Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, was de eerste van de grote wiskundigen van Europa in de late middeleeuwen. Geboren in Pisa in een rijke koopmansfamilie, kwam hij in de wiskunde terecht dankzij een puur praktische behoefte om zich te vestigen zakelijke contacten. In zijn jeugd reisde Leonardo veel en vergezelde zijn vader op zakenreizen. We weten bijvoorbeeld van zijn lange verblijf in Byzantium en Sicilië. Tijdens dergelijke reizen communiceerde hij veel met lokale wetenschappers.

De getallenreeks die vandaag de dag zijn naam draagt, is voortgekomen uit het konijnenprobleem dat Fibonacci schetste in zijn boek Liber abacci, geschreven in 1202:

Een man stopte een koppel konijnen in een hok, aan alle kanten omgeven door een muur. Hoeveel paren konijnen kan dit paar in een jaar produceren, als bekend is dat elk paar konijnen elke maand, vanaf de tweede, één paar produceert?

U kunt er zeker van zijn dat het aantal koppels in elk van de twaalf daaropvolgende maanden respectievelijk zal zijn

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Met andere woorden: het aantal konijnenparen creëert een reeks, waarbij elke term de som is van de voorgaande twee. Hij staat bekend als Fibonacci-reeks, en de cijfers zelf - Fibonacci-getallen. Het blijkt dat deze reeks vanuit wiskundig oogpunt veel interessante eigenschappen heeft. Hier is een voorbeeld: je kunt een lijn in twee segmenten verdelen, zodat de verhouding tussen het grotere en kleinere segment evenredig is aan de verhouding tussen de hele lijn en het grotere segment. Deze evenredigheidsfactor, ongeveer gelijk aan 1,618, staat bekend als gouden ratio. Tijdens de Renaissance geloofde men dat juist deze verhouding werd waargenomen architecturale structuren, een lust voor het oog. Als je opeenvolgende paren uit de Fibonacci-reeks neemt en deelt groter aantal van elk paar tot het kleinere paar zal uw resultaat geleidelijk de gulden snede benaderen.

Sinds Fibonacci zijn reeks ontdekte, zijn er zelfs natuurverschijnselen gevonden waarin deze reeks een belangrijke rol lijkt te spelen. Een van hen - phyllotaxis(bladschikking) - de regel waarmee bijvoorbeeld zaden in de bloeiwijze van een zonnebloem worden gerangschikt. De zaden zijn gerangschikt in twee rijen spiralen, waarvan er één met de klok mee gaat, de andere tegen de klok in. En wat is het aantal zaden in elk geval? 34 en 55.

Fibonacci-reeks. Als je de bladeren van de plant van bovenaf bekijkt, zul je merken dat ze in een spiraal bloeien. De hoeken tussen aangrenzende bladeren vormen een regelmatige wiskundige reeks die bekend staat als de Fibonacci-reeks. Hierdoor ontvangt elk individueel blad dat aan een boom groeit de maximaal beschikbare hoeveelheid warmte en licht.

Piramides in Mexico

Niet alleen werden de Egyptische piramides gebouwd in overeenstemming met de perfecte proporties van de gulden snede, hetzelfde fenomeen werd aangetroffen in de Mexicaanse piramides. Het idee ontstaat dat zowel de Egyptische als de Mexicaanse piramide ongeveer tegelijkertijd werden gebouwd door mensen van een gemeenschappelijke afkomst.
De dwarsdoorsnede van de piramide toont een vorm die lijkt op een trap. De eerste laag heeft 16 treden, de tweede 42 treden en de derde - 68 treden.
Deze cijfers zijn als volgt gebaseerd op de Fibonacci-ratio:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

Na de eerste paar cijfers van de reeks is de verhouding van elk van zijn leden tot de volgende ongeveer 0,618, en tot de vorige - 1,618. Hoe hoger het rangtelwoord van een lid van de reeks, hoe dichter de verhouding ligt bij het getal phi, wat een irrationeel getal is en gelijk is aan 0,618034... De verhouding tussen leden van de reeks gescheiden door één getal is ongeveer gelijk aan 0,382 , en het omgekeerde getal is 2,618. In afb. Figuur 3.2 toont een tabel met verhoudingen van alle Fibonacci-getallen van 1 tot en met 144.

F is enkelvoud, wat, opgeteld bij 1, het omgekeerde oplevert: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Deze relatie tussen optel- en vermenigvuldigingsprocedures leidt tot de volgende reeks vergelijkingen:

Als we dit proces voortzetten, maken we rechthoeken van 13 bij 21, 21 bij 34, enzovoort.

Bekijk het nu eens. Als je 13 door 8 deelt, krijg je 1,625. En als je het grotere getal deelt door het kleinere getal, komen die kansen steeds dichter bij het getal 1,618, bij veel mensen bekend als gouden ratio, een getal dat wiskundigen, wetenschappers en kunstenaars al eeuwenlang fascineert.

Fibonacci-verhoudingstabel

Naarmate de nieuwe progressie groeit, vormen de getallen een derde reeks, bestaande uit getallen toegevoegd aan het product van vier en het Fibonacci-getal. Dit wordt hierdoor mogelijk gemaakt. dat de verhouding tussen leden van de reeks die twee posities uit elkaar liggen 4,236 is. waarbij het getal 0,236 het omgekeerde is van 4,236 en. bovendien het verschil tussen 4,236 en 4. Andere factoren leiden tot andere reeksen, die allemaal gebaseerd zijn op Fibonacci-ratio's.

1. Geen twee opeenvolgende Fibonacci-getallen hebben gemeenschappelijke factoren.

2. Als de termen van de Fibonacci-reeks genummerd zijn als 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, enz., zien we dat, met uitzondering van de vierde term (nummer 3), het getal van elke Fibonacci-reeks nummer zijn priemgetal(dat wil zeggen, zonder andere delers dan zichzelf en één), is ook eenvoudig zuiver. Op dezelfde manier komen, met uitzondering van het vierde lid van de Fibonacci-reeks (nummer 3), alle samengestelde getallen van de reeksleden (dat wil zeggen degenen die ten minste twee andere delers hebben dan zichzelf en één) overeen met samengestelde Fibonacci-getallen, aangezien de onderstaande tabel laat zien. Het omgekeerde is niet altijd waar.

3. De som van elke tien termen van de reeks wordt gedeeld door elf.

4. De som van alle Fibonacci-getallen tot een bepaald punt in de reeks plus één is gelijk aan het Fibonacci-getal, twee posities verwijderd van het laatst toegevoegde getal.

5. De som van de kwadraten van opeenvolgende termen die met de eerste 1 beginnen, zal altijd gelijk zijn aan het laatste (uit een gegeven monster) getal van de reeks, vermenigvuldigd met de volgende term.

6. Het kwadraat van het Fibonacci-getal minus het kwadraat van de tweede term van de reeks in afnemende richting zal altijd het Fibonacci-getal zijn.

7. Het kwadraat van elk Fibonacci-getal is gelijk aan de vorige term in de reeks, vermenigvuldigd met het volgende getal in de reeks, plus of min één. Optellen en aftrekken van één wisselen elkaar af naarmate de reeks vordert.

8. De som van het kwadraat van het getal Fn en het kwadraat van het volgende Fibonacci-getal F is gelijk aan het Fibonacci-getal F,. Formule F - + F 2 = F„, van toepassing op rechthoekige driehoeken, waarbij de som van de kwadraten van de twee kortere zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde. Aan de rechterkant is een voorbeeld met F5, F6 en Vierkantswortel van Fn.

10. Een van de verbazingwekkende verschijnselen, die, voor zover wij weten, nog niet is genoemd, is dat de verhoudingen tussen Fibonacci-getallen gelijk zijn aan getallen die zeer dicht bij duizendsten van andere Fibonacci-getallen liggen, met een verschil gelijk aan een duizendste van een ander getal Fibonacci (zie figuur 3-2). In stijgende richting is de verhouding van twee identieke Fibonacci-getallen dus 1, oftewel 0,987 plus 0,013: aangrenzende Fibonacci-getallen hebben een verhouding van 1,618. of 1,597 plus 0,021; Fibonacci-getallen aan weerszijden van een lid van de reeks hebben een verhouding van 2,618, of 2,584 plus 0,034, enzovoort. In de tegenovergestelde richting hebben aangrenzende Fibonacci-getallen een verhouding van 0,618. of 0,610 plus 0,008: Fibonacci-getallen aan weerszijden van een lid van de reeks hebben een verhouding van 0,382, of 0,377 plus 0,005; Fibonacci-getallen waartussen twee leden van de reeks zich bevinden, hebben een verhouding van 0,236, of 0,233 plus 0,003: Fibonacci-getallen waartussen drie leden van de reeks zich bevinden, hebben een verhouding van 0,146. of 0,144 plus 0,002: Fibonacci-getallen waartussen vier leden van de reeks zich bevinden hebben een verhouding van 0,090, of 0,089 plus 0,001: de Fibonacci-getallen waartussen de vijf termen van de reeks zich bevinden, hebben een verhouding van 0,056. of 0,055 plus 0,001; Fibonacci-getallen, waartussen zes tot twaalf leden van de reeks zich bevinden, hebben verhoudingen die op zichzelf duizendsten van Fibonacci-getallen zijn, beginnend bij 0,034. Interessant is dat in deze analyse de coëfficiënt die de Fibonacci-getallen verbindt, waartussen de dertien termen van de reeks zich bevinden, de reeks opnieuw begint op het getal 0,001, vanaf een duizendste van het getal waar deze begon! Met alle berekeningen krijgen we feitelijk een gelijkenis of ‘zelfreproductie in een oneindige reeks’, waardoor de eigenschappen van ‘de sterkste verbinding tussen alle wiskundige relaties’ worden onthuld.

Merk ten slotte op dat (V5 + 1)/2 = 1,618 en [\^5- 1)/2 = 0,618. waarbij V5 = 2,236. 5 blijkt het belangrijkste getal voor het golfprincipe te zijn, en de wortel ervan is de wiskundige sleutel tot het getal f.

Het getal 1,618 (of 0,618) staat bekend als de gulden snede, of gouden gemiddelde. De proportionaliteit die daarmee gepaard gaat, is een lust voor oog en oor. Het manifesteert zich in de biologie, en in de muziek, en in de schilderkunst, en in de architectuur. In een artikel uit december 1975 in Smithsonian Magazine zei William Hoffer:

“...De verhouding van het getal 0,618034 tot 1 is de wiskundige basis van het formulier speelkaarten en het Parthenon, zonnebloem en zeeschelp, Griekse vazen ​​en spiraalvormige sterrenstelsels in de ruimte. De basis van veel kunstwerken en architectuur van de Grieken is deze verhouding. Ze noemden het de ‘gulden middenweg’.

Vruchtbare Fibonacci-konijntjes duiken op de meest onverwachte plekken op. Fibonacci-getallen maken ongetwijfeld deel uit van een mystieke natuurlijke harmonie die goed aanvoelt, er goed uitziet en zelfs goed klinkt. Muziek is bijvoorbeeld gebaseerd op een octaaf van acht noten. Op de piano wordt dit weergegeven door 8 witte en 5 zwarte toetsen - in totaal 13. Het is geen toeval dat het muzikale interval dat ons het grootste plezier brengt de zesde is. De noot "E" trilt in een verhouding van 0,62500 ten opzichte van de noot "C". Dit is slechts 0,006966 verwijderd van de exacte gulden middenweg. De verhoudingen van de zesde brengen aangename trillingen over op het slakkenhuis van het middenoor - een orgaan dat ook de vorm heeft van een logaritmische spiraal.

Het voortdurend voorkomen van Fibonacci-getallen en de gouden spiraal in de natuur verklaren precies waarom de verhouding van 0,618034 tot 1 zo prettig is in kunstwerken. Een mens ziet in kunst een weerspiegeling van het leven, waarin een gulden middenweg centraal staat.”

De natuur gebruikt de gulden snede in haar meest perfecte creaties - van zo klein als de microwindingen van de hersenen en DNA-moleculen (zie figuur 3 9) tot zo groot als sterrenstelsels. Het komt tot uiting in verschillende verschijnselen als de groei van kristallen, de breking van een lichtstraal in glas, de structuur van de hersenen en zenuwstelsel, muzikale constructies, structuur van planten en dieren. De wetenschap levert steeds meer bewijs dat de natuur een fundamenteel evenredigheidsbeginsel kent. Je houdt dit boek trouwens vast met twee van je vijf vingers, waarbij elke vinger uit drie delen bestaat. Totaal: vijf eenheden, elk verdeeld in drie - een progressie van 5-3-5-3, vergelijkbaar met wat ten grondslag ligt aan het golfprincipe.

De symmetrische en proportionele vorm bevordert de beste visuele waarneming en roept een gevoel van schoonheid en harmonie op. Een compleet beeld bestaat altijd uit onderdelen verschillende maten, die in een bepaalde relatie staan ​​met elkaar en het geheel. De gulden snede is de hoogste manifestatie van de perfectie van het geheel en zijn delen in wetenschap, kunst en natuur.

Indien aan eenvoudig voorbeeld, dan is de Gulden Snede de verdeling van een segment in twee delen in een zodanige verhouding waarin het grotere deel gerelateerd is aan het kleinere, zoals hun som (het hele segment) zich verhoudt tot het grotere.

Als we het hele segment c als 1 nemen, dan is segment a gelijk aan 0,618, segment b - 0,382, alleen op deze manier wordt aan de voorwaarde van de Gulden Snede voldaan (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . De verhouding van c tot a is 2,618, en c tot b is 1,618. Dit zijn dezelfde Fibonacci-verhoudingen die ons al bekend zijn.

Natuurlijk is er een gouden rechthoek, een gouden driehoek en zelfs een gouden balk. Proporties menselijk lichaam in veel opzichten dicht bij de Gulden Snede.

Maar het plezier begint wanneer we de opgedane kennis combineren. De figuur laat duidelijk de relatie zien tussen de Fibonacci-reeks en de Gulden Snede. We beginnen met twee vierkanten van de eerste maat. Voeg er bovenop een vierkant van de tweede maat toe. Teken er een vierkant naast met een zijde gelijk aan de som van de zijden van de vorige twee, derde maat. Naar analogie verschijnt er een vierkant van maat vijf. En zo verder totdat je moe wordt, het belangrijkste is dat de lengte van de zijde van elk volgend vierkant gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden van de twee voorgaande. We zien een reeks rechthoeken waarvan de zijdelengtes Fibonacci-getallen zijn, en vreemd genoeg worden ze Fibonacci-rechthoeken genoemd.

Als we vloeiende lijnen door de hoeken van onze vierkanten trekken, krijgen we niets meer dan een Archimedes-spiraal, waarvan de toename altijd uniform is.


Elke term van de gouden logaritmische reeks is een macht van de gulden snede ( z). Een deel van de serie ziet er ongeveer zo uit: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z 1; z2; z3; z4; z 5... Als we de waarde van de gulden snede afronden op drie decimalen, krijgen we: z=1,618, dan ziet de serie er als volgt uit: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Elke volgende term kan niet alleen worden verkregen door de vorige te vermenigvuldigen met 1,618 , maar ook door de twee voorgaande toe te voegen. Exponentiële groei in een reeks wordt dus bereikt door eenvoudige toevoeging twee aangrenzende elementen. Het is een reeks zonder begin of einde, en dat is wat de Fibonacci-reeks probeert te zijn. Ze heeft een heel duidelijk begin en streeft naar het ideaal, maar bereikt het nooit. Dat is het leven.

En toch rijzen er in verband met alles wat we hebben gezien en gelezen heel logische vragen:
Waar kwamen deze cijfers vandaan? Wie is deze architect van het universum die het ideaal probeerde te maken? Was alles ooit zoals hij wilde? En zo ja, waarom ging het mis? Mutaties? Vrije keuze? Wat is het volgende? Is de spiraal aan het krullen of afwikkelen?

Als je het antwoord op de ene vraag hebt gevonden, krijg je de volgende. Als je het oplost, krijg je twee nieuwe. Zodra je ze hebt afgehandeld, verschijnen er nog drie. Als je ze ook hebt opgelost, heb je vijf onopgeloste problemen. Dan acht, dan dertien, 21, 34, 55...

Laten we eens kijken wat de oude Egyptische piramides, de Mona Lisa van Leonardo da Vinci, een zonnebloem, een slak, een dennenappel en menselijke vingers met elkaar gemeen hebben?

Het antwoord op deze vraag ligt verborgen in de verbazingwekkende aantallen die zijn ontdekt Italiaanse middeleeuwse wiskundige Leonardo van Pisa, beter bekend onder de naam Fibonacci (geboren omstreeks 1170 - overleden na 1228), Italiaanse wiskundige . Reizend door het Oosten maakte hij kennis met de verworvenheden van de Arabische wiskunde; bijgedragen aan hun overdracht naar het Westen.

Na zijn ontdekking werden deze getallen naar de beroemde wiskundige genoemd. De verbazingwekkende essentie van de getallenreeks van Fibonacci is dat dat elk getal in deze reeks wordt verkregen uit de som van de twee voorgaande getallen.

Dus de getallen die de reeks vormen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

worden “Fibonacci-getallen” genoemd, en de reeks zelf wordt de Fibonacci-reeks genoemd.

Er is een heel interessant kenmerk van Fibonacci-getallen. Wanneer je een getal uit de reeks deelt door het getal ervoor in de reeks, zal het resultaat altijd een waarde zijn die schommelt rond de irrationele waarde 1,61803398875... en deze soms overschrijdt, en soms niet bereikt. (Ong. irrationeel nummer, d.w.z. een getal waarvan de decimale weergave oneindig en niet-periodiek is)

Bovendien wordt dit delingsresultaat na het 13e getal in de reeks constant tot aan het oneindige van de reeks... Het was dit constante aantal verdelingen dat in de Middeleeuwen de goddelijke verhouding werd genoemd, en nu de gulden snede, de gulden middenweg of de gouden verhouding wordt genoemd. . In de algebra wordt dit getal aangegeven met de Griekse letter phi (Ф)

Dus Gulden snede = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Het menselijk lichaam en de gulden snede

Kunstenaars, wetenschappers, modeontwerpers, ontwerpers maken hun berekeningen, tekeningen of schetsen op basis van de verhouding van de gulden snede. Ze maken gebruik van metingen van het menselijk lichaam, dat eveneens tot stand is gekomen volgens het principe van de gulden snede. Voordat Leonardo Da Vinci en Le Corbusier hun meesterwerken creëerden, namen ze de parameters van het menselijk lichaam, gecreëerd volgens de wet van de Gulden Verhouding.

Het belangrijkste boek van alle moderne architecten, het naslagwerk ‘Building Design’ van E. Neufert, bevat basisberekeningen van de parameters van de menselijke torso, die de gouden verhouding bevatten.

Proporties verschillende delen ons lichaam is een getal dat heel dicht bij de gulden snede ligt. Als deze verhoudingen samenvallen met de formule van de gulden snede, wordt het uiterlijk of lichaam van de persoon als ideaal geproportioneerd beschouwd. Het principe van het berekenen van de gouden maat op het menselijk lichaam kan worden weergegeven in de vorm van een diagram:

M/m=1,618

Het eerste voorbeeld van de gulden snede in de structuur van het menselijk lichaam:
 Als we het navelpunt als het middelpunt van het menselijk lichaam nemen, en de afstand tussen de voet van een persoon en het navelpunt als maateenheid, dan is de lengte van een persoon gelijk aan het getal 1,618.

Daarnaast zijn er nog een aantal fundamentelere gouden proporties van ons lichaam:

* de afstand van de vingertoppen tot de pols tot de elleboog is 1:1,618;

* de afstand van schouderhoogte tot bovenkant hoofd en de omvang van het hoofd is 1:1.618;

* de afstand van de navelpunt tot de kruin van het hoofd en van schouderhoogte tot de kruin is 1:1.618;

* de afstand van het navelpunt tot de knieën en van de knieën tot de voeten is 1:1.618;

* de afstand van het puntje van de kin tot het puntje van de bovenlip en van het puntje van de bovenlip tot de neusgaten is 1:1,618;

* de afstand van de punt van de kin tot de bovenste lijn van de wenkbrauwen en van de bovenste lijn van de wenkbrauwen tot de kruin is 1:1.618;

* de afstand van het puntje van de kin tot de bovenste lijn van de wenkbrauwen en van de bovenste lijn van de wenkbrauwen tot de kruin is 1:1.618:

De gulden snede in menselijke gelaatstrekken als criterium voor perfecte schoonheid.

In de structuur van menselijke gelaatstrekken zijn er ook veel voorbeelden die qua waarde dicht bij de formule van de gulden snede liggen. Haast je echter niet meteen naar een liniaal om de gezichten van alle mensen te meten. Omdat exacte overeenkomsten met de gulden snede, volgens wetenschappers en kunstenaars, kunstenaars en beeldhouwers, alleen bestaan ​​bij mensen met perfecte schoonheid. Eigenlijk is de exacte aanwezigheid van de gouden proportie in iemands gezicht het schoonheidsideaal voor de menselijke blik.

Als we bijvoorbeeld de breedte van de twee voorste boventanden bij elkaar optellen en deze som delen door de hoogte van de tanden, kunnen we, nadat we de gulden snede hebben verkregen, zeggen dat de structuur van deze tanden ideaal is.

Op menselijk gezicht Er zijn andere incarnaties van de gulden snede-regel. Hier zijn enkele van deze relaties:

*Gezichtshoogte/gezichtsbreedte;

* Centraal verbindingspunt van de lippen met de basis van de neus/lengte van de neus;

* Gezichtshoogte/afstand vanaf het puntje van de kin tot het centrale punt waar de lippen samenkomen;

*Mondbreedte/neusbreedte;

* Neusbreedte / afstand tussen neusgaten;

* Afstand tussen pupillen / afstand tussen wenkbrauwen.

Menselijke hand

Het is voldoende om uw handpalm dichter bij u te brengen en er goed naar te kijken wijsvinger, en je vindt er meteen de formule van de gulden snede in. Elke vinger van onze hand bestaat uit drie vingerkootjes.

* De som van de eerste twee vingerkootjes van de vinger in verhouding tot de gehele lengte van de vinger geeft het getal van de gulden snede (behalve duim);

* Daarnaast is de verhouding tussen middelvinger en pink ook gelijk aan de gulden snede;

* Een persoon heeft 2 handen, de vingers van elke hand bestaan ​​uit 3 vingerkootjes (behalve de duim). Er zijn 5 vingers aan elke hand, dat wil zeggen 10 in totaal, maar met uitzondering van twee tweekootjes duimen er worden slechts 8 vingers gemaakt volgens het principe van de gulden snede. Terwijl al deze getallen 2, 3, 5 en 8 de getallen zijn van de Fibonacci-reeks:

De gulden snede in de structuur van de menselijke longen

De Amerikaanse natuurkundige B.D. West en Dr. A.L. Goldberger stelde tijdens fysieke en anatomische studies vast dat de gulden snede ook voorkomt in de structuur van de menselijke longen.

De eigenaardigheid van de bronchiën waaruit de menselijke longen bestaan, ligt in hun asymmetrie. De bronchiën bestaan ​​uit twee hoofdluchtwegen, waarvan er één (links) langer is en de andere (rechts) korter.

* Er werd vastgesteld dat deze asymmetrie zich voortzet in de takken van de bronchiën, die allemaal kleiner zijn luchtwegen. Bovendien is de verhouding tussen de lengtes van korte en lange bronchiën ook de gulden snede en bedraagt ​​1:1,618.

Structuur van de gouden orthogonale vierhoek en spiraal

De gulden snede is een evenredige verdeling van een segment in ongelijke delen, waarbij het gehele segment gerelateerd is aan het grotere deel, zoals het grotere deel zelf gerelateerd is aan het kleinere; of met andere woorden, het kleinere segment staat voor het grotere, zoals het grotere voor het geheel.

In de meetkunde werd een rechthoek met deze aspectverhouding de gouden rechthoek genoemd. De lange zijden staan ​​in verhouding tot de korte zijden in een verhouding van 1,168:1.

De gouden rechthoek heeft ook veel verbazingwekkende eigenschappen. De gouden rechthoek heeft veel bijzondere eigenschappen. Door uit de gouden rechthoek een vierkant te snijden waarvan de zijde gelijk is aan de kleinere zijde van de rechthoek, verkrijgen we opnieuw een gouden rechthoek met kleinere afmetingen. Dit proces kan voor onbepaalde tijd worden voortgezet. Terwijl we doorgaan met het afsnijden van vierkanten, zullen we eindigen met steeds kleinere gouden rechthoeken. Bovendien zullen ze zich in een logaritmische spiraal bevinden, wat belangrijk is in wiskundige modellen van natuurlijke objecten (bijvoorbeeld slakkenhuizen).

De pool van de spiraal ligt op het snijpunt van de diagonalen van de oorspronkelijke rechthoek en de eerste verticale rechthoek die moet worden gesneden. Bovendien liggen de diagonalen van alle volgende afnemende gouden rechthoeken op deze diagonalen. Natuurlijk is er ook de gouden driehoek.

De Engelse ontwerper en schoonheidsspecialiste William Charlton verklaarde dat mensen spiraalvormen prettig vinden voor het oog en deze al duizenden jaren gebruiken, en legde het als volgt uit:

“We houden van het uiterlijk van een spiraal, omdat we er visueel gemakkelijk naar kunnen kijken.”

In de natuur

* De regel van de gulden snede, die ten grondslag ligt aan de structuur van de spiraal, wordt in de natuur heel vaak aangetroffen in creaties van ongeëvenaarde schoonheid. Het meest illustratieve voorbeelden— de spiraalvorm is terug te zien in de opstelling van zonnebloempitten, dennenappels, ananassen, cactussen, de structuur van rozenblaadjes, etc.;

* Botanici hebben ontdekt dat in de opstelling van bladeren op een tak, zonnebloempitten of dennenappels de Fibonacci-reeks duidelijk tot uiting komt, en daarom komt de wet van de gulden snede tot uiting;

De Almachtige Heer heeft voor elk van Zijn scheppingen een speciale maatstaf ingesteld en daaraan evenredigheid gegeven, wat wordt bevestigd door voorbeelden uit de natuur. Er zijn talloze voorbeelden te geven waarin het groeiproces van levende organismen strikt volgens de vorm van een logaritmische spiraal plaatsvindt.

Alle veren in de spiraal hebben dezelfde vorm. Wiskundigen hebben ontdekt dat zelfs als de veren groter worden, de vorm van de spiraal onveranderd blijft. Er is geen andere vorm in de wiskunde die dezelfde unieke eigenschappen heeft als de spiraal.

De structuur van zeeschelpen

Wetenschappers die de interne en externe structuur schelpen weekdieren met een zacht lichaam, levend op de bodem van de zeeën, verklaarde:

“Het binnenoppervlak van de schelpen is onberispelijk glad, terwijl het buitenoppervlak volledig bedekt is met ruwheden en onregelmatigheden. De mossel zat in de schaal en hiervoor binnenoppervlak de schaal moest perfect glad zijn. Externe hoeken-bochten van de schaal vergroten de sterkte, hardheid en vergroten zo de sterkte. De perfectie en verbazingwekkende intelligentie van de structuur van de schaal (slak) is verbazingwekkend. Het spiraalvormige idee van schelpen is een perfecte geometrische vorm en is verbazingwekkend in zijn verfijnde schoonheid."

Bij de meeste slakken met schelpen groeit de schelp in de vorm van een logaritmische spiraal. Er bestaat echter geen twijfel over dat deze onredelijke wezens niet alleen geen idee hebben van de logaritmische spiraal, maar zelfs niet over de eenvoudigste wiskundige kennis beschikken om voor zichzelf een spiraalvormig omhulsel te creëren.

Maar hoe konden deze onredelijke wezens dan voor zichzelf de ideale vorm van groei en bestaan ​​in de vorm van een spiraalvormige schil bepalen en kiezen? Kunnen deze levende wezens, die de wetenschappelijke wereld primitieve levensvormen noemt, berekenen dat de logaritmische schaalvorm ideaal zou zijn voor hun bestaan?

Natuurlijk niet, want zonder intelligentie en kennis kan een dergelijk plan niet worden gerealiseerd. Maar noch primitieve weekdieren, noch de onbewuste natuur bezitten zo'n intelligentie, die sommige wetenschappers echter de schepper van het leven op aarde noemen (?!)

Proberen de oorsprong van zelfs de meest primitieve levensvorm te verklaren door een willekeurige combinatie van bepaalde natuurlijke omstandigheden is op zijn zachtst gezegd absurd. Het is duidelijk dat dit project een bewuste creatie is.

Bioloog Sir D'arky Thompson noemt dit soort groei van zeeschelpen "groeivorm van dwergen."

Sir Thompson maakt deze opmerking:

“Er is geen eenvoudiger systeem dan de groei van zeeschelpen, die in verhouding groeien en uitzetten en dezelfde vorm behouden. Het meest verbazingwekkende is dat de schaal groeit, maar nooit van vorm verandert.”

De Nautilus, met een diameter van enkele centimeters, is het meest opvallende voorbeeld van de groeiwijze van kabouters. S. Morrison beschrijft dit proces van nautilusgroei als volgt, dat zelfs met de menselijke geest vrij moeilijk te plannen lijkt:

“Binnenin de nautilusschelp bevinden zich veel compartimenten-kamers met scheidingswanden gemaakt van parelmoer, en de schaal zelf binnenin is een spiraal die zich vanuit het midden uitbreidt. Naarmate de nautilus groeit, groeit er een andere kamer aan de voorkant van de schaal, maar al grote maten dan de vorige, en de wanden van de achtergelaten kamer zijn bedekt met een laag parelmoer. De spiraal breidt zich dus voortdurend proportioneel uit.”

Hier zijn slechts enkele soorten spiraalvormige schelpen met een logaritmisch groeipatroon in overeenstemming met hun wetenschappelijke namen:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Alle ontdekte fossiele resten van schelpen hadden ook een ontwikkelde spiraalvorm.

De logaritmische groeivorm wordt echter niet alleen in weekdieren in de dierenwereld aangetroffen. De hoorns van antilopen, wilde geiten, rammen en andere soortgelijke dieren ontwikkelen zich ook in de vorm van een spiraal volgens de wetten van de gulden snede.

Gulden snede in het menselijk oor

In het menselijke binnenoor bevindt zich een orgaan genaamd Cochlea ("Slak"), dat de functie vervult van het overbrengen van geluidstrillingen. Deze benige structuur is gevuld met vloeistof en heeft ook de vorm van een slak, met een stabiele logaritmische spiraalvorm = 73º 43'.

Dierlijke hoorns en slagtanden ontwikkelen zich in een spiraalvorm

De slagtanden van olifanten en uitgestorven mammoeten, de klauwen van leeuwen en de snavels van papegaaien zijn logaritmisch van vorm en lijken op de vorm van een as die de neiging heeft in een spiraal te veranderen. Spinnen weven hun web altijd in de vorm van een logaritmische spiraal. De structuur van micro-organismen zoals plankton (soorten gbigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae en trochida) heeft ook een spiraalvorm.

Gulden snede in de structuur van microkosmos

Geometrische vormen zijn niet beperkt tot alleen een driehoek, vierkant, vijfhoek of zeshoek. Als je deze cijfers met elkaar verbindt op verschillende manieren onderling, dan krijgen we een nieuw driedimensionaal geometrische figuren. Voorbeelden hiervan zijn figuren zoals een kubus of een piramide. Naast deze zijn er echter ook andere driedimensionale figuren die we nog niet zijn tegengekomen Alledaagse leven, en wiens namen we misschien voor het eerst horen. Tot dergelijke driedimensionale figuren behoren de tetraëder (regelmatige vierzijdige figuur), octaëder, dodecaëder, icosaëder, enz. De dodecaëder bestaat uit 13 vijfhoeken, de icosaëder uit 20 driehoeken. Wiskundigen merken op dat deze cijfers wiskundig zeer gemakkelijk kunnen worden getransformeerd, en dat hun transformatie plaatsvindt in overeenstemming met de formule van de logaritmische spiraal van de gulden snede.

In de microkosmos zijn driedimensionale logaritmische vormen, opgebouwd volgens gouden proporties, alomtegenwoordig . Veel virussen hebben bijvoorbeeld de driedimensionale geometrische vorm van een icosaëder. Misschien wel de meest bekende van deze virussen is het Adeno-virus. De eiwitomhulling van het Adeno-virus wordt gevormd uit 252 eenheden eiwitcellen die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. Op elke hoek van de icosaëder bevinden zich 12 eenheden eiwitcellen in de vorm van een vijfhoekig prisma en vanuit deze hoeken strekken zich spijkerachtige structuren uit.

De gulden snede in de structuur van virussen werd voor het eerst ontdekt in de jaren vijftig. wetenschappers van Birkbeck College London A. Klug en D. Kaspar. 13 Het Polyo-virus was het eerste dat een logaritmische vorm vertoonde. De vorm van dit virus bleek vergelijkbaar met de vorm van het Rhino 14-virus.

De vraag rijst: hoe vormen virussen zulke complexe driedimensionale vormen, waarvan de structuur de gulden snede bevat, die zelfs met onze menselijke geest vrij moeilijk te construeren zijn? De ontdekker van deze vormen van virussen, viroloog A. Klug, geeft het volgende commentaar:

“Dr. Kaspar en ik hebben laten zien dat voor de bolvormige schil van het virus symmetrie de meest optimale vorm is, zoals de vorm van een icosaëder. Deze volgorde minimaliseert het aantal verbindingselementen... De meeste van De geodetische halfbolvormige kubussen van Buckminster Fuller zijn gebouwd op een soortgelijk geometrisch principe. 14 De installatie van dergelijke kubussen vereist een uiterst nauwkeurig en gedetailleerd verklarend diagram. Terwijl onbewuste virussen zelf zo’n complex omhulsel construeren uit elastische, flexibele eiwit-cellulaire eenheden.”

Als je naar de planten en bomen om ons heen kijkt, kun je zien hoeveel bladeren er op elk ervan zitten. Van een afstand lijkt het erop dat de takken en bladeren van de planten willekeurig en in willekeurige volgorde zijn geplaatst. Maar bij alle planten kan op een wonderbaarlijke, wiskundig nauwkeurige manier worden bepaald welke tak waar vandaan zal groeien, hoe de takken en bladeren zich in de buurt van de stengel of stam zullen bevinden. Vanaf de eerste dag van zijn verschijning volgt de plant deze wetten precies in zijn ontwikkeling, dat wil zeggen dat er geen enkel blad, geen enkele bloem toevallig verschijnt. Zelfs vóór zijn verschijning is de plant al nauwkeurig geprogrammeerd. Hoeveel takken zullen er aan de toekomstige boom zitten, waar zullen de takken groeien, hoeveel bladeren zullen er aan elke tak zitten, en hoe en in welke volgorde de bladeren zullen worden gerangschikt. Het gezamenlijke werk van botanici en wiskundigen heeft hier licht op geworpen verbazingwekkende verschijnselen natuur. Het bleek dat de Fibonacci-reeks zich manifesteert in de rangschikking van bladeren op een tak (phylotaxis), in het aantal omwentelingen op de stengel, in het aantal bladeren in een cyclus, en daarom manifesteert de wet van de gulden snede zich ook zelf.

Als je op zoek gaat naar numerieke patronen in de levende natuur, zul je merken dat deze getallen vaak voorkomen in verschillende spiraalvormen, die zo rijk zijn in de plantenwereld. Bladstekken grenzen bijvoorbeeld aan de stengel in een spiraal die tussen twee aangrenzende bladeren loopt: een volledige omwenteling - in hazelaar, - in eik, - in populier en peer, - in wilg.

De zaden van zonnebloemen, Echinacea purpurea en vele andere planten zijn in spiralen gerangschikt, en het aantal spiralen in elke richting is het Fibonacci-getal.

Zonnebloem, 21 en 34 spiralen. Echinacea, 34 en 55 spiralen.

Ook de heldere, symmetrische vorm van bloemen is onderworpen aan een strenge wet.

Bij veel bloemen komt het aantal bloemblaadjes precies overeen met de cijfers uit de Fibonacci-reeks. Bijvoorbeeld:

iris, 3p. boterbloem, 5 lep. gouden bloem, 8 lep. delphinium,


cichorei, 21 lep. aster, 34 lep. madeliefjes, 55 lep.

De Fibonacci-reeks karakteriseert de structurele organisatie van veel levende systemen.

We hebben al gezegd dat de verhouding van aangrenzende getallen in de Fibonacci-reeks het getal φ = 1,618 is. Het blijkt dat de mens zelf eenvoudigweg een opslagplaats van phi-nummers is.

De verhoudingen van de verschillende delen van ons lichaam zijn een getal dat heel dicht bij de gulden snede ligt. Als deze verhoudingen samenvallen met de formule van de gulden snede, wordt het uiterlijk of lichaam van de persoon als ideaal geproportioneerd beschouwd. Het principe van het berekenen van de gouden maat op het menselijk lichaam kan worden weergegeven in de vorm van een diagram.

M/m=1,618

Het eerste voorbeeld van de gulden snede in de structuur van het menselijk lichaam:



Als we het navelpunt als het middelpunt van het menselijk lichaam nemen, en de afstand tussen de voet van een persoon en het navelpunt als maateenheid, dan is de lengte van een persoon gelijk aan het getal 1,618.

Menselijke hand

Het volstaat om uw handpalm dichter bij u te brengen en goed naar uw wijsvinger te kijken, en u zult er onmiddellijk de formule van de gulden snede in vinden. Elke vinger van onze hand bestaat uit drie vingerkootjes.
De som van de eerste twee vingerkootjes van de vinger in verhouding tot de gehele lengte van de vinger geeft het getal van de gulden snede (met uitzondering van de duim).

Daarnaast is de verhouding tussen middelvinger en pink ook gelijk aan de gulden snede.

Een persoon heeft 2 handen, de vingers van elke hand bestaan ​​uit 3 vingerkootjes (behalve de duim). Er zijn 5 vingers aan elke hand, dat wil zeggen 10 in totaal, maar met uitzondering van twee duimen met twee kootjes, worden er slechts 8 vingers gemaakt volgens het principe van de gulden snede. Terwijl al deze getallen 2, 3, 5 en 8 de getallen zijn van de Fibonacci-reeks.


De gulden snede in de structuur van de menselijke longen

De Amerikaanse natuurkundige B.D. West en Dr. A.L. Goldberger heeft dit tijdens fysieke en anatomische studies vastgesteld in de structuur van de menselijke longen er is ook een gulden snede.

De eigenaardigheid van de bronchiën waaruit de menselijke longen bestaan, ligt in hun asymmetrie. De bronchiën bestaan ​​uit twee hoofdluchtwegen, waarvan er één (links) langer is en de andere (rechts) korter.

Er werd vastgesteld dat deze asymmetrie zich voortzet in de takken van de bronchiën, in alle kleinere luchtwegen. Bovendien is de verhouding tussen de lengtes van korte en lange bronchiën ook de gulden snede en bedraagt ​​1:1,618.

Kunstenaars, wetenschappers, modeontwerpers, ontwerpers maken hun berekeningen, tekeningen of schetsen op basis van de verhouding van de gulden snede. Ze maken gebruik van metingen van het menselijk lichaam, dat eveneens tot stand is gekomen volgens het principe van de gulden snede. Voordat Leonardo Da Vinci en Le Corbusier hun meesterwerken creëerden, namen ze de parameters van het menselijk lichaam, gecreëerd volgens de wet van de Gulden Verhouding.
Er is een andere, meer prozaïsche toepassing van de verhoudingen van het menselijk lichaam. Met behulp van deze relaties gebruiken misdaadanalisten en archeologen bijvoorbeeld fragmenten van delen van het menselijk lichaam om het uiterlijk van het geheel te reconstrueren.


Je bent natuurlijk bekend met het idee dat wiskunde de belangrijkste van alle wetenschappen is. Maar velen zijn het hier misschien niet mee eens, omdat... soms lijkt het erop dat wiskunde alleen maar problemen, voorbeelden en soortgelijke saaie dingen zijn. Wiskunde kan ons echter gemakkelijk bekende dingen laten zien van een volkomen onbekende kant. Bovendien kan ze zelfs de geheimen van het universum onthullen. Hoe? Laten we eens kijken naar de Fibonacci-getallen.

Wat zijn Fibonacci-getallen?

Fibonacci-getallen zijn elementen van een numerieke reeks, waarbij elke volgende bestaat uit het optellen van de twee voorgaande, bijvoorbeeld: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... In de regel wordt een dergelijke reeks geschreven met de formule: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Fibonacci-getallen kunnen beginnen met negatieve waarden"n", maar in dit geval zal de reeks dubbelzijdig zijn - deze omvat zowel positief als negatieve getallen, neigend naar oneindig in twee richtingen. Een voorbeeld van zo'n reeks zou zijn: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, en de formule is: F n = F n+1 - F n+2 of F -n = (-1) n+1 Fn.

De maker van de Fibonacci-getallen is een van de eerste wiskundigen van Europa in de Middeleeuwen genaamd Leonardo van Pisa, die in feite bekend staat als Fibonacci - hij kreeg deze bijnaam vele jaren na zijn dood.

Tijdens zijn leven was Leonardo van Pisa dol op wiskundige toernooien, en daarom was hij in zijn werken (“Liber abaci” / “Book of Abacus”, 1202; “Practica geometriae” / “Practice of Geometry”, 1220, “Flos” / “Flower”, 1225) – studie over derdegraadsvergelijkingen en “Liber quadratorum” / “Book of squares”, 1225 – problemen over onbepaald kwadratische vergelijkingen) analyseerde heel vaak allerlei wiskundige problemen.

OVER levensweg Er is heel weinig bekend over Fibonacci zelf. Maar wat zeker is, is dat zijn problemen in de daaropvolgende eeuwen een enorme populariteit genoten in wiskundige kringen. Eén van deze zullen we verder bespreken.

Fibonacci-probleem met konijnen

Om de taak te voltooien, heeft de auteur ingesteld volgende voorwaarden: er is een paar pasgeboren konijnen (vrouwelijk en mannelijk), verschillend interessante functie- vanaf de tweede levensmaand produceren ze een nieuw paar konijnen - ook een vrouwtje en een mannetje. Konijnen worden in kleine ruimtes gehouden en broeden voortdurend. En geen enkel konijn sterft.

Taak: bepaal het aantal konijnen in een jaar.

Oplossing:

We hebben:

  • Eén koppel konijnen aan het begin van de eerste maand, die aan het eind van de maand paren
  • Twee paar konijnen in de tweede maand (eerste paar en nakomelingen)
  • Drie paar konijnen in de derde maand (het eerste paar, de nakomelingen van het eerste paar van de vorige maand en de nieuwe nakomelingen)
  • Vijf paren konijnen in de vierde maand (het eerste paar, de eerste en tweede nakomelingen van het eerste paar, de derde nakomelingen van het eerste paar en de eerste nakomelingen van het tweede paar)

Aantal konijnen per maand “n” = aantal konijnen afgelopen maand + aantal nieuwe konijnenparen, met andere woorden, bovenstaande formule: F n = F n-1 + F n-2. Dit resulteert in een terugkerende getallenreeks (we zullen het later over recursie hebben), waarbij elk nieuw getal overeenkomt met de som van de twee voorgaande getallen:

1 maand: 1 + 1 = 2

2 maanden: 2 + 1 = 3

3 maanden: 3 + 2 = 5

4 maanden: 5 + 3 = 8

5 maanden: 8 + 5 = 13

6 maanden: 13 + 8 = 21

7e maand: 21 + 13 = 34

8e maand: 34 + 21 = 55

9 maanden: 55 + 34 = 89

10e maand: 89 + 55 = 144

11e maand: 144 + 89 = 233

12 maanden: 233+ 144 = 377

En deze reeks kan voor onbepaalde tijd doorgaan, maar aangezien het de taak is om na een jaar het aantal konijnen te achterhalen, is het resultaat 377 paren.

Het is ook belangrijk om hier op te merken dat een van de eigenschappen van Fibonacci-getallen is dat als je twee opeenvolgende paren vergelijkt en vervolgens de grotere door de kleinere deelt, het resultaat in de richting van de gulden snede zal evolueren, waar we het hieronder ook over zullen hebben. .

In de tussentijd bieden we u nog twee problemen over Fibonacci-getallen aan:

  • Definiëren vierkant getal, waarvan we alleen weten dat als je er 5 van aftrekt of er 5 bij optelt, je weer een kwadraatgetal krijgt.
  • Bepaal een getal dat deelbaar is door 7, maar op voorwaarde dat het delen door 2, 3, 4, 5 of 6 een rest van 1 oplevert.

Dergelijke taken zullen niet alleen een uitstekende manier zijn om de geest te ontwikkelen, maar ook een vermakelijk tijdverdrijf. U kunt ook ontdekken hoe deze problemen worden opgelost door informatie op internet te zoeken. Wij zullen ons daar niet op concentreren, maar ons verhaal voortzetten.

Wat zijn recursie en de gulden snede?

Herhaling

Recursie is een beschrijving, definitie of afbeelding van een object of proces, dat het gegeven object of proces zelf bevat. Met andere woorden: een object of proces kan een deel van zichzelf worden genoemd.

Recursie wordt niet alleen veel gebruikt in de wiskundige wetenschappen, maar ook in de informatica, de populaire cultuur en de kunst. Van toepassing op Fibonacci-getallen kunnen we zeggen dat als het getal “n>2” is, “n” = (n-1)+(n-2).

gouden ratio

De gulden snede is de verdeling van het geheel in delen die met elkaar verbonden zijn volgens het principe: het grotere verhoudt zich tot het kleinere op dezelfde manier als de totale waarde zich verhoudt tot het grotere deel.

De gulden snede werd voor het eerst genoemd door Euclides (de verhandeling ‘Elementen’, ca. 300 v.Chr.), waarin hij sprak over de constructie van een regelmatige rechthoek. Een bekender concept werd echter geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Martin Ohm.

Ongeveer kan de gulden snede worden weergegeven als een proportionele verdeling in twee verschillende delen, bijvoorbeeld 38% en 68%. De numerieke uitdrukking van de gulden snede is ongeveer 1,6180339887.

In de praktijk wordt de gulden snede gebruikt in de architectuur, beeldende kunst (kijk naar de werken), film en andere gebieden. Lange tijd werd de gulden snede, net als nu, als een esthetische verhouding beschouwd, hoewel de meeste mensen deze als onevenredig – langgerekt – beschouwen.

Je kunt zelf proberen de gulden snede in te schatten, waarbij je je laat leiden door de volgende verhoudingen:

  • Lengte van het segment a = 0,618
  • Lengte van segment b= 0,382
  • Lengte van het segment c = 1
  • Verhouding tussen c en a = 1,618
  • Verhouding tussen c en b = 2,618

Laten we nu de gulden snede toepassen op de Fibonacci-getallen: we nemen twee aangrenzende termen van de reeks en delen de grotere door de kleinere. We krijgen ongeveer 1.618. Als we hetzelfde grotere getal nemen en dit delen door het volgende grotere getal erna, krijgen we ongeveer 0,618. Probeer het zelf: “speel” met de nummers 21 en 34 of enkele andere. Als we dit experiment uitvoeren met de eerste getallen van de Fibonacci-reeks, zal een dergelijk resultaat niet langer bestaan, omdat de gulden snede "werkt niet" aan het begin van de reeks. Om alle Fibonacci-getallen te bepalen hoef je overigens alleen de eerste drie opeenvolgende getallen te kennen.

En tot slot: nog wat stof tot nadenken.

Gouden rechthoek en Fibonacci-spiraal

De “Gouden Rechthoek” is een andere relatie tussen de gulden snede en Fibonacci-getallen, omdat... de beeldverhouding is 1,618 op 1 (denk aan het getal 1,618!).

Hier is een voorbeeld: we nemen twee getallen uit de Fibonacci-reeks, bijvoorbeeld 8 en 13, en tekenen een rechthoek met een breedte van 8 cm en een lengte van 13 cm. Vervolgens verdelen we de hoofdrechthoek in kleine, maar hun lengte en breedte moeten overeenkomen met de Fibonacci-getallen - de lengte van één rand van de grote rechthoek moet gelijk zijn aan twee lengtes van de rand van de kleinere.

Hierna verbinden we de hoeken van alle rechthoeken die we hebben met een vloeiende lijn en krijgen we speciaal geval logaritmische spiraal - Fibonacci-spiraal. De belangrijkste eigenschappen zijn de afwezigheid van grenzen en vormveranderingen. Zo'n spiraal is vaak in de natuur te vinden: het meest treffende voorbeelden zijn weekdierschelpen, cyclonen op satellietbeelden en zelfs een aantal sterrenstelsels. Maar wat interessanter is, is dat het DNA van levende organismen ook aan dezelfde regel voldoet, want weet je nog dat het een spiraalvorm heeft?

Deze en vele andere ‘willekeurige’ toevalligheden prikkelen zelfs vandaag de dag het bewustzijn van wetenschappers en suggereren dat alles in het universum onderworpen is aan één enkel algoritme, en bovendien een wiskundig algoritme. En deze wetenschap verbergt een groot aantal volkomen saaie geheimen en mysteries.

Over getallen en formules die in de natuur voorkomen. Welnu, een paar woorden over dezelfde getallen en formules.

Getallen en formules in de natuur vormen een struikelblok tussen degenen die geloven in de schepping van het universum door iemand, en degenen die geloven in de schepping van het universum zelf. Omdat de vraag luidt: “Als het universum uit zichzelf zou ontstaan, zouden dan niet bijna alle levende en levenloze objecten volgens hetzelfde schema en volgens dezelfde formules worden gebouwd?”

Nou, bij deze filosofische vraag We zullen hier geen antwoord geven (het formaat van de site is niet hetzelfde 🙂), maar we zullen de formules uitspreken. En laten we beginnen met de getallen van Fibonacci en de Gouden Spiraal.

Fibonacci-getallen zijn dus elementen van een getallenreeks waarin elk volgend getal gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen. Dat wil zeggen, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 enzovoort.

Totaal krijgen we de reeksen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Nog een voorbeeld van de Fibonacci-reeks: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 enzovoort. Je kunt zelf experimenteren :)

Hoe verschijnen Fibonacci-getallen in de natuur? Erg makkelijk:

  1. De bladindeling van planten wordt beschreven door de Fibonacci-reeks. Zonnebloemzaden, dennenappels Bloemblaadjes en ananascellen zijn ook gerangschikt volgens de Fibonacci-reeks.
  2. De lengte van de vingerkootjes van menselijke vingers is ongeveer hetzelfde als de Fibonacci-getallen.
  3. Het DNA-molecuul bestaat uit twee verticaal met elkaar verweven helices, 34 angstrom lang en 21 angstrom breed. De getallen 21 en 34 volgen elkaar op in de Fibonacci-reeks.

Met behulp van Fibonacci-getallen kun je een Gouden Spiraal bouwen. Laten we dus een klein vierkant tekenen met een zijde van bijvoorbeeld 1. Laten we vervolgens aan school denken. Wat is 1 2? Dit wordt 1. Laten we dus nog een vierkant naast het eerste tekenen, dicht bij elkaar. Vervolgens is het volgende Fibonacci-getal 2 (1+1). Wat is 2 2? Dit wordt 4. Laten we nog een vierkant tekenen dichtbij de eerste twee vierkanten, maar nu met een zijde van 2 en een oppervlakte van 4. Het volgende getal is het getal 3 (1+2). Het vierkant van het getal 3 is 9. Teken een vierkant met zijde 3 en gebied 9 naast de reeds getekende vierkanten. Vervolgens hebben we een vierkant met zijde 5 en oppervlakte 25, een vierkant met zijde 8 en oppervlakte 64 - enzovoort, tot in het oneindige.

Het is tijd voor de gouden spiraal. Laten we de grenspunten tussen de vierkanten verbinden met een vloeiende gebogen lijn. En we zullen diezelfde gouden spiraal krijgen, op basis waarvan veel levende en levenloze objecten in de natuur worden gebouwd.

En laten we, voordat we verder gaan met de gulden snede, even nadenken. Hier hebben we een spiraal gebouwd op basis van de vierkanten van de Fibonacci-reeks (reeks 1, 1, 2, 3, 5, 8 en vierkanten 1, 1, 4, 9, 25, 64). Maar wat gebeurt er als we niet de kwadraten van getallen gebruiken, maar hun kubussen? Vanuit het midden zien de kubussen er zo uit:

En aan de zijkant:

Welnu, bij het construeren van een spiraal zal het blijken volumetrische gouden spiraal:

Zo ziet deze volumineuze gouden spiraal er vanaf de zijkant uit:

Maar wat als we geen kubussen van Fibonacci-getallen nemen, maar naar de vierde dimensie gaan? Dit is toch een puzzel?

Ik heb echter geen idee hoe de volumetrische gulden snede zich in de natuur manifesteert op basis van de kubussen van Fibonacci-getallen, laat staan ​​getallen tot de vierde macht. Daarom keren we in het vliegtuig terug naar de gulden snede. Laten we dus nog eens naar onze vierkanten kijken. Wiskundig gesproken is dit het beeld dat we krijgen:

Dat wil zeggen, we krijgen de gulden snede - waarbij één zijde in zo'n verhouding in twee delen wordt verdeeld dat het kleinere deel gerelateerd is aan het grotere, zoals het grotere deel gerelateerd is aan de gehele waarde.

Dat wil zeggen, a: b = b: c of c: b = b: a.

Op basis van deze verhouding van grootheden worden onder meer een regelmatige vijfhoek en een pentagram gebouwd:

Ter referentie: om een ​​pentagram te bouwen, moet je een regelmatige vijfhoek bouwen. De constructiemethode werd ontwikkeld door de Duitse schilder en graficus Albrecht Dürer (1471...1528). Laat O het middelpunt van de cirkel zijn, A een punt op de cirkel, en E het middelpunt van segment OA. De loodlijn op de straal OA, hersteld op punt O, snijdt de cirkel op punt D. Teken met behulp van een kompas het segment CE = ED op de diameter. De zijdelengte van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in een cirkel is gelijk aan DC. We plotten de segmenten DC op de cirkel en krijgen vijf punten om een ​​regelmatige vijfhoek te tekenen. We verbinden de hoeken van de vijfhoek door elkaar met diagonalen en krijgen een pentagram. Alle diagonalen van de vijfhoek verdelen elkaar in segmenten die met elkaar verbonden zijn door de gulden snede.

Over het algemeen zijn dit de patronen. Bovendien zijn er veel meer uiteenlopende patronen dan beschreven. En nu, na al deze saaie cijfers, is hier de beloofde video waarin alles eenvoudig en duidelijk is:

Zoals je kunt zien, is wiskunde inderdaad aanwezig in de natuur. En niet alleen in de objecten die in de video worden genoemd, maar ook op veel andere gebieden. Wanneer een golf bijvoorbeeld de kust raakt en ronddraait, draait deze langs de Gouden Spiraal. Enzovoort :)