Concept van gebied

Het concept van het gebied van elke geometrische figuur, in het bijzonder een driehoek, zal worden geassocieerd met een figuur zoals een vierkant. Voor de oppervlakte-eenheid van elke geometrische figuur nemen we de oppervlakte van een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan één. Laten we voor de volledigheid twee basiseigenschappen voor het concept van gebieden in herinnering brengen geometrische vormen.

Eigenschap 1: Als geometrische figuren gelijk zijn, dan zijn hun oppervlakten ook gelijk.

Eigenschap 2: Elk figuur kan in verschillende figuren worden verdeeld. Bovendien is de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur gelijk aan de som van de oppervlakten van alle samenstellende figuren.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

voorbeeld 1

Het is duidelijk dat een van de zijden van de driehoek een diagonaal is van een rechthoek, waarvan de ene zijde een lengte heeft van $5$ (aangezien er $5$-cellen zijn), en de andere zijde $6$ is (aangezien er $6$-cellen zijn). Daarom zal de oppervlakte van deze driehoek gelijk zijn aan de helft van zo'n rechthoek. De oppervlakte van de rechthoek is

Dan is de oppervlakte van de driehoek gelijk aan

Antwoord: $ 15 $.

Vervolgens zullen we verschillende methoden overwegen om de gebieden van driehoeken te vinden, namelijk met behulp van de hoogte en basis, met behulp van de formule van Heron en de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek.

Hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden aan de hand van de hoogte en basis

Stelling 1

De oppervlakte van een driehoek kun je vinden als de helft van het product van de lengte van een zijde en de hoogte tot die zijde.

Wiskundig gezien lijkt het erop op de volgende manier

$S=\frac(1)(2)αh$

waarbij $a$ de lengte van de zijde is, en $h$ de hoogte die ernaar toe getrokken wordt.

Bewijs.

Beschouw een driehoek $ABC$ waarin $AC=α$. De hoogte $BH$ wordt naar deze kant getrokken, wat gelijk is aan $h$. Laten we het opbouwen tot het vierkant $AXYC$ zoals in figuur 2.

De oppervlakte van rechthoek $AXBH$ is $h\cdot AH$, en de oppervlakte van rechthoek $HBYC$ is $h\cdot HC$. Dan

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daarom is de vereiste oppervlakte van de driehoek, volgens eigenschap 2, gelijk aan

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

De stelling is bewezen.

Voorbeeld 2

Zoek de oppervlakte van de driehoek in de onderstaande afbeelding als de cel een oppervlakte gelijk aan één heeft

De basis van deze driehoek is gelijk aan $9$ (aangezien $9$ vierkanten van $9$ zijn). De hoogte is ook $ 9 $. Dan krijgen we volgens Stelling 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwoord: $ 40,5 $.

De formule van Heron

Stelling 2

Als we drie zijden van een driehoek $α$, $β$ en $γ$ krijgen, dan kan de oppervlakte ervan als volgt worden gevonden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier betekent $ρ$ de halve omtrek van deze driehoek.

Bewijs.

Beschouw het volgende figuur:

Volgens de stelling van Pythagoras verkrijgen we uit de driehoek $ABH$

Uit de driehoek $CBH$, volgens de stelling van Pythagoras, hebben we

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Uit deze twee relaties verkrijgen we de gelijkheid

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Omdat $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dan $α+β+γ=2ρ$, wat betekent

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Volgens Stelling 1 krijgen we

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Een driehoek is de eenvoudigste geometrische figuur, die uit drie zijden en drie hoekpunten bestaat. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om verschillende metingen uit te voeren, en tegenwoordig kan de figuur nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van een driehoek

Het cijfer wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen. Landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-hoek uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van veelhoeken. Voltijdbaan met driehoeken, vooral met de rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van de wiskunde: trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

De eigenschappen van de geometrische figuur worden al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd gevonden in Egyptische papyri van 4.000 jaar geleden. Vervolgens werd de figuur bestudeerd Het oude Griekenland en de grootste bijdragen aan de geometrie van de driehoek werden geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek hield nooit op en in de 18e eeuw introduceerde Leonhard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de Euler-cirkel. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over hoekdriesectoren, en Waclaw Sierpinski stelde de fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn uit de geometriecursussen op school:

  • acuut - alle hoeken van de figuur zijn acuut;
  • stomp - de figuur heeft er een stompe hoek(meer dan 90 graden);
  • rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
  • gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
  • gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
  • IN echte leven Er zijn allerlei soorten driehoeken, en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte is een schatting van hoeveel van het vlak een figuur omsluit. Het gebied van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, met behulp van de zijkanten, hoogte, hoeken, straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel, maar ook met behulp van de formule van Heron of het berekenen van de dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is:

waarbij a de zijde van de driehoek is, is h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u de oppervlakte berekenen, wetende:

  • drie zijden;
  • twee zijden en de hoek ertussen;
  • één kant en twee hoeken.

Om de oppervlakte via drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

Het gebied aan twee zijden en een hoek wordt berekend met behulp van de klassieke formule:

S = a × b × sin(alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen zijden a en b.

Om de oppervlakte te bepalen in termen van één zijde en twee hoeken, gebruiken we de relatie die:

a / sin(alfa) = b / sin(bèta) = c / sin(gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde, waarna we de oppervlakte berekenen met de formule S = a × b × sin(alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren om het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt plaveien met driehoekige tegels, en bepaal het aantal benodigde materiaal, je zou het oppervlak van één tegel en het oppervlak van de vloer moeten weten. Stel dat je 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met een tegel waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruikt de rekenmachine uiteraard de formule van Heron en geeft het resultaat:

Het oppervlak van één tegelelement zal dus 0,021 zijn vierkante meter, en je hebt 6/0,021 = 285 driehoeken nodig voor de vloerverbetering. De getallen 20, 21 en 29 vormen een Pythagoras drietal-getallen die voldoen aan . En dat klopt, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

IN schooltaak het is noodzakelijk om de oppervlakte van de driehoek te vinden, wetende dat zijde a = 5 cm, en de hoeken alfa en bèta respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de beeldverhouding en de sinusverhouding tegenovergestelde hoeken, waarna de oppervlakte werd bepaald met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin(alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens in het rekenmachineformulier invoeren en direct antwoord krijgen

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct aan te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een uniek figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen voorkomt. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van welke driehoek dan ook te bepalen.

Instructies

Partijen en hoeken worden als basiselementen beschouwd A. Een driehoek wordt volledig gedefinieerd door een van de volgende basiselementen: drie zijden, of één zijde en twee hoeken, of twee zijden en een hoek ertussen. Voor het bestaan driehoek gegeven door drie zijden a, b, c, is het noodzakelijk en voldoende om de ongelijkheden te bevredigen die ongelijkheden worden genoemd driehoek:
a+b >c,
a+c > b,
b+c > een.

Voor bouwen driehoek aan drie zijden a, b, c is het noodzakelijk om vanuit punt C van het segment CB = a een cirkel met straal b te tekenen met een kompas. Teken vervolgens op dezelfde manier een cirkel vanuit punt B met een straal gelijk aan zijde c. Hun snijpunt A is het derde hoekpunt van het gewenste driehoek ABC, waarbij AB=c, CB=a, CA=b - zijden driehoek. Het probleem is als de zijden a, b, c voldoen aan de ongelijkheden driehoek gespecificeerd in stap 1.

Gebied S is op deze manier aangelegd driehoek ABC met bekende zijden a, b, c wordt berekend met de formule van Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
waarbij a, b, c zijden zijn driehoek, p – semi-perimeter.
p = (a+b+c)/2

Als een driehoek gelijkzijdig is, dat wil zeggen, zijn alle zijden gelijk (a=b=c).Oppervlakte driehoek berekend met de formule:
S=(a^2 v3)/4

Als de driehoek rechthoekig is, dat wil zeggen dat een van de hoeken gelijk is aan 90°, en de zijden die de driehoek vormen benen zijn, is de derde zijde de hypotenusa. In dit geval vierkant is gelijk aan het product van de benen gedeeld door twee.
S=ab/2

Vinden vierkant driehoek, kunt u een van de vele formules gebruiken. Kies een formule afhankelijk van welke gegevens al bekend zijn.

Je zal nodig hebben

  • kennis van formules voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek

Instructies

Als u de grootte van een van de zijden kent en de waarde van de hoogte die naar deze zijde is verlaagd vanuit de tegenoverliggende hoek, dan kunt u de oppervlakte als volgt vinden: S = a*h/2, waarbij S de oppervlakte is van de driehoek is a een van de zijden van de driehoek, en h - hoogte, tot zijde a.

Er is een methode bekend om de oppervlakte van een driehoek te bepalen als de drie zijden bekend zijn. Het is de formule van Heron. Om de registratie ervan te vereenvoudigen, wordt een tussenliggende waarde geïntroduceerd: semi-perimeter: p = (a+b+c)/2, waarbij a, b, c - . Dan is de formule van Heron als volgt: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ machtsverheffing.

Laten we aannemen dat je één van de zijden van een driehoek en drie hoeken kent. Dan is het gemakkelijk om de oppervlakte van de driehoek te vinden: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), waarbij β de hoek is tegenovergesteld aan zijde a, en α en γ hoeken zijn grenzend aan de zijkant.

Video over het onderwerp

opmerking

Het meest algemene formule, die voor alle gevallen geschikt is, is de formule van Heron.

Bronnen:

Tip 3: Zo vind je de oppervlakte van een driehoek op basis van drie zijden

Het vinden van de oppervlakte van een driehoek is een van de meest voorkomende problemen bij planimetrie op scholen. Het kennen van de drie zijden van een driehoek is voldoende om de oppervlakte van een driehoek te bepalen. In speciale gevallen van gelijkzijdige driehoeken is het voldoende om de lengtes van respectievelijk twee en één zijde te kennen.

Je zal nodig hebben

  • lengtes van zijden van driehoeken, formule van Heron, cosinusstelling

Instructies

De formule van Heron voor de oppervlakte van een driehoek is als volgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Als we de halve omtrek p schrijven, krijgen we: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Een formule voor de oppervlakte van een driehoek kun je afleiden uit overwegingen, bijvoorbeeld door de cosinusstelling toe te passen.

Volgens de cosinusstelling is AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Met behulp van de geïntroduceerde notaties kunnen deze ook in de vorm worden geschreven: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dus cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

De oppervlakte van een driehoek wordt ook gevonden met de formule S = a*c*sin(ABC)/2 met behulp van twee zijden en de hoek daartussen. De sinus van hoek ABC kan hierdoor worden uitgedrukt met behulp van de trigonometrische basisidentiteit: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Door de sinus in de formule voor het gebied te vervangen en deze op te schrijven , kunt u tot de formule voor het gebied komen driehoek ABC.

Video over het onderwerp

Voor reparatiewerkzaamheden het kan nodig zijn om te meten vierkant muren Het is gemakkelijker om te berekenen benodigde hoeveelheid verf of behang. Voor metingen kunt u het beste een meetlint of meetlint gebruiken. Er moeten daarna metingen worden verricht muren werden genivelleerd.

Je zal nodig hebben

  • -roulette;
  • -ladder.

Instructies

Tellen vierkant muren, je moet de exacte hoogte van de plafonds weten en ook de lengte langs de vloer meten. Dit gaat als volgt: neem een ​​centimeter en leg deze over de plint. Meestal is een centimeter niet genoeg voor de hele lengte, dus zet hem vast in de hoek en rol hem vervolgens uit tot de maximale lengte. Zet op dit punt een markering met een potlood, noteer het verkregen resultaat en voer op dezelfde manier verdere metingen uit, beginnend bij het laatste meetpunt.

Standaard plafonds in typische gevallen - 2 meter 80 centimeter, 3 meter en 3 meter 20 centimeter, afhankelijk van het huis. Als het huis vóór de jaren 50 is gebouwd, is de werkelijke hoogte hoogstwaarschijnlijk iets lager dan aangegeven. Als je aan het rekenen bent vierkant voor reparatiewerkzaamheden kan een klein aanbod geen kwaad - overweeg op basis van de standaard. Als u toch de werkelijke hoogte wilt weten, voer dan metingen uit. Het principe is vergelijkbaar met het meten van lengte, maar je hebt een trap nodig.

Vermenigvuldig de resulterende indicatoren - dit is vierkant de jouwe muren. Toegegeven, bij het schilderen of schilderen is het noodzakelijk om af te trekken vierkant deur en raamopeningen. Leg hiervoor een centimeter langs de opening. Als we praten over over de deur die u vervolgens gaat vervangen, voer deze dan uit met de verwijderde deur deurkozijn, alleen overwegen vierkant rechtstreeks naar de opening zelf. Het oppervlak van het raam wordt berekend langs de omtrek van het frame. Na vierkant raam en deuropening berekend, trek het resultaat af van de totale resulterende oppervlakte van de kamer.

Houd er rekening mee dat het meten van de lengte en breedte van de kamer door twee personen wordt uitgevoerd, dit maakt het gemakkelijker om een ​​centimeter of meetlint te bevestigen en daardoor een nauwkeuriger resultaat te krijgen. Voer dezelfde meting meerdere keren uit om er zeker van te zijn dat de cijfers die u krijgt nauwkeurig zijn.

Video over het onderwerp

Het vinden van het volume van een driehoek is echt een niet-triviale taak. Feit is dat een driehoek een tweedimensionale figuur is, d.w.z. het ligt geheel in één vlak, wat betekent dat het simpelweg geen volume heeft. Natuurlijk kun je niet iets vinden dat niet bestaat. Maar laten we niet opgeven! We kunnen de volgende veronderstelling aanvaarden: het volume van een tweedimensionale figuur is zijn oppervlakte. We gaan op zoek naar de oppervlakte van de driehoek.

Je zal nodig hebben

  • vel papier, potlood, liniaal, rekenmachine

Instructies

Teken op een stuk papier met behulp van een liniaal en een potlood. Door de driehoek zorgvuldig te onderzoeken, kun je er zeker van zijn dat deze echt geen driehoek heeft, omdat deze in een vlak is getekend. Benoem de zijden van de driehoek: laat de ene zijde zijde "a", de andere zijde "b" zijn en de derde zijde "c". Label de hoekpunten van de driehoek met de letters "A", "B" en "C".

Meet elke zijde van de driehoek met een liniaal en noteer het resultaat. Herstel hierna een loodlijn op de gemeten zijde vanaf het hoekpunt er tegenover, een dergelijke loodlijn zal de hoogte van de driehoek zijn. In het in de figuur getoonde geval wordt de loodlijn "h" hersteld naar zijde "c" vanaf hoekpunt "A". Meet de resulterende hoogte met een liniaal en noteer het meetresultaat.

Het kan voor u moeilijk zijn om de exacte loodlijn te herstellen. In dit geval moet u een andere formule gebruiken. Meet alle zijden van de driehoek met een liniaal. Bereken hierna de halve omtrek van de driehoek “p” door de resulterende lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen en hun som doormidden te delen. Als u de waarde van de semi-perimeter tot uw beschikking heeft, kunt u de formule van Heron gebruiken. Om dit te doen, moet je uitpakken Vierkantswortel uit het volgende: p(p-a)(p-b)(p-c).

U hebt de vereiste oppervlakte van de driehoek verkregen. Het probleem van het vinden van het volume van een driehoek is niet opgelost, maar zoals hierboven vermeld, het volume niet. In de driedimensionale wereld kun je een volume vinden dat in essentie een driehoek is. Als we ons voorstellen dat onze oorspronkelijke driehoek een driedimensionale piramide is geworden, dan zal het volume van zo'n piramide het product zijn van de lengte van de basis en de oppervlakte van de driehoek die we hebben verkregen.

opmerking

Hoe zorgvuldiger u meet, hoe nauwkeuriger uw berekeningen zullen zijn.

Bronnen:

  • Rekenmachine "Alles tot alles" - een portaal voor referentiewaarden
  • driehoeksvolume in 2019

De drie punten die een driehoek op unieke wijze definiëren in het cartesiaanse coördinatensysteem zijn de hoekpunten. Als u hun positie kent ten opzichte van elk van de coördinaatassen, kunt u alle parameters van deze vlakke figuur berekenen, inclusief de parameters die beperkt zijn door de omtrek ervan. vierkant. Dit kan op verschillende manieren.

Instructies

Gebruik de formule van Heron om de oppervlakte te berekenen driehoek. Het gaat om de afmetingen van de drie zijden van de figuur, dus begin je berekeningen met . De lengte van elke zijde moet gelijk zijn aan de wortel van de som van de kwadraten van de lengtes van de projecties op de coördinaatassen. Als we de coördinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) en C(X₃,Y₃,Z₃) noteren, kunnen de lengtes van hun zijden als volgt worden uitgedrukt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Om de berekeningen te vereenvoudigen, introduceert u een hulpvariabele: semiperimeter (P). Uit het feit dat dit de helft is van de som van de lengtes van alle zijden: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Gebied van een driehoek - formules en voorbeelden van probleemoplossing

Hieronder staan formules voor het vinden van de oppervlakte van een willekeurige driehoek die geschikt zijn voor het vinden van de oppervlakte van elke driehoek, ongeacht de eigenschappen, hoeken of afmetingen ervan. De formules worden gepresenteerd in de vorm van een afbeelding, met uitleg voor hun toepassing of rechtvaardiging voor hun juistheid. Correspondenties zijn ook in een aparte figuur aangegeven letteraanduidingen in formules en grafische symbolen in de tekening.

Opmerking . Als de driehoek speciale eigenschappen heeft (gelijkbenig, rechthoekig, gelijkzijdig), kunt u de onderstaande formules gebruiken, evenals aanvullende speciale formules die alleen geldig zijn voor driehoeken met deze eigenschappen:

  • "Formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek"

Formules voor driehoeksoppervlakken

Uitleg voor formules:
a, b, c- de lengtes van de zijden van de driehoek waarvan we de oppervlakte willen vinden
R- straal van de cirkel ingeschreven in de driehoek
R- straal van de cirkel rond de driehoek
H- hoogte van de driehoek naar de zijkant verlaagd
P- halve omtrek van een driehoek, 1/2 van de som van de zijden (omtrek)
α - hoek tegenovergesteld aan zijde a van de driehoek
β - hoek tegenovergesteld aan zijde b van de driehoek
γ - hoek tegenovergesteld aan zijde c van de driehoek
H A, H B , H C- hoogte van de driehoek verlaagd naar zijden a, b, c

Houd er rekening mee dat de gegeven notaties overeenkomen met de afbeelding hierboven, zodat u bij het oplossen van een reëel meetkundeprobleem gemakkelijker visueel kunt vervangen de juiste plaatsen formules zijn correcte waarden.

  • De oppervlakte van de driehoek is de helft van het product van de hoogte van de driehoek en de lengte van de zijde waarmee deze hoogte wordt verlaagd(Formule 1). De juistheid van deze formule kan logisch worden begrepen. De hoogte verlaagd tot de basis splitst een willekeurige driehoek in twee rechthoekige. Als je ze allemaal in een rechthoek bouwt met de afmetingen b en h, dan is de oppervlakte van deze driehoeken uiteraard gelijk aan precies de helft van de oppervlakte van de rechthoek (Spr = bh)
  • De oppervlakte van de driehoek is de helft van het product van de twee zijden en de sinus van de hoek daartussen(Formule 2) (zie hieronder een voorbeeld van het oplossen van een probleem met deze formule). Ook al lijkt het anders dan het vorige, het kan er gemakkelijk naar worden getransformeerd. Als we de hoogte van hoek B naar zijde b verlagen, blijkt dat het product van zijde a en de sinus van hoek γ, volgens de eigenschappen van de sinus in een rechthoekige driehoek, gelijk is aan de hoogte van de driehoek die we tekenden , wat ons de vorige formule geeft
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden door werk de helft van de straal van de cirkel die erin is ingeschreven door de som van de lengtes van al zijn zijden(Formule 3), simpel gezegd, je moet de halve omtrek van de driehoek vermenigvuldigen met de straal van de ingeschreven cirkel (dit is gemakkelijker te onthouden)
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden door het product van al zijn zijden te delen door 4 stralen van de cirkel eromheen (Formule 4)
  • Formule 5 is het vinden van de oppervlakte van een driehoek door de lengtes van zijn zijden en zijn halve omtrek (de helft van de som van al zijn zijden)
  • De formule van Heron(6) is een weergave van dezelfde formule zonder het concept van halve omtrek te gebruiken, alleen door de lengtes van de zijkanten
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek is gelijk aan het product van het kwadraat van de zijde van de driehoek en de sinussen van de hoeken grenzend aan deze zijde gedeeld door de dubbele sinus van de hoek tegenovergesteld aan deze zijde (Formule 7)
  • De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan worden gevonden als het product van twee vierkanten van de cirkel die eromheen wordt begrensd door de sinussen van elk van zijn hoeken. (Formule 8)
  • Als de lengte van één zijde en de waarden van twee aangrenzende hoeken bekend zijn, kan de oppervlakte van de driehoek worden gevonden als het kwadraat van deze zijde gedeeld door de dubbele som van de cotangensen van deze hoeken (Formule 9)
  • Als alleen de lengte van elk van de hoogten van de driehoek bekend is (Formule 10), dan is de oppervlakte van zo’n driehoek omgekeerd evenredig met de lengten van deze hoogten, zoals volgens de formule van Heron
  • Met Formule 11 kunt u berekenen oppervlakte van een driehoek gebaseerd op de coördinaten van zijn hoekpunten, die worden gespecificeerd als (x;y)-waarden voor elk van de hoekpunten. Houd er rekening mee dat de resulterende waarde modulo moet worden genomen, aangezien de coördinaten van individuele (of zelfs alle) hoekpunten zich in het gebied van negatieve waarden kunnen bevinden

Opmerking. Hieronder volgen voorbeelden van het oplossen van geometrieproblemen om de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als je een geometrieprobleem moet oplossen dat hier niet vergelijkbaar is, schrijf er dan over op het forum. In oplossingen kan in plaats van het "vierkantswortel"-symbool de functie sqrt() worden gebruikt, waarbij sqrt het vierkantswortelsymbool is en de radicale uitdrukking tussen haakjes wordt aangegeven..Soms kan voor eenvoudige radicale uitdrukkingen het symbool worden gebruikt √

Taak. Zoek het gebied met twee zijden en de hoek daartussen

De zijden van de driehoek zijn 5 en 6 cm, de hoek daartussen is 60 graden. Zoek het gebied van de driehoek.

Oplossing.

Om dit probleem op te lossen gebruiken we formule nummer twee uit het theoretische deel van de les.
De oppervlakte van een driehoek kan worden gevonden door de lengtes van twee zijden en de sinus van de hoek ertussen en zal gelijk zijn aan
S=1/2 ab sin γ

Omdat we over alle benodigde gegevens voor de oplossing beschikken (volgens de formule), kunnen we alleen de waarden uit de probleemvoorwaarden in de formule vervangen:
S = 1/2 * 5 * 6 * zonde 60

In de waardentabel trigonometrische functies Laten we de waarde van sinus 60 graden zoeken en in de uitdrukking vervangen. Het zal gelijk zijn aan de wortel van drie maal twee.
S = 15 √3 / 2

Antwoord: 7,5 √3 (afhankelijk van de eisen van de leraar kun je waarschijnlijk 15 √3/2 laten)

Taak. Zoek de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek

Zoek de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm.

Oplossing .

De oppervlakte van een driehoek kun je vinden met de formule van Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Omdat a = b = c heeft de formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek de vorm:

S = √3 / 4 * een 2

S = √3 / 4 * 3 2

Antwoord: 9 √3 / 4.

Taak. Verander het gebied bij het veranderen van de lengte van de zijkanten

Hoe vaak wordt de oppervlakte van de driehoek groter als de zijden vier keer groter worden?

Oplossing.

Omdat de afmetingen van de zijden van de driehoek ons ​​onbekend zijn, zullen we, om het probleem op te lossen, aannemen dat de lengtes van de zijden respectievelijk gelijk zijn aan willekeurige getallen a, b, c. Om de vraag van het probleem te beantwoorden, zullen we vervolgens de oppervlakte van de gegeven driehoek vinden, en dan zullen we de oppervlakte van de driehoek vinden waarvan de zijden vier keer groter zijn. De verhouding van de oppervlakten van deze driehoeken zal ons het antwoord op het probleem geven.

Hieronder geven we stap voor stap een tekstuele uitleg van de oplossing van het probleem. Helemaal aan het einde wordt dezelfde oplossing echter in een beter leesbare vorm gegeven. grafische vorm. Geïnteresseerden kunnen meteen de oplossingen bekijken.

Om dit op te lossen gebruiken we de formule van Heron (zie hierboven in het theoretische deel van de les). Het ziet er zo uit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(zie eerste regel van de afbeelding hieronder)

De lengtes van de zijden van een willekeurige driehoek worden gespecificeerd door de variabelen a, b, c.
Als de zijden 4 keer worden vergroot, wordt de oppervlakte van de nieuwe driehoek c:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(zie tweede regel in onderstaande afbeelding)

Zoals u kunt zien, is 4 een gemeenschappelijke factor die tussen haakjes uit alle vier de uitdrukkingen kan worden gehaald algemene regels wiskunde.
Dan

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - op de derde regel van de afbeelding
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - vierde lijn

De vierkantswortel van het getal 256 is perfect geëxtraheerd, dus laten we deze onder de wortel vandaan halen
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(zie vijfde regel van onderstaande afbeelding)

Om de vraag in het probleem te beantwoorden, hoeven we alleen maar de oppervlakte van de resulterende driehoek te delen door de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek.
Laten we de oppervlakteverhoudingen bepalen door de uitdrukkingen door elkaar te delen en de resulterende breuk te verkleinen.

Driehoek is een van de meest voorkomende geometrische vormen, waarmee we al kennis maken Lagere school. Elke student wordt geconfronteerd met de vraag hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden in meetkundelessen. Dus welke kenmerken van het vinden van het gebied van een bepaald figuur kunnen worden geïdentificeerd? In dit artikel zullen we kijken naar de basisformules die nodig zijn om een ​​dergelijke taak te voltooien, en ook de soorten driehoeken analyseren.

Soorten driehoeken

Je kunt de oppervlakte van een driehoek absoluut vinden verschillende manieren, omdat er in de meetkunde meer dan één type figuren bestaat met drie hoeken. Deze typen omvatten:

  • Stomp.
  • Gelijkzijdig (correct).
  • Rechte driehoek.
  • Gelijkbenig.

Laten we ze allemaal eens nader bekijken bestaande typen driehoeken.

Deze geometrische figuur wordt als de meest voorkomende beschouwd bij het oplossen van geometrische problemen. Wanneer de noodzaak zich voordoet om een ​​willekeurige driehoek te tekenen, komt deze optie te hulp.

In een scherpe driehoek zijn, zoals de naam al doet vermoeden, alle hoeken scherp en zijn ze samen 180°.

Dit type driehoek komt ook veel voor, maar komt iets minder vaak voor dan een scherpe driehoek. Als u bijvoorbeeld driehoeken oplost (dat wil zeggen dat verschillende zijden en hoeken bekend zijn en u de overige elementen moet vinden), moet u soms bepalen of de hoek stomp is of niet. Cosinus is een negatief getal.

B, de waarde van een van de hoeken is groter dan 90°, dus de overige twee hoeken kunnen kleine waarden aannemen (bijvoorbeeld 15° of zelfs 3°).

Om het gebied van een driehoek van dit type te vinden, moet je enkele nuances kennen, waarover we later zullen praten.

Regelmatige en gelijkbenige driehoeken

Regelmatige veelhoek is een figuur met n hoeken en waarvan de zijden en hoeken allemaal gelijk zijn. Dit is wat een regelmatige driehoek is. Omdat de som van alle hoeken van een driehoek 180° is, is elk van de drie hoeken 60°.

Een regelmatige driehoek wordt vanwege zijn eigenschap ook wel een gelijkzijdige figuur genoemd.

Het is ook vermeldenswaard dat er in een regelmatige driehoek slechts één cirkel kan worden ingeschreven, en dat er slechts één cirkel omheen kan worden beschreven, en dat hun middelpunten zich op hetzelfde punt bevinden.

Naast het gelijkzijdige type kan men ook een gelijkbenige driehoek onderscheiden, die er enigszins van afwijkt. In zo'n driehoek zijn twee zijden en twee hoeken gelijk aan elkaar, en de derde zijde (waaraan de aangrenzende gelijke hoeken) is de basis.

De figuur toont een gelijkbenige driehoek DEF waarvan de hoeken D en F gelijk zijn en DF de basis is.

Rechte driehoek

Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van de hoeken gelijk is aan 90°. De andere twee hoeken zijn samen 90°.

De grootste zijde van zo'n driehoek, die tegenover de hoek van 90° ligt, is de hypotenusa, terwijl de overige twee zijden de benen zijn. Voor dit type driehoek geldt de stelling van Pythagoras:

De som van de kwadraten van de lengtes van de benen is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.

De figuur toont een rechthoekige driehoek BAC met hypotenusa AC en benen AB en BC.

Om de oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek te vinden, moet je dit weten numerieke waarden zijn benen.

Laten we verder gaan met de formules voor het vinden van de oppervlakte van een bepaald figuur.

Basisformules voor het vinden van oppervlakte

In de meetkunde zijn er twee formules die geschikt zijn om de oppervlakte van de meeste soorten driehoeken te vinden, namelijk voor acute, stompe, regelmatige en gelijkbenige driehoeken. Laten we ze allemaal bekijken.

Aan de zijkant en hoogte

Deze formule is universeel voor het vinden van het gebied van de figuur die we overwegen. Om dit te doen, volstaat het om de lengte van de zijde en de lengte van de hoogte die ernaartoe wordt getrokken te kennen. De formule zelf (de helft van het product van de basis en de hoogte) is als volgt:

waarbij A de zijde van een gegeven driehoek is, en H de hoogte van de driehoek.

Om bijvoorbeeld de oppervlakte van een scherpe driehoek ACB te vinden, moet u de zijde AB vermenigvuldigen met de hoogte CD en de resulterende waarde door twee delen.

Het is echter niet altijd eenvoudig om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als u deze formule bijvoorbeeld voor een stompe driehoek wilt gebruiken, moet u een van de zijden verlengen en er pas daarna een hoogte naar toe tekenen.

In de praktijk wordt deze formule vaker gebruikt dan andere.

Aan beide zijden en hoek

Deze formule is, net als de vorige, geschikt voor de meeste driehoeken en is in zijn betekenis een gevolg van de formule voor het vinden van de oppervlakte naast elkaar en de hoogte van een driehoek. Dat wil zeggen dat de betreffende formule gemakkelijk kan worden afgeleid van de vorige. De formulering ziet er als volgt uit:

S = ½*sinO*A*B,

waarbij A en B de zijden van de driehoek zijn, en O de hoek tussen zijden A en B.

Laten we ons herinneren dat de sinus van een hoek kan worden bekeken in een speciale tabel, genoemd naar de vooraanstaande Sovjetwiskundige V. M. Bradis.

Laten we nu verder gaan met andere formules die alleen geschikt zijn voor uitzonderlijke soorten driehoeken.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Naast de universele formule, die de noodzaak omvat om de hoogte in een driehoek te vinden, kan het gebied van een driehoek met een rechte hoek worden gevonden vanaf de benen.

De oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek is dus de helft van het product van zijn benen, of:

waarbij a en b benen zijn rechthoekige driehoek.

Regelmatige driehoek

Dit type geometrische figuren verschillen doordat het gebied ervan kan worden gevonden met de aangegeven waarde van slechts één van de zijden (aangezien alle zijden regelmatige driehoek zijn gelijk). Dus als u wordt geconfronteerd met de taak om "de oppervlakte van een driehoek te vinden als de zijden gelijk zijn", moet u de volgende formule gebruiken:

S = EEN 2 *√3 / 4,

waarbij A de zijde van de gelijkzijdige driehoek is.

De formule van Heron

De laatste optie om de oppervlakte van een driehoek te vinden is de formule van Heron. Om het te kunnen gebruiken, moet je de lengtes van de drie zijden van de figuur kennen. De formule van Heron ziet er als volgt uit:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

waarbij a, b en c de zijden van een gegeven driehoek zijn.

Soms wordt het probleem gegeven: "de oppervlakte van een regelmatige driehoek is het vinden van de lengte van zijn zijde." In dit geval moeten we de formule gebruiken die we al kennen om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden en daaruit de waarde van de zijde (of het vierkant) afleiden:

A2 = 4S / √3.

Examen taken

Er zijn veel formules voor GIA-problemen in de wiskunde. Bovendien is het vaak nodig om het gebied van een driehoek op geruit papier te vinden.

In dit geval is het het handigst om de hoogte naar een van de zijkanten van de figuur te tekenen, de lengte ervan uit de cellen te bepalen en de universele formule te gebruiken om het gebied te vinden:

Dus na het bestuderen van de formules die in het artikel worden gepresenteerd, zul je geen problemen hebben om het gebied van een driehoek van welke aard dan ook te vinden.