Co to jest ekstremum funkcji i jaki jest warunek konieczny ekstremum?
Ekstremum funkcji to maksimum i minimum funkcji.
Warunek konieczny maksimum i minimum (ekstremum) funkcji jest następujące: jeśli funkcja f (x) ma ekstremum w punkcie x = a, to w tym punkcie pochodna jest albo równa zero, albo nieskończona, albo nie istnieje.
Ten warunek jest konieczny, ale niewystarczający. Pochodna w punkcie x = a może zniknąć, dojść do nieskończoności lub nie istnieć bez ekstremum funkcji w tym punkcie.
Jaki jest warunek wystarczający dla ekstremum funkcji (maksimum lub minimum)?
Pierwszy warunek:
Jeśli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest dodatnia na lewo od a i ujemna na prawo od a, to w samym punkcie x = a funkcja f(x) ma maksymalny
Jeśli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest ujemna na lewo od a i dodatnia na prawo od a, to w samym punkcie x = a funkcja f(x) ma minimum pod warunkiem, że funkcja f(x) jest tutaj ciągła.
Zamiast tego możesz użyć drugiego warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji:
Niech w punkcie x = i pierwsza pochodna f? (x) zniknie; jeśli druga pochodna f??(а) jest ujemna, to funkcja f(x) ma maksimum w punkcie x = a, jeśli jest dodatnia, to minimum.
Jaki jest punkt krytyczny funkcji i jak go znaleźć?
Jest to wartość argumentu funkcji, przy której funkcja ma ekstremum (tj. maksimum lub minimum). Aby go znaleźć, potrzebujesz znajdź pochodną funkcja f?(x) i przyrównując ją do zera, Rozwiązać równanie f?(x) = 0. Pierwiastki tego równania, a także punkty, w których pochodna tej funkcji nie istnieje, są punktami krytycznymi, tj. wartościami argumentu, w których może istnieć ekstremum . Można je łatwo zidentyfikować, patrząc na nie wykres pochodnej: interesują nas te wartości argumentu, przy których wykres funkcji przecina oś odciętych (oś Ox) oraz te, przy których wykres cierpi na przerwy.
Na przykład znajdźmy ekstremum paraboli.
Funkcja y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Pochodna funkcji: y?(x) = 6x + 2
Rozwiązujemy równanie: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
W tym przypadku punktem krytycznym jest x0=-1/3. To dla tej wartości argumentu funkcja ma ekstremum. Dostać to znajdować, podstawiamy znalezioną liczbę w wyrażeniu zamiast "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Jak wyznaczyć maksimum i minimum funkcji, tj. jego największą i najmniejszą wartość?
Jeżeli znak pochodnej zmienia się z „plus” na „minus” podczas przechodzenia przez punkt krytyczny x0, to x0 wynosi maksymalny punkt; jeśli znak pochodnej zmienia się z minusa na plus, to x0 jest równe minimalny punkt; jeśli znak się nie zmienia, to w punkcie x0 nie ma ani maksimum, ani minimum.
Dla rozważanego przykładu:
Przyjmujemy dowolną wartość argumentu na lewo od punktu krytycznego: x = -1
Gdy x = -1, wartość pochodnej wyniesie y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).
Teraz bierzemy dowolną wartość argumentu na prawo od punktu krytycznego: x = 1
Dla x = 1 wartość pochodnej wyniesie y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).
Jak widać, przechodząc przez punkt krytyczny, pochodna zmieniła znak z minusa na plus. Oznacza to, że przy wartości krytycznej x0 mamy punkt minimum.
Największa i najmniejsza wartość funkcji na interwale(na odcinku) znajdują się za pomocą tej samej procedury, biorąc tylko pod uwagę fakt, że być może nie wszystkie punkty krytyczne będą znajdować się w określonym przedziale. Te punkty krytyczne, które znajdują się poza przedziałem, muszą zostać wyłączone z rozważań. Jeśli w przedziale jest tylko jeden punkt krytyczny, będzie on miał maksimum lub minimum. W tym przypadku, aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji, bierzemy pod uwagę również wartości funkcji na końcach przedziału.
Na przykład znajdźmy największą i najmniejszą wartość funkcji
y (x) \u003d 3 grzech (x) - 0,5x
w przerwach:
Zatem pochodna funkcji wynosi
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Rozwiązujemy równanie 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.
Znajdujemy punkty krytyczne na przedziale [-9; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nieuwzględnione w przedziale)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nieuwzględnione w przedziale)
Znajdujemy wartości funkcji przy krytycznych wartościach argumentu:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Widać, że na przedziale [-9; 9] najwyższa wartość funkcja ma przy x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
a najmniejszy - przy x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
W przedziale [-6; -3] mamy tylko jeden punkt krytyczny: x = -4,88. Wartość funkcji przy x = -4,88 wynosi y = 5,398.
Znajdujemy wartość funkcji na końcach przedziału:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
W przedziale [-6; -3] mamy największą wartość funkcji
y = 5,398 przy x = -4,88
najmniejsza wartość to
y = 1,077 przy x = -3
Jak znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji i wyznaczyć boki wypukłości i wklęsłości?
Aby znaleźć wszystkie punkty przegięcia linii y \u003d f (x), musisz znaleźć drugą pochodną, zrównać ją do zera (rozwiązać równanie) i przetestować wszystkie wartości x, dla których druga pochodna wynosi zero , nieskończony lub nie istnieje. Jeżeli przy przejściu przez jedną z tych wartości druga pochodna zmienia znak, to wykres funkcji ma w tym punkcie przegięcie. Jeśli się nie zmienia, nie ma przegięcia.
Pierwiastki równania f ? (x) = 0, jak również możliwe punkty nieciągłości funkcji i druga pochodna dzielą dziedzinę funkcji na pewną liczbę przedziałów. Wypukłość w każdym z ich przedziałów jest określona przez znak drugiej pochodnej. Jeśli druga pochodna w punkcie badanego przedziału jest dodatnia, to prosta y = f(x) jest tutaj wklęsła do góry, a jeśli jest ujemna, to do dołu.
Jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych?
Aby znaleźć ekstremum funkcji f(x, y), różniczkowalnej w obszarze jej przypisania, potrzebujesz:
1) znajdź punkty krytyczne iw tym celu rozwiąż układ równań
fx? (x,y) = 0, prawda? (x, y) = 0
2) dla każdego punktu krytycznego P0(a;b) zbadać, czy znak różnicy pozostaje niezmieniony
dla wszystkich punktów (x; y) wystarczająco bliskich P0. Jeśli różnica zachowuje znak dodatni, to w punkcie P0 mamy minimum, jeśli ujemne, to maksimum. Jeśli różnica nie zachowuje swojego znaku, to w punkcie Р0 nie ma ekstremum.
Podobnie wyznacza się ekstrema funkcji dla więcej argumenty.
Jakie są cechy schematu budowania działalności inkubatora przedsiębiorczości
Inkubatory przedsiębiorczości traktowane są przede wszystkim jako część infrastruktury wspierającej małą przedsiębiorczość, ale jednocześnie są instrumentem polityki gospodarczej, społecznej, strukturalnej i innowacyjnej. Inkubatory technologiczne są jednym z narzędzi polityki kształtowania adaptacyjnej, dynamicznej, konkurencyjnej narodowej innowacji
Dracula (ang. Dracula) - postać dzieła literackie i filmy, wampir. Został wymyślony przez irlandzkiego pisarza Brama Stokera na potrzeby powieści Dracula (1897). Według powszechnego przekonania pierwowzór tej postaci był prawdziwy postać historyczna— Wład III Tepes(walka
Gdzie znaleźć informacje o telefonie Sony Ericsson K790
Informacje o telefonie Sony Ericsson K790 można znaleźć na następujących stronach: www.mobiset.ru - informacje o telefonie Sony Ericsson K790 na mobiset.ru ;www.mobidrive.ru - informacje o telefonie Sony Ericsson K790 na mobid
Kto jest częścią grupy „Młyn”
www.melnitsa.net — oficjalna strona zespołu Melnitsa Melnitsa to rosyjski zespół folk-rockowy z Moskwy. Założona 15 października 1999 r. Grupa Melnitsa gra muzykę akustyczną i elektroakustyczną. Instrumenty: wiolonczela, flet
Co to jest lutnia
Lutnia - szarpana struna instrument muzyczny. W jego klasyczna forma ma wdzięczny korpus w kształcie gruszki, gryf z progami, pudełko na kołki zagięte pod kątem do gryfu, rozetowy otwór rezonansowy i 11 strun (pięć par i pojedyncza struna wysokotonowa). Słowo „lutnia” jest również używane w najbardziej ogólnym znaczeniu.
Co to jest pomidor (pomidor)
Pomidor (pomidor) to roślina z rodzaju psiankowatych, rodzina Solanaceae, jedno lub wieloletnie zioło. Uprawiany jako uprawa warzyw. Owoc pomidora jest znany jako pomidor. Rodzaj owocu to jagoda. HistoriaOjczyzna - Ameryka Południowa, gdzie nadal spotyka się dzikie i częściowo uprawne odmiany pomidorów. W połowie XVI wieku pomidor przybył do Hiszpanii
Gdzie znaleźć wzorzec deklinacji rzeczowników uzasadnionych
Deklinacja rzeczowników Deklinacja to zamiana rzeczowników (i innych nominalnych części mowy) na przypadki i liczby. W języku rosyjskim istnieją dwie liczby: pojedyncza (okno, biurko) i mnoga (okna, biurka); sześć przypadków (wg program nauczania). Przypadek Pytania o przypadki Imianownik kto? Co? Rodzic kogo? Co? Dawca
Które aktorki grały główne role w serialu „Krótki kurs szczęśliwego życia” na Channel One
W rosyjskim serialu telewizyjnym „ Krótki kurs szczęśliwe życie”, nakręcony w 2011 roku przez reżysera Valerię Gay Germanikę dla Channel One, 4 aktorki zagrały główne role: Alisa Khazanova zagrała rolę Lyuby; Svetlana Khodchenkova grała rolę Sashy; Anna Slue zagrała rolę Anyi; Ksenia Gromova zagrała rolę Katii. W tle
Ile wynosi sinus 90 stopni
Sinus jest jednym z funkcje trygonometryczne, naznaczony grzechem. W trójkąt prostokątny Zatoka kąt ostry równy stosunkowi nogi przeciwnej do tego kąta (nogi przeciwnej) do przeciwprostokątnej Wartości sinusów dla często występujących kątów (π to liczba pi, √ to pierwiastek kwadratu
Gdzie w Internecie są płatne kursy angielskiego audio
Płatne kursy audio po angielsku można znaleźć pod poniższymi linkami: shop.iddk.ru - angielskie kursy audio na dysku; london.ru - kursy audio na dyskach, a także książki; volxv.ru - audio-wideo kursy języka angielskiego; ozon.ru - kursy audio na dyskach
Portale informacyjne i rekrutacyjne Superjob.ru - portal rekrutacyjny Superjob.ru działa rynek rosyjski rekrutacją online od 2000 roku i jest liderem wśród zasobów oferujących poszukiwanie pracy i rekrutację. Codziennie do bazy danych serwisu dodawanych jest ponad 80 000 życiorysów specjalistów i ponad 10 000 wolnych miejsc pracy.
© BSEU Wykład nr 2 | prof. Dymkow poseł | |||||
Uwaga 1. Odwrotne stwierdzenie brzmi nieco inaczej. Jeśli |
||||||
funkcja rośnie w przedziale, to f ′ (x 0 )≥ 0 lub nie istnieje. | ||||||
Przykład 1 | y=x3 | wzrasta o | wszystkie numeryczne | |||
odpowiednio | f (x) > 0 , ale w punkcie | x = 0 pochodna | f(0)=0. | |||
Przykład 2 . Funkcjonować | x ≥ 0, | nie ma pochodnej w punkcie | x=0 |
|||
X< 0 |
||||||
(pochodne lewa i prawa są różne), ale rośnie dla wszystkich wartości x, w tym w punktach x = 0.
Uwaga 2. Na podstawie „miękkich” warunków możemy sformułować bezpośrednie twierdzenie: jeśli pochodna funkcji ciągłej na przedziale jest nieujemna, to funkcja nie maleje w tym przedziale. Wtedy twierdzenia bezpośrednie i odwrotne w języku sformalizowanym brzmią tak:
za to, | tak, że funkcja y = f (x) jest ciągła w przedziale |
|||
nie malejąca | ten odstęp jest konieczny | i wystarczy |
||
f′ (x0 ) ≥ 0 . | ||||
Pojęcie ekstremum | ||||
Definicja. | x0 nazywa się punktem | maksimum lokalne |
||
funkcja f(x) jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa f(x) ≤ f(x0 ) .
Definicja. Punkt x0 nazywany jest lokalnym punktem minimalnym funkcji f(x), jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu x0, że dla wszystkich x z tego sąsiedztwa f(x) ≥ f(x0 ) .
Wartość funkcji w punkcie maksimum nazywamy maksimum lokalnym, wartość funkcji w punkcie minimum nazywamy minimum lokalnym danej funkcji. Maksimum i minimum funkcji nazywane są jej ekstremami lokalnymi.
(ekstremum - ekstremum).
Definicja. Punkt x0 nazywany jest punktem ścisłego lokalnego maksimum (minimum) funkcji y= f(x), jeśli dla wszystkich x z otoczenia punktu x0 nierówność ścisła f(x) jest prawdziwa< f(x0 ) (соответственно
fa (x) > fa(x0 ) ).
Komentarz. W powyższej definicji ekstremum lokalnego nie zakładamy, że funkcja jest ciągła w punkcie x 0 .
X ≠ 0 | |||||
nieciągły w punkcie | x = 0, ale ma w tym |
||||
Funkcja y= | x=0 |
||||
punkt maksymalny, ponieważ istnieje sąsiedztwo punktu x \u003d 0, w którym f (x)< f (x 0 ).
Nazywa się największą (najmniejszą) wartość funkcji w przedziale globalna skrajność. Ekstremum globalne można osiągnąć albo w punktach ekstremum lokalnego, albo na końcach segmentu.
Warunek konieczny dla ekstremum
Twierdzenie 2. (o warunku koniecznym dla ekstremum).
Jeżeli funkcja y = f(x) ma ekstremum w punkcie x0 , to jej pochodna f′ (x0 ) w tym punkcie jest albo równa zero, albo nie istnieje.
◄Jeśli w punkcie x 0 funkcja ma ekstremum i jest różniczkowalna, to w
w pewnym sąsiedztwie tego punktu spełnione są warunki twierdzenia Fermata, więc pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru.
Ale funkcja y = f(x) może mieć ekstremum i nie być różniczkowalna w tym punkcie. Wystarczy podać przykład. Przykładem może być
obsługuj funkcję y= | który ma w punkcie minimum | x=0 | jednak nie |
||||||||||||||||||||||||||
jest w tym punkcie różniczkowalna. | |||||||||||||||||||||||||||||
Komentarz | Geometryczny | ||||||||||||||||||||||||||||
Ryc. 1 przedstawia ilustrację twierdzenia. Funkcjonować | |||||||||||||||||||||||||||||
y \u003d f (x), którego wykres jest przedstawiony na tym | |||||||||||||||||||||||||||||
y=f(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
figura ma ekstrema w punktach x 1 , x 3 , x 4 , | |||||||||||||||||||||||||||||
pochodna | |||||||||||||||||||||||||||||
istnieje, | jest równa zeru, | ||||||||||||||||||||||||||||
rysuje | nieskończoność. | ||||||||||||||||||||||||||||
punkty x 2 , | funkcja ekstremum nie ma, | ||||||||||||||||||||||||||||
aw punkcie x 2 pochodna staje się | |||||||||||||||||||||||||||||
nieskończoność, w punkcie x 5 | pochodna jest | ||||||||||||||||||||||||||||
Uwaga 2. Punkty, w których warunek konieczny jest spełniony |
|||||||||||||||||||||||||||||
ekstremum dla funkcji ciągłej nazywamy krytycznym | |||||||||||||||||||||||||||||
Są one określone z równania | f(x)=0 | (stacjonarny |
|||||||||||||||||||||||||||
punkty) lub f | (x)=∞. | ||||||||||||||||||||||||||||
Uwaga 3. Funkcja niekoniecznie ma maksimum lub minimum w każdym ze swoich punktów krytycznych.
Przykład 4. Rozważmy funkcję y = x 3 . Krytyczny dla tej funkcji
jest punktem x \u003d 0, co wynika z równania f ′ (x) \u003d 3x 2 \u003d 0. Jednak ta funkcja rośnie dla wszystkich x i nie ma ekstremum.
© BSEU Wykład nr 2 | Badanie funkcji za pomocą pochodnych prof. Dymkow poseł | ||||||||
Twierdzenie 3. | (w warunkach wystarczających dla ekstremum). | ||||||||
Niech dla | y = f(x) spełnione są następujące warunki: | ||||||||
1) y = f(x) | jest ciągła w sąsiedztwie punktu x0 ; | ||||||||
(x)=0 | fa (x) = ∞ | ||||||||
zmienia swój znak. | |||||||||
(x) podczas przechodzenia przez punkt x0 | |||||||||
Wtedy w punkcie x = x0 funkcja y= f(x) ma ekstremum: | |||||||||
minimum, jeśli przy przechodzeniu przez punkt x0 | znak zmiany pochodnej |
||||||||
od minusa do plusa; | |||||||||
maksimum, jeśli podczas przechodzenia przez punkt | pochodna x0 zmienia swoje |
||||||||
znak od plusa do minusa. | f(x) podczas przechodzenia przez punkt x0 nie zmienia swojego |
||||||||
Jeśli pochodna |
|||||||||
nie ma znaku, nie ma ekstremum w punkcie x = x0.◄ | |||||||||
Warunki twierdzenia można podsumować w poniższej tabeli | |||||||||
Znak pochodnej | Ekstremalne | ||||||||
Maksymalny | |||||||||
Ponieważ z warunku f(x)< 0 приx < x 0 , то на левом относительно точки |
|||||||||
funkcja interwału x 0 | maleje. Ponieważ f(x)> 0 dla x> x 0, | ||||||||
y = f(x) |
|||||||||
względem punktu | interwał | funkcja f(x) jest rosnąca. |
|||||||
Stąd, | f(x0) | jest najmniejszą wartością funkcji f(x) w sąsiedztwie |
|||||||
x 0 , co oznacza, że f (x 0 ) | jest lokalnym minimum funkcji | fa(x) . |
|||||||
Jeśli podczas przejścia z lewego przedziału do prawego funkcja nadal maleje, to w punkcie x 0 nie zostanie osiągnięte minimalna wartość Funkcje
(bez ekstremum).
Podobnie dowodzi się istnienia maksimum.
na ryc. 2 a-h przedstawia możliwe przypadki obecności lub braku ekstremum funkcji ciągłej, której pochodna w punkcie krytycznym jest równa zeru lub dąży do nieskończoności.
© BSEU Wykład nr 2 | Badanie funkcji za pomocą pochodnych | prof. Dymkow poseł | ||||||||
Komentarz. | Jeśli warunek ciągłości dla funkcji w | |||||||||
niespełnione, to kwestia dostępności | ||||||||||
ekstremum pozostaje otwarte. | ||||||||||
Przykład 5 | ||||||||||
Rozważać | nieciągły | |||||||||
x+1, | x ≤ 0, | (Rys. 3). Pochodna | ta funkcja zmienia znak | ||||||||||||||||||||||
fa(x)= | x > 0 | ||||||||||||||||||||||||
przechodząc przez punkt x 0 = 0, | jednak funkcja w punkcie | x0=0 | ekstremum nie jest | ||||||||||||||||||||||
Przykład 6. Niech będzie dana funkcja | |||||||||||||||||||||||||
X ≠ 0, | |||||||||||||||||||||||||
(Rys. 4). Jak widać z rysunku, | f(x) | ||||||||||||||||||||||||
fa(x)= | x=0 | ||||||||||||||||||||||||
ma w tym punkcie maksimum lokalne | x0=0 | Jednak funkcja | |||||||||||||||||||||||
ma nieciągłość w punkcie x 0 = 0 . | |||||||||||||||||||||||||
Komentarz | funkcja ma ekstremum w punkcie x 0, np. | ||||||||||||||||||||||||
minimum, a następnie opcjonalnie na lewo od punktu | x 0 funkcja jest monotonicznie malejąca, oraz | ||||||||||||||||||||||||
na prawo od x 0 wzrasta monotonicznie. | |||||||||||||||||||||||||
Przykład 7. Niech będzie dana funkcja | |||||||||||||||||||||||||
2 - cos | X ≠ 0, | ||||||||||||||||||||||||
fa(x)= | |||||||||||||||||||||||||
x=0 | y=3x2 | y=x | |||||||||||||||||||||||
Można to wykazać w | x = 0 | ||||||||||||||||||||||||
ciągły | |||||||||||||||||||||||||
Pochodna funkcji | |||||||||||||||||||||||||
f(x)=2x | − grzech | w dowolnej okolicy | |||||||||||||||||||||||
punkt x = 0 zmienia znak nieskończenie wiele razy. Dlatego funkcja f (x) nie jest
jest monotonicznie malejący lub rosnący ani na lewo, ani na prawo od punktu x = 0.
Schemat badania funkcji dla ekstremum:
1) znajdź pochodną f′(x);
2) znaleźć punkty krytyczne, tj. takie wartości x w którym f ′ (x)= 0 lub
f′ (x) = ∞;
3) zbadaj znak pochodnej po lewej i prawej stronie każdego punktu krytycznego
© BSEU Wykład nr 2 | Badanie funkcji za pomocą pochodnych | prof. Dymkow poseł | ||||
zwrotnica. Jeśli podczas przechodzenia przez punkt krytyczny | pochodna f(x) | |||||
jego znak od plusa do minusa, a następnie w punkcie x 0 | f(x) | ma maksimum jeśli |
||||
f(x) znak | zmiany z minusa na plus | wtedy w punkcie x0 | funkcja f(x). | |||
Jeśli podczas przechodzenia przez x przez punkt krytyczny x 0 znak f | (x) nie |
|||||
zmienia się, to w punkcie x 0 funkcja f (x) nie ma ani maksimum, ani minimum; 4) znajdź wartości funkcji w skrajnych punktach.
Twierdzenie 4. (drugi warunek wystarczający dla ekstremum). Niech spełnione będą następujące warunki dla funkcji y = f (x):
1. y \u003d f (x) jest ciągły w pobliżu punktu x 0,
2. f ′ (x )= 0 przy x 0
3. f " (x )≠ 0 w punkcie x 0 .
Następnie w punkcie x0 | osiągnięto ekstremum i: | jeśli f ′′ (x 0 )> 0, to w punkcie |
|||||||||||||||||||||
x = x0 | y = f(x) | ma minimum | fa" (x 0 )< 0 , то | x = x0 |
|||||||||||||||||||
funkcja y = f(x) ma maksimum. | |||||||||||||||||||||||
◄ Z definicji drugiej pochodnej f | f′ (x) − f′ (x0 ) | ||||||||||||||||||||||
) = limit | |||||||||||||||||||||||
− x | |||||||||||||||||||||||
x → x0 | |||||||||||||||||||||||
Ale pod warunkiem f | ) = limit | ||||||||||||||||||||||
(x)=0. | − x | (x) > 0, wtedy |
|||||||||||||||||||||
x → x0 | |||||||||||||||||||||||
f'(x) | w niektórych | sąsiedztwo | x = x. | X< x | |||||||||||||||||||
x − x0 | |||||||||||||||||||||||
x > x0 | ułamek jest dodatni | jeśli się uwzględni |
|||||||||||||||||||||
jest dodatnia, jeśli f(x)< 0 . | |||||||||||||||||||||||
f (x) podczas przechodzenia przez punkt | x = x0 | zmienia znak, |
|||||||||||||||||||||
f(x)>0. Stąd, | |||||||||||||||||||||||
więc istnieje ekstremum. Znak pochodnej zmienia się z minusa na plus, więc to jest minimum. Przypadek f" (x 0 )< 0 .
Przykład 8. Zbadaj ekstremum funkcji y = x 2 + 2x + 3. Znajdź pochodną y ′= 2x + 2 .
1) Znajdujemy punkty krytyczne, dla których zrównujemy pochodną do zera: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.
2) Badamy znak pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu (ryc. 6).
Ponieważ znak pochodnej zmienia się z minusa na plus, minimum osiągane jest w punkcie x = − 1.
3) Znajdź wartość minimum: ymin (− 1)= 2.
f'(x)- | ||||||||||
Zbadaj funkcję y = 3 dla ekstremum | ||||||||||
1) Znajdź pochodną y ′= | . | |||||||||
Rosnące, malejące i ekstrema funkcji
Znalezienie przedziałów wzrostu, spadku i ekstremów funkcji jest zarówno samodzielnym zadaniem, jak i ważną częścią innych zadań, w szczególności pełne badanie funkcji. Wstępne informacje o wzroście, spadku i ekstremach funkcji podano w rozdział teoretyczny dotyczący pochodnej, którą bardzo polecam do wstępnej nauki (lub powtórzenie)- także z tego powodu, że poniższy materiał oparty jest na bardzo istota pochodnej będący harmonijną kontynuacją tego artykułu. Chociaż, jeśli czas ucieka, wówczas czysto formalne wypracowanie przykładów z dzisiejszej lekcji też jest możliwe.
A dziś w powietrzu unosi się duch rzadkiej jednomyślności i bezpośrednio czuję, że wszyscy obecni płoną z pożądania nauczyć się badać funkcję za pomocą pochodnej. Dlatego na ekranach Waszych monitorów od razu pojawia się rozsądna dobra wieczna terminologia.
Po co? Jednym z najbardziej praktycznych powodów jest: aby było jasne, czego ogólnie wymaga się od Ciebie w ramach danego zadania!
Monotoniczność funkcji. Punkty ekstremalne i ekstrema funkcji
Rozważmy pewną funkcję. Upraszczając, zakładamy, że ciągły na całej linii liczbowej:
Na wszelki wypadek pozbędziemy się od razu ewentualnych złudzeń, zwłaszcza tych czytelników, którzy niedawno zapoznali się z przedziały stałości znaku funkcji. Teraz my NIE ZAINTERESOWANY, jak wykres funkcji jest położony względem osi (powyżej, poniżej, gdzie przecina oś). Dla przekonania wymaż w myślach osie i zostaw jeden wykres. Bo w tym jest interes.
Funkcjonować wzrasta na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału powiązanych relacją , nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od dołu do góry”. Funkcja demonstracyjna rośnie w przedziale .
Podobnie funkcja maleje na przedziale, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów danego przedziału, tak, że , Nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większej wartości argumentu odpowiada mniejsza wartość funkcji, a jej wykres przebiega „od góry do dołu”. Nasza funkcja jest malejąca w przedziałach 
.
Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w przedziale, to jest wywoływana ściśle monotonne na tym interwale. Co to jest monotoniczność? Potraktuj to dosłownie – monotonia.
Istnieje również możliwość zdefiniowania nie malejąca funkcja (stan zrelaksowany w pierwszej definicji) i nierosnący funkcja (zmiękczony stan w 2. definicji). Niemalejącą lub nierosnącą funkcję w przedziale nazywamy funkcją monotoniczną w danym przedziale (ścisła monotoniczność - szczególny przypadek„tylko” monotonia).
Teoria rozważa również inne podejścia do wyznaczania wzrostu / spadku funkcji, w tym na półprzedziałach, segmentach, ale aby nie wylewać sobie oleju na głowę, zgadzamy się działać z przedziałami otwartymi z definicjami kategorycznymi - jest to jaśniejsze i wystarczające do rozwiązania wielu praktycznych problemów.
Zatem, w moich artykułach sformułowanie „monotoniczność funkcji” prawie zawsze będzie się ukrywać interwałyścisła monotonia(ścisły wzrost lub ścisły spadek funkcji).
Sąsiedztwo punktu. Słowa, po których uczniowie rozpierzchają się, gdzie się da, i chowają się w przerażeniu po kątach. …Chociaż po poście Granice Cauchy'ego chyba już się nie ukrywają, tylko lekko drżą =) Nie martw się, teraz nie będzie dowodów twierdzeń Analiza matematyczna– Potrzebowałem sąsiedztw, żeby bardziej rygorystycznie formułować definicje punkty ekstremalne. Pamiętamy:
Punkt sąsiedztwa nazywamy przedziałem, który zawiera dany punkt, podczas gdy dla wygody często zakłada się, że przedział jest symetryczny. Na przykład punkt i jego standardowe otoczenie:
Zasadniczo definicje:
Punkt nazywa się ścisły punkt maksymalny, Jeśli istnieje jej sąsiedztwo, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność jest spełniona. W naszym konkretny przykład to jest kropka.
Punkt nazywa się ścisłe minimum, Jeśli istnieje jej sąsiedztwo, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność jest spełniona. Na rysunku - punkt „a”.
Notatka : wymóg, aby sąsiedztwo było symetryczne, wcale nie jest konieczny. Poza tym to ważne sam fakt istnienia sąsiedztwa (aczkolwiek maleńkiego, wręcz mikroskopijnego), które spełnia określone warunki
Kropki są nazywane punkty ścisłego ekstremum lub po prostu punkty ekstremalne Funkcje. Oznacza to, że jest to uogólniony termin określający maksymalną liczbę punktów i minimalną liczbę punktów.
Jak rozumieć słowo „ekstremalny”? Tak, tak samo bezpośrednio jak monotonia. Skrajne punkty kolejki górskiej.
Podobnie jak w przypadku monotoniczności, w teorii występują, a nawet częściej występują postulaty nieścisłe (do których oczywiście należą rozpatrywane ścisłe przypadki!):
Punkt nazywa się maksymalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie, np dla wszystkich
Punkt nazywa się minimalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie, np dla wszystkich wartości tego sąsiedztwa, zachodzi nierówność.
Zauważ, że zgodnie z dwiema ostatnimi definicjami każdy punkt stałej funkcji (lub „płaski obszar” jakiejś funkcji) jest uważany zarówno za punkt maksymalny, jak i punkt minimalny! Nawiasem mówiąc, funkcja jest zarówno nierosnąca, jak i niemalejąca, czyli monotoniczna. Te argumenty pozostawiamy jednak teoretykom, ponieważ w praktyce prawie zawsze kontemplujemy tradycyjne „wzgórza” i „dołki” (patrz rysunek) z unikalnym „królem wzgórza” lub „błotną księżniczką”. Występuje jako odmiana punkt, skierowany w górę lub w dół, na przykład minimum funkcji w punkcie .
A mówiąc o rodzinie królewskiej:
- nazywa się znaczenie maksymalny Funkcje;
- nazywa się znaczenie minimum Funkcje.
Nazwa zwyczajowa - skrajności Funkcje.
Proszę uważać na słowa!
punkty ekstremalne są wartościami „x”.
Skrajności- wartości „gra”.
! Notatka : czasami wymienione terminy odnoszą się do punktów „x-y”, które leżą bezpośrednio na WYKRESIE funkcji.
Ile ekstremów może mieć funkcja?
Brak, 1, 2, 3 itd. do nieskończoności. Na przykład sinus ma nieskończoną liczbę minimów i maksimów.
WAŻNY! Termin „funkcja maksymalna” nieidentyczny termin „maksymalna wartość funkcji”. Łatwo zauważyć, że wartość jest maksymalna tylko w lokalnym sąsiedztwie, aw lewym górnym rogu są „bardziej gwałtownie towarzysze”. Podobnie „minimalna funkcja” to nie to samo co „minimalna wartość funkcji”, a na rysunku widać, że wartość jest minimalna tylko w pewnym obszarze. W związku z tym nazywane są również punkty skrajne lokalne punkty ekstremalne i ekstrema ekstrema lokalne. Chodzą i wędrują wokół i światowy bracia. Zatem każda parabola ma swój wierzchołek globalne minimum Lub globalne maksimum. Dalej nie będę rozróżniał typów skrajności, a wyjaśnienie ma charakter ogólnoedukacyjny – dodatkowe przymiotniki „lokalny” / „globalny” nie powinny dziwić.
Podsumujmy naszą krótką dygresję w teorii strzałem kontrolnym: co oznacza zadanie „znajdź przedziały monotoniczności i punkty ekstremalne funkcji”?
Formuła podpowiada, aby znaleźć:
- interwały wzrostu / spadku funkcji (nie malejące, nierosnące pojawiają się znacznie rzadziej);
– maksymalna liczba punktów i/lub minimalna liczba punktów (jeśli dotyczy). Cóż, lepiej samemu znaleźć minima/maksima z porażki ;-)
Jak to wszystko określić? Za pomocą funkcji pochodnej!
Jak znaleźć interwały wzrostu, spadku,
ekstrema i ekstrema funkcji?
W rzeczywistości wiele zasad jest już znanych i rozumianych lekcja o znaczeniu pochodnej.
Pochodna styczna 
niesie dobrą wiadomość, że funkcja rośnie przez cały czas domeny.
Z cotangensem i jego pochodną 
sytuacja jest dokładnie odwrotna.
Arcus sinus rośnie w przedziale - pochodna jest tutaj dodatnia: 
.
Dla , funkcja jest zdefiniowana, ale nie różniczkowalna. Jednak w punkcie krytycznym jest prawostronna pochodna i prawoskrętna styczna, a na drugiej krawędzi ich lewostronne odpowiedniki.
Myślę, że nie będzie ci trudno przeprowadzić podobne rozumowanie dla cosinusa łuku i jego pochodnej.
Wszystkie te przypadki, z których wiele jest pochodne tabelaryczne, przypominam, wykonaj bezpośrednio z definicje pochodnej.
Po co badać funkcję z pochodną?
Aby lepiej zrozumieć, jak wygląda wykres tej funkcji: gdzie idzie „od dołu do góry”, gdzie idzie „od góry do dołu”, gdzie osiąga dołki wzlotów (jeśli w ogóle). Nie wszystkie funkcje są takie proste – w większości przypadków na ogół nie mamy najmniejszego pojęcia o wykresie konkretnej funkcji.
Nadszedł czas, aby przejść do bardziej znaczących przykładów i rozważyć algorytm znajdowania przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji:
Przykład 1
Znajdź rosnące/malejące przedziały i ekstrema funkcji
Rozwiązanie:
1) Pierwszym krokiem jest znalezienie zakres funkcji, a także zanotuj punkty przerwania (jeśli istnieją). W tym przypadku funkcja jest ciągła na całej linii rzeczywistej, a działanie to jest nieco formalne. Ale w niektórych przypadkach wybuchają tutaj poważne namiętności, więc potraktujmy akapit bez zaniedbania.
2) Należy wykonać drugi punkt algorytmu
warunek konieczny dla ekstremum:
Jeśli w punkcie istnieje ekstremum, to albo wartość nie istnieje.
Zdezorientowany zakończeniem? Ekstremum funkcji „modulo x” .
Warunek jest konieczny, ale niewystarczająco, a sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdziwa. Tak więc z równości jeszcze nie wynika, że funkcja osiąga maksimum lub minimum w punkcie . Klasyczny przykład został już oświetlony powyżej - jest to parabola sześcienna i jej punkt krytyczny.
Tak czy inaczej, warunkiem koniecznym ekstremum jest znalezienie podejrzanych punktów. Aby to zrobić, znajdź pochodną i rozwiąż równanie:
Na początku pierwszego artykułu o wykresach funkcji Powiedziałem ci, jak szybko zbudować parabolę na przykładzie 
: "...bierzemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera: ... A więc rozwiązanie naszego równania: - w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli...". Teraz myślę, że wszyscy rozumieją, dlaczego wierzchołek paraboli jest dokładnie w tym punkcie =) Generalnie powinniśmy zacząć od podobnego przykładu tutaj, ale jest on zbyt prosty (nawet jak na czajniczek). Ponadto na samym końcu lekcji znajduje się analog funkcja pochodna. Podnosimy zatem poziom:
Przykład 2
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
To jest przykład dla niezależne rozwiązanie. Kompletne rozwiązanie oraz przybliżoną próbkę końcową zadania na koniec lekcji.
Nadszedł długo wyczekiwany moment spotkania z ułamkowymi funkcjami wymiernymi:
Przykład 3
Zbadaj funkcję za pomocą pierwszej pochodnej
Zwróć uwagę, jak wariantowo można przeformułować jedno i to samo zadanie.
Rozwiązanie:
1) Funkcja ma nieskończone przerwy w punktach .
2) Wykrywamy punkty krytyczne. Znajdźmy pierwszą pochodną i zrównajmy ją do zera: 
Rozwiążmy równanie. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik wynosi zero:
W ten sposób otrzymujemy trzy punkty krytyczne: 
3) Odłóż na bok WSZYSTKIE wykryte punkty na osi liczbowej i metoda interwałowa zdefiniuj znaki POCHODNEJ:
Przypominam, że trzeba wziąć jakiś punkt przedziału, obliczyć w nim wartość pochodnej 
i określ jego znak. Bardziej opłaca się nawet nie liczyć, tylko „szacować” werbalnie. Weźmy na przykład punkt należący do przedziału i dokonajmy podstawienia: 
. 
Dwa „plusy” i jeden „minus” dają zatem „minus”, co oznacza, że pochodna jest ujemna na całym przedziale.
Akcja, jak rozumiesz, musi być przeprowadzona dla każdego z sześciu interwałów. Nawiasem mówiąc, zauważ, że współczynnik licznika i mianownik są ściśle dodatnie dla dowolnego punktu dowolnego przedziału, co znacznie upraszcza zadanie.
Tak więc pochodna powiedziała nam, że SAMA FUNKCJA wzrasta o 
i zmniejsza się o . Wygodne jest łączenie interwałów tego samego typu za pomocą ikony związku .
W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje maksimum:
W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje minimum: 
Pomyśl, dlaczego nie możesz przeliczyć drugiej wartości ;-)
Podczas przechodzenia przez punkt pochodna nie zmienia znaku, więc funkcja NIE ma tam EKSTREMALNOŚCI - zarówno malała, jak i pozostawała malejąca.
! Powtórzmy ważną kwestię: punkty nie są uważane za krytyczne - mają swoją funkcję niezdeterminowany. W związku z tym tutaj skrajności nie mogą być z zasady(nawet jeśli pochodna zmienia znak).
Odpowiedź: funkcja rośnie o 
i maleje w punkcie osiągnięcia maksimum funkcji: 
, aw punkcie - minimum: .
Znajomość przedziałów i ekstremów monotoniczności, połączona z ustalonymi asymptoty daje bardzo dobry występ O wygląd wykres funkcji. Przeciętny człowiek jest w stanie werbalnie określić, że wykres funkcji ma dwie asymptoty pionowe i asymptotę ukośną. Oto nasz bohater: 
Spróbuj ponownie skorelować wyniki badania z wykresem tej funkcji.
W punkcie krytycznym nie ma ekstremum, ale jest przegięcie krzywej(co z reguły ma miejsce w podobnych przypadkach).
Przykład 4
Znajdź ekstrema funkcji
Przykład 5
Znajdź przedziały monotoniczności, maksima i minima funkcji
... po prostu dzisiaj wychodzi święto X-in-a-cube ....
Taaaaak, kto tam w galerii zaoferował za to drinka? =)
Każde zadanie ma swoje niuanse merytoryczne i subtelności techniczne, które są komentowane na końcu lekcji.
Ważnym pojęciem w matematyce jest funkcja. Za jego pomocą można zwizualizować wiele procesów zachodzących w przyrodzie, odzwierciedlić zależności między określonymi wielkościami za pomocą wzorów, tabel i obrazów na wykresie. Przykładem jest zależność ciśnienia warstwy cieczy na ciele od głębokości zanurzenia, przyspieszenie - od działania określonej siły na przedmiot, wzrost temperatury - od przenoszonej energii i wiele innych procesów. Badanie funkcji polega na sporządzeniu wykresu, ustaleniu jej właściwości, dziedziny definicji i wartości, przedziałów wzrostu i spadku. Ważny punkt w tym procesie jest znalezienie punktów ekstremalnych. O tym, jak zrobić to dobrze, a rozmowa będzie trwała.
O samej koncepcji na konkretnym przykładzie
W medycynie konstrukcja wykresu funkcji może powiedzieć o przebiegu rozwoju choroby w organizmie pacjenta, jasno odzwierciedlając jego stan. Załóżmy, że czas w dniach jest wykreślony na osi OX, a temperatura ludzkiego ciała na osi OY. Rysunek wyraźnie pokazuje, jak ten wskaźnik gwałtownie rośnie, a następnie spada. Łatwo też zauważyć punkty osobliwe, które odzwierciedlają momenty, w których funkcja po wcześniejszym wzroście zaczyna maleć i odwrotnie. Są to punkty skrajne, czyli wartości krytyczne (maksimum i minimum) w tym przypadku temperatury pacjenta, po których następuje zmiana jego stanu.
Kąt pochylenia
Na podstawie rysunku łatwo jest określić, jak zmienia się pochodna funkcji. Jeśli linie proste wykresu rosną w czasie, to jest dodatnie. A im bardziej strome, tym większa wartość pochodnej wraz ze wzrostem kąta nachylenia. W okresach spadków wartość ta przyjmuje wartości ujemne, zwracając się do zera w punktach ekstremalnych, a wykres pochodnej w tym drugim przypadku jest rysowany równolegle do osi OX.
Każdy inny proces powinien być traktowany w ten sam sposób. Ale najlepszą rzeczą w tej koncepcji może być ruch różne ciała, co wyraźnie widać na wykresach.
Ruch
Załóżmy, że jakiś obiekt porusza się po linii prostej, równomiernie nabierając prędkości. W tym okresie zmiana współrzędnych ciała przedstawia graficznie pewną krzywą, którą matematyk nazwałby gałęzią paraboli. Jednocześnie funkcja stale rośnie, ponieważ wskaźniki współrzędnych zmieniają się coraz szybciej z każdą sekundą. Wykres prędkości pokazuje zachowanie pochodnej, której wartość również rośnie. Oznacza to, że ruch nie ma punktów krytycznych.
Trwałoby to w nieskończoność. Ale co, jeśli organizm nagle zdecyduje się zwolnić, zatrzymać i zacząć poruszać się w innym kierunku? W takim przypadku wskaźniki współrzędnych zaczną się zmniejszać. A funkcja przekroczy wartość krytyczną i zmieni się z rosnącej na malejącą.
W tym przykładzie możesz ponownie zrozumieć, że punkty ekstremalne na wykresie funkcji pojawiają się w momentach, gdy przestaje być monotonna.
Fizyczne znaczenie pochodnej
To, co zostało opisane wcześniej, wyraźnie pokazało, że pochodna jest zasadniczo szybkością zmian funkcji. To wyrafinowanie zawiera swoje fizyczne znaczenie. Punkty skrajne to krytyczne obszary na wykresie. Można je znaleźć i wykryć, obliczając wartość pochodnej, która okazuje się równa zeru.
Jest jeszcze jeden znak, który jest warunkiem wystarczającym dla ekstremum. Pochodna w takich miejscach przegięcia zmienia swój znak: z „+” na „-” w rejonie maksimum iz „-” na „+” w rejonie minimum.
Ruch pod wpływem grawitacji
Wyobraźmy sobie inną sytuację. Dzieci, grając w piłkę, rzuciły ją w taki sposób, że zaczęła się poruszać pod kątem do horyzontu. W początkowej chwili prędkość tego obiektu była największa, jednak pod wpływem grawitacji zaczęła spadać iz każdą sekundą o tę samą wartość, równą około 9,8 m/s2. Jest to wartość przyspieszenia, które występuje pod wpływem grawitacji ziemi podczas swobodnego spadania. Na Księżycu byłby około sześć razy mniejszy.
Wykres opisujący ruch ciała to parabola z gałęziami skierowanymi w dół. Jak znaleźć punkty ekstremalne? W tym przypadku jest to wierzchołek funkcji, w którym prędkość ciała (piłki) przyjmuje wartość zerową. Pochodna funkcji staje się zerowa. W tym przypadku kierunek, a co za tym idzie wartość prędkości, zmienia się na przeciwny. Ciało leci w dół z każdą sekundą coraz szybciej i przyspiesza o tę samą wartość - 9,8 m/s 2 .
Druga pochodna
W poprzednim przypadku wykres modułu prędkości jest rysowany jako linia prosta. Linia ta jest najpierw skierowana w dół, ponieważ wartość tej wielkości stale maleje. Po osiągnięciu zera w jednym z punktów czasowych wskaźniki tej wartości zaczynają rosnąć, a kierunek graficznej reprezentacji modułu prędkości zmienia się dramatycznie. Teraz linia jest skierowana w górę.
Prędkość, będąca pochodną współrzędnej po czasie, również ma punkt krytyczny. W tym obszarze funkcja, początkowo malejąca, zaczyna rosnąć. To jest miejsce ekstremum pochodnej funkcji. W tym przypadku nachylenie stycznej staje się zerowe. A przyspieszenie, będące drugą pochodną współrzędnej po czasie, zmienia znak z „-” na „+”. A ruch z jednostajnie wolnego staje się jednostajnie przyspieszony.
Wykres przyspieszenia
Rozważmy teraz cztery liczby. Każdy z nich wyświetla wykres zmian w czasie np wielkość fizyczna jak przyspieszenie. W przypadku „A” jego wartość pozostaje dodatnia i stała. Oznacza to, że prędkość ciała, podobnie jak jego współrzędna, stale rośnie. Jeśli wyobrazimy sobie, że obiekt będzie się poruszał w ten sposób przez nieskończenie długi czas, to funkcja odzwierciedlająca zależność współrzędnej od czasu okaże się stale rosnąca. Wynika z tego, że nie ma w nim regionów krytycznych. Na wykresie pochodnej, czyli liniowo zmieniającej się prędkości, nie ma też punktów ekstremalnych.
To samo dotyczy przypadku „B” z dodatnim i stale rosnącym przyspieszeniem. To prawda, że \u200b\u200bwykresy współrzędnych i prędkości będą tutaj nieco bardziej skomplikowane.
Gdy przyspieszenie spada do zera
Patrząc na figurę „B”, można zaobserwować zupełnie inny obraz charakteryzujący ruch ciała. Jego prędkość zostanie przedstawiona graficznie jako parabola z gałęziami skierowanymi w dół. Jeżeli poprowadzimy linię opisującą zmianę przyspieszenia aż do przecięcia się z osią OX i dalej, to możemy sobie wyobrazić, że do tej wartości krytycznej, gdzie przyspieszenie okazuje się równe zeru, prędkość obiektu będzie rosła coraz wolniej. Punkt ekstremalny pochodnej funkcji współrzędnych będzie dokładnie na szczycie paraboli, po czym ciało radykalnie zmieni charakter ruchu i zacznie poruszać się w innym kierunku.
W tym drugim przypadku „G” nie można dokładnie określić charakteru ruchu. Tutaj wiemy tylko, że dla pewnego rozważanego okresu nie ma przyspieszenia. Oznacza to, że obiekt może pozostać w miejscu lub ruch odbywa się ze stałą prędkością.
Zadanie dodawania współrzędnych
Przejdźmy do zadań, które są często spotykane podczas nauki algebry w szkole i są oferowane w celu przygotowania się do egzaminu. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji. Należy obliczyć sumę punktów ekstremalnych.
Zrobimy to dla osi y, wyznaczając współrzędne obszarów krytycznych, w których obserwuje się zmianę charakterystyki funkcji. Mówiąc najprościej, znajdujemy wartości wzdłuż osi x dla punktów przegięcia, a następnie przystępujemy do dodawania wynikowych wyrazów. Z wykresu wynika, że przyjmują one następujące wartości: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. To sumuje się do -21, co jest odpowiedzią.
Optymalne rozwiązanie
Nie trzeba tłumaczyć, jak ważny może być wybór optymalnego rozwiązania w realizacji zadań praktycznych. W końcu istnieje wiele sposobów na osiągnięcie celu, a najlepsze wyjście z reguły jest tylko jedno. Jest to niezwykle potrzebne np. przy projektowaniu statków, statki kosmiczne i samoloty konstrukcje architektoniczne znaleźć optymalny kształt tych stworzonych przez człowieka obiektów.
Prędkość pojazdów w dużej mierze zależy od właściwej minimalizacji oporów, jakie napotykają podczas poruszania się w wodzie i powietrzu, od przeciążeń powstających pod wpływem sił grawitacyjnych i wielu innych wskaźników. Statek na morzu potrzebuje takich cech jak stabilność podczas sztormu, dla statku rzecznego ważne jest minimalne zanurzenie. podczas obliczania optymalny projekt ekstremalne punkty na wykresie mogą wyraźnie dać wyobrażenie najlepsze rozwiązanie trudny problem. Zadania takiego planu są często rozwiązywane w gospodarce, w obszarach gospodarczych, w wielu innych sytuacjach życiowych.
Z historii starożytnej
Ekstremalne zadania zajmowały nawet starożytnych mędrców. Greccy naukowcy z powodzeniem rozwikłali tajemnicę obszarów i objętości za pomocą obliczeń matematycznych. Jako pierwsi zrozumieli, że na płaszczyźnie złożonej z różnych figur o tym samym obwodzie koło zawsze ma największe pole. Podobnie kula ma największą objętość spośród innych obiektów w przestrzeni o tej samej powierzchni. Zaangażowany w rozwiązywanie takich problemów znane osobistości jak Archimedes, Euklides, Arystoteles, Apoloniusz. Heronowi udało się bardzo dobrze znaleźć punkty ekstremalne, który uciekając się do obliczeń, zbudował pomysłowe urządzenia. Były to automaty poruszające się za pomocą pary, pompy i turbiny działające na tej samej zasadzie.
Budowa Kartaginy
Istnieje legenda, której fabuła opiera się na rozwiązaniu jednego z ekstremalnych zadań. Efektem biznesowego podejścia fenickiej księżniczki, która zwróciła się o pomoc do mędrców, była budowa Kartaginy. Działka dla tego starożytnego i słynnego miasta Dido (tak nazywał się władca) został przedstawiony przez przywódcę jednego z plemion afrykańskich. Powierzchnia działki nie wydawała mu się początkowo bardzo duża, gdyż zgodnie z umową miała być pokryta wołową skórą. Ale księżniczka kazała swoim żołnierzom pociąć go na cienkie paski i zrobić z nich pas. Okazało się, że jest tak długi, że obejmuje obszar, na którym mieści się całe miasto.
Pochodzenie rachunku różniczkowego
A teraz przejdźmy od starożytności do epoki późniejszej. Co ciekawe, w XVII wieku Keplera do zrozumienia podstaw analizy matematycznej skłoniło spotkanie ze sprzedawcą wina. Kupiec był tak dobrze zorientowany w swoim zawodzie, że mógł łatwo określić objętość napoju w beczce, po prostu opuszczając do niej żelazną opaskę uciskową. Zastanawiając się nad taką ciekawostką, słynny naukowiec zdołał sam rozwiązać ten dylemat. Okazuje się, że zręczni bednarze tamtych czasów potrafili robić naczynia w taki sposób, aby przy określonej wysokości i promieniu obwodu pierścieni mocujących miały one maksymalną pojemność.
Stało się to dla Keplera okazją do dalszych przemyśleń. Bochars przyszedł optymalne rozwiązanie poprzez długie poszukiwania, błędy i nowe próby, przekazując nasze doświadczenie z pokolenia na pokolenie. Ale Kepler chciał przyspieszyć ten proces i nauczyć się robić to samo w krótkim czasie za pomocą obliczeń matematycznych. Wszystkie jego osiągnięcia, zebrane przez kolegów, zamieniły się w znane obecnie twierdzenia Fermata i Newtona - Leibniza.
Problem znalezienia maksymalnego obszaru
Wyobraź sobie, że mamy drut o długości 50 cm. Jak zrobić z niego prostokąt, który ma największe pole?
Rozpoczynając decyzję, należy wyjść od prostych i dobrze znanych prawd. Oczywiste jest, że obwód naszej figury wyniesie 50 cm, składa się również z dwóch długości obu boków. Oznacza to, że po oznaczeniu jednego z nich jako „X”, drugi można wyrazić jako (25 - X).
Stąd otrzymujemy obszar równy X (25 - X). To wyrażenie można przedstawić jako funkcję, która przyjmuje wiele wartości. Rozwiązanie problemu wymaga znalezienia ich maksimum, co oznacza, że należy znaleźć punkty ekstremalne.
Aby to zrobić, znajdujemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera. Wynikiem jest proste równanie: 25 - 2X = 0.
Z niego dowiadujemy się, że jeden z boków to X = 12,5.
Dlatego inny: 25 - 12,5 \u003d 12,5.
Okazuje się, że rozwiązaniem problemu będzie kwadrat o boku 12,5 cm.
Jak znaleźć maksymalną prędkość
Rozważmy jeszcze jeden przykład. Wyobraź sobie, że jest ciało ruch prostoliniowy co opisuje równanie S \u003d - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, gdzie przebytą odległość wyraża się w metrach, a czas w sekundach. Wymagane jest znalezienie maksymalnej prędkości. Jak to zrobić? Pobrane znajdź prędkość, czyli pierwszą pochodną.
Otrzymujemy równanie: V = - 3t 2 + 18t - 24. Teraz, aby rozwiązać problem, musimy ponownie znaleźć punkty ekstremalne. Należy to zrobić w taki sam sposób, jak w poprzednim zadaniu. Znajdujemy pierwszą pochodną prędkości i przyrównujemy ją do zera.
Otrzymujemy: - 6t + 18 = 0. Stąd t = 3 s. Jest to czas, kiedy prędkość ciała nabiera wartości krytycznej. Otrzymane dane podstawiamy do równania prędkości i otrzymujemy: V = 3 m/s.
Ale jak zrozumieć, że jest to dokładnie prędkość maksymalna, skoro punktami krytycznymi funkcji mogą być jej największe lub najmniejsze wartości? Aby to sprawdzić, musisz znaleźć drugą pochodną prędkości. Wyraża się to liczbą 6 ze znakiem minus. Oznacza to, że znaleziony punkt jest maksymalny. A w przypadku dodatniej wartości drugiej pochodnej byłoby minimum. Zatem znalezione rozwiązanie było prawidłowe.
Zadania podane jako przykład to tylko część zadań, które można rozwiązać, znajdując punkty ekstremalne funkcji. W rzeczywistości jest ich znacznie więcej. A taka wiedza otwiera przed ludzką cywilizacją nieograniczone możliwości.
Punktem ekstremalnym funkcji jest punkt w dziedzinie funkcji, w którym wartość funkcji przyjmuje wartość minimalną lub maksymalną. Wartości funkcji w tych punktach nazywane są ekstremami (minimum i maksimum) funkcji.
Definicja. Kropka X1 zakres funkcji F(X) jest nazywany maksymalny punkt funkcji jeśli wartość funkcji w tym punkcie więcej wartości funkcji w punktach wystarczająco blisko niej, położonych na prawo i lewo od niej (czyli nierówności F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksymalny.
Definicja. Kropka X2 zakres funkcji F(X) jest nazywany minimalny punkt funkcji, jeśli wartość funkcji w tym punkcie jest mniejsza niż wartości funkcji w punktach wystarczająco blisko niej, znajdujących się na prawo i lewo od niej (to znaczy nierówność F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). W tym przypadku mówi się, że funkcja ma w punkcie X2 minimum.
Powiedzmy, o co chodzi X1 - punkt maksymalny funkcji F(X) . Następnie w przedziale do godz X1 funkcja wzrasta, więc pochodna funkcji jest większa od zera ( F "(X) > 0 ) oraz w przedziale po X1 funkcja jest malejąca, więc pochodna funkcji mniej niż zero (F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1
Załóżmy też, że pkt X2 - punkt minimalny funkcji F(X) . Następnie w przedziale do godz X2 funkcja jest malejąca, a pochodna funkcji jest mniejsza od zera ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcja jest rosnąca i pochodna funkcji jest większa od zera ( F "(X) > 0 ). W tym przypadku również w punkt X2 pochodna funkcji wynosi zero lub nie istnieje.
Twierdzenie Fermata (konieczne kryterium istnienia ekstremum funkcji). Jeśli punkt X0 - punkt ekstremalny funkcji F(X) , to w tym momencie pochodna funkcji jest równa zeru ( F "(X) = 0 ) lub nie istnieje.
Definicja. Nazywa się punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje punkt krytyczny .
Przykład 1 Rozważmy funkcję.
w punkcie X= 0 pochodna funkcji jest równa zeru, a więc punkt X= 0 to punkt krytyczny. Jednak, jak widać na wykresie funkcji, rośnie ona w całej dziedzinie definicji, a więc w punkcie X= 0 nie jest punktem ekstremalnym tej funkcji.
Zatem warunki, że pochodna funkcji w punkcie jest równa zeru lub nie istnieje, są warunkami koniecznymi dla ekstremum, ale niewystarczającymi, ponieważ można podać inne przykłady funkcji, dla których te warunki są spełnione, ale funkcja nie ma ekstremum w odpowiednim punkcie. Dlatego musi mieć wystarczające wskazania, które pozwalają ocenić, czy w danym punkcie krytycznym występuje ekstremum, a które – maksimum czy minimum.
Twierdzenie (pierwsze wystarczające kryterium istnienia ekstremum funkcji). Punkt krytyczny X0 F(X) , jeśli pochodna funkcji zmienia znak przy przejściu przez ten punkt i jeśli znak zmienia się z „plus” na „minus”, to punkt maksymalny, a jeśli z „minus” na „plus”, to punkt minimalny .
Jeśli blisko punktu X0 , na lewo i na prawo od niej, pochodna zachowuje swój znak, to znaczy, że funkcja albo maleje, albo tylko rośnie w jakimś sąsiedztwie punktu X0 . W tym przypadku w punkcie X0 nie ma ekstremum.
Więc, aby określić punkty ekstremalne funkcji, musisz wykonać następujące czynności :
- Znajdź pochodną funkcji.
- Przyrównaj pochodną do zera i wyznacz punkty krytyczne.
- W myślach lub na papierze zaznacz punkty krytyczne na osi liczbowej i określ znaki pochodnej funkcji w powstałych przedziałach. Jeżeli znak pochodnej zmieni się z „plus” na „minus”, wówczas punktem krytycznym jest punkt maksymalny, a jeśli z „minus” na „plus”, wówczas punktem krytycznym jest punkt minimalny.
- Oblicz wartość funkcji w punktach ekstremalnych.
Przykład 2 Znajdź ekstrema funkcji 
.
Rozwiązanie. Znajdźmy pochodną funkcji:
Przyrównaj pochodną do zera, aby znaleźć punkty krytyczne:
.
Ponieważ dla dowolnych wartości „x” mianownik nie jest równy zeru, to licznik przyrównujemy do zera:
Mam jeden punkt krytyczny X= 3 . Znak pochodnej wyznaczamy w przedziałach wyznaczonych tym punktem:
w przedziale od minus nieskończoności do 3 - znak minus, czyli funkcja maleje,
w zakresie od 3 do plus nieskończoności - znak plus, czyli funkcja rośnie.
Czyli punkt X= 3 to punkt minimalny.
Znajdź wartość funkcji w punkcie minimalnym:
Zatem punkt ekstremalny funkcji został znaleziony: (3; 0) i jest to punkt minimalny.
Twierdzenie (drugie wystarczające kryterium istnienia ekstremum funkcji). Punkt krytyczny X0 jest punktem ekstremalnym funkcji F(X), jeśli druga pochodna funkcji w tym punkcie nie jest równa zeru ( F ""(X) ≠ 0 ), ponadto jeśli druga pochodna jest większa od zera ( F ""(X) > 0 ), to punkt maksymalny, a jeśli druga pochodna jest mniejsza od zera ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.
Uwaga 1. Jeśli w punkcie X0 znikają zarówno pierwsza, jak i druga pochodna, to w tym momencie nie można ocenić obecności ekstremum na podstawie drugiego znaku wystarczającego. W takim przypadku musisz użyć pierwszego kryterium wystarczającego dla ekstremum funkcji.
Uwaga 2. Drugie kryterium dostateczne dla ekstremum funkcji również nie ma zastosowania, gdy pierwsza pochodna nie istnieje w punkcie stacjonarnym (wtedy druga pochodna też nie istnieje). W tym przypadku konieczne jest również zastosowanie pierwszego kryterium dostatecznego dla ekstremum funkcji.
Lokalny charakter ekstremów funkcji
Z powyższych definicji wynika, że ekstremum funkcji ma charakter lokalny – jest to największa i najmniejsza wartość funkcji w stosunku do najbliższych jej wartości.
Załóżmy, że rozważasz swoje zarobki w okresie jednego roku. Jeśli w maju zarobiłeś 45 000 rubli, aw kwietniu 42 000 rubli, aw czerwcu 39 000 rubli, to majowe zarobki są maksimum funkcji zarobków w porównaniu do najbliższych wartości. Ale w październiku zarobiłeś 71 000 rubli, we wrześniu 75 000 rubli, aw listopadzie 74 000 rubli, więc zarobki z października to minimum funkcji zarobków w porównaniu z wartościami w pobliżu. I łatwo zauważyć, że maksimum wśród wartości kwiecień-maj-czerwiec jest mniejsze niż minimum wrzesień-październik-listopad.
Ogólnie rzecz biorąc, funkcja może mieć kilka ekstremów na przedziale i może się okazać, że dowolne minimum funkcji jest większe niż dowolne maksimum. Tak więc, dla funkcji pokazanej na powyższym rysunku, .
Oznacza to, że nie należy myśleć, że maksimum i minimum funkcji są odpowiednio jej maksymalnymi i minimalnymi wartościami na całym rozpatrywanym segmencie. W punkcie maksimum funkcja ma największą wartość tylko w porównaniu z tymi wartościami, które ma we wszystkich punktach wystarczająco blisko punktu maksimum, a w punkcie minimum najmniejszą wartość tylko w porównaniu z tymi wartościami że ma we wszystkich punktach wystarczająco blisko punktu minimalnego.
Możemy zatem uściślić pojęcie punktów ekstremalnych podanej powyżej funkcji i nazwać punkty minimalne lokalnymi punktami minimalnymi, a punkty maksymalne - lokalnymi punktami maksymalnymi.
Wspólnie szukamy ekstremów funkcji
Przykład 3
Rozwiązanie Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej. Jego pochodna 
istnieje również na całej osi liczbowej. Dlatego w tym przypadku tylko te, w których , tj. służą jako punkty krytyczne. , skąd i . Punkty krytyczne i podziel całą dziedzinę funkcji na trzy przedziały monotoniczności: . W każdym z nich wybieramy jeden punkt kontrolny i znajdujemy w tym punkcie znak pochodnej.
Dla przedziału punktem odniesienia może być: znajdujemy . Biorąc punkt w przedziale, otrzymujemy , a biorąc punkt w przedziale, mamy . Tak więc w przedziałach i , oraz w przedziale . Zgodnie z pierwszym wystarczającym znakiem ekstremum w punkcie nie ma ekstremum (ponieważ pochodna zachowuje swój znak w przedziale ), a funkcja ma minimum w punkcie (ponieważ pochodna zmienia znak z minusa na plus przy przejściu przez ten punkt). Znajdź odpowiednie wartości funkcji: , i . W przedziale funkcja maleje, ponieważ w tym przedziale , aw przedziale rośnie, ponieważ w tym przedziale.
Aby wyjaśnić konstrukcję wykresu, znajdujemy punkty jego przecięcia z osiami współrzędnych. Gdy otrzymamy równanie, którego pierwiastki i , czyli dwa punkty (0; 0) i (4; 0) wykresu funkcji, zostaną znalezione. Korzystając ze wszystkich otrzymanych informacji, budujemy wykres (patrz na początku przykładu).
Przykład 4 Znajdź ekstrema funkcji i zbuduj jej wykres.
Dziedziną funkcji jest cała oś liczbowa z wyjątkiem punktu, tj. .
Aby skrócić badanie, możemy wykorzystać fakt, że ta funkcja jest parzysta, ponieważ 
. Dlatego jego wykres jest symetryczny względem osi Ojej a badanie można przeprowadzić tylko dla przedziału .
Znalezienie pochodnej 
i punkty krytyczne funkcji:
1) 
;
2) 
,
ale funkcja ulega w tym momencie przerwie, więc nie może to być punkt ekstremalny.
Zatem, dana funkcja ma dwa punkty krytyczne: i . Biorąc pod uwagę parzystość funkcji, sprawdzamy tylko punkt przy drugim wystarczającym znaku ekstremum. Aby to zrobić, znajdujemy drugą pochodną 
i określ jego znak w : otrzymujemy . Skoro i , to jest punktem minimalnym funkcji, podczas gdy 
.
Aby uzyskać pełniejszy obraz wykresu funkcji, dowiedzmy się, jak zachowuje się ona na granicach dziedziny definicji:
(tutaj symbol wskazuje na chęć X do zera po prawej stronie i X pozostaje dodatni; podobnie oznacza dążenie X do zera po lewej stronie i X pozostaje ujemna). Zatem jeśli , to . Dalej znajdujemy
,
te. Jeśli następnie .
Wykres funkcji nie ma punktów przecięcia z osiami. Zdjęcie znajduje się na początku przykładu.
Kontynuujemy wspólne poszukiwanie ekstremów funkcji
Przykład 8 Znajdź ekstrema funkcji.
Rozwiązanie. Znajdź dziedzinę funkcji. Ponieważ nierówność musi być spełniona, otrzymujemy od .
Znajdźmy pierwszą pochodną funkcji:
Znajdźmy punkty krytyczne funkcji.