Wat is een extremum van een functie en wat is de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum?

Het uiterste van een functie is het maximum en het minimum van de functie.

Voorwaarde Het maximum en minimum (extremum) van een functie zijn als volgt: als de functie f(x) een extremum heeft op het punt x = a, dan is de afgeleide op dit punt nul of oneindig, of bestaat niet.

Deze voorwaarde is noodzakelijk, maar niet voldoende. De afgeleide op het punt x = a kan naar nul gaan, naar oneindig, of niet bestaan ​​zonder dat de functie op dit punt een extremum heeft.

Wat is een voldoende voorwaarde voor het extremum van een functie (maximum of minimum)?

Eerste voorwaarde:

Als, in voldoende nabijheid van het punt x = a, de afgeleide f?(x) positief is links van a en negatief rechts van a, dan heeft op het punt x = a de functie f(x) maximaal

Als, in voldoende nabijheid van het punt x = a, de afgeleide f?(x) negatief is aan de linkerkant van a en positief aan de rechterkant van a, dan heeft de functie f(x) in het punt x = a minimum op voorwaarde dat de functie f(x) hier continu is.

In plaats daarvan kunt u de tweede voldoende voorwaarde gebruiken voor het extremum van een functie:

Laat op het punt x = a de eerste afgeleide f?(x) verdwijnen; als de tweede afgeleide f??(a) negatief is, dan heeft de functie f(x) een maximum op het punt x = a, als deze positief is, dan heeft deze een minimum.

Wat is het kritieke punt van een functie en hoe kan ik dit vinden?

Dit is de waarde van het functieargument waarbij de functie een extremum heeft (d.w.z. maximum of minimum). Om het te vinden heb je nodig zoek de afgeleide functie f?(x) en, door deze gelijk te stellen aan nul, los De vergelijking op f?(x) = 0. De wortels van deze vergelijking, evenals die punten waarop de afgeleide van deze functie niet bestaat, zijn kritische punten, dat wil zeggen waarden van het argument waarop er een extremum kan zijn. Ze kunnen gemakkelijk worden geïdentificeerd door ernaar te kijken afgeleide grafiek: we zijn geïnteresseerd in die waarden van het argument waarbij de grafiek van de functie de abscis-as (Ox-as) snijdt en die waarbij de grafiek discontinuïteiten vertoont.

Laten we bijvoorbeeld zoeken extremum van een parabool.

Functie y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Afgeleide van de functie: y?(x) = 6x + 2

Los de vergelijking op: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In dit geval is het kritieke punt x0=-1/3. Het is met deze argumentwaarde dat de functie heeft extreem. Naar hem vinden, vervang het gevonden getal in de uitdrukking voor de functie in plaats van “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hoe het maximum en minimum van een functie te bepalen, d.w.z. de grootste en kleinste waarden?

Als het teken van de afgeleide bij het passeren van het kritieke punt x0 verandert van “plus” naar “min”, dan is x0 maximale punt; als het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, dan is x0 minimum punt; als het teken niet verandert, is er op punt x0 noch een maximum, noch een minimum.

Voor het beschouwde voorbeeld:

We nemen een willekeurige waarde van het argument links van het kritieke punt: x = -1

Bij x = -1 is de waarde van de afgeleide y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d.w.z. het teken is “min”).

Nu nemen we een willekeurige waarde van het argument rechts van het kritieke punt: x = 1

Bij x = 1 is de waarde van de afgeleide y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d.w.z. het teken is “plus”).

Zoals u kunt zien, veranderde de afgeleide van teken van min naar plus toen hij door het kritieke punt ging. Dit betekent dat we bij de kritische waarde x0 een minimumpunt hebben.

Grootste en kleinste waarde van een functie op het interval(op een segment) worden gevonden met behulp van dezelfde procedure, waarbij alleen rekening wordt gehouden met het feit dat misschien niet alle kritieke punten binnen het gespecificeerde interval zullen liggen. Die kritieke punten die buiten het interval liggen, moeten buiten beschouwing worden gelaten. Als er binnen het interval slechts één kritisch punt is, heeft dit een maximum of een minimum. Om de grootste en kleinste waarden van de functie te bepalen, houden we in dit geval ook rekening met de waarden van de functie aan de uiteinden van het interval.

Laten we bijvoorbeeld de grootste en kleinste waarden van de functie vinden

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

met tussenpozen:

De afgeleide van de functie is dus

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

We lossen de vergelijking 3cos(x) - 0,5 = 0 op

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

We vinden kritische punten op het interval [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (niet opgenomen in het interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (niet inbegrepen in het interval)

We vinden de functiewaarden bij kritische waarden van het argument:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Het is te zien dat op het interval [-9; 9] hoogste waarde de functie heeft bij x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

en de kleinste - bij x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Op het interval [-6; -3] hebben we slechts één kritisch punt: x = -4,88. De waarde van de functie bij x = -4,88 is gelijk aan y = 5,398.

Zoek de waarde van de functie aan het einde van het interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Op het interval [-6; -3] we hebben de grootste waarde van de functie

y = 5,398 bij x = -4,88

kleinste waarde -

y = 1,077 bij x = -3

Hoe vind je de buigpunten van een functiegrafiek en bepaal je de convexe en concave zijden?

Om alle buigpunten van de lijn y = f(x) te vinden, moet je de tweede afgeleide vinden, deze gelijkstellen aan nul (de vergelijking oplossen) en al die waarden van x testen waarvoor de tweede afgeleide nul is, oneindig of bestaat niet. Als bij het passeren van een van deze waarden de tweede afgeleide van teken verandert, heeft de grafiek van de functie op dit punt een buiging. Als het niet verandert, is er geen bocht.

De wortels van de vergelijking f? (x) = 0, evenals mogelijke discontinuïteitpunten van de functie en de tweede afgeleide, verdelen het definitiedomein van de functie in een aantal intervallen. De convexiteit op elk van hun intervallen wordt bepaald door het teken van de tweede afgeleide. Als de tweede afgeleide op een punt op het onderzochte interval positief is, dan is de lijn y = f(x) concaaf naar boven, en als deze negatief is, dan naar beneden.

Hoe vind je de extrema van een functie van twee variabelen?

Om de extrema van de functie f(x,y), differentieerbaar in het domein van zijn specificatie, te vinden, heb je nodig:

1) vind de kritische punten, en los hiervoor het systeem van vergelijkingen op

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) onderzoek voor elk kritisch punt P0(a;b) of het teken van het verschil onveranderd blijft

voor alle punten (x;y) voldoende dicht bij P0. Als het verschil positief blijft, hebben we op punt P0 een minimum; als het negatief is, hebben we een maximum. Als het verschil zijn teken niet behoudt, is er geen extremum op punt P0.

De extrema van de functie worden op soortgelijke wijze bepaald voor meer argumenten.

Wat zijn de kenmerken van de regeling voor het opbouwen van de activiteiten van een starterscentrum?
Bedrijfsincubators worden in de eerste plaats beschouwd als onderdeel van de infrastructuur voor de ondersteuning van kleine bedrijven, maar zijn tegelijkertijd een instrument van het economisch, sociaal, structuur- en innovatiebeleid. Technologie-incubators zijn een van de beleidsinstrumenten voor de vorming van adaptieve, dynamische, competitieve nationale innovatie

Dracula - karakter literaire werken en films, de vampier. Werd uitgevonden door de Ierse schrijver Bram Stoker voor de roman “Dracula” (1897). Volgens de publieke opinie was het prototype voor dit personage echt historisch figuur– Vlad III Tepes(Gevecht

Waar u informatie kunt vinden over de Sony Ericsson K790-telefoon
Informatie over de Sony Ericsson K790 telefoon is te vinden op de volgende sites: www.mobiset.ru - informatie over de Sony Ericsson K790 telefoon op mobiset.ru; www.mobidrive.ru - informatie over de Sony Ericsson K790 telefoon op mobid

Wie maakt deel uit van de Melnitsa-groep?
www.melnitsa.net - officiële website van de groep Melnitsa "Melnitsa" is een Russische folkrockgroep uit Moskou. Opgericht op 15 oktober 1999. De groep "Melnitsa" speelt akoestische en elektro-akoestische muziek. Instrumenten: cello, fluit

Wat is een luit
Luit - tokkelende snaar muziekinstrument. In zijn klassieke vorm het heeft een elegante body in de vorm van een halve peer, een hals met frets, een schuin naar de nek gebogen stemkast, een rozetvormig klankgat en 11 snaren (vijf paar en een enkele hoge snaar). Het woord "luit" wordt ook in de meest algemene zin gebruikt

Wat is een tomaat?
Tomaat (tomaat) is een plant van het geslacht nachtschade, de familie Solanaceae, een eenjarig of meerjarig kruid. Gecultiveerd als groente gewas. Tomatenvruchten staan ​​bekend als tomaten. De fruitsoort is een bes. GeschiedenisMoederland - Zuid-Amerika, waar nog steeds wilde en halfgecultiveerde vormen van tomaat voorkomen. Halverwege de 16e eeuw kwam de tomaat naar Spanje.

Waar vindt u een voorbeeld van de verbuiging van gesubstantiviseerde zelfstandige naamwoorden?
Verbuiging van zelfstandige naamwoorden Verbuiging is de verandering van zelfstandige naamwoorden (en andere nominale woordsoorten) per hoofdlettergebruik en getal. Er zijn twee cijfers in het Russisch: enkelvoud (raam, bureau) en meervoud (ramen, bureaus); zes gevallen (volgens schoolcurriculum). Casus Casusvragen Nominatief wie? Wat? Genitief van wie? Wat? Gever

Welke actrices speelden de hoofdrollen in de tv-serie 'A Short Course in a Happy Life' op Channel One
In de Russische televisieserie " Korte les gelukkig leven", gefilmd in 2011 door regisseur Valeria Gai Germanika voor Channel One, werden de hoofdrollen gespeeld door 4 actrices: Alisa Khazanova speelde de rol van Lyuba; Svetlana Khodchenkova speelde de rol van Sasha; Anna Slew speelde de rol van Anya; Ksenia Gromova speelde de rol van Katya. Op de achtergrond

Wat is de sinus van 90 graden?
Sinus is een van de trigonometrische functies, aangeduid met zonde. IN rechthoekige driehoek sinus Scherpe hoek is gelijk aan de verhouding van het been tegenover deze hoek (tegengestelde been) tot de hypotenusa. Waarden van sinussen voor veel voorkomende hoeken (π - pi, √ - vierkantswortel

Waar zijn er betaalde Engelse audiocursussen op internet?
Betaalde audiocursussen in Engels is te vinden onder de onderstaande links: shop.iddk.ru - Engelse audiocursussen op schijf; london.ru - audiocursussen op schijven, maar ook boeken; volxv.ru - audio-video Engelse taalcursussen; ozon.ru - audiocursussen op schijven

Informatie- en rekruteringsportals Superjob.ru - het rekruteringsportaal waarop Superjob.ru actief is Russische markt online rekrutering sinds 2000 en is een leider onder de bronnen die het zoeken naar banen en personeel aanbieden. Dagelijks worden ruim 80.000 cv’s van specialisten en ruim 10.000 vacatures toegevoegd aan de database van de site.

© BSEU-lezing nr. 2					prof. Dymkov M.P.
Noot 1. De omgekeerde verklaring klinkt enigszins anders. Als
de functie neemt toe met het interval, dan bestaat f ′ (x 0 )≥ 0 of bestaat niet.
Voorbeeld 1.		y = x3	stijgt met		geheel numeriek
respectievelijk	f(x)>0, maar op het punt		x = 0 afgeleide		f(0)= 0.
Voorbeeld 2. Functie			x ≥ 0,	heeft op een gegeven moment geen afgeleide		x=0
			X< 0

(de linker en rechter afgeleiden zijn verschillend), maar neemt toe voor alle waarden van x, ook op punten = 0.

Opmerking 2. Op basis van “zachtere” omstandigheden kunnen we een directe stelling formuleren: als de afgeleide van een functie continu op een interval niet-negatief is, dan neemt de functie op dit interval niet af. Dan klinken de directe en omgekeerde stellingen in een geformaliseerde taal als volgt:

daarom,	zodat de functie y = f(x) continu op het interval is
niet-afnemend		dit interval is het noodzakelijk		en genoeg om
f′ (x0) ≥ 0 .
Het concept van extremum
Definitie.			x0 wordt een punt genoemd	lokaal maximum

functie f (x) als er een buurt van het punt x0 is zodat voor alle x uit deze buurt f(x) ≤ f(x0).

Definitie. Een punt x0 wordt een lokaal minimumpunt van de functie f(x) genoemd als er een buurt van het punt x0 bestaat zodat voor alle x uit deze buurt f(x) ≥ f(x0).

De waarde van de functie op het maximumpunt wordt het lokale maximum genoemd, de waarde van de functie op het minimumpunt wordt het lokale minimum van deze functie genoemd. Het maximum en minimum van een functie worden de lokale extrema genoemd

(extreem – extreem).

Definitie. Een punt x0 wordt een punt met een strikt lokaal maximum (minimum) van de functie y= f(x) genoemd als voor alle x in de buurt van het punt x0 de strikte ongelijkheid f(x) waar is< f(x0 ) (соответственно

f(x) > f(x0 ) ).

Opmerking. In de bovenstaande definitie van een lokaal extremum gaan we niet uit van de continuïteit van de functie op het punt x 0.

			X ≠ 0,
				discontinu op punt	x = 0, maar heeft hierin
	Functie y =		x = 0

maximumpunt, aangezien er een buurt is van het punt x = 0, waarin f (x)< f (x 0 ).

De grootste (kleinste) waarde van een functie op een interval wordt aangeroepen mondiaal extreem. Het globale extremum kan worden bereikt op de punten van het lokale extremum of aan de uiteinden van het segment.

Noodzakelijke voorwaarde voor extremum

Stelling 2. (over de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum).

Als de functie y = f(x) een extremum heeft op het punt x0, dan is de afgeleide f′ (x0) op dit punt nul of bestaat niet.

◄Als de functie op het punt x 0 een extremum heeft en differentieerbaar is, dan is at

in een bepaalde buurt van dit punt is aan de voorwaarden van de stelling van Fermat voldaan, daarom is de afgeleide van de functie op dit punt gelijk aan nul.

Maar de functie y = f (x) kan een extremum hebben en op dit punt niet differentieerbaar zijn. Het is voldoende om een ​​voorbeeld te geven. Een voorbeeld zou zijn

serveerfunctie y =

die op dat punt een minimum heeft

x = 0,

echter niet

is op dit punt differentieerbaar.

Opmerking

Geometrisch

De stelling wordt geïllustreerd in figuur 1. Functie

y = f(x), waarvan de grafiek hierin wordt weergegeven

y = f(x)

figuur, heeft extremen op punten x 1, x 3, x 4,

derivaat

bestaat,

het is gelijk aan nul, in

beroepen

oneindigheid.

punten x 2,

de functie heeft geen extremum,

en op punt x 2 wordt de afgeleide

oneindig, op punt x 5

de afgeleide is gelijk aan

Opmerking 2. Punten waarop aan de noodzakelijke voorwaarde is voldaan

extremum voor een continue functie worden kritisch genoemd

Ze worden bepaald op basis van de vergelijking

f(x)=0

(stationair

punten) of f

(x)= ∞.

Notitie 3. Niet op elk van zijn kritieke punten heeft een functie noodzakelijkerwijs een maximum of minimum.

Voorbeeld 4. Beschouw de functie y = x 3 . Cruciaal voor deze functie

is het punt x = 0, dat volgt uit de vergelijking f ′ (x ) = 3x 2 = 0. Deze functie neemt echter toe voor alle x en heeft geen extremum.

© BSEU-lezing nr. 2			Studie van functies met behulp van afgeleiden Prof. Dymkov M.P.
Stelling 3.			(onder voldoende voorwaarden voor een extremum).
Laat voor			y = f(x) Er is aan de volgende voorwaarden voldaan:
1) y = f(x)			is continu in een omgeving van het punt x0;
		(x)= 0		f(x) = ∞
							verandert zijn teken.
		(x) bij het passeren van het punt x0
Dan heeft de functie y= f(x) op het punt x = x0 een extremum:
minimum als, bij het passeren van het punt x0								de afgeleide verandert van teken
van min naar plus;
maximaal als u door een punt gaat								x0 afgeleide verandert zijn
plus naar minteken.				f (x) verandert niets aan zijn
Als de afgeleide
er is geen teken, geen extremum op punt x = x0.◄
De voorwaarden van de stelling kunnen worden samengevat in de volgende tabel
				Afgeleid teken				Extreem
								Maximaal
Omdat door voorwaarde f (x)< 0 приx < x 0 , то на левом относительно точки
x 0 intervalfunctie					neemt af. Sinds f (x)> 0 wanneer x > x 0,
				y = f(x)
		ten opzichte van het punt				interval		de functie f(x) neemt toe.
Vandaar,			f(x0)	is de kleinste waarde van de functie f (x) in de buurt
	x 0 , wat betekent dat f (x 0 )					er is een lokaal minimum van de functie			f(x).

Als de functie bij het verplaatsen van het linkerinterval naar het rechterinterval blijft afnemen, wordt punt x 0 niet bereikt minimale waarde functies

(geen extremum).

Het bestaan ​​van een maximum wordt op soortgelijke wijze bewezen.

In afb. 2 a-h presenteert mogelijke gevallen van de aanwezigheid of afwezigheid van een extremum van een continue functie, waarvan de afgeleide op het kritieke punt gelijk is aan nul of naar oneindig gaat.

© BSEU-lezing nr. 2			Functies verkennen met behulp van derivaten					prof. Dymkov M.P.
Opmerking.			Als de voorwaarde voor de continuïteit van een functie in
			niet vervuld, dan de kwestie van beschikbaarheid
extremum blijft open.
Voorbeeld 5.
Laat ons nadenken			explosief

X+1,

x ≤ 0,

(Afb. 3). Derivaat

deze functie verandert van teken

f(x)=

x > 0

door het punt x 0 = 0 gaan,

maar de functie op het punt

x0= 0

geen extremum

Voorbeeld 6. Laat een functie gegeven worden

X ≠ 0,

(Afb. 4). Zoals uit de figuur blijkt,

f(x)

f(x)=

x = 0

heeft op dat punt een lokaal maximum

x0= 0

Echter de functie

heeft een discontinuïteit op het punt x 0 = 0.

Opmerking

de functie heeft een extremum op punt x 0, bijvoorbeeld

minimum, en dan niet noodzakelijkerwijs links van het punt

x 0 de functie neemt monotoon af, en

rechts van x 0 neemt monotoon toe.

Voorbeeld 7. Laat een functie gegeven worden

2−cos

X ≠ 0,

f(x)=

x = 0

y = 3x2

y = x

Het kan worden aangetoond dat in

x = 0

continu

Afgeleide van een functie

f(x) = 2x

− zonde

in welke omgeving dan ook

punt x = 0 verandert oneindig vaak van teken. Daarom is de functie f(x) dat niet

monotoon afneemt of toeneemt, hetzij naar links of naar rechts van het punt x = 0.

Schema voor het bestuderen van een functie voor een extremum:

1) zoek de afgeleide f′(x);

2) kritieke punten vinden, d.w.z. zulke waarden x, waarinf ′ (x)= 0 of

f′(x) = ∞;

3) onderzoek het teken van de afgeleide links en rechts van elke kritieke waarde

© BSEU-lezing nr. 2		Functies verkennen met behulp van derivaten			prof. Dymkov M.P.
punten. Als, bij het passeren van het kritieke punt				afgeleide f(x)
het teken van plus naar min, en vervolgens op punt x 0				f(x)	heeft een maximum als
teken f(x)	verandert van min naar plus,		dan op punt x 0		functie f(x)
	Als x door het kritieke punt x gaat, teken dan f					(x) niet

verandert, dan heeft de functie f (x) op het punt x 0 noch een maximum, noch een minimum; 4) vind de waarden van de functie op extreme punten.

Stelling 4. (2e voldoende voorwaarde voor extremum). Laat de functie y = f (x) aan de volgende voorwaarden voldoen:

1. y = f (x) is continu in de buurt van het punt x 0,

2. f ′ (x )= 0 op punt x 0

3. f” (x )≠ 0 op punt x 0 .

Dan, op punt x 0

een extremum is bereikt, en:

als f” (x 0 )> 0, dan op het punt

x = x0

y = f(x)

heeft een minimum

f” (x0)< 0 , то

x = x0

de functie y = f (x) heeft een maximum.

◄ Per definitie van de 2e afgeleidef

f ′ (x) − f ′ (x0 )

) = lim

−x

x → x0

Maar op voorwaarde f

) = lim

(x)= 0.

−x

(x)> 0, dus

x → x0

f′(x)

in bepaalde

buurt

x = x.

X< x

x−x0

x > x0

de breuk is positief,

gezien dat

positief als f(x)< 0 .

f (x) bij het passeren van een punt

x = x0

verandert teken

f(x)>0. Vandaar,

er is dus sprake van een extremum. Het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, wat betekent dat dit een minimum is. Het geval f” (x 0 ) wordt op soortgelijke wijze bewezen< 0 .

Voorbeeld 8. Onderzoek voor een extremum de functie y = x 2 + 2x + 3. Vind de afgeleide y ′= 2x + 2 .

1) We vinden de kritische punten, waarvoor we de afgeleide gelijkstellen aan nul: y ′= 2x + 2= 0, → x 0 = - 1.

2) We bestuderen het teken van de afgeleide links en rechts van dit punt (figuur 6).

Omdat het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, wordt een minimum bereikt op het punt x = − 1.

3) Zoek de minimumwaarde: ymin (− 1)= 2.

.

3) We onderzoeken het teken y" links en rechts van het punt x = 0. Het is duidelijk dat f ′ (x)< 0 ,

minimaal van deze functie.

4) ymin (0)= 1.

Voorbeeld 10.

Bestudeer de functie y = e -x 2 voor een extremum.

1) We vinden de eerste afgeleide: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Door de afgeleide gelijk te stellen aan nul, vinden we het enige kritische punt x = 0.

3) Vervolgens vinden we de tweede afgeleide: y "= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Zijn betekenis

op het punt x = 0 is het gelijk aan -2.

4) We concluderen dat er een maximum is van de functie en berekenen: y maximaal (0)= 1.

De grootste en kleinste waarde van een functie lopen door op een interval

Als de functie f (x) gedefinieerd is en continu is op het interval [a;b], dan

volgens de tweede stelling van Weierstrass bereikt het zijn maximale en minimale waarden op dit segment.

Als de functie f(x) zijn grootste waarde aanneemt als intern punt x 0 van het segment [a;b], dan zal M = f (x 0) een lokaal maximum zijn van de functie f (x), aangezien er in dit geval een buurt van het punt x 0 is zodat de waarden ​​van f (x) voor alle punten uit deze buurt niet

groter dan f (x 0 ) .

De grootste waarde is echter de M-functie f (x) kan ook aan de uiteinden van het segment worden genomen[a;b]. Om daarom de grootste waarde M van een continue functie f (x) op het segment [a;b] te vinden, moeten we alle maxima van de functie in het interval (a;b) en de waarden vinden van f (x) aan de uiteinden van het segment [a;b] en kies

onder hen grootste aantal. In plaats van ons te beperken tot het vinden van de waarden van de kleinste waarde m van een continu

Onderzoek naar de maximaal mogelijke functies op kritische punten. op het segment [a;b] van de functie f (x) zal er zijn

het kleinste getal van alle minima van de functie f (x) in het interval (a;b) en waarden van f (a) en f (b).

								f′(x) -
Onderzoek het uiterste van de functie y = 3
1) Vind de afgeleide y ′=

Toenemende, afnemende en extremen van een functie

Het vinden van de intervallen van toename, afname en extrema van een functie is zowel een onafhankelijke taak als een essentieel onderdeel van andere taken, in het bijzonder: volledige functiestudie. De eerste informatie over de toename, afname en extrema van de functie wordt gegeven in theoretisch hoofdstuk over afgeleide, wat ik ten zeerste aanbeveel voor voorstudie (of herhaling)– ook om de reden dat het volgende materiaal gebaseerd is op de zeer in wezen afgeleid, is een harmonieuze voortzetting van dit artikel. Hoewel, als de tijd kort is, een puur formele praktijk van de voorbeelden uit de les van vandaag ook mogelijk is.

En vandaag hangt er een geest van zeldzame unanimiteit in de lucht, en ik voel direct dat alle aanwezigen branden van verlangen Leer een functie verkennen met behulp van de afgeleide ervan. Daarom verschijnt er onmiddellijk redelijke, goede, eeuwige terminologie op uw beeldschermen.

Waarvoor? Eén van de redenen is de meest praktische: zodat duidelijk is wat er doorgaans van u wordt verlangd bij een bepaalde taak!

Monotoniciteit van de functie. Extreme punten en extrema van een functie

Laten we eens een functie bekijken. Simpel gezegd: we gaan ervan uit dat zij continu op de gehele getallenlijn:

Laten we, voor het geval dat, onmiddellijk mogelijke illusies wegnemen, vooral voor die lezers die er onlangs kennis mee hebben gemaakt intervallen met een constant teken van de functie. Nu we NIET GEÏNTERESSEERD, hoe de grafiek van de functie zich bevindt ten opzichte van de as (boven, onder, waar de as elkaar snijdt). Om overtuigend te zijn, wis je mentaal de assen en laat je één grafiek achter. Want daar ligt de interesse.

Functie neemt toe op een interval als voor twee punten van dit interval verbonden door de relatie , de ongelijkheid waar is. Dat wil zeggen dat een grotere waarde van het argument overeenkomt met een grotere waarde van de functie, en de grafiek ervan gaat “van onder naar boven”. De demonstratiefunctie groeit over het interval.

Zo ook de functie neemt af op een interval als voor twee punten van een bepaald interval zodanig dat de ongelijkheid waar is. Dat wil zeggen dat een grotere waarde van het argument overeenkomt met een kleinere waarde van de functie, en de grafiek ervan gaat ‘van boven naar beneden’. Onze functie neemt met tussenpozen af .

Als een functie gedurende een interval toeneemt of afneemt, wordt deze aangeroepen strikt eentonig bij dit interval. Wat is monotonie? Neem het letterlijk: eentonigheid.

Je kunt ook definiëren niet-afnemend functie (ontspannen toestand in de eerste definitie) en niet-verhogend functie (verzachte toestand in de 2e definitie). Een niet-afnemende of niet-stijgende functie op een interval wordt een monotone functie op een bepaald interval genoemd (strikte monotonie - speciaal geval“gewoon” eentonigheid).

De theorie houdt ook rekening met andere benaderingen voor het bepalen van de toename/afname van een functie, inclusief op halve intervallen, segmenten, maar om geen olie-olie-olie over je hoofd te gieten, zullen we afspreken om te werken met open intervallen met categorische definities - dit is duidelijker en voldoende voor het oplossen van veel praktische problemen.

Dus, in mijn artikelen zal de bewoording ‘monotoniciteit van een functie’ vrijwel altijd verborgen blijven intervallen strikte monotonie(strikt stijgende of strikt dalende functie).

Buurt van een punt. Woorden waarna studenten wegrennen waar ze maar kunnen en zich vol afgrijzen in de hoeken verstoppen. ...Hoewel na de post Cauchy-limieten Ze verstoppen zich waarschijnlijk niet meer, maar huiveren slechts een beetje =) Maak je geen zorgen, er zullen nu geen bewijzen van stellingen zijn wiskundige analyse– Ik had de omgeving nodig om definities strikter te formuleren extreme punten. Laat ons herdenken:

Buurt van een punt heet het interval dat bevat dit punt, terwijl gemakshalve vaak wordt aangenomen dat het interval symmetrisch is. Een punt en zijn standaardomgeving bijvoorbeeld:

Eigenlijk zijn de definities:

Het punt wordt genoemd strikt maximumpunt, Als bestaat haar buurt, voor iedereen waarden waarvan, behalve het punt zelf, de ongelijkheid. In onze specifiek voorbeeld dit is het punt.

Het punt wordt genoemd strikt minimumpunt, Als bestaat haar buurt, voor iedereen waarden waarvan, behalve het punt zelf, de ongelijkheid. In de tekening staat punt “a”.

Opmerking : de eis van buurtsymmetrie is helemaal niet nodig. Bovendien is het belangrijk het feit zelf van het bestaan buurt (klein of microscopisch klein) die aan de gespecificeerde voorwaarden voldoet

De punten worden genoemd strikt extreme punten of gewoon extreme punten functies. Dat wil zeggen, het is een algemene term voor maximale punten en minimumpunten.

Hoe moeten we het woord ‘extreem’ begrijpen? Ja, net zo direct als monotonie. Extreme punten van achtbanen.

Net als in het geval van monotoniciteit bestaan ​​er losse postulaten, die in theorie zelfs nog vaker voorkomen (waar de beschouwde strikte gevallen uiteraard onder vallen!):

Het punt wordt genoemd maximale punt, Als bestaat de omgeving is zodanig dat voor iedereen
Het punt wordt genoemd minimum punt, Als bestaat de omgeving is zodanig dat voor iedereen waarden van deze buurt, de ongelijkheid blijft bestaan.

Merk op dat volgens de laatste twee definities elk punt van een constante functie (of een “vlakke sectie” van een functie) zowel als een maximum- als een minimumpunt wordt beschouwd! De functie is overigens zowel niet-toenemend als niet-afnemend, dat wil zeggen monotoon. We zullen deze overwegingen echter aan theoretici overlaten, aangezien we in de praktijk bijna altijd traditionele ‘heuvels’ en ‘holen’ (zie tekening) beschouwen met een unieke ‘koning van de heuvel’ of ‘prinses van het moeras’. Als variëteit komt het voor tip, naar boven of naar beneden gericht, bijvoorbeeld het minimum van de functie op het punt.

Oh, en over royalty gesproken:
– de betekenis wordt genoemd maximaal functies;
– de betekenis wordt genoemd minimum functies.

Gemeenschappelijke naam - uitersten functies.

Wees alsjeblieft voorzichtig met je woorden!

Extreem punten– dit zijn “X”-waarden.
Uitersten– “spel”-betekenissen.

! Opmerking : soms verwijzen de genoemde termen naar de “X-Y”-punten die direct op de GRAFIEK VAN de functie ZELF liggen.

Hoeveel extrema kan een functie hebben?

Geen, 1, 2, 3, ... enz. tot het oneindige. Sinus heeft bijvoorbeeld oneindig veel minima en maxima.

BELANGRIJK! De term "maximale functie" niet hetzelfde de term “maximale waarde van een functie”. Het is gemakkelijk op te merken dat de waarde alleen maximaal is in een lokale buurt, en linksboven staan ​​​​'coolere kameraden'. Op dezelfde manier is ‘minimum van een functie’ niet hetzelfde als ‘minimumwaarde van een functie’, en in de tekening zien we dat de waarde alleen in een bepaald gebied minimaal is. In dit opzicht worden ook extreme punten genoemd lokale extremumpunten, en de extremen – lokale uitersten. Ze lopen en dwalen in de buurt en globaal broeders. Elke parabool heeft dus een hoekpunt mondiaal minimum of mondiaal maximum. Verder zal ik geen onderscheid maken tussen soorten uitersten, en de verklaring is meer bedoeld voor algemene educatieve doeleinden - de aanvullende bijvoeglijke naamwoorden “lokaal”/“mondiaal” zouden u niet moeten verrassen.

Laten we onze korte excursie in de theorie samenvatten met een testopname: wat betekent de taak 'de monotoniciteitsintervallen en uiterste punten van de functie vinden'?

De formulering moedigt u aan om het volgende te vinden:

– intervallen van toenemende/afnemende functie (niet-afnemend, niet-toenemend komt veel minder vaak voor);

– maximale en/of minimale punten (indien aanwezig). Om mislukkingen te voorkomen, is het beter om de minima/maxima zelf te vinden ;-)

Hoe dit allemaal te bepalen? Gebruik de afgeleide functie!

Hoe u intervallen kunt vinden van toenemende, afnemende,
extremumpunten en extrema van de functie?

Veel regels zijn in feite al bekend en begrepen les over de betekenis van een afgeleide.

Raaklijn afgeleide brengt het vrolijke nieuws dat de functionaliteit overal toeneemt domein van definitie.

Met cotangens en zijn afgeleide de situatie is precies het tegenovergestelde.

De boogsinus neemt toe over het interval - de afgeleide is hier positief: .
Wanneer de functie gedefinieerd is, maar niet differentieerbaar. Op het kritieke punt is er echter een rechtshandige afgeleide en een rechtshandige raaklijn, en aan de andere rand zijn er hun linkshandige tegenhangers.

Ik denk dat het niet zo moeilijk voor je zal zijn om een ​​soortgelijke redenering uit te voeren voor de boogcosinus en zijn afgeleide.

Alle bovengenoemde gevallen, waarvan er vele dat ook zijn afgeleiden in tabelvorm, ik herinner u eraan, volg rechtstreeks uit afgeleide definities.

Waarom een ​​functie onderzoeken met behulp van zijn afgeleide?

Om beter te begrijpen hoe de grafiek van deze functie eruit ziet: waar het “bottom-up” gaat, waar “top-down” gaat, waar het minima en maxima bereikt (als het überhaupt bereikt). Niet alle functies zijn zo eenvoudig - in de meeste gevallen hebben we helemaal geen idee van de grafiek van een bepaalde functie.

Het is tijd om verder te gaan met meer betekenisvolle voorbeelden en erover na te denken algoritme voor het vinden van intervallen van monotoniciteit en extrema van een functie:

voorbeeld 1

Vind intervallen van toename/afname en extrema van de functie

Oplossing:

1) De eerste stap is vinden domein van een functie, en let ook op de breekpunten (als deze bestaan). In dit geval is de functie continu over de gehele getallenlijn, en deze actie is tot op zekere hoogte formeel. Maar in een aantal gevallen laaien hier serieuze hartstochten op, dus laten we de paragraaf zonder minachting behandelen.

2) Het tweede punt van het algoritme is te wijten aan

een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum:

Als er op een bepaald punt een extremum is, bestaat de waarde ofwel niet.

Verward door het einde? Extremum van de functie "modulus x". .

De voorwaarde is noodzakelijk, maar niet genoeg, en het omgekeerde is niet altijd waar. Uit de gelijkheid volgt dus nog niet dat de functie een maximum of minimum bereikt op punt . Een klassiek voorbeeld is hierboven al benadrukt: dit is een kubieke parabool en zijn kritieke punt.

Maar hoe het ook zij, de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum dicteert de noodzaak om verdachte punten te vinden. Om dit te doen, zoekt u de afgeleide en lost u de vergelijking op:

Aan het begin van het eerste artikel over functiegrafieken Ik heb je verteld hoe je snel een parabool kunt bouwen aan de hand van een voorbeeld : “...we nemen de eerste afgeleide en stellen deze gelijk aan nul: ...Dus de oplossing van onze vergelijking: - het is op dit punt dat de top van de parabool zich bevindt...”. Nu denk ik dat iedereen begrijpt waarom de top van de parabool zich precies op dit punt bevindt =) Over het algemeen zouden we hier met een soortgelijk voorbeeld moeten beginnen, maar het is te simpel (zelfs voor een theepot). Bovendien is er helemaal aan het einde van de les een analogie over afgeleide van een functie. Laten we daarom de graad verhogen:

Voorbeeld 2

Vind intervallen van monotoniciteit en extrema van de functie

Dit is een voorbeeld voor onafhankelijke beslissing. Volledige oplossing en een geschat eindvoorbeeld van de taak aan het einde van de les.

Het langverwachte moment van ontmoeting met fractioneel-rationele functies is aangebroken:

Voorbeeld 3

Verken een functie met behulp van de eerste afgeleide

Let op hoe variabel een en dezelfde taak kan worden geherformuleerd.

Oplossing:

1) De functie lijdt aan oneindige discontinuïteiten op punten.

2) Wij detecteren kritische punten. Laten we de eerste afgeleide vinden en deze gelijkstellen aan nul:

Laten we de vergelijking oplossen. Een breuk is nul als de teller nul is:

We krijgen dus drie kritische punten:

3) We plotten ALLE gedetecteerde punten op de getallenlijn en interval methode we definiëren de tekens van de AFGELEIDE:

Ik herinner u eraan dat u een bepaald punt in het interval moet nemen en de waarde van de afgeleide ervan moet berekenen en bepaal het teken ervan. Het is winstgevender om niet eens te tellen, maar om mondeling te ‘schatten’. Laten we bijvoorbeeld een punt nemen dat bij het interval hoort en de vervanging uitvoeren: .

Twee ‘plusjes’ en één ‘minnetje’ geven dus een ‘minnetje’, wat betekent dat de afgeleide over het gehele interval negatief is.

De actie moet, zoals u begrijpt, voor elk van de zes intervallen worden uitgevoerd. Merk overigens op dat de teller en de noemer strikt positief zijn voor elk punt in elk interval, wat de taak aanzienlijk vereenvoudigt.

De afgeleide vertelde ons dus dat de FUNCTIE ZELF toeneemt met en daalt met . Het is handig om intervallen van hetzelfde type te verbinden met het join-pictogram.

Op het punt waarop de functie zijn maximum bereikt:
Op het punt bereikt de functie een minimum:

Bedenk waarom je de tweede waarde niet opnieuw hoeft te berekenen ;-)

Bij het passeren van een punt verandert de afgeleide niet van teken, dus de functie heeft daar GEEN EXTREMUM - hij nam af en bleef afnemend.

! Laten we een belangrijk punt herhalen: punten worden niet als kritisch beschouwd - ze bevatten een functie niet bepaald. Dienovereenkomstig, hier Er kunnen in principe geen extremen bestaan(zelfs als de afgeleide van teken verandert).

Antwoord: functie neemt toe met en neemt af met Op het punt waarop het maximum van de functie is bereikt: , en op het punt – het minimum: .

Kennis van monotoniciteitsintervallen en extrema, gekoppeld aan gevestigde asymptoten geeft al veel goede show O verschijning grafische afbeeldingen. Een persoon met een gemiddelde opleiding kan mondeling vaststellen dat de grafiek van een functie twee verticale asymptoten en een schuine asymptoot heeft. Hier is onze held:

Probeer nogmaals de resultaten van het onderzoek te correleren met de grafiek van deze functie.
Er is geen extremum op het kritieke punt, maar dat is er wel grafiek verbuiging(wat in de regel in soortgelijke gevallen gebeurt).

Voorbeeld 4

Zoek de extrema van de functie

Voorbeeld 5

Vind monotoniciteitsintervallen, maxima en minima van de functie

…het is vandaag bijna een soort “X in a cube”-vakantie....
Zoooo, wie in de galerie bood aan hiervoor te drinken? =)

Elke taak heeft zijn eigen inhoudelijke nuances en technische subtiliteiten, die aan het einde van de les worden becommentarieerd.

Een belangrijk concept in de wiskunde is functie. Met zijn hulp kun je je veel processen in de natuur visueel voorstellen en de relatie tussen bepaalde grootheden weergeven met behulp van formules, tabellen en afbeeldingen in een grafiek. Een voorbeeld is de afhankelijkheid van de druk van een vloeistoflaag op een lichaam van de onderdompelingsdiepte, versnelling - van de werking van een bepaalde kracht op een object, een temperatuurstijging - van de overgedragen energie en vele andere processen. Het bestuderen van een functie omvat het construeren van een grafiek, het ontdekken van de eigenschappen ervan, het domein van definitie en waarden, intervallen van toename en afname. Een belangrijk punt in dit proces is het vinden van extreme punten. We zullen verder praten over hoe u dit correct kunt doen.

Over het concept zelf aan de hand van een specifiek voorbeeld

In de geneeskunde kan het uitzetten van een functiegrafiek ons ​​vertellen over de voortgang van een ziekte in het lichaam van een patiënt, waarbij zijn toestand duidelijk wordt weerspiegeld. Laten we aannemen dat de OX-as de tijd in dagen vertegenwoordigt, en de OU-as de menselijke lichaamstemperatuur. De figuur laat duidelijk zien hoe deze indicator sterk stijgt en vervolgens daalt. Het is ook gemakkelijk om speciale punten op te merken die de momenten weerspiegelen waarop een functie, die voorheen stijgend was, begint af te nemen, en omgekeerd. Dit zijn extreme punten, dat wil zeggen kritische waarden (maximum en minimum) in dit geval van de temperatuur van de patiënt, waarna veranderingen in zijn toestand optreden.

Hellingsgraad

Hoe de afgeleide van de functie verandert, kun je eenvoudig uit de figuur afleiden. Als de rechte lijnen van de grafiek in de loop van de tijd omhoog gaan, is deze positief. En hoe steiler ze zijn, hoe groter de waarde van de afgeleide, naarmate de hellingshoek groter wordt. Tijdens perioden van afnemende waarde neemt deze waarde toe negatieve waarden, draaiend naar nul op uiterste punten, en de grafiek van de afgeleide wordt in het laatste geval evenwijdig aan de OX-as getekend.

Elk ander proces moet op dezelfde manier worden behandeld. Maar de beste manier om dit concept te beschrijven is door te bewegen verschillende lichamen, duidelijk weergegeven in de grafieken.

Beweging

Stel dat een object in een rechte lijn beweegt en gelijkmatig snelheid opneemt. Gedurende deze periode wordt de verandering in de coördinaten van het lichaam grafisch weergegeven door een bepaalde curve, die een wiskundige een tak van een parabool zou noemen. Tegelijkertijd neemt de functie voortdurend toe, omdat de coördinatenindicatoren elke seconde sneller en sneller veranderen. De snelheidsgrafiek toont het gedrag van de afgeleide, waarvan de waarde ook toeneemt. Dit betekent dat het uurwerk geen kritische punten kent.

Dit zou voor onbepaalde tijd doorgaan. Maar wat als het lichaam plotseling besluit te vertragen, te stoppen en in een andere richting te gaan bewegen? In dit geval zullen de coördinaatindicatoren beginnen af ​​te nemen. En de functie zal een kritische waarde passeren en van stijgend naar dalend gaan.

Met behulp van dit voorbeeld kun je opnieuw begrijpen dat extreme punten in de grafiek van een functie verschijnen op de momenten dat deze niet langer monotoon is.

Fysieke betekenis van de afgeleide

Wat eerder werd beschreven, liet duidelijk zien dat de afgeleide in wezen de snelheid van verandering van de functie is. Deze verduidelijking bevat de fysieke betekenis ervan. Extreempunten zijn kritieke gebieden in de grafiek. Ze kunnen worden geïdentificeerd en gedetecteerd door de waarde van de afgeleide te berekenen, die gelijk aan nul blijkt te zijn.

Er is nog een teken dat voldoende voorwaarde is voor een extremum. De afgeleide op dergelijke buigpunten verandert van teken: van “+” naar “-” in het maximale gebied en van “-” naar “+” in het minimale gebied.

Beweging onder invloed van de zwaartekracht

Laten we ons een andere situatie voorstellen. De kinderen speelden met een bal en gooiden hem zo dat hij onder een hoek ten opzichte van de horizon begon te bewegen. Op het eerste moment was de snelheid van dit object het hoogst, maar onder invloed van de zwaartekracht begon deze af te nemen, en met elke seconde met dezelfde hoeveelheid, gelijk aan ongeveer 9,8 m/s 2 . Dit is de waarde van de versnelling die optreedt onder invloed van de zwaartekracht van de aarde tijdens een vrije val. Op de maan zou het ongeveer zes keer kleiner zijn.

De grafiek die de beweging van een lichaam beschrijft, is een parabool met naar beneden gerichte takken. Hoe extreme punten vinden? In dit geval is dit de bovenkant van de functie, waarbij de snelheid van het lichaam (bal) een nulwaarde heeft. De afgeleide van de functie wordt nul. In dit geval verandert de richting, en dus de snelheidswaarde, naar het tegenovergestelde. Het lichaam vliegt elke seconde sneller naar beneden en versnelt met dezelfde snelheid: 9,8 m/s 2 .

Tweede afgeleide

In het vorige geval wordt de snelheidsmodulusgrafiek getekend als een rechte lijn. Deze lijn is aanvankelijk naar beneden gericht, omdat de waarde van deze waarde voortdurend afneemt. Nadat ze op een bepaald moment nul hebben bereikt, beginnen de indicatoren van deze waarde te stijgen en verandert de richting van de grafische weergave van de snelheidsmodule dramatisch. De lijn wijst nu naar boven.

Snelheid, die een afgeleide is van de coördinaat met betrekking tot de tijd, heeft ook een kritisch punt. In dit gebied begint de functie, die aanvankelijk afneemt, te stijgen. Dit is de locatie van het uiterste punt van de afgeleide van de functie. In dit geval wordt de hellingshoek van de raaklijn nul. En versnelling, zijnde de tweede afgeleide van de coördinaat met betrekking tot de tijd, verandert van teken van “-” naar “+”. En de beweging van uniform langzaam wordt uniform versneld.

Acceleratie grafiek

Laten we nu naar vier afbeeldingen kijken. Elk van hen geeft een grafiek weer van de veranderingen in de loop van de tijd fysieke hoeveelheid, zoals versnelling. In het geval van “A” blijft de waarde positief en constant. Dit betekent dat de snelheid van het lichaam, net als zijn coördinaat, voortdurend toeneemt. Als we ons voorstellen dat het object oneindig lang op deze manier zal bewegen, zal de functie die de afhankelijkheid van de coördinaat van de tijd weerspiegelt, voortdurend toenemen. Hieruit volgt dat het geen kritieke gebieden heeft. Er zijn ook geen extreme punten op de grafiek van de afgeleide, dat wil zeggen lineair variërende snelheid.

Hetzelfde geldt voor geval “B” met positieve en voortdurend toenemende acceleratie. Het is waar dat de grafieken voor coördinaten en snelheid hier iets ingewikkelder zullen zijn.

Wanneer de versnelling naar nul gaat

Als je naar figuur “B” kijkt, kun je een heel ander beeld waarnemen dat de beweging van het lichaam karakteriseert. De snelheid wordt grafisch weergegeven door een parabool met naar beneden gerichte takken. Als we de lijn die de verandering in versnelling beschrijft voortzetten tot deze de OX-as en verder kruist, kunnen we ons voorstellen dat tot aan deze kritische waarde, waar de versnelling nul blijkt te zijn, de snelheid van het object steeds langzamer zal toenemen. . Het uiterste punt van de afgeleide van de coördinatenfunctie zal precies op de top van de parabool liggen, waarna het lichaam de aard van zijn beweging radicaal zal veranderen en in een andere richting zal gaan bewegen.

In het laatste geval, “G”, kan de aard van de beweging niet nauwkeurig worden bepaald. Hier weten we alleen dat er gedurende een bepaalde periode geen sprake is van versnelling. Dit betekent dat het object op zijn plaats kan blijven of met een constante snelheid kan bewegen.

Coördineren optelprobleem

Laten we verder gaan met taken die je vaak tegenkomt bij het studeren van algebra op school en die worden aangeboden ter voorbereiding op het Unified State Exam. De onderstaande figuur toont de grafiek van de functie. Het is vereist om de som van de extreme punten te berekenen.

Laten we dit doen voor de ordinaatas door de coördinaten te bepalen van de kritieke gebieden waar een verandering in de kenmerken van de functie wordt waargenomen. Simpel gezegd zullen we de waarden langs de OX-as voor de buigpunten vinden en vervolgens doorgaan met het toevoegen van de resulterende termen. Volgens de grafiek is het duidelijk dat ze de volgende waarden aannemen: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Dit komt neer op -21, wat het antwoord is.

Optimale oplossing

Het is niet nodig om uit te leggen hoe belangrijk de keuze van de optimale oplossing kan zijn bij het uitvoeren van praktische taken. Er zijn tenslotte veel manieren om een ​​doel te bereiken, maar de beste uitweg is in de regel slechts één. Dit is bijvoorbeeld uiterst noodzakelijk bij het ontwerpen van schepen, ruimteschepen en vliegtuigen, architecturale structuren om de optimale vorm van deze door de mens gemaakte objecten te vinden.

De snelheid van voertuigen hangt grotendeels af van de juiste minimalisering van de weerstand die ze ervaren bij het bewegen door water en lucht, van de overbelastingen die ontstaan ​​onder invloed van zwaartekrachten en vele andere indicatoren. Een schip op zee vereist eigenschappen als stabiliteit tijdens een storm, voor een rivierschip is een minimale diepgang belangrijk. Bij het berekenen optimaal ontwerp extreme punten in de grafiek kunnen hier duidelijk een idee van geven de beste oplossing complex probleem. Dit soort problemen worden vaak opgelost in de economie, op zakelijk gebied en in veel andere levenssituaties.

Uit de oude geschiedenis

Zelfs de oude wijzen hielden zich bezig met extreme problemen. Griekse wetenschappers hebben met succes het mysterie van gebieden en volumes ontrafeld door middel van wiskundige berekeningen. Zij waren de eersten die begrepen dat op een vlak van verschillende figuren met dezelfde omtrek, de cirkel altijd de grootste oppervlakte heeft. Op dezelfde manier heeft de bal het maximale volume onder andere objecten in de ruimte met hetzelfde oppervlak. De volgende mensen hebben zich toegelegd op het oplossen van dergelijke problemen: bekende persoonlijkheden, zoals Archimedes, Euclides, Aristoteles, Apollonius. Heron was uitstekend in het vinden van extreme punten en bouwde met behulp van berekeningen ingenieuze apparaten. Deze omvatten machines die door stoom voortbewogen, pompen en turbines die volgens hetzelfde principe werkten.

Bouw van Carthago

Er is een legende waarvan de plot gebaseerd is op het oplossen van een van de extreme problemen. Het resultaat van de zakelijke aanpak van de Fenicische prinses, die zich tot de wijzen wendde voor hulp, was de bouw van Carthago. Stuk land voor deze oude en beroemde stad werd Dido (dat was de naam van de heerser) gegeven door de leider van een van de Afrikaanse stammen. Het gebied van het perceel leek hem in eerste instantie niet erg groot, omdat het volgens het contract bedekt moest zijn met ossenhuid. Maar de prinses beval haar soldaten om het in dunne reepjes te snijden en er een riem van te maken. Het bleek zo lang te zijn dat het een gebied besloeg waar een hele stad in zou passen.

Oorsprong van wiskundige analyse

Laten we nu van de oudheid naar een later tijdperk gaan. Het is interessant dat Kepler in de 17e eeuw door een ontmoeting met een wijnverkoper ertoe werd aangezet de grondslagen van wiskundige analyse te begrijpen. De koopman was zo deskundig in zijn vak dat hij gemakkelijk de hoeveelheid drank in het vat kon bepalen door er simpelweg een ijzeren touw in te laten zakken. Nadenkend over zo'n nieuwsgierigheid slaagde de beroemde wetenschapper erin dit dilemma voor zichzelf op te lossen. Het blijkt dat bekwame kuipers uit die tijd de techniek onder de knie hadden om schepen zo te maken dat ze op een bepaalde hoogte en straal van de omtrek van de bevestigingsringen een maximale capaciteit hadden.

Dit werd voor Kepler een reden om verder na te denken. De kuipers kwamen bij optimale oplossing door lang zoeken, fouten en nieuwe pogingen, waarbij je ervaring van generatie op generatie wordt doorgegeven. Maar Kepler wilde het proces versnellen en in korte tijd leren hoe hij hetzelfde kon doen door middel van wiskundige berekeningen. Al zijn ontwikkelingen, opgepikt door zijn collega's, mondden uit in de inmiddels beroemde stellingen van Fermat en Newton-Leibniz.

Maximaal gebiedsprobleem

Laten we ons voorstellen dat we een draad hebben met een lengte van 50 cm, hoe kunnen we er een rechthoek van maken met de grootste oppervlakte?

Wanneer u een beslissing neemt, moet u uitgaan van eenvoudige waarheden die iedereen kent. Het is duidelijk dat de omtrek van onze figuur 50 cm zal zijn en bestaat uit de dubbele lengte van beide zijden. Dit betekent dat, nadat u één ervan als “X” heeft aangeduid, de andere kan worden uitgedrukt als (25 - X).

Vanaf hier krijgen we een oppervlakte gelijk aan X(25 - X). Deze uitdrukking kan worden gezien als een functie die meerdere waarden aanneemt. Om het probleem op te lossen, moet je het maximale ervan vinden, wat betekent dat je de uiterste punten moet achterhalen.

Om dit te doen, vinden we de eerste afgeleide en stellen deze gelijk aan nul. Het resultaat is een eenvoudige vergelijking: 25 - 2X = 0.

Hieruit leren we dat een van de zijden X = 12,5 is.

Daarom de andere: 25 - 12,5 = 12,5.

Het blijkt dat de oplossing voor het probleem een ​​vierkant zal zijn met een zijde van 12,5 cm.

Hoe de maximale snelheid te vinden

Laten we naar een ander voorbeeld kijken. Laten we ons voorstellen dat er een lichaam is, rechtlijnige beweging die wordt beschreven door de vergelijking S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, waarbij de afgelegde afstand wordt uitgedrukt in meters en de tijd in seconden. We moeten de maximale snelheid vinden. Hoe je dat doet? Gedownload vinden we de snelheid, dat wil zeggen de eerste afgeleide.

We krijgen de vergelijking: V = - 3t 2 + 18t - 24. Om het probleem op te lossen moeten we nu opnieuw de uiterste punten vinden. Dit moet op dezelfde manier gebeuren als in de vorige taak. We vinden de eerste afgeleide van de snelheid en stellen deze gelijk aan nul.

We krijgen: - 6t + 18 = 0. Dus t = 3 s. Dit is het moment waarop de snelheid van het lichaam een ​​kritische waarde krijgt. We vervangen de resulterende gegevens in de snelheidsvergelijking en krijgen: V = 3 m/s.

Maar hoe kunnen we begrijpen dat dit de maximale snelheid is, aangezien de kritieke punten van een functie de grootste of kleinste waarden kunnen zijn? Om dit te controleren, moet je de tweede afgeleide van de snelheid vinden. Het wordt uitgedrukt door het getal 6 met een minteken. Dit betekent dat het gevonden punt een maximum is. En in het geval van een positieve waarde zou de tweede afgeleide een minimum hebben. Dit betekent dat de gevonden oplossing de juiste bleek te zijn.

De problemen die als voorbeeld worden gegeven, zijn slechts een deel van de problemen die kunnen worden opgelost als u de uiterste punten van een functie weet te vinden. Sterker nog, er zijn er nog veel meer. En dergelijke kennis opent onbeperkte mogelijkheden voor de menselijke beschaving.

Het uiterste punt van een functie is het punt in het definitiedomein van de functie waarop de waarde van de functie een minimum- of maximumwaarde aanneemt. De waarden van de functie op deze punten worden extrema (minimum en maximum) van de functie genoemd.

Definitie. Punt X1 functie domein F(X) wordt genoemd maximumpunt van de functie , als de waarde van de functie op dit punt meer waarden functioneren op punten die er voldoende dicht bij liggen, rechts en links ervan (dat wil zeggen de ongelijkheid). F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maximaal.

Definitie. Punt X2 functie domein F(X) wordt genoemd minimumpunt van de functie, als de waarde van de functie op dit punt kleiner is dan de waarden van de functie op punten die er voldoende dichtbij zijn, rechts en links ervan gelegen (dat wil zeggen, de ongelijkheid geldt F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In dit geval zeggen we dat de functie op het punt heeft X2 minimum.

Laten we zeggen punt X1 - maximumpunt van de functie F(X). Vervolgens in het interval tot X1 functie neemt toe, daarom is de afgeleide van de functie groter dan nul ( F "(X) > 0 ), en in het interval erna X1 de functie neemt af, dus afgeleide van een functie minder dan nul (F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Laten we ook aannemen dat dit het punt is X2 - minimumpunt van de functie F(X). Vervolgens in het interval tot X2 de functie neemt af en de afgeleide van de functie is kleiner dan nul ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 de functie neemt toe en de afgeleide van de functie is groter dan nul ( F "(X) > 0). In dit geval ook op het punt X2 de afgeleide van de functie is nul of bestaat niet.

Stelling van Fermat (een noodzakelijk teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Als het punt X0 - uiterste punt van de functie F(X) dan is op dit punt de afgeleide van de functie gelijk aan nul ( F "(X) = 0 ) of bestaat niet.

Definitie. De punten waarop de afgeleide van een functie nul is of niet bestaat, worden aangeroepen kritieke punten .

Voorbeeld 1. Laten we de functie eens bekijken.

Bij het punt X= 0 de afgeleide van de functie is nul, dus het punt X= 0 is het kritieke punt. Zoals echter te zien is in de grafiek van de functie, neemt deze toe over het hele definitiedomein, dus het punt X= 0 is niet het uiterste punt van deze functie.

De voorwaarden dat de afgeleide van een functie op een punt gelijk is aan nul of niet bestaat, zijn dus noodzakelijke voorwaarden voor een extremum, maar niet voldoende, aangezien er andere voorbeelden kunnen worden gegeven van functies waarvoor aan deze voorwaarden is voldaan, maar de functie heeft geen extremum op het overeenkomstige punt. Daarom er moet voldoende bewijs zijn, waardoor iemand kan beoordelen of er op een bepaald kritiek punt een extremum is en wat voor soort extremum het is: maximaal of minimaal.

Stelling (het eerste voldoende teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Kritisch punt X0 F(X) als bij het passeren van dit punt de afgeleide van de functie van teken verandert, en als het teken verandert van "plus" naar "min", dan is het een maximumpunt, en als van "min" naar "plus", dan het is een minimumpunt.

Als het dichtbij het punt is X0 , links en rechts ervan behoudt de afgeleide zijn teken, dit betekent dat de functie alleen afneemt of alleen toeneemt in een bepaalde buurt van het punt X0 . In dit geval op het punt X0 er is geen extreem.

Dus, om de uiterste punten van de functie te bepalen, moet u het volgende doen :

1. Zoek de afgeleide van de functie.
2. Stel de afgeleide gelijk aan nul en bepaal de kritische punten.
3. Markeer mentaal of op papier de kritieke punten op de getallenlijn en bepaal de tekens van de afgeleide van de functie in de resulterende intervallen. Als het teken van de afgeleide verandert van “plus” naar “min”, dan is het kritische punt het maximumpunt, en als het van “min” naar “plus” gaat, dan het minimumpunt.
4. Bereken de waarde van de functie op de uiterste punten.

Voorbeeld 2. Zoek de extrema van de functie .

Oplossing. Laten we de afgeleide van de functie vinden:

Laten we de afgeleide gelijkstellen aan nul om de kritieke punten te vinden:

.

Omdat voor alle waarden van “x” de noemer niet gelijk is aan nul, stellen we de teller gelijk aan nul:

Ik heb één kritisch punt X= 3 . Laten we het teken van de afgeleide bepalen in de intervallen die door dit punt worden begrensd:

in het bereik van minus oneindig tot 3 - een minteken, dat wil zeggen, de functie neemt af,

in het interval van 3 tot plus oneindig staat een plusteken, dat wil zeggen dat de functie toeneemt.

Dat wil zeggen, periode X= 3 is het minimumpunt.

Laten we de waarde van de functie op het minimumpunt vinden:

Het uiterste punt van de functie wordt dus gevonden: (3; 0), en dit is het minimumpunt.

Stelling (het tweede voldoende teken van het bestaan ​​van een extremum van een functie). Kritisch punt X0 is het uiterste punt van de functie F(X) als de tweede afgeleide van de functie op dit punt niet gelijk is aan nul ( F ""(X) ≠ 0), en als de tweede afgeleide groter is dan nul ( F ""(X) > 0 ), dan het maximumpunt, en als de tweede afgeleide kleiner is dan nul ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Opmerking 1. Indien op het punt X0 Als zowel de eerste als de tweede afgeleide verdwijnen, is het op dit punt onmogelijk om de aanwezigheid van een extremum te beoordelen op basis van het tweede voldoende criterium. In dit geval moet u het eerste voldoende criterium voor het extremum van een functie gebruiken.

Opmerking 2. Het tweede voldoendecriterium voor het extremum van een functie is niet van toepassing, zelfs niet als de eerste afgeleide niet bestaat in een stationair punt (dan bestaat de tweede afgeleide ook niet). In dit geval moet u ook het eerste voldoende teken van een extremum van een functie gebruiken.

Lokale aard van de extrema van de functie

Uit de bovenstaande definities volgt dat het extremum van een functie lokaal van aard is: het is de grootste en kleinste waarde van de functie vergeleken met nabijgelegen waarden.

Stel dat u uw inkomsten over een periode van een jaar bekijkt. Als u in mei 45.000 roebel heeft verdiend, en in april 42.000 roebel en in juni 39.000 roebel, dan zijn de inkomsten in mei het maximum van de inkomstenfunctie vergeleken met nabijgelegen waarden. Maar in oktober verdiende u 71.000 roebel, in september 75.000 roebel en in november 74.000 roebel, dus de inkomsten in oktober zijn het minimum van de inkomstenfunctie vergeleken met nabijgelegen waarden. En je kunt gemakkelijk zien dat het maximum onder de waarden van april-mei-juni kleiner is dan het minimum van september-oktober-november.

Over het algemeen kan een functie op een interval verschillende extremen hebben, en het kan blijken dat een bepaald minimum van de functie groter is dan enig maximum. Dus voor de functie die in de bovenstaande afbeelding wordt weergegeven, geldt .

Dat wil zeggen, je moet niet denken dat het maximum en het minimum van een functie respectievelijk de grootste en kleinste waarden zijn voor het gehele beschouwde segment. Op het maximale punt heeft de functie alleen de grootste waarde in vergelijking met die waarden die hij op alle punten voldoende dicht bij het maximale punt heeft, en op het minimumpunt heeft hij alleen de kleinste waarde in vergelijking met die waarden ​​dat het op alle punten voldoende dicht bij het minimumpunt ligt.

Daarom kunnen we het bovenstaande concept van extreme punten van een functie verduidelijken en minimumpunten lokale minimumpunten noemen, en maximumpunten lokale maximumpunten.

Samen zoeken we naar de extrema van de functie

Voorbeeld 3.

Oplossing: De functie is gedefinieerd en loopt door op de gehele getallenlijn. Zijn afgeleide bestaat ook op de gehele getallenlijn. Daarom zijn in dit geval de kritische punten alleen die waarop, d.w.z. , van waar en . Kritieke punten en verdeel het hele domein van de definitie van de functie in drie intervallen van monotoniciteit: . Laten we in elk daarvan één controlepunt selecteren en op dit punt het teken van de afgeleide vinden.

Voor het interval kan het controlepunt zijn: vinden. Als we een punt in het interval nemen, krijgen we, en een punt in het interval nemen, hebben we. Dus in de intervallen en , en in het interval . Volgens het eerste voldoende criterium voor een extremum is er geen extremum op het punt (aangezien de afgeleide zijn teken in het interval behoudt), en heeft de functie op het punt een minimum (aangezien de afgeleide van teken verandert van min naar plus bij het passeren via dit punt). Laten we de overeenkomstige waarden van de functie vinden: , a . In het interval neemt de functie af, aangezien in dit interval , en in het interval neemt deze toe, aangezien in dit interval .

Om de constructie van de grafiek te verduidelijken, vinden we de snijpunten ervan met de coördinaatassen. Wanneer we een vergelijking verkrijgen waarvan de wortels en zijn, dat wil zeggen, worden twee punten (0; 0) en (4; 0) van de grafiek van de functie gevonden. Met behulp van alle ontvangen informatie bouwen we een grafiek (zie het begin van het voorbeeld).

Voorbeeld 4. Vind de extrema van de functie en bouw de grafiek ervan.

Het domein van de definitie van een functie is de gehele getallenlijn, behalve het punt, d.w.z. .

Om de studie in te korten, kunt u gebruik maken van het feit dat deze functie sindsdien gelijk is . Daarom is de grafiek symmetrisch rond de as Oei en het onderzoek kan alleen voor het interval worden uitgevoerd.

Het vinden van de afgeleide en kritische punten van de functie:

1) ;

2) ,

maar de functie lijdt op dit punt aan een discontinuïteit, dus het kan geen extreem punt zijn.

Dus, gegeven functie heeft twee kritieke punten: en . Rekening houdend met de pariteit van de functie, zullen we alleen het punt controleren met behulp van het tweede voldoende criterium voor een extremum. Om dit te doen, vinden we de tweede afgeleide en bepaal het teken op: we krijgen . Omdat en is dit het minimumpunt van de functie, en .

Om een ​​completer beeld te krijgen van de grafiek van een functie, gaan we kijken naar het gedrag ervan aan de grenzen van het definitiedomein:

(hier geeft het symbool het verlangen aan X naar nul vanaf rechts, en X blijft positief; betekent ook aspiratie X naar nul vanaf links, en X blijft negatief). Dus als, dan. Vervolgens vinden we

,

die. als dan .

De grafiek van een functie heeft geen snijpunten met de assen. De afbeelding staat aan het begin van het voorbeeld.

Samen blijven we zoeken naar de extrema van de functie

Voorbeeld 8. Zoek de extrema van de functie.

Oplossing. Laten we het domein van de definitie van de functie vinden. Omdat aan de ongelijkheid moet worden voldaan, verkrijgen we uit .

Laten we de eerste afgeleide van de functie vinden:

Laten we de kritieke punten van de functie vinden.