Constructie van een regelmatige zeshoek ingeschreven in een cirkel. De constructie van een zeshoek is gebaseerd op het feit dat de zijde gelijk is aan de straal van de omgeschreven cirkel. Om het te construeren, volstaat het daarom om de cirkel in zes gelijke delen te verdelen en de gevonden punten met elkaar te verbinden (Fig. 60, a).

Een regelmatige zeshoek kan worden gebouwd met behulp van een richtliniaal en een vierkant van 30X60°. Om deze constructie uit te voeren, nemen we de horizontale diameter van de cirkel als de bissectrice van de hoeken 1 en 4 (Fig. 60, b), construeren we de zijden 1 -6, 4-3, 4-5 en 7-2, waarna we tekenen zijden 5-6 en 3-2.

Een gelijkzijdige driehoek construeren, ingeschreven in een cirkel. De hoekpunten van zo'n driehoek kunnen worden geconstrueerd met behulp van een kompas en een vierkant met hoeken van 30 en 60° of met slechts één kompas.

Laten we twee manieren bekijken om een ​​gelijkzijdige driehoek te construeren die in een cirkel is ingeschreven.

Eerste manier(Fig. 61,a) is gebaseerd op het feit dat alle drie de hoeken van de driehoek 7, 2, 3 60° bevatten, en de verticale lijn getrokken door punt 7 is zowel de hoogte als de bissectrice van hoek 1. Aangezien de hoek is 0-1-2 is gelijk aan 30°, en zoek dan de zijde

1-2 is het voldoende om een ​​hoek van 30° te construeren vanaf punt 1 en zijde 0-1. Om dit te doen, installeert u de dwarsbalk en het vierkant zoals weergegeven in de afbeelding, teken lijn 1-2, die een van de zijden van de gewenste driehoek zal zijn. Om zijde 2-3 te construeren, plaatst u de dwarsbalk in de positie die wordt weergegeven door de stippellijnen en trekt u een rechte lijn door punt 2, dat het derde hoekpunt van de driehoek zal bepalen.

Tweede manier is gebaseerd op het feit dat als je een regelmatige zeshoek bouwt die in een cirkel is ingeschreven en vervolgens de hoekpunten door één cirkel verbindt, je een gelijkzijdige driehoek krijgt.

Om een ​​driehoek te construeren (Fig. 61, b), markeert u het hoekpunt 1 op de diameter en tekent u een diametrale lijn 1-4. Vervolgens beschrijven we vanaf punt 4 met een straal gelijk aan D/2 een boog totdat deze de cirkel snijdt op de punten 3 en 2. De resulterende punten zijn de andere twee hoekpunten van de gewenste driehoek.

Een vierkant construeren dat in een cirkel is ingeschreven. Deze constructie kan worden gedaan met behulp van een vierkant en een kompas.

De eerste methode is gebaseerd op het feit dat de diagonalen van het vierkant elkaar snijden in het midden van de omgeschreven cirkel en onder een hoek van 45° ten opzichte van de assen hellen. Op basis hiervan installeren we de dwarsbalk en het vierkant met hoeken van 45°, zoals weergegeven in Afb. 62, a, en markeer de punten 1 en 3. Vervolgens tekenen we door deze punten de horizontale zijden van het vierkant 4-1 en 3-2 met behulp van een dwarsbalk. Vervolgens tekenen we met behulp van een richtliniaal de verticale zijden van het vierkant 1-2 en 4-3 langs de poot van het vierkant.

De tweede methode is gebaseerd op het feit dat de hoekpunten van het vierkant de bogen van de cirkel doorsnijden die zijn ingesloten tussen de uiteinden van de diameter (Fig. 62, b). We markeren de punten A, B en C aan de uiteinden van twee onderling loodrechte diameters en van daaruit met een straal y beschrijven we bogen totdat ze elkaar snijden.

Vervolgens tekenen we door de snijpunten van de bogen rechte hulplijnen, gemarkeerd in de figuur met ononderbroken lijnen. De punten van hun snijpunt met de cirkel bepalen de hoekpunten 1 en 3; 4 en 2. We verbinden de hoekpunten van het op deze manier verkregen gewenste vierkant in serie met elkaar.

Constructie van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in een cirkel.

Om een ​​regelmatige vijfhoek in een cirkel te passen (Fig. 63), maken we de volgende constructies.

We markeren punt 1 op de cirkel en beschouwen het als een van de hoekpunten van de vijfhoek. We verdelen het segment AO in tweeën. Om dit te doen, beschrijven we een boog vanaf punt A met straal AO totdat deze de cirkel snijdt in de punten M en B. Door deze punten met een rechte lijn te verbinden, krijgen we punt K, dat we vervolgens verbinden met punt 1. een straal gelijk aan het segment A7, we beschrijven een boog vanaf punt K totdat deze de diametrale lijn AO ​​in punt H snijdt. Door punt 1 te verbinden met punt H, krijgen we de zijkant van de vijfhoek. Vervolgens vinden we, met behulp van een kompasoplossing gelijk aan segment 1H, die een boog beschrijft van hoekpunt 1 naar het snijpunt met de cirkel, hoekpunten 2 en 5. Nadat we met dezelfde kompasoplossing inkepingen hebben gemaakt van hoekpunten 2 en 5, verkrijgen we de resterende hoekpunten 3 en 4. We verbinden de gevonden punten opeenvolgend met elkaar.

Construeer een regelmatige vijfhoek langs een bepaalde zijde.

Om een ​​regelmatige vijfhoek langs een bepaalde zijde te construeren (Fig. 64), verdelen we het segment AB in zes gelijke delen. Vanuit de punten A en B met straal AB beschrijven we bogen, waarvan het snijpunt punt K oplevert. Door dit punt en verdeling 3 op lijn AB trekken we een verticale lijn.

We krijgen punt 1-hoekpunt van de vijfhoek. Vervolgens beschrijven we, met een straal gelijk aan AB, vanaf punt 1 een boog totdat deze de bogen snijdt die eerder zijn getekend vanuit de punten A en B. De snijpunten van de bogen bepalen de vijfhoekige hoekpunten 2 en 5. We verbinden de gevonden hoekpunten in serie met elkaar.

Constructie van een regelmatige zevenhoek ingeschreven in een cirkel.

Laat een cirkel met diameter D gegeven worden; je moet er een gewone zevenhoek in plaatsen (Fig. 65). Verdeel de verticale diameter van de cirkel in zeven gelijke delen. Vanaf punt 7 met een straal gelijk aan de diameter van cirkel D beschrijven we een boog totdat deze de voortzetting van de horizontale diameter in punt F snijdt. We noemen punt F de pool van de veelhoek. Door punt VII als een van de hoekpunten van de zevenhoek te nemen, trekken we stralen van pool F door gelijke delen van de verticale diameter, waarvan het snijpunt met de cirkel de hoekpunten VI, V en IV van de zevenhoek zal bepalen. Om hoekpunten / - // - /// te verkrijgen van de punten IV, V en VI, tekent u horizontale lijnen totdat ze de cirkel snijden. We verbinden de gevonden hoekpunten opeenvolgend met elkaar. Een zevenhoek kan worden geconstrueerd door stralen van de F-pool te trekken en door oneven verdelingen van de verticale diameter.

De bovenstaande methode is geschikt voor het construeren van regelmatige veelhoeken met een willekeurig aantal zijden.

De verdeling van een cirkel in een willekeurig aantal gelijke delen kan ook worden gedaan met behulp van de gegevens in de tabel. 2, die coëfficiënten verschaft die het mogelijk maken de afmetingen van de zijden van regelmatig ingeschreven veelhoeken te bepalen.

Bij het tekenen is het vaak nodig om positieve polygonen te construeren. Dus laten we zeggen positief achthoeken gebruikt op verkeersborden.

Je zal nodig hebben

• – kompas
• - liniaal
• - potlood

Instructies

1. Laat een segment gegeven worden dat gelijk is aan de lengte van de zijde van de gewenste achthoek. Je moet een correcte achthoek bouwen. De eerste stap is het construeren van een gelijkbenige driehoek op een bepaald segment, waarbij het segment als basis wordt gebruikt. Om dit te doen, bouwt u eerst een vierkant met een zijde gelijk aan het segment, teken er diagonalen in. Construeer nu de deellijnen van de hoeken op de diagonalen (de deellijnen zijn in de figuur blauw aangegeven); op het snijpunt van de deellijnen wordt het hoekpunt van een gelijkbenige driehoek gevormd, waarvan de zijden gelijk zijn aan de straal van de cirkel begrensd rond de regelmatige achthoek.

2. Construeer een cirkel met het middelpunt op het hoekpunt van de driehoek. De straal van de cirkel is gelijk aan de zijde van de driehoek. Verplaats nu het kompas naar een afstand gelijk aan de grootte van het gegeven segment. Teken deze afstand op de cirkel, beginnend bij elk uiteinde van het segment. Combineer alle resulterende punten in een achthoek.

3. Als er een cirkel wordt gegeven waarin de achthoek moet worden ingeschreven, wordt de constructie nog eenvoudiger. Construeer twee middellijnen die loodrecht op elkaar staan ​​en door het middelpunt van de cirkel gaan. Op het snijpunt van de axiale lijnen en de cirkel worden de vier hoekpunten van de toekomstige achthoek verkregen. Het blijft nodig om de afstand tussen deze punten op de boog van de cirkel doormidden te verdelen om nog vier hoekpunten te krijgen.

Loyaal driehoek– een waarbij alle zijden even lang zijn. Op basis van deze definitie wordt de constructie van een vergelijkbare variëteit uitgevoerd driehoek maar is geen moeilijke opgave.

Je zal nodig hebben

• Liniaal, vel gelinieerd papier, potlood

Instructies

1. Neem een ​​vel schoon papier, bekleed in een vierkant, een liniaal en markeer drie punten op het papier zodat ze zich op dezelfde afstand van elkaar bevinden (Fig. 1)

2. Combineer met behulp van een liniaal stap voor stap de punten die op het vel zijn gemarkeerd, één voor één, zoals weergegeven in figuur 2.

Opmerking!
In een regelmatige (gelijkzijdige) driehoek zijn alle hoeken gelijk aan 60 graden.

Behulpzaam advies
Een gelijkzijdige driehoek is ook een gelijkbenige driehoek. Als een driehoek gelijkbenig is, betekent dit dat 2 van de 3 zijden gelijk zijn en dat de derde zijde als basis wordt beschouwd. Elke positieve driehoek is gelijkbenig, terwijl de omgekeerde bewering niet waar is.

Achthoek- dit zijn in wezen twee vierkanten, die elkaar raken over 45° en aan de bovenkant verenigd zijn door een ononderbroken lijn. Om zo'n geometrische figuur positief weer te geven, moet je daarom met een hard potlood heel netjes een vierkant of een cirkel tekenen, volgens de regels, waarmee je de daaropvolgende acties kunt uitvoeren. De presentatie is gericht op een zijlengte van 20 cm, wat betekent dat je er bij het rangschikken van de tekening rekening mee moet houden dat de verticale en horizontale lijnen van 20 cm lang op een vel papier passen.

Je zal nodig hebben

• Liniaal, rechthoekige driehoek, gradenboog, potlood, kompas, vel papier

Instructies

1. Methode 1. Teken onderaan een horizontale lijn van 20 cm lang en markeer vervolgens aan één kant een rechte hoek met een gradenboog, namelijk 90°. Hetzelfde kan worden gedaan met behulp van een rechthoekige driehoek. Teken een verticale lijn en veeg 20 cm, doe dezelfde manipulaties aan de andere kant. Verbind de twee resulterende punten met een horizontale lijn. Het resultaat was een geometrische figuur - een vierkant.

2. Om het tweede (offset) vierkant te construeren, heb je het midden van de figuur nodig. Om dit te doen, verdeelt u elke zijde van het vierkant in 2 delen. Verbind eerst 2 punten van de parallelle boven- en onderkant, en vervolgens de punten van de zijkanten. Trek 2 rechte lijnen door het midden van het vierkant, loodrecht op elkaar. Meet vanuit het midden een lengte van 10 cm op de nieuwe rechte lijnen, wat resulteert in 4 rechte lijnen. Combineer de 4 resulterende buitenste punten met elkaar, wat resulteert in het 2e vierkant. Combineer nu elk punt uit de 8 verkregen hoeken met elkaar. Hierdoor ontstaat een achthoek.

3. Methode 2. Hiervoor heb je een kompas, een liniaal en een gradenboog nodig. Teken vanuit het midden van het vel met behulp van een kompas een cirkel met een diameter van 20 cm (straal 10 cm). Trek een rechte lijn door het middelpunt. Teken hierna een tweede lijn loodrecht daarop. Hetzelfde kan worden gedaan met behulp van een gradenboog of een rechthoekige driehoek. Als gevolg hiervan wordt de cirkel in 4 gelijke delen verdeeld. Verdeel vervolgens elk van de secties in nog 2 delen. Om dit te doen, kunt u ook een gradenboog van 45° gebruiken of een rechthoekige driehoek, die in een scherpe hoek van 45° wordt geplaatst, en de stralen tekenen. Meet op elke rechte lijn 10 cm vanaf het midden, dan krijg je 8 "stralen", die je met elkaar gaat combineren. Het resultaat zal een achthoek zijn.

4. Methode 3. Teken hiervoor ook een cirkel en trek een lijn door het midden. Neem hierna een gradenboog, plaats deze in het midden en meet de hoeken, rekening houdend met het feit dat elk deel van de achthoek een hoek van 45° in het midden heeft. Meet hierna een lengte van 10 cm op de resulterende stralen en combineer ze met elkaar. Achthoek klaar.

Behulpzaam advies
Maak een tekening met een hard potlood, waarvan de zijlijnen vervolgens gemakkelijk kunnen worden verwijderd

Een regelmatige achthoek is een geometrische figuur waarin elke hoek 135 graden is en alle zijden gelijk zijn aan elkaar. Dit figuur wordt vaak gebruikt in de architectuur, bijvoorbeeld bij de constructie van kolommen, maar ook bij de vervaardiging van STOP-verkeersborden. Hoe teken je een positieve achthoek?

Je zal nodig hebben

• – albumblad;
• - potlood;
• - liniaal;
• – kompas;
• – gum.

Instructies

1. Teken eerst een vierkant. Teken hierna een cirkel zodat het vierkant zich binnen de cirkel bevindt. Teken nu twee axiale middellijnen van het vierkant - horizontaal en verticaal totdat ze de cirkel snijden. Gebruik rechte segmenten om de snijpunten van de assen met de cirkel en de raakpunten van de omgeschreven cirkel met het vierkant te verbinden. Zo krijg je de zijden van een regelmatige achthoek.

2. Teken een echte achthoek met een andere methode. Teken eerst een cirkel. Teken hierna een horizontale lijn door het midden. Markeer het punt waar de meest rechtse rand van de cirkel de horizontale lijn snijdt. Dit punt zal het middelpunt zijn van een andere cirkel, met een straal gelijk aan de vorige figuur.

3. Trek een verticale lijn door de snijpunten van de tweede cirkel met de eerste. Plaats de poot van het kompas op het punt waar de verticaal de horizontaal raakt en teken een kleine cirkel met een straal gelijk aan de afstand van het midden van de kleine cirkel tot het midden van de startcirkel.

4. Trek een rechte lijn door twee punten: het middelpunt van de startcirkel en het snijpunt van de verticale en de kleine cirkel. Ga door totdat deze de grens van de oorspronkelijke figuur kruist. Dit zal het hoekpunt van de achthoek zijn. Markeer met behulp van een kompas een ander punt, teken een cirkel met het middelpunt op het snijpunt van de meest rechtse rand van de oorspronkelijke cirkel met de horizontaal en een straal gelijk aan de afstand van het midden tot het bestaande hoekpunt van de achthoek.

5. Trek een rechte lijn door twee punten: het middelpunt van de eerste cirkel en het laatste nieuw gevormde punt. Vervolg de rechte lijn totdat deze de grenzen van de oorspronkelijke figuur kruist.

6. Combineer met rechte segmenten in stappen: het snijpunt van de horizontaal met de rechterrand van de oorspronkelijke figuur, en vervolgens met de klok mee alle resulterende punten, inclusief de snijpunten van de assen met de originele cirkel.

Video over het onderwerp

Kuklin Alexey

Het werk is abstract van aard met elementen van onderzoeksactiviteit. Het bespreekt verschillende manieren om regelmatige n-gonen te construeren. Het werk bevat een gedetailleerd antwoord op de vraag of het altijd mogelijk is om met behulp van een passer en een liniaal een n-hoek te construeren. Bij het werk hoort een presentatie, die op deze minisite te vinden is.

Downloaden:

Voorbeeld:

Om het voorbeeld te gebruiken, maakt u een Google-account aan en logt u hierop in: https://accounts.google.com

Voorbeeld:

https://accounts.google.com

Onderschriften van dia's:

Constructie van regelmatige veelhoeken Werk voltooid door: leerling van graad 9 “B” MBOU middelbare school nr. 10 Kuklin Alexey

Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een convexe veelhoek waarvan alle zijden en hoeken gelijk zijn. Ga naar voorbeelden Een convexe veelhoek is een veelhoek waarvan alle punten aan dezelfde kant liggen van een lijn die door twee aangrenzende hoekpunten gaat.

Terug Regelmatige veelhoeken

De grondleggers van de tak van de wiskunde over regelmatige veelhoeken waren oude Griekse wetenschappers. Eén van hen was Archimedes en Euclides.

Bewijs van het bestaan ​​van een regelmatige n-hoek Als n (het aantal hoeken van de veelhoek) groter is dan 2, dan bestaat zo'n veelhoek. Laten we proberen een 8-hoek te bouwen en het te bewijzen. Bewijs

Laten we een cirkel met een willekeurige straal nemen met het middelpunt op punt O. Verdeel deze in een bepaald aantal gelijke bogen, in ons geval 8. Om dit te doen, tekent u de stralen zodat we 8 bogen krijgen, en de hoek tussen de twee dichtstbijzijnde stralen zijn gelijk aan 360°: het aantal zijden (in ons geval 8), respectievelijk, elke hoek zal gelijk zijn aan 45°.

3. We krijgen punten A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. We verbinden ze één voor één en krijgen een regelmatige achthoek. Rug

Een regelmatige veelhoek langs een zijde construeren met behulp van rotatie Een regelmatige veelhoek kan worden geconstrueerd door de hoeken te kennen. We weten dat de som van de hoeken van een convexe n-hoek 180°(n - 2) is. Hieruit kun je de hoek van de veelhoek berekenen door de som te delen door n. Hoeken constructie

Regelmatige hoek: 3-hoek is 60° 4-hoek is 90° 5-hoek is 108° 6-hoek is 120° 8-hoek is 135° 9-hoek is 140° 10-hoek is 144° 12-hoek is 150 ° Gradenmaat voor hoeken van regelmatige driehoeken Terug

Voorbeeld:

Om presentatievoorbeelden te gebruiken, maakt u een Google-account aan en logt u daarop in: https://accounts.google.com

Onderschriften van dia's:

In 1796 toonde een van de grootste wiskundigen aller tijden, Carl Friedrich Gauss, de mogelijkheid aan om regelmatige n-hoeken te construeren als aan de gelijkheid wordt voldaan, waarbij n het aantal hoeken is en k een willekeurig natuurlijk getal. Zo bleek dat het binnen 30 mogelijk is om de cirkel in 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 gelijke delen te verdelen. In 1836 bewees Wantzel dat regelmatige veelhoeken die niet aan deze gelijkheid voldoen, niet kunnen worden geconstrueerd met behulp van een liniaal en een kompas. De stelling van Gauss

Een driehoek construeren Laten we een cirkel construeren met een middelpunt in punt O. Laten we nog een cirkel construeren met dezelfde straal die door punt O gaat.

3. Verbind de middelpunten van de cirkels en een van hun snijpunten, waardoor een regelmatige veelhoek ontstaat. Terug Een driehoek construeren

Constructie van een zeshoek 1. Construeer een cirkel met het middelpunt in punt O. 2. Trek een rechte lijn door het middelpunt van de cirkel. 3. Teken een boog van een cirkel met dezelfde straal, waarbij het middelpunt op het snijpunt van de lijn met de cirkel ligt totdat deze de cirkel snijdt.

4. Trek rechte lijnen door het middelpunt van de begincirkel en de snijpunten van de boog met deze cirkel. 5. We verbinden de snijpunten van alle lijnen met de originele cirkel en krijgen een regelmatige zeshoek. Een zeshoek construeren

Constructie van een vierhoek Laten we een cirkel construeren met het middelpunt in punt O. Laten we 2 onderling loodrechte diameters tekenen. Teken vanaf de punten waarop de diameters de cirkel raken andere cirkels met een bepaalde straal totdat ze elkaar kruisen (de cirkels).

Constructie van een vierhoek 4. Trek rechte lijnen door de snijpunten van de cirkels. 5. We verbinden de snijpunten van de lijnen en de cirkel en krijgen een regelmatige vierhoek.

Een achthoek construeren Je kunt elke regelmatige veelhoek construeren die twee keer zoveel hoeken heeft als de gegeven hoek. Laten we een achthoek bouwen met behulp van een vierhoek. Laten we de tegenovergestelde hoekpunten van de vierhoek met elkaar verbinden. Laten we de deellijnen tekenen van de hoeken gevormd door elkaar snijdende diagonalen.

4. Verbind de punten die op de cirkel liggen, waardoor een regelmatige achthoek ontstaat. Constructie van een achthoek

Voorbeeld:

Om presentatievoorbeelden te gebruiken, maakt u een Google-account aan en logt u daarop in: https://accounts.google.com

Onderschriften van dia's:

Constructie van een tienhoek Laten we een cirkel construeren met het middelpunt in punt O. Laten we 2 onderling loodrechte diameters tekenen. Verdeel de straal van de cirkel doormidden en teken vanaf het resulterende punt een cirkel die door punt O gaat.

Constructie van een tienhoek 4. Teken een segment van het middelpunt van de kleine cirkel naar het punt waar de grotere cirkel zijn straal raakt. 5. Teken vanaf het contactpunt van de grote cirkel en zijn straal een cirkel zodat deze de kleine raakt.

Constructie van een tienhoek 6. Vanaf de snijpunten van de grote en de resulterende cirkels tekenen we de cirkels die de vorige keer zijn geconstrueerd en blijven dit doen totdat de aangrenzende cirkels elkaar raken. 7. Verbind de stippen en krijg een tienhoek.

Constructie van een vijfhoek Om een ​​regelmatige vijfhoek te bouwen, moet je bij het construeren van een regelmatige tienhoek niet alle punten om de beurt met elkaar verbinden, maar via één punt.

Geschatte constructie van een regelmatige vijfhoek met behulp van de methode van Dürer. Laten we twee cirkels construeren die door elkaars middelpunt gaan. Laten we de middelpunten van een rechte lijn verbinden en een van de zijden van de vijfhoek verkrijgen. Laten we de snijpunten van de cirkels met elkaar verbinden.

Geschatte constructie van een regelmatige vijfhoek met behulp van Durer's methode 4. Laten we nog een cirkel tekenen met dezelfde straal, met het middelpunt op het snijpunt van twee andere cirkels. 5. Laten we 2 segmenten tekenen, zoals weergegeven in de afbeelding.

Geschatte constructie van een regelmatige vijfhoek met behulp van Durer's methode 6. Laten we de contactpunten van deze segmenten met cirkels verbinden met de uiteinden van de geconstrueerde zijde van de vijfhoek. 7. Laten we het ombouwen tot een vijfhoek.

Geschatte constructie van een regelmatige vijfhoek met behulp van de methoden van Kovarzyk en Bion