Integralen van trigonometrische functies.
Voorbeelden van oplossingen

In deze les zullen we de integralen van trigonometrische functies beschouwen, dat wil zeggen dat de vulling van de integralen sinussen, cosinussen, raaklijnen en cotangensen in verschillende combinaties zal zijn. Alle voorbeelden worden in detail geanalyseerd, toegankelijk en begrijpelijk, zelfs voor een theepot.

Om integralen van trigonometrische functies met succes te bestuderen, moet je goed thuis zijn in de eenvoudigste integralen en enkele integratietechnieken beheersen. Tijdens de hoorcolleges kun je met deze materialen kennis maken. Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen En .

En nu hebben we nodig: Tabel met integralen, Afgeleide tabel En Naslagwerk met trigonometrische formules. Alle handleidingen zijn te vinden op de pagina Wiskundige formules en tabellen. Ik raad aan om alles af te drukken. Ik concentreer me vooral op goniometrische formules, ze zouden voor je ogen moeten zijn– zonder dit zal de efficiëntie van het werk merkbaar afnemen.

Maar eerst over welke integralen in dit artikel Nee. Hier zijn er geen integralen van de vorm , - cosinus, sinus vermenigvuldigd met een polynoom (minder vaak iets met een raaklijn of cotangens). Dergelijke integralen worden in onderdelen geïntegreerd. Om de methode te leren, ga naar de les Integratie in onderdelen. Voorbeelden van oplossingen Er zijn ook geen integralen met "bogen" - boogtangens, boogsinus, enz., ze worden ook meestal door onderdelen geïntegreerd.

Bij het vinden van integralen van trigonometrische functies worden een aantal methoden gebruikt:

(4) Gebruik de tabelformule Het enige verschil is dat we in plaats van "x" een complexe uitdrukking hebben.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Vind de onbepaalde integraal.

Een klassieker van het genre voor degenen die verdrinken in het klassement. Zoals je waarschijnlijk hebt gemerkt, staat er geen integraal van raaklijn en cotangens in de tabel met integralen, maar toch zijn dergelijke integralen te vinden.

(1) We gebruiken de trigonometrische formule

(2) We brengen de functie onder het teken van het differentieel.

(3) Gebruik de tabelintegraal .

Voorbeeld 4

Vind de onbepaalde integraal.

Dit is een voorbeeld van zelfoplossen; de volledige oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

Voorbeeld 5

Vind de onbepaalde integraal.

Onze niveaus zullen geleidelijk stijgen =).
Oplossing eerst:

(1) We gebruiken de formule

(2) We gebruiken de fundamentele trigonometrische identiteit , waaruit dat volgt .

(3) Deel de teller door de noemer, term per term.

(4) We gebruiken de eigenschap van lineariteit van de onbepaalde integraal.

(5) We integreren met behulp van de tabel.

Voorbeeld 6

Vind de onbepaalde integraal.

Dit is een voorbeeld van zelfoplossen; de volledige oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

Er zijn ook integralen van raaklijnen en cotangensen, die zich in hogere machten bevinden. De integraal van de raaklijn in de kubus wordt in de les behandeld Hoe bereken je de oppervlakte van een vlakfiguur? Integralen van de raaklijn (cotangens) in de vierde en vijfde macht zijn te vinden op de pagina Complexe integralen.

Het verminderen van de graad van de integrand

Deze techniek werkt wanneer de integranden gevuld zijn met sinussen en cosinussen zelfs graden. Trigonometrische formules worden gebruikt om de mate te verminderen , en , en de laatste formule wordt vaker in de tegenovergestelde richting gebruikt: .

Voorbeeld 7

Vind de onbepaalde integraal.

Oplossing:

In principe is hier niets nieuws, behalve dat we de formule hebben toegepast (verlaging van de graad van de integrand). Houd er rekening mee dat ik de oplossing heb ingekort. Naarmate er meer ervaring wordt opgedaan, kan de integraal van mondeling worden gevonden, dit bespaart tijd en is zeer acceptabel bij het afronden van opdrachten. In dit geval is het raadzaam om de regel niet te schrijven , nemen we eerst mondeling de integraal van 1, daarna - van .

Voorbeeld 8

Vind de onbepaalde integraal.

Dit is een voorbeeld van zelfoplossen; de volledige oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

Dat is de beloofde graadverhoging:

Voorbeeld 9

Vind de onbepaalde integraal.

Eerst oplossing, commentaar later:

(1) Bereid de integrand voor om de formule toe te passen .

(2) We passen de formule daadwerkelijk toe.

(3) We kwadrateren de noemer en halen de constante uit het integraalteken. Het kan een beetje anders worden gedaan, maar naar mijn mening is het handiger.

(4) We gebruiken de formule

(5) In de derde term verlagen we de graad opnieuw, maar gebruiken we de formule .

(6) We geven soortgelijke termen (hier heb ik term voor term gedeeld en deed de toevoeging).

(7) We nemen feitelijk de integraal, de lineariteitsregel en de methode om de functie onder het teken van het differentieel te brengen, wordt mondeling uitgevoerd.

(8) We kammen het antwoord.

! In de onbepaalde integraal kan het antwoord vaak op verschillende manieren worden geschreven.

In het zojuist overwogen voorbeeld zou het uiteindelijke antwoord anders kunnen worden geschreven - open de haakjes en doe dit zelfs voordat je de uitdrukking integreert, dat wil zeggen dat het volgende einde van het voorbeeld heel acceptabel is:

Het is mogelijk dat deze optie nog handiger is, ik heb het zojuist uitgelegd zoals ik zelf altijd besliste). Hier is nog een typisch voorbeeld van een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 10

Vind de onbepaalde integraal.

Dit voorbeeld wordt op twee manieren opgelost, en dat kun je krijgen twee totaal verschillende antwoorden.(meer precies, ze zullen er compleet anders uitzien, maar vanuit wiskundig oogpunt zullen ze gelijkwaardig zijn). Hoogstwaarschijnlijk zul je niet de meest rationele manier zien en zul je last hebben van het openen van haakjes, waarbij je andere trigonometrische formules gebruikt. De meest effectieve oplossing wordt aan het einde van de les gegeven.

Als we de paragraaf samenvatten, concluderen we dat elke integraal van de vorm , waar en - zelfs getal, wordt opgelost door de graad van de integrand te verlagen.
In de praktijk ontmoette ik integralen met 8 en 10 graden, ik moest hun vreselijke aambeien oplossen door de graad meerdere keren te verlagen, wat resulteerde in lange, lange antwoorden.

Variabele vervangingsmethode

Zoals vermeld in het artikel Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal, de belangrijkste voorwaarde voor het gebruik van de vervangingsmethode is het feit dat de integrand een functie en zijn afgeleide bevat:
(functies zitten niet noodzakelijkerwijs in het product)

Voorbeeld 11

Vind de onbepaalde integraal.

We kijken naar de tabel met afgeleiden en merken de formules op, , dat wil zeggen, in onze integrand is er een functie en zijn afgeleide. We zien echter dat bij het differentiëren cosinus en sinus wederzijds in elkaar transformeren, en de vraag rijst: hoe verander je de variabele en wat moet je daarvoor aanwijzen - sinus of cosinus?! De vraag kan worden opgelost door de methode van wetenschappelijke porren: als we de vervanging verkeerd uitvoeren, zal er niets goeds uit voortkomen.

Algemene richtlijn: in soortgelijke gevallen moet u de functie aangeven die in de noemer staat.

Wij onderbreken de oplossing en voeren een vervanging uit

In de noemer is alles goed met ons, alles hangt er alleen van af, nu is het nog de vraag wat het zal worden.
Om dit te doen, vinden we het verschil:

Of kort gezegd:
Uit de resulterende gelijkheid drukken we, volgens de regel van proportie, de uitdrukking uit die we nodig hebben:

Dus:

Nu is de hele integrand alleen afhankelijk van en kunnen we doorgaan met de oplossing

Klaar. Ik herinner je eraan dat het doel van de vervanging is om de integrand te vereenvoudigen, in dit geval komt het allemaal neer op het integreren van de machtsfunctie over de tafel.

Het was geen toeval dat ik dit voorbeeld zo gedetailleerd schilderde, dit werd gedaan om de lesstof te herhalen en te consolideren. Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal.

En nu twee voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 12

Vind de onbepaalde integraal.

Voorbeeld 13

Vind de onbepaalde integraal.

Volledige oplossingen en antwoorden aan het einde van de les.

Voorbeeld 14

Vind de onbepaalde integraal.

Ook hier is er in de integrand een sinus met een cosinus (een functie met een afgeleide), maar al in het product, en er ontstaat een dilemma: waar moeten we voor aanwijzen, sinus of cosinus?

Je kunt proberen een vervanging te maken met behulp van de wetenschappelijke poke-methode, en als niets werkt, wijs het dan aan als een andere functie, maar er is:

Algemene richtlijn: u dient namelijk de functie aan te duiden die zich figuurlijk gesproken in een “ongemakkelijke positie” bevindt.

We zien dat in dit voorbeeld de cosinus van de student "lijdt" onder de graad, en dat de sinus vrij op zichzelf staat.

Laten we dus een vervanging maken:

Als iemand nog steeds problemen heeft met het algoritme voor variabele verandering en het vinden van het verschil, keer dan terug naar de les Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal.

Voorbeeld 15

Vind de onbepaalde integraal.

We analyseren de integrand, wat moet worden aangegeven met ?
Laten we eens kijken naar onze richtlijnen:
1) De functie staat hoogstwaarschijnlijk in de noemer;
2) De functie bevindt zich in een "ongemakkelijke positie".

Overigens gelden deze richtlijnen niet alleen voor goniometrische functies.

Onder beide criteria (vooral onder het tweede) past de sinus, dus een vervanging suggereert zichzelf. In principe kan de vervanging al worden uitgevoerd, maar eerst zou het leuk zijn om uit te zoeken wat ermee te doen? Eerst “pinnen” we één cosinus af:

We reserveren voor ons "toekomstige" differentieel

En we drukken uit via de sinus met behulp van de fundamentele trigonometrische identiteit:

Nu is hier de vervanging:

Algemene regel: Als in de integrand een van de goniometrische functies (sinus of cosinus) aanwezig is vreemd graad, dan moet je een functie van de oneven graad “afbijten” en een andere functie erachter aanwijzen. We hebben het alleen over integralen, waar er cosinussen en sinussen zijn.

In het beschouwde voorbeeld hadden we een cosinus in een oneven graad, dus hebben we één cosinus van de graad afgeknepen en de sinus aangegeven.

Voorbeeld 16

Vind de onbepaalde integraal.

De niveaus gaan omhoog =).
Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Universele trigonometrische substitutie

Universele trigonometrische substitutie is een veel voorkomend geval van verandering van variabele methode. U kunt proberen het toe te passen als u "niet weet wat u moet doen". Maar in feite zijn er enkele richtlijnen voor de toepassing ervan. Typische integralen waarbij de universele trigonometrische substitutie moet worden toegepast, zijn de volgende integralen: , , , enz.

Voorbeeld 17

Vind de onbepaalde integraal.

De universele trigonometrische substitutie wordt in dit geval op de volgende manier geïmplementeerd. Laten we vervangen: . Ik gebruik niet de letter, maar de letter, dit is niet een soort regel, nogmaals, ik ben zo gewend om te beslissen.

Hier is het handiger om het verschil te vinden, hiervoor spreek ik uit de gelijkheid:
Ik hang aan beide delen van de boograaklijn:

Boogtangens en raaklijn heffen elkaar op:

Dus:

In de praktijk kun je niet zo gedetailleerd schilderen, maar gewoon het eindresultaat gebruiken:

! De uitdrukking is alleen geldig als we onder de sinussen en cosinussen alleen maar “xen” hebben, voor de integraal (waar we het later over zullen hebben) alles zal een beetje anders zijn!

Bij het vervangen van sinussen en cosinussen krijgen we de volgende breuken:
, , Deze gelijkheden zijn gebaseerd op bekende trigonometrische formules: ,

Het opruimen zou er dus als volgt uit kunnen zien:

Laten we een universele trigonometrische substitutie uitvoeren:

Voorbeelden van oplossingen van integralen door delen worden in detail bekeken, waarvan de integrand het product is van een polynoom en een exponentiële (e tot de macht x) of een sinus (sin x) of een cosinus (cos x).

Inhoud

Zie ook: Wijze van integratie door delen
Tabel met onbepaalde integralen
Methoden voor het berekenen van onbepaalde integralen
Elementaire basisfuncties en hun eigenschappen

Integratie per onderdelenformule

Bij het oplossen van de voorbeelden in deze sectie wordt de formule voor partiële integratie gebruikt:
;
.

Voorbeelden van integralen die het product van een polynoom en sin x, cos x of e x bevatten

Hier zijn voorbeelden van dergelijke integralen:
, , .

Om dergelijke integralen te integreren, wordt de polynoom aangegeven met u en de rest met v dx. Vervolgens passen we de formule voor integratie per onderdelen toe.

Hieronder vindt u een gedetailleerde oplossing van deze voorbeelden.

Voorbeelden van het oplossen van integralen

Voorbeeld met exponent, e tot de macht x

Definieer integraal:
.

We introduceren de exponent onder het differentiaalteken:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Wij integreren gedeeltelijk.

Hier
.
De resterende integraal is ook in delen integreerbaar.
.
.
.
Eindelijk hebben we:
.

Een voorbeeld van het definiëren van een integraal met een sinus

Bereken integraal:
.

We introduceren de sinus onder het teken van het differentieel:

Wij integreren gedeeltelijk.

hier u = x 2 , v = cos(2x+3), du = ( x2 )′ dx

De resterende integraal is ook in delen integreerbaar. Om dit te doen, introduceren we de cosinus onder het teken van het differentieel.


hier u = x, v = zonde(2x+3), du = dx

Eindelijk hebben we:

Een voorbeeld van het product van een polynoom en cosinus

Bereken integraal:
.

We introduceren de cosinus onder het teken van het differentieel:

Wij integreren gedeeltelijk.

hier u = x 2+3x+5, v = zonde2x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Basis trigonometrische formules en basissubstituties worden gepresenteerd. Methoden voor het integreren van trigonometrische functies worden beschreven: integratie van rationale functies, product van machtsfuncties van sin x en cos x, product van een polynoom, exponent en sinus of cosinus, integratie van inverse trigonometrische functies. Niet-standaardmethoden beïnvloed.

Inhoud

Standaardmethoden voor het integreren van goniometrische functies

Algemene benadering

Ten eerste moet, indien nodig, de integrand worden getransformeerd zodat de trigonometrische functies afhankelijk zijn van één argument, dat zou samenvallen met de integratievariabele.

Als de integrand bijvoorbeeld afhankelijk is van zonde(x+a) En cos(x+b), dan moet je de transformatie uitvoeren:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + zonde(x+a) zonde(b-a).
Voer vervolgens de wijziging z = x+a uit. Als gevolg hiervan zullen de goniometrische functies alleen afhankelijk zijn van de integratievariabele z.

Wanneer trigonometrische functies afhankelijk zijn van één argument, dat samenvalt met de integratievariabele (laten we zeggen dat dit z is), dat wil zeggen dat de integrand alleen bestaat uit functies van het type zonde z, omdat z, tgz, ctgz, dan moet je een vervanging uitvoeren
.
Een dergelijke substitutie leidt tot de integratie van rationele of irrationele functies (als er wortels zijn) en maakt het mogelijk de integraal te berekenen als deze in elementaire functies is geïntegreerd.

Er zijn echter vaak andere methoden te vinden waarmee u de integraal op een kortere manier kunt berekenen, op basis van de specifieke kenmerken van de integrand. Hieronder vindt u een samenvatting van de belangrijkste dergelijke methoden.

Methoden voor het integreren van rationale functies van sin x en cos x

Rationele functies van zonde x En omdat x zijn functies afgeleid van zonde x, omdat x en alle constanten die de bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en verheffen tot een gehele macht gebruiken. Ze worden als volgt aangeduid: R (sinx, cosx). Dit kunnen ook raaklijnen en cotangensen omvatten, aangezien deze worden gevormd door een sinus te delen door een cosinus en omgekeerd.
Integralen van rationale functies hebben de vorm:
.

Methoden voor het integreren van rationele trigonometrische functies zijn als volgt.
1) Substitutie leidt altijd tot een integraal van een rationale breuk. In sommige gevallen zijn er echter vervangingen (zie hieronder) die resulteren in kortere berekeningen.
2) Als R (sinx, cosx) cos x → - cos x zonde x.
3) Als R (sinx, cosx) vermenigvuldigd met -1 bij vervanging zonde x → - zonde x, dan is de substitutie t = omdat x.
4) Als R (sinx, cosx) verandert niet zoals bij gelijktijdige vervanging cos x → - cos x, En zonde x → - zonde x, dan is de substitutie t = tg x of t= ctg x.

Voorbeelden:
, , .

Product van machtsfuncties van cos x en sin x

Integralen van de vorm

zijn integralen van rationele trigonometrische functies. Daarom kunnen de methoden die in de vorige sectie zijn beschreven hierop worden toegepast. Hieronder beschouwen we methoden die zijn gebaseerd op de specifieke kenmerken van dergelijke integralen.

Als m en n rationale getallen zijn, dan is een van de permutaties t = zonde x of t= omdat x de integraal reduceert tot de integraal van de differentiële binominale.

Als m en n gehele getallen zijn, wordt de integratie uitgevoerd met behulp van de reductieformules:

;
;
;
.

Voorbeeld:
.

Integralen uit het product van een polynoom en een sinus of cosinus

Integralen van de vorm:
, ,
waarbij P(x) een polynoom in x is, worden ze in delen geïntegreerd. Dit resulteert in de volgende formules:

;
.

Voorbeelden:
, .

Integralen uit het product van een polynoom, exponent en sinus of cosinus

Integralen van de vorm:
, ,
waarbij P(x) een polynoom in x is, worden geïntegreerd met behulp van de Euler-formule
e iax = cos bijl + isin bijl(waar ik 2 = - 1 ).
Hiervoor berekent de in de vorige paragraaf beschreven methode de integraal
.
Nadat de reële en denkbeeldige delen van het resultaat zijn gescheiden, worden de oorspronkelijke integralen verkregen.

Voorbeeld:
.

Niet-standaardmethoden voor het integreren van trigonometrische functies

Hieronder vindt u een aantal niet-standaardmethoden waarmee u trigonometrische functies kunt uitvoeren of vereenvoudigen.

Afhankelijkheid van (a sin x + b cos x)

Als de integrand alleen afhankelijk is van a zonde x + b cos x, is het handig om de formule toe te passen:
,
Waar .

Bijvoorbeeld

Ontleding van breuken uit sinussen en cosinussen in eenvoudiger breuken

Denk aan de integraal
.
De eenvoudigste manier om te integreren is door de breuk op te splitsen in eenvoudigere breuken, waarbij de transformatie wordt toegepast:
zonde(a - b) = zonde(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Integratie van fracties van de eerste graad

Bij het berekenen van de integraal
,
het is handig om het gehele deel van de breuk en de afgeleide van de noemer te selecteren
A 1 zonde x + b 1 cos x = A (a zonde x + b cos x) + B (a zonde x + b cos x)′ .
De constanten A en B worden gevonden door de linker- en rechterkant te vergelijken.

Referenties:
NM Günther, R.O. Kuzmin, Verzameling van problemen in de hogere wiskunde, Lan, 2003.

Zie ook:

Tabel met primitieve waarden ("integralen"). Tabel met integralen. Onbepaalde integralen in tabelvorm. (Eenvoudige integralen en integralen met een parameter). Formules voor partiële integratie. Newton-Leibniz-formule.

Tabel met primitieve waarden ("integralen"). Onbepaalde integralen in tabelvorm. (Eenvoudige integralen en integralen met een parameter).
Vermogensfunctie integraal.	Vermogensfunctie integraal.
Een integraal die reduceert tot een integraal van een machtsfunctie als x wordt aangedreven onder het teken van het differentieel.
	De exponentiële integraal, waarbij a een constant getal is.
Integraal van een samengestelde exponentiële functie.	De integraal van de exponentiële functie.
Een integraal gelijk aan de natuurlijke logaritme.	Integraal: "Lange logaritme".
	Integraal: "Lange logaritme".
Integraal: "Hoge logaritme".	De integraal, waarbij x in de teller onder het teken van het differentieel wordt gebracht (de constante onder het teken kan zowel worden opgeteld als afgetrokken), is als resultaat vergelijkbaar met de integraal die gelijk is aan de natuurlijke logaritme.
Integraal: "Hoge logaritme".
Cosinus integraal.	Sinus integraal.
Een integraal gelijk aan de raaklijn.	Een integraal gelijk aan de cotangens.
Integraal gelijk aan zowel boogsinus als boogsinus
Een integraal die gelijk is aan zowel de inverse sinus als de inverse cosinus.	Een integraal die gelijk is aan zowel de boograaklijn als de boogcotangens.
De integraal is gelijk aan de cosecans.	Integraal gelijk aan secans.
Een integraal gelijk aan de boogsecans.	Een integraal gelijk aan de boogcosecans.
Een integraal gelijk aan de boogsecans.	Een integraal gelijk aan de boogsecans.
Een integraal gelijk aan de hyperbolische sinus.	Een integraal gelijk aan de hyperbolische cosinus.
Een integraal gelijk aan de hyperbolische sinus, waarbij sinhx de hyperbolische sinus in het Engels is.	Een integraal gelijk aan de hyperbolische cosinus, waarbij sinhx de hyperbolische sinus is in de Engelse versie.
Een integraal gelijk aan de hyperbolische tangens.	Een integraal gelijk aan de hyperbolische cotangens.
Een integraal gelijk aan de secans hyperbolicus.	Een integraal gelijk aan de hyperbolische cosecans.

Formules voor partiële integratie. Integratie regels.

Formules voor partiële integratie. Newton-Leibniz-formule Integratieregels.
Integratie van een product (functie) door een constante:
Integratie van de som van functies:
onbepaalde integralen:
Integratie per onderdelenformule bepaalde integralen:
Newton-Leibniz-formule bepaalde integralen:	Waarbij F(a),F(b) de waarden zijn van de primitieve waarden op respectievelijk de punten b en a.

Afgeleide tabel. Tabelderivaten. Afgeleide van het product. Afgeleide van privé. Afgeleide van een complexe functie.

Als x een onafhankelijke variabele is, dan:

Afgeleide tabel. Tabelafgeleiden "tabelafgeleide" - ja, helaas, zo worden ze op internet gezocht
	Afgeleide machtsfunctie
	Afgeleide van de exponent
Afgeleide van een samengestelde exponentiële functie	Afgeleide van exponentiële functie
Afgeleide van een logaritmische functie	Afgeleide van de natuurlijke logaritme
	Afgeleide van de natuurlijke logaritme van een functie
Sinus afgeleide	cosinus afgeleide
Cosecante afgeleide	Secansafgeleide
Afgeleide van arcsinus	Boogcosinusafgeleide
Afgeleide van arcsinus	Boogcosinusafgeleide
Raaklijn afgeleide	Cotangensderivaat
Boograaklijnafgeleide	Afgeleide van inverse tangens
Boograaklijnafgeleide	Afgeleide van inverse tangens
Arcsecante afgeleide	Afgeleide van boogcosecant
Arcsecante afgeleide	Afgeleide van boogcosecant
Afgeleide van de hyperbolische sinus Afgeleide van de hyperbolische sinus in de Engelse versie	Hyperbolische cosinusderivaat De afgeleide van de hyperbolische cosinus in de Engelse versie
Afgeleide van de hyperbolische tangens	Afgeleide van de hyperbolische cotangens
Afgeleide van secans hyperbolicus	Afgeleide van de hyperbolische cosecans

Differentiatie regels. Afgeleide van het product. Afgeleide van privé. Afgeleide van een complexe functie.
Afgeleide van een product (functie) door een constante:
Afgeleide van de som (functies):
Afgeleide van het product (van functies):
De afgeleide van het quotiënt (van functies):
Afgeleide van een complexe functie:

Eigenschappen van logaritmen. Basisformules van logaritmen. Decimale (lg) en natuurlijke logaritmes (ln).

Fundamentele logaritmische identiteit
Laten we laten zien hoe elke functie van de vorm a b exponentieel kan worden gemaakt. Omdat een functie van de vorm e x exponentieel wordt genoemd, geldt dus:
Elke functie van de vorm a b kan worden weergegeven als een macht van tien

Natuurlijke logaritme ln (logaritme basis e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor-serie. Uitbreiding van een functie in een Taylorreeks.

Het blijkt dat de meeste praktisch voorkomt wiskundige functies kunnen met elke nauwkeurigheid worden weergegeven in de buurt van een bepaald punt in de vorm van machtreeksen die de machten van de variabele in oplopende volgorde bevatten. In de buurt van het punt x=1 bijvoorbeeld:

Bij gebruik van rijen genaamd Taylor rijen, gemengde functies die bijvoorbeeld algebraïsche, trigonometrische en exponentiële functies bevatten, kunnen worden uitgedrukt als puur algebraïsche functies. Met behulp van reeksen kan differentiatie en integratie vaak snel worden uitgevoerd.

De Taylorreeks in de buurt van punt a heeft de volgende vormen:

1) , waarbij f(x) een functie is die afgeleiden heeft van alle orden op x=a. R n - de restterm in de Taylorreeks wordt bepaald door de uitdrukking

2)

k-de coëfficiënt (bij x k) van de reeks wordt bepaald door de formule

3) Een speciaal geval van de Taylor-serie is de Maclaurin-serie (=McLaren) (de ontbinding vindt plaats rond het punt a=0)

voor a=0

de leden van de reeks worden bepaald door de formule

Voorwaarden voor de toepassing van Taylorreeksen.

1. Om de functie f(x) uit te breiden in een Taylorreeks op het interval (-R;R), is het noodzakelijk en voldoende dat hiervoor de restterm in de Taylor-formule (Maclaurin (=McLaren)) functie neigt naar nul bij k →∞ op het gespecificeerde interval (-R;R).

2. Het is noodzakelijk dat er afgeleiden zijn voor deze functie op het punt in de buurt waarvan we een Taylorreeks gaan bouwen.

Eigenschappen van Taylor-serie.

Als f een analytische functie is, convergeert de Taylorreeks op elk punt a van het domein van f naar f in een bepaalde buurt van a.

Er zijn oneindig differentieerbare functies waarvan de Taylorreeks convergeert, maar verschilt van de functie in elke buurt van a. Bijvoorbeeld:

Taylorreeksen worden gebruikt voor benaderingen (een benadering is een wetenschappelijke methode die bestaat uit het vervangen van sommige objecten door andere, die op de een of andere manier dicht bij het origineel liggen, maar eenvoudiger) door polynomen. In het bijzonder linearisatie ((van linearis - lineair), een van de methoden voor de benaderende weergave van gesloten niet-lineaire systemen, waarbij de studie van een niet-lineair systeem wordt vervangen door een analyse van een lineair systeem, in een zin die gelijkwaardig is aan het origineel .) van vergelijkingen vindt plaats door uit te breiden naar een Taylorreeks en alle termen boven de eerste orde af te snijden.

Bijna elke functie kan dus worden weergegeven als een polynoom met een bepaalde nauwkeurigheid.

Voorbeelden van enkele veel voorkomende uitbreidingen van machtsfuncties in Maclaurin-reeksen (=McLaren,Taylor in de buurt van punt 0) en Taylor in de buurt van punt 1. De eerste termen van uitbreidingen van de hoofdfuncties in Taylor- en MacLaren-reeksen.

Voorbeelden van enkele veel voorkomende uitbreidingen van machtsfuncties in Maclaurin-reeksen (= MacLaren, Taylor in de buurt van het punt 0)

Voorbeelden van enkele veel voorkomende uitbreidingen van de Taylorreeks rond punt 1