еонардо з Пізи, відомий як Фібоначчі, був першим великим математиком Європи пізнього Середньовіччя. Будучи народженим у Пізі в багатій купецькій сім'ї, він прийшов у математику завдяки суто практичній потребі встановити ділові контакти. У молодості Леонардо багато подорожував, супроводжуючи батька у ділових поїздках. Наприклад, ми знаємо про його тривале перебування у Візантії та на Сицилії. Під час таких поїздок він багато спілкувався із місцевими вченими.

Числовий ряд, що носить сьогодні його ім'я, виріс із проблеми з кроликами, яку Фібоначчі виклав у своїй книзі «Liber abacci», написаній у 1202 році:

Чоловік посадив пару кроликів у загін, оточений з усіх боків стіною. Скільки пар кроликів за рік може зробити ця пара, якщо відомо, що кожен місяць, починаючи з другого, кожна пара кроликів виробляє на світ одну пару?

Можете переконатися, що кількість пар у кожен із дванадцяти наступних місяців місяців буде відповідно

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Іншими словами, кількість пар кролів створює ряд, кожен член у якому - сума двох попередніх. Він відомий як ряд Фібоначчі, а самі числа - числа Фібоначчі. Виявляється, ця послідовність має безліч цікавих з погляду математики властивостей. Ось приклад: ви можете розділити лінію на два сегменти, так що співвідношення між більшим і меншим сегментом буде пропорційне співвідношенню між усією лінією та великим сегментом. Цей коефіцієнт пропорційності, приблизно рівний 1,618, відомий як Золотий перетин. В епоху Відродження вважалося, що саме ця пропорція, дотримана архітектурних спорудах, найбільше тішить око. Якщо ви візьмете послідовні пари з ряду Фібоначчі і ділитимете більша кількістьз кожної пари на менше, ваш результат поступово наближатиметься до золотого перерізу.

Відколи Фібоначчі відкрив свою послідовність, було знайдено навіть явища природи, у яких ця послідовність, схоже, грає важливу роль. Одне з них - філотаксіс(листорозташування) - правило, за яким розташовуються, наприклад, насіння в суцвітті соняшника. Насіння впорядковане у два ряди спіралей, один з яких йде за годинниковою стрілкою, інший проти. І яке число насіння у кожному разі? 34 та 55.

Послідовність Фібоначчі. Якщо дивитися на листя рослини зверху, можна помітити, що вони розпускаються по спіралі. Кути між сусіднім листям утворюють правильний математичний ряд, відомий під назвою послідовності Фібоначчі. Завдяки цьому кожен окремий лист, що росте на дереві, отримує максимально доступну кількість тепла і світла.

Піраміди у Мексиці

Hе тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу, те ж саме явище виявлено і у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один час людьми загального походження.
На поперечному перерізі піраміди видно форма, подібна до сходах.
Ці числа засновані на співвідношенні Фібоначчі наступним чином:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68

Після кількох перших чисел послідовності відношення будь-якого її члена до наступного приблизно дорівнює 0,618, а до попереднього – 1,618. Чим більший порядковий номер члена послідовності, тим ближче відношення до числа фі, що є ірраціональним числом і дорівнює 0,618034... Відношення між членами послідовності, розділеними одним числом, приблизно дорівнює 0,382, а зворотне число 2,618. На рис. 3-2 наведено таблицю співвідношень всіх чисел Фібоначчі від 1 до 144.

Ф є одниною, яке, будучи доданим до 1, дає зворотне число: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Ця спорідненість процедур складання та множення призводить до наступної послідовності рівнянь:

Якщо ми продовжимо цей процес, ми створимо прямокутники розміром 13 на 21, 21 на 34 і таке інше.

Тепер перевірте це. Якщо ви поділите 13 на 8, ви отримаєте 1,625. І якщо ви розділите більше на менше, то ці коефіцієнти стають все ближче і ближче до числа 1.618, відомому багатьом людям як Золотий перетин, Число, яке зачаровувало математиків, вчених і художників протягом багатьох століть.

Таблиця коефіцієнтів Фібоначчі

У міру зростання нової прогресії числа утворюють третю послідовність, складену з чисел, доданих до твору четвірки та числа Фібоначчі. Це уможливлюється у зв'язку з тим. що відношення між членами послідовності, що віддаляються один від одного на дві позиції, дорівнює 4.236. де число 0,236 є зворотним до 4,236 в. крім того, різницею між 4,236 і 4. Інші множники призводять до інших послідовностей, всі вони засновані на коефіцієнтах Фібоначчі.

1. Жодні з двох послідовних чисел Фібоначчі не мають спільних дільників.

2. Якщо члени послідовності Фібоначчі пронумерувати як 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і т. д., ми виявимо, що, за винятком четвертого члена (число 3), номер будь-якого числа Фібоначчі, що є простим числом(т. е. які мають інших дільників, крім себе і одиниці), також є простим чистом. Подібним чином, за винятком четвертого члена послідовності Фібоначчі (число 3), всі складові номери членів послідовності (тобто ті, що мають як мінімум два дільники за винятком себе самого та одиниці), відповідають складовим числам Фібоначчі, що і показує наведена нижче таблиця . Назад не завжди виявляється вірним.

3. Сума будь-яких десяти членів послідовності поділяється на одинадцять.

4. Сума всіх чисел Фібоначчі до певної точки послідовності плюс одиниця дорівнює числу Фібоначчі, що віддаляється на дві позиції від останнього доданого числа.

5. Сума квадратів будь-яких послідовних членів, що починаються з першої 1, завжди дорівнюватиме останньому (з даної вибірки) числу послідовності, помноженому на наступний член.

6. Квадрат числа Фібоначчі мінус квадрат другого члена послідовності у бік зменшення завжди буде числом Фібоначчі.

7. Квадрат будь-якого числа Фібоначчі дорівнює попередньому члену послідовності, помноженому на наступне число в послідовності плюс або мінус одиниця. Додавання та віднімання одиниці чергуються в міру розвитку послідовності.

8. Сума квадрата числа Fn і квадрата наступного числа Фібоначчі F дорівнює числу Фібоначчі F,. Формула F - + F 2 = F„ , застосовна до прямокутним трикутникамде сума квадратів двох більш коротких сторін дорівнює квадрату найдовшої сторони. Праворуч наведено приклад, який використовує F5, F6 та квадратний коріньз Fn.

10. Одне з дивовижних явищ, яке, наскільки нам відомо, досі не згадувалося, полягає в тому, що відносини між числами Фібоначчі рівні числам, дуже близьким до тисячних частин інших чисел Фібоначчі, при різниці, що дорівнює тисячній частці ще одного числа Фібоначчі (див. рис. 3-2). Так, у напрямку зростання відношення двох ідентичних чисел Фібоначчі дорівнює 1, або 0,987 плюс 0,013: сусідні числа Фібоначчі мають відношення 1.618. або 1,597 плюс 0,021; числа Фібоначчі, розташовані з двох сторін від деякого члена послідовності, мають відношення 2.618 або 2.584 плюс 0,034, і так далі. У зворотному напрямку сусідні числа Фібоначчі мають відношення 0.618. або 0,610 плюс 0,008: числа Фібоначчі, розташовані з двох сторін від деякого члена послідовності, мають відношення 0.382 або 0.377 плюс 0,005; числа Фібоначчі між якими розташовані два члени послідовності, мають відношення 0.236, або 0,233 плюс 0,003: числа Фібоначчі, між якими розташовані три члени послідовності, мають відношення 0 146. або 0.144 плюс 0,002: числа Фібоначчі, між якими розташовані чотири члени 0,090, або 0,089 плюс 0.001: числа Фібоначчі, між якими розташовані п'ять членів послідовності, мають відношення 0.056. або 0,055 плюс 0,001; числа Фібоначчі, між якими розташовано від шести до дванадцяти членів послідовності, мають відношення, які є тисячними частками чисел Фібоначчі, починаючи з 0,034. Цікаво, що в цьому аналізі коефіцієнт, що зв'язує числа Фібоначчі, між якими розташовуються тринадцять членів послідовності, знову починає ряд із числа 0.001, з тисячної частки того числа, де він почався! За всіх підрахунків ми дійсно отримуємо подібність або «самовостворення в нескінченному ряду», що розкриває властивості «найміцнішого зв'язку серед усіх математичних відносин».

І, нарешті, зауважимо, что(V5 + 1)/2 = 1.618 и[^5- 1)/2 = 0.618. де V5 = 2,236. 5 виявляється найбільш важливим для хвильового принципу числом, а його квадратний корінь є математичним ключем до ф.

Число 1,618 (або 0,618) відоме як золоте відношення, або золоте середнє. Пов'язана з ним пропорційність приємна для ока та вуха. Воно проявляється й у біології, й у музиці, й у живопису, й у архітектурі. У своїй статті, що вийшла в грудні 1975 року в журналі Smithsonian Magazine, Вільям Хоффер сказав:

«...Ставлення числа 0,618034 до 1 є математичною основою форми гральних карті Парфенона, соняшник і морської раковини, грецьких ваз і спіральних галактик зовнішнього космосу. В основі багатьох творів мистецтва та архітектури греків лежить ця пропорція. Вони називали її «золота середина».

Плодючі кролики Фібоначчі вискакують у найнесподіваніших місцях. Числа Фібоначчі, безперечно, є частиною містичної природної гармонії, яка приємна для відчуттів, приємно виглядає і навіть звучить приємно. Музика, наприклад, заснована на октаві у вісім нот. На фортепіано це представлено 8 білими та 5 чорними клавішами - загалом 13. Не випадково, що музичний інтервал, що приносить нашому слуху найбільшу насолоду - це секста. Нота «мі» вібрує щодо 0.62500 до ноти «до». Це лише на 0.006966 від точної золотої середини. Пропорції сексти передають приємні для слуху вібрації равлику середнього вуха - органа, який також має форму логарифмічної спіралі.

Постійне виникнення чисел Фібоначчі та золотої спіралі в природі точно пояснює, чому відношення 0,618034 до 1 настільки приємне у витворах мистецтва. Людина бачить у мистецтві відображення життя, що має в основі золоту середину».

Природа використовує золоте ставлення у своїх найбільш досконалих творах - від таких дрібних, як мікрозвивини мозку та молекули ДНК (див. рис. 39), до таких великих, як галактики. Воно проявляється і в таких різних явищах, як зростання кристалів, заломлення світлового променя в склі, будова мозку і нервової системи, музичні побудови, структури рослин і тварин. Наука надає дедалі більше свідчень того, що природа дійсно має головний пропорційний принцип. До речі, ви тримаєте цю книгу двома зі своїх п'яти пальців, причому кожен палець складається із трьох частин. Разом: п'ять одиниць, кожна з яких ділиться на три - прогресія 5-3-5-3, подібна до тієї, що лежить в основі хвильового принципу.

Симетрична та пропорційна форма, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та викликає відчуття краси та гармонії. Цілісний образ завжди складається з частин різного розміру, що у певному співвідношенні друг з одним і цілим. Золотий перетин - найвищий прояв досконалості цілого та його частин у науці, мистецтві та природі.

Якщо на простому прикладі, то Золоте Перетин - це розподіл відрізка на частини у такому співвідношенні, у якому більшість належить до меншої, як його сума (весь відрізок) до більшої.

Якщо ми приймемо весь відрізок c за 1, то відрізок a дорівнюватиме 0,618, відрізок b - 0,382, тільки так буде дотримано умова Золотого Перетину (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Відношення c a дорівнює 2,618, а з b 1,618. Це ті самі, вже знайомі нам, коефіцієнти Фібоначчі.

Зрозуміло, є золотий прямокутник, золотий трикутник і навіть золотий кубоїд. Пропорції людського тілау багатьох співвідношеннях близькі до Золотого Перетину.

Але найцікавіше починається, коли ми поєднаємо отримані знання. На малюнку наочно показано зв'язок між послідовністю Фібоначчі та Золотим перетином. Ми починаємо із двох квадратів першого розміру. Зверху додаємо квадрат другого розміру. Підмальовуємо поруч квадрат зі стороною, що дорівнює сумі сторін двох попередніх, третього розміру. За аналогією утворюється квадрат п'ятого розміру. І так далі поки не набридне, головне, щоб довжина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі довжин сторін двох попередніх. Ми бачимо серію прямокутників, довжини сторін, яких є числами Фібоначчі, і, як не дивно, вони називаються прямокутниками Фібоначчі.

Якщо ми проведемо плавну лінію через кути наших квадратів, то отримаємо ні що інше, як спіраль Архімеда, збільшення кроку якої завжди рівномірно.

Кожен член золотої логарифмічної послідовності є ступенем Золотої Пропорції ( z). Частина ряду виглядає приблизно так: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4; z 5 ...Якщо округлимо значення Золотої пропорції до трьох знаків, то отримаємо z=1,618тоді ряд виглядає так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Кожен наступний член може бути отриманий не тільки множенням попереднього 1,618 , але й додаванням двох попередніх. Таким чином, експоненційне зростання в послідовності забезпечується шляхом простого додаваннядвох сусідніх елементів. Це ряд без початку і кінця, і саме на нього намагається бути схожою на послідовність Фібоначчі. Маючи цілком певний початок, вона прагне ідеалу, ніколи його не досягаючи. Таке життя.

І все-таки, у зв'язку з усім побаченим і прочитаним виникають цілком закономірні питання:
Від куди взялися ці цифри? Хто цей архітектор всесвіту, який спробував зробити його ідеальним? Чи було колись так, як він хотів? І якщо так, то чому збилося? Мутації? Вільний вибір? Що буде далі? Спіраль скручується чи розкручується?

Знайшовши відповідь одне питання, отримаєш наступний. Розгадаєш його, отримаєш два нові. Розберешся з ними, з'явиться ще три. Вирішивши і їх, обзаведешся п'ятьма невирішеними. Потім вісім, потім тринадцять, 21, 34, 55...

Давайте з'ясуємо, що спільного між давньоєгипетськими пірамідами, картиною Леонардо да Вінчі «Мона Ліза», соняшником, равликом, сосновою шишкою та пальцями людини?

Відповідь на це питання прихована в дивовижних числах, які були відкриті італійським математиком середньовіччя Леонардо Пізанським, більш відомим на ім'я Фібоначчі (нар. бл. 1170 - помер після 1228), італійський математик . Мандруючи Сходом, познайомився з досягненнями арабської математики; сприяв передачі їх у Захід.

Після його відкриття ці цифри так і стали називатися ім'ям відомого математика. Дивна суть послідовності чисел Фібоначчі полягає в тому, що кожне число у цій послідовності виходить із суми двох попередніх чисел.

Отже, числа, що утворюють послідовність:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність – послідовністю Фібоначчі.

У числах Фібоначчі є одна дуже цікава особливість. При розподілі будь-якого числа з послідовності на число, що стоїть перед ним у ряді, результатом завжди буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевищує, то не досягає його. (Прим. ірраціональне число, тобто. число, десяткове уявлення якого нескінченно і не періодично)

Більше того, після 13-го числа в послідовності цей результат поділу стає постійним до нескінченності ряду. Саме це постійне число поділу в середні віки було названо Божественною пропорцією, а нині в наші дні називається золотим перерізом, золотим середнім або золотою пропорцією. . У алгебри це число позначається грецькою літерою фі (Ф)

Отже, Золота пропорція = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Тіло людини та золотий перетин

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи із співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеного також за принципом золотого перерізу. Леонардо Да Вінчі та Ле Корбюзьє перед тим, як створювати свої шедеври, брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотої пропорції.

Найголовніша книга всіх сучасних архітекторів довідник Е.Нойферта «Будівельне проектування» містить основні розрахунки параметрів тулуба людини, які містять золоту пропорцію.

Пропорції різних частиннашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважають ідеально складеними. Принцип розрахунку золотої міри на тілі людини можна зобразити як схеми:

M/m=1,618

Перший приклад золотого перерізу у будові тіла людини:
Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.

Крім цього є ще кілька основних золотих пропорції нашого тіла:

* Відстань від кінчиків пальців до зап'ястя до ліктя дорівнює 1:1.618;

* відстань від рівня плеча до верхівки голови та розміру голови дорівнює 1:1.618;

* відстань від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови дорівнює 1:1.618;

* відстань точки пупа до колін і від колін до ступнів дорівнює 1:1.618;

* Відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів дорівнює 1:1.618;

* відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618;

* відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618:

Золотий перетин у рисах людини як критерій досконалої краси.

У будові рис людини також є безліч прикладів, що наближаються за значенням до формули золотого перерізу. Однак не кидайтеся відразу за лінійкою, щоб обміряти обличчя всіх людей. Тому що точні відповідності золотому перерізу, на думку вчених та людей мистецтва, художників та скульпторів, існують лише у людей із досконалою красою. Власне, точна наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського погляду.

Наприклад, якщо ми підсумовуємо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеальна.

на людському обличчііснують інші втілення правила золотого перерізу. Наведемо кілька таких співвідношень:

* Висота обличчя / ширина особи;

* Центральна точка з'єднання губ до основи носа / довжина носа;

* Висота обличчя / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ;

* Ширина рота / ширина носа;

* Ширина носа / відстань між ніздрями;

* Відстань між зіницями / відстань між бровами.

Рука людини

Достатньо лише наблизити зараз вашу долоню до себе та уважно подивитися на вказівний палецьі ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перерізу. Кожен палець нашої руки складається із трьох фаланг.

* Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і ​​дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця);

* Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу;

* У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальцівлише 8 пальців створено за принципом золотого перерізу. Тоді як усі ці цифри 2, 3, 5 та 8 є числа послідовності Фібоначчі:

Золота пропорція у будові легень людини

Американський фізик Б.Д.Уест та доктор А.Л. Гольдбергер під час фізико-анатомічних досліджень встановили, що у будові легень людини також існує золотий перетин.

Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший.

* Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і в відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах. Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.

Будова золотого ортогонального чотирикутника та спіралі

Золотий переріз — це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

У геометрії прямокутник із таким ставленням сторін стали називати золотим прямокутником. Його довгі сторони співвідносяться з короткими сторонами у співвідношенні 1,168:1.

Золотий прямокутник також має багато дивовижних властивостей. Золотий прямокутник має багато незвичайних властивостей. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів. Цей процес можна продовжувати до безкінечності. Продовжуючи відрізати квадрати, ми отримуватимемо все менші і менші золоті прямокутники. Причому вони розташовуватимуться по логарифмічній спіралі, що має важливе значення в математичних моделях природних об'єктів (наприклад, раковинах равликів).

Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника і першого вертикального, що відрізається. Причому діагоналі всіх наступних золотих прямокутників, що зменшуються, лежать на цих діагоналях. Зрозуміло, є золотий трикутник.

Англійський дизайнер та естетик Вільям Чарлтон констатував, що люди вважають спіралеподібні форми приємними на вигляд і використовують їх ось уже тисячоліття, пояснивши це так:

"Нам приємний вигляд спіралі, тому що візуально ми з легкістю можемо розглядати її."

В природі

* Яке лежить в основі будови спіралі правило золотого перерізу зустрічається в природі дуже часто в незрівнянних за красою творах. Найкращі наочні приклади- спіралеподібну форму можна побачити і в розташуванні насіння соняшнику, і в шишках сосни, в ананасах, кактусах, будові пелюсток троянд тощо;

* Ботаніки встановили, що в розташуванні листя на гілці, насіння соняшнику або шишок сосни з усією очевидністю проявляється ряд Фібоначчі, а отже, проявляється закон золотого перерізу;

Всевишній Господь кожному Своєму творінню встановив особливу міру і надав пропорційності, що підтверджується на прикладах, що зустрічаються в природі. Можна навести безліч прикладів, коли процес зростання живих організмів відбувається у суворій відповідності до форми логарифмічної спіралі.

Усі пружинки у спіралі мають однакову форму. Математики встановили, що навіть за збільшення розмірів пружинок форма спіралі залишається незмінною. У математиці немає більше іншої форми, яка мала б такі ж унікальні властивості як спіраль.

Будова морських раковин

Вчені, які вивчали внутрішнє та зовнішня будовараковин м'якотілих молюсків, що мешкають на дні морів, констатували:

«Внутрішня поверхня раковин бездоганно гладка, а зовнішня вся вкрита шорсткістю, нерівностями. Молюск був у раковині і для цього внутрішня поверхняраковини мала бути бездоганно гладкою. Зовнішні кути-згинання раковини збільшують її міцність, твердість і таким чином підвищують її міцність. Досконалість і разюча розумність будови черепашки (равлики) захоплює. Спіральна ідея раковин є досконалою геометричною формою і дивовижна за своєю відточеною красою.»

У більшості равликів, які мають раковини, раковина росте у формі логарифмічної спіралі. Однак немає сумніву, що ці нерозумні істоти не мають уявлення не тільки про логарифмічну спіраль, але й не мають навіть найпростіших математичних знань, щоб самим створити собі спіралеподібну раковину.

Але тоді як ці нерозумні істоти змогли визначити та обрати для себе ідеальну форму зростання та існування у вигляді спіральної раковини? Чи могли ці живі істоти, яких вчений світ називає примітивними формами життя, розрахувати, що ідеальною для їхнього існування буде логарифмічна форма черепашки?

Звичайно ж, ні, бо такий задум неможливо здійснити без наявності розуму та знань. Але такий розум не мають ні примітивні молюски, ні несвідома природа, яку, щоправда, деякі вчені називають творцем життя землі (?!)

Намагатися пояснити походження подібної навіть найпримітивнішої форми життя випадковим збігом деяких природних обставин щонайменше абсурдно. Цілком зрозуміло, що цей проект є усвідомленим витвором.

Біолог Сер Д`аркі Томпсон цей вид зростання морських раковин називає "форма зростання гномів".

Сер Томпсон робить такий коментар:

«Немає простішої системи, ніж зростання морських черепашок, які ростуть і розширюються пропорційно, зберігаючи ту ж форму. Раковина, що найдивовижніше, росте, але ніколи не змінює форми.

Наутілус, розміром у кілька сантиметрів у діаметрі, є найвиразнішим прикладом гномового виду росту. С.Моррисон так описує цей процес зростання наутилуса, спланувати який навіть людським розумом є досить складним:

«Всередині раковини наутілуса є безліч відділів-кімнат з перегородками з перламутру, причому сама раковина всередині є спіралью, що розширюється від центру. У міру зростання наутилуса в передній частині черепашки наростає ще одна кімнатка, але вже великих розмірів, ніж попередня, а перегородки кімнатки, що залишилася позаду кімнатки покриваються шаром перламутру. Отже, спіраль постійно пропорційно розширюється.»

Наведемо лише деякі типи спіралеподібних раковин, що мають логарифмічну форму зростання відповідно до їх наукових назв.
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Усі виявлені копалини рештки раковин також мали розвинену спіральну форму.

Однак логарифмічна форма зростання зустрічається у тваринному світі не тільки у молюсків. Роги антилоп, диких козлів, баранів та інших подібних тварин також розвиваються у вигляді спіралі за законами золотої пропорції.

Золотий перетин у вусі людини

У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea («Равлик»), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця костевидна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73 43 '.

Роги та бивні тварин, що розвиваються у формі спіралі

Бивні слонів та вимерлих мамонтів, кігті левів та дзьоби папуг являють собою логарифмічні форми та нагадують форму осі, схильної звернутися до спіралі. Павуки завжди плетуть свої павутиння у вигляді логарифмічної спіралі. Будова таких мікроорганізмів, як планктони (види globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae та trochida) також мають форму спіралі.

Золотий переріз у будові мікросвітів

Геометричні фігури не обмежуються тільки трикутником, квадратом, п'яти-або шестикутником. Якщо поєднати ці фігури по-різномуміж собою, то ми отримаємо нові тривимірні геометричні фігури. Прикладами цього є такі фігури як куб або піраміда. Однак крім них існують також інші тривимірні фігури, з якими нам не доводилося зустрічатися в повсякденному життіі назви яких ми чуємо, можливо, вперше. Серед таких тривимірних фігур можна назвати тетраедр (правильна чотиристороння фігура), октаедр, додекаедр, ікосаедр тощо. Додекаедр складається з 13-ти п'ятикутників, ікосаедр з 20-ти трикутників. Математики відзначають, що ці фігури математично дуже легко трансформуються, і трансформація їх відбувається відповідно до формули логарифмічної спіралі золотого перерізу.

У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані за золотими пропорціями, поширені повсюдно . Наприклад, багато вірусів мають тривимірну геометричну форму ікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів — вірус Adeno. Білкова оболонка вірусу Адено формується із 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.

Вперше золотий перетин у будові вірусів виявили у 1950-х роках. вчені з Лондонського Біркбецького Коледжу А.Клуг та Д.Каспар. 13 Першим логарифмічну форму виявив вірус Polyo. Форма цього вірусу виявилася аналогічною формою вірусу Rhino 14.

Виникає питання, як віруси утворюють настільки складні тривимірні форми, пристрій яких містить у собі золотий перетин, які навіть нашим людським розумом сконструювати досить складно? Першовідкривач цих форм вірусів, вірусолог О.Клуг дає такий коментар:

«Доктор Каспар і я показали, що для сферичної оболонки вірусу найоптимальнішою формою є симетрія типу форми ікосаедра. Такий порядок зводить до мінімуму кількість сполучних елементів. Більша частинаГеодезичні напівсферичні куби Букмінстера Фуллера побудовані за аналогічним геометричним принципом. 14 Монтаж таких кубів потребує надзвичайно точної та докладної схеми-роз'яснення. Тоді як несвідомі віруси самі споруджують собі таку складну оболонку з еластичних, гнучких білкових клітинних одиниць.

Якщо подивитися на рослини та дерева навколо нас, то видно, скільки багато листя на кожному з них. Здалеку здається, що гілки та листя на рослинах розташовані випадковим чином, у довільному порядку. Однак у всіх рослинах чудово, математично точно сплановано яка гілочка звідки буде рости, як гілки і листя будуть розташовуватися біля стебла або стовбура. З першого дня появи рослина в точності слідує у своєму розвитку цим законам, тобто жоден листок, жодна квітка не з'являється випадково. Ще до появи рослина вже точно запрограмована. Скільки буде гілок на майбутньому дереві, де виростуть гілки, скільки буде листя на кожній гілці, і як, в якому порядку розташовуватиметься листя. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явищаприроди. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), в числі оборотів на стеблі, в числі листя в циклі проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе і закон золотого перерізу.

Якщо ви поставите собі за мету знайти числові закономірності в живій природі, то помітите, що ці числа часто зустрічаються в різних спіральних формах, якими такий багатий світ рослин. Наприклад, живці листя примикають до стебла по спіралі, яка проходить між двома сусідніми листками: повного обороту - у ліщини, - у дуба, - у тополі та груші, - у верби.

Насіння соняшнику, ехінацеї пурпурової та багатьох інших рослин, розташоване спіралями, причому кількості спіралей кожного напряму - числа Фібоначчі.

Соняшник, 21 та 34 спіралі. Ехінацея, 34 та 55 спіралей.

Чітка, симетрична форма кольорів також підпорядкована строгому закону.

У багатьох кольорів кількість пелюсток – саме числа з ряду Фібоначчі. Наприклад:

ірис, 3леп. жовтець, 5 ліп. золотоцвіт, 8 ліп. дельфініум,

цикорій,21леп. астра, 34 ліп. маргаритки,55леп.

Ряд Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем.

Ми вже говорили, що відносин сусідніх чисел у ряді Фібоначчі є числом φ = 1,618. Виявляється, що і сама людина - просто джерело числа фі.

Пропорції різних частин нашого тіла становлять число дуже близьке до золотого перерізу. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважають ідеально складеними. Принцип розрахунку золотої міри на тілі людини можна зобразити як схеми.

M/m=1,618

Перший приклад золотого перерізу у будові тіла людини:

Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.

Рука людини

Достатньо лише наблизити зараз долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перерізу. Кожен палець нашої руки складається із трьох фаланг.
Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і ​​дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).

Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу.

Людина має 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців лише 8 пальців створено за принципом золотого перерізу. Тоді як усі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числами послідовності Фібоначчі.

Золота пропорція у будові легень людини

Американський фізик Б.Д.Уест та доктор А.Л. Гольдбергер під час фізико-анатомічних досліджень встановили, що у будові легень людини також існує золотий перетин.

Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший.

Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і у відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах. Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи із співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеного також за принципом золотого перерізу. Леонардо Да Вінчі та Ле Корбюзьє перед тим, як створювати свої шедеври, брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотої пропорції.
Є й інше, більш прозове застосування пропорцій тіла людини. Наприклад, використовуючи ці співвідношення, кримінальні аналітики та археологи за фрагментами частин людського тіла відновлюють ціле.

Вам, звичайно ж, знайома ідея про те, що математика є найголовнішою з усіх наук. Але багато хто може із цим погодитися, т.к. часом здається, що математика – це лише завдання, приклади тощо скукотища. Однак математика може запросто показати нам знайомі речі із зовсім незнайомого боку. Мало того – вона навіть може розкрити таємниці світобудови. Як? Давайте звернемося до числа Фібоначчі.

Що таке числа Фібоначчі?

Числа Фібоначчі є елементами числової послідовності, де кожне наступне за допомогою підсумовування двох попередніх, наприклад: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Як правило, така послідовність записується формулою: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Числа Фібоначчі можуть починатися і з негативних значень«n», але в такому випадку послідовність буде двосторонньою – вона охоплюватиме і позитивні та негативні числа, прагнучи до нескінченності у двох напрямках. Прикладом такої послідовності може бути: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула буде: F n = F n +1 - F n +2 або F -n = (-1) n + 1 Fn.

Творцем чисел Фібоначчі є один із перших математиків Європи середніх віків на ім'я Леонардо Пізанський, якого, власне, і знають, як Фібоначчі – це прізвисько він отримав через багато років після своєї смерті.

За життя Леонардо Пізанський дуже любив математичні турніри, тому в своїх роботах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрії», 1220, «Flos»/«Квітка», 1225 рік – дослідження на тему кубічних рівнянь та «Liber quadratorum»/«Книга квадратів», 1225 – завдання про невизначені квадратних рівняннях) дуже часто розбирав різноманітні математичні завдання.

Про життєвому шляхусамого Фібоначчі відомо дуже мало. Але достовірно відомо те, що його завдання користувалися найбільшою популярністю в математичних колах у наступні століття. Одну з таких ми розглянемо далі.

Завдання Фібоначчі із кроликами

Для виконання завдання автором було поставлено наступні умови: є пара новонароджених кроленят (самка і самець), що відрізняються цікавою особливістю- З другого місяця життя вони виробляють нову пару кроликів - теж самку і самця. Кролики знаходяться у замкнутому просторі та постійно розмножуються. І жоден кролик не вмирає.

Завдання: визначити кількість кролів через рік

Рішення:

У нас є:

• Одна пара кроликів на початку першого місяця, яка спарюється наприкінці місяця.
• Дві пари кроликів у другому місяці (перша пара та потомство)
• Три пари кроликів у третьому місяці (перша пара, потомство першої пари з минулого місяця та нове потомство)
• П'ять пар кроликів у четвертому місяці (перша пара, перше і друге потомство першої пари, третє потомство першої пари та перше потомство другої пари)

Кількість кроликів на місяць «n» = кількості кроликів минулого місяця + кількість нових пар кроликів, іншими словами, названа вище формула: F n = F n-1 + F n-2 . Звідси виходить рекурентна числова послідовність (про рекурсію ми скажемо далі), де кожне нове число відповідає сумі двох попередніх чисел:

1 місяць: 1 + 1 = 2

2 місяць: 2 + 1 = 3

3 місяць: 3 + 2 = 5

4 місяць: 5 + 3 = 8

5 місяць: 8 + 5 = 13

6 місяць: 13 + 8 = 21

7 місяць: 21 + 13 = 34

8 місяць: 34 + 21 = 55

9 місяць: 55 + 34 = 89

10 місяць: 89 + 55 = 144

11 місяць: 144 + 89 = 233

12 місяць: 233+ 144 = 377

І ця послідовність може продовжуватися нескінченно довго, але враховуючи, що завданням є дізнатися кількість кроликів через рік, виходить 377 пар.

Тут важливо також помітити, що однією з властивостей чисел Фібоначчі є те, що якщо зіставити дві послідовні пари, а потім розділити більшу на меншу, то результат рухатиметься до золотого перерізу, про який ми також скажемо нижче.

Поки ж пропонуємо вам ще дві задачі за числами Фібоначчі:

• Визначити квадратне число, Про який відомо тільки, що якщо відібрати від нього 5 або додати до нього 5, то знову вийде квадратне число.
• Визначити число, що ділиться на 7, але за умови, що поділивши його на 2, 3, 4, 5 або 6, у залишку буде 1.

Такі завдання не тільки стануть відмінним способом розвитку розуму, а й цікавим проведенням часу. Про те, як вирішуються ці завдання, ви також можете дізнатися, знайшовши інформацію в Інтернеті. Ми ж не загострюватимемо на них увагу, а продовжимо нашу розповідь.

Що ж таке рекурсія та золотий перетин?

Рекурсія

Рекурсія є описом, визначенням чи зображенням якогось об'єкта чи процесу, у якому є сам даний об'єкт чи процес. Інакше висловлюючись, об'єкт чи процес можна назвати частиною себе.

Рекурсія широко використовується у математичної науці, а й у інформатиці, масової культури та мистецтві. Стосовно числа Фібоначчі, можна сказати, що якщо число дорівнює «n>2», то «n» = (n-1) + (n-2).

Золотий перетин

Золотий переріз є розподілом цілого на частини, що співвідносяться за принципом: більше відноситься до меншого аналогічно до того, як загальна величина відноситься до більшої частини.

Вперше про золотий перетин згадує Евклід (трактат «Початку» прим. 300 років до н.е.), говорячи і про побудову правильного прямокутника. Проте більш звичне поняття запроваджено німецьким математиком Мартіном Омом.

Приблизно золотий переріз можна як пропорційного поділу на дві різні частини, наприклад, на 38% і 68%. Чисельне вираз золотого перерізу дорівнює приблизно 1,6180339887.

На практиці золотий переріз використовується в архітектурі, образотворчому мистецтві (дивіться роботи), кіно та інших напрямках. Протягом тривалого часу, втім, як і зараз, золотий перетин вважався естетичною пропорцією, хоча більшістю людей він сприймається непропорційним – витягнутим.

Ви можете спробувати оцінити золотий перетин самі, керуючись такими пропорціями:

• Довжина відрізка a = 0,618
• Довжина відрізка b = 0,382
• Довжина відрізка c = 1
• Співвідношення c та a = 1,618
• Співвідношення c та b = 2,618

Тепер же застосуємо золотий перетин до числа Фібоначчі: беремо два сусідні члени його послідовності і ділимо більше на менше. Отримуємо приблизно 1,618. Якщо ж візьмемо те саме найбільше число і поділимо його на наступне більше за ним, то отримаємо приблизно 0,618. Спробуйте самі: «пограйте» з числами 21 та 34 чи якимись іншими. Якщо ж провести цей досвід із першими числами послідовності Фібоначчі, такого результату не буде, т.к. золотий перетин "не працює" на початку послідовності. До речі, щоб визначити всі числа Фібоначчі, потрібно знати лише три перші послідовні числа.

І насамкінець ще трохи їжі для розуму.

Золотий прямокутник та спіраль Фібоначчі

"Золотий прямокутник" - це ще один взаємозв'язок між золотим перерізом і числами Фібоначчі, т.к. співвідношення його сторін дорівнює 1,618 до 1 (згадуйте число 1,618!).

Ось приклад: беремо два числа з послідовності Фібоначчі, наприклад 8 і 13, і креслимо прямокутник з шириною 8 см і довжиною 13 см. Далі розбиваємо основний прямокутник на дрібні, але їхня довжина і ширина повинна відповідати числам Фібоначчі - довжина однієї грані великого прямокутника повинна дорівнювати двом довжинам грані меншого.

Після цього з'єднуємо плавною лінією кути всіх прямокутників, що є у нас, і отримуємо окремий випадоклогарифмічної спіралі – спіраль Фібоначчі Її основними властивостями є відсутність кордонів та зміна форм. Таку спіраль можна часто зустріти у природі: самими яскравими прикладамиє раковини молюсків, циклони на зображеннях із супутника і навіть ряд галактик. Але цікавіше те, що цьому правилу підпорядковується і ДНК живих організмів, адже ви пам'ятаєте, що вона має спіралеподібну форму?

Ці та багато інших «випадкових» збігів навіть сьогодні розбурхують свідомість вчених і наводять на думку про те, що все у Всесвіті підпорядковане єдиному алгоритму, причому саме математичному. І ця наука криє в собі безліч дуже ненудних таємниць і загадок.

Про числа та формули, що зустрічаються в природі. Ну і пару слів про ці числа і формули.

Числа і формули в природі - це камінь спотикання між тими, хто вірить у створення всесвіту кимось, і тими, хто вірить у створення всесвіту сам по собі. Бо питання: «Якби всесвіт виник сам собою, то хіба практично всі живі і неживі об'єкти не були б побудовані за однією і тією ж схемою, за тими самими формулами?»

Ну, на цей філософське питаннями відповідати тут не будемо (формат сайту не той 🙂), а формули озвучимо. І почнемо з чисел Фібоначчі та Золотої спіралі.

Так, числа Фібоначчі - це елементи числової послідовності, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Тобто, 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 тощо.

Отже, виходить ряд: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

Ще один приклад ряду Фібоначчі: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 і таке інше. Чи можете поекспериментувати самі 🙂

Як числа Фібоначчі виявляються у природі? Дуже просто:

1. Листорозташування у рослин описується послідовністю Фібоначчі. Насіння соняшнику, соснові шишки, пелюстки квіток, осередки ананаса також розташовуються згідно з послідовністю Фібоначчі.
2. Довжини фаланг пальців людини відносяться приблизно до числа Фібоначчі.
3. Молекулу ДНК складають дві вертикально переплетені спіралі завдовжки 34 ангстреми та шириною 21 ангстреми. Числа 21 і 34 слідують один за одним у послідовності Фібоначчі.

За допомогою чисел Фібоначчі можна збудувати Золоту Спіраль. Так, намалюємо маленький квадратик зі стороною, скажімо, в 1. Далі згадаємо школу. Скільки буде 1 2? Це буде 1. Значить, намалюємо ще один квадратик поруч із першим, впритул. Далі, наступне число Фібоначчі – 2 (1+1). Скільки буде 2 2? Це буде 4. Намалюємо впритул до перших двох квадратів ще один квадрат, але тепер із стороною 2 та площею 4. Наступне число — це число 3 (1+2). Квадрат числа 3 — це 9. Малюємо квадрат зі стороною 3 та площею 9 поряд із уже намальованими. Далі у нас йде квадрат зі стороною 5 та площею 25, квадрат зі стороною 8 та площею 64 — і так далі, до нескінченності.

Настав час для золотої спіралі. З'єднаємо плавною кривою лінією крапки-кордону між квадратами. І отримаємо ту саму золоту спіраль, на основі якої будуються багато живих і неживих об'єктів у природі.

І перед тим, як переходити до золотого перетину, подумаємо. Ось ми побудували спіраль на основі квадратів Фібоначчі послідовності (послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8 і квадрати 1, 1, 4, 9, 25, 64). Але що буде, якщо ми скористаємося не квадратами чисел, а їхніми кубами? Куби виглядатимуть із центру так:

А збоку так:

Ну а при побудові спіралі вийде об'ємна золота спіраль:

Ось так ця об'ємна золота спіраль виглядає збоку:

Але якщо ми візьмемо не куби чисел Фібоначчі, а перейдемо в четвертий вимір?.. Ось це головоломка, так?

Проте, гадки не маю, як у природі проявляється об'ємний золотий перетин на основі кубів чисел Фібоначчі, а тим більше чисел у четвертій мірі. Тому повертаємось до золотого перетину на площині. Так знову подивимося на наші квадрати. Якщо говорити математично, то виходить ось така картинка:

Тобто ми отримуємо золотий перетин — де одна сторона ділиться на дві частини в такому відношенні, при якому менша частина так відноситься до більшої, як більша до всієї величини.

Тобто a: b = b: c або с: b = b: а.

На основі такого ось відношення величин будується, крім іншого, правильний п'ятикутник та пентаграма:

Для довідки: для побудови пентаграми необхідно збудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471…1528). Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Загалом, такі закономірності. Причому різноманітних закономірностей набагато більше, ніж описано. І тепер, після всіх цих нудних чисел - обіцяний відео-ролик, де все просто і наочно:

Як бачите, математика справді присутня у природі. Причому не лише в перерахованих у відео об'єктах, а й у багатьох інших областях. Наприклад, коли хвиля набігає на берег і закручується, то вона закручується по Золотій спіралі. Ну і так далі 🙂