Studenten vragen altijd: “Waarom kan ik geen rekenmachine gebruiken bij het wiskunde-examen? Hoe de vierkantswortel van een getal te extraheren zonder rekenmachine? Laten we proberen deze vraag te beantwoorden.
Hoe kun je de vierkantswortel van een getal extraheren zonder de hulp van een rekenmachine?
Actie vierkantswortel omgekeerd aan de actie van kwadrateren.
√81= 9 9 2 =81
Indien van positief nummer Neem de vierkantswortel en het kwadraat van het resultaat, we krijgen hetzelfde getal.
Van kleine getallen die perfecte vierkanten zijn natuurlijke cijfers Zo kunnen bijvoorbeeld 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 vierkantswortels oraal worden geëxtraheerd. Meestal leren ze op school een tabel met kwadraten van natuurlijke getallen tot twintig. Als u deze tabel kent, is het gemakkelijk om vierkantswortels te extraheren uit de getallen 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Uit getallen groter dan 400 kunt u ze extraheren met behulp van de selectiemethode met behulp van enkele tips. Laten we proberen deze methode met een voorbeeld te bekijken.
Voorbeeld: Pak de wortel van het getal 676 uit.
We merken dat 20 2 = 400, en 30 2 = 900, wat 20 betekent< √676 < 900.
Exacte kwadraten van natuurlijke getallen eindigen op 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Het getal 6 wordt gegeven door 4 2 en 6 2.
Dit betekent dat als de wortel uit 676 wordt gehaald, deze 24 of 26 is.
Het blijft om te controleren: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Antwoord: √676 = 26 .
Meer voorbeeld: √6889 .
Omdat 80 2 = 6400 en 90 2 = 8100, dan 80< √6889 < 90.
Het getal 9 wordt gegeven door 3 2 en 7 2, waarna √6889 gelijk is aan 83 of 87.
Laten we eens kijken: 83 2 = 6889.
Antwoord: √6889 = 83 .
Als u het moeilijk vindt om dit op te lossen met behulp van de selectiemethode, kunt u de radicale uitdrukking factoriseren.
Bijvoorbeeld, zoek √893025.
Laten we het getal 893025 in factoren tellen. Onthoud dat je dit in de zesde klas deed.
We krijgen: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Meer voorbeeld: √20736. Laten we het getal 20736 ontbinden in factoren:
We krijgen √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Natuurlijk vereist factorisatie kennis van deelbaarheidstekens en vaardigheden op het gebied van factorisatie.
En tenslotte is dat zo regel voor het extraheren van vierkantswortels. Laten we kennis maken met deze regel met voorbeelden.
Bereken √279841.
Om de wortel van een meercijferig geheel getal te bepalen, verdelen we het van rechts naar links in vlakken met twee cijfers (de meest linkse rand kan één cijfer bevatten). We schrijven het zo: 27’98’41
Om het eerste cijfer van de wortel (5) te krijgen, extraheren we Vierkantswortel vanaf het grootste exacte vierkant in het eerste linkervlak (27).
Vervolgens wordt het kwadraat van het eerste cijfer van de wortel (25) afgetrokken van het eerste vlak en wordt het volgende vlak (98) opgeteld bij het verschil (afgetrokken).
Schrijf links van het resulterende getal 298 het dubbele cijfer van de wortel (10), deel daarmee het getal van alle tientallen van het eerder verkregen getal (29/2 ≈ 2), test het quotiënt (102 ∙ 2 = 204 mag niet meer zijn dan 298) en schrijf (2) na het eerste cijfer van de wortel.
Vervolgens wordt het resulterende quotiënt 204 afgetrokken van 298 en wordt de volgende rand (41) opgeteld bij het verschil (94).
Schrijf links van het resulterende getal 9441 het dubbele product van de cijfers van de wortel (52 ∙2 = 104), deel het getal van alle tientallen van het getal 9441 (944/104 ≈ 9) door dit product, test de quotiënt (1049 ∙9 = 9441) moet 9441 zijn en noteer dit (9) na het tweede cijfer van de wortel.
We kregen het antwoord √279841 = 529.
Op dezelfde manier extraheren wortels van decimale breuken. Alleen het radicale getal moet in vlakken worden verdeeld, zodat de komma tussen de vlakken staat.
Voorbeeld. Zoek de waarde √0,00956484.
Je hoeft alleen maar te onthouden dat als decimale een oneven aantal decimalen heeft, kan de vierkantswortel er niet precies uit worden afgeleid.
Dus nu heb je drie manieren gezien om de wortel te extraheren. Kies degene die het beste bij u past en oefen. Om problemen te leren oplossen, moet je ze oplossen. En als je vragen hebt, meld je dan aan voor mijn lessen.
website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.
De cirkel liet zien hoe je vierkantswortels in een kolom kunt extraheren. Je kunt de wortel met willekeurige precisie berekenen en een willekeurig aantal cijfers in de decimale notatie vinden, zelfs als dit irrationeel blijkt te zijn. Het algoritme werd onthouden, maar er bleven vragen bestaan. Het was niet duidelijk waar de methode vandaan kwam en waarom deze het juiste resultaat opleverde. Het stond niet in de boeken, of misschien keek ik gewoon in de verkeerde boeken. Uiteindelijk heb ik het, zoals veel van wat ik vandaag weet en kan doen, zelf bedacht. Ik deel hier mijn kennis. Trouwens, ik weet nog steeds niet waar de grondgedachte voor het algoritme wordt gegeven)))
Dus eerst vertel ik je “hoe het systeem werkt” met een voorbeeld, en daarna leg ik uit waarom het eigenlijk werkt.
Laten we een getal nemen (het getal kwam “uit de lucht gevallen”, het kwam gewoon in me op).
1. We verdelen de getallen in paren: die links van de komma zijn twee gegroepeerd van rechts naar links, en die aan de rechterkant zijn twee gegroepeerd van links naar rechts. We krijgen.
2. We extraheren de vierkantswortel uit de eerste groep getallen aan de linkerkant - in ons geval is dit het geval (het is duidelijk dat de exacte wortel mogelijk niet wordt geëxtraheerd, we nemen een getal waarvan het kwadraat zo dicht mogelijk bij ons getal ligt dat wordt gevormd door de eerste groep getallen, maar overschrijdt deze niet). In ons geval zal dit een getal zijn. We schrijven het antwoord op - dit is het belangrijkste cijfer van de wortel.
3. We kwadrateren het getal dat al in het antwoord staat - dit - en trekken het af van de eerste groep getallen aan de linkerkant - van het getal. In ons geval blijft het.
4. Aan de rechterkant wijzen we de volgende groep van twee cijfers toe: . We vermenigvuldigen het getal dat al in het antwoord staat met , en we krijgen .
5. Let nu goed op. We moeten één cijfer toewijzen aan het getal aan de rechterkant en het getal vermenigvuldigen met, dat wil zeggen, met hetzelfde toegewezen cijfer. Het resultaat moet zo dicht mogelijk bij, maar ook niet meer dan dit getal liggen. In ons geval is dit het nummer, we schrijven het in het antwoord ernaast, aan de rechterkant. Dit is het volgende cijfer in de decimale notatie van onze vierkantswortel.
6. Als we het product aftrekken, krijgen we .
7. Vervolgens herhalen we de bekende bewerkingen: we wijzen de volgende groep cijfers aan de rechterkant toe, vermenigvuldigen met , aan het resulterende getal > we wijzen één cijfer aan de rechterkant toe, zodat we, wanneer we ermee vermenigvuldigen, een getal krijgen dat kleiner is dan , maar het dichtst in de buurt komt ernaar toe - dit is het volgende cijfer in de decimale wortelnotatie.
De berekeningen worden als volgt geschreven:
En nu de beloofde uitleg. Het algoritme is gebaseerd op de formule
Opmerkingen: 50
2 Anton:
Te chaotisch en verwarrend. Zet alles punt voor punt op een rij en nummer ze. Plus: leg uit waar we in elke actie vervangen vereiste waarden. Ik heb nog nooit een wortel berekend; ik vond het moeilijk om het uit te zoeken.
5 Julia:
6 :
Julia, 23 jaar oud dit moment rechts geschreven, dit zijn de eerste twee (aan de linkerkant) reeds verkregen cijfers van de wortel in het antwoord. Vermenigvuldig met 2 volgens het algoritme. We herhalen de stappen beschreven in punt 4.
7 zzz:
fout in “6. Van 167 trekken we het product 43 * 3 = 123 af (129 nada), we krijgen 38.”
Ik begrijp niet hoe het 08 achter de komma bleek te zijn...9 Fedotov Alexander:
En zelfs in het pre-rekenmachinetijdperk leerden we op school niet alleen de vierkantswortel, maar ook de derdemachtswortel in een kolom, maar dit was vervelender en nauwgezeter werk. Het was gemakkelijker om Bradis-tabellen of een rekenliniaal te gebruiken, die we al op de middelbare school bestudeerden.
10 :
Alexander, je hebt gelijk, je kunt wortels van grote machten in een kolom extraheren. Ik ga schrijven over hoe je de derdemachtswortel kunt vinden.
12 Sergei Valentinovitsj:
Beste Elizaveta Alexandrovna! Eind jaren zeventig ontwikkelde ik een schema voor automatische (d.w.z. niet door selectie) berekening van quadra. root op de Felix-optelmachine. Als u geïnteresseerd bent, kan ik u een beschrijving sturen.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((De vierkantswortel uit de kolom extraheren)))
Het algoritme wordt vereenvoudigd als je het 2e getalsysteem gebruikt, dat wordt bestudeerd in de informatica, maar ook nuttig is in de wiskunde. EEN. Kolmogorov presenteerde dit algoritme in populaire lezingen voor schoolkinderen. Zijn artikel is te vinden in de “Chebyshev Collection” (Mathematical Journal, zoek een link ernaar op internet)
Zeg trouwens:
G. Leibniz speelde ooit met het idee om over te stappen van het 10e getallensysteem naar het binaire systeem vanwege de eenvoud en toegankelijkheid voor beginners (basisschoolkinderen). Maar het doorbreken van gevestigde tradities is als het breken van een vestingpoort met je voorhoofd: het is mogelijk, maar het heeft geen zin. Het blijkt dus, zoals volgens de meest geciteerde bebaarde filosoof van weleer: de tradities van alle dode generaties onderdrukken het bewustzijn van de levenden.Tot de volgende keer.
15 Vlad uit Engelsstadt:
))Sergej Valentinovitsj, ja, ik ben geïnteresseerd...((
Ik wed dat dit een variatie is op de “Felix” van de Babylonische methode om de vierkante ridder te extraheren met behulp van de methode van opeenvolgende benaderingen. Dit algoritme viel onder de methode van Newton (raaklijnmethode)
Ik vraag me af of ik het mis had met mijn voorspelling?
18 :
2Vlad uit Engelsstadt
Ja, het binaire algoritme zou eenvoudiger moeten zijn, dat is vrij duidelijk.
Over de methode van Newton. Misschien is dat waar, maar het is nog steeds interessant
20 Kirill:
Hartelijk bedankt. Maar er is nog steeds geen algoritme, niemand weet waar het vandaan komt, maar het resultaat is correct. HARTELIJK BEDANKT! Ik ben hier al lang naar op zoek)
21 Alexander:
Hoe haal je de wortel uit een getal waarvan de tweede groep van links naar rechts erg klein is? Het favoriete nummer van iedereen is bijvoorbeeld 4.398.046.511.104. Na de eerste aftrekking is het niet mogelijk om alles volgens het algoritme voort te zetten. Kunt u het alstublieft uitleggen?
22 Alexey:
Ja, ik ken deze methode. Ik herinner me dat ik het las in het boek ‘Algebra’ van een oude editie. Vervolgens leidde hij naar analogie zelf af hoe hij de derdemachtswortel uit een kolom moest extraheren. Maar daar is het al ingewikkelder: elk cijfer wordt niet bepaald door één (zoals bij een vierkant), maar door twee aftrekkingen, en zelfs daar moet je elke keer lange getallen vermenigvuldigen.
23 Artem:
Er zijn typefouten in het voorbeeld van het extraheren van de vierkantswortel van 56789.321. De groep getallen 32 wordt tweemaal toegekend aan de getallen 145 en 243, in het getal 2388025 moet de tweede 8 worden vervangen door 3. Vervolgens moet de laatste aftrekking als volgt worden geschreven: 2431000 – 2383025 = 47975.
Wanneer we de rest delen door de verdubbelde waarde van het antwoord (zonder rekening te houden met de komma), verkrijgen we bovendien een extra aantal significante cijfers (47975/(2*238305) = 0,100658819...), die moeten worden opgeteld bij het antwoord (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).24 Sergey:
Blijkbaar kwam het algoritme uit Isaac Newtons boek ‘General Arithmetic or a book on aritmetische synthese en analyse’. Hier is een fragment daaruit:
OVER HET EXTREKKEN VAN WORTELS
Om de vierkantswortel van een getal te extraheren, moet je eerst een punt boven de cijfers plaatsen, te beginnen bij de enen. Vervolgens moet u in het quotiënt of de radicaal het getal schrijven waarvan het kwadraat gelijk is aan of het dichtst in het nadeel ligt bij de getallen of het getal dat aan het eerste punt voorafgaat. Na het aftrekken van dit kwadraat worden de resterende cijfers van de wortel achtereenvolgens gevonden door de rest te delen door tweemaal de waarde van het reeds geëxtraheerde deel van de wortel en telkens van de rest van het kwadraat het laatst gevonden cijfer en zijn tienvoudige product af te trekken door de genoemde deler.
25 Sergej:
Corrigeer ook de titel van het boek “Algemene rekenkunde of een boek over rekenkundige synthese en analyse”
26 Alexander:
bedankt voor interessant materiaal. Maar deze methode lijkt mij iets ingewikkelder dan wat bijvoorbeeld nodig is voor een schoolkind. Ik gebruik een eenvoudigere methode gebaseerd op ontbinding kwadratische functie met behulp van de eerste twee afgeleiden. De formule is:
sqrt(x)= A1+A2-A3, waarbij
A1 is het gehele getal waarvan het kwadraat het dichtst bij x ligt;
A2 is een breuk, de teller is x-A1, de noemer is 2*A1.
Voor de meeste nummers gevonden in schoolcursus, is dit voldoende om het resultaat tot op de honderdste nauwkeurig te krijgen.
Als u een nauwkeuriger resultaat nodig heeft, neem dan
A3 is een breuk, de teller is A2 in het kwadraat, de noemer is 2*A1+1.
Om het te gebruiken heb je natuurlijk een tabel met kwadraten van gehele getallen nodig, maar op school is dit geen probleem. Het onthouden van deze formule is vrij eenvoudig.
Het verwart me echter dat ik A3 empirisch heb verkregen als resultaat van experimenten met een spreadsheet en ik begrijp niet helemaal waarom dit lid er zo uitziet. Misschien kunnen jullie mij wat advies geven?27 Alexander:
Ja, ik heb deze overwegingen ook overwogen, maar de duivel zit in de details. Jij schrijft:
“aangezien a2 en b vrij weinig verschillen.” De vraag is hoe weinig precies.
Deze formule werkt goed voor getallen in de tweede tien en veel slechter (niet tot honderdsten, alleen tot tienden) voor getallen in de eerste tien. Waarom dit gebeurt is moeilijk te begrijpen zonder het gebruik van derivaten.28 Alexander:
Ik zal verduidelijken wat ik zie als het voordeel van de formule die ik voorstel. Het vereist niet de niet geheel natuurlijke verdeling van getallen in cijfersparen, wat, zoals de ervaring leert, vaak met fouten wordt uitgevoerd. De betekenis ervan ligt voor de hand, maar voor iemand die bekend is met analyse is het triviaal. Werkt goed met getallen van 100 tot 1000, de meest voorkomende getallen op school.
29 Alexander:
Trouwens, ik heb wat gegraven en vond de exacte uitdrukking voor A3 in mijn formule:
A3= A22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
In onze tijd, met het wijdverbreide gebruik van computertechnologie, is de kwestie van het extraheren van de vierkante ridder uit een getal vanuit praktisch oogpunt niet de moeite waard. Maar voor wiskundeliefhebbers zijn ze ongetwijfeld interessant verschillende opties oplossingen voor dit probleem. IN schoolcurriculum de methode van deze berekening zonder de betrokkenheid van extra fondsen moet op dezelfde manier plaatsvinden als vermenigvuldigen en delen in een kolom. Het berekeningsalgoritme moet niet alleen worden onthouden, maar ook begrijpelijk zijn. De klassieke methode waarin is voorzien dit materiaal voor discussie met openbaarmaking van de essentie, voldoet volledig aan bovenstaande criteria.
Een belangrijk nadeel van de door Alexander voorgestelde methode is het gebruik van een tabel met kwadraten van gehele getallen. De auteur zwijgt over de meeste cijfers die je tijdens de schoolcursus tegenkomt. Wat de formule betreft, deze spreekt mij over het algemeen aan hoge nauwkeurigheid berekeningen.31 Alexander:
voor 30 vasil stryzhak
Ik heb niets stil gehouden. De tabel met vierkanten zou maximaal 1000 moeten zijn. In mijn tijd op school leerden ze het gewoon uit het hoofd en het stond in alle wiskundeboeken. Ik heb dit interval expliciet genoemd.
Wat computertechnologie betreft, deze wordt niet voornamelijk gebruikt in wiskundelessen, tenzij het onderwerp van het gebruik van een rekenmachine specifiek wordt besproken. Rekenmachines zijn nu ingebouwd in apparaten die niet mogen worden gebruikt bij het Unified State Exam.32 vasil stryzhak:
Alexander, bedankt voor de verduidelijking! Ik dacht dat het voor de voorgestelde methode theoretisch noodzakelijk is om een tabel met kwadraten van alle tweecijferige getallen te onthouden of te gebruiken. Vervolgens kun je voor radicale getallen die niet in het interval van 100 tot 10.000 vallen, gebruiken de techniek om ze te vergroten of te verkleinen benodigde hoeveelheid opdrachten voor komma-overdracht.
33 vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
MIJN EERSTE PROGRAMMA IN IAMB-TAAL OP DE SOVJET-MACHINE “ISKRA 555″ WERD GESCHREVEN OM DE VIERKANTE WORTEL VAN EEN GETAL TE EXTRAHEREN MET BEHULP VAN HET KOLOMEXTRACTIE-ALGORITME! en nu ben ik vergeten hoe ik het handmatig moet uitpakken!
De wortel eruit halen groot nummer. Lieve vrienden!In dit artikel laten we zien hoe je de wortel van een groot getal kunt extraheren zonder rekenmachine. Dit is niet alleen nodig voor het oplossen van bepaalde soorten Unified State Exam-problemen (er zijn er enkele waarbij beweging betrokken is), maar ook voor algemene wiskundige ontwikkeling is het raadzaam om deze analytische techniek te kennen.
Het lijkt erop dat alles eenvoudig is: factoreer het in factoren en extraheer het. Geen probleem. Het getal 291600 zal bijvoorbeeld, wanneer het wordt ontleed, het product opleveren:
Wij berekenen:
Er is één MAAR! De methode is goed als de delers 2, 3, 4, enzovoort gemakkelijk kunnen worden bepaald. Wat moeten we doen als het getal waaruit we de wortel extraheren een product is priemgetallen? 152881 is bijvoorbeeld het product van de getallen 17, 17, 23, 23. Probeer deze delers meteen te vinden.
De essentie van de methode die we overwegen- Dit is pure analyse. Met ontwikkelde vaardigheden kan de wortel snel worden gevonden. Als de vaardigheid niet is geoefend, maar de aanpak eenvoudig wordt begrepen, dan is deze iets langzamer, maar nog steeds vastberaden.
Laten we de wortel van 190969 nemen.
Laten we eerst bepalen tussen welke getallen (veelvouden van honderd) ons resultaat ligt.
Uiteraard is het resultaat van de wortel van gegeven nummer ligt in het bereik van 400 tot 500, omdat
400 2 =160000 en 500 2 =250000
Echt:
in het midden, dichter bij 160.000 of 250.000?
Het getal 190969 ligt ongeveer in het midden, maar nog steeds dichter bij 160000. We kunnen concluderen dat het resultaat van onze wortel minder dan 450 zal zijn. Laten we eens kijken:
Het zijn er inderdaad minder dan 450, sinds 190.969< 202 500.
Laten we nu het nummer 440 controleren:
Dit betekent dat ons resultaat sindsdien minder dan 440 is 190 969 < 193 600.
Nummer 430 controleren:
Wij vonden dat het resultaat wortel gegeven ligt in het bereik van 430 tot 440.
Het product van getallen met 1 of 9 aan het einde geeft een getal met 1 aan het einde. 21 bij 21 is bijvoorbeeld gelijk aan 441.
Het product van getallen met 2 of 8 aan het einde geeft een getal met 4 aan het einde. 18 bij 18 is bijvoorbeeld gelijk aan 324.
Het product van getallen met een 5 aan het einde geeft een getal met een 5 aan het einde. 25 bij 25 is bijvoorbeeld gelijk aan 625.
Het product van getallen met 4 of 6 aan het einde geeft een getal met 6 aan het einde. 26 bij 26 is bijvoorbeeld gelijk aan 676.
Het product van getallen met 3 of 7 aan het einde geeft een getal met 9 aan het einde. 17 bij 17 is bijvoorbeeld gelijk aan 289.
Omdat het getal 190969 eindigt met het getal 9, is het het product van het getal 433 of 437.
*Alleen zij kunnen, in het kwadraat, aan het eind een 9 geven.
Wij controleren:
Dit betekent dat het resultaat van de wortel 437 zal zijn.
Dat wil zeggen: we lijken het juiste antwoord te hebben ‘gevonden’.
Zoals u kunt zien, is het maximale dat nodig is het uitvoeren van 5 acties in een kolom. Misschien raak je meteen de juiste snaar, of neem je slechts drie stappen. Het hangt allemaal af van hoe nauwkeurig u uw eerste schatting van het aantal maakt.
Pak zelf de wortel van 148996 uit
Een dergelijke discriminant wordt verkregen in het probleem:
Het motorschip legt 336 km af langs de rivier naar zijn bestemming en keert na een tussenstop terug naar het vertrekpunt. Vind de snelheid van het schip in stilstaand water als de huidige snelheid 5 km/u is, het verblijf 10 uur duurt en het schip 48 uur na vertrek terugkeert naar het vertrekpunt. Geef uw antwoord in km/u.
Bekijk oplossing
Het resultaat van de wortel ligt tussen de getallen 300 en 400:
300 2 =90000 400 2 =160000
Inderdaad, 90.000<148996<160000.
De essentie van verdere redenering komt neer op het bepalen hoe het getal 148996 zich bevindt (op afstand) ten opzichte van deze getallen.
Laten we de verschillen berekenen 148996 - 90000=58996 en 160000 - 148996=11004.
Het blijkt dat 148996 dichtbij (veel dichter) bij 160000 ligt. Daarom zal het resultaat van de wortel zeker groter zijn dan 350 en zelfs 360.
We kunnen concluderen dat ons resultaat groter is dan 370. Verder is het duidelijk: aangezien 148996 eindigt met het getal 6, betekent dit dat we een getal moeten kwadrateren dat eindigt op 4 of 6. *Alleen deze getallen geven, wanneer ze worden gekwadrateerd, einde 6 .
Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.
P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.
Studenten vragen altijd: “Waarom kan ik geen rekenmachine gebruiken bij het wiskunde-examen? Hoe de vierkantswortel van een getal te extraheren zonder rekenmachine? Laten we proberen deze vraag te beantwoorden.
Hoe kun je de vierkantswortel van een getal extraheren zonder de hulp van een rekenmachine?
Actie vierkantswortel omgekeerd aan de actie van kwadrateren.
√81= 9 9 2 =81
Als je de wortel neemt van een positief getal en het resultaat kwadrateert, krijg je hetzelfde getal.
Uit kleine getallen die exacte kwadraten zijn van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kunnen vierkantswortels oraal worden geëxtraheerd. Meestal leren ze op school een tabel met kwadraten van natuurlijke getallen tot twintig. Als u deze tabel kent, is het gemakkelijk om vierkantswortels te extraheren uit de getallen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Uit getallen groter dan 400 kunt u ze extraheren met behulp van de selectiemethode met behulp van enkele tips. Laten we proberen deze methode met een voorbeeld te bekijken.
Voorbeeld: Pak de wortel van het getal 676 uit.
We merken dat 20 2 = 400, en 30 2 = 900, wat 20 betekent< √676 < 900.
Exacte kwadraten van natuurlijke getallen eindigen op 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Het getal 6 wordt gegeven door 4 2 en 6 2.
Dit betekent dat als de wortel uit 676 wordt gehaald, deze 24 of 26 is.
Het blijft om te controleren: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Antwoord: √676 = 26 .
Meer voorbeeld: √6889 .
Omdat 80 2 = 6400 en 90 2 = 8100, dan 80< √6889 < 90.
Het getal 9 wordt gegeven door 3 2 en 7 2, waarna √6889 gelijk is aan 83 of 87.
Laten we eens kijken: 83 2 = 6889.
Antwoord: √6889 = 83 .
Als u het moeilijk vindt om dit op te lossen met behulp van de selectiemethode, kunt u de radicale uitdrukking factoriseren.
Bijvoorbeeld, zoek √893025.
Laten we het getal 893025 in factoren tellen. Onthoud dat je dit in de zesde klas deed.
We krijgen: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Meer voorbeeld: √20736. Laten we het getal 20736 ontbinden in factoren:
We krijgen √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Natuurlijk vereist factorisatie kennis van deelbaarheidstekens en vaardigheden op het gebied van factorisatie.
En tenslotte is dat zo regel voor het extraheren van vierkantswortels. Laten we kennis maken met deze regel met voorbeelden.
Bereken √279841.
Om de wortel van een meercijferig geheel getal te bepalen, verdelen we het van rechts naar links in vlakken met twee cijfers (de meest linkse rand kan één cijfer bevatten). We schrijven het zo: 27’98’41
Om het eerste cijfer van de wortel (5) te verkrijgen, nemen we de vierkantswortel van het grootste perfecte vierkant in het eerste vlak aan de linkerkant (27).
Vervolgens wordt het kwadraat van het eerste cijfer van de wortel (25) afgetrokken van het eerste vlak en wordt het volgende vlak (98) opgeteld bij het verschil (afgetrokken).
Schrijf links van het resulterende getal 298 het dubbele cijfer van de wortel (10), deel daarmee het getal van alle tientallen van het eerder verkregen getal (29/2 ≈ 2), test het quotiënt (102 ∙ 2 = 204 mag niet meer zijn dan 298) en schrijf (2) na het eerste cijfer van de wortel.
Vervolgens wordt het resulterende quotiënt 204 afgetrokken van 298 en wordt de volgende rand (41) opgeteld bij het verschil (94).
Schrijf links van het resulterende getal 9441 het dubbele product van de cijfers van de wortel (52 ∙2 = 104), deel het getal van alle tientallen van het getal 9441 (944/104 ≈ 9) door dit product, test de quotiënt (1049 ∙9 = 9441) moet 9441 zijn en noteer dit (9) na het tweede cijfer van de wortel.
We kregen het antwoord √279841 = 529.
Op dezelfde manier extraheren wortels van decimale breuken. Alleen het radicale getal moet in vlakken worden verdeeld, zodat de komma tussen de vlakken staat.
Voorbeeld. Zoek de waarde √0,00956484.
Houd er rekening mee dat als een decimale breuk een oneven aantal decimalen heeft, de wortel er niet uit kan worden gehaald.
Dus nu heb je drie manieren gezien om de wortel te extraheren. Kies degene die het beste bij u past en oefen. Om problemen te leren oplossen, moet je ze oplossen. En als u vragen heeft, .
blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.
In het voorwoord van zijn eerste editie, “In the Kingdom of Ingenuity” (1908), schrijft E. I. Ignatiev: “... intellectueel initiatief, snelle humor en “vindingrijkheid” kunnen niet in iemands hoofd worden “geboord” of “gestoken”. De resultaten zijn alleen betrouwbaar als de introductie in het vakgebied van de wiskundige kennis op een gemakkelijke en prettige manier wordt gedaan, met behulp van voorwerpen en voorbeelden uit gewone en alledaagse situaties, geselecteerd met de juiste humor en amusement.”
In het voorwoord bij de uitgave uit 1911 “De rol van het geheugen in de wiskunde” E.I. Ignatiev schrijft: “… in de wiskunde zijn het niet de formules die onthouden moeten worden, maar het denkproces.”
Om de vierkantswortel te extraheren, zijn er tabellen met kwadraten voor getallen van twee cijfers; je kunt het getal in priemfactoren ontbinden en de vierkantswortel van het product extraheren. Soms is een tabel met kwadraten niet genoeg; het extraheren van de wortel door ontbinden in factoren is een tijdrovende klus, die bovendien niet altijd tot het gewenste resultaat leidt. Probeer de wortel van 209764 te nemen? Als we rekening houden met priemfactoren, komt het product 2*2*52441 uit. Met vallen en opstaan, selectie - dit kan natuurlijk worden gedaan als u zeker weet dat dit een geheel getal is. Met de methode die ik wil voorstellen kun je in ieder geval de wortel trekken.
Er was eens op het instituut (Perm State Pedagogical Institute) kennis gemaakt met deze methode, waar ik het nu over wil hebben. Ik heb me nooit afgevraagd of deze methode een bewijs had, dus nu moest ik zelf een deel van het bewijs afleiden.
De basis van deze methode is de samenstelling van het getal =.
=&, d.w.z. & 2 =596334.
1. Verdeel het getal (5963364) in paren van rechts naar links (5`96`33`64)
2. Extraheer de vierkantswortel van de eerste groep aan de linkerkant ( - nummer 2). Zo krijgen we het eerste cijfer van &.
3. Zoek het kwadraat van het eerste cijfer (2 2 =4).
4. Zoek het verschil tussen de eerste groep en het kwadraat van het eerste cijfer (5-4=1).
5. We noteren de volgende twee cijfers (we krijgen het getal 196).
6. Verdubbel het eerste cijfer dat we hebben gevonden en schrijf het links achter de regel (2*2=4).
7. Nu moeten we het tweede cijfer van het getal vinden &: het dubbele van het eerste cijfer dat we hebben gevonden, wordt het tientallencijfer van het getal, dat, vermenigvuldigd met het aantal eenheden, je een getal moet krijgen dat kleiner is dan 196 (dit is het getal 4, 44*4=176). 4 is het tweede cijfer van &.
8. Zoek het verschil (196-176=20).
9. We slopen de volgende groep (we krijgen het nummer 2033).
10. Verdubbel het getal 24, we krijgen 48.
Er zitten 11,48 tientallen in een getal. Vermenigvuldigd met het aantal eenheden zouden we een getal moeten krijgen dat kleiner is dan 2033 (484*4=1936). Het cijfer dat we hebben gevonden (4) is het derde cijfer van het getal &.
Ik heb het bewijs geleverd voor de volgende gevallen:
1. Het extraheren van de vierkantswortel van een driecijferig getal;
2. De wortel uit een viercijferig getal extraheren.
Geschatte methoden voor het extraheren van vierkantswortels (zonder gebruik van een rekenmachine).
1. De oude Babyloniërs gebruikten de volgende methode om de geschatte waarde van de vierkantswortel van hun getal x te vinden. Ze stelden het getal x voor als de som a 2 + b, waarbij a 2 het exacte kwadraat is van het natuurlijke getal a (a 2 ? x) dat het dichtst bij het getal x ligt, en gebruikten de formule 
. (1)
Met behulp van formule (1) extraheren we de vierkantswortel bijvoorbeeld uit het getal 28:
Het resultaat van het extraheren van de wortel van 28 met MK is 5,2915026.
Zoals je kunt zien, geeft de Babylonische methode een goede benadering van de exacte waarde van de wortel.
2. Isaac Newton ontwikkelde een methode voor het nemen van vierkantswortels die teruggaat tot Heron van Alexandrië (circa 100 n.Chr.). Deze methode (bekend als de methode van Newton) is als volgt.
Laten een 1- de eerste benadering van een getal (als 1 kun je de waarden nemen van de vierkantswortel van een natuurlijk getal - een exact kwadraat dat niet groter is dan X) .
Vervolgens een nauwkeurigere benadering een 2 cijfers
gevonden door de formule 
.