen van de sinus door de cosinus geeft hetzelfde resultaat. Kijk: volgens de formule delen we de lengte van de zijde door de hypotenusa, delen we vervolgens door de lengte van de tweede zijde en vermenigvuldigen we met de hypotenusa. We krijgen dus dezelfde relatie als in de definitie van raaklijn.
Cotangens is dienovereenkomstig de verhouding tussen de zijde grenzend aan de hoek en de tegenoverliggende zijde. We krijgen hetzelfde resultaat door één te delen door de raaklijn.
We hebben dus gekeken naar de definities van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, en we kunnen verdergaan met formules.
De eenvoudigste formules
In trigonometrie kun je niet zonder formules - hoe vind je sinus, cosinus, tangens, cotangens zonder hen? Maar dit is precies wat nodig is bij het oplossen van problemen.
De eerste formule die je moet kennen als je begint met het bestuderen van trigonometrie, zegt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van een hoek gelijk is aan één. Deze formule is een direct gevolg van de stelling van Pythagoras, maar het bespaart tijd als je de grootte van de hoek moet weten in plaats van de zijkant.
Veel studenten kunnen zich de tweede formule niet herinneren, die ook erg populair is bij het oplossen schooltaken: de som van één en het kwadraat van de raaklijn van de hoek is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus van de hoek. Kijk eens goed: dit is dezelfde verklaring als in de eerste formule, alleen werden beide zijden van de identiteit gedeeld door het kwadraat van de cosinus. Het blijkt dat een eenvoudige wiskundige bewerking de trigonometrische formule volledig onherkenbaar maakt. Onthoud: weten wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, conversieregels en verschillende basisformules De benodigde complexere formules kunt u op elk moment zelf op een vel papier afleiden.
Formules voor dubbele hoeken en optelling van argumenten
Nog twee formules die je moet leren, hebben betrekking op de waarden van sinus en cosinus voor de som en het verschil van hoeken. Ze worden weergegeven in de onderstaande figuur. Houd er rekening mee dat in het eerste geval sinus en cosinus beide keren worden vermenigvuldigd, en in het tweede geval het paarsgewijze product van sinus en cosinus wordt opgeteld.
Er zijn ook formules die verband houden met dubbele-hoekargumenten. Ze zijn volledig afgeleid van de vorige - probeer ze als training zelf te bemachtigen door de alfa-hoek te nemen gelijk aan de hoek bèta.
Merk ten slotte op dat formules met dubbele hoeken kunnen worden herschikt om de kracht van sinus, cosinus en tangens alfa te verminderen.
Stellingen
De twee belangrijkste stellingen in de basistrigonometrie zijn de sinusstelling en de cosinusstelling. Met behulp van deze stellingen kun je gemakkelijk begrijpen hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt vinden, en dus de oppervlakte van de figuur, en de grootte van elke zijde, enz.
De sinusstelling stelt dat door de lengte van elke zijde van een driehoek te delen door tegenovergestelde hoek wij krijgen hetzelfde nummer. Bovendien zal dit getal gelijk zijn aan twee stralen van de omgeschreven cirkel, dat wil zeggen de cirkel die alle punten van een bepaalde driehoek bevat.
De cosinusstelling generaliseert de stelling van Pythagoras en projecteert deze op alle driehoeken. Het blijkt dat je van de som van de vierkanten van de twee zijden hun product aftrekt, vermenigvuldigd met de dubbele cosinus van de aangrenzende hoek - de resulterende waarde zal gelijk zijn aan het kwadraat van de derde zijde. De stelling van Pythagoras blijkt dus een speciaal geval van de cosinusstelling te zijn.
Onzorgvuldige fouten
Zelfs als je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn, kun je gemakkelijk een fout maken vanwege verstrooidheid of een fout in de eenvoudigste berekeningen. Laten we, om dergelijke fouten te voorkomen, eens kijken naar de meest populaire.
Ten eerste moet u breuken niet omzetten in decimalen totdat u het eindresultaat heeft; u kunt het antwoord laten staan als gemeenschappelijke fractie, tenzij anders vermeld in de voorwaarden. Een dergelijke transformatie kan geen vergissing worden genoemd, maar er moet aan worden herinnerd dat in elke fase van het probleem nieuwe wortels kunnen verschijnen, die volgens het idee van de auteur moeten worden verminderd. In dit geval verspilt u uw tijd aan onnodige wiskundige bewerkingen. Dit geldt vooral voor waarden als de wortel van drie of de wortel van twee, omdat deze bij elke stap in problemen voorkomen. Hetzelfde geldt voor het afronden van ‘lelijke’ getallen.
Merk verder op dat de cosinusstelling van toepassing is op elke driehoek, maar niet op de stelling van Pythagoras! Als u per ongeluk vergeet tweemaal het product van de zijden af te trekken, vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek ertussen, krijgt u niet alleen een volledig verkeerd resultaat, maar geeft u ook blijk van een volledig gebrek aan begrip van het onderwerp. Dit is erger dan een onzorgvuldige fout.
Ten derde: verwar de waarden voor hoeken van 30 en 60 graden niet voor sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen. Onthoud deze waarden, omdat de sinus van 30 graden gelijk is aan de cosinus van 60, en omgekeerd. Het is gemakkelijk om ze te verwarren, waardoor je onvermijdelijk een foutief resultaat krijgt.
Sollicitatie
Veel studenten hebben geen haast om trigonometrie te gaan studeren, omdat ze de praktische betekenis ervan niet begrijpen. Wat is sinus, cosinus, tangens voor een ingenieur of astronoom? Dit zijn concepten waarmee je de afstand tot verre sterren kunt berekenen, de val van een meteoriet kunt voorspellen of een onderzoekssonde naar een andere planeet kunt sturen. Zonder hen is het onmogelijk om een gebouw te bouwen, een auto te ontwerpen, de belasting op een oppervlak of het traject van een object te berekenen. En dit zijn nog maar de meest voor de hand liggende voorbeelden! Trigonometrie in een of andere vorm wordt immers overal gebruikt, van muziek tot medicijnen.
Eindelijk
Dus je bent sinus, cosinus, tangens. Je kunt ze gebruiken bij berekeningen en schoolproblemen met succes oplossen.
Het hele punt van trigonometrie komt neer op het feit dat je met behulp van de bekende parameters van een driehoek de onbekenden moet berekenen. Er zijn in totaal zes parameters: de lengte van drie zijden en de grootte van drie hoeken. Het enige verschil in de taken ligt in het feit dat er verschillende invoergegevens worden opgegeven.
Je weet nu hoe je sinus, cosinus, tangens kunt vinden op basis van de bekende lengtes van de benen of hypotenusa. Omdat deze termen niets meer betekenen dan een verhouding, en een verhouding een breuk is, is het belangrijkste doel van een trigonometrieprobleem het vinden van de wortels van een gewone vergelijking of een stelsel van vergelijkingen. En hier zal de reguliere schoolwiskunde je helpen.
De concepten sinus, cosinus, raaklijn en cotangens zijn de belangrijkste categorieën van trigonometrie, een tak van de wiskunde, en zijn onlosmakelijk verbonden met de definitie van hoek. Het beheersen van deze wiskundige wetenschap vereist het onthouden en begrijpen van formules en stellingen, evenals ontwikkeld ruimtelijk denken. Dit is de reden waarom trigonometrische berekeningen vaak problemen veroorzaken voor schoolkinderen en studenten. Om ze te overwinnen, moet u meer vertrouwd raken met goniometrische functies en formules.
Begrippen in trigonometrie
Begrijpen basisconcepten trigonometrie, moet u eerst beslissen wat een rechthoekige driehoek en een hoek in een cirkel zijn, en waarom alle fundamentele trigonometrische berekeningen daaraan zijn gekoppeld. Een driehoek waarvan één van de hoeken 90 graden meet, is rechthoekig. Historisch gezien werd dit cijfer vaak gebruikt door mensen in de architectuur, navigatie, kunst en astronomie. Dienovereenkomstig, door de eigenschappen van deze figuur te bestuderen en te analyseren, kwamen mensen ertoe de overeenkomstige verhoudingen van de parameters te berekenen.
De belangrijkste categorieën die verband houden met rechthoekige driehoeken zijn de hypotenusa en de benen. Hypotenusa - de zijde van een tegenoverliggende driehoek juiste hoek. De poten zijn respectievelijk de overige twee zijden. De som van de hoeken van elke driehoek is altijd 180 graden.
Sferische trigonometrie is een onderdeel van trigonometrie dat niet op school wordt bestudeerd, maar in toegepaste wetenschappen zoals astronomie en geodesie gebruiken wetenschappers het. De eigenaardigheid van een driehoek in sferische trigonometrie is dat deze altijd een som van hoeken groter dan 180 graden heeft.
Hoeken van een driehoek
IN rechthoekige driehoek De sinus van een hoek is de verhouding van het been tegenover de gewenste hoek tot de hypotenusa van de driehoek. Dienovereenkomstig is cosinus de verhouding tussen het aangrenzende been en de hypotenusa. Beide waarden hebben altijd een grootte kleiner dan één, omdat de hypotenusa altijd langer is dan het been.
De tangens van een hoek is een waarde die gelijk is aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde van de gewenste hoek, of sinus tot cosinus. Cotangens is op zijn beurt de verhouding tussen de aangrenzende zijde van de gewenste hoek en de tegenoverliggende zijde. De cotangens van een hoek kan ook worden verkregen door één te delen door de tangenswaarde.
Eenheidscirkel
Een eenheidscirkel in de meetkunde is een cirkel waarvan de straal gelijk is aan één. Zo'n cirkel wordt geconstrueerd in een cartesiaans coördinatensysteem, waarbij het middelpunt van de cirkel samenvalt met het oorsprongspunt, en de beginpositie van de straalvector wordt bepaald langs de positieve richting van de X-as (abscissa-as). Elk punt op de cirkel heeft twee coördinaten: XX en YY, dat wil zeggen de coördinaten van de abscis en de ordinaat. Door een willekeurig punt op de cirkel in het XX-vlak te selecteren en daarvandaan een loodlijn naar de abscis-as te laten vallen, verkrijgen we een rechthoekige driehoek gevormd door de straal naar het geselecteerde punt (aangegeven met de letter C), de loodlijn getrokken op de X-as (het snijpunt wordt aangegeven met de letter G), en het segment de abscis-as tussen de oorsprong (het punt wordt aangegeven met de letter A) en het snijpunt G. De resulterende driehoek ACG is een rechthoekige driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij AG de hypotenusa is, en AC en GC de benen zijn. De hoek tussen de straal van de cirkel AC en het segment van de abscis-as met de aanduiding AG wordt gedefinieerd als α (alfa). Dus cos α = AG/AC. Gezien het feit dat AC de straal is van de eenheidscirkel, en deze gelijk is aan één, blijkt dat cos α=AG. Op dezelfde manier is zonde α=CG.
Als u deze gegevens kent, kunt u bovendien de coördinaat van punt C op de cirkel bepalen, aangezien cos α=AG, en sin α=CG, wat betekent dat punt C de gegeven coördinaten heeft (cos α;sin α). Wetende dat de raaklijn gelijk is aan de verhouding van sinus tot cosinus, kunnen we bepalen dat tan α = y/x, en cot α = x/y. Door hoeken in een negatief coördinatensysteem te beschouwen, kun je berekenen dat de sinus- en cosinuswaarden van sommige hoeken negatief kunnen zijn.
Berekeningen en basisformules
Trigonometrische functiewaarden
Na de essentie te hebben overwogen trigonometrische functies via de eenheidscirkel kunnen we voor sommige hoeken de waarden van deze functies afleiden. De waarden staan in de onderstaande tabel.
De eenvoudigste trigonometrische identiteiten
Vergelijkingen waarin er een onbekende waarde staat onder het teken van de goniometrische functie worden trigonometrisch genoemd. Identiteiten met de waarde sin x = α, k - elk geheel getal:
- zonde x = 0, x = πk.
- 2. zonde x = 1, x = π/2 + 2πk.
- zonde x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- zonde x = a, |a| > 1, geen oplossingen.
- zonde x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * boogsin α + πk.
Identiteiten met de waarde cos x = a, waarbij k een geheel getal is:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, geen oplossingen.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.
Identiteiten met de waarde tg x = a, waarbij k een geheel getal is:
- bruin x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identiteiten met de waarde ctg x = a, waarbij k een geheel getal is:
- kinderbed x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Reductieformules
Deze categorie constante formules duidt methoden aan waarmee u van trigonometrische functies van de vorm naar functies van een argument kunt gaan, dat wil zeggen: de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek van welke waarde dan ook reduceren tot de overeenkomstige indicatoren van de hoek van het interval van 0 tot 90 graden voor meer rekengemak.
Formules voor het reduceren van functies voor de sinus van een hoek zien er als volgt uit:
- zonde(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- zonde(1800 - α) = zonde α;
- zonde(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- zonde(3600 + α) = zonde α.
Voor cosinus van hoek:
- cos(900 - α) = zonde α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = zonde α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Het gebruik van bovenstaande formules is mogelijk met inachtneming van twee regels. Ten eerste, als de hoek kan worden weergegeven als een waarde (π/2 ± a) of (3π/2 ± a), verandert de waarde van de functie:
- van zonde naar cos;
- van cos naar zonde;
- van tg naar ctg;
- van ctg naar tg.
De waarde van de functie blijft ongewijzigd als de hoek kan worden weergegeven als (π ± a) of (2π ± a).
Ten tweede verandert het teken van de verminderde functie niet: als het aanvankelijk positief was, blijft het zo. Hetzelfde met negatieve functies.
Formules voor optelling
Deze formules drukken de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens uit van de som en het verschil van twee rotatiehoeken via hun trigonometrische functies. Typisch worden de hoeken aangegeven als α en β.
De formules zien er als volgt uit:
- sin(α ± β) = zonde α * cos β ± cos α * zonde.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * zonde.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Deze formules zijn geldig voor alle hoeken α en β.
Dubbele en drievoudige hoekformules
De trigonometrische formules met dubbele en drievoudige hoek zijn formules die de functies van respectievelijk de hoeken 2α en 3α relateren aan de trigonometrische functies van hoek α. Afgeleid van optelformules:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Overgang van som naar product
Gezien het feit dat 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vereenvoudigen we deze formule en verkrijgen we de identiteit sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Op dezelfde manier sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Overgang van product naar som
Deze formules volgen uit de identiteiten van de overgang van een som naar een product:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formules voor graadreductie
In deze identiteiten kunnen de vierkante en kubieke machten van sinus en cosinus worden uitgedrukt in termen van de sinus en cosinus van de eerste macht van een meervoudige hoek:
- zonde^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- zonde^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universele vervanging
Formules voor universele trigonometrische vervanging drukken trigonometrische functies uit in termen van de raaklijn van een halve hoek.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), met x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), waarbij x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), waarbij x = π + 2πn;
- kinderbed x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), met x = π + 2πn.
Speciale gevallen
Speciale gevallen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen worden hieronder gegeven (k is een geheel getal).
Quotiënten voor sinus:
| Zonde x waarde | x-waarde |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk of 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk of -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk of 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk of -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk of 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk of -2π/3 + 2πk |
Quotiënten voor cosinus:
| cos x-waarde | x-waarde |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Quotiënten voor raaklijn:
| tg x-waarde | x-waarde |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Quotiënten voor cotangens:
| ctg x-waarde | x-waarde |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Stellingen
Stelling van sinussen
Er zijn twee versies van de stelling: eenvoudig en uitgebreid. Eenvoudige sinusstelling: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In dit geval zijn a, b, c de zijden van de driehoek en zijn α, β, γ respectievelijk de tegenovergestelde hoeken.
Uitgebreide sinusstelling voor een willekeurige driehoek: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In deze identiteit geeft R de straal aan van de cirkel waarin de gegeven driehoek is ingeschreven.
Cosinusstelling
De identiteit wordt als volgt weergegeven: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In de formule zijn a, b, c de zijden van de driehoek, en α de hoek tegenovergesteld aan zijde a.
Tangensstelling
De formule drukt de relatie uit tussen de raaklijnen van twee hoeken en de lengte van de tegenoverliggende zijden. De zijden zijn gelabeld met a, b, c en de overeenkomstige tegenoverliggende hoeken zijn α, β, γ. Formule van de raaklijnstelling: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Cotangensstelling
Verbindt de straal van een cirkel ingeschreven in een driehoek met de lengte van de zijden. Als a, b, c de zijden van de driehoek zijn, en A, B, C respectievelijk de hoeken er tegenover, r de straal van de ingeschreven cirkel is, en p de halve omtrek van de driehoek, is het volgende identiteiten zijn geldig:
- kinderbed A/2 = (p-a)/r;
- kinderbedje B/2 = (p-b)/r;
- kinderbed C/2 = (p-c)/r.
Sollicitatie
Trigonometrie is niet alleen een theoretische wetenschap die verband houdt met wiskundige formules. De eigenschappen, stellingen en regels ervan worden in de praktijk door verschillende industrieën gebruikt. menselijke activiteit— astronomie, lucht- en zeenavigatie, muziektheorie, geodesie, scheikunde, akoestiek, optica, elektronica, architectuur, economie, werktuigbouwkunde, meetwerk, computergraphics, cartografie, oceanografie en vele anderen.
Sinus, cosinus, raaklijn en cotangens zijn de basisconcepten van trigonometrie, met behulp waarvan men de relaties tussen de hoeken en lengtes van de zijden in een driehoek wiskundig kan uitdrukken, en de vereiste grootheden kan vinden door middel van identiteiten, stellingen en regels.
We beginnen onze studie van trigonometrie met de rechthoekige driehoek. Laten we definiëren wat sinus en cosinus zijn, evenals tangens en cotangens Scherpe hoek. Dit is de basis van trigonometrie.
Laten we u daaraan herinneren juiste hoek is een hoek gelijk aan 90 graden. Met andere woorden, een halve gedraaide hoek.
Scherpe hoek- minder dan 90 graden.
Stompe hoek- groter dan 90 graden. Met betrekking tot een dergelijke hoek is “stom” geen belediging, maar een wiskundige term :-)
Laten we een rechthoekige driehoek tekenen. Een rechte hoek wordt meestal aangegeven met . Houd er rekening mee dat de zijde tegenover de hoek wordt aangegeven met dezelfde letter, alleen klein. De tegenoverliggende zijdehoek A wordt dus aangeduid met .
De hoek wordt aangegeven met de overeenkomstige Griekse letter.
Hypotenusa van een rechthoekige driehoek is de zijde tegenover de rechte hoek.
Benen- zijden die tegenover scherpe hoeken liggen.
Het been dat tegenover de hoek ligt, wordt genoemd tegenovergestelde(ten opzichte van de hoek). Het andere been, dat aan een van de zijden van de hoek ligt, wordt genoemd aangrenzend.
Sinus De scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa:
Cosinus scherpe hoek in een rechthoekige driehoek - de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa:
Raaklijn scherpe hoek in een rechthoekige driehoek - de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende:
Een andere (equivalente) definitie: de raaklijn van een scherpe hoek is de verhouding van de sinus van de hoek tot zijn cosinus:
Cotangens scherpe hoek in een rechthoekige driehoek - de verhouding van de aangrenzende zijde tot de tegenovergestelde zijde (of, wat hetzelfde is, de verhouding van cosinus tot sinus):
Let op de basisrelaties voor sinus, cosinus, tangens en cotangens hieronder. Ze zullen ons van pas komen bij het oplossen van problemen.
Laten we er een paar bewijzen.
Oké, we hebben definities gegeven en formules opgeschreven. Maar waarom hebben we nog steeds sinus, cosinus, tangens en cotangens nodig?
We weten dat de som van de hoeken van elke driehoek is gelijk aan.
Wij kennen de relatie tussen partijen rechthoekige driehoek. Dit is de stelling van Pythagoras: .
Het blijkt dat als je twee hoeken in een driehoek kent, je de derde kunt vinden. Als je de twee zijden van een rechthoekige driehoek kent, kun je de derde vinden. Dit betekent dat de hoeken hun eigen verhouding hebben, en de zijkanten hun eigen verhouding. Maar wat moet je doen als je in een rechthoekige driehoek één hoek (behalve de rechte hoek) en één zijde kent, maar je de andere zijden moet vinden?
Dit is wat mensen vroeger tegenkwamen bij het maken van kaarten van het gebied en de sterrenhemel. Het is immers niet altijd mogelijk om alle zijden van een driehoek direct te meten.
Sinus, cosinus en tangens - ze worden ook wel genoemd trigonometrische hoekfuncties- geef relaties tussen partijen En hoeken driehoek. Als u de hoek kent, kunt u al zijn trigonometrische functies vinden met behulp van speciale tabellen. En als je de sinussen, cosinussen en raaklijnen van de hoeken van een driehoek en een van zijn zijden kent, kun je de rest vinden.
We zullen ook een tabel tekenen met de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens voor “goede” hoeken van tot.
Let op de twee rode streepjes in de tabel. Bij geschikte hoekwaarden bestaan er geen raaklijn en cotangens.
Laten we eens kijken naar verschillende trigonometrieproblemen uit de FIPI-taakbank.
1. In een driehoek is de hoek , . Vinden .
Het probleem is binnen vier seconden opgelost.
Omdat de, .
2. In een driehoek is de hoek , , . Vinden .
Laten we het vinden met behulp van de stelling van Pythagoras.
Het probleem is opgelost.
Vaak zijn er bij problemen driehoeken met hoeken en of met hoeken en. Onthoud de basisverhoudingen voor hen uit het hoofd!
Voor een driehoek met hoeken en het tegenoverliggende been is de hoek gelijk aan de helft van de hypotenusa.
Een driehoek met hoeken en gelijkbenig. Daarin is de hypotenusa maal groter dan het been.
We hebben gekeken naar problemen bij het oplossen van rechthoekige driehoeken, dat wil zeggen het vinden van onbekende zijden of hoeken. Maar dat is niet alles! IN Unified State Exam-opties in de wiskunde zijn er veel problemen waarbij de sinus, cosinus, raaklijn of cotangens van de uitwendige hoek van een driehoek verschijnt. Meer hierover in het volgende artikel.
Sinus is een van de basistrigonometrische functies, waarvan het gebruik niet beperkt is tot de geometrie alleen. Tabellen voor het berekenen van goniometrische functies, zoals technische rekenmachines, zijn niet altijd bij de hand, en het berekenen van de sinus is soms nodig om verschillende problemen op te lossen. Over het algemeen zal het berekenen van de sinus helpen bij het consolideren van tekenvaardigheden en kennis van trigonometrische identiteiten.
Spelletjes met liniaal en potlood
Een eenvoudige taak: hoe vind je de sinus van een hoek getekend op papier? Om dit op te lossen heb je een gewone liniaal, een driehoek (of kompas) en een potlood nodig. De eenvoudigste manier om de sinus van een hoek te berekenen is door het verre been van een driehoek met een rechte hoek te delen door de lange zijde: de hypotenusa. Je moet dus eerst de scherpe hoek met de vorm van een rechthoekige driehoek voltooien door een lijn loodrecht op een van de stralen te tekenen op een willekeurige afstand van het hoekpunt van de hoek. We zullen een hoek van precies 90° moeten handhaven, waarvoor we een administratieve driehoek nodig hebben.
Het gebruik van een kompas is iets nauwkeuriger, maar kost meer tijd. Op een van de stralen moet je 2 punten op een bepaalde afstand markeren, een straal op het kompas instellen die ongeveer gelijk is aan de afstand tussen de punten, en op deze punten halve cirkels met middelpunten tekenen totdat de snijpunten van deze lijnen zijn verkregen. Door de snijpunten van onze cirkels met elkaar te verbinden, krijgen we een strikte loodlijn op de straal van onze hoek; het enige dat overblijft is het verlengen van de lijn totdat deze een andere straal kruist.
In de resulterende driehoek moet je een liniaal gebruiken om de zijde tegenover de hoek en de lange zijde van een van de stralen te meten. De verhouding van de eerste dimensie tot de tweede zal de gewenste waarde van de sinus van de scherpe hoek zijn.
Zoek de sinus voor een hoek groter dan 90°
Voor een stompe hoek is de taak niet veel moeilijker. We moeten een straal vanaf het hoekpunt in de tegenovergestelde richting tekenen met behulp van een liniaal om een rechte lijn te vormen met een van de stralen van de hoek waarin we geïnteresseerd zijn. De resulterende scherpe hoek moet worden behandeld zoals hierboven beschreven; de sinussen van aangrenzende hoeken die samen een omgekeerde hoek van 180° vormen, zijn gelijk.
Sinus berekenen met behulp van andere trigonometrische functies
Ook is het berekenen van de sinus mogelijk als de waarden van andere trigonometrische functies van de hoek of op zijn minst de lengtes van de zijden van de driehoek bekend zijn. Trigonometrische identiteiten zullen ons hierbij helpen. Laten we naar veelvoorkomende voorbeelden kijken.
Hoe vind je de sinus met een bekende cosinus van een hoek? De eerste trigonometrische identiteit, gebaseerd op de stelling van Pythagoras, stelt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van dezelfde hoek gelijk is aan één.
Hoe vind je de sinus met een bekende tangens van een hoek? De raaklijn wordt verkregen door de verre zijde te delen door de nabije zijde of door de sinus te delen door de cosinus. De sinus zal dus het product zijn van de cosinus en de tangens, en het kwadraat van de sinus zal het kwadraat van dit product zijn. We vervangen de gekwadrateerde cosinus door het verschil tussen eenheid en de vierkante sinus volgens de eerste trigonometrische identiteit en, door eenvoudige manipulaties, reduceren we de vergelijking tot de berekening van de vierkante sinus door de raaklijn; dienovereenkomstig, om de sinus te berekenen, zul je moet de wortel van het verkregen resultaat extraheren.
Hoe vind je de sinus met een bekende cotangens van een hoek? De waarde van de cotangens kan worden berekend door de lengte van het been dat het dichtst bij de hoek ligt te delen door de lengte van het verste been, en door de cosinus te delen door de sinus, dat wil zeggen dat de cotangens een functie is die omgekeerd is aan de relatieve raaklijn. naar het getal 1. Om de sinus te berekenen, kunt u de raaklijn berekenen met behulp van de formule tg α = 1 / ctg α en de formule in de tweede optie gebruiken. Je kunt ook een directe formule afleiden naar analogie van de raaklijn, die er als volgt uit zal zien.
Hoe de sinus van drie zijden van een driehoek te vinden
Er is een formule om de lengte van de onbekende zijde van elke driehoek, niet alleen een rechthoekige, uit twee te vinden bekende partijen met behulp van de trigonometrische functie van de cosinus van de tegenovergestelde hoek. Ze ziet er zo uit.
Sinus scherpe hoek α van een rechthoekige driehoek is de verhouding tegenovergestelde been tot hypotenusa.
Het wordt als volgt aangegeven: sin α.
Cosinus De scherpe hoek α van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen het aangrenzende been en de hypotenusa.
Het wordt als volgt aangeduid: cos α.
Raaklijn scherpe hoek α is de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde.
Het wordt als volgt aangeduid: tg α.
Cotangens scherpe hoek α is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de tegenoverliggende zijde.
Het wordt als volgt aangeduid: ctg α.
De sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een hoek zijn alleen afhankelijk van de grootte van de hoek.
Reglement:
Basis trigonometrische identiteiten in een rechthoekige driehoek:
(α – scherpe hoek tegenover het been B en grenzend aan het been A . Kant Met – hypotenusa. β – tweede scherpe hoek).
B | zonde 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
B | 1 | |
A | 1 1 | |
zonde α |
Naarmate de scherpe hoek groter wordtzonde α entan α toename, encos α neemt af.
Voor elke scherpe hoek α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Voorbeeld-uitleg:
Teken een rechthoekige driehoek ABC
AB = 6,
BC = 3,
hoek A = 30º.
Laten we de sinus van hoek A en de cosinus van hoek B bepalen.
Oplossing .
1) Eerst vinden we de waarde van hoek B. Alles is hier eenvoudig: aangezien in een rechthoekige driehoek de som van de scherpe hoeken 90º is, dan is hoek B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Laten we zonde A berekenen. We weten dat de sinus gelijk is aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa. Voor hoek A is de tegenoverliggende zijde zijde BC. Dus:
BC 3 1
zonde A = -- = - = -
AB6 2
3) Laten we nu cos B berekenen. We weten dat de cosinus gelijk is aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Voor hoek B is het aangrenzende been dezelfde zijde BC. Dit betekent dat we BC opnieuw moeten delen door AB - dat wil zeggen, dezelfde acties moeten uitvoeren als bij het berekenen van de sinus van hoek A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB6 2
Het resultaat is:
zonde A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Hieruit volgt dat in een rechthoekige driehoek de sinus van een scherpe hoek gelijk is aan de cosinus van een andere scherpe hoek - en omgekeerd. Dit is precies wat onze twee formules betekenen:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Laten we hier nog eens voor zorgen:
1) Stel α = 60º. Als we de waarde van α in de sinusformule vervangen, krijgen we:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Stel α = 30º. Als we de waarde van α in de cosinusformule vervangen, krijgen we:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Zie de sectie Algebra voor meer informatie over trigonometrie)