Teoria granic jest jedną z gałęzi analizy matematycznej. Kwestia rozwiązywania granic jest dość obszerna, ponieważ istnieją dziesiątki metod rozwiązywania granic różnego rodzaju. Istnieją dziesiątki niuansów i sztuczek, które pozwalają rozwiązać jeden lub drugi limit. Niemniej jednak nadal będziemy próbować zrozumieć główne rodzaje ograniczeń, które najczęściej występują w praktyce.

Zacznijmy od samego pojęcia granicy. Ale najpierw krótkie tło historyczne. Dawno, dawno temu w XIX wieku żył Francuz Augustin Louis Cauchy, który położył podwaliny pod analizę matematyczną i podał ścisłe definicje, w szczególności definicję granicy. Trzeba powiedzieć, że ten sam Cauchy śnił, śnił i będzie śnił w koszmarach wszystkich studentów wydziałów fizycznych i matematycznych, ponieważ udowodnił ogromną liczbę twierdzeń analizy matematycznej, a jedno twierdzenie jest bardziej obrzydliwe od drugiego. W związku z tym nie będziemy rozważać ścisłej definicji limitu, ale spróbujemy zrobić dwie rzeczy:

1. Zrozum, czym jest granica.
2. Naucz się rozwiązywać główne rodzaje ograniczeń.

Przepraszam za niektóre nienaukowe wyjaśnienia, ważne jest, aby materiał był zrozumiały nawet dla czajnika, co zresztą jest zadaniem projektu.

Więc jaka jest granica?

I od razu przykład po co bzykać babcię....

Każdy limit składa się z trzech części:

1) Dobrze znana ikona limitu.
2) Wpisy pod ikoną limitu, w tym przypadku . Wpis brzmi: „x dąży do jedności”. Najczęściej – dokładnie, choć zamiast „x” w praktyce występują inne zmienne. W praktycznych zadaniach zamiast jednostki może być absolutnie dowolna liczba, a także nieskończoność ().
3) Funkcje pod znakiem limitu, w tym przypadku .

Sam zapis brzmi następująco: „granica funkcji, gdy x dąży do jedności”.

Przeanalizujmy następujące ważne pytanie Co oznacza wyrażenie „X”? szuka do jedności? A co to w ogóle jest „starać się”?
Pojęcie granicy jest pojęciem, że tak powiem, dynamiczny. Skonstruujmy ciąg: najpierw , potem , , …, , ….
Oznacza to, że wyrażenie „x szuka do jednego” należy rozumieć następująco – „x” konsekwentnie przyjmuje wartości które są nieskończenie bliskie jedności i praktycznie z nią pokrywają się.

Jak rozwiązać powyższy przykład? Na podstawie powyższego wystarczy podstawić jednostkę w funkcji pod znakiem ograniczenia:

Tak więc pierwsza zasada brzmi: Jeśli podano jakiś limit, najpierw spróbuj podłączyć liczbę do funkcji.

Rozważaliśmy najprostszy limit, ale takie występują również w praktyce i to wcale nie tak rzadko!

Przykład nieskończoności:

Zrozumienie, co to jest? Dzieje się tak, gdy rośnie w nieskończoność, czyli: najpierw, potem, potem, potem i tak w nieskończoność.

A co dzieje się z funkcją w tym czasie?
, , , …

A więc: jeśli , to funkcja dąży do minus nieskończoności:

Z grubsza mówiąc, zgodnie z naszą pierwszą zasadą, zamiast „x” podstawiamy nieskończoność do funkcji i otrzymujemy odpowiedź.

Inny przykład z nieskończonością:

Ponownie zaczynamy zwiększać do nieskończoności i patrzymy na zachowanie funkcji:

Wniosek: dla , funkcja rośnie w nieskończoność:

I kolejna seria przykładów:

Spróbuj samodzielnie przeanalizować w myślach następujące kwestie i zapamiętaj najprostsze rodzaje ograniczeń:

, , , , , , , , ,
Jeśli gdzieś są jakieś wątpliwości, możesz wziąć kalkulator i trochę poćwiczyć.
W takim przypadku spróbuj zbudować sekwencję , , . Jeśli następnie , , .

Uwaga: ściśle mówiąc, takie podejście do budowania sekwencji kilku liczb jest niepoprawne, ale całkiem odpowiednie do zrozumienia najprostszych przykładów.

Zwróć też uwagę na następującą rzecz. Nawet jeśli jest podany limit duża liczba na szczycie, nawet z milionem: wtedy to nie ma znaczenia , bo prędzej czy później „x” przybierze tak gigantyczne wartości, że milion w porównaniu z nimi będzie prawdziwym mikrobem.

Co należy zapamiętać i zrozumieć z powyższego?

1) Gdy mamy określony limit, najpierw po prostu próbujemy wstawić liczbę do funkcji.

2) Musisz zrozumieć i natychmiast rozwiązać najprostsze ograniczenia, takie jak , , itp.

Teraz rozważymy grupę granic, kiedy , a funkcja jest ułamkiem, którego licznikiem i mianownikiem są wielomiany

Przykład:

Oblicz limit

Zgodnie z naszą regułą spróbujemy podstawić nieskończoność do funkcji. Co dostajemy na szczycie? Nieskończoność. A co dzieje się poniżej? Również nieskończoność. Mamy więc do czynienia z tak zwaną nieokreślonością formy. Można by pomyśleć, że i odpowiedź jest gotowa, ale w ogólnym przypadku wcale tak nie jest i trzeba zastosować jakieś rozwiązanie, które teraz rozważymy.

Jak rozwiązać ograniczenia tego typu?

Najpierw patrzymy na licznik i znajdujemy najwyższą potęgę:

Najwyższa potęga w liczniku to dwa.

Teraz patrzymy na mianownik, a także znajdujemy najwyższy stopień:

Najwyższa potęga mianownika to dwa.

Następnie wybieramy najwyższą potęgę licznika i mianownika: in ten przykład pokrywają się i są równe dwóm.

Metoda rozwiązania jest więc następująca: aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez najwyższy stopień.

Oto odpowiedź, a nie nieskończoność.

Co jest istotne przy podejmowaniu decyzji?

Najpierw wskazujemy niepewność, jeśli taka istnieje.

Po drugie, pożądane jest przerwanie rozwiązania dla pośrednich wyjaśnień. Zwykle używam znaku, nie ma on żadnego znaczenia matematycznego, ale oznacza, że ​​rozwiązanie zostało przerwane w celu pośredniego wyjaśnienia.

Po trzecie, w limicie pożądane jest zaznaczenie, do czego i dokąd zmierza. Kiedy praca jest sporządzana ręcznie, wygodniej jest zrobić to w ten sposób:

Do notatek lepiej jest użyć prostego ołówka.

Oczywiście nie możesz nic z tym zrobić, ale być może nauczyciel zauważy niedociągnięcia w rozwiązaniu lub zacznie zadawać dodatkowe pytania dotyczące zadania. A potrzebujesz tego?

Przykład 2

Znajdź granicę
Ponownie w liczniku i mianowniku znajdujemy w najwyższym stopniu:

Maksymalny stopień w liczniku: 3
Maksymalny stopień w mianowniku: 4
Wybierać największy wartość, w tym przypadku cztery.
Zgodnie z naszym algorytmem, aby ujawnić niepewność, dzielimy licznik i mianownik przez .
Pełne zadanie może wyglądać tak:

Podziel licznik i mianownik przez

Przykład 3

Znajdź granicę
Maksymalny stopień „x” w liczniku: 2
Maksymalna potęga „x” w mianowniku: 1 (można zapisać jako)
Aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez . Czyste rozwiązanie może wyglądać tak:

Podziel licznik i mianownik przez

Rekord nie oznacza dzielenia przez zero (nie można dzielić przez zero), ale dzielenie przez nieskończenie małą liczbę.

Tak więc, ujawniając nieokreśloność formy, możemy uzyskać skończoną liczbą, zero lub nieskończoność.

Granice z niepewnością typu i metoda ich rozwiązywania

Następna grupa granic jest nieco podobna do granic rozważanych przed chwilą: w liczniku i mianowniku są wielomiany, ale „x” nie dąży już do nieskończoności, ale do ostateczna liczba.

Przykład 4

Rozwiąż granicę
Najpierw spróbujmy zastąpić -1 w ułamku:

W tym przypadku uzyskuje się tzw. niepewność.

Główna zasada : jeśli w liczniku i mianowniku są wielomiany i istnieje niepewność formy , to dla jej ujawnienia rozłóż licznik i mianownik na czynniki.

Aby to zrobić, często konieczne jest podjęcie decyzji równanie kwadratowe i/lub użyj skróconych wzorów mnożenia. Jeśli zapomnisz o tych rzeczach, odwiedź stronę Wzory i tablice matematyczne i sprawdź materiał metodyczny gorące formuły kurs szkolny matematyka. Nawiasem mówiąc, najlepiej wydrukować, jest to bardzo często wymagane, a informacje z papieru są lepiej przyswajane.

Rozwiążmy więc naszą granicę

Rozkładanie licznika i mianownika na czynniki

Aby rozłożyć licznik na czynniki, musisz rozwiązać równanie kwadratowe:

Najpierw znajdujemy wyróżnik:

I pierwiastek kwadratowy z tego: .

Jeśli wyróżnik jest duży, np. 361, używamy kalkulatora, funkcji ekstrakcji pierwiastek kwadratowy jest na najprostszym kalkulatorze.

! Jeśli korzeń nie zostanie całkowicie wyodrębniony (okazuje się liczba ułamkowa ze średnikiem), bardzo prawdopodobne jest, że wyróżnik został źle obliczony lub w zadaniu jest literówka.

Następnie znajdujemy korzenie:

Zatem:

Wszystko. Licznik jest rozłożony na czynniki.

Mianownik. Mianownik jest już najprostszym czynnikiem i nie ma sposobu, aby go uprościć.

Oczywiście można to skrócić do:

Teraz podstawimy -1 w wyrażeniu, które pozostaje pod znakiem limitu:

Oczywiście na teście, na teście, egzaminie rozwiązanie nigdy nie jest tak szczegółowo namalowane. W ostatecznej wersji projekt powinien wyglądać mniej więcej tak:

Rozłóżmy licznik na czynniki.

Przykład 5

Oblicz limit

Po pierwsze, „czyste” rozwiązanie

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki.

Licznik ułamka:
Mianownik:



,

Co jest ważne w tym przykładzie?
Najpierw musisz dobrze zrozumieć, jak objawia się licznik, najpierw wzięliśmy w nawiasy 2, a następnie użyliśmy wzoru na różnicę kwadratów. To jest formuła, którą musisz znać i zobaczyć.

Metody rozwiązywania granic. Niepewności.
Kolejność wzrostu funkcji. Metoda wymiany

Przykład 4

Znajdź granicę

To jest prostszy przykład dla samodzielna decyzja. W proponowanym przykładzie ponownie niepewność (wyższego rzędu wzrostu niż pierwiastek).

Jeśli „x” dąży do „minus nieskończoności”

Duch „minus nieskończoności” od dawna unosi się w tym artykule. Rozważ granice z wielomianami, w których . Zasady i metody rozwiązania będą dokładnie takie same jak w pierwszej części lekcji, z wyjątkiem kilku niuansów.

Rozważ 4 żetony, które będą wymagane do rozwiązania praktycznych zadań:

1) Oblicz granicę

Wartość limitu zależy tylko od terminu, ponieważ ma on najwyższy rząd wzrostu. Jeśli następnie nieskończenie duże modulo liczba ujemna w JEDNAKOWYM stopniu, w tym przypadku - w czwartym, jest równe "plus nieskończoność": . Stała („dwa”) pozytywny, Dlatego:

2) Oblicz granicę

Oto ponownie stopień naukowy nawet, Dlatego: . Ale z przodu jest „minus” ( negatywny stała –1), zatem:

3) Oblicz granicę

Wartość limitu zależy tylko od . Jak pamiętacie ze szkoły "minus" "wyskakuje" spod nieparzystego stopnia, więc nieskończenie duże modulo liczbę ujemną do potęgi ODD równa się „minus nieskończoność”, w tym przypadku: .
Stała („cztery”) pozytywny, Oznacza:

4) Oblicz granicę

Pierwszy facet w wiosce znowu ma dziwne stopień zresztą w łonie negatywny stała, co oznacza: Zatem:
.

Przykład 5

Znajdź granicę

Korzystając z powyższych punktów, dochodzimy do wniosku, że istnieje tutaj niepewność. Licznik i mianownik mają ten sam rząd wzrostu, co oznacza, że ​​w granicy otrzymamy liczbę skończoną. Uczymy się odpowiedzi, odrzucając cały narybek:

Rozwiązanie jest trywialne:

Przykład 6

Znajdź granicę

To jest przykład zrób to sam. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

A teraz chyba najbardziej subtelny przypadek:

Przykład 7

Znajdź granicę

Biorąc pod uwagę warunki nadrzędne, dochodzimy do wniosku, że jest tu niepewność. Licznik ma wyższy rząd wzrostu niż mianownik, więc od razu możemy powiedzieć, że granicą jest nieskończoność. Ale jaka nieskończoność, „plus” czy „minus”? Odbiór jest ten sam - w liczniku i mianowniku pozbędziemy się drobiazgów:

My decydujemy:

Podziel licznik i mianownik przez

Przykład 15

Znajdź granicę

To jest przykład zrób to sam. Przybliżona próbka wykończenia na koniec lekcji.

Kilka bardziej interesujących przykładów na temat zastępowania zmiennych:

Przykład 16

Znajdź granicę

Podstawienie jednego do granicy powoduje niepewność. Podmiana zmiennej już sugeruje, ale najpierw przeliczamy styczną za pomocą wzoru. Właściwie po co nam styczna?

Zauważ, że zatem . Jeśli nie jest to do końca jasne, spójrz na wartości sinusów w tabela trygonometryczna. W ten sposób natychmiast pozbywamy się czynnika , dodatkowo otrzymujemy bardziej znaną niepewność 0:0. Byłoby miło, gdyby nasz limit również dążył do zera.

zamieńmy:

Jeśli następnie

Pod cosinusem mamy „x”, które również należy wyrazić przez „te”.
Z zamiany wyrażamy: .

Uzupełniamy rozwiązanie:

(1) Wykonanie wymiany

(2) Rozwiń nawiasy pod cosinusem.

(4) Organizować pierwsza cudowna granica, sztucznie pomnożyć licznik przez i odwrotność .

Zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 17

Znajdź granicę

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Były to proste zadania w ich klasie; w praktyce wszystko jest gorsze, aw dodatku formuły redukcyjne, trzeba użyć innego wzory trygonometryczne, a także inne sztuczki. W artykule Complex Limits przeanalizowałem kilka prawdziwych przykładów =)

W przeddzień święta ostatecznie wyjaśnimy sytuację jeszcze jedną częstą niepewnością:

Eliminacja niepewności „jeden do potęgi nieskończoności”

Ta niepewność jest „obsługiwana” druga cudowna granica, aw drugiej części tej lekcji bardzo szczegółowo przyjrzeliśmy się standardowym przykładom rozwiązań, które można znaleźć w praktyce w większości przypadków. Teraz obraz z wystawcami zostanie uzupełniony, ponadto końcowe zadania lekcji będą poświęcone limitom-„sztuczkom”, w których wydaje się, że konieczne jest zastosowanie 2. cudownej granicy, chociaż wcale nie jest to sprawa.

Wadą dwóch działających formuł drugiej niezwykłej granicy jest to, że argument musi dążyć do „plus nieskończoności” lub do zera. Ale co, jeśli argument zmierza do innej liczby?

Na ratunek przychodzi formuła uniwersalna (która jest właściwie konsekwencją drugiego niezwykłego limitu):

Niepewność można wyeliminować za pomocą wzoru:

Gdzieś już wyjaśniłem, co oznaczają nawiasy kwadratowe. Nic specjalnego, nawiasy to tylko nawiasy. Zwykle służą do wyraźnego podkreślenia zapisu matematycznego.

Podkreślmy istotne punkty formuły:

1) Chodzi o tylko o niepewności i nic więcej.

2) Argument „x” może mieć tendencję do dowolna wartość(a nie tylko do zera lub ), w szczególności do „minus nieskończoności” lub do ktokolwiek ostateczna liczba.

Korzystając z tej formuły, możesz rozwiązać wszystkie przykłady lekcji Niezwykłe limity, które należą do 2 cudowna granica. Na przykład obliczmy granicę:

W tym przypadku i zgodnie ze wzorem :

To prawda, nie radzę ci tego robić, w tradycji nadal używasz „zwykłego” projektu rozwiązania, jeśli można go zastosować. Jednakże użycie wzoru jest bardzo wygodne do sprawdzenia„klasyczne” przykłady do drugiej cudownej granicy.

Aplikacja

Ogranicza online do witryny w celu pełnej konsolidacji materiału objętego przez uczniów i uczniów. Jak znaleźć limit online, korzystając z naszego zasobu? Jest to bardzo łatwe do zrobienia, wystarczy poprawnie napisać oryginalną funkcję ze zmienną x, wybrać żądaną nieskończoność z selektora i kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. W przypadku, gdy granicę funkcji należy obliczyć w pewnym punkcie x, należy podać wartość liczbową tego właśnie punktu. Odpowiedź na decyzję o limicie otrzymasz w ciągu kilku sekund, innymi słowy – natychmiast. Jeśli jednak wpiszesz błędne dane, serwis automatycznie powiadomi Cię o błędzie. Popraw wprowadzoną wcześniej funkcję i uzyskaj poprawne rozwiązanie granicy. Aby rozwiązać granice, stosuje się wszystkie możliwe techniki, szczególnie często stosuje się metodę L'Hospitala, ponieważ jest uniwersalna i prowadzi do odpowiedzi szybciej niż inne metody obliczania granicy funkcji. Interesujące jest rozważenie przykładów, w których moduł jest obecny. Nawiasem mówiąc, zgodnie z zasadami naszego zasobu moduł jest oznaczony klasyczną pionową kreską w matematyce „|” lub Abs (f (x)) z łacińskiego absolutu. Często do obliczenia sumy sekwencji liczb wymagane jest rozwiązanie granicy. Jak wszyscy wiedzą, wystarczy poprawnie wyrazić sumę częściową badanej sekwencji, a wtedy wszystko jest znacznie łatwiejsze dzięki naszej bezpłatnej usłudze witryny, ponieważ obliczenie limitu z sumy częściowej jest końcową sumą sekwencji liczbowej . Ogólnie rzecz biorąc, teoria przejścia do granicy jest podstawowym pojęciem wszelkiej analizy matematycznej. Wszystko opiera się właśnie na przejściach granicznych, czyli rozwiązywanie granic jest podstawą nauki analizy matematycznej. Całkowanie wykorzystuje również przejście do granicy, gdy całka jest teoretycznie reprezentowana jako suma nieograniczonej liczby obszarów. Tam, gdzie czegoś jest nieograniczona liczba, czyli dążenie liczby obiektów do nieskończoności, to zawsze obowiązuje teoria przejść granicznych iw ogólnie przyjętej postaci jest to rozwiązanie granic znane każdemu. Rozwiązywanie ograniczeń online na stronie internetowej jest wyjątkowa usługa dla dokładnej i natychmiastowej odpowiedzi w czasie rzeczywistym. Granicą funkcji (wartością graniczną funkcji) w danym punkcie, granicą dziedziny definicji funkcji, jest taka wartość, do której dąży wartość rozważanej funkcji, gdy jej argument dąży do danego punkt. Nierzadko, a nawet powiedzielibyśmy, że bardzo często, uczniowie mają problem z rozwiązywaniem granic online podczas nauki rachunku różniczkowego. Pytając o rozwiązanie limitu online ze szczegółowym rozwiązaniem tylko w szczególnych przypadkach, staje się jasne, że nie da się poradzić sobie z trudnym zadaniem bez użycia obliczeniowego kalkulatora limitów. Rozwiązywanie granic przez nasz serwis to gwarancja dokładności i prostoty Granica funkcji jest uogólnieniem pojęcia granicy ciągu: początkowo granicę funkcji w punkcie rozumiano jako granicę ciąg elementów zakresu funkcji, złożony z obrazów punktów ciągu elementów dziedziny funkcji zbiegających się do danego punktu (granicy, w której jest rozpatrywana); jeśli taka granica istnieje, to mówi się, że funkcja jest zbieżna do określona wartość; jeśli taka granica nie istnieje, to mówi się, że funkcja jest rozbieżna. Rozwiązywanie limitów online staje się łatwą odpowiedzią dla użytkowników, pod warunkiem, że wiedzą, jak rozwiązać limit online za pomocą serwisu. Bądźmy skupieni i nie pozwólmy, aby błędy przysparzały nam kłopotów w postaci niezadowalających ocen. Jak każde rozwiązanie online, Twoje zadanie zostanie przedstawione w wygodny i przejrzysty sposób zrozumiała forma, ze szczegółową decyzją, z zachowaniem wszelkich zasad i przepisów dotyczących uzyskania decyzji. Definicja granicy funkcji jest najczęściej formułowana w języku sąsiedztw. Tutaj granice funkcji są rozpatrywane tylko w punktach, które są granicznymi dziedzinami funkcji, co oznacza, że ​​w każdym sąsiedztwie danego punktu znajdują się punkty z dziedziny definicji tej właśnie funkcji. To pozwala nam mówić o tendencji argumentu funkcji do danego punktu. Ale punkt graniczny dziedziny definicji nie musi należeć do samej dziedziny, czego dowodzi rozwiązanie granicy: na przykład można rozważyć granicę funkcji na końcach przedziału otwartego, na którym funkcja definiuje. W tym przypadku same granice przedziału nie wchodzą w zakres definicji. W tym sensie układ przebitych sąsiedztw danego punktu jest szczególny przypadek taka baza zestawów. Rozwiązywanie limitów online ze szczegółowym rozwiązaniem odbywa się w czasie rzeczywistym i stosowanie formuł w jawnej formie.Możesz zaoszczędzić czas, a co najważniejsze pieniądze, ponieważ nie prosimy o wynagrodzenie za to. Jeżeli w pewnym punkcie dziedziny funkcji istnieje granica, a rozwiązanie tej granicy jest równe wartości funkcji w danym punkcie, to funkcja jest w tym punkcie ciągła. Na naszej stronie internetowej rozwiązanie limitów jest dostępne online 24 godziny na dobę, każdego dnia i każdej minuty.Korzystanie z kalkulatora limitów jest bardzo ważne i najważniejsze jest, aby używać go za każdym razem, gdy potrzebujesz sprawdzić swoją wiedzę. Studenci wyraźnie korzystają z całej tej funkcjonalności. Obliczenie granicy, używając i stosując tylko teorię, nie zawsze jest tak łatwe, jak mówią doświadczeni studenci wydziałów matematycznych krajowych uniwersytetów. Fakt pozostaje faktem w obecności celu. Zwykle znalezione rozwiązanie granic nie ma zastosowania lokalnie do problemów z ustawianiem. Uczeń ucieszy się, gdy tylko odkryje kalkulator limitów online w Internecie iw Internecie Darmowy dostęp, i to nie tylko dla siebie, ale dla wszystkich chętnych. Za powołanie należy uznać matematykę, ogólnie jej rozumienie. Jeśli zapytasz w Internecie, jak szczegółowo znaleźć limit online, to masa witryn, które pojawiają się w wyniku zapytania, nie pomoże w sposób, w jaki to robimy. Różnica stron jest mnożona przez równoważność wystąpienia. Pierwotnie uzasadniona granica funkcji musi być określona przez ich sformułowanie samego problemu matematycznego. Hamilton miał rację, ale warto zastanowić się nad wypowiedziami jemu współczesnych. Daleko od obliczania limitów online tak nie jest trudne zadanie, jak może się komuś wydawać na pierwszy rzut oka.. Aby nie łamać prawdziwości niewzruszonych teorii. Wracając do sytuacji wyjściowej, konieczne jest szybkie, sprawne i zgrabnie sformatowane obliczenie limitu. Czy można było postąpić inaczej? Takie podejście jest oczywiste i uzasadnione. Kalkulator limitów powstał w celu zwiększenia wiedzy, poprawy jakości pisania Praca domowa i podniesienie ogólnego nastroju wśród uczniów, więc będzie to dla nich odpowiednie. Musisz tylko myśleć tak szybko, jak to możliwe, a umysł zatriumfuje. Wyraźne mówienie o ograniczeniach online w kategoriach interpolacji jest bardzo wyrafinowanym ćwiczeniem dla profesjonalistów w swoim fachu. Przewidujemy stosunek układu nieplanowanych różnic w punktach w przestrzeni. I znowu problem sprowadza się do niepewności, opierając się na fakcie, że granica funkcji istnieje w nieskończoności iw pewnym sąsiedztwie lokalnego punktu na danej osi x po przekształceniu afinicznym wyrażenia początkowego. Łatwiej będzie analizować wznoszenie się punktów na płaszczyźnie i na szczycie przestrzeni. W stanowisko ogólne nic nie mówi się o wyprowadzaniu formuły matematycznej, zarówno w naturze, jak iw teorii, więc internetowy kalkulator limitów jest używany zgodnie z jego przeznaczeniem w tym sensie. Bez zdefiniowania granicy w Internecie trudno mi prowadzić dalsze obliczenia w zakresie badania przestrzeni krzywoliniowej. Nie byłoby łatwiej znaleźć prawdziwą poprawną odpowiedź. Czy nie można obliczyć granicy, jeśli dany punkt w przestrzeni jest z góry niezdefiniowany? Odrzućmy obecność odpowiedzi poza kierunkiem studiów. Z punktu widzenia analizy matematycznej można spierać się o rozwiązanie granic jako początek badania ciągu punktów na osi. Niewłaściwy może być sam fakt działania obliczeń. Liczby są reprezentowane jako nieskończona sekwencja i są identyfikowane z początkowym zapisem po szczegółowym rozwiązaniu limitu online zgodnie z teorią. uzasadnione na korzyść najlepsza wartość. Wynik ograniczenia funkcji, jako oczywisty błąd źle ustawionego zadania, może zniekształcić wyobrażenie o rzeczywistości proces mechaniczny niestabilny układ. Możliwość wyrażania znaczenia bezpośrednio w rzutni. Porównując limit online z podobnym zapisem jednostronnej wartości limitu, lepiej unikać jednoznacznego wyrażania go za pomocą wzorów redukcyjnych. Oprócz rozpoczęcia proporcjonalnej realizacji zadania. Wielomian rozszerzamy, gdy uda nam się obliczyć granicę jednostronności i zapisać ją w nieskończoności. Proste refleksje prowadzą w analizie matematycznej do prawdziwego wyniku. Proste rozwiązanie granic często sprowadza się do różnego stopnia równości wykonywalnych przeciwstawnych ilustracji matematycznych. Linie i liczby Fibonacciego rozszyfrowały internetowy kalkulator limitów, w zależności od tego możesz zamówić obliczenie bez limitu, a złożoność może zniknąć w tle. Jest proces rozkładanie wykresu na płaszczyźnie w wycinku przestrzeni trójwymiarowej. To zaszczepiło potrzebę różnych poglądów na złożony problem matematyczny. Jednak wynik nie pozwoli ci czekać. Jednak trwający proces realizacji iloczynu rosnącego zniekształca przestrzeń linii i zapisuje online limit na zapoznanie się ze stwierdzeniem problemu. Naturalność przebiegu procesu nawarstwiania się problemów determinuje potrzebę znajomości wszystkich obszarów dyscyplin matematycznych. Doskonały kalkulator limitów stanie się niezastąpione narzędzie w rękach zdolnych studentów, którzy docenią wszystkie jego zalety w stosunku do analogów postępu cyfrowego. W szkołach z jakiegoś powodu limity online nazywane są inaczej niż w instytutach. Wartość funkcji będzie rosła wraz ze zmianą argumentu. Nawet Lopital powiedział - znalezienie granicy funkcji to dopiero połowa sukcesu, konieczne jest doprowadzenie zadania do logicznego zakończenia i przedstawienie odpowiedzi w rozszerzonej formie. Rzeczywistość jest adekwatna do stanu faktycznego w sprawie. Historycznie powiązany z limitem online ważne aspekty dyscyplin matematycznych i stanowią podstawę badań nad teorią liczb. Kodowanie strony we wzorach matematycznych jest dostępne w języku klienta w przeglądarce. Jak obliczyć granicę za pomocą akceptowalnej legalnej metody, bez wymuszania zmiany kierunku osi x funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, rzeczywistość przestrzeni zależy nie tylko od wypukłości funkcji czy jej wklęsłości. Wyeliminuj wszystkie niewiadome z problemu, a rozwiązanie granic zmniejszy się do najniższy koszt posiadanych zasobów matematycznych. Rozwiązanie postawionego zadania poprawi funkcjonalność o sto procent. Co się dzieje wartość oczekiwana szczegółowo dotknie limitu online w odniesieniu do odchylenia od najmniej znaczącego współczynnika funkcji. Minęły trzy dni od podjęcia matematycznej decyzji na korzyść nauki. To naprawdę przydatna czynność. Bez powodu, dla którego nie ma limitu, online oznaczałoby rozbieżność w ogólnym podejściu do rozwiązywania problemów sytuacyjnych. najlepszy tytuł w przyszłości wymagana będzie jednostronna granica z niepewnością 0/0. Zasób może być nie tylko piękny i dobry, ale także przydatny, gdy może obliczyć dla Ciebie limit. Wielki naukowiec jako student badał funkcje pisania Praca naukowa. Minęło dziesięć lat. Przed różnymi niuansami warto jednoznacznie skomentować matematyczne oczekiwanie na korzyść faktu, że granica funkcji zapożycza rozbieżność głównych. Na zamówionym test odpowiedział. W matematyce wyjątkową pozycją w nauczaniu jest, o dziwo, badanie granicy online z wzajemnymi relacjami z osobami trzecimi. Jak to zwykle bywa. Nie możesz w nic grać. Po przeanalizowaniu podejścia studiujących studentów do teorii matematycznych, decyzję o granicach pozostawimy na koniec. To jest znaczenie następujących, zbadaj tekst. Refrakcja jednoznacznie definiuje wyrażenie matematyczne jako istotę odbieranej informacji. limit online jest istotą określenia prawdziwej pozycji układ matematyczny względność wektorów wielokierunkowych. W tym sensie chcę wyrazić własna opinia. Podobnie jak w poprzednim zadaniu. Charakterystyczny limit online szczegółowo rozszerza jego wpływ na matematyczny pogląd na sekwencyjne badanie analizy programu w dziedzinie studiów. W kontekście teorii matematyka jest czymś wyższym niż tylko nauka. Lojalność potwierdza się czynami. Nie jest możliwe celowe przerwanie łańcucha kolejnych liczb, które rozpoczynają swój ruch w górę, jeśli limit jest źle obliczony. Dwustronna powierzchnia jest wyrażona w swojej naturalnej postaci w pełnym rozmiarze. Oprócz możliwości zbadania analizy matematycznej, granica funkcji obejmuje ciąg szeregów funkcyjnych jako sąsiedztwo epsilon w danym punkcie. W przeciwieństwie do teorii funkcji błędy w obliczeniach nie są wykluczone, ale sytuacja to przewiduje. Dzieląc przez granicę problemu online, można wypisać funkcję dywergencji zmiennej dla szybkiego iloczynu nieliniowego układu przestrzeni trójwymiarowej. Przypadek trywialny jest podstawą operacji. Nie trzeba być studentem, aby przeanalizować ten przypadek. Zbiór momentów trwającej kalkulacji, początkowo rozwiązanie granic, określa sposób funkcjonowania całości kompletny system postęp wzdłuż osi y na wiele znaczeń liczby. Za wartość bazową przyjmujemy najmniejszą możliwą wartość matematyczną. Wniosek jest oczywisty. Odległość między płaszczyznami pomoże rozszerzyć teorię granic online, ponieważ zastosowanie metody rozbieżnego obliczania okołobiegunowego aspektu istotności nie ma właściwego znaczenia. Świetny wybór, jeśli kalkulator limitów znajduje się na serwerze, można go przyjąć bez zniekształcania znaczenia zmiany powierzchni w obszarach, w przeciwnym razie problem liniowości będzie większy. Pełna analiza matematyczna wykazała niestabilność układu wraz z jej opisem w rejonie najmniejszego sąsiedztwa punktu. Jak każda granica funkcji wzdłuż osi przecięcia rzędnych i odciętych, można wnioskować wartości liczbowe obiekty w jakimś minimalnym sąsiedztwie zgodnie z rozkładem funkcjonalności procesu badawczego. Wypiszmy zadanie punkt po punkcie. Istnieje podział na etapy pisania. Oświadczenia akademickieże obliczenie granicy jest naprawdę trudne lub wcale nie jest łatwe, poparte są analizą poglądów matematycznych wszystkich bez wyjątku studentów i doktorantów. Ewentualne wyniki pośrednie nie pozwolą Ci czekać przez długi czas. Powyższa granica online szczegółowo eksploruje absolutne minimum systemowej różnicy obiektów, powyżej którego liniowość przestrzeni matematyki jest zniekształcona. Segmentacja obszaru na dużym obszarze nie jest wykorzystywana przez uczniów do obliczania wielokrotnej rozbieżności po napisaniu internetowego kalkulatora limitu odejmowania. Po rozpoczęciu zabronimy studentom powtórki problemów do badania środowiska przestrzennego w matematyce. Ponieważ znaleźliśmy już granicę funkcji, zbudujmy wykres jej badania na płaszczyźnie. Zaznaczmy oś y specjalnym kolorem i pokażmy kierunek linii. Jest stabilność. Niepewność jest obecna przez długi czas podczas pisania odpowiedzi. Oblicz granicę funkcji w punkcie, po prostu analizując różnicę granic w nieskończoności w warunkach początkowych. Ta metoda nie jest znana każdemu użytkownikowi. Potrzebujemy analizy matematycznej. Rozwiązanie granic gromadzi doświadczenie w umysłach pokoleń na wiele lat. Nie można nie komplikować tego procesu. Za jego zakończenie odpowiedzialni są uczniowie wszystkich pokoleń. Wszystko to może zacząć się zmieniać w przypadku braku ustalającego argumentu w postaci położenia funkcji w pobliżu pewnego punktu, który pozostaje w tyle za kalkulatorami granicznymi pod względem różnicy w mocy obliczeniowej. Przestudiujmy funkcję, aby uzyskać wynikową odpowiedź. Wniosek nie jest oczywisty. Wyłączając z Łączna niejawnie predefiniowane funkcje po przeliczeniu wyrażeń matematycznych pozostaje ostatni krok, aby poprawnie iz wysoka precyzja znajdź limity online. Konieczne jest sprawdzenie dopuszczalności wydanej decyzji. Proces trwa. Zlokalizuj sekwencję w oderwaniu od funkcji i wykorzystując swoje ogromne doświadczenie, matematycy muszą obliczyć granicę uzasadniającą właściwy kierunek badania. Taki wynik nie wymaga teoretycznego wzrostu. Zmień proporcję liczb w jakimś sąsiedztwie niezerowego punktu na osi x do bocznego kalkulatora granicznego online zmiennego przestrzennego kąta nachylenia w ramach pisemnego zadania z matematyki. Połączmy dwa obszary w przestrzeni. Nieporozumienia rozwiązujących co do tego, w jaki sposób granica funkcji uzyskuje właściwości jednostronnych wartości w przestrzeni, nie mogą być ignorowane przez wzmocnione kontrolowane działania uczniów. Kierunek w matematyce online limit zajął jedno z najmniejszych spornych stanowisk co do niepewności w obliczeniach tych właśnie limitów. Już na wczesnym etapie nauki uczeń nauczy się na pamięć internetowego kalkulatora granicznego wysokości trójkątów i sześcianów równoramiennych o boku równym promieniom trzech okręgów. Pozostawmy sumieniu studentów rozwiązanie granic w badaniu funkcjonującego matematycznego układu osłabionego od strony płaszczyzny badawczej. Pogląd ucznia na teorię liczb jest niejednoznaczny. Każdy ma swoją opinię. Właściwy kierunek w nauce matematyki pomoże obliczyć granicę w prawdziwy sens, jak to jest w zwyczaju na uniwersytetach krajów rozwiniętych. Cotangens w matematyce jest obliczany jako kalkulator granic i jest stosunkiem dwóch innych elementarnych funkcje trygonometryczne, a mianowicie cosinus i sinus argumentu. To kończy rozwiązanie na pół segmentach. Jest mało prawdopodobne, aby inne podejście rozwiązało sytuację na korzyść chwili przeszłej. Można długo mówić o tym, jak bardzo trudne i bezużyteczne jest szczegółowe rozwiązywanie limitu online bez zrozumienia, ale takie podejście sprzyja budowaniu wewnętrznej dyscypliny uczniów na lepsze.

Matematyka jest nauką, która buduje świat. Zarówno naukowiec, jak i zwykły człowiek - nikt nie może się bez niego obejść. Najpierw małe dzieci uczy się liczyć, a następnie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić Liceum wejść do gry oznaczenia literowe, aw starszym nie można już się bez nich obejść.

Ale dzisiaj porozmawiamy o tym, na czym opiera się cała znana matematyka. O wspólnocie liczb zwanej „granicami sekwencji”.

Co to są ciągi i gdzie leży ich granica?

Znaczenie słowa „sekwencja” nie jest trudne do interpretacji. Jest to taka konstrukcja rzeczy, gdzie ktoś lub coś znajduje się w określonej kolejności lub kolejce. Na przykład kolejka po bilety do zoo to sekwencja. A może być tylko jeden! Jeśli np. spojrzysz na kolejkę do sklepu, to jest to jedna sekwencja. A jeśli jedna osoba nagle opuści tę kolejkę, to jest to inna kolejka, inna kolejność.

Słowo „limit” jest również łatwe do zinterpretowania - to jest koniec czegoś. Jednak w matematyce granicami sekwencji są te wartości na linii liczbowej, do których dąży sekwencja liczb. Dlaczego dąży i nie kończy? To proste, oś liczbowa nie ma końca, a większość ciągów, jak promienie, ma tylko początek i wygląda tak:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Stąd definicja ciągu jest funkcją argumentu naturalnego. Więcej w prostych słowach jest szeregiem członków pewnego zbioru.

Jak zbudowany jest ciąg liczb?

Najprostszy przykład sekwencji liczb może wyglądać następująco: 1, 2, 3, 4, …n…

W większości przypadków ze względów praktycznych ciągi są budowane z liczb, a każdy kolejny element ciągu, oznaczmy go przez X, ma swoją nazwę. Na przykład:

x 1 - pierwszy element ciągu;

x 2 - drugi element ciągu;

x 3 - trzeci członek;

x n jest n-tym członkiem.

W metodach praktycznych kolejność jest podana ogólna formuła, który zawiera pewną zmienną. Na przykład:

X n \u003d 3n, wtedy sama seria liczb będzie wyglądać następująco:

Warto pamiętać, że w ogólnej notacji ciągów można używać dowolnych liter łacińskich, a nie tylko X. Np.: y, z, k itd.

Postęp arytmetyczny jako część ciągu

Zanim zaczniemy szukać granic sekwencji, warto zagłębić się w samą ich koncepcję serie liczb, z którymi borykali się wszyscy, gdy byli w klasach średnich. Postęp arytmetyczny to szereg liczb, w których różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.

Zadanie: „Niech a 1 \u003d 15, a krok progresji serii liczb d \u003d 4. Zbuduj pierwsze 4 elementy tego rzędu"

Rozwiązanie: a 1 = 15 (według warunku) jest pierwszym elementem progresji (serii liczb).

a 2 = 15+4=19 to drugi element progresji.

a 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 to trzeci wyraz.

a 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 to czwarty wyraz.

Jednak przy tej metodzie trudno jest osiągnąć duże wartości, na przykład do 125.. Specjalnie dla takich przypadków wyprowadzono wzór wygodny w praktyce: a n \u003d a 1 + d (n-1). W tym przypadku a 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Typy sekwencji

Większość sekwencji nie ma końca, warto zapamiętać je na całe życie. Istnieją dwa ciekawe gatunki Numer linii. Pierwszy jest określony wzorem a n =(-1) n . Matematycy często odwołują się do tych sekwencji migaczy. Dlaczego? Sprawdźmy jego liczby.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 itd. Na tym przykładzie staje się jasne, że liczby w sekwencjach można łatwo powtarzać.

ciąg czynnikowy. Nietrudno zgadnąć, że w formule definiującej ciąg występuje silnia. Na przykład: i n = (n+1)!

Wtedy sekwencja będzie wyglądać następująco:

i 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

i 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 itd.

Sekwencja określona przez ciąg arytmetyczny nazywana jest nieskończenie malejącą, jeśli dla wszystkich jej elementów zachodzi nierówność -1

i 3 \u003d - 1/8 itd.

Istnieje nawet ciąg składający się z tej samej liczby. Tak więc i n \u003d 6 składa się z nieskończonej liczby szóstek.

Wyznaczanie granicy sekwencji

Granice sekwencji istnieją od dawna w matematyce. Oczywiście zasługują na własny kompetentny projekt. Czas więc poznać definicję granic sekwencji. Najpierw rozważ szczegółowo granicę funkcji liniowej:

1. Wszystkie limity oznaczane są skrótem lim.
2. Wpis graniczny składa się ze skrótu lim, jakiejś zmiennej dążącej do pewnej liczby, zera lub nieskończoności, a także samej funkcji.

Łatwo zrozumieć, że definicję granicy ciągu można sformułować następująco: jest to pewna liczba, do której wszystkie elementy ciągu zbliżają się w nieskończoność. Prosty przykład: i x = 4x+1. Wtedy sama sekwencja będzie wyglądać tak.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Ciąg ten będzie więc rosnąć w nieskończoność, co oznacza, że ​​jego granica jest równa nieskończoności jako x→∞, co należy zapisać następująco:

Jeśli weźmiemy podobny ciąg, ale x dąży do 1, otrzymamy:

A seria liczb będzie następująca: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Za każdym razem musisz zastępować liczbę coraz bliżej jednego (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tego szeregu widać, że granica funkcji wynosi pięć.

Z tej części warto przypomnieć sobie, jaka jest granica ciągu liczbowego, definicja i metoda rozwiązywania prostych zadań.

Ogólny zapis granicy ciągów

Po przeanalizowaniu granicy ciągu liczbowego, jego definicji i przykładów możemy przejść do bardziej złożonego tematu. Absolutnie wszystkie granice ciągów można sformułować za pomocą jednego wzoru, który jest zwykle analizowany w pierwszym semestrze.

Co więc oznacza ten zestaw liter, modułów i znaków nierówności?

∀ jest uniwersalnym kwantyfikatorem, zastępującym zwroty „za wszystkich”, „za wszystko” itp.

∃ jest kwantyfikatorem istnienia, w tym przypadku oznacza to, że istnieje pewna wartość N należąca do zbioru liczb naturalnych.

Długi pionowy drążek po N oznacza, że ​​dany zbiór N jest „taki, że”. W praktyce może to oznaczać „taki, że”, „taki, że” itp.

Aby utrwalić materiał, przeczytaj na głos formułę.

Niepewność i pewność granicy

Omówiona powyżej metoda znajdowania granicy ciągów, choć prosta w użyciu, nie jest tak racjonalna w praktyce. Spróbuj znaleźć granicę dla tej funkcji:

Jeśli podstawimy różne wartości x (za każdym razem zwiększając: 10, 100, 1000 itd.), to otrzymamy ∞ w liczniku, ale też ∞ w mianowniku. Okazuje się, że jest to dość dziwny ułamek:

Ale czy tak jest naprawdę? Obliczenie granicy ciągu liczbowego w tym przypadku wydaje się dość łatwe. Można by zostawić wszystko tak, jak jest, bo odpowiedź jest gotowa i otrzymano ją na rozsądnych warunkach, ale jest inny sposób specjalnie dla takich przypadków.

Najpierw znajdźmy najwyższy stopień w liczniku ułamka - to jest 1, ponieważ x można przedstawić jako x 1.

Teraz znajdźmy najwyższy stopień w mianowniku. Również 1.

Podziel zarówno licznik, jak i mianownik przez zmienną do najwyższego stopnia. W tym przypadku dzielimy ułamek przez x 1.

Następnie znajdźmy, do jakiej wartości dąży każdy termin zawierający zmienną. W tym przypadku brane są pod uwagę ułamki. Ponieważ x→∞ wartość każdego z ułamków dąży do zera. Przygotowując referat w formie pisemnej, warto zrobić następujące przypisy:

Otrzymuje się następujące wyrażenie:

Oczywiście ułamki zawierające x nie stały się zerami! Ale ich wartość jest tak mała, że ​​całkiem dopuszczalne jest nieuwzględnianie jej w obliczeniach. W rzeczywistości x nigdy nie będzie równe 0 w tym przypadku, ponieważ nie można dzielić przez zero.

Co to jest sąsiedztwo?

Załóżmy, że profesor ma do dyspozycji złożony ciąg, dany oczywiście nie mniej złożonym wzorem. Profesor znalazł odpowiedź, ale czy pasuje? W końcu wszyscy ludzie popełniają błędy.

Auguste Cauchy wymyślił świetny sposób na udowodnienie granic ciągów. Jego metodę nazwano operacją sąsiedzką.

Załóżmy, że istnieje punkt a, którego sąsiedztwo w obu kierunkach na prostej rzeczywistej jest równe ε („epsilon”). Ponieważ ostatnią zmienną jest odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia.

Ustawmy teraz pewien ciąg x n i załóżmy, że dziesiąty element ciągu (x 10) należy do sąsiedztwa a. Jak zapisać ten fakt językiem matematycznym?

Załóżmy, że x 10 znajduje się na prawo od punktu a, to odległość x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Teraz nadszedł czas, aby wyjaśnić w praktyce wspomnianą formułę. Uczciwie jest nazwać pewną liczbę punktem końcowym ciągu, jeśli nierówność ε>0 zachodzi dla którejkolwiek z jego granic, a całe sąsiedztwo ma swoją własną liczbę naturalną N, tak że wszystkie elementy ciągu o wyższych liczbach będą znajdować się wewnątrz ciągu |x n - a|< ε.

Mając taką wiedzę, łatwo jest rozwiązać granice ciągu, udowodnić lub obalić gotową odpowiedź.

Twierdzenia

Twierdzenia o granicach ciągów są ważnym składnikiem teorii, bez którego praktyka jest niemożliwa. Istnieją tylko cztery główne twierdzenia, pamiętając o których, możesz znacznie ułatwić proces rozwiązania lub udowodnienia:

1. Jednoznaczność granicy ciągu. Każda sekwencja może mieć tylko jedną granicę lub nie mieć jej wcale. Ten sam przykład z kolejką, która może mieć tylko jeden koniec.
2. Jeśli seria liczb ma granicę, to sekwencja tych liczb jest ograniczona.
3. Granica sumy (różnicy, iloczynu) ciągów jest równa sumie (różnicy, iloczynu) ich granic.
4. Granica ilorazu dwóch ciągów jest równa ilorazowi granic wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik nie znika.

Dowód sekwencji

Czasami wymagane jest rozwiązanie problemu odwrotnego, aby udowodnić daną granicę ciągu liczbowego. Spójrzmy na przykład.

Udowodnij, że granica ciągu określonego wzorem jest równa zeru.

Zgodnie z powyższą regułą dla dowolnego ciągu nierówność |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Wyraźmy n za pomocą „epsilon”, aby pokazać istnienie pewnej liczby i udowodnić istnienie granicy ciągu.

Na tym etapie ważne jest, aby przypomnieć, że „epsilon” i „en” są liczbami dodatnimi i nie są równe zeru. Teraz możesz kontynuować dalsze przekształcenia, korzystając z wiedzy o nierównościach zdobytej w szkole średniej.

Stąd okazuje się, że n > -3 + 1/ε. Ponieważ warto pamiętać, że mówimy o liczbach naturalnych, wynik można zaokrąglić, umieszczając go w nawiasach kwadratowych. Udowodniono zatem, że dla dowolnej wartości z sąsiedztwa „epsilon” punktu a = 0 znaleziono taką wartość, że początkowa nierówność jest spełniona. Z tego możemy śmiało stwierdzić, że liczba a jest granicą danego ciągu. co było do okazania

Dzięki tak wygodnej metodzie możesz udowodnić granicę ciągu liczbowego, bez względu na to, jak skomplikowany może się on wydawać na pierwszy rzut oka. Najważniejsze, aby nie panikować na widok zadania.

A może on nie istnieje?

Istnienie granicy sekwencji nie jest w praktyce konieczne. Łatwo znaleźć takie serie liczb, które tak naprawdę nie mają końca. Na przykład ten sam flasher x n = (-1) n . jest oczywiste, że sekwencja składająca się tylko z dwóch cyklicznie powtarzających się cyfr nie może mieć granicy.

Ta sama historia powtarza się z ciągami składającymi się z pojedynczej liczby, ułamkowej, mającej w trakcie obliczeń niepewność dowolnego rzędu (0/0, ∞/∞, ∞/0 itd.). Należy jednak pamiętać, że dochodzi również do błędnych obliczeń. Czasami ponowne sprawdzenie własnego rozwiązania pomoże ci znaleźć granicę sukcesji.

sekwencja monotoniczna

Powyżej rozważyliśmy kilka przykładów sekwencji, metod ich rozwiązywania, a teraz spróbujmy wziąć bardziej konkretny przypadek i nazwać go „sekwencją monotoniczną”.

Definicja: każdy ciąg można nazwać rosnącym monotonicznie, jeśli spełnia on ścisłą nierówność x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Wraz z tymi dwoma warunkami istnieją również podobne nieścisłe nierówności. Odpowiednio, x n ≤ x n +1 (sekwencja nie malejąca) i x n ≥ x n +1 (sekwencja nierosnąca).

Ale łatwiej to zrozumieć na przykładach.

Sekwencja określona wzorem x n \u003d 2 + n tworzy następujący ciąg liczb: 4, 5, 6 itd. Jest to sekwencja rosnąca monotonicznie.

A jeśli weźmiemy x n \u003d 1 / n, to otrzymamy serię: 1/3, ¼, 1/5 itd. Jest to monotonicznie malejąca sekwencja.

Granica ciągu zbieżnego i ograniczonego

Ciąg ograniczony to ciąg, który ma granicę. Ciąg zbieżny to ciąg liczb, który ma nieskończenie małą granicę.

Zatem granicą ograniczonego ciągu jest dowolna liczba rzeczywista lub zespolona. Pamiętaj, że limit może być tylko jeden.

Granicą ciągu zbieżnego jest wielkość nieskończenie mała (rzeczywista lub zespolona). Jeśli narysujesz diagram sekwencji, to w pewnym momencie będzie on niejako zbieżny, będzie miał tendencję do przekształcania się w określoną wartość. Stąd nazwa - ciąg zbieżny.

Granica ciągu monotonicznego

Taka sekwencja może mieć granicę lub nie. Po pierwsze, warto zrozumieć, kiedy to jest, od tego momentu możesz zacząć udowadniać brak limitu.

Wśród ciągów monotonicznych wyróżnia się zbieżne i rozbieżne. Zbieżny - jest to ciąg utworzony przez zbiór x i mający w tym zbiorze granicę rzeczywistą lub zespoloną. Rozbieżny - ciąg, który nie ma ograniczeń w swoim zbiorze (ani rzeczywisty, ani złożony).

Co więcej, sekwencja jest zbieżna, jeśli jej górna i dolna granica zbiegają się w reprezentacji geometrycznej.

Granica ciągu zbieżnego może w wielu przypadkach być równa zeru, ponieważ każdy ciąg nieskończenie mały ma znaną granicę (zero).

Niezależnie od tego, którą zbieżną sekwencję wybierzesz, wszystkie są ograniczone, ale daleko od wszystkich ograniczonych sekwencji są zbieżne.

Suma, różnica, iloczyn dwóch ciągów zbieżnych jest również ciągiem zbieżnym. Jednak iloraz może również być zbieżny, jeśli jest zdefiniowany!

Różne działania z ograniczeniami

Granice ciągów mają taką samą znaczącą (w większości przypadków) wartość jak liczby i liczby: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Okazuje się, że niektóre operacje można wykonywać z granicami.

Po pierwsze, podobnie jak cyfry i liczby, granice dowolnego ciągu można dodawać i odejmować. Na podstawie trzeciego twierdzenia o granicach ciągów prawdziwa jest następująca równość: granica sumy ciągów jest równa sumie ich granic.

Po drugie, na podstawie czwartego twierdzenia o granicach ciągów, prawdziwa jest następująca równość: granica iloczynu n-tej liczby ciągów jest równa iloczynowi ich granic. To samo dotyczy dzielenia: granica ilorazu dwóch ciągów jest równa ilorazowi ich granic, pod warunkiem, że granica nie jest równa zeru. Wszakże jeśli granica ciągów jest równa zeru, to okaże się dzielenie przez zero, co jest niemożliwe.

Właściwości wartości sekwencji

Wydawałoby się, że granica ciągu liczbowego została już szczegółowo przeanalizowana, ale takie wyrażenia jak „nieskończenie małe” i „nieskończenie duże” liczby są wymieniane więcej niż raz. Oczywiście, jeśli istnieje ciąg 1/x, gdzie x→∞, to taki ułamek jest nieskończenie mały, a jeśli ten sam ciąg, ale granica dąży do zera (x→0), to ułamek staje się nieskończenie dużą wartością . A takie wartości mają swoje własne cechy. Właściwości granicy ciągu mającego dowolne małe lub duże wartości są następujące:

1. Suma dowolnej liczby dowolnie małych wielkości będzie również małą ilością.
2. Suma dowolnej liczby dużych wartości będzie nieskończenie dużą wartością.
3. Iloczyn dowolnie małych ilości jest nieskończenie mały.
4. Iloczyn dowolnie dużych liczb jest nieskończenie dużą ilością.
5. Jeśli pierwotna sekwencja dąży do nieskończonej liczby, to jej odwrotność będzie nieskończenie mała i dąży do zera.

W rzeczywistości obliczenie granicy ciągu nie jest tak trudnym zadaniem, jeśli znasz prosty algorytm. Ale granice sekwencji to temat, który wymaga maksymalnej uwagi i wytrwałości. Oczywiście wystarczy po prostu uchwycić istotę rozwiązania takich wyrażeń. Zaczynając od małego, z czasem możesz osiągnąć duże wyżyny.

Pierwsza godna uwagi granica nazywana jest następującą równością:

\begin(równanie)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(równanie)

Ponieważ dla $\alpha\to(0)$ mamy $\sin\alpha\to(0)$, mówimy, że pierwsza zauważalna granica ujawnia nieokreśloność postaci $\frac(0)(0)$. Ogólnie rzecz biorąc, we wzorze (1) zamiast zmiennej $\alpha$, pod znakiem sinusa iw mianowniku można umieścić dowolne wyrażenie, o ile spełnione są dwa warunki:

1. Wyrażenia pod znakiem sinusa i w mianowniku jednocześnie dążą do zera, tj. istnieje niepewność postaci $\frac(0)(0)$.
2. Wyrażenia pod znakiem sinusa iw mianowniku są takie same.

Często stosuje się również wnioski z pierwszego niezwykłego limitu:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(równanie)

Na tej stronie rozwiązano jedenaście przykładów. Przykład nr 1 poświęcony jest dowodowi wzorów (2)-(4). Przykłady #2, #3, #4 i #5 zawierają rozwiązania ze szczegółowymi komentarzami. Przykłady 6-10 zawierają rozwiązania z niewielkim komentarzem lub bez komentarza, ponieważ szczegółowe wyjaśnienia podano w poprzednich przykładach. Podczas rozwiązywania stosuje się niektóre wzory trygonometryczne, które można znaleźć.

Zauważam, że obecność funkcji trygonometrycznych w połączeniu z niepewnością $\frac (0) (0)$ nie oznacza, że ​​należy zastosować pierwszą godną uwagi granicę. Czasami wystarczą proste przekształcenia trygonometryczne - np. patrz.

Przykład 1

Udowodnij, że $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Skoro $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, to:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Ponieważ $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , To:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Zróbmy zamianę $\alpha=\sin(y)$. Skoro $\sin(0)=0$, to z warunku $\alpha\do(0)$ mamy $y\do(0)$. Ponadto istnieje sąsiedztwo zera, gdzie $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, więc:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)} =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Udowodniono równość $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.

c) Zróbmy zamianę $\alpha=\tg(y)$. Ponieważ $\tg(0)=0$, warunki $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ są równoważne. Ponadto istnieje otoczenie zera, gdzie $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, zatem opierając się na wynikach z punktu a) będziemy mieli:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)} =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Udowodniono równość $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

Równości a), b), c) są często używane wraz z pierwszą godną uwagi granicą.

Przykład nr 2

Oblicz limit $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Ponieważ $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, tzn. a licznik i mianownik ułamka jednocześnie dążą do zera, to mamy tu do czynienia z niepewnością postaci $\frac(0)(0)$, tj. zrobione. Ponadto widać, że wyrażenia pod znakiem sinusa i w mianowniku są takie same (tj. i jest spełniony):

Zatem oba warunki wymienione na początku strony są spełnione. Wynika z tego, że obowiązuje formuła, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Odpowiedź: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Przykład nr 3

Znajdź $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Ponieważ $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, mamy do czynienia z niepewnością postaci $\frac( 0 )(0)$, tj. zrobione. Jednak wyrażenia pod znakiem sinusa iw mianowniku nie pasują do siebie. Tutaj wymagane jest dostosowanie wyrażenia w mianowniku do pożądanej postaci. Potrzebujemy, aby wyrażenie $9x$ było w mianowniku - wtedy stanie się prawdziwe. Zasadniczo brakuje nam czynnika 9 $ w mianowniku, który nie jest trudny do wprowadzenia, po prostu pomnóż wyrażenie w mianowniku przez 9 $. Oczywiście, aby zrekompensować pomnożenie przez 9 $, będziesz musiał natychmiast podzielić przez 9 $ i podzielić:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Teraz wyrażenia w mianowniku i pod znakiem sinusa są takie same. Oba warunki dla granicy $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ są spełnione. Stąd $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to oznacza, że:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Przykład nr 4

Znajdź $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Ponieważ $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, mamy tu do czynienia z nieokreślonością formularz $\frac(0)(0)$. Jednak forma pierwszej niezwykłej granicy jest złamana. Licznik zawierający $\sin(5x)$ wymaga $5x$ w mianowniku. W tej sytuacji najłatwiej jest podzielić licznik przez 5x$ i od razu pomnożyć przez 5x$. Dodatkowo wykonamy podobną operację z mianownikiem, mnożąc i dzieląc $\tg(8x)$ przez $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Zmniejszając o $x$ i usuwając stałą $\frac(5)(8)$ ze znaku ograniczenia, otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Zauważ, że $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ w pełni spełnia wymagania dla pierwszej niezwykłej granicy. Aby znaleźć $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, stosuje się następującą formułę:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Przykład nr 5

Znajdź $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Ponieważ $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (przypomnij sobie, że $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, to mamy do czynienia z nieokreślonością postaci $\frac(0)(0)$. Aby jednak zastosować pierwszą cudowną granicę, należy pozbyć się cosinusa w liczniku, przechodząc do sinusów (aby następnie zastosować wzór) lub tangensów (aby następnie zastosować wzór). Możesz to zrobić za pomocą następującej transformacji:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Wróćmy do granicy:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Ułamek $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ jest już bliski postaci wymaganej dla pierwszej niezwykłej granicy. Popracujmy trochę z ułamkiem $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, dopasowując go do pierwszej wspaniałej granicy (zwróć uwagę, że wyrażenia w liczniku i pod sinusem muszą się zgadzać):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Wróćmy do rozważanej granicy:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Przykład nr 6

Znajdź granicę $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Skoro $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, to mamy do czynienia z niepewnością $\frac(0)(0)$. Otwórzmy to za pomocą pierwszego niezwykłego limitu. Aby to zrobić, przejdźmy od cosinusów do sinusów. Skoro $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, to:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Przechodząc w podanej granicy do sinusów, otrzymamy:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Przykład #7

Oblicz granicę $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ podane $\alpha\neq\ beta $.

Szczegółowe wyjaśnienia zostały podane wcześniej, ale tutaj po prostu zauważamy, że znów istnieje nieokreśloność $\frac(0)(0)$. Przejdźmy od cosinusów do sinusów za pomocą wzoru

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Korzystając z powyższego wzoru, otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\prawo| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Przykład nr 8

Znajdź granicę $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Ponieważ $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (przypomnij sobie, że $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, to mamy tu do czynienia z nieokreślonością postaci $\frac(0)(0)$. Rozbijmy to tak:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Przykład nr 9

Znajdź granicę $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Ponieważ $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, to istnieje nieoznaczoność postaci $\frac(0)(0)$. Przed przystąpieniem do jej rozwinięcia wygodnie jest zmienić zmienną w taki sposób, aby nowa zmienna dążyła do zera (zauważ, że we wzorach zmienna $\alpha \to 0$). Najprościej jest wprowadzić zmienną $t=x-3$. Jednak dla wygody dalszych przekształceń (korzyść tę widać w trakcie poniższego rozwiązania) warto dokonać następującej zamiany: $t=\frac(x-3)(2)$. Zaznaczam, że w tym przypadku mają zastosowanie oba podstawienia, tylko drugie podstawienie pozwoli ci mniej pracować z ułamkami. Skoro $x\to(3)$, to $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\prawo| =\left|\begin(wyrównane)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\do(0)\end(wyrównane)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\do(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Przykład nr 10

Znajdź granicę $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Ponownie mamy do czynienia z niepewnością $\frac(0)(0)$. Przed przystąpieniem do jego rozwinięcia wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej w taki sposób, aby nowa zmienna dążyła do zera (zauważ, że we wzorach zmienną jest $\alpha\to(0)$). Najprostszym sposobem jest wprowadzenie zmiennej $t=\frac(\pi)(2)-x$. Skoro $x\to\frac(\pi)(2)$, to $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\lewo|\frac(0)(0)\prawo| =\left|\begin(wyrównane)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\do(0)\end(wyrównane)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\do(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\do(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Przykład nr 11

Znajdź granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

W tym przypadku nie musimy korzystać z pierwszego cudownego limitu. Uwaga: zarówno w pierwszej, jak i drugiej granicy istnieją tylko funkcje i liczby trygonometryczne. Często w tego rodzaju przykładach możliwe jest uproszczenie wyrażenia znajdującego się pod znakiem ograniczenia. W tym przypadku po wspomnianym uproszczeniu i redukcji niektórych czynników niepewność znika. Podałem ten przykład tylko w jednym celu: aby pokazać, że obecność funkcji trygonometrycznych pod znakiem granicznym niekoniecznie oznacza zastosowanie pierwszej godne uwagi granicy.

Ponieważ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pamiętaj, że $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (przypomnij sobie, że $\cos\frac(\pi)(2)=0$), to mamy do czynienia z niepewnością postaci $\frac(0)(0)$. Nie oznacza to jednak wcale, że musimy skorzystać z pierwszego niezwykłego limitu. Aby ujawnić niepewność, wystarczy wziąć pod uwagę, że $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Podobne rozwiązanie znajduje się w książce rozwiązań Demidowicza (nr 475). Co do drugiej granicy, podobnie jak w poprzednich przykładach w tym podrozdziale, mamy niepewność postaci $\frac(0)(0)$. Dlaczego powstaje? Powstaje, ponieważ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Używamy tych wartości do przekształcania wyrażeń w liczniku i mianowniku. Cel naszych działań: zapisz sumę w liczniku i mianowniku jako iloczyn. Nawiasem mówiąc, często wygodnie jest zmienić zmienną w podobnej formie, tak aby nowa zmienna dążyła do zera (patrz na przykład przykłady nr 9 lub nr 10 na tej stronie). Jednak w tym przykładzie nie ma sensu zastępować zmiennej, chociaż w razie potrzeby łatwo jest zaimplementować zamianę zmiennej $t=x-\frac(2\pi)(3)$.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Jak widać, nie musieliśmy stosować pierwszego wspaniałego limitu. Oczywiście można to zrobić w razie potrzeby (patrz uwaga poniżej), ale nie jest to konieczne.

Jakie byłoby rozwiązanie przy użyciu pierwszej niezwykłej granicy? Pokaż ukryj

Korzystając z pierwszej niezwykłej granicy, otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ po prawej))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.