1 . De som van de diagonalen van een convexe vierhoek is groter dan de som van de twee tegenoverliggende zijden.

2 . Als de segmenten de middelpunten van tegenoverliggende zijden verbinden vierhoek

a) gelijk zijn, dan staan ​​de diagonalen van de vierhoek loodrecht;

b) loodrecht staan, dan zijn de diagonalen van de vierhoek gelijk.

3 . De deellijnen van de hoeken aan de zijkant van het trapezium snijden elkaar op de middellijn.

4 . De zijden van het parallellogram zijn gelijk en . Dan is de vierhoek gevormd door de snijpunten van de bissectrices van de hoeken van het parallellogram een ​​rechthoek waarvan de diagonalen gelijk zijn aan .

5 . Als de som van de hoeken aan een van de basissen van het trapezium 90° is, dan is het segment dat de middelpunten van de basissen van het trapezium verbindt gelijk aan hun halve verschil.

6 . Aan de zijkanten AB En ADVERTENTIE parallellogram ABCD punten genomen M En N zo recht MEVR En NC Verdeel het parallellogram in drie gelijke delen. Vinden MN, Als BD=d.

7 . Een recht lijnsegment evenwijdig aan de basis van een trapezium, ingesloten in het trapezium, wordt door zijn diagonalen in drie delen verdeeld. Dan zijn de aan de zijkanten grenzende segmenten gelijk aan elkaar.

8 . Door het snijpunt van de diagonalen van het trapezium met de basissen wordt een rechte lijn getrokken evenwijdig aan de basissen. Het segment van deze lijn, ingesloten tussen de zijkanten van het trapezium, is gelijk aan .

9 . Een trapezium wordt gedeeld door een rechte lijn evenwijdig aan de basis, gelijk aan en , in twee gelijke trapeziums. Dan is het segment van deze lijn, ingesloten tussen de zijden, gelijk aan .

10 . Als een van de volgende voorwaarden waar is, dan zijn de vier punten A, B, C En D liggen op dezelfde cirkel.

A) CAD=CBD= 90°.

b) punten A En IN liggen aan één kant van een rechte lijn CD en hoek CAD gelijk aan hoek CBD.

c) recht AC En BD kruisen elkaar op een punt OVER En O A OS=OV OD.

11 . Rechte lijn die een punt verbindt R snijpunt van de diagonalen van een vierhoek ABCD met punt Q snijpunten van lijnen AB En CD, verdeelt de zijkant ADVERTENTIE door de helft. Vervolgens verdeelt ze zich in de helft en zijkant Zon.

12 . Elke zijde van een convexe vierhoek is verdeeld in drie gelijke delen. De overeenkomstige verdeelpunten aan weerszijden zijn verbonden door segmenten. Vervolgens verdelen deze segmenten elkaar in drie gelijke delen.

13 . Twee rechte lijnen verdelen elk van de twee tegenoverliggende zijden van een convexe vierhoek in drie gelijke delen. Tussen deze lijnen ligt dan een derde van de oppervlakte van de vierhoek.

14 . Als een cirkel in een vierhoek kan worden ingeschreven, gaat het segment dat de punten verbindt waarop de ingeschreven cirkel de tegenoverliggende zijden van de vierhoek raakt, door het snijpunt van de diagonalen.

15 . Als de som van de overstaande zijden van een vierhoek gelijk is, kan in zo'n vierhoek een cirkel worden ingeschreven.

16. Eigenschappen van een ingeschreven vierhoek met onderling loodrechte diagonalen. Vierhoek ABCD ingeschreven in een cirkel met straal R. Zijn diagonalen AC En BD staan ​​onderling loodrecht en snijden elkaar in een punt R. Dan

a) mediaan van een driehoek ARV loodrecht op de zijkant CD;

b) onderbroken lijn AOC verdeelt een vierhoek ABCD in twee figuren van gelijke grootte;

V) AB2+CD2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 en AB2+BC2+CD2+AD2=8R2;

e) de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de zijkant van de vierhoek is de helft van de tegenoverliggende zijde.

e) als de loodlijnen naar de zijkant vallen ADVERTENTIE van de toppen IN En MET, kruis de diagonalen AC En BD op punten E En F, Dat BCFE- ruit;

g) een vierhoek waarvan de hoekpunten projecties zijn van een punt R aan de zijkanten van de vierhoek ABCD,- zowel ingeschreven als beschreven;

h) een vierhoek gevormd door raaklijnen aan de omgeschreven cirkel van de vierhoek ABCD, getekend bij de hoekpunten, kan in een cirkel worden ingeschreven.

17 . Als A, b, c, d- opeenvolgende zijden van een vierhoek, S is dan zijn oppervlakte, en gelijkheid geldt alleen voor een ingeschreven vierhoek waarvan de diagonalen onderling loodrecht staan.

18 . De formule van Brahmagupta. Als de zijden van een cyclische vierhoek gelijk zijn a, b, c En D, dan zijn gebied S kan worden berekend met de formule,

Waar - halve omtrek van een vierhoek.

19 . Als een vierhoek met zijden A, b, c, d kan worden ingeschreven en er een cirkel omheen kan worden beschreven, dan is de oppervlakte gelijk aan .

20 . Punt P bevindt zich binnen het vierkant ABCD, en de hoek PAB gelijk aan hoek RVA en gelijk is 15°. Dan de driehoek DPC- gelijkzijdig.

21 . Als voor een cyclische vierhoek ABCD gelijkheid is voldaan CD=AD+BC, dan de deellijnen van zijn hoeken A En IN kruisen elkaar aan de zijkant CD.

22 . Voortzettingen van tegenoverliggende zijden AB En CD cyclische vierhoek ABCD kruisen elkaar op een punt M, en de partijen ADVERTENTIE En Zon- bij het punt N. Dan

a) deellijnen AMD En DNC onderling loodrecht;

b) recht MQ En NQ snijd de zijkanten van de vierhoek bij de hoekpunten van de ruit;

c) snijpunt Q van deze middellijn ligt op het segment dat de middelpunten van de diagonalen van de vierhoek verbindt ABCD.

23 . De stelling van Ptolemaeus. De som van de producten van twee paar tegenoverliggende zijden van een cyclische vierhoek is gelijk aan het product van zijn diagonalen.

24 . De stelling van Newton. In elke omgeschreven vierhoek bevinden de middelpunten van de diagonalen en het middelpunt van de ingeschreven cirkel zich op dezelfde rechte lijn.

25 . De stelling van Monge. Lijnen getrokken door de middelpunten van de zijden van een ingeschreven vierhoek loodrecht op de tegenoverliggende zijden, snijden elkaar op één punt.

27 . Vier cirkels, gebouwd op de zijkanten van een convexe vierhoek als diameters, bedekken de hele vierhoek.

29 . Twee tegenovergestelde hoeken van een convexe vierhoek zijn stomp. Dan is de diagonaal die de hoekpunten van deze hoeken verbindt kleiner dan de andere diagonaal.

30. De middelpunten van vierkanten die op de zijkanten van een parallellogram daarbuiten zijn gebouwd, vormen zelf een vierkant.

En opnieuw de vraag: is een ruit een parallellogram of niet?

Met volledig recht - een parallellogram, omdat het en heeft (denk aan onze functie 2).

En nogmaals, aangezien een ruit een parallellogram is, moet deze alle eigenschappen van een parallellogram hebben. Dit betekent dat in een ruit de overstaande hoeken gelijk zijn, de tegenoverliggende zijden evenwijdig en de diagonalen zich op het snijpunt in tweeën snijden.

Eigenschappen van een ruit

Kijk naar de foto:

Net als bij een rechthoek zijn deze eigenschappen onderscheidend, dat wil zeggen dat we voor elk van deze eigenschappen kunnen concluderen dat dit niet alleen een parallellogram is, maar een ruit.

Tekenen van een diamant

En nogmaals, let op: er moet niet alleen een vierhoek zijn waarvan de diagonalen loodrecht staan, maar een parallellogram. Zorg ervoor dat:

Nee, natuurlijk, hoewel de diagonalen loodrecht staan, en de diagonaal de bissectrice is van de hoeken en. Maar... diagonalen zijn niet in tweeën gedeeld door het snijpunt, dus - GEEN parallellogram, en dus GEEN ruit.

Dat wil zeggen, een vierkant is tegelijkertijd een rechthoek en een ruit. Laten we afwachten wat er gebeurt.

Is het duidelijk waarom? - ruit is de bissectrice van hoek A, die gelijk is aan. Dit betekent dat het zich (en ook) in twee hoeken verdeelt.

Nou, het is heel duidelijk: de diagonalen van een rechthoek zijn gelijk; De diagonalen van een ruit staan ​​loodrecht, en in het algemeen wordt een parallellogram van diagonalen door het snijpunt in tweeën gedeeld.

GEMIDDELD NIVEAU

Eigenschappen van vierhoeken. Parallellogram

Eigenschappen van een parallellogram

Aandacht! Woorden " eigenschappen van een parallellogram"bedoel dat als je in je taak zit Er bestaat parallellogram, dan kan al het volgende worden gebruikt.

Stelling over de eigenschappen van een parallellogram.

In elk parallellogram:

Laten we met andere woorden begrijpen waarom dit allemaal waar is WIJ ZULLEN BEWIJZEN stelling.

Dus waarom is 1) waar?

Als het een parallellogram is, dan:

• kruiselings liggen
• liggend als kruisen.

Dit betekent (volgens criterium II: en - algemeen.)

Nou, dat is het, dat is het! - bewezen.

Maar trouwens! We hebben ook bewezen 2)!

Waarom? Maar (kijk naar de foto), dat is juist omdat.

Er zijn er nog maar 3 over).

Om dit te doen, moet je nog een tweede diagonaal tekenen.

En nu zien we dat - volgens het II-kenmerk (hoeken en de zijde "tussen" hen).

Eigenschappen bewezen! Laten we verder gaan met de borden.

Tekenen van een parallellogram

Bedenk dat het parallellogramteken de vraag beantwoordt: ‘Hoe weet je dat?’ dat een figuur een parallellogram is.

In pictogrammen is het als volgt:

Waarom? Het zou leuk zijn om te begrijpen waarom - dat is genoeg. Maar kijk:

We zijn erachter gekomen waarom teken 1 waar is.

Nou ja, het is nog eenvoudiger! Laten we opnieuw een diagonaal tekenen.

Wat betekent:

EN Het is ook gemakkelijk. Maar anders!

Middelen, . Wauw! Maar ook - intern eenzijdig met een secans!

Daarom betekent het feit dat dat.

En als je vanaf de andere kant kijkt, dan - intern eenzijdig met een secans! En daarom.

Zie je hoe geweldig het is?!

En nogmaals simpel:

Precies hetzelfde, en.

Let op: als je het gevonden hebt ten minste Eén teken van een parallellogram in uw probleem, dan heeft u dat precies parallellogram en u kunt gebruiken iedereen eigenschappen van een parallellogram.

Voor volledige duidelijkheid, bekijk het diagram:

Eigenschappen van vierhoeken. Rechthoek.

Rechthoek eigenschappen:

Punt 1) ligt voor de hand: teken 3 () is immers gewoon vervuld

En punt 2) - erg belangrijk. Laten we dat dus bewijzen

Dit betekent aan twee kanten (en - algemeen).

Omdat de driehoeken gelijk zijn, zijn hun hypotenussen ook gelijk.

Bewezen dat!

En stel je voor dat de gelijkheid van diagonalen een onderscheidende eigenschap is van een rechthoek tussen alle parallellogrammen. Dat wil zeggen, deze verklaring is waar ^

Laten we begrijpen waarom?

Dit betekent (dat wil zeggen de hoeken van een parallellogram). Maar laten we nogmaals bedenken dat het een parallellogram is, en daarom.

Middelen, . Welnu, hieruit volgt natuurlijk dat elk van hen! Ze moeten tenslotte in totaal geven!

Dus bewezen ze dat als parallellogram ineens (!) blijken de diagonalen gelijk te zijn, dan dit precies een rechthoek.

Maar! Let op! Dit gaat over parallellogrammen! Niet zomaar iemand een vierhoek met gelijke diagonalen is een rechthoek, en alleen parallellogram!

Eigenschappen van vierhoeken. Ruit

En opnieuw de vraag: is een ruit een parallellogram of niet?

Met volledig recht - een parallellogram, omdat dat zo is (denk aan onze functie 2).

En nogmaals, aangezien een ruit een parallellogram is, moet deze alle eigenschappen van een parallellogram hebben. Dit betekent dat in een ruit de overstaande hoeken gelijk zijn, de tegenoverliggende zijden evenwijdig en de diagonalen zich op het snijpunt in tweeën snijden.

Maar er zijn ook bijzondere eigenschappen. Laten we het formuleren.

Eigenschappen van een ruit

Waarom? Omdat een ruit een parallellogram is, zijn de diagonalen in tweeën gedeeld.

Waarom? Ja, daarom!

Met andere woorden: de diagonalen bleken deellijnen van de hoeken van de ruit te zijn.

Net als in het geval van een rechthoek zijn deze eigenschappen dat ook onderscheidend, elk van hen is ook een teken van een ruit.

Tekenen van een diamant.

Waarom is dit? En kijk,

Dat betekent beide Deze driehoeken zijn gelijkbenig.

Om een ​​ruit te zijn, moet een vierhoek eerst een parallellogram ‘worden’ en vervolgens kenmerk 1 of kenmerk 2 vertonen.

Eigenschappen van vierhoeken. Vierkant

Dat wil zeggen, een vierkant is tegelijkertijd een rechthoek en een ruit. Laten we afwachten wat er gebeurt.

Is het duidelijk waarom? Een vierkant – een ruit – is de deellijn van een hoek die gelijk is aan. Dit betekent dat het zich (en ook) in twee hoeken verdeelt.

Nou, het is heel duidelijk: de diagonalen van een rechthoek zijn gelijk; De diagonalen van een ruit staan ​​loodrecht, en in het algemeen wordt een parallellogram van diagonalen door het snijpunt in tweeën gedeeld.

Waarom? Laten we de stelling van Pythagoras eens toepassen op...

SAMENVATTING EN BASISFORMULES

Eigenschappen van een parallellogram:

1. Overstaande zijden zijn gelijk: , .
2. Overstaande hoeken zijn gelijk: , .
3. De hoeken aan één zijde bedragen: , .
4. De diagonalen worden in tweeën gedeeld door het snijpunt: .

Rechthoek eigenschappen:

1. De diagonalen van de rechthoek zijn gelijk: .
2. Een rechthoek is een parallellogram (voor een rechthoek wordt aan alle eigenschappen van een parallellogram voldaan).

Eigenschappen van een ruit:

1. De diagonalen van een ruit staan ​​loodrecht: .
2. De diagonalen van een ruit zijn de deellijnen van zijn hoeken: ; ; ; .
3. Een ruit is een parallellogram (voor een ruit zijn alle eigenschappen van een parallellogram vervuld).

Eigenschappen van een vierkant:

Een vierkant is tegelijkertijd een ruit en een rechthoek. Daarom wordt voor een vierkant aan alle eigenschappen van een rechthoek en een ruit voldaan. En.

Een van de meest interessante onderwerpen in de meetkunde van de schoolcursus is 'Vidrilateralen' (8e leerjaar). Welke soorten van dergelijke figuren bestaan ​​er, welke speciale eigenschappen hebben ze? Wat is er uniek aan vierhoeken met hoeken van negentig graden? Laten we het allemaal uitzoeken.

Welke geometrische figuur wordt een vierhoek genoemd?

Veelhoeken die uit vier zijden bestaan ​​en dienovereenkomstig uit vier hoekpunten (hoeken) worden in de Euclidische meetkunde vierhoeken genoemd.

De geschiedenis van de naam van dit type figuur is interessant. In de Russische taal wordt het zelfstandig naamwoord "vierhoek" gevormd uit de uitdrukking "vier hoeken" (net als "driehoek" - drie hoeken, "vijfhoek" - vijf hoeken, enz.).

In het Latijn (waardoor veel geometrische termen in de meeste talen van de wereld terechtkwamen) wordt het echter vierhoek genoemd. Dit woord is gevormd uit het cijfer quadri (vier) en het zelfstandig naamwoord latus (zijde). We kunnen dus concluderen dat de Ouden deze veelhoek niets meer dan een ‘vierhoek’ noemden.

Overigens is deze naam (met de nadruk op de aanwezigheid van vier zijden in plaats van hoeken in dit soort figuren) in sommige moderne talen bewaard gebleven. Bijvoorbeeld in het Engels - vierhoek en in het Frans - quadrilatère.

Bovendien wordt het type figuur in de meeste Slavische talen nog steeds geïdentificeerd door het aantal hoeken, niet door de zijden. Bijvoorbeeld in het Slowaaks (štvoruholník), in het Bulgaars ("chetirigalnik"), in het Wit-Russisch ("chatyrokhkutnik"), in het Oekraïens ("chotirikutnik"), in het Tsjechisch (čtyřúhelník), maar in het Pools wordt de vierhoek aangeduid met het aantal zijkanten - czworoboczny.

Welke soorten vierhoeken worden bestudeerd in het schoolcurriculum?

In de moderne geometrie zijn er vier soorten polygonen met vier zijden.

Vanwege de te complexe eigenschappen van sommige ervan maken schoolkinderen echter slechts kennis met twee soorten meetkundelessen.

• Parallellogram. De tegenoverliggende zijden van zo'n vierhoek zijn paarsgewijs evenwijdig aan elkaar en dus ook paarsgewijs gelijk.
• Trapezium (trapezium of trapezium). Deze vierhoek bestaat uit twee tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar. Het andere paar zijden heeft dit kenmerk echter niet.

Soorten vierhoeken die niet zijn bestudeerd in de cursus geometrie op school

Naast het bovenstaande zijn er nog twee soorten vierhoeken waarmee schoolkinderen in de meetkundelessen niet kennis maken vanwege hun specifieke complexiteit.

• Deltaspier (vlieger)- een figuur waarin elk van twee paar aangrenzende zijden even lang is. Deze vierhoek dankt zijn naam aan het feit dat hij qua uiterlijk sterk lijkt op de letter van het Griekse alfabet - "delta".
• Antiparallelogram- dit cijfer is net zo complex als de naam. Daarin zijn twee tegenoverliggende zijden gelijk, maar tegelijkertijd zijn ze niet evenwijdig aan elkaar. Bovendien kruisen de lange tegenoverliggende zijden van deze vierhoek elkaar, evenals de verlengingen van de andere twee, kortere zijden.

Soorten parallellogram

Nadat we de belangrijkste soorten vierhoeken hebben behandeld, is het de moeite waard aandacht te besteden aan de subtypen ervan. Alle parallellogrammen zijn dus op hun beurt ook verdeeld in vier groepen.

• Klassiek parallellogram.
• Ruit- een vierhoekige figuur met gelijke zijden. De diagonalen snijden elkaar in een rechte hoek en verdelen de ruit in vier gelijke rechthoekige driehoeken.
• Rechthoek. De naam spreekt voor zich. Omdat het een vierhoek is met rechte hoeken (elk is gelijk aan negentig graden). De tegenoverliggende zijden zijn niet alleen evenwijdig aan elkaar, maar ook gelijk.
• Vierkant. Net als een rechthoek is het een vierhoek met rechte hoeken, maar alle zijden zijn gelijk. Op deze manier ligt deze figuur dicht bij een ruit. We kunnen dus zeggen dat een vierkant een kruising is tussen een ruit en een rechthoek.

Bijzondere eigenschappen van een rechthoek

Als je figuren bekijkt waarin elk van de hoeken tussen de zijden gelijk is aan negentig graden, is het de moeite waard om de rechthoek nader te bekijken. Welke speciale kenmerken heeft het waardoor het zich onderscheidt van andere parallellogrammen?

Om te beweren dat het parallellogram in kwestie een rechthoek is, moeten de diagonalen gelijk aan elkaar zijn en moet elk van de hoeken goed zijn. Bovendien moet het kwadraat van de diagonalen overeenkomen met de som van de vierkanten van twee aangrenzende zijden van deze figuur. Met andere woorden, een klassieke rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken, en daarin fungeert, zoals bekend, de diagonaal van de betreffende vierhoek als hypotenusa.

Het laatste van de genoemde kenmerken van deze figuur is ook zijn speciale eigenschap. Daarnaast zijn er nog anderen. Het feit bijvoorbeeld dat alle zijden van de vierhoek die met rechte hoeken worden bestudeerd, ook de hoogten ervan zijn.

Als u bovendien een cirkel rond een rechthoek tekent, zal de diameter ervan gelijk zijn aan de diagonaal van de ingeschreven figuur.

Een van de andere eigenschappen van deze vierhoek is dat hij vlak is en niet voorkomt in de niet-Euclidische meetkunde. Dit komt door het feit dat er in een dergelijk systeem geen vierhoekige figuren zijn, waarvan de som van de hoeken gelijk is aan driehonderdzestig graden.

Vierkant en zijn kenmerken

Nu we de tekens en eigenschappen van een rechthoek hebben begrepen, is het de moeite waard aandacht te besteden aan de tweede vierhoek die de wetenschap kent met rechte hoeken (dit is een vierkant).

Omdat het in feite dezelfde rechthoek is, maar met gelijke zijden, heeft deze figuur al zijn eigenschappen. Maar in tegenstelling daarmee is het vierkant aanwezig in de niet-Euclidische meetkunde.

Bovendien heeft dit figuur nog andere onderscheidende kenmerken. Bijvoorbeeld het feit dat de diagonalen van een vierkant niet alleen gelijk aan elkaar zijn, maar elkaar ook haaks snijden. Een vierkant bestaat dus, net als een ruit, uit vier rechthoekige driehoeken waarin diagonalen het verdelen.

Bovendien is deze figuur de meest symmetrische van alle vierhoeken.

Wat is de som van de hoeken van een vierhoek?

Bij het overwegen van de kenmerken van vierhoeken van de Euclidische meetkunde is het de moeite waard om aandacht te besteden aan hun hoeken.

Dus in elk van de bovenstaande figuren, ongeacht of deze rechte hoeken heeft of niet, is hun totale som altijd hetzelfde: driehonderdzestig graden. Dit is een uniek onderscheidend kenmerk van dit type figuur.

Omtrek van vierhoeken

Nadat we hebben uitgezocht waar de som van de hoeken van een vierhoek gelijk aan is en andere speciale eigenschappen van figuren van dit type, is het de moeite waard om uit te zoeken welke formules het beste kunnen worden gebruikt om hun omtrek en oppervlakte te berekenen.

Om de omtrek van een vierhoek te bepalen, hoeft u alleen maar de lengtes van alle zijden bij elkaar op te tellen.

In de KLMN-figuur kan de omtrek bijvoorbeeld worden berekend met behulp van de formule: P = KL + LM + MN + KN. Als je de cijfers hier vervangt, krijg je: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

In het geval dat de figuur in kwestie een ruit of een vierkant is, kunt u, om de omtrek te vinden, de formule vereenvoudigen door eenvoudigweg de lengte van een van de zijden met vier te vermenigvuldigen: P = KL x 4. Bijvoorbeeld: 6 x 4 = 24 (cm).

Formules voor vierhoeken met oppervlakte

Nu we hebben uitgezocht hoe we de omtrek van een figuur met vier hoeken en zijkanten kunnen vinden, is het de moeite waard om de meest populaire en eenvoudige manieren te overwegen om het gebied ervan te vinden.

Andere eigenschappen van vierhoeken: incirkels en omgeschreven cirkels

Na de kenmerken en eigenschappen van een vierhoek als een figuur uit de Euclidische meetkunde te hebben overwogen, is het de moeite waard aandacht te besteden aan het vermogen om cirkels eromheen te beschrijven of er cirkels in te schrijven:

• Als de som van de overstaande hoeken van een figuur honderdtachtig graden bedraagt ​​en in paren gelijk is, dan kan rond zo'n vierhoek vrijelijk een cirkel worden beschreven.
• Volgens de stelling van Ptolemaeus is, als een cirkel wordt omschreven buiten een veelhoek met vier zijden, het product van zijn diagonalen gelijk aan de som van de producten van de tegenoverliggende zijden van de gegeven figuur. De formule ziet er dus als volgt uit: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Als je een vierhoek bouwt waarin de som van de tegenoverliggende zijden gelijk is aan elkaar, dan kun je er een cirkel in schrijven.

Nadat we hebben uitgezocht wat een vierhoek is, welke soorten ervan bestaan, welke alleen rechte hoeken tussen de zijkanten hebben en welke eigenschappen ze hebben, is het de moeite waard om al dit materiaal te onthouden. In het bijzonder formules voor het vinden van de omtrek en oppervlakte van de beschouwde polygonen. Figuren van deze vorm behoren immers tot de meest voorkomende, en deze kennis kan nuttig zijn voor berekeningen in het echte leven.

Vandaag zullen we een geometrische figuur beschouwen - een vierhoek. Uit de naam van dit figuur wordt al duidelijk dat dit figuur vier hoeken heeft. Maar we zullen de resterende kenmerken en eigenschappen van deze figuur hieronder bekijken.

Wat is een vierhoek

Een vierhoek is een veelhoek die bestaat uit vier punten (hoekpunten) en vier segmenten (zijden) die deze punten in paren verbinden. De oppervlakte van een vierhoek is gelijk aan de helft van het product van zijn diagonalen en de hoek ertussen.

Een vierhoek is een veelhoek met vier hoekpunten, waarvan er drie niet op een rechte lijn liggen.

Soorten vierhoeken

• Een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden paarsgewijs evenwijdig zijn, wordt een parallellogram genoemd.
• Een vierhoek waarin twee tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet, wordt een trapezium genoemd.
• Een vierhoek met allemaal rechte hoeken is een rechthoek.
• Een vierhoek waarvan alle zijden gelijk zijn, is een ruit.
• Een vierhoek waarvan alle zijden gelijk zijn en alle hoeken recht zijn, wordt een vierkant genoemd.

Een vierhoek kan zijn:

Zelf-doorsnijdend

Niet-convex

Convex

Zelfdoorsnijdende vierhoek is een vierhoek waarvan een van de zijden een snijpunt heeft (in blauw in de figuur).

Niet-convexe vierhoek is een vierhoek waarin een van de interne hoeken groter is dan 180 graden (in de figuur oranje aangegeven).

Som van hoeken elke vierhoek die zichzelf niet snijdt, is altijd gelijk aan 360 graden.

Speciale soorten vierhoeken

Vierhoeken kunnen extra eigenschappen hebben en speciale soorten geometrische vormen vormen:

• Parallellogram
• Rechthoek
• Vierkant
• Trapezium
• Deltaspier
• Tegenparallelogram

Vierhoek en cirkel

Een vierhoek beschreven rond een cirkel (een cirkel ingeschreven in een vierhoek).

De belangrijkste eigenschap van de beschreven vierhoek:

Een vierhoek kan rond een cirkel worden omgeschreven als en slechts als de som van de lengtes van tegenoverliggende zijden gelijk is.

Vierhoek ingeschreven in een cirkel (cirkel omgeschreven rond een vierhoek)

De belangrijkste eigenschap van een ingeschreven vierhoek:

Een vierhoek kan in een cirkel worden ingeschreven als en slechts als de som van de overstaande hoeken gelijk is aan 180 graden.

Eigenschappen van de lengtes van de zijden van een vierhoek

Modulus van het verschil tussen twee zijden van een vierhoek niet groter is dan de som van de andere twee zijden.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Belangrijk. De ongelijkheid geldt voor elke combinatie van zijden van een vierhoek. De tekening is uitsluitend bedoeld om de waarneming te vergemakkelijken.

In welke vierhoek dan ook de som van de lengtes van de drie zijden is niet minder dan de lengte van de vierde zijde.

Belangrijk. Bij het oplossen van problemen binnen het schoolcurriculum kun je gebruik maken van strikte ongelijkheid (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript is uitgeschakeld in uw browser.
Om berekeningen uit te voeren, moet u ActiveX-besturingselementen inschakelen!

Met vier hoeken en vier zijden. Een vierhoek wordt gevormd door een gesloten stippellijn bestaande uit vier schakels en het deel van het vlak dat zich binnen de stippellijn bevindt.

De aanduiding van een vierhoek bestaat uit de letters die zich op de hoekpunten bevinden en ze in volgorde benoemen. Ze zeggen of schrijven bijvoorbeeld: vierhoek ABCD :

In een vierhoek ABCD punten A, B, C En D- Dit hoekpunten van een vierhoek, segmenten AB, BC, CD En D.A. - zijkanten.

Hoekpunten die tot één zijde behoren, worden genoemd naburig, worden hoekpunten genoemd die niet aangrenzend zijn tegenovergestelde:

In een vierhoek ABCD pieken A En B, B En C, C En D, D En A- aangrenzende, en de hoekpunten A En C, B En D- tegenovergestelde. Hoeken die op aangrenzende hoekpunten liggen, worden ook aangrenzend genoemd, en op tegenovergestelde hoekpunten - tegenovergesteld.

De zijden van een vierhoek kunnen ook in paren worden verdeeld in aangrenzende en tegenoverliggende zijden: zijden die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben, worden genoemd naburig(of aangrenzend), zijden die geen gemeenschappelijke hoekpunten hebben - tegenovergestelde:

Partijen AB En BC, BC En CD, CD En D.A., D.A. En AB- aangrenzend en zijkanten AB En gelijkstroom, ADVERTENTIE En BC- tegenovergestelde.

Als tegenovergestelde hoekpunten zijn verbonden door een segment, wordt zo'n segment genoemd diagonaal van de vierhoek. Gezien het feit dat een vierhoek slechts twee paar tegenoverliggende hoekpunten heeft, kunnen er slechts twee diagonalen zijn:

Segmenten A.C. En BD- diagonalen.

Laten we de belangrijkste soorten convexe vierhoeken bekijken:

• Trapezium- een vierhoek waarin het ene paar tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar is, en het andere paar niet evenwijdig.
  • Gelijkbenig trapezium- een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn.
  • Rechthoekig trapezium- een trapezium waarvan één van de hoeken goed is.
• Parallellogram- een vierhoek waarin beide paren tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar zijn.
  • Rechthoek- een parallellogram waarin alle hoeken gelijk zijn.
  • Ruit- een parallellogram waarin alle zijden gelijk zijn.
  • Vierkant- een parallellogram met gelijke zijden en hoeken. Zowel een rechthoek als een ruit kunnen een vierkant zijn.

Eigenschappen van hoeken van convexe vierhoeken

Alle convexe vierhoeken hebben de volgende twee eigenschappen onder hun hoeken:

1. Elke interne hoek kleiner dan 180°.
2. De som van de binnenhoeken is 360°.