Het concept van wiskundige verwachting kan worden overwogen aan de hand van het voorbeeld van het gooien van een dobbelsteen. Bij elke worp worden de gevallen punten genoteerd. Om ze tot uitdrukking te brengen, worden natuurlijke waarden in het bereik 1 – 6 gebruikt.

Na een bepaald aantal worpen kun je met eenvoudige berekeningen het rekenkundig gemiddelde van de gegooide punten vinden.

Net als het voorkomen van een van de waarden in het bereik, zal deze waarde willekeurig zijn.

Wat als je het aantal worpen meerdere keren verhoogt? Bij een groot aantal worpen zal het rekenkundig gemiddelde van de punten een bepaald getal benaderen, dat in de kanstheorie de wiskundige verwachting wordt genoemd.

Met wiskundige verwachting bedoelen we dus de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele. Deze indicator kan ook worden gepresenteerd als een gewogen som van waarschijnlijke waardewaarden.

Dit concept heeft verschillende synoniemen:

• gemiddelde waarde;
• gemiddelde waarde;
• indicator van centrale tendens;
• eerste moment.

Met andere woorden, het is niets meer dan een getal waarrond de waarden van een willekeurige variabele worden verdeeld.

IN verscheidene velden menselijke activiteit De benaderingen om wiskundige verwachtingen te begrijpen zullen enigszins anders zijn.

Het kan worden beschouwd als:

• het gemiddelde voordeel dat wordt verkregen door het nemen van een beslissing, wanneer een dergelijke beslissing wordt beschouwd vanuit het gezichtspunt van de grote getaltheorie;
• het mogelijke winst- of verliesbedrag (goktheorie), gemiddeld berekend voor elke weddenschap. In jargon klinken ze als “spelersvoordeel” (positief voor de speler) of “casinovoordeel” (negatief voor de speler);
• percentage van de winst ontvangen uit winsten.

De verwachting is niet verplicht voor absoluut alle willekeurige variabelen. Het is afwezig voor degenen die een discrepantie hebben in de overeenkomstige som of integraal.

Eigenschappen van wiskundige verwachting

Zoals elke statistische parameter heeft de wiskundige verwachting de volgende eigenschappen:

Basisformules voor wiskundige verwachting

De berekening van de wiskundige verwachting kan worden uitgevoerd voor willekeurige variabelen die worden gekenmerkt door zowel continuïteit (formule A) als discretie (formule B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, waarbij xi de waarden van de willekeurige variabele zijn, pi de kansen:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, waarbij f(x) de gegeven waarschijnlijkheidsdichtheid is.

Voorbeelden van het berekenen van wiskundige verwachtingen

Voorbeeld A.

Is het mogelijk om de gemiddelde lengte van de dwergen in het sprookje over Sneeuwwitje te achterhalen? Het is bekend dat elk van de 7 dwergen een bepaalde lengte had: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 en 0,81 meter.

Het berekeningsalgoritme is vrij eenvoudig:

• we vinden de som van alle waarden van de groei-indicator (willekeurige variabele):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Deel het resulterende bedrag door het aantal kabouters:
  6,31:7=0,90.

De gemiddelde hoogte van kabouters in een sprookje is dus 90 cm, met andere woorden, dit is de wiskundige verwachting van de groei van kabouters.

Werkformule - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktische implementatie van wiskundige verwachtingen

De berekening van de statistische indicator van wiskundige verwachtingen wordt op verschillende gebieden gebruikt praktische activiteiten. Allereerst we praten over over de commerciële sfeer. Huygens’ introductie van deze indicator houdt immers verband met het bepalen van de kansen die voor een bepaalde gebeurtenis gunstig of juist ongunstig kunnen zijn.

Deze parameter wordt veel gebruikt om risico's te beoordelen, vooral als het gaat om financiële beleggingen.
In het bedrijfsleven fungeert de berekening van wiskundige verwachtingen dus als een methode voor het beoordelen van risico's bij het berekenen van prijzen.

Deze indicator kan ook worden gebruikt om de effectiviteit van bepaalde maatregelen te berekenen, bijvoorbeeld arbeidsbescherming. Dankzij dit kunt u de waarschijnlijkheid berekenen dat een gebeurtenis plaatsvindt.

Een ander toepassingsgebied van deze parameter is management. Het kan ook worden berekend tijdens de productkwaliteitscontrole. Gebruik bijvoorbeeld mat. verwachtingen, kunt u het mogelijke aantal geproduceerde defecte onderdelen berekenen.

Ook bij de uitvoering blijkt de wiskundige verwachting onvervangbaar statistische verwerking ontvangen tijdens wetenschappelijk onderzoek resultaten. Hiermee kunt u de waarschijnlijkheid van een gewenste of ongewenste uitkomst van een experiment of onderzoek berekenen, afhankelijk van de mate waarin het doel is bereikt. Het bereiken ervan kan immers worden geassocieerd met winst en voordeel, en het falen ervan kan worden geassocieerd met verlies of verlies.

Wiskundige verwachtingen gebruiken in Forex

De praktische toepassing van deze statistische parameter is mogelijk bij het uitvoeren van transacties op de valutamarkt. Met zijn hulp kunt u het succes van handelstransacties analyseren. Bovendien duidt een toename van de verwachtingswaarde op een toename van hun succes.

Het is ook belangrijk om te onthouden dat de wiskundige verwachting niet mag worden beschouwd als de enige statistische parameter die wordt gebruikt om de prestaties van een handelaar te analyseren. Het gebruik van verschillende statistische parameters samen met de gemiddelde waarde verhoogt de nauwkeurigheid van de analyse aanzienlijk.

Deze parameter heeft zichzelf goed bewezen bij het monitoren van observaties van handelsaccounts. Dankzij dit wordt een snelle beoordeling van de werkzaamheden op de depositorekening uitgevoerd. In gevallen waarin de activiteit van de handelaar succesvol is en hij verliezen vermijdt, wordt het niet aanbevolen om uitsluitend de berekening van wiskundige verwachtingen te gebruiken. In deze gevallen wordt geen rekening gehouden met risico’s, waardoor de effectiviteit van de analyse afneemt.

Uitgevoerd onderzoek naar de tactieken van handelaars geeft aan dat:

• De meest effectieve tactieken zijn die gebaseerd op willekeurige invoer;
• Het minst effectief zijn tactieken die gebaseerd zijn op gestructureerde input.

Voor het bereiken van positieve resultaten zijn niet minder belangrijk:

• tactieken voor geldbeheer;
• exit-strategieën.

Met behulp van een dergelijke indicator als de wiskundige verwachting kun je voorspellen wat de winst of het verlies zal zijn als je 1 dollar investeert. Het is bekend dat deze indicator, berekend voor alle spellen die in het casino worden beoefend, in het voordeel is van de gevestigde orde. Dit is wat je in staat stelt om geld te verdienen. Bij een lange reeks spellen neemt de kans dat een klant geld verliest aanzienlijk toe.

Spellen die door professionele spelers worden gespeeld, zijn beperkt tot korte perioden, wat de kans op winnen vergroot en het risico op verliezen verkleint. Hetzelfde patroon wordt waargenomen bij het uitvoeren van beleggingstransacties.

Een belegger kan een aanzienlijk bedrag verdienen door positieve verwachtingen te hebben en in korte tijd een groot aantal transacties te doen.

De verwachting kan worden gezien als het verschil tussen het winstpercentage (PW) vermenigvuldigd met de gemiddelde winst (AW) en de kans op verlies (PL) vermenigvuldigd met het gemiddelde verlies (AL).

Als voorbeeld kunnen we het volgende overwegen: positie – 12,5 duizend dollar, portefeuille – 100 duizend dollar, depositorisico – 1%. De winstgevendheid van transacties bedraagt ​​40% van de gevallen met een gemiddelde winst van 20%. Bij verlies bedraagt ​​het gemiddelde verlies 5%. Het berekenen van de wiskundige verwachting voor de transactie levert een waarde op van €625.

Wiskundige verwachting is de definitie

Schaakmat wachten is dat wel een van de belangrijkste concepten in de wiskundige statistiek en de waarschijnlijkheidstheorie, die de verdeling van waarden karakteriseert waarschijnlijkheden willekeurige variabele. Meestal uitgedrukt als een gewogen gemiddelde van alle mogelijke parameters van een willekeurige variabele. Op grote schaal gebruikt in technische analyse, onderzoek nummerreeks, de studie van continue en langetermijnprocessen. Het is belangrijk bij het beoordelen van risico's, het voorspellen van prijsindicatoren bij het handelen op financiële markten, en wordt gebruikt bij het ontwikkelen van strategieën en methoden voor speltactieken in goktheorieën.

Schaakmat wachten- Dit gemiddelde waarde van een willekeurige variabele, distributie waarschijnlijkheden willekeurige variabele wordt in de waarschijnlijkheidstheorie beschouwd.

Schaakmat wachten is dat wel een maatstaf voor de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele in de waarschijnlijkheidstheorie. Schaakmat de verwachting van een willekeurige variabele X aangegeven door M(x).

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Schaakmat wachten is dat wel

Schaakmat wachten is dat wel in de waarschijnlijkheidstheorie een gewogen gemiddelde van alle mogelijke waarden die een willekeurige variabele kan aannemen.

Schaakmat wachten is dat wel de som van de producten van alle mogelijke waarden van een willekeurige variabele en de waarschijnlijkheden van deze waarden.

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Schaakmat wachten is dat wel het gemiddelde voordeel van een bepaalde beslissing, op voorwaarde dat een dergelijke beslissing kan worden beschouwd binnen het raamwerk van de theorie van grote getallen en lange afstanden.

Schaakmat wachten is dat wel in de goktheorie: het bedrag aan winst dat een speculant gemiddeld bij elke weddenschap kan verdienen of verliezen. In de taal van het gokken speculanten dit wordt soms "voordeel" genoemd speculant" (als het positief is voor de speculant) of "huisvoordeel" (als het negatief is voor de speculant).

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Gebruik cookies voor de beste presentatie-website. Als u deze website bekijkt, kunt u deze bekijken. OK

Verwachting is de waarschijnlijkheidsverdeling van een willekeurige variabele

Wiskundige verwachting, definitie, wiskundige verwachting van discrete en continue willekeurige variabelen, steekproef, voorwaardelijke verwachting, berekening, eigenschappen, problemen, schatting van verwachting, spreiding, verdelingsfunctie, formules, rekenvoorbeelden

Inhoud uitbreiden

Inhoud samenvouwen

Wiskundige verwachting is de definitie

Een van de belangrijkste concepten in de wiskundige statistiek en de waarschijnlijkheidstheorie, die de verdeling van waarden of kansen van een willekeurige variabele karakteriseert. Meestal uitgedrukt als een gewogen gemiddelde van alle mogelijke parameters van een willekeurige variabele. Op grote schaal gebruikt in de technische analyse, de studie van getalreeksen en de studie van continue en tijdrovende processen. Het is belangrijk bij het beoordelen van risico's, het voorspellen van prijsindicatoren bij het handelen op financiële markten, en wordt gebruikt bij het ontwikkelen van strategieën en methoden voor speltactieken in de goktheorie.

Wiskundige verwachting wel de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele, de kansverdeling van een willekeurige variabele wordt in de waarschijnlijkheidstheorie in aanmerking genomen.

Wiskundige verwachting wel een maatstaf voor de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele in de waarschijnlijkheidstheorie. Verwachting van een willekeurige variabele X aangegeven door M(x).

Wiskundige verwachting wel

Wiskundige verwachting wel in de waarschijnlijkheidstheorie een gewogen gemiddelde van alle mogelijke waarden die een willekeurige variabele kan aannemen.

Wiskundige verwachting wel de som van de producten van alle mogelijke waarden van een willekeurige variabele en de waarschijnlijkheden van deze waarden.

Wiskundige verwachting wel het gemiddelde voordeel van een bepaalde beslissing, op voorwaarde dat een dergelijke beslissing kan worden beschouwd binnen het raamwerk van de theorie van grote getallen en lange afstanden.

Wiskundige verwachting wel In de goktheorie is dit het bedrag aan winst dat een speler gemiddeld per weddenschap kan verdienen of verliezen. In goktaal wordt dit soms het "spelersvoordeel" genoemd (als het positief is voor de speler) of het "huisvoordeel" (als het negatief is voor de speler).

Wiskundige verwachting wel het percentage winst per winst vermenigvuldigd met de gemiddelde winst, minus de kans op verlies vermenigvuldigd met het gemiddelde verlies.

Wiskundige verwachting van een willekeurige variabele in de wiskundige theorie

Een van de belangrijke numerieke kenmerken van een willekeurige variabele is de wiskundige verwachting ervan. Laten we het concept van een systeem van willekeurige variabelen introduceren. Laten we een reeks willekeurige variabelen bekijken die het resultaat zijn van hetzelfde willekeurige experiment. Als dit een van de mogelijke waarden van het systeem is, komt de gebeurtenis overeen met een bepaalde waarschijnlijkheid die voldoet aan de axioma's van Kolmogorov. Een functie die is gedefinieerd voor alle mogelijke waarden van willekeurige variabelen wordt een gezamenlijke verdelingswet genoemd. Met deze functie kunt u de waarschijnlijkheid van eventuele gebeurtenissen berekenen. In het bijzonder is de gezamenlijke distributiewet van willekeurige variabelen, die waarden uit de set halen en wordt gegeven door waarschijnlijkheden.

De term ‘wiskundige verwachting’ werd geïntroduceerd door Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) en komt voort uit het concept van ‘verwachte waarde van winsten’, dat voor het eerst verscheen in de 17e eeuw in de theorie van gokken in de werken van Blaise Pascal en Christiaan. Huygens. Het eerste volledige theoretische begrip en de beoordeling van dit concept werd echter gegeven door Pafnuty Lvovich Chebyshev (midden 19e eeuw).

De verdelingswet van willekeurige numerieke variabelen (verdelingsfunctie en verdelingsreeksen of waarschijnlijkheidsdichtheid) beschrijft volledig het gedrag van een willekeurige variabele. Maar bij een aantal problemen is het voldoende om enkele numerieke kenmerken van de onderzochte grootheid te kennen (bijvoorbeeld de gemiddelde waarde ervan en de mogelijke afwijking daarvan) om de gestelde vraag te kunnen beantwoorden. De belangrijkste numerieke kenmerken van willekeurige variabelen zijn de wiskundige verwachting, variantie, modus en mediaan.

De wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele is de som van de producten van zijn mogelijke waarden en hun overeenkomstige kansen. Soms wordt de wiskundige verwachting een gewogen gemiddelde genoemd, omdat deze ongeveer gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de waargenomen waarden van een willekeurige variabele over een groot aantal experimenten. Uit de definitie van wiskundige verwachting volgt dat de waarde ervan niet minder is dan de kleinst mogelijke waarde van een willekeurige variabele en niet meer dan de grootste. De wiskundige verwachting van een willekeurige variabele is een niet-willekeurige (constante) variabele.

De wiskundige verwachting heeft een eenvoudige fysieke betekenis: als je een eenheidsmassa op een rechte lijn plaatst, plaats je op sommige punten een bepaalde massa (bijvoorbeeld discrete distributie), of het “uitsmeren” met een bepaalde dichtheid (voor een absoluut continue verdeling), dan zal het punt dat overeenkomt met de wiskundige verwachting de coördinaat zijn van het “zwaartepunt” van de lijn.

De gemiddelde waarde van een willekeurige variabele is een bepaald getal dat als het ware de ‘representatieve’ ervan is en dit getal vervangt bij ruwe benaderingen. Wanneer we zeggen: “de gemiddelde bedrijfstijd van de lamp is 100 uur” of “het gemiddelde inslagpunt is ten opzichte van het doel 2 m naar rechts verschoven”, duiden we op een bepaald numeriek kenmerk van een willekeurige variabele die de locatie ervan beschrijft op de numerieke as, d.w.z. "positiekenmerken".

Van de kenmerken van een positie in de waarschijnlijkheidstheorie wordt de belangrijkste rol gespeeld door de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele, die soms eenvoudigweg de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele wordt genoemd.

Beschouw de willekeurige variabele X, met mogelijke waarden x1, x2, …, xn met waarschijnlijkheden p1, p2, …, pn. We moeten met een getal de positie van de waarden van een willekeurige variabele op de x-as karakteriseren, rekening houdend met het feit dat deze waarden verschillende kansen hebben. Voor dit doel is het logisch om het zogenaamde “gewogen gemiddelde” van de waarden te gebruiken xi, en met elke waarde xi tijdens het middelen moet rekening worden gehouden met een "gewicht" dat evenredig is aan de waarschijnlijkheid van deze waarde. We zullen dus het gemiddelde van de willekeurige variabele berekenen X, die wij aanduiden M |X|:

Dit gewogen gemiddelde wordt de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele genoemd. Daarom hebben we een van de belangrijkste concepten van de waarschijnlijkheidstheorie in overweging genomen: het concept van wiskundige verwachting. De wiskundige verwachting van een willekeurige variabele is de som van de producten van alle mogelijke waarden van een willekeurige variabele en de waarschijnlijkheden van deze waarden.

X is verbonden door een bijzondere afhankelijkheid met het rekenkundig gemiddelde van de waargenomen waarden van de willekeurige variabele over een groot aantal experimenten. Deze afhankelijkheid is van hetzelfde type als de afhankelijkheid tussen frequentie en waarschijnlijkheid, namelijk: bij een groot aantal experimenten nadert het rekenkundig gemiddelde van de waargenomen waarden van een willekeurige variabele (convergeert in waarschijnlijkheid) zijn wiskundige verwachting. Uit de aanwezigheid van een verband tussen frequentie en waarschijnlijkheid kan men bijgevolg de aanwezigheid van een soortgelijk verband tussen het rekenkundig gemiddelde en de wiskundige verwachting afleiden. Overweeg inderdaad de willekeurige variabele X, gekenmerkt door een distributiereeks:

Laat het geproduceerd worden N onafhankelijke experimenten, in elk waarvan de waarde X een bepaalde waarde aanneemt. Laten we aannemen dat de waarde x1 verscheen m1 keer, waarde x2 verscheen m2 tijden, algemene betekenis xi verscheen mi keer. Laten we het rekenkundig gemiddelde berekenen van de waargenomen waarden van de waarde X, die, in tegenstelling tot de wiskundige verwachting M|X| wij duiden aan M*|X|:

Met een toenemend aantal experimenten N frequenties pi zal de overeenkomstige waarschijnlijkheden benaderen (convergeren in waarschijnlijkheid). Bijgevolg is het rekenkundig gemiddelde van de waargenomen waarden van de willekeurige variabele M|X| met een toename van het aantal experimenten zal het zijn wiskundige verwachting benaderen (convergeren in waarschijnlijkheid). Het hierboven geformuleerde verband tussen het rekenkundig gemiddelde en de wiskundige verwachting vormt de inhoud van een van de vormen van de wet van de grote getallen.

We weten al dat alle vormen van de wet van de grote getallen het feit beweren dat sommige gemiddelden stabiel zijn over een groot aantal experimenten. Hier hebben we het over de stabiliteit van het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingen van dezelfde hoeveelheid. Bij een klein aantal experimenten is het rekenkundig gemiddelde van hun resultaten willekeurig; met een voldoende toename van het aantal experimenten wordt het “bijna niet-willekeurig” en nadert het, stabiliserend, een constante waarde: de wiskundige verwachting.

De stabiliteit van gemiddelden over een groot aantal experimenten kan eenvoudig experimenteel worden geverifieerd. Wanneer we bijvoorbeeld een lichaam in een laboratorium op een nauwkeurige weegschaal wegen, verkrijgen we als resultaat van het wegen elke keer een nieuwe waarde; Om observatiefouten te verminderen, wegen we het lichaam meerdere keren en gebruiken we het rekenkundig gemiddelde van de verkregen waarden. Het is gemakkelijk in te zien dat bij een verdere toename van het aantal experimenten (wegingen) het rekenkundig gemiddelde steeds minder op deze toename reageert en bij een voldoende groot aantal experimenten vrijwel niet meer verandert.

het zou genoteerd moeten worden dat belangrijkste kenmerk positie van een willekeurige variabele – wiskundige verwachting – bestaat niet voor alle willekeurige variabelen. Het is mogelijk voorbeelden samen te stellen van dergelijke willekeurige variabelen waarvoor de wiskundige verwachting niet bestaat, aangezien de overeenkomstige som of integraal divergeert. Dergelijke gevallen zijn echter niet van groot belang voor de praktijk. Doorgaans hebben de willekeurige variabelen waarmee we te maken hebben een beperkt bereik aan mogelijke waarden en hebben ze uiteraard een wiskundige verwachting.

Naast de belangrijkste kenmerken van de positie van een willekeurige variabele – de wiskundige verwachting – worden in de praktijk soms ook andere kenmerken van de positie gebruikt, met name de modus en de mediaan van de willekeurige variabele.

De modus van een willekeurige variabele is de meest waarschijnlijke waarde. De term "meest waarschijnlijke waarde" is strikt genomen alleen van toepassing op discontinue hoeveelheden; Voor continue waarde De modus is de waarde waarbij de waarschijnlijkheidsdichtheid maximaal is. De figuren tonen de modus voor respectievelijk discontinue en continue willekeurige variabelen.

Als de verdelingspolygoon (verdelingscurve) meer dan één maximum heeft, wordt de verdeling "multimodaal" genoemd.

Soms zijn er verdelingen die een minimum in het midden hebben in plaats van een maximum. Dergelijke distributies worden “anti-modaal” genoemd.

In het algemene geval vallen de modus en de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele niet samen. In het specifieke geval, wanneer de verdeling symmetrisch en modaal is (dat wil zeggen een modus heeft) en er een wiskundige verwachting bestaat, valt deze samen met de modus en het symmetriecentrum van de distributie.

Vaak wordt een ander positiekenmerk gebruikt: de zogenaamde mediaan van een willekeurige variabele. Dit kenmerk wordt gewoonlijk alleen gebruikt voor continue willekeurige variabelen, hoewel het formeel kan worden gedefinieerd voor een discontinue variabele. Geometrisch gezien is de mediaan de abscis van het punt waarop het gebied dat wordt omsloten door de verdelingscurve in tweeën wordt gedeeld.

Bij een symmetrische modale verdeling valt de mediaan samen met de wiskundige verwachting en modus.

De wiskundige verwachting is de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele - een numeriek kenmerk van de waarschijnlijkheidsverdeling van een willekeurige variabele. In de meest algemene zin: de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele X(w) wordt gedefinieerd als de Lebesgue-integraal met betrekking tot de waarschijnlijkheidsmaatstaf R in de oorspronkelijke waarschijnlijkheidsruimte:

De wiskundige verwachting kan ook worden berekend als de Lebesgue-integraal van X door kansverdeling px hoeveelheden X:

Het concept van een willekeurige variabele met oneindige wiskundige verwachtingen kan op een natuurlijke manier worden gedefinieerd. Een typisch voorbeeld dienen als de terugkeertijden bij sommige willekeurige wandelingen.

Met behulp van wiskundige verwachtingen kunnen veel numerieke en functionele kenmerken verdelingen (als de wiskundige verwachting van corresponderende functies van een willekeurige variabele), bijvoorbeeld genererende functie, karakteristieke functie, momenten van welke orde dan ook, in het bijzonder spreiding, covariantie.

De wiskundige verwachting is een kenmerk van de locatie van de waarden van een willekeurige variabele (de gemiddelde waarde van de verdeling ervan). In deze hoedanigheid dient de wiskundige verwachting als een ‘typische’ distributieparameter en zijn rol is vergelijkbaar met de rol van het statische moment – ​​de coördinaat van het zwaartepunt van de massaverdeling – in de mechanica. Het verschilt van andere locatiekenmerken, met behulp waarvan de verdeling in algemene termen wordt beschreven: medianen, modi en wiskundige verwachtingen. grote waarde, die het en de overeenkomstige verstrooiingskarakteristiek - dispersie - hebben in de limietstellingen van de waarschijnlijkheidstheorie. De betekenis van wiskundige verwachting wordt het meest duidelijk onthuld door de wet van de grote getallen (de ongelijkheid van Tsjebysjev) en de versterkte wet van de grote getallen.

Verwachting van een discrete willekeurige variabele

Laat er een willekeurige variabele zijn die een van verschillende numerieke waarden kan aannemen (het aantal punten bij het gooien van een dobbelsteen kan bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn). Vaak rijst in de praktijk voor een dergelijke waarde de vraag: welke waarde is er “gemiddeld” nodig bij een groot aantal tests? Wat zal ons gemiddelde inkomen (of verlies) zijn uit elk van de risicovolle transacties?

Laten we zeggen dat er een soort loterij is. We willen begrijpen of het winstgevend is of niet om eraan deel te nemen (of zelfs herhaaldelijk en regelmatig deel te nemen). Laten we zeggen dat elk vierde ticket een winnaar is, de prijs bedraagt ​​300 roebel en de prijs van elk ticket is 100 roebel. Bij een oneindig groot aantal deelnames gebeurt dit. In driekwart van de gevallen zullen we verliezen, elke drie verliezen kosten 300 roebel. In elk vierde geval winnen we 200 roebel. (prijs minus kosten), dat wil zeggen, voor vier deelnames verliezen we gemiddeld 100 roebel, voor één - gemiddeld 25 roebel. In totaal bedraagt ​​het gemiddelde tarief van onze ruïne 25 roebel per ticket.

Wij gooien met de dobbelstenen. Als het geen vals spelen is (zonder het zwaartepunt te verschuiven, enz.), Hoeveel punten zullen we dan gemiddeld per keer hebben? Omdat elke optie even waarschijnlijk is, nemen we eenvoudigweg het rekenkundig gemiddelde en krijgen we 3,5. Omdat dit GEMIDDELD is, hoef je niet verontwaardigd te zijn dat geen enkele specifieke worp 3,5 punten oplevert - nou, deze kubus heeft geen gezicht met zo'n getal!

Laten we nu onze voorbeelden samenvatten:

Laten we eens kijken naar de zojuist gegeven afbeelding. Aan de linkerkant staat een tabel met de verdeling van een willekeurige variabele. De waarde X kan een van n mogelijke waarden aannemen (weergegeven in de bovenste regel). Er kunnen geen andere betekenissen zijn. Onder elke mogelijke waarde wordt hieronder de waarschijnlijkheid ervan geschreven. Aan de rechterkant staat de formule, waarbij M(X) de wiskundige verwachting wordt genoemd. De betekenis van deze waarde is dat bij een groot aantal tests (met een grote steekproef) de gemiddelde waarde naar dezelfde wiskundige verwachting zal neigen.

Laten we weer terugkeren naar dezelfde speelkubus. De wiskundige verwachting van het aantal punten bij het gooien is 3,5 (bereken het zelf met de formule als je me niet gelooft). Laten we zeggen dat je het een paar keer hebt gegooid. De resultaten waren 4 en 6. Het gemiddelde was 5, wat verre van 3,5 is. Ze gooiden het nog een keer, ze kregen er 3, dat wil zeggen gemiddeld (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Op de een of andere manier ver verwijderd van de wiskundige verwachting. Doe nu een gek experiment: rol de kubus 1000 keer! En ook al is het gemiddelde niet precies 3,5, het zal daar wel dichtbij liggen.

Laten we de wiskundige verwachting voor de hierboven beschreven loterij berekenen. Het bord zal er als volgt uitzien:

Dan zal de wiskundige verwachting zijn, zoals we hierboven hebben vastgesteld:

Een ander ding is dat het moeilijk zou zijn om hetzelfde “op de vingers” te doen, zonder een formule, als die er was meer opties. Laten we zeggen dat 75% kaartjes verliest, 20% kaartjes wint en 5% vooral kaartjes wint.

Nu enkele eigenschappen van wiskundige verwachting.

Het is gemakkelijk te bewijzen:

De constante factor kan worden verwijderd als teken van de wiskundige verwachting, dat wil zeggen:

Dit is een speciaal geval van de lineariteitseigenschap van de wiskundige verwachting.

Een ander gevolg van de lineariteit van de wiskundige verwachting:

dat wil zeggen dat de wiskundige verwachting van de som van willekeurige variabelen gelijk is aan de som van de wiskundige verwachtingen van willekeurige variabelen.

Laat X, Y onafhankelijke willekeurige variabelen zijn, Dan:

Dit is ook gemakkelijk te bewijzen) Werk XY zelf is een willekeurige variabele, en of de beginwaarden zouden kunnen aannemen N En M waarden dienovereenkomstig dan XY kan nm-waarden aannemen. De waarschijnlijkheid van elke waarde wordt berekend op basis van het feit dat de kansen op onafhankelijke gebeurtenissen worden vermenigvuldigd. Als resultaat krijgen we dit:

Verwachting van een continue willekeurige variabele

Continue willekeurige variabelen hebben zo'n kenmerk als distributiedichtheid (kansdichtheid). Het karakteriseert in wezen de situatie dat een willekeurige variabele sommige waarden vaker uit de reeks reële getallen overneemt, en andere minder vaak. Beschouw bijvoorbeeld deze grafiek:

Hier X- werkelijke willekeurige variabele, f(x)- distributiedichtheid. Afgaande op deze grafiek, tijdens experimenten de waarde X zal vaak een getal zijn dat dicht bij nul ligt. De kansen worden overschreden 3 of kleiner zijn -3 eerder puur theoretisch.

Laat er bijvoorbeeld een uniforme verdeling zijn:

Dit komt redelijk overeen met intuïtief begrijpen. Laten we zeggen dat als we veel willekeurige reële getallen met een uniforme verdeling ontvangen, elk segment |0; 1| , dan zou het rekenkundig gemiddelde ongeveer 0,5 moeten zijn.

De eigenschappen van wiskundige verwachtingen - lineariteit, enz., die van toepassing zijn op discrete willekeurige variabelen, zijn hier ook van toepassing.

Relatie tussen wiskundige verwachtingen en andere statistische indicatoren

In de statistische analyse bestaat er, naast de wiskundige verwachting, een systeem van onderling afhankelijke indicatoren die de homogeniteit van verschijnselen en de stabiliteit van processen weerspiegelen. Variatie-indicatoren hebben vaak geen zelfstandige betekenis en worden gebruikt voor verdere data-analyse. De uitzondering is de variatiecoëfficiënt, die de homogeniteit van de gegevens karakteriseert, wat een waardevol statistisch kenmerk is.

De mate van variabiliteit of stabiliteit van processen in de statistische wetenschap kan worden gemeten met behulp van verschillende indicatoren.

De belangrijkste indicator die de variabiliteit van een willekeurige variabele karakteriseert is Spreiding, die het nauwst en direct verband houdt met de wiskundige verwachting. Deze parameter wordt actief gebruikt in andere soorten statistische analyses (testen van hypothesen, analyse van oorzaak-gevolgrelaties, enz.). Net als de gemiddelde lineaire afwijking weerspiegelt de variantie ook de omvang van de spreiding van gegevens rond de gemiddelde waarde.

Het is nuttig om de taal van tekens te vertalen naar de taal van woorden. Het blijkt dat de spreiding het gemiddelde kwadraat van de afwijkingen is. Dat wil zeggen dat eerst de gemiddelde waarde wordt berekend, vervolgens wordt het verschil tussen elke oorspronkelijke en gemiddelde waarde genomen, gekwadrateerd, opgeteld en vervolgens gedeeld door het aantal waarden in de populatie. Het verschil tussen een individuele waarde en het gemiddelde weerspiegelt de mate van afwijking. Kwadraat zodat alle afwijkingen exclusief worden positieve cijfers en om de wederzijdse vernietiging van positieve en negatieve afwijkingen bij het optellen ervan te voorkomen. Vervolgens berekenen we, gegeven de gekwadrateerde afwijkingen, eenvoudigweg het rekenkundig gemiddelde. Gemiddeld - kwadraat - afwijkingen. De afwijkingen worden gekwadrateerd en het gemiddelde wordt berekend. Het antwoord op het magische woord ‘verspreiding’ ligt in slechts drie woorden.

In zijn pure vorm, zoals het rekenkundig gemiddelde of de index, wordt spreiding echter niet gebruikt. Het is eerder een hulp- en tussenindicator die wordt gebruikt voor andere soorten statistische analyses. Het heeft niet eens een normale meeteenheid. Afgaande op de formule is dit het kwadraat van de meeteenheid van de originele gegevens.

Laten we een willekeurige variabele meten N keer, we meten bijvoorbeeld tien keer de windsnelheid en willen de gemiddelde waarde vinden. Hoe is de gemiddelde waarde gerelateerd aan de verdelingsfunctie?

Of we gooien met de dobbelstenen een groot aantal van eenmaal. Het aantal punten dat bij elke worp op de dobbelsteen verschijnt, is een willekeurige variabele en kan elke natuurlijke waarde van 1 tot 6 aannemen. Het rekenkundig gemiddelde van de gevallen punten, berekend voor alle dobbelsteenworpen, is ook een willekeurige variabele, maar voor grote N het neigt naar een heel specifiek aantal: wiskundige verwachtingen MX. In dit geval Mx = 3,5.

Hoe heb je deze waarde verkregen? Binnenlaten N testen n1 Zodra je 1 punt hebt behaald, n2 eenmaal - 2 punten enzovoort. Dan het aantal uitkomsten waarin één punt viel:

Hetzelfde geldt voor de uitkomsten wanneer 2, 3, 4, 5 en 6 punten worden gegooid.

Laten we nu aannemen dat we de verdelingswet van de willekeurige variabele x kennen, dat wil zeggen dat we weten dat de willekeurige variabele x waarden x1, x2, ..., xk kan aannemen met waarschijnlijkheden p1, p2, ..., pk.

De wiskundige verwachting Mx van een willekeurige variabele x is gelijk aan:

De wiskundige verwachting is niet altijd een redelijke schatting van een willekeurige variabele. Dus om het gemiddelde te schatten loon het is redelijker om het concept mediaan te gebruiken, dat wil zeggen een zodanige waarde dat het aantal mensen dat een salaris ontvangt dat lager is dan de mediaan en een hoger salaris samenvallen.

De waarschijnlijkheid p1 dat de willekeurige variabele x kleiner zal zijn dan x1/2, en de waarschijnlijkheid p2 dat de willekeurige variabele x groter zal zijn dan x1/2, zijn hetzelfde en gelijk aan 1/2. De mediaan wordt niet voor alle verdelingen op unieke wijze bepaald.

Standaard of standaardafwijking in statistieken wordt de mate van afwijking van observatiegegevens of sets van de GEMIDDELDE waarde genoemd. Aangeduid met de letters s of s. Een kleine standaardafwijking geeft aan dat de gegevens zich rond het gemiddelde bevinden, terwijl een grote standaardafwijking aangeeft dat de initiële gegevens zich daar ver van bevinden. De standaarddeviatie is gelijk aan de vierkantswortel van een grootheid die variantie wordt genoemd. Het is het gemiddelde van de som van de gekwadrateerde verschillen van de initiële gegevens die afwijken van de gemiddelde waarde. De standaarddeviatie van een willekeurige variabele is de vierkantswortel van de variantie:

Voorbeeld. Bereken onder testomstandigheden bij het schieten op een doel de spreiding en standaardafwijking van de willekeurige variabele:

Variatie- fluctuatie, veranderlijkheid van de waarde van een kenmerk tussen eenheden van de bevolking. Verschillend numerieke waarden kenmerken die in de onderzochte populatie worden aangetroffen, worden betekenisvarianten genoemd. De ontoereikendheid van de gemiddelde waarde om de populatie volledig te karakteriseren dwingt ons om de gemiddelde waarden aan te vullen met indicatoren waarmee we de typiciteit van deze gemiddelden kunnen beoordelen door de variabiliteit (variatie) van het bestudeerde kenmerk te meten. De variatiecoëfficiënt wordt berekend met behulp van de formule:

Variatiebereik(R) vertegenwoordigt het verschil tussen de maximale en minimumwaarden eigenschap in de onderzochte populatie. Deze indicator geeft het meeste algemeen idee over de variabiliteit van het bestudeerde kenmerk, omdat het alleen het verschil laat zien tussen de grenswaarden van de opties. Afhankelijkheid van de extreme waarden van een kenmerk geeft de variatieomvang een onstabiel, willekeurig karakter.

Gemiddelde lineaire afwijking vertegenwoordigt het rekenkundig gemiddelde van de absolute (modulo) afwijkingen van alle waarden van de geanalyseerde populatie van hun gemiddelde waarde:

Wiskundige verwachting in de goktheorie

Wiskundige verwachting wel Het gemiddelde geldbedrag dat een gokker kan winnen of verliezen bij een bepaalde weddenschap. Dit is een zeer belangrijk concept voor de speler, omdat het van fundamenteel belang is voor de beoordeling van de meeste spelsituaties. Wiskundige verwachting is ook het optimale hulpmiddel voor het analyseren van basiskaartlay-outs en spelsituaties.

Stel dat u een muntspel speelt met een vriend, waarbij u elke keer evenveel €1 inzet, wat er ook gebeurt. Tails betekent dat je wint, heads betekent dat je verliest. De odds zijn één op één dat het heads-up zal zijn, dus je zet $1 tot $1 in. Je wiskundige verwachting is dus nul, omdat Vanuit wiskundig oogpunt kun je niet weten of je leidt of verliest na twee worpen of na 200 worpen.

Uw uurwinst is nul. De uurwinst is het geldbedrag dat u binnen een uur verwacht te winnen. Je kunt een munt 500 keer per uur opgooien, maar je wint of verliest niet omdat... uw kansen zijn noch positief, noch negatief. Als je het bekijkt, vanuit het perspectief van een serieuze speler, is dit goksysteem niet slecht. Maar dit is gewoon tijdverspilling.

Maar laten we zeggen dat iemand € 2 wil inzetten tegen jouw € 1 in hetzelfde spel. Dan heb je meteen een positieve verwachting van 50 cent per weddenschap. Waarom 50 cent? Gemiddeld win je één weddenschap en verlies je de tweede. Zet de eerste dollar in en je verliest $1, zet de tweede in en je wint $2. Je zet twee keer €1 in en staat €1 voor. Dus elk van uw weddenschappen van één dollar leverde u 50 cent op.

Als een munt 500 keer in één uur verschijnt, bedraagt ​​uw winst per uur al €250, omdat... Gemiddeld verloor je 250 keer één dollar en won je 250 keer twee dollar. $500 minus $250 is gelijk aan $250, wat de totale winst is. Houd er rekening mee dat de verwachte waarde, dat wil zeggen het gemiddelde bedrag dat u per weddenschap wint, 50 cent bedraagt. Je hebt $ 250 gewonnen door 500 keer een dollar in te zetten, wat gelijk is aan 50 cent per weddenschap.

Wiskundige verwachtingen hebben niets te maken met kortetermijnresultaten. Je tegenstander, die besloot €2 tegen je in te zetten, zou je kunnen verslaan bij de eerste tien worpen op rij, maar jij, die een inzetvoordeel van 2 tegen 1 hebt, verdient, als alle andere omstandigheden gelijk zijn, 50 cent op elke inzet van €1 in eender welk spel. omstandigheden. Het maakt niet uit of u één weddenschap of meerdere weddenschappen wint of verliest, zolang u maar voldoende geld heeft om de kosten comfortabel te dekken. Als u op dezelfde manier blijft inzetten, zal uw winst over een lange periode de som van de verwachtingen bij individuele worpen benaderen.

Elke keer dat u een beste weddenschap plaatst (een weddenschap die op de lange termijn winstgevend kan blijken te zijn), wanneer de kansen in uw voordeel zijn, zult u er zeker iets mee winnen, ongeacht of u deze op de lange termijn verliest of niet. hand gegeven. Omgekeerd, als u een underdog-weddenschap plaatst (een weddenschap die op de lange termijn niet winstgevend is) terwijl de kansen tegen u zijn, verliest u iets, ongeacht of u de hand wint of verliest.

U plaatst een weddenschap met het beste resultaat als uw verwachting positief is, en deze is positief als de kansen aan uw kant staan. Wanneer u een weddenschap plaatst met de slechtste uitkomst, heeft u een negatieve verwachting, wat gebeurt als de kansen tegen u zijn. Serieuze spelers wedden alleen op de beste uitkomst; als het ergste gebeurt, folden ze. Wat betekenen de kansen in uw voordeel? Het kan zijn dat je uiteindelijk meer wint dan de echte kansen opleveren. De echte kansen op landingskoppen zijn 1 op 1, maar vanwege de oddsratio krijg je 2 op 1. In dit geval zijn de kansen in uw voordeel. Het beste resultaat behaal je zeker met een positieve verwachting van 50 cent per weddenschap.

Hier is meer complex voorbeeld wiskundige verwachting. Een vriend schrijft de getallen één tot en met vijf op en wedt €5 tegen jouw €1 dat je het getal niet raadt. Moet u akkoord gaan met een dergelijke weddenschap? Wat is de verwachting hier?

Gemiddeld zit je vier keer fout. Op basis hiervan is de kans dat u het getal raadt 4 tegen 1. De kans dat u bij één poging een dollar verliest. Je wint echter 5 tegen 1, met de mogelijkheid om 4 tegen 1 te verliezen. De kansen zijn dus in jouw voordeel, je kunt de weddenschap aannemen en hopen op de beste uitkomst. Als u deze weddenschap vijf keer plaatst, verliest u gemiddeld vier keer €1 en één keer €5. Op basis hiervan verdient u voor alle vijf pogingen €1 met een positieve wiskundige verwachting van 20 cent per weddenschap.

Een speler die meer gaat winnen dan hij inzet, zoals in het bovenstaande voorbeeld, neemt risico's. Integendeel, hij verpest zijn kansen als hij verwacht minder te winnen dan hij inzet. Een gokker kan een positieve of een negatieve verwachting hebben, afhankelijk van of hij wint of de kansen verpest.

Als u €50 inzet om €10 te winnen met een kans van 4 op 1 om te winnen, krijgt u een negatieve verwachting van €2 omdat Gemiddeld win je vier keer €10 en verlies je één keer €50, wat aangeeft dat het verlies per weddenschap €10 bedraagt. Maar als je €30 inzet om €10 te winnen, met dezelfde winkansen van 4 tegen 1, dan heb je in dit geval een positieve verwachting van €2, omdat je wint opnieuw vier keer €10 en verliest één keer €30, voor een winst van €10. Deze voorbeelden laten zien dat de eerste weddenschap slecht is en de tweede goed.

Wiskundige verwachtingen vormen het middelpunt van elke spelsituatie. Wanneer een bookmaker voetbalfans aanmoedigt om €11 in te zetten om €10 te winnen, heeft hij een positieve verwachting van 50 cent op elke €10. Als het casino zelfs geld uit de pass line in craps betaalt, dan zal de positieve verwachting van het casino ongeveer $1,40 voor elke $100 zijn, omdat Dit spel is zo gestructureerd dat iedereen die op deze lijn inzet, gemiddeld 50,7% verliest en 49,3% van de totale tijd wint. Het is ongetwijfeld deze ogenschijnlijk minimale positieve verwachting die casino-eigenaren over de hele wereld enorme winsten oplevert. Zoals Vegas World casino-eigenaar Bob Stupak opmerkte: “een duizendste van één procent negatieve waarschijnlijkheid over een afstand die lang genoeg is, zal de rijkste man in de wereld".

Verwachtingen bij het spelen van poker

Het pokerspel is het meest onthullende en een duidelijk voorbeeld vanuit het oogpunt van het gebruik van de theorie en eigenschappen van wiskundige verwachtingen.

De verwachte waarde bij poker is het gemiddelde voordeel van een bepaalde beslissing, op voorwaarde dat een dergelijke beslissing kan worden overwogen binnen het raamwerk van de theorie van grote getallen en lange afstanden. Een succesvol pokerspel is om altijd zetten met een positieve verwachte waarde te accepteren.

De wiskundige betekenis van de wiskundige verwachting bij het spelen van poker is dat we vaak willekeurige variabelen tegenkomen bij het nemen van beslissingen (we weten niet welke kaarten de tegenstander in handen heeft, welke kaarten er in de volgende inzetrondes zullen komen). We moeten elk van de oplossingen bekijken vanuit het standpunt van de grotegetaltheorie, die stelt dat bij een voldoende grote steekproef de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele zal neigen naar zijn wiskundige verwachting.

Van de specifieke formules voor het berekenen van de wiskundige verwachting is het volgende het meest van toepassing bij poker:

Bij het spelen van poker kan de verwachte waarde worden berekend voor zowel weddenschappen als calls. In het eerste geval moet rekening worden gehouden met de fold equity, in het tweede geval met de odds van de bank zelf. Wanneer u de wiskundige verwachting van een bepaalde zet beoordeelt, moet u er rekening mee houden dat een fold altijd een nulverwachting heeft. Het weggooien van kaarten zal dus altijd een winstgevender beslissing zijn dan welke negatieve zet dan ook.

Verwachting vertelt u wat u kunt verwachten (winst of verlies) voor elke dollar die u riskeert. Casino's verdienen geld omdat de wiskundige verwachting van alle spellen die daarin worden gespeeld in het voordeel van het casino is. Met een reeks spellen die lang genoeg is, kun je verwachten dat de klant zijn geld zal verliezen, aangezien de “kansen” in het voordeel van het casino zijn. Professionele casinospelers beperken hun spellen echter tot korte perioden, waardoor de kansen in hun voordeel worden gestapeld. Hetzelfde geldt voor beleggen. Als uw verwachting positief is, kunt u verdienen meer geld, waardoor er in korte tijd veel transacties worden uitgevoerd. De verwachting is uw winstpercentage per winst vermenigvuldigd met uw gemiddelde winst, minus uw kans op verlies vermenigvuldigd met uw gemiddelde verlies.

Poker kan ook worden bekeken vanuit het standpunt van wiskundige verwachtingen. U kunt ervan uitgaan dat een bepaalde zet winstgevend is, maar in sommige gevallen is dit misschien niet de beste omdat een andere zet winstgevender is. Laten we zeggen dat je een full house hebt bij five-card draw poker. Je tegenstander plaatst een weddenschap. Je weet dat als je de weddenschap verhoogt, hij zal reageren. Daarom lijkt raisen de beste tactiek. Maar als je de inzet verhoogt, zullen de overgebleven twee spelers zeker folden. Maar als je callt, heb je er het volste vertrouwen in dat de andere twee spelers achter je hetzelfde zullen doen. Als u uw inzet verhoogt, krijgt u één eenheid, en als u gewoon callt, krijgt u er twee. Bellen geeft je dus een hogere positieve verwachte waarde en zal de beste tactiek zijn.

De wiskundige verwachting kan ook een idee geven welke pokertactieken minder winstgevend zijn en welke meer winstgevend zijn. Als u bijvoorbeeld een bepaalde hand speelt en u denkt dat uw verlies gemiddeld 75 cent zal bedragen, inclusief ante, dan moet u die hand spelen omdat dit is beter dan folden als de ante $ 1 is.

Een andere belangrijke reden om het concept van verwachte waarde te begrijpen is dat het je een gevoel van gemoedsrust geeft, ongeacht of je de weddenschap wint of niet: als je een goede weddenschap hebt geplaatst of op het juiste moment hebt gefold, weet je dat je hebt verdiend of heeft een bepaald bedrag gespaard dat de zwakkere speler niet kan sparen. Het is veel moeilijker om te folden als je van streek bent omdat je tegenstander een sterkere hand heeft getrokken. Met dit alles wordt het geld dat u bespaart door niet te spelen in plaats van te wedden, toegevoegd aan uw winst voor die nacht of maand.

Onthoud gewoon dat als u van hand zou veranderen, uw tegenstander u zou hebben gecalld, en zoals u zult zien in het Fundamentele Stelling van Poker-artikel, is dit slechts een van uw voordelen. Je zou blij moeten zijn als dit gebeurt. Je kunt zelfs leren genieten van het verliezen van een hand, omdat je weet dat andere spelers in jouw positie veel meer zouden hebben verloren.

Zoals vermeld in het muntspelvoorbeeld aan het begin, houdt het winstpercentage per uur verband met de wiskundige verwachting, en dit concept is vooral belangrijk voor professionele spelers. Als je poker gaat spelen, moet je mentaal inschatten hoeveel je kunt winnen in een uur spelen. In de meeste gevallen zul je moeten vertrouwen op je intuïtie en ervaring, maar je kunt ook wel wat rekenwerk gebruiken. Als je bijvoorbeeld draw lowball speelt en je ziet drie spelers €10 inzetten en vervolgens twee kaarten ruilen, wat een zeer slechte tactiek is. Je kunt erachter komen dat elke keer dat ze €10 inzetten, ze ongeveer €2 verliezen. Ze doen dit elk acht keer per uur, wat betekent dat ze alle drie ongeveer $ 48 per uur verliezen. Jij bent een van de overige vier spelers die ongeveer gelijk zijn, dus deze vier spelers (en jij onder hen) moeten €48 verdelen, waarbij elk een winst van €12 per uur maakt. Uw kansen per uur zijn in dit geval eenvoudigweg gelijk aan uw aandeel in het verloren geldbedrag met drie slechte spelers over een uur.

Over een lange periode zijn de totale winsten van de speler de som van zijn wiskundige verwachtingen in individuele handen. Hoe meer handen je speelt met positieve verwachtingen, hoe meer je wint, en omgekeerd, hoe meer handen je speelt met negatieve verwachtingen, hoe meer je verliest. Als gevolg hiervan moet u een spel kiezen dat uw positieve verwachtingen kan maximaliseren of uw negatieve verwachtingen teniet kan doen, zodat u uw winst per uur kunt maximaliseren.

Positieve wiskundige verwachting in spelstrategie

Als je weet hoe je kaarten moet tellen, kun je een voordeel hebben ten opzichte van het casino, zolang ze het niet merken en je eruit gooien. Casino's houden van dronken spelers en tolereren geen kaarten tellende spelers. Het voordeel zorgt ervoor dat je na verloop van tijd kunt winnen. groter aantal keer dan verliezen. Goed beheer kapitaal bij het gebruik van berekeningen van de verwachte waarde kan u helpen meer winst uit uw voordeel te halen en uw verliezen te verminderen. Zonder voordeel kun je het geld beter aan een goed doel geven. In het spel op de beurs wordt het voordeel gegeven door het spelsysteem, dat grotere winsten oplevert dan verliezen, prijsverschillen en commissies. Geen enkele hoeveelheid geldbeheer kan een slecht spelsysteem redden.

Een positieve verwachting wordt gedefinieerd als een waarde groter dan nul. Hoe groter dit getal, hoe sterker de statistische verwachting. Als de waarde minder dan nul, dan zal de wiskundige verwachting ook negatief zijn. Hoe groter de module van de negatieve waarde, hoe slechter de situatie. Als het resultaat nul is, is de wachttijd break-even. Je kunt alleen winnen als je een positieve wiskundige verwachting hebt en een redelijk spelsysteem. Spelen op intuïtie leidt tot een ramp.

Wiskundige verwachting en aandelenhandel

Wiskundige verwachtingen zijn een vrij veelgebruikte en populaire statistische indicator bij het uitvoeren van valutahandel op financiële markten. Allereerst wordt deze parameter gebruikt om het succes van handelen te analyseren. Het is niet moeilijk te raden dat hoe hoger deze waarde, hoe meer redenen er zijn om de onderzochte handel als succesvol te beschouwen. Uiteraard kan de analyse van het werk van een handelaar niet alleen met deze parameter worden uitgevoerd. De berekende waarde kan, in combinatie met andere methoden om de kwaliteit van het werk te beoordelen, de nauwkeurigheid van de analyse echter aanzienlijk vergroten.

De wiskundige verwachting wordt vaak berekend bij het monitoren van handelsrekeningen, waardoor u snel het werk kunt evalueren dat met de aanbetaling is verricht. De uitzonderingen zijn onder meer strategieën die gebruik maken van ‘uitzittende’ onrendabele transacties. Een handelaar kan enige tijd geluk hebben, en daarom is er mogelijk helemaal geen verlies in zijn werk. In dit geval zal het niet mogelijk zijn om je alleen te laten leiden door de wiskundige verwachting, omdat er geen rekening wordt gehouden met de risico's die bij het werk worden gebruikt.

Bij markthandel wordt de wiskundige verwachting het vaakst gebruikt bij het voorspellen van de winstgevendheid van een handelsstrategie of bij het voorspellen van het inkomen van een handelaar op basis van statistische gegevens van zijn eerdere handel.

Met betrekking tot geldbeheer is het erg belangrijk om te begrijpen dat er bij het doen van transacties met negatieve verwachtingen geen geldbeheersysteem bestaat dat zeker hoge winsten kan opleveren. Als u onder deze omstandigheden op de aandelenmarkt blijft spelen, verliest u, ongeacht hoe u uw geld beheert, uw volledige account, ongeacht hoe groot deze in het begin ook was.

Dit axioma geldt niet alleen voor spellen of transacties met negatieve verwachtingen, maar ook voor spellen met gelijke kansen. Daarom is de enige keer dat u op de lange termijn winst kunt maken, het uitvoeren van transacties met een positieve verwachte waarde.

Het verschil tussen negatieve verwachting en positieve verwachting is het verschil tussen leven en dood. Het maakt niet uit hoe positief of hoe negatief de verwachting is; Het enige dat telt is of het positief of negatief is. Voordat u geldbeheer overweegt, moet u daarom een ​​spel met positieve verwachtingen vinden.

Als je dat spel niet hebt, zal al het geldbeheer ter wereld je niet redden. Aan de andere kant, als je een positieve verwachting hebt, kun je deze, door goed geldbeheer, omzetten in een exponentiële groeifunctie. Het maakt niet uit hoe klein de positieve verwachting is! Met andere woorden: het maakt niet uit hoe winstgevend een handelssysteem is gebaseerd op één enkel contract. Als u een systeem heeft dat $10 per contract per transactie wint (na commissies en slippage), kunt u technieken voor geldbeheer gebruiken om het winstgevender te maken dan een systeem dat gemiddeld $1.000 per transactie verdient (na aftrek van commissies en slippage).

Waar het om gaat is niet hoe winstgevend het systeem was, maar hoe zeker kan worden gezegd dat het systeem in de toekomst op zijn minst minimale winst zal opleveren. Daarom de meeste belangrijke voorbereiding Wat een handelaar kan doen, is ervoor zorgen dat het systeem in de toekomst een positieve verwachte waarde zal vertonen.

Om in de toekomst een positieve verwachtingswaarde te hebben, is het van groot belang om de vrijheidsgraden van uw systeem niet te beperken. Dit wordt niet alleen bereikt door het elimineren of verminderen van het aantal te optimaliseren parameters, maar ook door het verminderen van zoveel mogelijk systeemregels. Elke parameter die u toevoegt, elke regel die u maakt, elke kleine verandering die u in het systeem aanbrengt, vermindert het aantal vrijheidsgraden. Idealiter moet je een vrij primitief en eenvoudig systeem, die in vrijwel elke markt consequent kleine winsten zal genereren. Nogmaals, het is belangrijk dat je begrijpt dat het niet uitmaakt hoe winstgevend het systeem is, zolang het maar winstgevend is. Het geld dat u verdient met handelen, wordt verdiend door effectief geldbeheer.

Een handelssysteem is simpelweg een hulpmiddel dat u een positieve verwachte waarde geeft, zodat u geldbeheer kunt gebruiken. Systemen die in slechts één of enkele markten werken (op zijn minst minimale winsten opleveren), of die voor verschillende markten verschillende regels of parameters hebben, zullen hoogstwaarschijnlijk niet lang in realtime werken. Het probleem met de meeste technisch georiënteerde handelaren is dat ze te veel tijd en moeite besteden aan optimalisatie verschillende regels en waarden van handelssysteemparameters. Dit geeft volledig tegenovergestelde resultaten. In plaats van energie en computertijd te verspillen aan het vergroten van de winsten van het handelssysteem, richt u uw energie op het verhogen van het betrouwbaarheidsniveau voor het verkrijgen van een minimale winst.

Wetende dat geldbeheer slechts een getallenspel is dat het gebruik van positieve verwachtingen vereist, kan een handelaar stoppen met zoeken naar de 'heilige graal' van de aandelenhandel. In plaats daarvan kan hij zijn handelsmethode gaan testen, ontdekken hoe logisch deze methode is en of deze positieve verwachtingen wekt. Goede methoden voor geldbeheer, toegepast op alle, zelfs zeer middelmatige handelsmethoden, zullen de rest van het werk zelf doen.

Om elke handelaar te laten slagen in zijn werk, moet hij drie belangrijkste taken oplossen: Om ervoor te zorgen dat het aantal succesvolle transacties de onvermijdelijke fouten en misrekeningen overtreft; Richt uw handelssysteem zo in dat u de mogelijkheid heeft om zo vaak mogelijk geld te verdienen; Behaal stabiele positieve resultaten uit uw activiteiten.

En hier, voor ons werkende handelaars, kunnen wiskundige verwachtingen van grote hulp zijn. Deze term is een van de belangrijkste in de waarschijnlijkheidstheorie. Met zijn hulp kunt u een gemiddelde schatting geven van sommige willekeurige waarde. De wiskundige verwachting van een willekeurige variabele is vergelijkbaar met het zwaartepunt, als je alle mogelijke kansen voorstelt als punten met ander gewicht.

Met betrekking tot een handelsstrategie wordt de wiskundige verwachting van winst (of verlies) meestal gebruikt om de effectiviteit ervan te evalueren. Deze parameter wordt gedefinieerd als de som van de producten van bepaalde winst- en verliesniveaus en de waarschijnlijkheid dat deze zich voordoen. De ontwikkelde handelsstrategie gaat er bijvoorbeeld van uit dat 37% van alle transacties winst zal opleveren, en het resterende deel – 63% – zal niet winstgevend zijn. Tegelijkertijd zal het gemiddelde inkomen uit een succesvolle transactie €7 bedragen en het gemiddelde verlies €1,4. Laten we de wiskundige verwachting van handelen met dit systeem berekenen:

Wat betekent het gegeven nummer? Er staat dat we, volgens de regels van dit systeem, gemiddeld $1.708 zullen ontvangen van elke afgesloten transactie. Omdat de resulterende efficiëntie groter is dan nul, kan een dergelijk systeem voor echt werk worden gebruikt. Als uit de berekening blijkt dat de wiskundige verwachting negatief is, duidt dit al op een gemiddeld verlies en zal een dergelijke handel tot een ondergang leiden.

Het winstbedrag per transactie kan ook worden uitgedrukt als een relatieve waarde in de vorm van%. Bijvoorbeeld:

– percentage van de inkomsten per 1 transactie - 5%;

– percentage succesvolle handelsactiviteiten - 62%;

– percentage verlies per 1 transactie - 3%;

– percentage mislukte transacties - 38%;

Dat wil zeggen dat de gemiddelde transactie 1,96% zal opleveren.

Het is mogelijk een systeem te ontwikkelen dat, ondanks de overheersing van onrendabele transacties, een positief resultaat zal opleveren, aangezien de MO>0.

Wachten alleen is echter niet voldoende. Het is moeilijk om geld te verdienen als het systeem heel weinig handelssignalen geeft. In dit geval zal de winstgevendheid vergelijkbaar zijn met bankrente. Laat elke operatie gemiddeld maar 0,5 dollar opleveren, maar wat als het systeem 1000 operaties per jaar omvat? Dit zal in relatief korte tijd een zeer aanzienlijk bedrag zijn. Hieruit volgt logischerwijs dat een ander onderscheidend kenmerk van een goed handelssysteem kan worden beschouwd als een korte periode van posities innemen.

Bronnen en links

dic.academic.ru - academisch online woordenboek

wiskunde.ru – educatieve website over wiskunde

nsu.ru – educatieve website van Novosibirsk Staatsuniversiteit

webmath.ru is een educatief portaal voor studenten, aanvragers en schoolkinderen.

exponenta.ru educatieve wiskundige website

ru.tradimo.com – gratis onlineschool handel

crypto.hut2.ru – multidisciplinaire informatiebron

poker-wiki.ru – gratis encyclopedie van poker

sernam.ru – Wetenschappelijke bibliotheek met geselecteerde natuurwetenschappelijke publicaties

reshim.su – website WIJ ZULLEN problemen met testcursussen OPLOSSEN

unfx.ru – Forex op UNFX: training, handelssignalen, vertrouwensbeheer

slovopedia.com – Groot encyclopedisch woordenboek Slowopedie

pokermansion.3dn.ru – Jouw gids in de wereld van poker

statanaliz.info – informatieblog “ statistische analyse gegevens"

forex-trader.rf – Forex-Trader-portaal

megafx.ru – huidige Forex-analyses

fx-by.com – alles voor een handelaar

Willekeurige variabele Een variabele wordt een variabele genoemd die, als resultaat van elke test, een voorheen onbekende waarde aanneemt, afhankelijk van willekeurige redenen. Willekeurige variabelen worden aangegeven met Latijnse hoofdletters: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Afhankelijk van hun type kunnen willekeurige variabelen discreet En continu.

Discrete willekeurige variabele- dit is een willekeurige variabele waarvan de waarden niet meer dan telbaar kunnen zijn, dat wil zeggen eindig of telbaar. Met telbaarheid bedoelen we dat de waarden van een willekeurige variabele genummerd kunnen worden.

voorbeeld 1 . Hier zijn voorbeelden van discrete willekeurige variabelen:

a) het aantal treffers op het doel met $n$ schoten, hier zijn de mogelijke waarden $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) het aantal emblemen dat valt bij het opgooien van een munt, hier zijn de mogelijke waarden $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) het aantal schepen dat aan boord arriveert (een telbare reeks waarden).

d) het aantal oproepen dat bij de PBX binnenkomt (telbare reeks waarden).

1. Wet van de kansverdeling van een discrete willekeurige variabele.

Een discrete willekeurige variabele $X$ kan waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ aannemen met waarschijnlijkheden $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. De overeenkomst tussen deze waarden en hun kansen wordt genoemd wet van de verdeling van een discrete willekeurige variabele. In de regel wordt deze correspondentie gespecificeerd met behulp van een tabel, waarvan de eerste regel de waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ aangeeft, en de tweede regel de kansen $p_1,\dots ,\ p_n$ bevat die overeenkomen met deze waarden.

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hlijn
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hlijn
\end(matrix)$

Voorbeeld 2 . Laat de willekeurige variabele $X$ het aantal punten zijn dat wordt gegooid bij het gooien van een dobbelsteen. Zo'n willekeurige variabele $X$ kan de volgende waarden aannemen: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. De kansen op al deze waarden zijn gelijk aan $1/6$. Dan geldt de wet van de kansverdeling van de willekeurige variabele $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlijn

\hlijn
\end(matrix)$

Opmerking. Omdat in de verdelingswet van een discrete willekeurige variabele $X$ de gebeurtenissen $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ een complete groep gebeurtenissen vormen, moet de som van de kansen gelijk zijn aan één, dat wil zeggen $ \som(p_i)=1$.

2. Wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele.

Verwachting van een willekeurige variabele bepaalt de ‘centrale’ betekenis ervan. Voor een discrete willekeurige variabele wordt de wiskundige verwachting berekend als de som van de producten van de waarden $x_1,\dots ,\ x_n$ en de kansen $p_1,\dots ,\ p_n$ die overeenkomen met deze waarden, dat wil zeggen : $M\left(X\right)=\som ^n_(i=1)(p_ix_i)$. In de Engelstalige literatuur wordt een andere notatie $E\left(X\right)$ gebruikt.

Eigenschappen van wiskundige verwachting$M\links(X\rechts)$:

1. $M\left(X\right)$ ligt tussen de kleinste en grootste waarden van de willekeurige variabele $X$.
2. De wiskundige verwachting van een constante is gelijk aan de constante zelf, d.w.z. $M\links(C\rechts)=C$.
3. De constante factor kan uit het teken van de wiskundige verwachting worden gehaald: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. De wiskundige verwachting van de som van willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun wiskundige verwachtingen: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. De wiskundige verwachting van het product van onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan het product van hun wiskundige verwachtingen: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Voorbeeld 3 . Laten we de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$ vinden.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\meer dan (6))=3,5.$$

We kunnen zien dat $M\left(X\right)$ tussen de kleinste ($1$) en grootste ($6$) waarden van de willekeurige variabele $X$ ligt.

Voorbeeld 4 . Het is bekend dat de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $M\left(X\right)=2$. Zoek de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $3X+5$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen krijgen we $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Voorbeeld 5 . Het is bekend dat de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $M\left(X\right)=4$. Zoek de wiskundige verwachting van de willekeurige variabele $2X-9$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen krijgen we $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Verspreiding van een discrete willekeurige variabele.

Mogelijke waarden van willekeurige variabelen met gelijke wiskundige verwachtingen kunnen zich verschillend rond hun gemiddelde waarden verspreiden. Bijvoorbeeld in twee studentengroepen GPA voor het examen kansrekening bleek het gelijk te zijn aan 4, maar in de ene groep bleek iedereen goede studenten te zijn, en in de andere groep alleen C-studenten en excellente studenten. Daarom is er behoefte aan een numeriek kenmerk van een willekeurige variabele die de spreiding van de waarden van de willekeurige variabele rond zijn wiskundige verwachting zou laten zien. Dit kenmerk is spreiding.

Variantie van een discrete willekeurige variabele$X$ is gelijk aan:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

In de Engelse literatuur wordt de notatie $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gebruikt. Heel vaak wordt de variantie $D\left(X\right)$ berekend met behulp van de formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ links(X \rechts)\rechts))^2$.

Dispersie-eigenschappen$D\links(X\rechts)$:

1. De variantie is altijd groter dan of gelijk aan nul, d.w.z. $D\links(X\rechts)\ge 0$.
2. De variantie van de constante is nul, d.w.z. $D\links(C\rechts)=0$.
3. De constante factor kan uit het teken van de spreiding worden gehaald, op voorwaarde dat deze in het kwadraat is, d.w.z. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. De variantie van de som van onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun varianties, d.w.z. $D\links(X+Y\rechts)=D\links(X\rechts)+D\links(Y\rechts)$.
5. De variantie van het verschil tussen onafhankelijke willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun varianties, d.w.z. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Voorbeeld 6 . Laten we de variantie berekenen van de willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\circa 2,92,$$

Voorbeeld 7 . Het is bekend dat de variantie van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $D\left(X\right)=2$. Zoek de variantie van de willekeurige variabele $4X+1$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen vinden we $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ links(X\rechts)=16\cdot 2=32$.

Voorbeeld 8 . Het is bekend dat de variantie van de willekeurige variabele $X$ gelijk is aan $D\left(X\right)=3$. Zoek de variantie van de willekeurige variabele $3-2X$.

Met behulp van de bovenstaande eigenschappen vinden we $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ links(X\rechts)=4\cdot 3=12$.

4. Verdelingsfunctie van een discrete willekeurige variabele.

De methode voor het weergeven van een discrete willekeurige variabele in de vorm van een distributiereeks is niet de enige, en het belangrijkste is dat deze niet universeel is, aangezien een continue willekeurige variabele niet kan worden gespecificeerd met behulp van een distributiereeks. Er is een andere manier om een ​​willekeurige variabele weer te geven: de verdelingsfunctie.

Distributie functie willekeurige variabele $X$ wordt een functie $F\left(x\right)$ genoemd, die de waarschijnlijkheid bepaalt dat de willekeurige variabele $X$ een waarde zal aannemen die kleiner is dan een vaste waarde $x$, dat wil zeggen $F\ links(x\rechts)=P\links(X< x\right)$

Eigenschappen van de verdelingsfunctie:

1. $0\le F\links(x\rechts)\le 1$.
2. De kans dat de willekeurige variabele $X$ waarden aanneemt uit het interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ is gelijk aan het verschil tussen de waarden van de verdelingsfunctie aan de uiteinden hiervan interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - niet-afnemend.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \rechts)=1\ )$.

Voorbeeld 9 . Laten we de verdelingsfunctie $F\left(x\right)$ vinden voor de verdelingswet van de discrete willekeurige variabele $X$ uit voorbeeld $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hlijn
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hlijn
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hlijn
\end(matrix)$

Als $x\le 1$, dan is uiteraard $F\left(x\right)=0$ (inclusief voor $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Als $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Als $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Als $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Als $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Als $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Als $x > 6$, dan $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\links(X=4\rechts)+P\links(X=5\rechts)+P\links(X=6\rechts)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Dus $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ bij\ x\le 1,\\
1/6,op\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ op\ 2< x\le 3,\\
1/2,op\3< x\le 4,\\
2/3,\ op\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ op\ 4< x\le 5,\\
1,\ voor\ x > 6.
\end(matrix)\rechts.$

Waarschijnlijkheidstheorie is een speciale tak van de wiskunde die alleen wordt bestudeerd door studenten van instellingen voor hoger onderwijs. Houd jij van berekeningen en formules? Ben je niet bang voor de vooruitzichten om kennis te maken met de normale verdeling, ensemble-entropie, wiskundige verwachtingen en spreiding van een discrete willekeurige variabele? Dan is dit onderwerp erg interessant voor jou. Laten we kennis maken met enkele van de belangrijkste basisconcepten van deze tak van wetenschap.

Laten we de basis onthouden

Zelfs als je je het meeste herinnert eenvoudige concepten waarschijnlijkheidstheorie, verwaarloos de eerste paragrafen van het artikel niet. Het punt is dat je zonder een duidelijk begrip van de basisprincipes niet met de hieronder besproken formules kunt werken.

Er vindt dus een willekeurige gebeurtenis plaats, een experiment. Als gevolg van de acties die we ondernemen, kunnen we verschillende resultaten bereiken: sommige komen vaker voor, andere minder vaak. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is de verhouding tussen het aantal feitelijk verkregen uitkomsten van één type totaal aantal mogelijk. Alleen als je de klassieke definitie van dit concept kent, kun je beginnen met het bestuderen van de wiskundige verwachting en spreiding van continue willekeurige variabelen.

Gemiddeld

Vroeger op school begon je tijdens de wiskundelessen met het rekenkundig gemiddelde te werken. Dit concept wordt veel gebruikt in de waarschijnlijkheidstheorie en kan daarom niet worden genegeerd. Het belangrijkste voor ons is dit moment is dat we het zullen tegenkomen in de formules voor de wiskundige verwachting en spreiding van een willekeurige variabele.

We hebben een reeks getallen en willen het rekenkundig gemiddelde vinden. Het enige dat van ons wordt verlangd, is alles wat beschikbaar is op te sommen en te delen door het aantal elementen in de reeks. Laten we getallen van 1 tot en met 9 hebben. De som van de elementen is gelijk aan 45, en we delen deze waarde door 9. Antwoord: - 5.

Spreiding

In wetenschappelijke termen is spreiding het gemiddelde kwadraat van afwijkingen van de verkregen waarden van een kenmerk van het rekenkundig gemiddelde. Het wordt aangegeven met één Latijnse hoofdletter D. Wat is er nodig om het te berekenen? Voor elk element van de reeks berekenen we het verschil tussen het bestaande getal en het rekenkundig gemiddelde en kwadrateren we dit. Er zullen precies zoveel waarden zijn als er uitkomsten kunnen zijn voor de gebeurtenis die we overwegen. Vervolgens vatten we alles wat we hebben ontvangen samen en delen we dit door het aantal elementen in de reeks. Als we vijf mogelijke uitkomsten hebben, deel dan door vijf.

Dispersie heeft ook eigenschappen die onthouden moeten worden om te kunnen gebruiken bij het oplossen van problemen. Wanneer u bijvoorbeeld een willekeurige variabele met X maal vergroot, neemt de variantie toe met X kwadratische maal (d.w.z. X*X). Het is nooit minder dan nul en is niet afhankelijk van de waarden die verschuiven gelijke waarde op of neer. Bovendien is voor onafhankelijke onderzoeken de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties.

Nu moeten we zeker voorbeelden overwegen van de variantie van een discrete willekeurige variabele en de wiskundige verwachting.

Laten we zeggen dat we 21 experimenten hebben uitgevoerd en zeven verschillende uitkomsten hebben gekregen. We hebben ze elk respectievelijk 1, 2, 2, 3, 4, 4 en 5 keer geobserveerd. Waaraan zal de variantie gelijk zijn?

Laten we eerst het rekenkundig gemiddelde berekenen: de som van de elementen is natuurlijk 21. Deel dit door 7 en krijg 3. Trek nu 3 af van elk getal in de oorspronkelijke reeks, kwadraat elke waarde en tel de resultaten bij elkaar op. Het resultaat is 12. Nu hoeven we alleen maar het getal te delen door het aantal elementen, en het lijkt erop dat dat alles is. Maar er zit een addertje onder het gras! Laten we het bespreken.

Afhankelijkheid van het aantal experimenten

Het blijkt dat bij het berekenen van de variantie de noemer twee getallen kan bevatten: N of N-1. Hier is N het aantal uitgevoerde experimenten of het aantal elementen in de reeks (wat in essentie hetzelfde is). Waar hangt dit van af?

Als het aantal tests in honderden wordt gemeten, moeten we N in de noemer zetten, als het in eenheden is, dan N-1. Wetenschappers besloten de grens vrij symbolisch te trekken: vandaag gaat deze door het getal 30. Als we minder dan 30 experimenten hebben uitgevoerd, delen we de hoeveelheid door N-1, en als er meer zijn, dan door N.

Taak

Laten we terugkeren naar ons voorbeeld van het oplossen van het probleem van variantie en wiskundige verwachtingen. We kregen een tussengetal 12, dat gedeeld moest worden door N of N-1. Omdat we 21 experimenten hebben uitgevoerd, wat minder is dan 30, kiezen we voor de tweede optie. Het antwoord is dus: de variantie is 12/2 = 2.

Verwachte waarde

Laten we verder gaan met het tweede concept, dat we in dit artikel moeten overwegen. De wiskundige verwachting is het resultaat van het optellen van alle mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd met de overeenkomstige kansen. Het is belangrijk om te begrijpen dat de verkregen waarde, evenals het resultaat van het berekenen van de variantie, slechts één keer wordt verkregen voor het hele probleem, ongeacht hoeveel uitkomsten erin worden meegenomen.

De formule voor wiskundige verwachtingen is vrij eenvoudig: we nemen de uitkomst, vermenigvuldigen deze met de waarschijnlijkheid, voegen hetzelfde toe voor het tweede, derde resultaat, enz. Alles wat met dit concept te maken heeft, is niet moeilijk te berekenen. De som van de verwachte waarden is bijvoorbeeld gelijk aan de verwachte waarde van de som. Hetzelfde geldt voor het werk. Niet elke grootheid in de kansrekening stelt je in staat zulke eenvoudige bewerkingen uit te voeren. Laten we het probleem nemen en de betekenis berekenen van twee concepten die we tegelijk hebben bestudeerd. Bovendien werden we afgeleid door de theorie - het is tijd om te oefenen.

Nog een voorbeeld

We hebben 50 onderzoeken uitgevoerd en 10 soorten uitkomsten verkregen – getallen van 0 tot en met 9 – die in verschillende percentages voorkomen. Dit zijn respectievelijk: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Bedenk dat u, om kansen te verkrijgen, de procentuele waarden door 100 moet delen. We krijgen dus 0,02; 0,1, enz. Laten we een voorbeeld presenteren van het oplossen van het probleem voor de variantie van een willekeurige variabele en de wiskundige verwachting.

We berekenen het rekenkundig gemiddelde met behulp van de formule die we ons herinneren lagere school: 50/10 = 5.

Laten we nu de kansen omzetten in het aantal uitkomsten “in stukjes” om het tellen gemakkelijker te maken. We krijgen 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 en 9. Van elke verkregen waarde trekken we het rekenkundig gemiddelde af, waarna we elk van de verkregen resultaten kwadrateren. Bekijk hoe u dit doet met het eerste element als voorbeeld: 1 - 5 = (-4). Volgende: (-4) * (-4) = 16. Voer deze bewerkingen zelf uit voor andere waarden. Als je alles goed hebt gedaan, krijg je na het optellen ervan 90.

Laten we doorgaan met het berekenen van de variantie en de verwachte waarde door 90 te delen door N. Waarom kiezen we N in plaats van N-1? Klopt, want het aantal uitgevoerde experimenten overschrijdt de 30. Dus: 90/10 = 9. We hebben de variantie. Als u een ander nummer krijgt, wanhoop dan niet. Hoogstwaarschijnlijk hebt u een eenvoudige fout gemaakt in de berekeningen. Controleer nogmaals wat je hebt geschreven en alles zal waarschijnlijk op zijn plaats vallen.

Onthoud ten slotte de formule voor wiskundige verwachting. We zullen niet alle berekeningen geven, we zullen alleen een antwoord schrijven dat u kunt controleren nadat u alle vereiste procedures heeft voltooid. De verwachte waarde zal 5,48 zijn. Laten we ons alleen herinneren hoe we bewerkingen moeten uitvoeren, waarbij we de eerste elementen als voorbeeld gebruiken: 0*0,02 + 1*0,1... enzovoort. Zoals u kunt zien, vermenigvuldigen we eenvoudigweg de uitkomstwaarde met de waarschijnlijkheid ervan.

Afwijking

Een ander concept dat nauw verwant is aan spreiding en wiskundige verwachtingen is de standaarddeviatie. Het wordt aangegeven met de Latijnse letters sd, of met de Griekse kleine letter “sigma”. Dit concept laat zien hoeveel de waarden gemiddeld afwijken van het centrale kenmerk. Om de waarde ervan te vinden, moet u berekenen Vierkantswortel van verspreiding.

Als u een normale verdelingsgrafiek tekent en de kwadratische afwijking daarop direct wilt zien, kunt u dit in verschillende fasen doen. Neem de helft van de afbeelding links of rechts van de modus (centrale waarde), teken een loodlijn op de horizontale as zodat de gebieden van de resulterende figuren gelijk zijn. De grootte van het segment tussen het midden van de verdeling en de resulterende projectie op de horizontale as vertegenwoordigt de standaarddeviatie.

Software

Zoals blijkt uit de beschrijvingen van de formules en de gepresenteerde voorbeelden, is het berekenen van variantie en wiskundige verwachtingen vanuit rekenkundig oogpunt niet de eenvoudigste procedure. Om geen tijd te verspillen, is het zinvol om het programma te gebruiken dat in het hoger onderwijs wordt gebruikt onderwijsinstellingen- het heet "R". Het heeft functies waarmee je waarden kunt berekenen voor veel concepten uit de statistiek en de waarschijnlijkheidstheorie.

U specificeert bijvoorbeeld een vector van waarden. Dit is gedaan op de volgende manier:vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Eindelijk

Zonder deze spreiding en wiskundige verwachting is het moeilijk om iets in de toekomst te berekenen. In het hoofdcollege van de universiteiten worden ze al in de eerste maanden van de studie van het onderwerp besproken. Het is juist vanwege het gebrek aan begrip van deze eenvoudige concepten en het onvermogen om ze te berekenen dat veel studenten onmiddellijk achterop raken in het programma en later slechte cijfers krijgen aan het einde van de sessie, waardoor ze geen studiebeurzen meer krijgen.

Oefen minimaal een week, een half uur per dag, met het oplossen van taken die vergelijkbaar zijn met de taken die in dit artikel worden gepresenteerd. Vervolgens kunt u bij elke test in de waarschijnlijkheidstheorie met de voorbeelden omgaan zonder externe tips en spiekbriefjes.