IN moderne samenleving De mogelijkheid om bewerkingen uit te voeren met vergelijkingen die een variabele in het kwadraat bevatten, kan nuttig zijn op veel gebieden van activiteit en wordt in de praktijk veel gebruikt in wetenschappelijke en technische ontwikkelingen. Bewijs hiervan is te vinden in het ontwerp van zee- en rivierschepen, vliegtuigen en raketten. Met behulp van dergelijke berekeningen zijn de bewegingstrajecten het meest verschillende lichamen, inclusief ruimtevoorwerpen. Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden niet alleen gebruikt bij economische voorspellingen, bij het ontwerp en de constructie van gebouwen, maar ook in de meest gewone alledaagse omstandigheden. Ze kunnen nodig zijn tijdens wandeltochten, bij sportevenementen, in winkels bij het doen van aankopen en in andere veel voorkomende situaties.
Laten we de uitdrukking opsplitsen in de samenstellende factoren
De graad van een vergelijking wordt bepaald door de maximale waarde van de graad van de variabele die de uitdrukking bevat. Als deze gelijk is aan 2, wordt een dergelijke vergelijking kwadratisch genoemd.
Als we in de taal van formules spreken, kunnen de aangegeven uitdrukkingen, hoe ze er ook uitzien, altijd in de vorm worden gebracht als de linkerkant van de uitdrukking uit drie termen bestaat. Onder hen: ax 2 (dat wil zeggen een variabele in het kwadraat met zijn coëfficiënt), bx (een onbekende zonder kwadraat met zijn coëfficiënt) en c (een vrije component, dat wil zeggen een gewoon getal). Dit alles aan de rechterkant is gelijk aan 0. In het geval dat een dergelijke polynoom een van zijn samenstellende termen mist, met uitzondering van ax 2, wordt dit een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd. Voorbeelden met de oplossing van dergelijke problemen, waarvan de waarden van de variabelen gemakkelijk te vinden zijn, moeten eerst worden overwogen.
Als de uitdrukking eruit ziet alsof er twee termen aan de rechterkant staan, meer bepaald ax 2 en bx, is de eenvoudigste manier om x te vinden door de variabele tussen haakjes te zetten. Nu zal onze vergelijking er als volgt uitzien: x(ax+b). Vervolgens wordt het duidelijk dat x = 0, of dat het probleem neerkomt op het vinden van een variabele de volgende uitdrukking: bijl+b=0. Dit wordt bepaald door een van de eigenschappen van vermenigvuldiging. De regel stelt dat het product van twee factoren alleen 0 oplevert als één van beide nul is.
Voorbeeld
x=0 of 8x - 3 = 0
Als resultaat krijgen we twee wortels van de vergelijking: 0 en 0,375.
Dit soort vergelijkingen kunnen de beweging beschrijven van lichamen onder invloed van de zwaartekracht, die begonnen te bewegen vanaf een bepaald punt dat als de oorsprong van de coördinaten wordt genomen. Hier heeft de wiskundige notatie de volgende vorm: y = v 0 t + gt 2 /2. Vervanging vereiste waarden Door de rechterkant gelijk te stellen aan 0 en mogelijke onbekenden te vinden, kun je de tijd achterhalen die verstrijkt vanaf het moment dat het lichaam opstijgt tot het moment dat het valt, evenals vele andere grootheden. Maar we zullen hier later over praten.
Een uitdrukking ontbinden
De hierboven beschreven regel maakt het mogelijk om deze problemen op meer manieren op te lossen moeilijke gevallen. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen van dit type.
X2 - 33x + 200 = 0
Dit kwadratische trinominaal is compleet. Laten we eerst de uitdrukking transformeren en factoriseren. Er zijn er twee: (x-8) en (x-25) = 0. Als resultaat hebben we twee wortels 8 en 25.
Voorbeelden met het oplossen van kwadratische vergelijkingen in graad 9 maken het met deze methode mogelijk om een variabele te vinden in uitdrukkingen, niet alleen van de tweede, maar zelfs van de derde en vierde orde.
Bijvoorbeeld: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Als je de rechterkant ontbindt in factoren met een variabele, zijn er drie, namelijk (x+1), (x-3) en (x+ 3).
Als gevolg hiervan wordt het duidelijk dat gegeven vergelijking heeft drie wortels: -3; -1; 3.
Vierkantswortel
Nog een geval onvolledige vergelijking de tweede orde is een uitdrukking die in de lettertaal zo wordt weergegeven dat de rechterkant is opgebouwd uit de componenten ax 2 en c. Hier wordt, om de waarde van de variabele te verkrijgen, de vrije term naar de rechterkant overgebracht en daarna uit beide zijden van de gelijkheid gehaald. Vierkantswortel. Opgemerkt moet worden dat er in dit geval meestal twee wortels van de vergelijking zijn. De enige uitzonderingen kunnen gelijkheden zijn die helemaal geen term bevatten, waarbij de variabele gelijk is aan nul, evenals varianten van uitdrukkingen waarbij de rechterkant negatief blijkt te zijn. In het laatste geval zijn er helemaal geen oplossingen, omdat bovenstaande acties niet met wortels kunnen worden uitgevoerd. Voorbeelden van oplossingen voor dit soort kwadratische vergelijkingen moeten worden overwogen.
In dit geval zijn de wortels van de vergelijking de getallen -4 en 4.
Berekening van het landoppervlak
Binnen nodig Deze soort berekeningen verschenen in de oudheid, omdat de ontwikkeling van de wiskunde in die verre tijden in veel opzichten werd bepaald door de noodzaak om met de grootste nauwkeurigheid de gebieden en omtrekken van percelen te bepalen.
We moeten ook voorbeelden overwegen van het oplossen van kwadratische vergelijkingen op basis van dit soort problemen.
Laten we zeggen dat er een rechthoekig stuk grond is waarvan de lengte 16 meter groter is dan de breedte. U moet de lengte, breedte en omtrek van de locatie vinden als u weet dat de oppervlakte 612 m2 bedraagt.
Laten we eerst de benodigde vergelijking maken om aan de slag te gaan. Laten we de breedte van het gebied met x aangeven, dan is de lengte (x+16). Uit wat is geschreven volgt dat de oppervlakte wordt bepaald door de uitdrukking x(x+16), die, volgens de voorwaarden van ons probleem, 612 is. Dit betekent dat x(x+16) = 612.
Het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen, en deze uitdrukking is precies dat, kan niet op dezelfde manier worden gedaan. Waarom? Hoewel de linkerkant nog steeds twee factoren bevat, is hun product helemaal niet gelijk aan 0, dus worden hier verschillende methoden gebruikt.
Discriminerend
Laten we eerst en vooral de noodzakelijke transformaties doorvoeren verschijning uitdrukking gegeven ziet er als volgt uit: x 2 + 16x - 612 = 0. Dit betekent dat we een uitdrukking hebben ontvangen in een vorm die overeenkomt met de eerder gespecificeerde standaard, waarbij a=1, b=16, c=-612.
Dit zou een voorbeeld kunnen zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen met behulp van een discriminant. Hier noodzakelijke berekeningen worden geproduceerd volgens het schema: D = b 2 - 4ac. Deze hulpgrootheid maakt het niet alleen mogelijk om de benodigde hoeveelheden in een tweede-ordevergelijking te vinden, maar bepaalt ook de hoeveelheid mogelijke opties. Als D>0 zijn er twee; voor D=0 is er één wortel. In geval D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Over wortels en hun formule
In ons geval is de discriminant gelijk aan: 256 - 4(-612) = 2704. Dit suggereert dat ons probleem een antwoord heeft. Als je k kent, moet de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden voortgezet met behulp van de onderstaande formule. Hiermee kunt u de wortels berekenen.
Dit betekent dat in het gepresenteerde geval: x 1 =18, x 2 =-34. De tweede optie in dit dilemma kan geen oplossing zijn, omdat de afmetingen van het perceel niet in negatieve hoeveelheden kunnen worden gemeten, wat betekent dat x (dat wil zeggen de breedte van het perceel) 18 m is. Vanaf hier berekenen we de lengte: 18 +16=34, en de omtrek 2(34+ 18)=104(m2).
Voorbeelden en taken
We vervolgen onze studie van kwadratische vergelijkingen. Hieronder worden voorbeelden en gedetailleerde oplossingen van een aantal ervan gegeven.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Laten we alles naar de linkerkant van de gelijkheid verplaatsen, een transformatie uitvoeren, dat wil zeggen, we krijgen het type vergelijking dat gewoonlijk standaard wordt genoemd, en stellen deze gelijk aan nul.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Door soortgelijke op te tellen, bepalen we de discriminant: D = 49 - 48 = 1. Dit betekent dat onze vergelijking twee wortels zal hebben. Laten we ze berekenen volgens de bovenstaande formule, wat betekent dat de eerste gelijk is aan 4/3 en de tweede aan 1.
2) Laten we nu mysteries van een ander soort oplossen.
Laten we eens kijken of hier wortels zijn x 2 - 4x + 5 = 1? Laten we, om een alomvattend antwoord te krijgen, de polynoom terugbrengen tot de overeenkomstige gebruikelijke vorm en de discriminant berekenen. In het bovenstaande voorbeeld is het niet nodig om de kwadratische vergelijking op te lossen, omdat dit helemaal niet de essentie van het probleem is. In dit geval is D = 16 - 20 = -4, wat betekent dat er echt geen wortels zijn.
De stelling van Vieta
Het is handig om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de bovenstaande formules en de discriminant, wanneer de vierkantswortel wordt genomen uit de waarde van de laatste. Maar dit gebeurt niet altijd. Er zijn in dit geval echter veel manieren om de waarden van variabelen te verkrijgen. Voorbeeld: kwadratische vergelijkingen oplossen met behulp van de stelling van Vieta. Ze is vernoemd naar iemand die in de 16e eeuw in Frankrijk woonde en een schitterende carrière maakte dankzij zijn wiskundig talent en connecties aan het hof. Zijn portret is te zien in het artikel.
Het patroon dat de beroemde Fransman opmerkte was als volgt. Hij bewees dat de wortels van de vergelijking numeriek optellen tot -p=b/a, en dat hun product overeenkomt met q=c/a.
Laten we nu naar specifieke taken kijken.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Laten we voor de eenvoud de uitdrukking transformeren:
x 2 + 7x - 18 = 0
Laten we de stelling van Vieta gebruiken, dit geeft ons het volgende: de som van de wortels is -7 en hun product is -18. Vanaf hier krijgen we dat de wortels van de vergelijking de getallen -9 en 2 zijn. Na controle zullen we ervoor zorgen dat deze variabelewaarden echt in de uitdrukking passen.
Paraboolgrafiek en vergelijking
De concepten van kwadratische functie en kwadratische vergelijkingen zijn nauw verwant. Voorbeelden hiervan zijn al eerder gegeven. Laten we nu enkele wiskundige raadsels wat gedetailleerder bekijken. Elke vergelijking van het beschreven type kan visueel worden weergegeven. Zo'n relatie, getekend als een grafiek, wordt een parabool genoemd. De verschillende typen worden weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Elke parabool heeft een hoekpunt, dat wil zeggen een punt van waaruit zijn takken tevoorschijn komen. Als a>0, gaan ze hoog naar oneindig, en als a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Visuele representaties van functies helpen bij het oplossen van alle vergelijkingen, inclusief kwadratische vergelijkingen. Deze methode wordt grafisch genoemd. En de waarde van de x-variabele is de absciscoördinaat op de punten waar de grafieklijn 0x snijdt. De coördinaten van het hoekpunt kunnen worden gevonden met behulp van de zojuist gegeven formule x 0 = -b/2a. En door de resulterende waarde in de oorspronkelijke vergelijking van de functie te vervangen, kun je y 0 achterhalen, dat wil zeggen de tweede coördinaat van de top van de parabool, die bij de ordinaat hoort.
Het snijpunt van de takken van een parabool met de abscis-as
Er zijn veel voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar er zijn ook algemene patronen. Laten we ze eens bekijken. Het is duidelijk dat het snijpunt van de grafiek met de 0x-as voor a>0 alleen mogelijk is als y 0 neemt negatieve waarden. En voor een<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Anders D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Uit de grafiek van de parabool kun je ook de wortels bepalen. Het tegendeel is ook waar. Dat wil zeggen, als u een visueel beeld krijgt kwadratische functie Het is niet eenvoudig: je kunt de rechterkant van de uitdrukking gelijkstellen aan 0 en de resulterende vergelijking oplossen. En als je de snijpunten met de 0x-as kent, is het gemakkelijker om een grafiek te construeren.
Uit de geschiedenis
Met behulp van vergelijkingen die een kwadratische variabele bevatten, maakten ze vroeger niet alleen wiskundige berekeningen en bepaalden ze de gebieden van geometrische figuren. De Ouden hadden dergelijke berekeningen nodig voor grote ontdekkingen op het gebied van de natuurkunde en astronomie, maar ook voor het maken van astrologische voorspellingen.
Zoals moderne wetenschappers suggereren, behoorden de inwoners van Babylon tot de eersten die kwadratische vergelijkingen oplosten. Dit gebeurde vier eeuwen vóór onze jaartelling. Natuurlijk waren hun berekeningen radicaal anders dan de berekeningen die momenteel worden geaccepteerd en bleken ze veel primitiever te zijn. Mesopotamische wiskundigen hadden bijvoorbeeld geen idee van het bestaan van negatieve getallen. Ze waren ook niet bekend met andere subtiliteiten die elk modern schoolkind kent.
Misschien zelfs eerder dan de wetenschappers van Babylon begon de wijze uit India Baudhayama met het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Dit gebeurde ongeveer acht eeuwen vóór het tijdperk van Christus. Het is waar dat de vergelijkingen van de tweede orde, de oplossingsmethoden die hij gaf, de eenvoudigste waren. Naast hem waren vroeger ook Chinese wiskundigen geïnteresseerd in soortgelijke vragen. In Europa werden kwadratische vergelijkingen pas aan het begin van de 13e eeuw opgelost, maar later werden ze in hun werken gebruikt door grote wetenschappers als Newton, Descartes en vele anderen.
Kwadratische vergelijkingen. Discriminerend. Oplossing, voorbeelden.
Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)
Soorten kwadratische vergelijkingen
Wat is een kwadratische vergelijking? Hoe ziet het eruit? Op termijn kwadratische vergelijking het sleutelwoord is "vierkant". Dit betekent dat in de vergelijking Nodig er moet een x kwadraat zijn. Daarnaast kan de vergelijking (of niet!) alleen X (tot de eerste macht) en alleen een getal bevatten (gratis lid). En er mogen geen X'en zijn tot een macht groter dan twee.
In wiskundige termen is een kwadratische vergelijking een vergelijking van de vorm:
Hier a, b en c- enkele cijfers. b en c- absoluut geen, maar A– iets anders dan nul. Bijvoorbeeld:
Hier A =1; B = 3; C = -4
Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2
Hier A =-3; B = 6; C = -18
Nou, je begrijpt het...
In deze kwadratische vergelijkingen aan de linkerkant is er volledige set leden. X kwadraat met een coëfficiënt A, x tot de eerste macht met coëfficiënt B En gratis lid s.
Dergelijke kwadratische vergelijkingen worden genoemd vol.
En als B= 0, wat krijgen we? We hebben X gaat verloren tot de eerste macht. Dit gebeurt wanneer het met nul wordt vermenigvuldigd.) Het blijkt bijvoorbeeld:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Enzovoort. En als beide coëfficiënten B En C gelijk zijn aan nul, dan is het nog eenvoudiger:
2x 2 =0,
-0,3x 2 =0
Dergelijke vergelijkingen waarin iets ontbreekt, worden genoemd onvolledige kwadratische vergelijkingen. Dat is heel logisch.) Houd er rekening mee dat x kwadraat in alle vergelijkingen aanwezig is.
Trouwens, waarom A kan niet gelijk zijn aan nul? En jij vervangt in plaats daarvan A nul.) Ons X-kwadraat zal verdwijnen! De vergelijking wordt lineair. En de oplossing is totaal anders...
Dat zijn alle belangrijke soorten kwadratische vergelijkingen. Compleet en onvolledig.
Kwadratische vergelijkingen oplossen.
Volledige kwadratische vergelijkingen oplossen.
Kwadratische vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen. Volgens formules en duidelijke, eenvoudige regels. In de eerste fase is het noodzakelijk om de gegeven vergelijking naar een standaardvorm te brengen, d.w.z. naar het formulier:
Als de vergelijking al in dit formulier aan u is gegeven, hoeft u de eerste fase niet uit te voeren.) Het belangrijkste is om alle coëfficiënten correct te bepalen, A, B En C.
De formule voor het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking ziet er als volgt uit:
De uitdrukking onder het wortelteken wordt aangeroepen discriminerend. Maar hieronder meer over hem. Zoals je kunt zien, gebruiken we om X te vinden alleen a, b en c. Die. coëfficiënten uit een kwadratische vergelijking. Vervang de waarden voorzichtig a, b en c We berekenen in deze formule. Laten we vervangen met je eigen borden! In de vergelijking bijvoorbeeld:
A =1; B = 3; C= -4. Hier schrijven we het op:
Het voorbeeld is bijna opgelost:
Dit is het antwoord.
Alles is heel eenvoudig. En wat, denk je dat het onmogelijk is om een fout te maken? Nou ja, hoe...
De meest voorkomende fouten zijn verwarring met tekenwaarden a, b en c. Of beter gezegd, niet met hun tekens (waar kun je in de war raken?), Maar met de vervanging van negatieve waarden in de formule voor het berekenen van de wortels. Wat hierbij helpt is een gedetailleerde registratie van de formule met specifieke cijfers. Als er problemen zijn met berekeningen, doe dat!
Stel dat we het volgende voorbeeld moeten oplossen:
Hier A = -6; B = -5; C = -1
Stel dat u weet dat u zelden de eerste keer antwoorden krijgt.
Wees niet lui. Het duurt ongeveer 30 seconden om een extra regel te schrijven, en het aantal fouten zal sterk afnemen. Dus schrijven we in detail, met alle haakjes en tekens:
Het lijkt ongelooflijk moeilijk om zo zorgvuldig op te schrijven. Maar dat lijkt alleen maar zo. Probeer het eens. Nou ja, of kies. Wat is beter, snel of goed? Bovendien zal ik je gelukkig maken. Na een tijdje is het niet meer nodig om alles zo zorgvuldig op te schrijven. Het komt vanzelf wel goed. Zeker als je gebruik maakt van praktische technieken die hieronder worden beschreven. Dit slechte voorbeeld met een heleboel minnen kan eenvoudig en zonder fouten worden opgelost!
Maar vaak zien kwadratische vergelijkingen er iets anders uit. Bijvoorbeeld zoals dit:
Herkende je het?) Ja! Dit onvolledige kwadratische vergelijkingen.
Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen.
Ze kunnen ook worden opgelost met behulp van een algemene formule. Je hoeft alleen maar goed te begrijpen waar ze hier gelijk aan zijn. a, b en c.
Heb je het door? In het eerste voorbeeld een = 1; b = -4; A C? Het is er helemaal niet! Nou ja, dat klopt. In de wiskunde betekent dit dat c = 0 ! Dat is alles. Vervang in plaats daarvan nul in de formule C, en wij zullen slagen. Hetzelfde met het tweede voorbeeld. Alleen hebben we hier geen nul Met, A B !
Maar onvolledige kwadratische vergelijkingen kunnen veel eenvoudiger worden opgelost. Zonder enige formules. Laten we de eerste onvolledige vergelijking bekijken. Wat kun je aan de linkerkant doen? Je kunt X tussen haakjes verwijderen! Laten we het eruit halen.
En wat hiervan? En het feit dat het product gelijk is aan nul als en slechts als een van de factoren gelijk is aan nul! Geloof je mij niet? Oké, bedenk dan twee getallen die niet nul zijn en die, vermenigvuldigd, nul opleveren!
Werkt niet? Dat is het...
Daarom kunnen we vol vertrouwen schrijven: x1 = 0, x2=4.
Alle. Dit zullen de wortels van onze vergelijking zijn. Beide zijn geschikt. Wanneer we een van deze in de oorspronkelijke vergelijking vervangen, krijgen we de juiste identiteit 0 = 0. Zoals u kunt zien, is de oplossing veel eenvoudiger dan het gebruik van de algemene formule. Laat me trouwens opmerken welke X de eerste zal zijn en welke de tweede zal zijn - absoluut onverschillig. Het is handig om in volgorde te schrijven, x 1- wat is kleiner en x 2- dat wat groter is.
De tweede vergelijking kan ook eenvoudig worden opgelost. Verplaats 9 naar de rechterkant. We krijgen:
Het enige dat overblijft is om de wortel uit 9 te halen, en dat is alles. Het zal blijken:
Ook twee wortels . x1 = -3, x2=3.
Dit is hoe alle onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Hetzij door X tussen haakjes te plaatsen, of door simpelweg het getal naar rechts te verplaatsen en vervolgens de wortel eruit te halen.
Het is uiterst moeilijk om deze technieken te verwarren. Simpelweg omdat je in het eerste geval de wortel van X moet extraheren, wat op de een of andere manier onbegrijpelijk is, en in het tweede geval valt er niets tussen haakjes te halen...
Discriminerend. Discriminerende formule.
magisch woord discriminerend ! Zelden heeft een middelbare scholier dit woord niet gehoord! De uitdrukking ‘we lossen op via een discriminant’ wekt vertrouwen en geruststelling. Omdat je geen trucjes van de discriminant hoeft te verwachten! Het is eenvoudig en probleemloos te gebruiken.) Ik herinner u aan de meest algemene oplossingsformule elk kwadratische vergelijkingen:
De uitdrukking onder het wortelteken wordt een discriminant genoemd. Meestal wordt de discriminant aangegeven met de letter D. Discriminante formule:
D = b2 - 4ac
En wat is er zo opmerkelijk aan deze uitdrukking? Waarom verdiende het een speciale naam? Wat de betekenis van de discriminant? Ten slotte -B, of 2a in deze formule noemen ze het niet specifiek iets... Letters en letters.
Hier gaat het om. Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met deze formule is dit mogelijk slechts drie gevallen.
1. De discriminant is positief. Dit betekent dat de wortel eruit kan worden gehaald. Of de wortel goed of slecht wordt geëxtraheerd, is een andere vraag. Wat belangrijk is, is wat er in principe wordt geëxtraheerd. Dan heeft je kwadratische vergelijking twee wortels. Twee verschillende oplossingen.
2. De discriminant is nul. Dan heb je één oplossing. Omdat het optellen of aftrekken van nul in de teller niets verandert. Strikt genomen is dit niet één wortel, maar twee identiek. Maar in een vereenvoudigde versie is het gebruikelijk om erover te praten een oplossing.
3. De discriminant is negatief. Van negatief nummer de vierkantswortel wordt niet genomen. Nou, oké. Dit betekent dat er geen oplossingen zijn.
Eerlijk gezegd is het concept van een discriminant niet echt nodig bij het simpelweg oplossen van kwadratische vergelijkingen. We vervangen de waarden van de coëfficiënten in de formule en tellen. Alles gebeurt daar vanzelf, twee wortels, één en geen. Echter bij het oplossen van complexere taken, zonder kennis betekenis en formule van de discriminant niet genoeg. Vooral in vergelijkingen met parameters. Dergelijke vergelijkingen zijn kunstvluchten voor het staatsexamen en het verenigde staatsexamen!)
Dus, Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen door de discriminant die je je herinnerde. Of je hebt het geleerd, wat ook niet slecht is.) Je weet hoe je het correct moet bepalen a, b en c. Weet jij hoe? aandachtig vervang ze door de hoofdformule en aandachtig tel het resultaat. Je begrijpt dat het sleutelwoord hier is aandachtig?
Let nu eens op praktische technieken die het aantal fouten dramatisch verminderen. Dezelfde die het gevolg zijn van onoplettendheid... Waarvoor het later pijnlijk en beledigend wordt...
Eerste afspraak
. Wees niet lui voordat je een kwadratische vergelijking oplost en deze in de standaardvorm brengt. Wat betekent dit?
Laten we zeggen dat je na alle transformaties de volgende vergelijking krijgt:
Haast je niet om de basisformule te schrijven! Je zult vrijwel zeker de kansen door elkaar halen a, b en c. Bouw het voorbeeld correct op. Eerst X in het kwadraat, dan zonder kwadraat en dan de vrije term. Soortgelijk:
En nogmaals, haast je niet! Een minteken voor een X-kwadraat kan je echt van streek maken. Het is gemakkelijk om te vergeten... Weg met de min. Hoe? Ja, zoals we in het vorige onderwerp hebben geleerd! We moeten de hele vergelijking met -1 vermenigvuldigen. We krijgen:
Maar nu kun je veilig de formule voor de wortels opschrijven, de discriminant berekenen en het voorbeeld oplossen. Beslis voor jezelf. Je zou nu wortels 2 en -1 moeten hebben.
Ontvangst tweede. Controleer de wortels! Volgens de stelling van Vieta. Wees niet bang, ik zal alles uitleggen! Controleren laatste ding de vergelijking. Die. degene die we gebruikten om de wortelformule op te schrijven. Als (zoals in dit voorbeeld) de coëfficiënt een = 1, het controleren van de wortels is eenvoudig. Het is voldoende om ze te vermenigvuldigen. Het resultaat zou een gratis lid moeten zijn, d.w.z. in ons geval -2. Let op, niet 2, maar -2! Gratis lid met jouw teken . Als het niet lukt, betekent dit dat ze al ergens een fout hebben gemaakt. Zoek de fout.
Als het werkt, moet je de wortels toevoegen. Laatste en laatste controle. De coëfficiënt zou moeten zijn B Met tegenovergestelde
bekend. In ons geval -1+2 = +1. Een coëfficiënt B, dat vóór de X staat, is gelijk aan -1. Alles klopt dus!
Het is jammer dat dit alleen zo eenvoudig is voor voorbeelden waarin x kwadraat puur is, met een coëfficiënt een = 1. Maar controleer in ieder geval zulke vergelijkingen! Er zullen steeds minder fouten zijn.
Ontvangst derde . Als je vergelijking breukcoëfficiënten heeft, verwijder dan de breuken! Vermenigvuldig de vergelijking met een gemeenschappelijke noemer, zoals beschreven in de les 'Vergelijkingen oplossen? Identiteitstransformaties'. Bij het werken met breuken blijven er om de een of andere reden fouten binnensluipen...
Trouwens, ik beloofde het kwade voorbeeld te vereenvoudigen met een aantal minnen. Alsjeblieft! Hier is hij.
Om niet in de war te raken door de minnen, vermenigvuldigen we de vergelijking met -1. We krijgen:
Dat is alles! Oplossen is een plezier!
Dus laten we het onderwerp samenvatten.
Praktische tips:
1. Voordat we het oplossen, brengen we de kwadratische vergelijking naar de standaardvorm en bouwen we deze Rechts.
2. Als er een negatieve coëfficiënt vóór het X-kwadraat staat, elimineren we deze door de hele vergelijking met -1 te vermenigvuldigen.
3. Als de coëfficiënten fractioneel zijn, elimineren we de breuken door de hele vergelijking met de overeenkomstige factor te vermenigvuldigen.
4. Als x kwadraat zuiver is en de coëfficiënt gelijk is aan één, kan de oplossing eenvoudig worden geverifieerd met behulp van de stelling van Vieta. Doe het!
Nu kunnen we beslissen.)
Vergelijkingen oplossen:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Antwoorden (in wanorde):
x1 = 0
x2=5
x 1,2 =2
x1=2
x2 = -0,5
x - elk getal
x1 = -3
x2=3
geen oplossingen
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Past alles? Geweldig! Kwadratische vergelijkingen zijn niet jouw hoofdpijn. De eerste drie werkten, maar de rest niet? Dan ligt het probleem niet bij kwadratische vergelijkingen. Het probleem zit in identieke transformaties van vergelijkingen. Kijk eens naar de link, die is nuttig.
Lukt het niet helemaal? Of lukt het helemaal niet? Dan helpt Sectie 555 u. Al deze voorbeelden worden daar opgesplitst. Getoond voornaamst fouten in de oplossing. Natuurlijk praten we ook over het gebruik van identieke transformaties bij het oplossen van verschillende vergelijkingen. Helpt veel!
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking die er zo uitziet bijl 2 + dx + c = 0. Het heeft betekenis een, c En Met eventuele cijfers, en A niet gelijk aan nul.
Alle kwadratische vergelijkingen zijn onderverdeeld in verschillende typen, namelijk:
Vergelijkingen met slechts één wortel.
-Vergelijkingen met twee verschillende wortels.
-Vergelijkingen waarin er helemaal geen wortels zijn.
Dit onderscheidt lineaire vergelijkingen waarin de wortel altijd hetzelfde is, van vierkante vergelijkingen. Om te begrijpen hoeveel wortels er in de uitdrukking zitten, heb je nodig Discriminant van een kwadratische vergelijking.
Laten we aannemen dat onze vergelijking ax 2 + dx + c =0 is. Middelen discriminant van een kwadratische vergelijking -
D = b 2 - 4 ac
En dit moet voor altijd herinnerd worden. Met behulp van deze vergelijking bepalen we het aantal wortels in de kwadratische vergelijking. En wij doen het op deze manier:
Wanneer D kleiner is dan nul, zijn er geen wortels in de vergelijking.
- Als D nul is, is er maar één wortel.
- Wanneer D groter is dan nul, heeft de vergelijking twee wortels.
Onthoud dat de discriminant laat zien hoeveel wortels er in de vergelijking zitten, zonder de tekens te veranderen.
Laten we voor de duidelijkheid het volgende bekijken:
We moeten uitzoeken hoeveel wortels er in deze kwadratische vergelijking zitten.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
We voeren de waarden in de eerste vergelijking in en vinden de discriminant.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
De discriminant heeft een plusteken, wat betekent dat er twee wortels in deze gelijkheid zijn.
Hetzelfde doen we met de tweede vergelijking
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
De waarde is negatief, wat betekent dat er geen wortels in deze gelijkheid zijn.
Laten we de volgende vergelijking naar analogie uitbreiden.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
Als gevolg hiervan hebben we één wortel in de vergelijking.
Het is belangrijk dat we in elke vergelijking de coëfficiënten opschrijven. Dit is uiteraard geen erg lang proces, maar het heeft ervoor gezorgd dat we niet in de war raakten en dat er geen fouten konden optreden. Als je soortgelijke vergelijkingen heel vaak oplost, kun je de berekeningen mentaal uitvoeren en van tevoren weten hoeveel wortels de vergelijking heeft.
Laten we naar een ander voorbeeld kijken:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Laten we de eerste uiteenzetten
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, wat groter is dan nul, wat twee wortels betekent, laten we ze afleiden
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
We leggen de tweede neer
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, wat groter is dan nul en ook twee wortels heeft. Laten we ze uitvoeren:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
We leggen de derde neer
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, wat gelijk is aan nul en één wortel heeft
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Het oplossen van deze vergelijkingen is niet moeilijk.
Als we een onvolledige kwadratische vergelijking krijgen. Zoals
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Deze vergelijkingen verschillen van de bovenstaande, omdat ze niet volledig zijn en er geen derde waarde in zit. Maar desondanks is het eenvoudiger dan een volledige kwadratische vergelijking en is het niet nodig om daarin naar een discriminant te zoeken.
Wat te doen als je dringend een scriptie of essay nodig hebt, maar geen tijd hebt om deze te schrijven? Dit alles en nog veel meer kan worden besteld op de Deeplom.by-website (http://deeplom.by/) en behaal de hoogste score.
Kwadratische vergelijking - eenvoudig op te lossen! *Hierna “KU” genoemd. Vrienden, het lijkt erop dat er in de wiskunde niets eenvoudiger is dan het oplossen van een dergelijke vergelijking. Maar iets zei me dat veel mensen problemen met hem hebben. Ik besloot om te zien hoeveel on-demand vertoningen Yandex per maand geeft. Dit is wat er gebeurde, kijk:
Wat betekent het? Dit betekent dat ongeveer 70.000 mensen per maand naar deze informatie zoeken, en dit is zomer, en wat er tijdens het schooljaar zal gebeuren - er zullen twee keer zoveel verzoeken zijn. Dit is niet verrassend, want die jongens en meisjes die lang geleden van school zijn afgestudeerd en zich voorbereiden op het Unified State Exam, zijn op zoek naar deze informatie, en schoolkinderen streven er ook naar hun geheugen op te frissen.
Ondanks het feit dat er veel sites zijn die je vertellen hoe je deze vergelijking kunt oplossen, heb ik besloten ook een bijdrage te leveren en het materiaal te publiceren. Ten eerste wil ik dat bezoekers op basis van dit verzoek naar mijn site komen; ten tweede zal ik in andere artikelen, wanneer het onderwerp “KU” ter sprake komt, een link naar dit artikel geven; ten derde zal ik je iets meer vertellen over zijn oplossing dan meestal op andere sites staat. Laten we beginnen! De inhoud van het artikel:
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm:
waarbij coëfficiënten a,Ben c zijn willekeurige getallen, met a≠0.
IN schoolcursus het materiaal wordt in de volgende vorm gegeven - de vergelijkingen zijn voorwaardelijk verdeeld in drie klassen:
1. Ze hebben twee wortels.
2. *Hebben maar één wortel.
3. Ze hebben geen wortels. Het is vooral de moeite waard om hier op te merken dat ze geen echte wortels hebben
Hoe worden wortels berekend? Zojuist!
We berekenen de discriminant. Onder dit ‘verschrikkelijke’ woord schuilt een heel eenvoudige formule:
De wortelformules zijn als volgt:
*Je moet deze formules uit je hoofd kennen.
Je kunt meteen opschrijven en oplossen:
Voorbeeld:
1. Als D > 0, heeft de vergelijking twee wortels.
2. Als D = 0, heeft de vergelijking één wortel.
3. Als D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Laten we naar de vergelijking kijken:
In dit opzicht zegt de schoolcursus dat wanneer de discriminant gelijk is aan nul, één wortel wordt verkregen, hier is deze gelijk aan negen. Alles klopt, het is zo, maar...
Dit idee is enigszins onjuist. In feite zijn er twee wortels. Ja, ja, wees niet verrast, je krijgt twee gelijke wortels, en om wiskundig precies te zijn, zou het antwoord twee wortels moeten zijn:
x 1 = 3 x 2 = 3
Maar dit is zo - een kleine uitweiding. Op school kun je het opschrijven en zeggen dat er één wortel is.
Nu het volgende voorbeeld:
Zoals we weten, kan de wortel van een negatief getal niet worden genomen, dus er is in dit geval geen oplossing.
Dat is het hele besluitvormingsproces.
Kwadratische functie.
Dit laat zien hoe de oplossing er geometrisch uitziet. Dit is uiterst belangrijk om te begrijpen (in de toekomst zullen we in een van de artikelen de oplossing voor de kwadratische ongelijkheid in detail analyseren).
Dit is een functie van de vorm:
waarbij x en y variabelen zijn
a, b, c – gegeven getallen, met a ≠ 0
De grafiek is een parabool:
Dat wil zeggen, het blijkt dat we door een kwadratische vergelijking op te lossen waarbij "y" gelijk is aan nul, de snijpunten van de parabool met de x-as vinden. Er kunnen twee van deze punten zijn (de discriminant is positief), één (de discriminant is nul) en geen (de discriminant is negatief). Details over de kwadratische functie Je kunt bekijken artikel van Inna Feldman.
Laten we naar voorbeelden kijken:
Voorbeeld 1: Oplossen 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Antwoord: x 1 = 8 x 2 = –12
*Het was mogelijk om de linker- en rechterkant van de vergelijking onmiddellijk door 2 te delen, dat wil zeggen om deze te vereenvoudigen. De berekeningen zullen eenvoudiger zijn.
Voorbeeld 2: Beslissen x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
We ontdekten dat x 1 = 11 en x 2 = 11
Het is toegestaan om x = 11 in het antwoord te schrijven.
Antwoord: x = 11
Voorbeeld 3: Beslissen x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
De discriminant is negatief, er is geen oplossing in reële getallen.
Antwoord: geen oplossing
De discriminant is negatief. Er is een oplossing!
Hier zullen we het hebben over het oplossen van de vergelijking in het geval dat een negatieve discriminant wordt verkregen. Weet jij iets over complexe getallen? Ik zal hier niet in detail treden over waarom en waar ze zijn ontstaan en wat hun specifieke rol en noodzaak in de wiskunde is; dit is een onderwerp voor een groot apart artikel.
Het concept van een complex getal.
Een beetje theorie.
Een complex getal z is een getal van de vorm
z = a + bi
waar a en b zijn echte getallen, i is de zogenaamde denkbeeldige eenheid.
a+bi – dit is een ENKEL NUMMER, geen toevoeging.
De denkbeeldige eenheid is gelijk aan de wortel van min één:
Beschouw nu de vergelijking:
We krijgen twee geconjugeerde wortels.
Onvolledige kwadratische vergelijking.
Laten we speciale gevallen bekijken, dit is wanneer de coëfficiënt “b” of “c” gelijk is aan nul (of beide zijn gelijk aan nul). Ze kunnen eenvoudig en zonder discriminanten worden opgelost.
Geval 1. Coëfficiënt b = 0.
De vergelijking wordt:
Laten we transformeren:
Voorbeeld:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Geval 2. Coëfficiënt c = 0.
De vergelijking wordt:
Laten we transformeren en ontbinden in factoren:
*Het product is gelijk aan nul als minstens één van de factoren gelijk is aan nul.
Voorbeeld:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 of x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Geval 3. Coëfficiënten b = 0 en c = 0.
Hier is het duidelijk dat de oplossing van de vergelijking altijd x = 0 zal zijn.
Nuttige eigenschappen en patronen van coëfficiënten.
Er zijn eigenschappen waarmee je vergelijkingen met grote coëfficiënten kunt oplossen.
AX 2 + bx+ C=0 gelijkheid geldt
A + B+ c = 0, Dat
- indien voor de coëfficiënten van de vergelijking AX 2 + bx+ C=0 gelijkheid geldt
A+ c =B, Dat
Deze eigenschappen helpen bij het oplossen van een bepaald type vergelijking.
Voorbeeld 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
De som van de kansen is 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, wat betekent
Voorbeeld 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Gelijkheid houdt stand A+ c =B, Middelen
Regelmatigheden van coëfficiënten.
1. Als in de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 de coëfficiënt “b” gelijk is aan (a 2 +1), en de coëfficiënt “c” numeriek gelijk aan de coëfficiënt"a", dan zijn de wortels gelijk
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Als in de vergelijking ax 2 – bx + c = 0 de coëfficiënt “b” gelijk is aan (a 2 +1), en de coëfficiënt “c” numeriek gelijk is aan de coëfficiënt “a”, dan zijn de wortels gelijk
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Als in vgl. ax 2 + bx – c = 0 coëfficiënt “b” is gelijk aan (een 2 – 1), en coëfficiënt “c” is numeriek gelijk aan de coëfficiënt “a”, dan zijn de wortels gelijk
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Als in de vergelijking ax 2 – bx – c = 0 de coëfficiënt “b” gelijk is aan (a 2 – 1), en de coëfficiënt c numeriek gelijk is aan de coëfficiënt “a”, dan zijn de wortels gelijk
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
De stelling van Vieta.
De stelling van Vieta is vernoemd naar de beroemde Franse wiskundige Francois Vieta. Met behulp van de stelling van Vieta kunnen we de som en het product van de wortels van een willekeurige KU uitdrukken in termen van zijn coëfficiënten.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
In totaal geeft het getal 14 slechts 5 en 9. Dit zijn wortels. Met een bepaalde vaardigheid kun je, met behulp van de gepresenteerde stelling, veel kwadratische vergelijkingen onmiddellijk mondeling oplossen.
De stelling van Vieta bovendien. handig omdat na het oplossen van de kwadratische vergelijking op de gebruikelijke manier(via de discriminant) kunnen de resulterende wortels worden gecontroleerd. Ik raad aan dit altijd te doen.
TRANSPORTMETHODE
Bij deze methode wordt de coëfficiënt “a” vermenigvuldigd met de vrije term, alsof deze er “naartoe wordt gegooid”, daarom wordt deze ook wel genoemd "overdracht"-methode. Deze methode wordt gebruikt wanneer de wortels van de vergelijking gemakkelijk kunnen worden gevonden met behulp van de stelling van Vieta en, belangrijker nog, wanneer de discriminant een exact kwadraat is.
Als A± b+c≠ 0, dan wordt de overdrachtstechniek gebruikt, bijvoorbeeld:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Met behulp van de stelling van Vieta in vergelijking (2) is het eenvoudig te bepalen dat x 1 = 10 x 2 = 1
De resulterende wortels van de vergelijking moeten door 2 worden gedeeld (aangezien de twee uit x 2 zijn “gegooid”), krijgen we
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Wat is de reden? Kijk wat er gebeurt.
De discriminanten van vergelijkingen (1) en (2) zijn gelijk:
Als je naar de wortels van de vergelijkingen kijkt, krijg je alleen verschillende noemers, en het resultaat hangt precies af van de coëfficiënt van x 2:
De tweede (gemodificeerde) heeft wortels die 2 keer groter zijn.
Daarom delen we het resultaat door 2.
*Als we de drie opnieuw gooien, delen we het resultaat door 3, enz.
Antwoord: x 1 = 5 x 2 = 0,5
m² ur-ie en Unified State Examination.
Ik zal je kort vertellen over het belang ervan - JE MOET snel en zonder nadenken kunnen beslissen, je moet de formules van wortels en discriminanten uit je hoofd kennen. Veel van de problemen die bij de Unified State Examination-taken voorkomen, komen neer op het oplossen van een kwadratische vergelijking (inclusief de geometrische).
Iets dat het vermelden waard is!
1. De vorm van het schrijven van een vergelijking kan “impliciet” zijn. De volgende invoer is bijvoorbeeld mogelijk:
15+ 9x 2 - 45x = 0 of 15x+42+9x 2 - 45x=0 of 15 -5x+10x 2 = 0.
Je moet het naar een standaardformulier brengen (om niet in de war te raken bij het oplossen).
2. Onthoud dat x een onbekende grootheid is en kan worden aangegeven met elke andere letter: t, q, p, h en andere.