1. De mediaan verdeelt een driehoek in twee driehoeken van gelijke oppervlakte.

2. De medianen van de driehoek snijden elkaar op één punt, waardoor ze elk in een verhouding van 2:1 worden verdeeld, gerekend vanaf het hoekpunt. Dit punt wordt genoemd zwaartepunt driehoek.

3. De hele driehoek wordt door zijn middellijnen in zes gelijke driehoeken verdeeld.

Eigenschappen van driehoeksmiddellijnen

1. De bissectrice van een hoek is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de zijden van deze hoek.

2. De bissectrice van de interne hoek van een driehoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in segmenten die evenredig zijn met de aangrenzende zijden: .

3. Het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek is het middelpunt van de cirkel die in deze driehoek is ingeschreven.

Eigenschappen van driehoekshoogten

1. B rechthoekige driehoek hoogte getrokken vanaf het hoekpunt juiste hoek, splitst het in twee driehoeken die lijken op de originele.

2. In een scherpe driehoek snijden twee van zijn hoogten soortgelijke hoogten ervan af driehoeken.

Eigenschappen middelloodlijnen driehoek

1. Elk punt van de middelloodlijn van een segment ligt op gelijke afstand van de uiteinden van dit segment. Het omgekeerde is ook waar: elk punt op gelijke afstand van de uiteinden van een segment ligt op de middelloodlijn daarop.

2. Het snijpunt van de middelloodlijnen die naar de zijden van de driehoek zijn getrokken, is het middelpunt van de cirkel die om deze driehoek wordt beschreven.

Eigenschap van de middellijn van een driehoek

De middellijn van een driehoek is evenwijdig aan een van de zijden en gelijk aan de helft van die zijde.

Gelijkenis van driehoeken

Twee driehoeken vergelijkbaar als een van de volgende situaties waar is volgende voorwaarden, genaamd tekenen van gelijkenis:

· twee hoeken van een driehoek zijn gelijk aan twee hoeken van een andere driehoek;

· twee zijden van een driehoek zijn evenredig met twee zijden van een andere driehoek, en de hoeken gevormd door deze zijden zijn gelijk;

· drie zijden van een driehoek zijn respectievelijk evenredig met drie zijden van een andere driehoek.

In soortgelijke driehoeken zijn de overeenkomstige lijnen (hoogten, medianen, deellijnen, enz.) proportioneel.

Stelling van sinussen

Cosinusstelling

een 2= b2+ c2- 2bc want

Formules voor driehoeksoppervlakken

1. Vrije Driehoek

a, b, c- zijkanten; - hoek tussen zijden A En B; - semi-perimeter; R- omgeschreven cirkelradius; R- straal van de ingeschreven cirkel; S- vierkant; h een - hoogte aangetrokken kant A.

S = ah een

S = ab zonde

S = pr

2. Rechte driehoek

een, b- benen; C- hypotenusa; h c - hoogte naar de zijkant getrokken C.

S = ch c S = ab

3. Gelijkzijdige driehoek

Vierhoeken

Eigenschappen van een parallellogram

· tegenoverliggende zijden zijn gelijk;

· tegenovergestelde hoeken zijn gelijk;

· diagonalen worden door het snijpunt in tweeën gedeeld;

· de som van de hoeken grenzend aan één zijde is 180°;

De som van de vierkanten van de diagonalen is gelijk aan de som van de vierkanten van alle zijden:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Een vierhoek is een parallellogram als:

1. De twee tegenoverliggende zijden zijn gelijk en evenwijdig.

2. Overstaande zijden zijn in paren gelijk.

3. Tegenovergestelde hoeken zijn in paren gelijk.

4. De diagonalen worden door het snijpunt in tweeën gedeeld.

Eigenschappen van een trapezium

· de middellijn is evenwijdig aan de basissen en gelijk aan hun halve som;

· als het trapezium gelijkbenig is, dan zijn de diagonalen gelijk en zijn de hoeken aan de basis gelijk;

· als het trapezium gelijkbenig is, kan er een cirkel omheen worden beschreven;

· als de som van de bases gelijk is aan de som van de zijden, dan kan er een cirkel in worden ingeschreven.

Rechthoekeigenschappen

De diagonalen zijn gelijk.

Een parallellogram is een rechthoek als:

1. Een van de hoeken is recht.

2. De diagonalen zijn gelijk.

Eigenschappen van een ruit

· alle eigenschappen van een parallellogram;

Diagonalen staan ​​loodrecht;

De diagonalen zijn de deellijnen van de hoeken.

1. Een parallellogram is een ruit als:

2. De twee aangrenzende zijden zijn gelijk.

3. De diagonalen staan ​​loodrecht.

4. Een van de diagonalen is de bissectrice van zijn hoek.

Eigenschappen van een vierkant

· alle hoeken van het vierkant zijn goed;

· de diagonalen van een vierkant zijn gelijk, staan ​​onderling loodrecht, het snijpunt doorsnijdt en doorsnijdt de hoeken van het vierkant.

Een rechthoek is een vierkant als deze de kenmerken van een ruit heeft.

Basisformules

1. Elke convexe vierhoek
d1,d2 - diagonalen; - de hoek daartussen; S- vierkant.

S = d 1 D 2 zonde

Bij het bestuderen van een onderwerp schoolcursus het is mogelijk om een ​​bepaald minimum aan problemen te selecteren, nadat ze de oplossingsmethoden onder de knie hebben, waardoor studenten elk probleem kunnen oplossen op het niveau van de programmavereisten over het onderwerp dat wordt bestudeerd. Ik stel voor om problemen te overwegen waarmee u de onderlinge relaties van individuele onderwerpen in de wiskundecursus op school kunt zien. Daarom is het gecompileerde takensysteem dat wel Effectieve middelen herhaling, generalisatie en systematisering educatief materiaal tijdens het voorbereiden van studenten op het examen.

Om voor het examen te slagen, is het handig om aanvullende informatie te hebben over enkele elementen van de driehoek. Laten we eens kijken naar de eigenschappen van de mediaan van een driehoek en de problemen bij het oplossen van welke deze eigenschappen kunnen worden gebruikt. De voorgestelde taken implementeren het principe van niveaudifferentiatie. Alle taken zijn voorwaardelijk verdeeld in niveaus (het niveau wordt na elke taak tussen haakjes aangegeven).

Laten we ons enkele eigenschappen van de mediaan van een driehoek herinneren

Eigendom 1. Bewijs dat de mediaan van een driehoek is abc, getrokken vanaf het hoekpunt A, minder dan de helft van de som van de zijden AB En A.C..

Bewijs

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eigenschap 2. De mediaan snijdt de driehoek in twee gelijke gebieden.

Bewijs

Laten we tekenen vanuit hoekpunt B van de driehoek ABC-mediaan BD en hoogte BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Omdat het segment BD dus de mediaan is

QED

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediaan" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eigenschap 4. De medianen van een driehoek verdelen de driehoek in 6 gelijke driehoeken.

Bewijs

Laten we bewijzen dat de oppervlakte van elk van de zes driehoeken waarin de medianen driehoek ABC verdelen gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC. Om dit te doen, beschouw bijvoorbeeld driehoek AOF en laat een loodlijn AK vallen van hoekpunt A naar lijn BF.

Vanwege eigenschap 2 is

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediaan" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eigenschap 6. De mediaan in een rechthoekige driehoek, getrokken vanuit het hoekpunt van de rechte hoek, is gelijk aan de helft van de hypotenusa.

Bewijs

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediaan" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Gevolgen:1. Het middelpunt van een cirkel, omgeschreven rond een rechthoekige driehoek, ligt in het midden van de hypotenusa.

2. Als in een driehoek de lengte van de middellijn gelijk is aan de helft van de lengte van de zijde waarnaar deze wordt getrokken, dan is deze driehoek rechthoekig.

TAKEN

Bij het oplossen van elk volgend probleem wordt gebruik gemaakt van bewezen eigenschappen.

№1 Onderwerpen: Verdubbeling van de mediaan. Moeilijkheidsgraad: 2+

Tekens en eigenschappen van een parallellogram Cijfers: 8,9

Voorwaarde

Bij voortzetting van de middenberm BEN. driehoek abc per punt M segment uitgesteld MD, gelijkwaardig BEN.. Bewijs dat de vierhoek ABDC- parallellogram.

Oplossing

Laten we een van de tekens van een parallellogram gebruiken. Diagonalen van een vierhoek ABDC kruisen elkaar op een punt M en verdeel het in tweeën, dus de vierhoek ABDC- parallellogram.

Opmerking. Deze les presenteert theoretische materialen en oplossingen voor geometrieproblemen over het onderwerp 'mediaan in een rechthoekige driehoek'. Als je een geometrieprobleem moet oplossen dat er niet is, schrijf er dan over op het forum. De cursus zal vrijwel zeker aangevuld worden.

Eigenschappen van de mediaan van een rechthoekige driehoek

Het bepalen van de mediaan

  • De medianen van een driehoek snijden elkaar op één punt en worden door dit punt in twee delen verdeeld in een verhouding van 2:1, gerekend vanaf het hoekpunt van de hoek. Het punt van hun snijpunt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd (relatief zelden wordt bij problemen de term 'zwaartepunt' gebruikt om dit punt aan te duiden),
  • De mediaan verdeelt een driehoek in twee even grote driehoeken.
  • Een driehoek wordt door drie medianen verdeeld in zes gelijke driehoeken.
  • De grotere zijde van de driehoek komt overeen met de kleinere mediaan.

De voor oplossing voorgestelde geometrische problemen maken hoofdzakelijk gebruik van het volgende eigenschappen van de mediaan van een rechthoekige driehoek.

  • De som van de vierkanten van de mediaan die op de benen van een rechthoekige driehoek vallen, is gelijk aan vijf vierkanten van de mediaan die op de hypotenusa valt (Formule 1)
  • De mediaan daalde naar de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk aan de helft van de hypotenusa(Formule 2)
  • De mediaan van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de straal van de omgeschreven cirkel gegeven rechthoekige driehoek (Formule 2)
  • De mediaan gedaald naar de hypotenusa is gelijk aan de helft van de vierkantswortel van de som van de vierkanten van de benen(Formule 3)
  • De mediaan verlaagd naar de hypotenusa is gelijk aan het quotiënt van de lengte van het been gedeeld door twee sinussen van het andere been Scherpe hoek(Formule 4)
  • De mediaan verlaagd naar de hypotenusa is gelijk aan het quotiënt van de lengte van het been gedeeld door twee cosinus van de scherpe hoek grenzend aan het been (Formule 4)
  • De som van de vierkanten van de zijden van een rechthoekige driehoek is gelijk aan acht vierkanten van de mediaan, gedaald tot aan de hypotenusa (Formule 5)

Notatie in formules:

een, b- benen van een rechthoekige driehoek

C- hypotenusa van een rechthoekige driehoek

Als we een driehoek als ABC aanduiden, dan

BC = A

(dat is zijden a,b,c- zijn tegengesteld aan de overeenkomstige hoeken)

M A- mediaan getrokken naar been a

M B- mediaan naar been getrokken b

M C - mediaan van een rechthoekige driehoek, getrokken naar de hypotenusa met

α (alfa)- hoek CAB tegenover zijde a

Probleem met de mediaan in een rechthoekige driehoek

De medianen van een rechthoekige driehoek die naar de benen wordt getrokken, zijn respectievelijk gelijk aan 3 cm en 4 cm. Zoek de hypotenusa van de driehoek

Oplossing

Voordat we beginnen met het oplossen van het probleem, moeten we letten op de verhouding tussen de lengte van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek en de mediaan, die erop wordt neergelaten. Om dit te doen, gaan we naar formules 2, 4, 5 eigenschappen van de mediaan in een rechthoekige driehoek. Deze formules geven duidelijk de verhouding aan tussen de hypotenusa en de mediaan, die daarop wordt verlaagd als 1 op 2. Daarom, voor het gemak van toekomstige berekeningen (die op geen enkele manier de juistheid van de oplossing zullen beïnvloeden, maar deze meer zullen maken handig), geven we de lengtes van de benen AC en BC aan met de variabelen x en y als 2x en 2y (niet x en y).

Beschouw de rechthoekige driehoek ADC. Hoek C is juist volgens de omstandigheden van het probleem, been AC komt overeen met driehoek ABC, en been CD is gelijk aan de helft BC volgens de eigenschappen van de mediaan. Dan, volgens de stelling van Pythagoras

AC2 + CD2 = AD2

Omdat AC = 2x, CD = y (aangezien de mediaan het been in twee gelijke delen verdeelt), dan
4x 2 + j 2 = 9

Beschouw tegelijkertijd de rechthoekige driehoek EBC. Het heeft ook een rechte hoek C, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem, been BC komt overeen met been BC van de oorspronkelijke driehoek ABC, en been EC is, volgens de eigenschap van de mediaan, gelijk aan de helft van been AC van de oorspronkelijke driehoek. ABC.
Volgens de stelling van Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Omdat EC = x (de mediaan verdeelt het been in tweeën), dus BC = 2y
x 2 + 4j 2 = 16

Omdat driehoeken ABC, EBC en ADC verbonden zijn door gemeenschappelijke zijden, zijn beide resulterende vergelijkingen ook gerelateerd.
Laten we het resulterende stelsel vergelijkingen oplossen.
4x 2 + j 2 = 9
x 2 + 4j 2 = 16

Een driehoek is een veelhoek met drie zijden, of een gesloten onderbroken lijn met drie schakels, of een figuur gevormd door drie segmenten die drie punten verbinden die niet op dezelfde rechte lijn liggen (zie figuur 1).

Essentiële elementen driehoek abc

Pieken – punten A, B en C;

Partijen – segmenten a = BC, b = AC en c = AB die de hoekpunten verbinden;

Hoeken – α, β, γ gevormd door drie paar zijden. Hoeken worden vaak op dezelfde manier aangeduid als hoekpunten, met de letters A, B en C.

De hoek gevormd door de zijden van een driehoek en die in het binnengebied ligt, wordt een binnenhoek genoemd, en de hoek die ernaast ligt is de aangrenzende hoek van de driehoek (2, p. 534).

Hoogten, medianen, middellijnen en middellijnen van een driehoek

Naast de hoofdelementen in een driehoek wordt ook gekeken naar andere segmenten met interessante eigenschappen: hoogtes, medianen, bissectrices en middellijnen.

Hoogte

Driehoek hoogten- dit zijn loodlijnen die van de hoekpunten van de driehoek naar tegenoverliggende zijden vallen.

Om de hoogte te plotten, moet u de volgende stappen uitvoeren:

1) teken een rechte lijn die een van de zijden van de driehoek bevat (als de hoogte wordt getrokken vanaf het hoekpunt van een scherpe hoek in een stompe driehoek);

2) Teken vanaf het hoekpunt dat tegenover de getekende lijn ligt een segment van het punt naar deze lijn en maak er een hoek van 90 graden mee.

Het punt waar de hoogte de zijde van de driehoek snijdt, wordt genoemd hoogte basis (zie afbeelding 2).

Eigenschappen van driehoekshoogten

    In een rechthoekige driehoek splitst de hoogte, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, deze in twee driehoeken die lijken op de oorspronkelijke driehoek.

    In een scherpe driehoek snijden de twee hoogten soortgelijke driehoeken ervan af.

    Als de driehoek acuut is, dan behoren alle basissen van de hoogten tot de zijden van de driehoek, en in een stompe driehoek vallen twee hoogten op de voortzetting van de zijden.

    Drie hoogten in een scherpe driehoek snijden elkaar op één punt en dit punt wordt genoemd orthocentrum driehoek.

Mediaan

Medianen(van het Latijnse mediana – “midden”) - dit zijn segmenten die de hoekpunten van de driehoek verbinden met de middelpunten van de tegenoverliggende zijden (zie figuur 3).

Om de mediaan te construeren, moet u de volgende stappen uitvoeren:

1) zoek het midden van de zijkant;

2) Verbind het punt dat het midden is van de zijde van de driehoek met het tegenoverliggende hoekpunt met een segment.

Eigenschappen van driehoeksmedianen

    De mediaan verdeelt een driehoek in twee driehoeken van gelijke oppervlakte.

    De medianen van een driehoek snijden elkaar op één punt, waardoor ze elk in een verhouding van 2:1 worden verdeeld, gerekend vanaf het hoekpunt. Dit punt wordt genoemd zwaartepunt driehoek.

De hele driehoek wordt door de medianen in zes gelijke driehoeken verdeeld.

Bissectrice

Middellijnen(van het Latijnse bis - tweemaal en seko - gesneden) zijn de rechte lijnsegmenten die zijn ingesloten in een driehoek die de hoeken in tweeën deelt (zie figuur 4).

Om een ​​bissectrice te construeren, moet u de volgende stappen uitvoeren:

1) construeer een straal die uit het hoekpunt van de hoek komt en deze in twee gelijke delen verdeelt (de bissectrice van de hoek);

2) vind het snijpunt van de bissectrice van de hoek van de driehoek met de tegenoverliggende zijde;

3) selecteer een segment dat het hoekpunt van de driehoek verbindt met het snijpunt aan de andere kant.

Eigenschappen van driehoeksmiddellijnen

    De bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in een verhouding die gelijk is aan de verhouding van de twee aangrenzende zijden.

    Middellijnen interne hoeken driehoeken snijden elkaar in één punt. Dit punt wordt het middelpunt van de ingeschreven cirkel genoemd.

    De deellijnen van de interne en externe hoeken staan ​​loodrecht.

    Als de bissectrice van een buitenhoek van een driehoek de verlenging van de tegenoverliggende zijde snijdt, dan is ADBD=ACBC.

    Middellijnen van één interne en twee externe hoeken driehoeken snijden elkaar in één punt. Dit punt is het middelpunt van een van de drie excircles van deze driehoek.

    De basis van de middelloodlijnen van twee binnenhoeken en één buitenhoek van een driehoek liggen op dezelfde rechte lijn als de bissectrice van de buitenhoek niet evenwijdig is aan de tegenoverliggende zijde van de driehoek.

    Als de deellijnen van de buitenhoeken van een driehoek niet evenwijdig zijn aan tegenoverliggende zijden, liggen hun basissen op dezelfde rechte lijn.

Een mediaan is een segment dat wordt getrokken van de top van een driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde, dat wil zeggen dat het deze op het snijpunt in tweeën deelt. Het punt waarop de mediaan de zijde snijdt tegenover het hoekpunt waaruit deze tevoorschijn komt, wordt de basis genoemd. Elke mediaan van de driehoek gaat door één punt, het snijpunt genoemd. De formule voor de lengte ervan kan op verschillende manieren worden uitgedrukt.

Formules voor het uitdrukken van de lengte van de mediaan

  • Vaak hebben leerlingen bij meetkundeproblemen te maken met een segment zoals de mediaan van een driehoek. De formule voor de lengte wordt uitgedrukt in termen van zijden:

waarbij a, b en c de zijden zijn. Bovendien is c de kant waarop de mediaan valt. Zo ziet de eenvoudigste formule eruit. Medianen van een driehoek zijn soms nodig voor hulpberekeningen. Er zijn andere formules.

  • Als tijdens de berekening twee zijden van een driehoek en een bepaalde hoek α daartussen bekend zijn, wordt de lengte van de mediaan van de driehoek, verlaagd tot de derde zijde, als volgt uitgedrukt.

Basiseigenschappen

  • Alle medianen hebben één gemeenschappelijk snijpunt O en worden daardoor gedeeld in een verhouding van twee op één, geteld vanaf het hoekpunt. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd.
  • De mediaan verdeelt de driehoek in twee andere waarvan de oppervlakten gelijk zijn. Dergelijke driehoeken worden gelijke oppervlakte genoemd.
  • Als je alle medianen tekent, wordt de driehoek verdeeld in 6 gelijke cijfers, die ook driehoeken zijn.
  • Als alle drie de zijden van een driehoek gelijk zijn, dan zal elk van de medianen ook een hoogte en een bissectrice zijn, dat wil zeggen loodrecht op de zijde waarnaar hij wordt getrokken, en doorsnijdt de hoek van waaruit hij tevoorschijn komt.
  • In een gelijkbenige driehoek zal de mediaan getrokken uit het hoekpunt dat zich tegenover de zijde bevindt die niet gelijk is aan een andere zijde, ook de hoogte en de bissectrice zijn. De medianen die van andere hoekpunten vallen, zijn gelijk. Dit is ook een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor gelijkbenen.
  • Als de driehoek de basis is reguliere piramide, dan wordt de hoogte verlaagd tot een bepaalde basis geprojecteerd op het snijpunt van alle medianen.

  • In een rechthoekige driehoek is de mediaan, getrokken naar de langste zijde, gelijk aan de helft van zijn lengte.
  • Laat O het snijpunt zijn van de medianen van de driehoek. De onderstaande formule geldt voor elk punt M.

  • De mediaan van een driehoek heeft nog een andere eigenschap. De formule voor het kwadraat van de lengte door de vierkanten van de zijkanten wordt hieronder weergegeven.

Eigenschappen van de zijden waarnaar de mediaan wordt getrokken

  • Als je twee snijpunten van de medianen verbindt met de zijden waarop ze vallen, dan zal het resulterende segment de middellijn van de driehoek zijn en de helft van de zijde van de driehoek waarmee het geen gemeenschappelijke punten heeft.
  • De basissen van de hoogten en de medianen in een driehoek, evenals de middelpunten van de segmenten die de hoekpunten van de driehoek verbinden met het snijpunt van de hoogten, liggen op dezelfde cirkel.

Concluderend is het logisch om te zeggen dat een van de belangrijkste segmenten de mediaan van de driehoek is. De formule kan worden gebruikt om de lengtes van de andere zijden te vinden.