De leerlingen zijn bekend met het begrip invalshoek Lagere school. Maar als een geometrische figuur met bepaalde eigenschappen, beginnen ze het vanaf de 7e klas geometrie te bestuderen. lijkt, vrij simpele vorm wat valt er over haar te zeggen. Maar door nieuwe kennis op te doen, begrijpen schoolkinderen steeds meer dat je behoorlijk interessante feiten over haar kunt leren.

In contact met

Wanneer worden bestudeerd

De cursus meetkunde op school is verdeeld in twee secties: planimetrie en vaste meetkunde. Elk van hen heeft veel aandacht. gegeven aan de hoeken:

• In planimetrie wordt hun basisconcept gegeven, er vindt kennismaking plaats met hun typen in grootte. De eigenschappen van elk type driehoek worden in meer detail bestudeerd. Er verschijnen nieuwe definities voor studenten - dit zijn geometrische vormen die worden gevormd op de kruising van twee lijnen met elkaar en de kruising van meerdere lijnen van een snijlijn.
• In stereometrie worden ruimtelijke hoeken bestudeerd - tweevlakshoek en drievlakshoek.

Aandacht! Dit artikel bespreekt alle soorten en eigenschappen van hoeken in planimetrie.

Definitie en meting

Beginnen met studeren, eerst bepalen, wat is een hoek in planimetrie.

Als we een bepaald punt op het vlak nemen en er twee willekeurige stralen uit trekken, krijgen we een geometrische figuur - een hoek, bestaande uit de volgende elementen:

• de vertex - het punt van waaruit de stralen zijn getrokken, wordt aangegeven met een hoofdletter van het Latijnse alfabet;
• de zijkanten zijn vanaf de bovenkant in een halve lijn getekend.

Alle elementen die de figuur vormen die we overwegen, verdelen het vlak in twee delen:

• intern - in planimetrie niet meer dan 180 graden;
• extern.

Het principe van het meten van hoeken in planimetrie intuïtief uitgelegd. Om te beginnen maken studenten kennis met het concept van een ontwikkelde invalshoek.

Belangrijk! Er wordt gezegd dat een hoek is ontwikkeld als de halve lijnen die uit het hoekpunt komen een rechte lijn vormen. Een uitgevouwen hoek is alle andere gevallen.

Als het wordt gedeeld door 180 Gelijke delen, dan is het gebruikelijk om de maat van één deel gelijk te stellen aan 10. In dit geval zeggen ze dat de meting in graden wordt gedaan, en de graadmaat van zo'n cijfer is 180 graden.

Belangrijkste soorten

Soorten hoeken zijn onderverdeeld volgens criteria als graadmaat, de aard van hun formatie en de onderstaande categorieën.

Op maat

Gezien de grootte zijn de hoeken verdeeld in:

• ingezet;
• direct;
• bot;
• pittig.

Welke hoek ingezet wordt genoemd, is hierboven weergegeven. Laten we het concept van een rechte lijn definiëren.

Het kan worden verkregen door het ingezette in twee gelijke delen te verdelen. In dit geval is de vraag eenvoudig te beantwoorden: een rechte hoek, hoeveel graden is die?

Deel 180 graden door 2 om te krijgen rechte hoek is 90 graden. Dit is een prachtig cijfer, omdat er veel feiten in de geometrie aan verbonden zijn.

Het heeft ook zijn eigen kenmerken in de aanduiding. Om een ​​rechte hoek in de figuur weer te geven, wordt deze niet aangegeven door een boog, maar door een vierkant.

De hoeken die worden verkregen door een willekeurige straal van een rechte lijn te delen, worden acuut genoemd. Volgens de logica der dingen volgt hieruit dat een scherpe hoek kleiner is dan een rechte hoek, maar de maat is anders dan 0 graden. Dat wil zeggen, het heeft een waarde van 0 tot 90 graden.

Een stompe hoek is groter dan een rechte hoek, maar kleiner dan een rechte hoek. De graadmaat varieert van 90 tot 180 graden.

Dit element kan worden opgesplitst in verschillende soorten beschouwde cijfers, exclusief de uitgebreide.

Ongeacht hoe de niet-geroteerde hoek wordt verbroken, het basisaxioma van planimetrie wordt altijd gebruikt - "de belangrijkste eigenschap van meten".

Bij de hoek delen door één bundel of meerdere, de graadmaat van een gegeven figuur is gelijk aan de som van de maten van de hoeken waarin het is verdeeld.

Op het niveau van de 7e klas eindigen de soorten hoeken in hun omvang daar. Maar om de eruditie te vergroten, kan worden toegevoegd dat er andere variëteiten zijn die een graadmaat van meer dan 180 graden hebben, ze worden convex genoemd.

Figuren op het snijpunt van lijnen

De volgende soorten hoeken waarmee studenten kennis maken, zijn de elementen die worden gevormd wanneer twee lijnen elkaar kruisen. Figuren die tegenover elkaar staan, worden verticaal genoemd. Hun onderscheidend kenmerk- ze zijn gelijk.

Elementen die aan dezelfde lijn grenzen, worden aangrenzend genoemd. De stelling die hun eigenschap in kaart brengt, zegt dat Aangrenzende hoeken tellen op tot 180 graden.

Elementen in een driehoek

Als we de figuur beschouwen als een element in een driehoek, dan zijn de hoeken verdeeld in intern en extern. De driehoek wordt begrensd door drie segmenten en bestaat uit drie hoekpunten. De hoeken binnen de driehoek bij elk hoekpunt, intern genoemd.

Als we een intern element bij een hoekpunt nemen en een zijde uitbreiden, dan wordt de hoek die wordt gevormd en grenst aan de interne, extern genoemd. Dit paar elementen heeft de volgende eigenschap: hun som is 180 graden.

Snijpunt van twee rechte lijnen

Lijn kruising

Wanneer twee rechte lijnen elkaar snijden, ontstaan ​​er ook hoeken, die meestal in paren worden verdeeld. Elk paar elementen heeft zijn eigen naam. Het ziet er zo uit:

• intern dwarsliggend: ∟4 en ∟6, ∟3 en ∟5;
• intern eenzijdig: ∟4 en ∟5, ∟3 en ∟6;
• corresponderend: ∟1 en ∟5, ∟2 en ∟6, ∟4 en ∟8, ∟3 en ∟7.

Wanneer een secans twee snijdt

Dit artikel gaat in op een van de belangrijkste geometrische vormen: de hoek. Na een algemene introductie van dit concept, zullen we ons concentreren op een bepaald type van zo'n figuur. De gestrekte hoek is een belangrijk begrip in de geometrie en zal centraal staan ​​in dit artikel.

Inleiding tot het concept van een geometrische hoek

In de geometrie zijn er een aantal objecten die de basis vormen van alle wetenschap. De hoek verwijst er gewoon naar en wordt bepaald aan de hand van het concept van een straal, dus laten we daarmee beginnen.

Voordat u doorgaat met het definiëren van de hoek zelf, moet u ook verschillende even belangrijke objecten in de geometrie onthouden - dit is een punt, een rechte lijn op een vlak en het vlak zelf. Een rechte lijn is de eenvoudigste geometrische figuur, die geen begin of einde heeft. Een vlak is een oppervlak dat twee dimensies heeft. Welnu, een straal (of een halve lijn) in de geometrie is een deel van een rechte lijn die een begin heeft, maar geen einde.

Met behulp van deze concepten kunnen we een verklaring afleggen dat de hoek is geometrische figuur, die volledig in een vlak ligt en bestaat uit twee niet-samenvallende stralen met een gemeenschappelijke oorsprong. Dergelijke stralen worden de zijden van de hoek genoemd en het gemeenschappelijke begin van de zijden is de top.

Soorten hoeken en geometrie

We weten dat hoeken heel verschillend kunnen zijn. En daarom zal hieronder een kleine classificatie worden gegeven, die zal helpen om de soorten hoeken en hun belangrijkste kenmerken beter te begrijpen. Er zijn dus verschillende soorten hoeken in de geometrie:

1. Juiste hoek. Het wordt gekenmerkt door een waarde van 90 graden, wat betekent dat de zijden altijd loodrecht op elkaar staan.
2. Scherpe hoek. Deze hoeken omvatten al hun vertegenwoordigers, met een grootte van minder dan 90 graden.
3. Stompe hoek. Alle hoeken met een waarde van 90 tot 180 graden kunnen hier ook in.
4. Uitgebreide hoek. Het heeft een afmeting van strikt 180 graden en aan de buitenkant vormen de zijkanten één rechte lijn.

Het concept van een rechte hoek

Laten we nu de ontwikkelde hoek in meer detail bekijken. Dit is het geval als beide zijden op dezelfde rechte lijn liggen, wat goed te zien is in onderstaande figuur. Dit betekent dat we met vertrouwen kunnen zeggen dat de ene kant in feite een voortzetting is van de andere.

Het is de moeite waard eraan te denken dat zo'n hoek altijd kan worden gedeeld met een straal die uit zijn hoekpunt komt. Als resultaat krijgen we twee hoeken, die in de geometrie aangrenzend worden genoemd.

Ook heeft de ontwikkelde hoek verschillende kenmerken. Om over de eerste te praten, moet u het concept van "bissectrice" onthouden. Bedenk dat dit een straal is die elke hoek strikt in tweeën deelt. Wat betreft de gestrekte hoek, de bissectrice verdeelt deze op zo'n manier dat er twee rechte hoeken van 90 graden worden gevormd. Dit is heel eenvoudig wiskundig te berekenen: 180˚ (graad van een gestrekte hoek): 2 = 90˚.

Als we de ontwikkelde hoek delen door een volledig willekeurige straal, dan krijgen we altijd twee hoeken, waarvan de ene scherp is en de andere stomp.

Vlakke hoekeigenschappen

Het is handig om deze invalshoek te bekijken en al zijn belangrijkste eigenschappen samen te brengen, wat we in deze lijst hebben gedaan:

1. De zijden van een rechte hoek zijn antiparallel en vormen een rechte lijn.
2. De waarde van de ontwikkelde hoek is altijd 180˚.
3. Twee aangrenzende hoeken vormen samen altijd een rechte hoek.
4. De volledige hoek, die 360˚ is, bestaat uit twee ontplooide en is gelijk aan hun som.
5. Een halve gestrekte hoek is een rechte hoek.

Dus als we al deze kenmerken van dit type hoek kennen, kunnen we ze gebruiken om een ​​aantal geometrische problemen op te lossen.

Problemen met rechte hoeken

Probeer een paar van de volgende vragen te beantwoorden om te begrijpen of je het concept van een rechte hoek onder de knie hebt.

1. Wat is een rechte hoek als de zijden een verticale lijn vormen?
2. Zullen twee hoeken aangrenzend zijn als de grootte van de eerste 72˚ is en de andere 118˚?
3. Als een volledige hoek uit twee rechte hoeken bestaat, hoeveel rechte hoeken heeft deze dan?
4. Een gestrekte hoek wordt door een balk in twee zulke hoeken gedeeld dat hun gradenmaten gerelateerd zijn als 1:4. Bereken de verkregen hoeken.

Oplossingen en antwoorden:

1. Hoe de gestrekte hoek ook ligt, hij is altijd per definitie gelijk aan 180˚.
2. Aangrenzende hoeken hebben één gemeenschappelijke zijde. Om de grootte van de hoek die ze samenstellen te berekenen, hoeft u daarom alleen de waarde van hun gradenmaten op te tellen. Dus 72 +118 = 190. Maar per definitie is een rechte hoek 180˚, wat betekent dat twee gegeven hoeken niet naast elkaar kunnen liggen.
3. Een rechte hoek bevat twee rechte hoeken. En aangezien er twee in gebruik zijn in de volledige, betekent dit dat er 4 rechte lijnen in zullen zitten.
4. Als we de gewenste hoeken a en b noemen, laat x dan de evenredigheidscoëfficiënt voor hen zijn, wat betekent dat a = x, en dienovereenkomstig b = 4x. Een rechte hoek in graden is 180˚. En volgens zijn eigenschappen, dat de graadmaat van een hoek altijd gelijk is aan de som van de graadmaten van die hoeken waarin hij wordt gedeeld door een willekeurige straal die tussen zijn zijden passeert, kunnen we concluderen dat x + 4x = 180 ˚, wat betekent 5x = 180˚ . Hier vinden we: x=a=36˚ en b = 4x = 144˚. Antwoord: 36˚ en 144˚.

Als het je is gelukt om al deze vragen te beantwoorden zonder prompts en zonder in de antwoorden te gluren, dan ben je klaar om door te gaan naar de volgende meetkundeles.

Hoek maatregel

De hoek in wordt gemeten in graden (graden, minuten, seconden), in omwentelingen - de verhouding van de lengte van de boog s tot de omtrek L, in radialen - de verhouding van de lengte van de boog s tot de straal r; historisch gezien werd ook de hagelmaat voor het meten van hoeken gebruikt; momenteel wordt deze bijna nooit gebruikt.

1 slag = 2π radialen = 360° = 400 graden.

In nautische terminologie worden hoeken aangegeven door punten.

Hoek soorten

Aangrenzende hoeken zijn scherp (a) en stomp (b). Omgekeerde hoek (c)

Bovendien wordt rekening gehouden met de hoek tussen vloeiende krommen op het raakpunt: de waarde ervan is per definitie gelijk aan de hoek tussen de raaklijnen aan de krommen.

Wikimedia-stichting. 2010 .

Zie wat "Full Angle" is in andere woordenboeken:

Niet-geautoriseerde eenheden buiten het systeem. platte hoek. 1 P. u. = 2PI rad 6.283 185 rad (zie Radiaal) ... Groot encyclopedisch polytechnisch woordenboek

De hoek van het verticaal richten van de geweerloop tijdens het schieten, rekening houdend met de rolhoeken van het schip. Het wordt bepaald door de instrumenten van de centrale artilleriepost. Edward. Intelligent leger Mariene Woordenschat, 2010 ... Maritiem woordenboek

De horizontale richthoek van de geweerloop tijdens het schieten, rekening houdend met de rolhoeken van het schip. Bepaald door de centrale artilleriepost Edward. Verklarende Naval Dictionary, 2010 ... Marine Dictionary

volledige mechanische rotatiehoek van het beweegbare variabele weerstandssysteem- volledige mechanische draaihoek Volledige draaihoek van het bewegende variabele weerstandssysteem van slot tot slot. Opmerking Voor weerstanden zonder stops is de totale mechanische hoek gelijk aan de maximale hoek tussen twee posities van de beweegbare ... ... Handboek voor technische vertalers

Volledig mechanische rotatiehoek van het beweegbare variabele weerstandssysteem- 52. Totale mechanische rotatie van het bewegende systeem met variabele weerstand Totale mechanische rotatie D. Mechanischer Drehwinkel E. Totale mechanische rotatie F. Course mécanique Totale totale rotatie van het bewegende systeem met variabele weerstand ... ... Woordenboek-naslagwerk met termen van normatieve en technische documentatie

HOEK- (1) de aanvalshoek tussen de richting van de luchtstroom op de vleugel van het vliegtuig en de koorde van de sectie van de vleugel. De waarde van de hefkracht is afhankelijk van deze hoek. De hoek waaronder de liftkracht maximaal is, wordt de kritische invalshoek genoemd. U... ... Grote Polytechnische Encyclopedie

HOEK, een maat voor de helling tussen twee rechte lijnen of vlakken, en de hoeveelheid roterende beweging. Volledige cirkel is deelbaar door 360° (graden) ga naar 2p radialen. Een rechte hoek is 90° of p/2 radialen. Een graad is onderverdeeld in 60 (minuten)... Wetenschappelijk en technisch encyclopedisch woordenboek

Elementen: Drop jump vanaf een hoogte, uitgevoerd vanaf een plaats of vanuit de positie van een kattensprong. Je kunt de val alleen met je voeten opvangen, of met je voeten en handen (nou ja, of met één hand). Spring spring over elk obstakel zonder het aan te raken. Bijvoorbeeld een vlucht door ... Wikipedia

Ga voluit. Jarg. hoek. Beken een misdaad. Baldaev 1, 169. Twee zijn compleet, de derde is niet compleet. Novg. Ijzer. Over een klein aantal mensen waar l. NEUS 2, 76 ...

Jarg. hoek. Goedkeuring Het is in orde, het gaat goed. B., 159; Bykov, 202. /i> Waarschijnlijk uit het Jiddisch of Hebreeuws, waar het woord een schatting is hoogste kwaliteit. Elistratov 1994, 537 ... Groot woordenboek Russische gezegden

Wat is een hoek?

Een hoek is een figuur gevormd door twee stralen die uit één punt komen (Fig. 160).
De stralen die zich vormen hoek, worden de zijden van de hoek genoemd en het punt van waaruit ze uitgaan, wordt het hoekpunt van de hoek genoemd.
In figuur 160 zijn de zijden van de hoek de stralen OA en OB, en het hoekpunt is het punt O. Deze hoek wordt als volgt aangeduid: AOB.

Schrijf bij het schrijven van een hoek in het midden een letter die het hoekpunt aangeeft. Een hoek kan ook worden aangegeven met een enkele letter - de naam van het hoekpunt.

In plaats van "hoek AOB" schrijven ze bijvoorbeeld korter: "hoek O".

In plaats van het woord "hoek" schrijven ze een bordje.

Bijvoorbeeld AOB, O.

In figuur 161 liggen de punten C en D binnen de hoek AOB, de punten X en Y liggen buiten deze hoek, en punten M en H - aan de zijkanten van de hoek.

Zoals alle geometrische vormen, worden hoeken vergeleken met behulp van een overlay.

Als een hoek op een andere kan worden gelegd zodat ze samenvallen, dan zijn deze hoeken gelijk.

Bijvoorbeeld in Afbeelding 162 ABC = MNK.

Vanaf de bovenkant van de SOK-hoek (Fig. 163) werd een straal OR getekend. Hij splitst de SOC-hoek in twee hoeken - COP en ROCK. Elk van deze hoeken is kleiner dan de ROC-hoek.

Geschreven door: COP< COK и POK < COK.

Recht en hoekig

Twee complementair aan elkaar straal vormen een gevouwen hoek. De zijkanten van deze hoek vormen samen een rechte lijn waarop de bovenkant van de uitgerekte hoek ligt (Fig. 164).

De uren- en minutenwijzers van de klok vormen een ontwikkelde hoek op 6 uur (afb. 165).

Laten we een stuk papier twee keer dubbel buigen en het dan uitvouwen (Afb. 166).

De vouwlijnen vormen 4 gelijke hoeken. Elk van deze hoeken is gelijk aan de helft van de gestrekte hoek. Dergelijke hoeken worden rechte hoeken genoemd.

Een rechte hoek is een halve gestrekte hoek.

driehoek tekenen

Voor bouwen juiste hoek gebruik tekening driehoek(Afb. 167). Om een ​​rechte hoek te construeren, waarvan een van de zijden de straal OL is, is het nodig:

a) plaats de tekendriehoek zo dat het hoekpunt van de rechte hoek samenvalt met het punt O, en een van de zijden langs de straal OA gaat;

b) teken een straal OB langs de tweede zijde van de driehoek.

Als resultaat krijgen we een rechte hoek AOB.

Vragen over het onderwerp

1. Wat is een hoek?
2. Welke hoek wordt ingezet genoemd?
3. Welke hoeken worden gelijk genoemd?
4. Welke hoek wordt rechts genoemd?
5. Hoe wordt een rechte hoek opgebouwd met behulp van een tekendriehoek?

We weten al dat elke hoek het vlak in twee delen verdeelt. Maar als beide zijden onder een hoek op dezelfde rechte lijn liggen, wordt zo'n hoek ingezet genoemd. Dat wil zeggen, onder een ontwikkelde hoek is de ene kant ervan een voortzetting van de andere kant van de hoek.

Laten we nu eens kijken naar de figuur, die alleen de ontwikkelde hoek O laat zien.

Als we een straal nemen en tekenen vanaf het hoekpunt van een rechte hoek, dan verdeelt deze deze rechte hoek in nog twee hoeken, die één gemeenschappelijke zijde hebben, en de andere twee hoeken vormen een rechte lijn. Dat wil zeggen, vanuit een uitgevouwen hoek hebben we twee aangrenzende.

Als we een rechte hoek nemen en een bissectrice tekenen, dan verdeelt deze bissectrice de rechte hoek in twee rechte hoeken.

En in het geval dat we een willekeurige straal trekken vanaf het hoekpunt van de ontwikkelde hoek, die geen bissectrice is, dan zal zo'n straal de uitgerekte hoek in twee hoeken verdelen, waarvan de ene scherp is en de andere stomp.

Vlakke hoekeigenschappen

De uitgebreide hoek heeft de volgende eigenschappen:

Ten eerste zijn de zijden van een rechte hoek antiparallel en vormen ze een rechte lijn;
ten tweede is de ontwikkelde hoek 180°;
ten derde vormen twee aangrenzende hoeken een rechte hoek;
ten vierde is de ontwikkelde hoek de helft van de volledige hoek;
ten vijfde zal de volledige hoek gelijk zijn aan de som van twee ontwikkelde hoeken;
zesde, de helft van de gestrekte hoek is een rechte hoek.

Hoek meting

Om elke hoek te meten, wordt voor deze doeleinden meestal een gradenboog gebruikt, waarbij de meeteenheid één graad is. Houd er bij het meten van hoeken rekening mee dat elke hoek zijn eigen specifieke graadmaat heeft, en natuurlijk is deze maat groter dan nul. En de ontwikkelde hoek is, zoals we al weten, gelijk aan 180 graden.

Dat wil zeggen, als we een vlak van een cirkel nemen en het door stralen in 360 gelijke delen verdelen, dan is 1/360 van deze cirkel een hoekgraad. Zoals je al weet, wordt een graad aangegeven door een bepaald icoon, dat er zo uitziet: "°".

Nu weten we ook dat één graad 1° = 1/360 van een cirkel. Als de hoek gelijk is aan het vlak van de cirkel en 360 graden is, dan is zo'n hoek vol.

En nu nemen en verdelen we het vlak van de cirkel met behulp van twee stralen die op één rechte lijn liggen in twee gelijke delen. Dan is in dit geval het vlak van de halve cirkel de helft van de volledige hoek, dat wil zeggen 360: 2 = 180 °. We hebben een hoek ontvangen die gelijk is aan het halfvlak van de cirkel en 180 ° heeft. Dit is de gedraaide hoek.

Praktische taak

1613. Benoem de hoeken in figuur 168. Noteer hun benamingen.

1614. Teken vier stralen: OA, OB, OS en OD. Schrijf de namen op van de zes hoeken waarvan de zijden deze stralen zijn. In hoeveel delen verdelen deze stralen zich vliegtuig?

1615. Geef aan welke punten in figuur 169 binnen hoek KOM liggen Welke punten liggen buiten deze hoek? Welke punten liggen aan de OK-kant en welke aan de OM-kant?

1616. Teken een hoek MOD en teken daarin een straal OT. Benoem en benoem de hoeken waarin deze straal hoek MOD verdeelt.

1617. De minutenwijzer in 10 minuten draaide naar de hoek AOB, in de volgende 10 minuten - naar de hoek BOC, en in nog eens 15 minuten - naar de hoek COD. Vergelijk de hoeken AOB en BOC, BOC en COD, AOC en AOB, AOC en COD (Fig. 170).

1618. Gebruik de tekendriehoek om 4 rechte hoeken in verschillende posities te tekenen.

1619. Zoek met behulp van de tekendriehoek de rechte hoeken in figuur 171. Schrijf hun benamingen op.

1620. Wijs de juiste hoeken aan in de klas.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Hoeveel procent van 400 is het getal 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Zoek het ontbrekende nummer:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Teken een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan de lengte van 10 cellen van het notitieboekje. Laat dit vierkant een veld voorstellen. Rogge beslaat 12% van het veld, haver - 8%, tarwe - 64% en de rest van het veld wordt ingenomen door boekweit. Toon op de afbeelding het deel van het veld dat door elk gewas wordt ingenomen. Welk percentage van het veld is boekweit?

1632. Tijdens het schooljaar gebruikte Petya 40% van de aan het begin van het jaar gekochte notitieboekjes en hij had nog 30 notitieboekjes over. Hoeveel schriften zijn er aan het begin van het schooljaar voor Petya gekocht?

1633. Brons is een legering van tin en koper. Welk percentage van de legering is koper in een stuk brons, bestaande uit 6 kg tin en 34 kg koper?

1634. De vuurtoren van Alexandrië, gebouwd in de oudheid, die een van de zeven wereldwonderen werd genoemd, is 1,7 keer hoger dan de torens van het Kremlin van Moskou, maar 119 m lager dan het gebouw van de Universiteit van Moskou. van elk van deze structuren als de torens van het Kremlin van Moskou 49 m lager zijn Vuurtoren van Alexandrië.

1635. Vind met behulp van een microcalculator:

a) 4,5% van 168; c) 28,3% van 569,8;
b) 147,6% van 2500; d) 0,09% van 456.800.

1636. Los het probleem op:

1) De oppervlakte van de tuin is 6,4a. Op de eerste dag werd 30% van de tuin afgegraven en op de tweede dag 35% van de tuin. Hoeveel ares moeten er nog worden gegraven?

2) Serezha had 4,8 uur vrije tijd. Hij besteedde 35% van die tijd aan het lezen van een boek en 40% aan het kijken naar tv-programma's. Hoeveel tijd heeft hij nog?

1637. Doe het volgende:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Teken een hoek BAC en markeer elk een punt binnen de hoek, buiten de hoek en aan de zijkanten van de hoek.

1639. Welke van de in figuur 172 gemarkeerde punten liggen binnen de hoek AMK Welk punt ligt binnen de hoek AMB> maar buiten de hoek AMK Welke punten liggen aan de zijden van de hoek AMK?

1640. Gebruik de tekendriehoek om de rechte hoeken te vinden in figuur 173.

1641. Construeer een vierkant met een zijde van 43 mm. Bereken de omtrek en oppervlakte.

1642. Zoek de waarde van de uitdrukking:

a) 14,791: a + 160,961: b, als a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d als c = 100, d = 100.

1643. De arbeider moest 450 onderdelen maken. Op de eerste dag maakte hij 60% van de onderdelen en de rest op de tweede dag. Hoeveel delen deden arbeider op de tweede dag?

1644. Er waren 8.000 boeken in de bibliotheek. Een jaar later steeg hun aantal met 2000 boeken. Met hoeveel procent is het aantal boeken in de bibliotheek toegenomen?

1645. Vrachtwagens legden op de eerste dag 24% van het beoogde pad af, op de tweede dag - 46% van het pad en op de derde - de resterende 450 km. Hoeveel kilometer hebben deze vrachtwagens afgelegd?

1646. Vind hoeveel zijn:

a) 1% van een ton; c) 5% van 7 ton;
b) 1% van een liter; d) 6% van 80 km.

1647. De massa van een walruswelp is 9 keer minder dan de massa van een volwassen walrus. Wat is de massa van een volwassen walrus als, samen met de welp, hun massa 0,9 ton is?

1648. Tijdens de manoeuvres liet de commandant 0,3 van al zijn soldaten achter om de oversteek te bewaken, en verdeelde de rest in 2 detachementen om twee hoogten te verdedigen. Het eerste detachement had 6 keer meer soldaten dan het tweede. Hoeveel soldaten zaten er in het eerste detachement als er in totaal 200 soldaten waren?

N.Ja. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Wiskunde Graad 5, leerboek voor onderwijsinstellingen

De hoek is de belangrijkste geometrische figuur, die we in het hele onderwerp zullen analyseren. Definities, methoden van instelling, notatie en meting van de hoek. Laten we de principes van het selecteren van hoeken in de tekeningen analyseren. De hele theorie is geïllustreerd en heeft een groot aantal van visuele tekeningen.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definitie 1

Hoek- een eenvoudige belangrijke figuur in de geometrie. De hoek hangt rechtstreeks af van de definitie van de straal, die op zijn beurt bestaat uit basisconcepten punten, lijnen en vlakken. Voor een grondige studie moet je je verdiepen in de onderwerpen rechte lijn in een vliegtuig - noodzakelijke informatie En vliegtuig - noodzakelijke informatie.

Het concept van een hoek begint met de concepten van een punt, een vlak en een rechte lijn afgebeeld op dit vlak.

Definitie 2

Gegeven een lijn a in een vliegtuig. Duid een punt O erop aan. De lijn wordt door een punt in twee delen verdeeld, die elk een naam hebben straal, en het punt O is straal beginnen.

Met andere woorden, een balk of halve lijn - is een deel van een lijn, bestaande uit punten van een gegeven lijn, gelegen aan dezelfde kant ten opzichte van startpunt, dat wil zeggen punten O .

De aanduiding van de balk is toegestaan ​​in twee varianten: een kleine letter of twee hoofdletters van het Latijnse alfabet. Wanneer aangegeven met twee letters, heeft de balk een naam die uit twee letters bestaat. Laten we de tekening eens nader bekijken.

Laten we verder gaan met het concept van het definiëren van een hoek.

Definitie 3

Hoek- dit is een figuur in een bepaald vlak, gevormd door twee niet-overeenkomende stralen die een gemeenschappelijke oorsprong hebben. zij hoek is een balk hoekpunt- het gemeenschappelijke begin van de partijen.

Er is een geval waarin de zijden van een hoek als een rechte lijn kunnen fungeren.

Definitie 4

Wanneer beide zijden van een hoek op dezelfde rechte lijn liggen of de zijden dienen als extra halve lijnen van één rechte lijn, dan wordt zo'n hoek genoemd ingezet.

Onderstaande figuur toont een afgeplatte hoek.

Een punt op een rechte lijn is het hoekpunt van de hoek. Meestal wordt dit aangeduid met de punt O.

Een hoek in de wiskunde wordt aangeduid met het teken "∠". Wanneer de zijkanten van een hoek worden aangeduid met klein Latijn, worden voor de juiste definitie van de hoek letters in een rij geschreven, respectievelijk volgens de zijkanten. Als twee zijden worden aangeduid met k en h, dan wordt de hoek aangeduid als ∠ k h of ∠ h k .

Als er een aanduiding in hoofdletters is, hebben de zijkanten van de hoek respectievelijk de namen O A en OB. In dit geval heeft de hoek een naam van drie letters van het Latijnse alfabet, achter elkaar geschreven, in het midden met een hoekpunt - ∠ A O B en ∠ B O A . Er is een aanduiding in de vorm van cijfers wanneer de hoeken geen namen hebben of brieven. Hieronder een foto waar verschillende manieren hoeken zijn gemarkeerd.

Een hoek verdeelt het vlak in twee delen. Als de hoek niet is ontwikkeld, heeft een deel van het vlak de naam binnenhoek gebied, de andere - buitenste gebied hoek. Hieronder is een afbeelding die uitlegt welke delen van het vliegtuig extern zijn en welke intern zijn.

Wanneer gedeeld door een rechte hoek op een vlak, wordt elk deel ervan beschouwd als het inwendige van de rechte hoek.

Het binnengebied van de hoek is een element dat dient voor de tweede definitie van de hoek.

Definitie 5

hoek een geometrische figuur wordt genoemd, bestaande uit twee niet-samenvallende stralen, met een gemeenschappelijke oorsprong en een overeenkomstig binnengebied van de hoek.

Deze definitie is strenger dan de vorige, omdat er meer voorwaarden aan verbonden zijn. Het is niet raadzaam om beide definities afzonderlijk te beschouwen, omdat een hoek een geometrische figuur is die is getransformeerd met behulp van twee stralen die uit één punt komen. Wanneer het nodig is om acties met een hoek uit te voeren, betekent de definitie de aanwezigheid van twee stralen met een gemeenschappelijke oorsprong en een intern gebied.

Definitie 6

De twee hoeken worden genoemd verwant, als er een gemeenschappelijke zijde is, en de andere twee complementaire halve lijnen zijn of een rechte hoek vormen.

De figuur laat zien dat aangrenzende hoeken elkaar aanvullen, omdat ze een voortzetting van elkaar zijn.

Definitie 7

De twee hoeken worden genoemd verticaal, als de zijkanten van de ene complementaire halve lijnen zijn van de andere of verlengingen zijn van de zijkanten van de andere. Onderstaande figuur toont een afbeelding van de verticale hoeken.

Bij het kruisen van lijnen worden 4 paar aangrenzende en 2 paar verticale hoeken verkregen. Hieronder wordt weergegeven in de afbeelding.

Het artikel toont de definities van gelijke en ongelijke hoeken. We zullen analyseren welke hoek als groot wordt beschouwd, welke kleiner is, en andere eigenschappen van de hoek. Twee figuren worden als gelijk beschouwd als ze, wanneer ze over elkaar heen worden geplaatst, volledig samenvallen. Dezelfde eigenschap is van toepassing op het vergelijken van hoeken.

Gegeven twee hoeken. Het is noodzakelijk om tot de conclusie te komen of deze hoeken gelijk zijn of niet.

Het is bekend dat de hoekpunten van twee hoeken en de zijde van de eerste hoek elkaar overlappen met elke andere zijde van de tweede. Dat wil zeggen, in het geval van volledig samenvallen, wanneer de hoeken over elkaar worden gelegd, zullen de zijden van de gegeven hoeken volledig samenvallen, de hoeken gelijkwaardig.

Het kan zijn dat bij het over elkaar leggen de zijkanten niet gecombineerd mogen worden, dan de hoeken ongelijk, kleiner waarvan bestaat uit een andere, en meer bevat een compleet andere hoek. Hieronder staan ​​ongelijke hoeken die niet uitgelijnd zijn wanneer ze over elkaar heen worden gelegd.

De ontwikkelde hoeken zijn gelijk.

Het meten van hoeken begint met het meten van de zijde van de hoek die wordt gemeten en zijn binnenste regio, vulling die met eenheidshoeken op elkaar worden toegepast. Het is noodzakelijk om het aantal gestapelde hoeken te tellen, ze bepalen vooraf de maat van de gemeten hoek.

Een hoekeenheid kan worden uitgedrukt in elke meetbare hoek. Er zijn algemeen aanvaarde meeteenheden die worden gebruikt in wetenschap en technologie. Ze zijn gespecialiseerd in andere titels.

Het meest gebruikte begrip rang.

Definitie 8

één graad wordt een hoek genoemd die honderdtachtigste van een gestrekte hoek heeft.

De standaardnotatie voor een graad is "°", dan is één graad 1°. Daarom bestaat een gestrekte hoek uit 180 van dergelijke hoeken, bestaande uit één graad. Alle beschikbare hoeken zijn strak op elkaar gestapeld en de zijkanten van de vorige zijn uitgelijnd met de volgende.

Het is bekend dat het aantal graden in een hoek dezelfde maat is voor de hoek. De ontwikkelde hoek heeft 180 gestapelde hoeken in zijn samenstelling. De onderstaande afbeelding toont voorbeelden waarbij de hoek 30 keer wordt gelegd, dat wil zeggen een zesde van de uitgerekte, en 90 keer, dat wil zeggen de helft.

Minuten en seconden worden gebruikt om hoekmetingen nauwkeurig te bepalen. Ze worden gebruikt wanneer de hoekwaarde geen aanduiding is van een geheel getal in graden. Met dergelijke delen van een graad kun je nauwkeurigere berekeningen uitvoeren.

Definitie 9

minuut een zestigste van een graad genoemd.

Definitie 10

seconde belde een zestigste van een minuut.

Een graad bevat 3600 seconden. Minuten geven """ aan, en seconden """". De aanduiding vindt plaats:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

en de notatie voor de hoek 17 graden 3 minuten en 59 seconden is 17° 3 "59"".

Definitie 11

Laten we een voorbeeld geven van de notatie van de graadmaat van een hoek gelijk aan 17 ° 3 "59" ". De invoer heeft een andere vorm 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Gebruik dit om hoeken nauwkeurig te meten meetapparatuur als een gradenboog. Bij het aanduiden van de hoek ∠ A O B en de graadmaat van 110 graden, wordt een handiger notatie gebruikt ∠ A O B \u003d 110 °, die luidt: "Hoek A O B is gelijk aan 110 graden."

In geometrie wordt een hoekmaat uit het interval (0 , 180 ] gebruikt, en in trigonometrie wordt een willekeurige graadmaat genoemd draaiende hoeken. De waarde van de hoeken wordt altijd uitgedrukt echt nummer. Juiste hoek is een hoek die 90 graden heeft. Scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan 90 graden, en bot- meer.

Een scherpe hoek wordt gemeten in het interval (0, 90) en een stompe hoek - (90, 180). Drie soorten hoeken worden hieronder duidelijk weergegeven.

Elke graadmaat van elke hoek heeft dezelfde waarde. Een grotere hoek heeft respectievelijk een grotere graadmaat dan een kleinere. De graadmaat van één hoek is de som van alle beschikbare graadmaten. interne hoeken. In onderstaande figuur is de hoek AOB weergegeven, bestaande uit de hoeken AOC, COD en DOB. In detail ziet het er zo uit: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Op basis hiervan kan worden geconcludeerd dat som alle aangrenzende hoeken is 180 graden omdat ze allemaal een uitgebreide hoek vormen.

Hieruit volgt dat elke verticale hoeken zijn gelijk. Als we dit met een voorbeeld beschouwen, krijgen we dat de hoek A O B en C O D verticaal zijn (in de tekening), dan worden de paren hoeken A O B en B O C, C O D en B O C als aangrenzend beschouwd. In dat geval wordt de gelijkheid ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° samen met ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° als uniek waar beschouwd. We hebben dus dat ∠ A O B = ∠ C O D . Hieronder ziet u een voorbeeld van de afbeelding en aanduiding van verticale vangsten.

Naast graden, minuten en seconden wordt er nog een andere meeteenheid gebruikt. Het heet radiaal. Meestal is het te vinden in trigonometrie bij het aanduiden van de hoeken van veelhoeken. Wat heet een radiaal.

Definitie 12

Een radiale hoek de middelpuntshoek genoemd, die een straal van een cirkel heeft die gelijk is aan de lengte van de boog.

In de figuur is de radiaal weergegeven als een cirkel, waar een middelpunt is, aangegeven door een punt, met twee punten op de cirkel verbonden en omgezet in stralen O A en OB. Per definitie is deze driehoek A O B gelijkzijdig, wat betekent dat de lengte van de boog A B gelijk is aan de lengtes van de stralen O B en Oh A.

De aanduiding van de hoek wordt genomen als "rad". Dat wil zeggen, een invoer in 5 radialen wordt afgekort als 5 rad. Soms kun je een aanduiding vinden met de naam pi. Radialen zijn niet afhankelijk van de lengte van een bepaalde cirkel, omdat de figuren een soort beperking hebben met behulp van een hoek en zijn boog met een middelpunt op het hoekpunt van een bepaalde hoek. Ze worden als vergelijkbaar beschouwd.

Radialen hebben dezelfde betekenis als graden, alleen het verschil zit in hun grootte. Om dit te bepalen, is het noodzakelijk om de berekende lengte van de boog van de centrale hoek te delen door de lengte van de straal.

In de praktijk gebruiken ze converteer graden naar radialen en radialen naar graden voor meer handige oplossing taken. Het gespecificeerde artikel bevat informatie over het verband tussen de graadmaat en de radiaal, waar u de vertalingen van graad naar radiaal en vice versa in detail kunt bestuderen.

Voor een visuele en handige weergave van bogen, hoeken, tekeningen worden gebruikt. Het is niet altijd mogelijk om een ​​bepaalde hoek, boog of naam correct weer te geven en te markeren. Gelijke hoeken zijn bestempeld als dezelfde hoeveelheid bogen, en ongelijk in de vorm van verschillend. De tekening toont de juiste aanduiding van scherpe, gelijke en ongelijke hoeken.

Wanneer er meer dan 3 hoeken moeten worden gemarkeerd, worden speciale boogaanduidingen gebruikt, zoals golvend of gekarteld. Het maakt niet zoveel uit. De onderstaande afbeelding toont hun aanduiding.

De aanduiding van de hoeken moet eenvoudig zijn om andere waarden niet te verstoren. Bij het oplossen van een probleem wordt aanbevolen om alleen de hoeken te selecteren die nodig zijn om het probleem op te lossen, zodat de hele tekening niet rommelig wordt. Dit interfereert niet met de oplossing en het bewijs en geeft de tekening ook een esthetisch uiterlijk.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter