"Definitie van parallelle lijnen" - Zelfstandig werk. Taken. Punt. Meetkunde les. Tekenen van parallelle lijnen. De som van eenzijdige hoeken. Het verbeteren van de vaardigheden om stellingen te bewijzen. Parallelle sneden. Selecteer patronen met kruisende lijnen. Probleemoplossing. Tekeningen met evenwijdige stralen. Stelling. hoeken. Secans. Cijfer nummers. Definitie van parallelle lijnen.
"Project "Driehoek"" - Geplande leerresultaten. Materialen voor gedifferentieerd leren. Geprinte materialen. Software. Methodische taken. Waarom de eigenschappen van driehoeken bestuderen. Identificatie van de interesses en ervaring van de studenten zelf. Informatie over het project. Verzamelen en systematiseren van informatie over het onderwerp. Korte inhoud van het project. Beoordelingsschema. Welke driehoek kan als de belangrijkste worden beschouwd. Leeractiviteiten.
"Geometrie Taken Grade 7" - Hoeken. OE is een deellijn. Segment AC. AOB = 45. BOC = 23. Initiële geometrische informatie. EDK = 36. Segment FD. ABD = 100. Hoeken meten. Segment AB. OC is de deellijn. Sectie meting. ABC = 72. Segment MP. Segment KE. OD is een deellijn. AOB = 55. Verticale hoeken. Segment AD. Segment DF. aangrenzende hoeken. Segment KN.
"Driehoeksongelijkheidsproblemen" - Driehoeksongelijkheid. Diagonaal. De lengte van elke zijde van een driehoek. tegenstrijdigheid. Lijnstuk. Vierhoek. Driehoek. Gevolgen van de driehoeksongelijkheid. Punten binnen een vierhoek. In een vierhoek is elke zijde kleiner dan de som van de andere. Zijkanten van een driehoek. Geheel getal.
"Taken op voltooide tekeningen" - Bissectrice. Voorwaarden. Hoek U. Bewijs: FB ll AC. Taken op de afgewerkte tekeningen. Zoek: FM. Tekenen van parallelle lijnen. Bewijs: a ll b. Vinden. Bewijs: AB II DF. Bewijs: AC-deellijn. Zoek parallelle lijnen. Bewijs: AC II BD. Cf-bissectrice. Geef parallelle lijnen op. Vind de voorwaarden waaronder AB ll DC. Direct. Secans. Bewijs: AB II CD. Bewijs: AB II CD. Taak. Parallelle lijnen.
"Geometry "Problemen om te bouwen"" - Een hoek bouwen. Een segment in tweeën delen. Een hoek construeren die gelijk is aan een gegeven hoek. Taken bouwen. Liniaal en kompas. Bouw. Constructie van een loodrechte lijn. De gewenste lijn. Constructie van een driehoek. Constructie van de deellijn van een hoek.
Elke hoek heeft, afhankelijk van de grootte, zijn eigen naam:
| Hoek weergave | Grootte in graden | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Pittig | Minder dan 90° | |
| Direct | Gelijk aan 90°. In de tekening wordt een rechte hoek meestal aangeduid met een symbool dat van de ene kant van de hoek naar de andere kant wordt getrokken. |
 |
| Bot | Groter dan 90° maar kleiner dan 180° |  |
| ingezet | Gelijk aan 180° Een rechte hoek is gelijk aan de som van twee rechte hoeken, en een rechte hoek is de helft van de rechte hoek. |
 |
| Convex | Meer dan 180° maar minder dan 360° |  |
| Vol | Gelijk aan 360° |  |
De twee hoeken worden genoemd verwant, als ze één zijde gemeen hebben en de andere twee zijden een rechte lijn vormen:
hoeken DWEIL En pon aangrenzend sinds de balk OP- de gemeenschappelijke zijde, en de andere twee zijden - OM En OP een rechte lijn vormen.
De gemeenschappelijke zijde van aangrenzende hoeken wordt genoemd schuin naar recht, waarop de andere twee zijden liggen, alleen als de aangrenzende hoeken niet gelijk zijn aan elkaar. Als aangrenzende hoeken gelijk zijn, dan is hun gemeenschappelijke zijde dat ook loodrecht.
De som van aangrenzende hoeken is 180°.
De twee hoeken worden genoemd verticaal, als de zijden van een hoek een aanvulling vormen op de rechte lijnen van de zijden van een andere hoek:
Hoeken 1 en 3, evenals hoeken 2 en 4, zijn verticaal.
Verticale hoeken zijn gelijk.
Laten we bewijzen dat de verticale hoeken gelijk zijn:
De som van ∠1 en ∠2 is een rechte hoek. En de som van ∠3 en ∠2 is een rechte hoek. Dus deze twee sommen zijn gelijk:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
In deze gelijkheid is er links en rechts dezelfde term - ∠2. Gelijkheid wordt niet geschonden als deze term links en rechts wordt weggelaten. Dan krijgen we.
In wiskundige uitdrukkingen worden hoeken vaak aangeduid met Griekse kleine letters: α, β, γ, θ, φ, etc. In de regel worden deze aanduidingen ook toegepast op de tekening om dubbelzinnigheid bij het kiezen van het interne gebied van \u200bde hoek. Om verwarring met pi te voorkomen, wordt hiervoor meestal het symbool π niet gebruikt. De letters ω en Ω worden vaak gebruikt om vaste hoeken aan te duiden (zie hieronder).
Het is ook gebruikelijk om bijvoorbeeld een hoek weer te geven met drie puntsymbolen ∠ A B C . (\weergavestijl \hoek ABC.) In zo'n dossier B (\weergavestijl B)- top, en A (\weergavestijl A) En C (\weergavestijl C) zijn punten aan verschillende zijden van de hoek. In verband met de keuze in de wiskunde van de richting van het tellen van hoeken tegen de klok in, is het gebruikelijk om de punten die aan de zijkanten liggen in de aanduiding van de hoek ook tegen de klok in op te sommen. Deze conventie zorgt voor ondubbelzinnigheid bij het onderscheiden van twee platte hoeken met gemeenschappelijke zijden maar verschillende binnengebieden. In gevallen waarin de keuze van het binnengebied van een vlakke hoek duidelijk is uit de context of op een andere manier wordt aangegeven, kan deze conventie worden geschonden. Cm. .
De notatie van rechte lijnen die de zijkanten van een hoek vormen, wordt minder vaak gebruikt. Bijvoorbeeld, ∠ (b c) (\displaystyle \angle (bc))- hier wordt aangenomen dat we de binnenhoek van de driehoek bedoelen ∠ B A C (\displaystyle \angle BAC), α , wat moet worden aangegeven ∠ (c b) (\displaystyle \angle (cb)).
Dus, voor de figuur rechts, de ingangen γ , ∠ A C B (\weergavestijl \hoek ACB) En ∠ (b a) (\displaystyle \angle (ba)) dezelfde hoek bedoelen.
Soms worden Latijnse kleine letters gebruikt om hoeken aan te duiden ( een, b, c,...) en cijfers.
In de tekeningen zijn hoeken gemarkeerd met kleine enkele, dubbele of drievoudige schakels die langs de binnenkant van de hoek lopen, gecentreerd op de top van de hoek. De gelijkheid van hoeken kan worden gemarkeerd door dezelfde veelheid van bogen of door hetzelfde aantal dwarse slagen op de boog. Als het nodig is om de richting van de hoekaflezing aan te geven, wordt dit aangegeven met een pijl op de boeg. Rechte hoeken worden niet gemarkeerd door bogen, maar door twee verbonden gelijke segmenten die zo zijn gerangschikt dat ze samen met de zijkanten een klein vierkant vormen, waarvan een van de hoekpunten samenvalt met het hoekpunt van de hoek.
Hoek maatregel
Het meten van hoeken in graden gaat terug tot het oude Babylon, waar het sexagesimale getallenstelsel werd gebruikt, waarvan de sporen bij ons bewaard zijn gebleven in de verdeling van tijd en hoeken.
1 slag = 2π radialen = 360° = 400 graden.
In nautische terminologie worden hoeken gemeten in punten. 1 rhumb is gelijk aan 1 ⁄ 32 vanaf de volledige cirkel (360 graden) van het kompas, d.w.z. 11,25 graden of 11°15′.
In sommige contexten, zoals het identificeren van een punt in poolcoördinaten of het beschrijven van de oriëntatie van een object in twee dimensies ten opzichte van de basisoriëntatie, zijn hoeken die verschillen met een geheel aantal volledige omwentelingen effectief equivalent. In dergelijke gevallen kunnen bijvoorbeeld de hoeken 15° en 360015° (= 15° + 360°×1000) als equivalent worden beschouwd. In andere contexten, zoals het identificeren van een punt op een spiraalvormige curve, of het beschrijven van de cumulatieve rotatie van een object in twee dimensies rond zijn oorspronkelijke oriëntatie, zijn hoeken die verschillen met een niet-nul geheel aantal volledige omwentelingen niet equivalent.
Sommige platte hoeken hebben speciale namen. Naast de bovenstaande meeteenheden (radiaal, loxodroom, graad, enz.) omvatten deze:
- kwadrant (rechte hoek, 1 ⁄ 4 cirkels);
- sextant ( 1 ⁄ 6 cirkels);
- octant ( 1 ⁄ 8 cirkels; bovendien is in stereometrie een octant een drievlakshoek gevormd door drie onderling loodrechte vlakken),
Hoeken richting
De pijl geeft de richting aan van het tellen van de hoeken
Vaste hoek
Een generalisatie van een vlakke hoek naar stereometrie is een ruimtehoek - een deel van de ruimte dat de vereniging is van alle stralen die uit een bepaald punt komen ( pieken hoek) en een oppervlak kruisen (wat een oppervlak wordt genoemd, aanscherping gegeven ruimtehoek).
Ruimtehoeken worden gemeten in steradianen (een van de SI-basiseenheden), evenals in eenheden buiten het systeem - in delen van een volledige bol (dat wil zeggen een volledige ruimtehoek van 4π steradianen), in vierkante graden, vierkante minuten en vierkante seconden.
Ruimtehoeken zijn met name de volgende geometrische lichamen:
- dihedrale hoek - een deel van de ruimte begrensd door twee snijdende vlakken;
- drievlakshoek - een deel van de ruimte begrensd door drie snijdende vlakken;
- veelvlakkige hoek - een deel van de ruimte dat wordt begrensd door verschillende vlakken die elkaar op één punt kruisen.
Een tweevlakshoek kan worden gekenmerkt door zowel een lineaire hoek (de hoek tussen de vlakken die de hoek vormen) als een ruimtehoek (elk punt erop kan als hoekpunt worden gekozen). rand- de directe kruising van zijn gezichten). Als de lineaire hoek van een tweevlakshoek (in radialen) φ is, dan is de ruimtehoek (in steraden) 2φ.
Hoek tussen bochten
Zowel in de planimetrie als in de vaste geometrie, evenals in een aantal andere geometrieën, is het mogelijk om de hoek tussen vloeiende krommen op het snijpunt te bepalen: per definitie is de waarde ervan gelijk aan de hoek tussen de raaklijnen aan de krommen op het snijpunt kruispunt.
Hoek en puntproduct
Het concept van een hoek kan worden gedefinieerd voor lineaire ruimten van willekeurige aard (en willekeurig, inclusief oneindige dimensie), waarop een positief bepaald scalair product axiomatisch wordt geïntroduceerd (x , y) (\weergavestijl (x,y)) tussen twee ruimte-elementen x (\weergavestijl x) En j. (\weergavestijl y.) Het scalaire product stelt ons ook in staat om de zogenaamde norm (lengte) van een element te definiëren als de vierkantswortel van het product van het element en zichzelf | | x | | = (x , x) . (\displaystyle ||x||=(\sqrt ((x,x))).) Uit de axioma's van het scalaire product volgt de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) voor het scalaire product: | (x, y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | j | | , (\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,) waaruit volgt dat de waarde waarden aanneemt van -1 tot 1, en de extreme waarden worden bereikt als en alleen als de elementen evenredig (collineair) aan elkaar zijn (geometrisch gesproken vallen hun richtingen samen of zijn tegengesteld). Hierdoor kunnen we de relatie interpreteren (x, y) | | x | | ⋅ | | j | | (\displaystyle (\frac ((x,y))(||x||\cdot ||y||))) als de cosinus van de hoek tussen de elementen x (\weergavestijl x) En j. (\weergavestijl y.) In het bijzonder wordt gezegd dat elementen orthogonaal zijn als het puntproduct (of cosinus van een hoek) nul is.
In het bijzonder kan men het concept van de hoek tussen continu op een bepaald interval introduceren [ a , b ] (\displaystyle ) functies als we het standaard scalaire product introduceren (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , (\displaystyle (f,g)=\int _(a)^(b)f(x)g(x)dx,) dan worden de normen van de functies gedefinieerd als | | f | | 2 = ∫ een b f 2 (x) d x . (\displaystyle ||f||^(2)=\int _(a)^(b)f^(2)(x)dx.) Vervolgens wordt de cosinus van een hoek op een standaardmanier gedefinieerd als de verhouding van het scalaire product van functies tot hun normen. Functies kunnen ook orthogonaal worden genoemd als hun puntproduct (de integraal van hun product) nul is.
In de Riemann-meetkunde kan men op dezelfde manier de hoek tussen raakvectoren definiëren met behulp van de metrische tensor g ik j. (\weergavestijl g_(ij).) Puntproduct van raakvectoren u (\weergavestijl u) En v (\weergavestijl v) in tensornotatie ziet er als volgt uit: (u , v) = g i j u i v j , (\displaystyle (u,v)=g_(ij)u^(i)v^(j),) respectievelijk de normen van de vectoren - | | jij | | = | g i j u i u j | (\displaystyle ||u||=(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|))) En | | v | | = | g i j v i v j | . (\displaystyle ||v||=(\sqrt (|g_(ij)v^(i)v^(j)|)).) Daarom wordt de cosinus van de hoek bepaald door de standaardformule voor de verhouding van het gespecificeerde scalaire product tot de normen van vectoren: cos θ = (u, v) | | jij | | ⋅ | | v | | = g ik j u ik v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . (\displaystyle \cos \theta =(\frac ((u,v))(||u||\cdot ||v||))=(\frac (g_(ij)u^(i)v^( j))(\sqrt (|g_(ij)u^(i)u^(j)|\cdot |g_(ij)v^(i)v^(j)|))).)
Hoek in metrische ruimte
Er zijn ook een aantal werken waarin het concept van een hoek tussen elementen van een metrische ruimte wordt geïntroduceerd.
Laten (X , ρ) (\weergavestijl (X,\rho))- metrische ruimte. Laat verder x , y , z (\displaystyle x,y,z)- elementen van deze ruimte.
K. Menger introduceerde het concept hoek tussen hoekpunten y (\weergavestijl y) En z (\weergavestijl z) met top op punt x (\weergavestijl x) als een niet-negatief getal y x z ^ (\displaystyle (\widehat(yxz))), die voldoet aan drie axioma's:
In 1932 beschouwde Wilson de volgende uitdrukking als een hoek:
Y X z ^ w = arccos ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) - ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) (\displaystyle (\widehat ( yxz))_(w)=\arccos (\frac (\rho ^(2)(x,y)+\rho ^(2)(x,z)-\rho ^(2)(y,z)) (2\rho (x,y)\rho (x,z))))
Het is gemakkelijk in te zien dat de geïntroduceerde uitdrukking altijd zinvol is en voldoet aan de drie axioma's van Menger.
Bovendien heeft de Wilson-hoek de eigenschap dat hij in de Euclidische ruimte gelijk is aan de hoek tussen de elementen y − x (\displaystyle y-x) En z−x (\displaystyle zx) in de zin van Euclidische ruimte.
Hoek meting
Een van de meest gebruikelijke hulpmiddelen voor het construeren en meten van hoeken is een gradenboog (evenals een liniaal - zie hieronder); in de regel wordt het gebruikt om een hoek van een bepaalde grootte te construeren. Er zijn veel tools ontwikkeld om hoeken min of meer nauwkeurig te meten:
- goniometer - een apparaat voor het meten van hoeken in het laboratorium;
Twee rechte lijnen BA en BC (fig. 13), die elkaar snijden in hetzelfde punt B, vormen een hoek in punt B.
Hoek detectie. Een hoek is een onbepaald deel van een vlak dat wordt begrensd door twee snijdende rechte lijnen. Hoek is een grootheid die de helling van de ene rechte lijn naar de andere bepaalt.
De zijkanten van de hoek. De snijdende lijnen worden de zijden van de hoek genoemd.
hoek bovenaan. Het punt waar twee lijnen elkaar snijden, wordt het hoekpunt van de hoek genoemd.. De grootte van een hoek is niet afhankelijk van de lengte van de zijden, dus de zijden van de hoek kunnen onbeperkt worden verlengd.
Hoek naam. A) Hoeken worden de letter bovenaan genoemd; zo verdomde hoek. 13 heet hoek B. b) Als er bovenaan meerdere hoeken zijn, worden de hoeken drie letters genoemd, bovenaan en twee van de zijkanten. In dit geval wordt de letter bovenaan uitgesproken en in het midden geschreven.
Verdorie. 13 hoek B wordt hoek ABC genoemd. Lijnen BA en BC zijn twee zijden en punt B is het hoekpunt van de hoek.
Dus hoek ABC is hoek B of
hoek ABC = hoek B.
Hoek teken. Het woord hoek wordt soms vervangen door het teken∠ .
Zo wordt de vorige gelijkheid schriftelijk weergegeven:
In het geval dat er meerdere lijnen uit een punt komen, zijn er verschillende hoeken in punt B.
Verdorie. 14 rechte lijnen BA, BC, BD komen uit punt B en bij hoekpunt B zijn er hoeken ABC, CBD, ABD.
aangrenzende hoeken. Twee hoeken worden aangrenzend genoemd als ze een gemeenschappelijk hoekpunt hebben aan één gemeenschappelijke zijde en de andere twee aan beide zijden van een gemeenschappelijke zijde liggen.
Hoeken ABC en CBD (fig. 14) zijn aangrenzende hoeken. Ze hebben een gemeenschappelijk hoekpunt B, een gemeenschappelijke zijde BC, en de andere twee zijden BA en BD liggen één boven en één onder de gemeenschappelijke zijde BC.
Hoeken veranderen van waarde als de helling van de ene kant naar de andere kant verandert. Van twee hoeken die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben, wordt de hoek waarbinnen de andere hoek is geplaatst de grotere hoek genoemd. Op tekening 14
hoek ABD > hoek ABC en Ang. CBD< уг. ABD.
Om een idee te krijgen van de onderlinge grootte van twee hoeken met verschillende hoekpunten, wordt de ene hoek op de andere gelegd. Wanneer ze op elkaar worden gelegd, worden hun hoekpunten aan één kant gecombineerd, waarna de richting van de andere kant het mogelijk maakt om hun grootte te vergelijken. Om de twee hoeken ABC en DEF (fig. 15) te vergelijken, legt u de hoek DEF op de hoek ABC zodat de zijde EF langs de zijde BC gaat, het punt E is uitgelijnd met het punt B; dan kan kant ED drie posities innemen: hij kan samenvallen met kant BA, binnen en buiten hoek ABC vallen.
a) Als lijn ED samenvalt met lijn BA, dan zijn de hoeken gelijk
hoek ABC = hoek DEF.
b) Als lijn ED binnen hoek ABC valt en positie BG inneemt, zal hoek ABC groter zijn dan hoek DEF
hoek ABC > hoek DEF.
c) Als lijn ED buiten hoek ABC valt in richting BH, dan is hoek ABC kleiner dan hoek DEF
hoek abc< уг. DEF.
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van hoeken. Twee aangrenzende hoeken ABC en CBD (fig. 14) vormen één hoek ABC. Hoek ABD wordt de som van de hoeken ABC en CBD genoemd. Dit wordt schriftelijk uitgedrukt als:
∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)
Vergelijking (a) impliceert de gelijkheid:
∠ABC = ∠ABD - ∠CBD
∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,
d.w.z. hoek ABC is het verschil tussen hoeken ABD en CBD, en hoek CBD is het verschil tussen hoeken ABD en ABC.
Als er op het punt O (Fig. 16) meerdere gelijke aangrenzende hoeken zijn, d.w.z. als
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,
dan is hoek AOC gelijk aan de som van hoeken AOB en BOC gelijk aan twee hoeken AOB,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, volgende. ∠AOC = 2AOB.
Hoek AOD is gelijk aan drie hoeken AOB
Omgekeerd is hoek AOB de helft van hoek AOC, een derde van hoek AOD, een kwart van hoek AOE.
AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.
Vandaar dat we dat afleiden hoeken als grootheden kunnen niet alleen worden opgeteld en afgetrokken, maar ook worden vermenigvuldigd en gedeeld door een abstract getal.
Als vanuit twee aangrenzende hoeken ACD en DCB (Fig. 17) twee zijden CA en CB op dezelfde rechte lijn liggen, worden ze aangrenzend genoemd.
. Aangrenzende hoeken zijn hoeken die één zijde gemeen hebben en de andere twee op dezelfde rechte lijn liggen.
Als de lijn CD, draaiend om het punt C, de positie CE inneemt, dan gaat de afnemende hoek ACD over in de hoek ACE, en de toenemende hoek BCD in de hoek BCE. De lijn CD, die blijft draaien, kan een zodanige positie aannemen dat twee aangrenzende hoeken gelijk worden. Wanneer twee aangrenzende hoeken ACD en DCB gelijk zijn (Fig. 18), worden ze genoemd rechte hoeken.
In dit geval staat lijn CD loodrecht op lijn AB of gewoon loodrecht op lijn AB.
In tekening 19 is een rechte hoek getekend zonder een andere ernaast.
Een rechte hoek is een van de congruente aangrenzende hoeken.
Een loodlijn is een rechte lijn die een rechte hoek vormt met een andere lijn.
In tekening 18 worden de hoeken ACD en DCB, hoewel ze aangrenzend en gelijk blijven, rechte hoeken genoemd. Lijn DC staat loodrecht op lijn AB. Zo'n onderlinge relatie van twee regels wordt soms schriftelijk uitgedrukt: CD ⊥ AB.
Omdat de lijn AB ook loodrecht op de lijn CD staat, staan de lijnen AB en CD onderling loodrecht, dus als CD ⊥ AB, dan AB ⊥ CD.
Loodrechte zool. Het punt waar twee loodrechte lijnen elkaar ontmoeten, wordt de voet van de loodlijn genoemd.
Punt C (tekening 18) is de voet van de loodrechte CD.
Op elk punt op lijn AB kan een loodlijn op lijn AB worden getekend.
Een loodlijn op de lijn (AB) tekenen vanaf een punt dat op de lijn ligt, betekent een loodlijn opstellen. Een loodlijn (DC) op de lijn (AB) tekenen vanaf een punt (D) dat buiten de lijn ligt, betekent het laten zakken van de loodlijn(Afb. 18).
schuine lijn . Elke lijn die niet loodrecht op een andere lijn staat, wordt een lijn genoemd die er naar toe helt.
In tekening 20 zal lijn CE schuin staan ten opzichte van lijn AB en lijn CD loodrecht op lijn AB.
Hoek ECB is kleiner dan een rechte hoek en hoek ACE is groter dan een rechte hoek. Hoek ECB wordt acuut genoemd en hoek ACE stomp.
Scherpe hoek elke hoek is kleiner dan een rechte hoek, A stompe hoek er is een groter dan rechte hoek.
Zoals en verschillende invalshoeken. Twee scherpe of twee stompe hoeken worden homoniem genoemd, en twee hoeken, waarvan de ene scherp is en de andere stomp, worden tegengesteld genoemd.
De schuine lijn CE vormt (Fig. 20) met de rechte lijn AB twee aangrenzende hoeken, waarvan de ene kleiner is en de andere groter dan de rechte hoek, dat wil zeggen de ene is scherp en de andere stomp.
Stelling 3. Vanuit een punt genomen op een rechte lijn kan er slechts één loodlijn naar worden getrokken.
Dana lijn AB en punt C erop (Fig. 20).
Vereist om te bewijzen dat er maar één loodlijn op kan worden getrokken.
Bewijs. Laten we aannemen dat het mogelijk is om twee loodlijnen op te stellen van punt C naar lijn AB (Fig. 20) CD en CE. Volgens de eigenschap van de loodlijn
hoek DCB = hoek ACD(a)
hoek BCE = hoek ACE.
Als we de hoek ECD toepassen op het eerste deel van de laatste ongelijkheid, krijgen we de ongelijkheid
hoek v.Chr. + Ang. ECD > ang. ACE, of ang. BCD > ang. ACE.
Vervangen in deze ongelijkheid y. BCD gelijk aan zijn hoek ACD (a), krijgen we
hoek DCA > hoek Ace,
de ongelijkheid is duidelijk absurd, want een deel kan niet groter zijn dan het geheel, vandaar dat de aanname dat twee loodlijnen kunnen worden opgericht tot absurditeit leidt en daarom onjuist is. De onjuistheid van de aanname is gebaseerd op de overweging dat het onmogelijk is om uit de juiste positie een onjuiste conclusie af te leiden, daarom is onze stelling waar.
De methode om de geldigheid van een bepaalde stelling te bewijzen door te wijzen op de onmogelijkheid en absurditeit van elke andere veronderstelling, wordt de methode van bewijs door tegenspraak of de methode van reductie tot absurditeit genoemd.
Stelling 4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Stel dat we twee paar rechte hoeken hebben: het ene paar bestaat uit de hoeken ACD en DCB, en het andere paar bestaat uit de hoeken EGH en HGF, dus CD ⊥ AB en HG ⊥ EF (Fig. 21).
Het is vereist om te bewijzen dat de rechte hoeken gelijk zijn.
Bewijs. Laten we de lijn EF op de lijn AB leggen met het punt G op het punt C, dan zal de lijn GH langs de lijn CD gaan, omdat er maar één loodlijn kan worden getrokken vanuit het punt C, dus de rechte hoek DCB = rechte hoek HGF.
Conclusie. Een rechte hoek is een constante waarde.
maat van hoeken. Bij het meten van hoeken wordt een rechte hoek, als constante waarde, als vergelijkingseenheid genomen. De waarde wordt aangegeven met de letter d.
In dit geval
elke scherpe hoek< d,
elke stompe hoek > d.
Alle hoeken worden uitgedrukt met een rechte lijn. Zo zeggen ze bijvoorbeeld: een gegeven hoek is gelijk aan ½ d, 2/3 d, etc.
Stelling 5. De som van twee aangrenzende hoeken is gelijk aan twee rechte hoeken.
Aangrenzende hoeken ACD en DCB zijn gegeven (Fig. 22).
Het is vereist om te bewijzen dat ACD + DCB = 2d.
Bewijs. Vanaf het punt C herstellen we dan de loodlijn CE
ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB=ECB-ECD=d-ECD
Als we deze gelijkheden toevoegen, hebben we:
ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (wat moest worden bewezen).
Twee aangrenzende hoeken vullen elkaar aan tot twee rechte hoeken en worden daarom complementaire hoeken genoemd.
Stelling 5 houdt in gevolg. Het ene paar aangrenzende hoeken is gelijk aan het andere paar aangrenzende hoeken.
Stelling 6(omgekeerd naar Stelling 5). Als de som van twee aangrenzende hoeken gelijk is aan twee rechte hoeken, dan liggen de andere twee zijden op dezelfde rechte lijn.
Laat de som van twee aangrenzende hoeken ACD en DCB gelijk zijn aan twee rechte hoeken (Fig. 23).
Het is vereist om te bewijzen dat ACB een rechte lijn is.
Bewijs. Laten we aannemen dat ACB een onderbroken lijn is en dat de voortzetting van lijn AC lijn CE is
Twee grootheden gelijk aan dezelfde derde zijn dus gelijk (axioma 3).
ACD+DCB=ACD+DCE
waar komt het vandaan als het wordt verminderd
de conclusie is absurd (het deel is gelijk aan het geheel, zie ax. 1), vandaar dat de lijn ACB een rechte lijn is (die moest bewezen worden).
Stelling 7. De som van de hoeken met een hoekpunt op één punt en gelegen aan één zijde van een rechte lijn is gelijk aan twee rechte lijnen.
Gegeven hoeken ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, met een gemeenschappelijk hoekpunt in punt C en gelegen aan één kant van lijn AB (Fig. 24).
Het is vereist om dat te bewijzen
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.
Bewijs. WIJ weten dat de som van twee aangrenzende hoeken ACF en FCB gelijk is aan twee rechte hoeken (punt 5).
Aangezien ACF = ACD + DCE + ECF en FCB = FCG + GCB, vervangen we de hoeken ACF en FCB door hun waarden:
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (wat moest worden bewezen).
Stelling 8. De som van alle hoeken rond één punt is gelijk aan vier rechte hoeken.
Gegeven hoeken AOB, BOC, COD, DOE, EOA, met een gemeenschappelijk hoekpunt O en gelegen rond het punt O (Fig. 25).
Het is vereist om dat te bewijzen
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.
Bewijs. Laten we dan doorgaan met de zij-EO in de richting van OG (hoofdstuk 25).
Vergelijkbaar
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Als we deze gelijkheden toevoegen, hebben we:
EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.
Aangezien AOG + GOB = AOB, dus
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (phd).
Hoek ACB met hoek DCE en hoek BCD met hoek ACE worden verticaal genoemd (Fig. 26).
Verticale hoeken. Verticale hoeken zijn die waarin de zijden van de ene zijn samengesteld uit de voortzetting van de zijden van een andere hoek.
Stelling 9. De verticale hoeken zijn gelijk aan elkaar.
Gegeven verticale hoeken (Fig. 26) ACB en DCE, net als BCD en ACE.
Er moet worden aangetoond dat ACB = DCE en BCD = ACE.
Bewijs. Op basis van Stelling 5 gelden de volgende gelijkheden:
ACB + BCD = 2d (als de som van twee aangrenzende hoeken)
BCD + DCE = 2d
vandaar,
ACB+BCD=BCD+DCE
vandaar, aftrekken met gelijke hoek BCD, vinden we
Op dezelfde manier bewijzen ze dat
∠BCD = ∠ACE.
Equisecant (bissectrice ) is er een lijn die de hoek doorsnijdt.
In tekening 27 BD is er een deellijn als ∠ABD = ∠DBC.
Stelling 10.
Aangrenzende hoeken ACB en BCD zijn gegeven (Fig. 28). Hun deellijnen CF en CE snijden aangrenzende hoeken BCD en BCA doormidden, dus BCF = FCD, ACE = ECB.
Er moet worden aangetoond dat EC ⊥ CF.
Bewijs. Op voorwaarde
ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Als we deze gelijkheden toevoegen, hebben we:
ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Aangezien ACB + BCD = 2d, dan
ECB + BCF = ½ 2d = d.
Aangezien ECB + BCF = ECF, dus
De hoek ECF is recht, d.w.z. de lijnen CE en CF staan loodrecht op elkaar (PTD).
Wat is een aangrenzende hoek
Hoek- dit is een geometrische figuur (Fig. 1), gevormd door twee stralen OA en OB (hoekzijden), afkomstig van één punt O (hoekpunt).
AANSLUITENDE HOEKEN zijn twee hoeken waarvan de som 180° is. Elk van deze hoeken vormt een aanvulling op de andere tot een volledige hoek.
Aangrenzende hoeken- (Agles adjacets) degenen die een gemeenschappelijke bovenkant en een gemeenschappelijke zijkant hebben. Overwegend verwijst deze naam naar dergelijke hoeken, waarvan de andere twee zijden in tegengestelde richtingen liggen van één rechte lijn waar doorheen getrokken wordt.
Twee hoeken worden aangrenzend genoemd als ze één zijde gemeen hebben en de andere zijden van deze hoeken complementaire halve lijnen zijn.
rijst. 2
In figuur 2 grenzen de hoeken a1b en a2b aan elkaar. Ze hebben een gemeenschappelijke zijde b, en de zijden a1, a2 zijn aanvullende halve lijnen.
rijst. 3
Figuur 3 toont lijn AB, punt C ligt tussen de punten A en B. Punt D is een punt dat niet op lijn AB ligt. Het blijkt dat de hoeken BCD en ACD aangrenzend zijn. Ze hebben een gemeenschappelijke zijde CD, en de zijden CA en CB zijn aanvullende halve lijnen van lijn AB, aangezien de punten A en B gescheiden zijn door het beginpunt C.
Aangrenzende hoekstelling
Stelling: som van aangrenzende hoeken is 180°
Bewijs:
Hoeken a1b en a2b grenzen aan elkaar (zie Fig. 2) Balk b gaat tussen zijden a1 en a2 van een gestrekte hoek. Daarom is de som van de hoeken a1b en a2b gelijk aan de gestrekte hoek, dus 180°. De stelling is bewezen.
Een hoek gelijk aan 90° wordt een rechte hoek genoemd. Uit de stelling over de som van aangrenzende hoeken volgt dat de hoek die grenst aan een rechte hoek ook een rechte hoek is. Een hoek kleiner dan 90° wordt acuut genoemd en een hoek groter dan 90° stomp. Aangezien de som van aangrenzende hoeken 180° is, is de hoek grenzend aan een scherpe hoek een stompe hoek. Een hoek grenzend aan een stompe hoek is een scherpe hoek.
Aangrenzende hoeken- twee hoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt, waarvan een van de zijden gemeenschappelijk is, en de overige zijden liggen op dezelfde rechte lijn (niet samenvallend). De som van aangrenzende hoeken is 180°.
Definitie 1. Een hoek is een deel van een vlak begrensd door twee stralen met een gemeenschappelijke oorsprong.
Definitie 1.1. Een hoek is een figuur die bestaat uit een punt - het hoekpunt van de hoek - en twee verschillende halve lijnen die uit dit punt komen - de zijden van de hoek.
Bijvoorbeeld, de BOS-hoek in Fig. 1 Beschouw eerst twee snijdende lijnen. Wanneer ze elkaar kruisen, vormen lijnen hoeken. Er zijn speciale gevallen:
Definitie 2. Als de zijden van een hoek complementaire halve lijnen van één rechte lijn zijn, wordt de hoek een rechte hoek genoemd.
Definitie 3. Een rechte hoek is een hoek van 90 graden.
Definitie 4. Een hoek kleiner dan 90 graden wordt een scherpe hoek genoemd.
Definitie 5. Een hoek groter dan 90 graden en kleiner dan 180 graden wordt een stompe hoek genoemd.
snijdende lijnen.
Definitie 6. Twee hoeken, waarvan één zijde gemeenschappelijk is en de andere zijden op dezelfde rechte lijn liggen, worden aangrenzend genoemd.
Definitie 7. Hoeken waarvan de zijden zich in elkaars verlengde bevinden, worden verticale hoeken genoemd.
Figuur 1:
aangrenzend: 1 en 2; 2 en 3; 3 en 4; 4 en 1
verticaal: 1 en 3; 2 en 4
Stelling 1. De som van aangrenzende hoeken is 180 graden.
Beschouw als bewijs Fig. 4 aangrenzende hoeken AOB en BOC. Hun som is de ontwikkelde hoek AOC. Daarom is de som van deze aangrenzende hoeken 180 graden.
rijst. 4
Relatie tussen wiskunde en muziek
"Nadenkend over kunst en wetenschap, over hun onderlinge verbanden en tegenstellingen, kwam ik tot de conclusie dat wiskunde en muziek zich aan de uiterste polen van de menselijke geest bevinden, dat deze twee antipoden alle creatieve spirituele activiteit van een persoon beperken en bepalen, en dat alles tussen hen wordt geplaatst, wat de mensheid heeft gecreëerd op het gebied van wetenschap en kunst."
G. Neuhaus
Het lijkt erop dat kunst een heel abstract gebied is van de wiskunde. De verbinding tussen wiskunde en muziek is echter zowel historisch als intern geconditioneerd, ondanks het feit dat wiskunde de meest abstracte wetenschap is en muziek de meest abstracte kunstvorm.
Consonantie bepaalt de klank van een snaar die prettig in het oor ligt.
Dit muzikale systeem was gebaseerd op twee wetten, die de namen dragen van twee grote wetenschappers - Pythagoras en Archytas. Dit zijn de wetten:
1. Twee klinkende snaren bepalen de consonantie als hun lengtes zijn gerelateerd als gehele getallen die een driehoeksgetal vormen 10=1+2+3+4, d.w.z. zoals 1:2, 2:3, 3:4. Bovendien, hoe kleiner het getal n in verhouding tot n:(n+1) (n=1,2,3), hoe meer consonant het resulterende interval is.
2. De trillingsfrequentie w van een klinkende snaar is omgekeerd evenredig met zijn lengte l.
w = een:l,
waarbij a een coëfficiënt is die de fysieke eigenschappen van de tekenreeks karakteriseert.
Ik zal ook uw aandacht vestigen op een grappige parodie over een geschil tussen twee wiskundigen =)
Geometrie om ons heen
Geometrie speelt een belangrijke rol in ons leven. Vanwege het feit dat als je rondkijkt, het niet moeilijk zal zijn om op te merken dat we omringd zijn door verschillende geometrische vormen. We komen ze overal tegen: op straat, in de klas, thuis, in het park, in de gymzaal, in de schoolkantine, in principe waar we ook zijn. Maar het onderwerp van de les van vandaag is aangrenzende kolen. Dus laten we eens rondkijken en proberen hoeken te vinden in deze omgeving. Als je goed uit het raam kijkt, zie je dat sommige takken van de boom aangrenzende hoeken vormen en zie je veel verticale hoeken in de scheidingswanden van het hek. Geef voorbeelden van aangrenzende hoeken die je in de omgeving ziet.
Oefening 1.
1. Er ligt een boek op tafel op een boekenstandaard. Welke hoek vormt het?
2. Maar de student werkt op een laptop. Welke hoek zie je hier?
3. Wat is de hoek van de fotolijst op de standaard?
4. Denk je dat het mogelijk is dat twee aangrenzende hoeken gelijk zijn?
Taak 2.
Voor je staat een geometrische figuur. Wat is dit voor figuur, noem maar op? Noem nu alle aangrenzende hoeken die je kunt zien op deze geometrische figuur.
Taak 3.
Hier is een afbeelding van een tekening en een schilderij. Bekijk ze aandachtig en zeg welke soorten vangst je op de foto ziet, en welke hoeken op de foto.
Probleemoplossing
1) Er worden twee hoeken gegeven, gerelateerd aan elkaar als 1: 2, en aangrenzend - als 7: 5. Je moet deze hoeken vinden.2) Het is bekend dat een van de aangrenzende hoeken 4 keer groter is dan de andere. Wat zijn aangrenzende hoeken?
3) Het is noodzakelijk om aangrenzende hoeken te vinden, op voorwaarde dat een van hen 10 graden groter is dan de tweede.
Wiskundig dicteren voor het herhalen van eerder geleerd materiaal
1) Maak een tekening: lijnen a I b snijden elkaar in punt A. Markeer de kleinste van de gevormde hoeken met het nummer 1 en de resterende hoeken - opeenvolgend met de nummers 2,3,4; de complementaire stralen van de lijn a - door a1 en a2, en de lijn b - door b1 en b2.2) Voer met behulp van de voltooide tekening de benodigde waarden en uitleg in de gaten in de tekst in:
a) hoek 1 en hoek .... gerelateerd omdat...
b) hoek 1 en hoek .... verticaal omdat...
c) als hoek 1 = 60°, dan hoek 2 = ..., want ...
d) als hoek 1 = 60°, dan hoek 3 = ..., omdat ...
Problemen oplossen:
1. Kan de som van 3 hoeken gevormd op het snijpunt van 2 lijnen gelijk zijn aan 100°? 370°?
2. Zoek in de afbeelding alle paren aangrenzende hoeken. En nu de verticale hoeken. Noem deze hoeken.
3. Je moet een hoek vinden die drie keer zo groot is als de hoek ernaast.
4. Twee lijnen snijden elkaar. Als resultaat van deze kruising werden vier hoeken gevormd. Bepaal de waarde van een van hen, op voorwaarde dat:
a) de som van 2 hoeken van vier 84°;
b) het verschil van 2 hoeken ervan is 45°;
c) één hoek is 4 keer kleiner dan de tweede;
d) de som van drie van deze hoeken is 290°.
Samenvatting van de les
1. noem de hoeken die ontstaan op het snijpunt van 2 lijnen?
2. Noem alle mogelijke paren van hoeken in de figuur en bepaal hun type.
Huiswerk:
1. Zoek de verhouding van de graden van aangrenzende hoeken wanneer een van hen 54 ° groter is dan de tweede.
2. Zoek de hoeken die worden gevormd wanneer 2 lijnen elkaar snijden, op voorwaarde dat een van de hoeken gelijk is aan de som van 2 aangrenzende hoeken.
3. Het is noodzakelijk om aangrenzende hoeken te vinden wanneer de bissectrice van een van hen een hoek vormt met de zijde van de tweede, die 60 ° groter is dan de tweede hoek.
4. Het verschil van 2 aangrenzende hoeken is gelijk aan een derde van de som van deze twee hoeken. Bepaal de waarden van 2 aangrenzende hoeken.
5. Het verschil en de som van 2 aangrenzende hoeken zijn gerelateerd als respectievelijk 1: 5. Zoek aangrenzende hoeken.
6. Het verschil tussen twee aangrenzende is 25% van hun som. Hoe zijn de waarden van 2 aangrenzende hoeken gerelateerd? Bepaal de waarden van 2 aangrenzende hoeken.
Vragen:
- Wat is een hoek?
- Wat zijn de soorten hoeken?
- Wat is het kenmerk van aangrenzende hoeken?