Studenci zawsze pytają: „Dlaczego nie mogę używać kalkulatora na egzaminie z matematyki? Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez kalkulatora? Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie.
Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez pomocy kalkulatora?
Działanie ekstrakcja pierwiastka kwadratowego przeciwieństwo kwadratu.
√81= 9 9 2 =81
jeśli od Liczba dodatnia weź pierwiastek kwadratowy i podnieś wynik do kwadratu, otrzymamy tę samą liczbę.
Od małych liczb, które są idealnymi kwadratami liczby naturalne, na przykład 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 pierwiastków kwadratowych można wyodrębnić ustnie. Zwykle w szkole uczą tabeli kwadratów liczb naturalnych do dwudziestu. Znając tę tabelę, łatwo jest wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z liczb większych niż 400 można wyodrębnić metodą selekcji, korzystając z kilku wskazówek. Spróbujmy na przykładzie rozważyć tę metodę.
Przykład: Wyodrębnij pierwiastek z liczby 676.
Zauważamy, że 20 2 \u003d 400 i 30 2 \u003d 900, co oznacza 20< √676 < 900.
Dokładne kwadraty liczb naturalnych kończą się na 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Liczba 6 jest dana przez 4 2 i 6 2 .
Tak więc, jeśli pierwiastek pochodzi z 676, to jest to albo 24, albo 26.
Pozostaje sprawdzić: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Odpowiedź: √676 = 26 .
Więcej przykład: √6889 .
Od 80 2 \u003d 6400 i 90 2 \u003d 8100, a następnie 80< √6889 < 90.
Liczba 9 jest dana przez 3 2 i 7 2, wtedy √ 6889 to albo 83 albo 87.
Sprawdź: 83 2 = 6889.
Odpowiedź: √6889 = 83 .
Jeśli masz trudności z rozwiązaniem metodą wyboru, możesz rozłożyć wyrażenie pierwiastka na czynniki.
Na przykład, znajdź √893025.
Rozłóżmy liczbę 893025 na czynniki, pamiętaj, zrobiłeś to w szóstej klasie.
Otrzymujemy: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Więcej przykład: √20736. Rozłóżmy liczbę 20736 na czynniki:
Otrzymujemy √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Faktoring wymaga oczywiście znajomości kryteriów podzielności i umiejętności faktoringu.
I wreszcie jest reguła pierwiastka kwadratowego. Spójrzmy na tę regułę na przykładzie.
Oblicz √ 279841.
Aby wyodrębnić pierwiastek z wielocyfrowej liczby całkowitej, dzielimy ją od prawej do lewej na twarze zawierające po 2 cyfry (na skrajnej lewej ściance może znajdować się jedna cyfra). Napisz tak 27'98'41
Aby uzyskać pierwszą cyfrę pierwiastka (5), wyodrębniamy Pierwiastek kwadratowy od największego dokładnego kwadratu zawartego w pierwszej lewej ścianie (27).
Następnie od pierwszej ściany odejmuje się kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka (25) i różnicy przypisuje się (wyburza) kolejną ścianę (98).
Na lewo od wynikowej liczby 298 zapisują podwójną cyfrę pierwiastka (10), dzielą przez nią liczbę wszystkich dziesiątek wcześniej otrzymanej liczby (29/2 ≈ 2), doświadczają ilorazu (102 ∙ 2 = 204 nie powinno być większe niż 298) i wpisać (2) po pierwszej cyfrze pierwiastka.
Następnie wynikowy iloraz 204 jest odejmowany od 298, a następna ścianka (41) jest przypisywana (wyburzana) różnicy (94).
Na lewo od wynikowej liczby 9441 piszą podwójny iloczyn cyfr pierwiastka (52 ∙ 2 = 104), dzieląc przez ten iloczyn liczbę wszystkich dziesiątek liczby 9441 (944/104 ≈ 9), doświadczenie iloraz (1049 ∙ 9 = 9441) powinien wynosić 9441 i zapisać go (9) po drugiej cyfrze pierwiastka.
Otrzymaliśmy odpowiedź √ 279841 = 529.
Podobnie ekstrakt pierwiastki dziesiętne. Tylko radykalna liczba musi być podzielona na ściany, tak aby przecinek znajdował się między ścianami.
Przykład. Znajdź wartość √ 0,00956484.
Musisz tylko pamiętać, że jeśli dziesiętny ma nieparzystą liczbę miejsc po przecinku, nie bierze dokładnie pierwiastka kwadratowego.
Więc teraz widziałeś trzy sposoby na wyodrębnienie roota. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i ćwicz. Aby nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązywać. A jeśli masz jakieś pytania, zapisz się na moje lekcje.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Na kole pokazała, jak można wyciągnąć pierwiastki kwadratowe z kolumny. Możesz obliczyć pierwiastek z dowolną precyzją, znaleźć tyle cyfr, ile chcesz w jego zapisie dziesiętnym, nawet jeśli okaże się to irracjonalne. Algorytm został zapamiętany, ale pozostały pytania. Nie było jasne, skąd wzięła się metoda i dlaczego daje prawidłowy wynik. Tego nie było w książkach, a może po prostu szukałem w niewłaściwych książkach. W rezultacie, podobnie jak większość tego, co wiem i mogę zrobić dzisiaj, wydobyłem to sam. Dzielę się tutaj swoją wiedzą. Nawiasem mówiąc, nadal nie wiem, gdzie podano uzasadnienie algorytmu)))
Więc najpierw na przykładzie powiem ci „jak działa system”, a potem wyjaśnię, dlaczego tak naprawdę działa.
Weźmy liczbę (liczba jest wzięta „z sufitu”, po prostu przyszła mi do głowy).
1. Jego liczby dzielimy na pary: te, które są na lewo od przecinka, grupujemy po dwie od prawej do lewej, a te po prawej - po dwie od lewej do prawej. dostajemy .
2. Wyciągamy pierwiastek z pierwszej grupy cyfr po lewej stronie - w naszym przypadku tak (oczywiście, że pierwiastka dokładnego nie da się wyciągnąć, bierzemy liczbę, której kwadrat jest jak najbardziej zbliżony do naszej liczby utworzonej przez pierwszej grupy cyfr, ale jej nie przekracza). W naszym przypadku będzie to liczba. Piszemy w odpowiedzi - jest to najwyższa cyfra pierwiastka.
3. Podnosimy liczbę, która jest już w odpowiedzi - to jest - do kwadratu i odejmujemy od pierwszej grupy liczb po lewej stronie - od liczby. W naszym przypadku pozostaje
4. Po prawej stronie przypisujemy następującą grupę dwóch liczb: . Liczba już w odpowiedzi jest mnożona przez , otrzymujemy .
5. Teraz obserwuj uważnie. Musimy dodać jedną cyfrę do liczby po prawej stronie i pomnożyć liczbę przez , czyli przez tę samą przypisaną cyfrę. Wynik powinien być jak najbardziej zbliżony do , ale znowu nie większy niż ta liczba. W naszym przypadku będzie to liczba, piszemy ją w odpowiedzi obok, po prawej stronie. To jest następna cyfra w zapisie dziesiętnym dla naszego pierwiastka kwadratowego.
6. Odejmując produkt od , otrzymujemy .
7. Następnie powtarzamy znane operacje: do otrzymanej liczby przypisujemy następną grupę cyfr po prawej stronie, mnożymy przez > > przypisujemy jedną cyfrę po prawej stronie, tak aby po pomnożeniu przez nią otrzymać liczbę mniejszą, ale najbliższą to - to jest liczba - następna cyfra w zapisie dziesiętnym pierwiastka.
Obliczenia zostaną zapisane w następujący sposób:
A teraz obiecane wyjaśnienie. Algorytm opiera się na formule
Komentarze: 50
2 Antoni:
Zbyt chaotyczny i zagmatwany. Rozbij wszystko na czynniki pierwsze i policz. Plus: wyjaśnij, gdzie w każdym działaniu zastępujemy pożądane wartości. Nigdy wcześniej nie obliczałem pierwiastka w kolumnie - z trudem to rozgryzłem.
5 Julia:
6 :
Julia, 23 lata ten moment napisane po prawej stronie, są to pierwsze dwie (po lewej) już otrzymane cyfry pierwiastka, które są w odpowiedzi. Mnożymy przez 2 zgodnie z algorytmem. Powtarzamy kroki opisane w punkcie 4.
7zzz:
błąd w „6. Od 167 odejmujemy iloczyn 43 * 3 = 123 (129 nada), otrzymujemy 38.”
nie jest jasne, jak po przecinku okazało się, że 08 ...9 Aleksander Fiedotow:
I nawet w epoce przedkalkulatorowej uczono nas w szkole nie tylko kwadratu, ale także pierwiastka sześciennego w kolumnie do wyodrębnienia, ale jest to bardziej żmudna i żmudna praca. Łatwiej było skorzystać z tablic Bradisa lub suwaka logarytmicznego, których uczyliśmy się już w liceum.
10 :
Alexander, masz rację, możesz wyodrębnić do kolumny i pierwiastków o dużych stopniach. Napiszę tylko o tym, jak znaleźć pierwiastek sześcienny.
12 Siergiej Walentinowicz:
Droga Elżbieto Aleksandrowna! Pod koniec lat 70. opracowałem schemat automatycznego (tj. nie poprzez selekcję) obliczania kwadratów. root na maszynie dodającej Felix. Zainteresowanym mogę przesłać opis.
14 Vlad z Engelsstadt:
(((Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego do kolumny)))
Algorytm jest uproszczony, jeśli użyjesz drugiego systemu liczbowego, który jest badany w informatyce, ale jest również przydatny w matematyce. JAKIŚ. Kołmogorow cytował ten algorytm w popularnych wykładach dla uczniów. Jego artykuł można znaleźć w „Kolekcji Czebyszewa” (Mathematical Journal, poszukaj linku do niego w Internecie)
Z tej okazji powiedz:
G. Leibniz rzucił się kiedyś na pomysł przejścia z 10-tego systemu liczbowego na dwójkowy ze względu na jego prostotę i dostępność dla początkujących (gimnazjalistów). Ale łamanie ustalonych tradycji jest jak rozbijanie czołem bram twierdzy: jest to możliwe, ale na nic się to zda. Okazuje się więc, jak mawiał najczęściej cytowany w dawnych czasach brodaty filozof: tradycje wszystkich zmarłych pokoleń tłumią świadomość żyjących.Do zobaczenia następnym razem.
15 Vlad z Engelsstadt:
)) Siergiej Walentinowicz, tak, jestem zainteresowany ... ((
Założę się, że jest to odmiana Feliksa babilońskiej metody wydobywania kwadratowego konia przez kolejne przybliżenia. Algorytm ten został zastąpiony metodą Newtona (metoda styczna)
Zastanawiam się, czy popełniłem błąd w prognozie?
18 :
2Vlad z Engelsstadt
Tak, algorytm binarny powinien być prostszy, to dość oczywiste.
O metodzie Newtona. Może tak jest, ale nadal jest ciekawie
20 Cyryl:
Wielkie dzięki. Ale algorytm nadal nie istnieje, nie wiadomo skąd się wziął, ale wynik jest poprawny. WIELKIE DZIĘKI! Szukałem tego przez długi czas
21 Aleksander:
A jak przebiegnie ekstrakcja pierwiastka z liczby, gdzie druga grupa od lewej do prawej jest bardzo mała? na przykład ulubiony numer każdego z nas to 4 398 046 511 104. po pierwszym odjęciu nie da się kontynuować wszystkiego zgodnie z algorytmem. Czy możesz wyjaśnić, proszę.
22 Aleksiej:
Tak, znam ten sposób. Pamiętam jak czytałem to w książce "Algebra" jakiegoś starego wydania. Następnie, przez analogię, sam wydedukował, jak wyodrębnić pierwiastek sześcienny w tej samej kolumnie. Ale tam jest to już bardziej skomplikowane: każda cyfra nie jest już określana w jednym (jak w przypadku kwadratu), ale w dwóch odejmowaniach, a nawet tam za każdym razem trzeba pomnożyć długie liczby.
23 Artem:
W przykładzie wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z 56789,321 są literówki. Grupa liczb 32 jest przypisana dwukrotnie do liczb 145 i 243, w liczbie 2388025 drugą ósemkę należy zastąpić liczbą 3. Następnie ostatnie odejmowanie należy zapisać w następujący sposób: 2431000 - 2383025 = 47975.
Dodatkowo dzieląc resztę przez podwojoną wartość odpowiedzi (bez przecinka) otrzymujemy dodatkową liczbę cyfr znaczących (47975/(2*238305) = 0,100658819…), które należy dodać do odpowiedzi (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).24 Siergiej:
Najwyraźniej algorytm pochodzi z książki Isaaca Newtona „Ogólna arytmetyka lub książka o syntezie i analizie arytmetycznej”. Oto fragment z niego:
O KORZENIACH
Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby, należy przede wszystkim postawić kropkę nad jej liczbami przez jedynkę, zaczynając od jednostek. Następnie należy wpisać w iloraz lub pierwiastek liczbę, której kwadrat jest równy lub najbliższy defektowi liczb lub cyfr poprzedzających pierwszy punkt. Po odjęciu tego kwadratu pozostałe cyfry pierwiastka będą sukcesywnie znajdowane poprzez podzielenie reszty przez dwukrotność wartości już wyodrębnionej części pierwiastka i odejęcie każdorazowo od reszty kwadratu ostatnią znalezioną cyfrę i jej dziesięciokrotny iloczyn przez nazwany dzielnik.
25 Siergiej:
Popraw tytuł książki „Arytmetyka ogólna lub książka o syntezie i analizie arytmetycznej”
26 Aleksander:
dzięki za interesujące rzeczy. Ale ta metoda wydaje mi się nieco bardziej skomplikowana niż jest to konieczne, na przykład dla ucznia. Używam prostszej metody opartej na dekompozycji funkcja kwadratowa korzystając z dwóch pierwszych pochodnych. Jego formuła to:
sqrt(x)=A1+A2-A3 gdzie
A1 jest liczbą całkowitą, której kwadrat jest najbliższy x;
A2 to ułamek w liczniku x-A1, w mianowniku 2*A1.
Dla większości liczb znalezionych w kurs szkolny, to wystarczy, aby uzyskać wynik z dokładnością do setnych części.
Jeśli potrzebujesz dokładniejszego wyniku, weź
A3 to ułamek w liczniku A2 do kwadratu, w mianowniku 2 * A1 + 1.
Oczywiście do zastosowania potrzebna jest tablica kwadratów liczb całkowitych, ale nie stanowi to problemu w szkole. Zapamiętanie tej formuły jest dość proste.
Jednak wprawia mnie w zakłopotanie, że A3 uzyskałem empirycznie w wyniku eksperymentów z arkuszem kalkulacyjnym i nie do końca rozumiem, dlaczego ten termin ma taką postać. Może doradzicie?27 Aleksander:
Tak, te rozważania też brałem pod uwagę, ale diabeł tkwi w szczegółach. Ty piszesz:
„ponieważ a2 i b już się trochę różnią”. Pytanie brzmi dokładnie, jak mało.
Ta formuła działa dobrze na liczbach drugiej dziesiątki i znacznie gorzej (nie do setnych, tylko do dziesiątek) na liczbach pierwszej dziesiątki. Dlaczego tak się dzieje, trudno jest już zrozumieć bez angażowania instrumentów pochodnych.28 Aleksander:
Wyjaśnię, gdzie widzę zaletę zaproponowanej przeze mnie formuły. Nie wymaga to nie do końca naturalnego dzielenia liczb na pary cyfr, które jak pokazuje doświadczenie często odbywa się z błędami. Jego znaczenie jest oczywiste, ale dla osoby zaznajomionej z analizą jest trywialne. Działa dobrze na liczbach od 100 do 1000, najczęściej spotykanych w szkole.
29 Aleksander:
Nawiasem mówiąc, trochę pogrzebałem i znalazłem dokładne wyrażenie dla A3 w mojej formule:
A3= A22 /2(A1+A2)30 Wasyl Stryżak:
W naszych czasach, powszechne stosowanie technologii komputerowej, kwestia wyodrębnienia kwadratowego konia z liczby z praktycznego punktu widzenia nie jest tego warta. Ale dla miłośników matematyki są oczywiście interesujące różne opcje rozwiązanie tego problemu. W program nauczania metoda tego obliczenia bez angażowania dodatkowych środków powinna odbywać się na równi z mnożeniem i dzieleniem w kolumnie. Algorytm obliczeń powinien być nie tylko zapamiętany, ale także zrozumiały. Klasyczna metoda podana w ten materiał do dyskusji z ujawnieniem istoty, w pełni spełnia powyższe kryteria.
Istotną wadą metody zaproponowanej przez Aleksandra jest użycie tablicy kwadratów liczb całkowitych. O jaką większość liczb napotkanych w kursie szkolnym jest ograniczona, autor milczy. Jeśli chodzi o formułę, to w sumie przemawia do mnie pod względem wysoka precyzja obliczenia.31 Aleksander:
za 30 vasil stryzhak
niczego mi nie brakowało. Zakłada się, że tablica kwadratów ma liczbę do 1000. Za moich czasów po prostu uczyli się tego na pamięć w szkole i było to we wszystkich podręcznikach do matematyki. Wyraźnie nazwałem ten przedział.
Jeśli chodzi o technologię komputerową, nie jest ona używana głównie na lekcjach matematyki, chyba że istnieje specjalny temat korzystania z kalkulatora. Kalkulatory są teraz wbudowane w urządzenia, których używanie na egzaminie jest zabronione.32 Wasyl Stryżak:
Alexander, dzięki za wyjaśnienie!Myślałem, że dla proponowanej metody teoretycznie konieczne jest zapamiętanie lub użycie tabeli kwadratów wszystkich liczb dwucyfrowych.Następnie dla liczb radykalnych nie zawartych w przedziale od 100 do 10000 można użyć sposób ich zwiększania lub zmniejszania o wymagana ilość polecenia przeniesienia przecinka.
33 Wasyl Stryżak:
39 ALEKSANDER:
MÓJ PIERWSZY PROGRAM W JĘZYKU „YAMB” NA RADZIECKIEJ MASZYNIE „ISKRA 555” ZOSTAŁ NAPISANY W CELU WYCIĄGNIĘCIA PIERWIASTKA Z LICZBY ZGODNIE Z WYCIĄGANIEM DO ALGORYTMU KOLUMNOWEGO! a teraz zapomniałem, jak go ręcznie wyodrębnić!
Wydobycie korzenia z duża liczba. Drodzy przyjaciele!W tym artykule pokażemy, jak obliczyć pierwiastek z dużej liczby bez kalkulatora. Jest to konieczne nie tylko do rozwiązywania niektórych rodzajów problemów USE (są takie problemy dotyczące ruchu), ale pożądana jest również znajomość tej techniki analitycznej do ogólnego rozwoju matematycznego.
Wydawałoby się, że wszystko jest proste: rozłóż na czynniki i wyodrębnij. Nie ma problemu. Na przykład liczba 291600 po rozwinięciu da produkt:
obliczamy:
Jest jedno ALE! Metoda jest dobra, jeśli dzielniki 2, 3, 4 itd. są łatwe do wyznaczenia. Ale co jeśli liczba, z której wyodrębniamy pierwiastek, jest iloczynem liczby pierwsze? Na przykład 152881 jest iloczynem liczb 17, 17, 23, 23. Spróbuj od razu znaleźć te dzielniki.
Istota metody, którą rozważamy- to jest czysta analiza Korzeń ze zgromadzoną umiejętnością jest szybko znajdowany. Jeśli umiejętność nie jest wypracowana, ale podejście jest po prostu zrozumiałe, to jest trochę wolniejsze, ale nadal zdeterminowane.
Weźmy pierwiastek z 190969.
Najpierw ustalmy między jakimi liczbami (wielokrotnościami stu) leży nasz wynik.
Oczywiście wynik root of podany numer mieści się w przedziale od 400 do 500, ponieważ
400 2 =160000 i 500 2 =250000
Naprawdę:
w środku, bliżej 160 000 czy 250 000?
Liczba 190969 jest gdzieś pośrodku, ale wciąż bliżej 160000. Możemy stwierdzić, że wynik naszego pierwiastka będzie mniejszy niż 450. Sprawdźmy:
Rzeczywiście, jest to mniej niż 450, od 190 969< 202 500.
Teraz sprawdźmy liczbę 440:
Więc nasz wynik jest mniejszy niż 440, ponieważ 190 969 < 193 600.
Sprawdzanie numeru 430:
Stwierdziliśmy, że wynik dany korzeń mieści się w przedziale od 430 do 440.
Iloczyn liczb kończących się na 1 lub 9 daje liczbę kończącą się na 1. Na przykład 21 razy 21 równa się 441.
Iloczyn liczb kończących się na 2 lub 8 daje liczbę kończącą się na 4. Na przykład 18 razy 18 równa się 324.
Iloczyn liczb kończących się na 5 daje liczbę kończącą się na 5. Na przykład 25 razy 25 równa się 625.
Iloczyn liczb kończących się na 4 lub 6 daje liczbę kończącą się na 6. Na przykład 26 razy 26 równa się 676.
Iloczyn liczb kończących się na 3 lub 7 daje liczbę kończącą się na 9. Na przykład 17 razy 17 równa się 289.
Ponieważ liczba 190969 kończy się cyfrą 9, to ten iloczyn to albo 433, albo 437.
*Tylko one, po podniesieniu do kwadratu, mogą dać 9 na końcu.
Sprawdzamy:
Tak więc wynikiem pierwiastka będzie 437.
Oznacza to, że w pewnym sensie „czuliśmy” właściwą odpowiedź.
Jak widać, maksymalnie wymagane jest wykonanie 5 akcji w kolumnie. Być może od razu przejdziesz do sedna, albo wykonasz tylko trzy czynności. Wszystko zależy od tego, jak dokładnie dokonasz wstępnego oszacowania liczby.
Wyodrębnij swój własny root z 148996
Taki wyróżnik uzyskuje się w zadaniu:
Statek motorowy przepływa wzdłuż rzeki do celu 336 km i po zaparkowaniu wraca do punktu wypłynięcia. Znajdź prędkość statku na wodzie stojącej, jeśli prędkość prądu wynosi 5 km/h, postój trwa 10 godzin, a statek wraca do punktu wypłynięcia po 48 godzinach od opuszczenia go. Podaj odpowiedź w km/h.
Wyświetl rozwiązanie
Wynik pierwiastka jest między liczbami 300 a 400:
300 2 =90000 400 2 =160000
Rzeczywiście 90 000<148996<160000.
Istotą dalszego rozumowania jest ustalenie, w jaki sposób liczba 148996 jest położona (oddalona) względem tych liczb.
Oblicz różnice 148996 - 90000=58996 i 160000 - 148996=11004.
Okazuje się, że 148996 jest bliskie (znacznie bliższe) 160000. Dlatego wynik pierwiastka będzie na pewno większy niż 350, a nawet 360.
Możemy stwierdzić, że nasz wynik jest większy niż 370. Co więcej, jest jasne: skoro 148996 kończy się liczbą 6, oznacza to, że należy podnieść liczbę kończącą się na 4 lub 6 do kwadratu. *Tylko te liczby podniesione do kwadratu dają w koniec 6.
Z poważaniem, Aleksander Krutickikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.
Studenci zawsze pytają: „Dlaczego nie mogę używać kalkulatora na egzaminie z matematyki? Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez kalkulatora? Spróbujmy odpowiedzieć na to pytanie.
Jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby bez pomocy kalkulatora?
Działanie ekstrakcja pierwiastka kwadratowego przeciwieństwo kwadratu.
√81= 9 9 2 =81
Jeśli weźmiemy pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej i podniesiemy wynik do kwadratu, otrzymamy tę samą liczbę.
Z małych liczb, które są dokładnymi kwadratami liczb naturalnych, na przykład 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, można ustnie wyodrębnić pierwiastki kwadratowe. Zwykle w szkole uczą tabeli kwadratów liczb naturalnych do dwudziestu. Znając tę tabelę, łatwo jest wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z liczb większych niż 400 można wyodrębnić metodą selekcji, korzystając z kilku wskazówek. Spróbujmy na przykładzie rozważyć tę metodę.
Przykład: Wyodrębnij pierwiastek z liczby 676.
Zauważamy, że 20 2 \u003d 400 i 30 2 \u003d 900, co oznacza 20< √676 < 900.
Dokładne kwadraty liczb naturalnych kończą się na 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Liczba 6 jest dana przez 4 2 i 6 2 .
Tak więc, jeśli pierwiastek pochodzi z 676, to jest to albo 24, albo 26.
Pozostaje sprawdzić: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Odpowiedź: √676 = 26 .
Więcej przykład: √6889 .
Od 80 2 \u003d 6400 i 90 2 \u003d 8100, a następnie 80< √6889 < 90.
Liczba 9 jest dana przez 3 2 i 7 2, wtedy √ 6889 to albo 83 albo 87.
Sprawdź: 83 2 = 6889.
Odpowiedź: √6889 = 83 .
Jeśli masz trudności z rozwiązaniem metodą wyboru, możesz rozłożyć wyrażenie pierwiastka na czynniki.
Na przykład, znajdź √893025.
Rozłóżmy liczbę 893025 na czynniki, pamiętaj, zrobiłeś to w szóstej klasie.
Otrzymujemy: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Więcej przykład: √20736. Rozłóżmy liczbę 20736 na czynniki:
Otrzymujemy √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Faktoring wymaga oczywiście znajomości kryteriów podzielności i umiejętności faktoringu.
I wreszcie jest reguła pierwiastka kwadratowego. Spójrzmy na tę regułę na przykładzie.
Oblicz √ 279841.
Aby wyodrębnić pierwiastek z wielocyfrowej liczby całkowitej, dzielimy ją od prawej do lewej na twarze zawierające po 2 cyfry (na skrajnej lewej ściance może znajdować się jedna cyfra). Napisz tak 27'98'41
Aby uzyskać pierwszą cyfrę pierwiastka (5), wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z największego dokładnego kwadratu zawartego w pierwszej lewej ścianie (27).
Następnie od pierwszej ściany odejmuje się kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka (25) i różnicy przypisuje się (wyburza) kolejną ścianę (98).
Na lewo od wynikowej liczby 298 zapisują podwójną cyfrę pierwiastka (10), dzielą przez nią liczbę wszystkich dziesiątek wcześniej otrzymanej liczby (29/2 ≈ 2), doświadczają ilorazu (102 ∙ 2 = 204 nie powinno być większe niż 298) i wpisać (2) po pierwszej cyfrze pierwiastka.
Następnie wynikowy iloraz 204 jest odejmowany od 298, a następna ścianka (41) jest przypisywana (wyburzana) różnicy (94).
Na lewo od wynikowej liczby 9441 piszą podwójny iloczyn cyfr pierwiastka (52 ∙ 2 = 104), dzieląc przez ten iloczyn liczbę wszystkich dziesiątek liczby 9441 (944/104 ≈ 9), doświadczenie iloraz (1049 ∙ 9 = 9441) powinien wynosić 9441 i zapisać go (9) po drugiej cyfrze pierwiastka.
Otrzymaliśmy odpowiedź √ 279841 = 529.
Podobnie ekstrakt pierwiastki dziesiętne. Tylko radykalna liczba musi być podzielona na ściany, tak aby przecinek znajdował się między ścianami.
Przykład. Znajdź wartość √ 0,00956484.
Pamiętaj tylko, że jeśli ułamek dziesiętny ma nieparzystą liczbę miejsc po przecinku, pierwiastek kwadratowy nie jest z niego dokładnie wyodrębniany.
Więc teraz widziałeś trzy sposoby na wyodrębnienie roota. Wybierz ten, który najbardziej Ci odpowiada i ćwicz. Aby nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązywać. A jeśli masz jakieś pytania, .
blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
We wstępie do swojego pierwszego wydania In the Realm of Ingenuity (1908) EI Ignatiev pisze: Wyniki są miarodajne tylko wtedy, gdy wprowadzenie w dziedzinę wiedzy matematycznej odbywa się w sposób łatwy i przyjemny, na przedmiotach i przykładach codziennych i codziennych sytuacji, dobranych z należytym dowcipem i zabawą.
We wstępie do wydania „Rola pamięci w matematyce” z 1911 r. E.I. Ignatiew pisze: „… w matematyce należy pamiętać nie o formułach, ale o procesie myślenia”.
Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tablice kwadratów dla liczb dwucyfrowych, można rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z iloczynu. Tabela kwadratów to za mało, wyodrębnienie pierwiastka przez faktoring to czasochłonne zadanie, które też nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu. Spróbuj wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby 209764? Rozkład na czynniki pierwsze daje iloczyn 2 * 2 * 52441. Metodą prób i błędów, wybór - to oczywiście można zrobić, jeśli masz pewność, że jest to liczba całkowita. Sposób, który chcę zasugerować, pozwala w każdym przypadku wziąć pierwiastek kwadratowy.
Kiedyś w instytucie (Perm State Pedagogical Institute) zapoznaliśmy się z tą metodą, o której teraz chcę porozmawiać. Nigdy nie zastanawiałem się, czy ta metoda ma dowód, więc teraz sam musiałem wydedukować jakiś dowód.
Podstawą tej metody jest złożenie liczby =.
=&, tj. &2=596334.
1. Podziel liczbę (5963364) na pary od prawej do lewej (5`96`33`64)
2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy po lewej stronie ( - numer 2). Otrzymujemy więc pierwszą cyfrę liczby &.
3. Znajdź kwadrat pierwszej cyfry (2 2 \u003d 4).
4. Znajdź różnicę między pierwszą grupą a kwadratem pierwszej cyfry (5-4=1).
5. Wyburzamy kolejne dwie cyfry (dostaliśmy numer 196).
6. Podwajamy pierwszą znalezioną cyfrę i zapisujemy ją po lewej stronie za linią (2*2=4).
7. Teraz musisz znaleźć drugą cyfrę liczby &: podwojona pierwsza cyfra, którą znaleźliśmy, staje się cyfrą dziesiątek liczby, pomnożona przez liczbę jednostek, musisz uzyskać liczbę mniejszą niż 196 ( to jest liczba 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 to druga cyfra &.
8. Znajdź różnicę (196-176=20).
9. Niszczymy następną grupę (otrzymujemy numer 2033).
10. Podwój liczbę 24, otrzymamy 48.
11,48 dziesiątek w liczbie, pomnożone przez liczbę jednostek, powinniśmy otrzymać liczbę mniejszą niż 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Znaleziona przez nas cyfra jednostek (4) jest trzecią cyfrą liczby &.
Dowód podaję dla przypadków:
1. Wyciąganie pierwiastka kwadratowego z liczby trzycyfrowej;
2. Wyciąganie pierwiastka kwadratowego z liczby czterocyfrowej.
Przybliżone metody wyodrębniania pierwiastka kwadratowego (bez użycia kalkulatora).
1. Starożytni Babilończycy stosowali następującą metodę, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego z ich liczby x. Przedstawili liczbę x jako sumę a 2 + b, gdzie a 2 jest najbliższym x dokładnie kwadratem liczby naturalnej a (a 2 ? x) i użyli wzoru 
. (1)
Korzystając ze wzoru (1), wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy, na przykład z liczby 28:
Wynik wyodrębnienia pierwiastka z 28 przy użyciu MK 5.2915026.
Jak widać, metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości pierwiastka.
2. Izaak Newton opracował metodę pierwiastka kwadratowego, której początki sięgają Heron z Aleksandrii (ok. 100 rne). Ta metoda (znana jako metoda Newtona) jest następująca.
Pozwalać 1- pierwsze przybliżenie liczby (za 1 można przyjąć wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej - dokładnego kwadratu, który nie przekracza X) .
Kolejne, dokładniejsze przybliżenie 2 liczby
znaleźć według wzoru 
.