З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумаченняпіраміду представляють, як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на поверхню фігури опустити пряму під кутом на 90 градусів, то її частина, укладена в внутрішньому просторі- Висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні граніматимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда- багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше в шкільному курсігеометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частинубагатогранника, то в нижній частині одержують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто у трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Початковий рівень

піраміда. Візуальний гід (2019)

Що таке піраміда?

Як вона виглядає?

Бачиш: у піраміди внизу. в основі») якийсь багатокутник, і всі вершини цього багатокутника з'єднані з деякою точкою в просторі (ця точка називається « вершина»).

У всій цій конструкції ще є бічні грані, бічні ребраі ребра основи. Ще раз намалюємо піраміду разом із усіма цими назвами:

Деякі піраміди можуть виглядати дуже дивно, але все одно це – піраміди.

Ось, наприклад, зовсім «коса» піраміда.

І ще трохи про назви: якщо в основі піраміди лежить трикутник, то піраміда називається трикутною, якщо чотирикутник, то чотирикутною, а якщо стокутник, то... здогадайся сам.

При цьому крапка, куди опустилася висота, називається основою висоти. Зверніть увагу, що в «кривих» пірамідах висотаможе взагалі опинитися поза пірамідою. Ось так:

І нічого в цьому страшного нема. Схоже на тупокутний трикутник.

Правильна піраміда.

Багато складний слів? Давай розшифруємо: «У підставі – правильний» – це зрозуміло. А тепер пригадаємо, що у правильного багатокутника є центр - точка, що є центром і , і .

Ну ось, а слова «вершина проектується в центр основи» означають, що основа висоти потрапляє саме в центр основи. Дивись, як рівненько і симпатично виглядає правильна піраміда.

ШестикутнаОсі: в основі - правильний шестикутник, вершина проектується в центр основи.

Чотирикутна: в основі - квадрат, вершина проектується в точку перетину діагоналей цього квадрата.

Трикутна: в основі - правильний трикутник, вершина проектується в точку перетину висот (вони ж і медіани, і бісектриси) цього трикутника.

Дуже важливі властивостіправильної піраміди:

У правильній піраміді

• всі бічні ребра рівні.
• всі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди

Головна формула обсягу піраміди:

Звідки взялася саме? Це не так просто, і спочатку потрібно просто запам'ятати, що у піраміди і конуса у формулі об'єму є, а у циліндра - ні.

Тепер давай порахуємо обсяг найпопулярніших пірамід.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.

Це площа правильного трикутника.

Згадаймо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:

У нас "" - це, а "" - це теж, а.

Тепер знайдемо.

За теоремою Піфагора для

Чому ж одно? Це радіус описаного кола в, тому що пірамідаправильнаі, отже, – центр.

Так як - точка перетину та медіан теж.

(теорема Піфагора для)

Підставимо у формулу для.

І підставимо все у формулу обсягу:

Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.

Тут і шукати не треба; адже в основі - квадрат, і тому.

Знайдемо. За теоремою Піфагора для

Чи відомо нам? Ну майже. Дивись:

(Це ми побачили, розглянувши).

Підставляємо у формулу для:

А тепер і підставляємо у формулу обсягу.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.

Як знайти? Дивись, шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку об'єму правильної трикутної піраміди, тут використовуємо знайдену формулу.

Тепер знайдемо (це).

За теоремою Піфагора для

Але чому ж одно? Це просто, тому що (і всі інші теж) правильний.

Підставляємо:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПІРАМІДА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Піраміда - це багатогранник, який складається з будь-якого плоского багатокутника (), точки, що не лежить у площині основи (вершина піраміди) і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи (бічні ребра).

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Правильна піраміда- піраміда, у якої в основі лежить правильний багатокутника вершина піраміди проектується в центр основи.

Властивість правильної піраміди:

• У правильній піраміді всі бічні ребра рівні.
• Усі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

Гіпотеза:ми вважаємо, що досконалість форми піраміди зумовлено математичними законами, закладеними у її форму.

Ціль:вивчивши піраміду як геометричне тіло, дати пояснення досконалості її форми.

Завдання:

1. Дати математичне визначення піраміді.

2. Вивчити піраміду як геометричне тіло.

3. Зрозуміти, які математичні знання єгиптяни заклали у своїх пірамідах.

Приватні питання:

1. Що таке піраміда як геометричне тіло?

2. Як можна пояснити унікальність форми піраміди з математичної точки зору?

3. Чим пояснюються геометричні дива піраміди?

4. Чим пояснюється досконалість форми піраміди?

Визначення піраміди.

ПІРАМІДА (від грецьк. pyramis, рід. п. pyramidos) - багатогранник, основа якого багатокутник, інші грані - трикутники, мають загальну вершину (рисунок). За кількістю кутів основи розрізняють піраміди трикутні, чотирикутні і т.д.

ПІРАМІДА - монументальна споруда, що має геометричну форму піраміди (іноді також ступінчасту або баштоподібну). Пірамідами називають гігантські гробниці давньоєгипетських фараонів 3-2 тис. до н. е., і навіть давньоамериканські постаменти храмів (у Мексиці, Гватемалі, Гондурасі, Перу), пов'язані з космологічними культами.

Можливо, що грецьке слово “піраміда” походить від єгипетського виразу per-em-us, тобто від терміна, що означав висоту піраміди. Визначний російський єгиптолог У. Струве вважав, що грецьке “puram…j” походить від давньоєгипетського “p"-mr".

З історії. Вивчивши матеріал у підручнику "Геометрія" авторів Атанасяна. Бутузова та інших., ми довідалися, що: Багатогранник, складений з п - косинця А1А2А3 … Аn і п трикутників РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – називається пірамідою. Багатокутник А1А2А3 … Аn – основа піраміди, а трикутники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – бічні грані піраміди, Р – вершина піраміди, відрізки РА1, РА2,…, РАn – бічні ребра.

Проте таке визначення піраміди не завжди існувало. Наприклад, давньогрецький математик, автор теоретичних трактатів з математики Евклід, що дійшли до нас, піраміду визначає як тілесну фігуру, обмежену площинами, які від однієї площини сходяться до однієї точки.

Але це визначення піддавалися критиці вже в давнину. Так Герон запропонував таке визначення піраміди: "Це фігура, обмежена трикутниками, що сходяться в одній точці і основою якої є багатокутник".

Наша група, порівнявши ці визначення, дійшла висновку, що в них немає чіткого формулювання поняття “основа”.

Ми дослідили ці визначення та знайшли визначення Адрієна Марі Лежандра, який у 1794 році у своїй праці “Елементи геометрії” піраміду визначає так: “Піраміда – тілесна фігура, утворена трикутниками, що сходяться в одній точці та закінчується на різних сторонахплоскої основи”.

Нам здається, що останнє визначення дає чітке уявленняпро піраміду, тому що в ньому йде мовапро те, що основа – плоска. У підручнику 19 століття фігурувало ще одне визначення піраміди: "піраміда - тілесний кут, перетнутий площиною".

Піраміда як геометричне тіло.

Т. о. пірамідою називається багатогранник, одна з граней якого (основа) - багатокутник, інші грані (бічні) - трикутники, що мають одну загальну вершину (вершину піраміди).

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини основи, називається заввишкиhпіраміди.

Крім довільної піраміди, існують правильна піраміда,в основі якої правильний багатокутник і усічена піраміда.

На малюнку – піраміда PABCD, ABCD – її основа, PO – висота.

Площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її граней.

Sповн = Sбок + Sосн,де Sбік- Сума площ бічних граней.

Об'єм піраміди знаходиться за формулою:

V=1/3Sосн. h, де Sосн. - площа основи, h- Висота.

Оссю правильної піраміди називається пряма, що містить її висоту.
Апофема ST – висота бічної грані правильної піраміди.

Площа бічної грані правильної піраміди виражається так: Sбік. =1/2P h, де Р - периметр основи, h- Висота бічної грані (апофема правильної піраміди). Якщо піраміда перетнута площиною A'B'C'D', паралельною підставі, то:

1) бічні ребра та висота діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) у перерізі виходить багатокутник A'B'C'D', подібний до основи;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Підстави усіченої піраміди– подібні багатокутники ABCD та A`B`C`D`, бічні грані – трапеції.

Висотаусіченої піраміди – відстань між основами.

Об'єм зрізаноїпіраміди знаходиться за формулою:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди виражається так: Sбок. = ½(P+P') h, де P і P'- периметри основ, h- висота бічної грані (апофема правильної усіченої бенкетами

Перетин піраміди.

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками.

Перетин, що проходить через два несусідні бічні ребра піраміди, називається діагональним перетином.

Якщо перетин проходить через точку на бічному ребрі і бік основи, його слідом на площину основи піраміди буде ця сторона.

Перетин, що проходить через точку, що лежить на межі піраміди, і заданий слід перерізу на площину основи, то побудування треба проводити так:

· Знаходять точку перетину площини даної грані та сліду перерізу піраміди та позначають її;

· будують пряму проходить через задану точку та отриману точку перетину;

· Повторюють ці дії і для наступних граней.

, що відповідає відношенню катетів прямокутного трикутника 4:3. Таке відношення катетів відповідає добре відомому прямокутному трикутнику зі сторонами 3:4:5, який називають "досконалим", "священним" чи "єгипетським" трикутником. За свідченням істориків, "єгипетському" трикутнику надавали магічного сенсу. Плутарх писав, що єгиптяни порівнювали природу Всесвіту зі "священним" трикутником; вони символічно уподібнювали вертикальний катет чоловікові, основу - дружині, а гіпотенузу - тому, що народжується від обох.

Для трикутника 3:4:5 справедлива рівність: 32 + 42 = 52, яка виражає теорему Піфагора. Чи не цю теорему хотіли увічнити єгипетські жерці, зводячи піраміду на основі трикутника 3:4:5? Важко знайти більше вдалий прикладдля ілюстрації теореми Піфагора, яка була відома єгиптянам задовго до її відкриття Піфагором.

Таким чином, геніальні творці єгипетських пірамідпрагнули вразити далеких нащадків глибиною своїх знань, і вони досягли цього, вибравши як "головну геометричну ідею" для піраміди Хеопса - "золотий" прямокутний трикутник, а для піраміди Хефрена - "священний" або "єгипетський" трикутник.

Дуже часто у своїх дослідженнях вчені використовують властивості пірамід із пропорціями Золотого перетину.

В математичному енциклопедичному словникудається наступне визначення Золотого перерізу – це гармонійний поділ, поділ у крайньому та середньому відношенні – поділ відрізка АВ на дві частини таким чином, що більша його частина АС є середнім пропорційним між усім відрізком АВ та меншою його частиною СВ.

Алгебраїчне знаходження Золотого перерізу відрізка АВ = азводиться до розв'язання рівняння а: х = х: (а – х), звідки х приблизно 0,62а. Відношення х можна виразити дробами 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618, де 2, 3, 5, 8, 13, 21 - числа Фібоначчі.

Геометрична побудова Золотого перерізу відрізка АВ здійснюється так: у точці відновлюється перпендикуляр до АВ, на ньому відкладають відрізок ВЕ = 1/2 АВ, з'єднують А і Е, відкладають ДЕ = ВЕ і, нарешті, АС = АТ, тоді виконується рівність АВ: СВ = 2:3.

Золотий перетинчасто застосовується у витворах мистецтва, архітектури, зустрічається у природі. Яскравими прикладамиє скульптура Аполлона Бельведерського, Парфенон. При будівництві Парфенона використовувалося відношення висоти будівлі до його довжини, і це відношення дорівнює 0,618. Навколишні предмети також дають приклади Золотого перерізу, наприклад, палітурки багатьох книг мають відношення ширини і довжини близьке до 0,618. Розглядаючи розташування листя на загальному стеблі рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третя розташована у місці Золотого перерізу (слайди). Кожен із нас "носить" Золотий перетин із собою "в руках" - це відношення фаланг пальців.

Завдяки знахідці кількох математичних папірусів, єгиптологи дізналися дещо про давньоєгипетські системи обчислення та заходів. Завдання, що містилися в них, вирішувалися переписувачами. Одним із найвідоміших є «Ріндський математичний папірус». Вивчаючи ці завдання, єгиптологи дізналися, як древні єгиптяни справлялися з різними кількостями, що виникали при обчисленні мір ваги, довжини та об'єму, в яких часто використовувалися дроби, а також як вони керувалися з кутами.

Стародавні єгиптяни використовували спосіб обчислення кутів на основі відношення висоти до основи прямокутного трикутника. Вони виражали будь-який кут мовою градієнта. Градієнт схилу виражався ставленням цілого числа, яке називалося «секед». У книзі «Математика за часів фараонів» Річард Піллінс пояснює: «Секед правильної піраміди – це нахил будь-якої з чотирьох трикутних граней до площини основи, що вимірюється енним числом горизонтальних одиниць на одну вертикальну одиницю підйому. Таким чином, ця одиниця виміру еквівалентна нашому сучасному котангенсу кута нахилу. Отже, єгипетське слово «секед» споріднене з нашим сучасному слову"градієнт"».

Числовий ключ до пірамід укладено щодо їх висоти до основи. У практичному плані - це найлегший спосіб виготовлення шаблонів, необхідних постійної перевірки правильності кута нахилу протягом усього будівництва піраміди.

Єгиптологи були б раді переконати нас у тому, що кожен фараон жадав висловити свою індивідуальність, тому й відмінності кутів нахилу кожної піраміди. Але могла бути інша причина. Можливо, всі вони хотіли втілити різні символічні асоціації, приховані у різних пропорціях. Однак кут піраміди Хафри (заснований на трикутнику (3: 4: 5) проявляється у трьох проблемах, представлених пірамідами в «Ріндському математичному папірусі»). Так що це ставлення було добре відоме давнім єгиптянам.

Щоб бути справедливими до єгиптологів, які стверджують, що стародавнім єгиптянам не був відомий трикутник 3:4:5, скажімо, що довжина гіпотенузи 5 ніколи не згадувалася. Але математичні завдання, що стосуються пірамід, завжди вирішуються на основі секеду кута - відношення висоти до основи. Оскільки довжина гіпотенузи ніколи не згадувалася, було зроблено висновок, що єгиптяни так ніколи і не вирахували довжину третьої сторони.

Відносини висоти до основи, використані в пірамідах Гізи, безсумнівно, були відомі давнім єгиптянам. Можливо, що ці відносини кожної піраміди були обрані довільно. Однак це суперечить тому значенню, яке надавалося числовому символізму у всіх видах єгипетського образотворчого мистецтва. Цілком імовірно, що такі відносини мали суттєве значення, оскільки висловлювали конкретні релігійні ідеї. Іншими словами, весь комплекс Гізи підпорядковувався зв'язковому задуму, покликаному відобразити божественну тему. Це б пояснило, чому проектувальники обрали різні кути нахилу трьох пірамід.

У «Таємниці Оріона» Бьювел і Джілберт представили переконливі докази зв'язку пірамід Гізи із сузір'ям Оріона, зокрема з зірками Пояса Оріона. Осіріса, Ісіди та Гора.

ЧУДОВИ "ГЕОМЕТРИЧНІ".

Серед грандіозних пірамід Єгипту особливе місце посідає Велика Піраміда фараона Хеопса (Хуфу). Перш ніж приступити до аналізу форми та розмірів піраміди Хеопса, слід згадати, якою системою заходів користувалися єгиптяни. У єгиптян було три одиниці довжини: "лікоть" (466 мм), що дорівнював семи "долоням" (66,5 мм), яка, у свою чергу, дорівнювала чотирьом "пальцям" (16,6 мм).

Проведемо аналіз розмірів піраміди Хеопса (Рис.2), дотримуючись міркувань, наведених у чудовій книзі українського вченого Миколи Васютинського "Золота пропорція" (1990 р.).

Більшість дослідників сходяться в тому, що довжина сторони основи піраміди, наприклад, GFдорівнює L= 233,16 м. Ця величина відповідає майже точно 500 "ліктям". Повна відповідність 500 "ліктям" буде, якщо довжину "ліктя" вважати рівною 0,4663 м.

Висота піраміди ( H) оцінюється дослідниками по-різному від 146,6 до 148,2 м. І в залежності від прийнятої висоти піраміди змінюються всі відносини її геометричних елементів. У чому причина відмінностей щодо оцінки висоти піраміди? Справа в тому, що, строго кажучи, піраміда Хеопса є усіченою. Її верхній майданчик у наші дні має розмір приблизно 10 ´ 10 м, а століття тому він дорівнював 6 ´ 6 м. Очевидно, що вершину піраміди розібрали, і вона не відповідає початковій.

Оцінюючи висоту піраміди, необхідно враховувати такий фізичний фактор, як "осаду" конструкції. За довгий часпід впливом колосального тиску (що досягає 500 тонн на 1 м2 нижньої поверхні) висота піраміди зменшилася порівняно з первісною висотою.

Якою була початкова висота піраміди? Цю висоту можна відтворити, якщо знайти основну "геометричну ідею" піраміди.

Малюнок 2.

У 1837 р. англійський полковник Г. Вайз виміряв кут нахилу граней піраміди: він виявився рівним a= 51°51". Ця величина і сьогодні визнається більшістю дослідників. Вказане значеннякута відповідає тангенс (tg a), рівний 1,27306. Ця величина відповідає відношенню висоти піраміди АСдо половини її заснування CB(Рис.2), тобто AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

І ось тут дослідників чекав великий сюрприз!.png" width="25" height="24">= 1,272. a= 1,27306, бачимо, що це величини дуже близькі між собою. Якщо ж прийняти кут a= 51°50", тобто зменшити його всього на одну кутову хвилину, то величина aстане рівною 1,272, тобто збігається з величиною . Слід зазначити, що у 1840 р. Р. Вайз повторив свої виміри та уточнив, що значення кута a= 51 ° 50 ".

Ці виміри привели дослідників до наступної дуже цікавої гіпотези: в основу трикутника АСВ піраміди Хеопса було закладено відношення AC / CB = = 1,272!

Розглянемо тепер прямокутний трикутник ABC, в якому ставлення катетів AC / CB= (Рис.2). Якщо тепер довжини сторін прямокутника ABCпозначити через x, y, z, а також врахувати, що ставлення y/x= , то відповідно до теореми Піфагора, довжина zможе бути обчислена за формулою:

Якщо прийняти x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Малюнок 3."Золотий" прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник, в якому сторони відносяться як t:золотим прямокутним трикутником.

Тоді, якщо прийняти за основу гіпотезу про те, що основною "геометричною ідеєю" піраміди Хеопса є "золотий" прямокутний трикутник, то легко можна обчислити "проектну" висоту піраміди Хеопса. Вона дорівнює:

H = (L/2) = 148,28 м.

Виведемо тепер деякі інші відносини для піраміди Хеопса, які з " золотої " гіпотези. Зокрема, знайдемо відношення зовнішньої площі піраміди до площі її основи. Для цього приймемо довжину катета CBза одиницю, тобто: CB= 1. Але тоді довжина сторони основи піраміди GF= 2, а площа основи EFGHбуде рівна SEFGH = 4.

Обчислимо тепер площу бічної грані піраміди Хеопса SD. Оскільки висота ABтрикутника AEFдорівнює t, то площа бічної грані дорівнюватиме SD = t. Тоді сумарна площа всіх чотирьох бічних граней піраміди дорівнюватиме 4 t, А відношення сумарної зовнішньої площі піраміди до площі основи буде дорівнює золотій пропорції! Це і є - головна геометрична таємниця піраміди Хеопса!

До групи "геометричних чудес" піраміди Хеопса можна віднести реальні та надумані властивості відносин між різними вимірами у піраміді.

Як правило, вони отримані в пошуках деяких "постійних", зокрема числа "пі" (лудольфове число), рівного 3,14159 ...; основи натуральних логарифмів"е" (Неперове число), що дорівнює 2,71828 ...; числа "Ф", числа "золотого перерізу", що дорівнює, наприклад, 0,618 ... і т. д.

Можна назвати, наприклад: 1) Властивість Геродота: (Висота)2 = 0,5 ст. осн. х Апофема; 2) Властивість В. Прайсу: Висота: 0.5 ст. осн = Корінь квадратний із "Ф"; 3) Властивість М. Ейста: Периметр основи: 2 Висота = "Пі"; в іншій інтерпретації – 2 ст. осн. : Висота = "Пі"; 4) Властивість Г. Ребера: Радіус вписаного кола: 0,5 ст. осн. = "Ф"; 5) Властивість К. Клеппіша: (Ст. осн.) 2: 2 (ст. осн. х Апофема) = (ст. осн. У. Апофема) = 2 (ст. осн. х Апофема): ((2 ст. осн.X Апофема) + (ст. осн.)2). І тому подібне. Таких властивостей можна придумати безліч, особливо якщо підключити сусідні дві піраміди. Наприклад, як "Властивості А. Ареф'єва" можна згадати, що різниця обсягів піраміди Хеопса і піраміди Хефрена дорівнює подвоєному обсягу піраміди Мікеріна.

Багато цікавих положень, зокрема, про побудову пірамід по "золотому перерізу" викладено у книгах Д. Хембідж "Динамічна симетрія в архітектурі" та М. Гіка "Естетика пропорції в природі та мистецтві". Нагадаємо, що "золотим перетином" називається розподіл відрізка в такому відношенні, коли частина А в стільки разів більша частини В, у скільки разів А менше всього відрізка А + В. Відношення А/В при цьому дорівнює числу "Ф"==1,618. .. Вказується на використання "золотого перерізу" не тільки в окремих пірамідах, а й у всьому комплексі пірамід у Гізі.

Найцікавіше, однак, те, що та сама піраміда Хеопса просто "не може" вмістити в себе стільки чудових властивостей. Взявши якесь властивість поодинці, його можна "підігнати", але всі разом вони не підходять - не збігаються, суперечать один одному. Тому, якщо, наприклад, при перевірці всіх властивостей, брати вихідно ту саму сторону основи піраміди (233 м), то висоти пірамід з різними властивостями також будуть різними. Іншими словами, існує якась "родина" пірамід, зовні подібних до Хеопсової, але відповідають різним властивостям. Зауважимо, що в "геометричних" властивостях нічого особливо чудового немає - багато виникає суто автоматично, з властивостей самої фігури. "Чудом" слід вважати лише щось явно неможливе для древніх єгиптян. Сюди, зокрема, відносять "космічні" дива, в яких виміри піраміди Хеопса або комплексу пірамід у Гізі зіставляються з деякими астрономічними вимірами і вказуються "рівні" числа: у мільйон разів, у мільярд разів менше, тощо. Розглянемо деякі "космічні" співвідношення.

Одне із тверджень таке: "якщо розділити бік заснування піраміди на точну довжину року, то отримаємо точно 10-мільйонну частку земної осі". Обчисли: розділимо 233 на 365, отримаємо 0,638. Радіус Землі 6378 км.

Інше твердження фактично обернено попередньому. Ф. Ноетлінг вказував, що якщо скористатися придуманим ним самим "єгипетським ліктем", то сторона піраміди буде відповідати "найточнішій тривалості" сонячного року, Вираженої з точністю до однієї мільярдної дня "- 365.540.903.777.

Твердження П. Сміта: "Висота піраміди становить рівно одну мільярдну частку відстані від Землі до Сонця". Хоча зазвичай береться висота 146,6 м, Сміт брав її 148,2 м. За сучасними радіолокаційними вимірюваннями велика піввісь земної орбіти становить 149,597.870 + 1,6 км. Такою є середня відстань від Землі до Сонця, але в перигелії вона на 5.000.000 кілометрів менша, ніж в афелії.

Останнє цікаве твердження:

"Чим пояснити, що маси пірамід Хеопса, Хефрена і Мікеріна ставляться одна до одної, як маси планет Земля, Венера, Марс?" Обчислимо. Маси трьох пірамід відносяться як: Хефрена – 0,835; Хеопса – 1,000; Мікеріна – 0,0915. Відносини мас трьох планет: Венера – 0,815; Земля – 1,000; Марс – 0,108.

Отже, незважаючи на скепсис, відзначимо відому стрункість побудови тверджень: 1) висота піраміди, як лінія, "що йде в простір" - відповідає відстані від Землі до Сонця; 2) сторона заснування піраміди, найближча "до субстрату", тобто до Землі, відповідає за земний радіус та земне звернення; 3) обсяги піраміди (читай – маси) відповідають відношенню мас найближчих до Землі планет. Схожий "шифр" простежується, наприклад, у бджолиній мові, проаналізованій Карлом фон Фрішем. Втім, поки що утримаємося від коментарів з цього приводу.

ФОРМА ПІРАМІД

Знаменита чотиригранна форма пірамід виникла не відразу. Скіфи робили поховання у вигляді земляних пагорбів – курганів. Єгиптяни ставили "пагорби" з каменю – піраміди. Вперше це сталося після об'єднання Верхнього та Нижнього Єгипту, у XXVIII столітті до нашої ери, коли перед засновником ІІІ династії фараоном Джосером (Зосером) стояло завдання зміцнення єдності країни.

І тут, на думку істориків, важливу роль у зміцненні центральної влади відіграла "нова концепція обожнювання" царя. Хоча царські поховання і відрізнялися більшою пишністю, вони в принципі не відрізнялися від гробниць придворних вельмож, являли собою одні й самі споруди - мастаби. Над камерою з саркофагом, що містить мумію, насипався прямокутний пагорб із дрібного каміння, де ставилася потім невелика будівля з великих кам'яних блоків - "мастаба" (арабською - "лава"). На місці мастабу свого попередника, Санахта, фараон Джосер і поставив першу піраміду. Була вона ступінчастою та була зримим перехідним етапом від однієї архітектурної форми до іншої, від мастаби – до піраміди.

У такий спосіб "підняв" фараона мудрець і архітектор Імхотеп, який згодом вважався чарівником і ототожнюваний греками з богом Асклепієм. Було споруджено як би шість мастаб поспіль. Причому перша піраміда займала площу 1125 х 115 метрів, з імовірною висотою 66 метрів (за єгипетськими заходами - 1000 "долонів"). Спочатку архітектор задумував побудувати мастабу, але не довгасту, а квадратну в плані. Пізніше її розширили, але оскільки прибудову зробили нижче, утворилося як би два щаблі.

Така ситуація не задовольнила архітектора, і на верхньому майданчику величезної плоскої мастаби Імхотеп поставив ще три, що поступово зменшуються до верху. Усипальниця була під пірамідою.

Відомо ще кілька ступінчастих пірамід, але надалі будівельники перейшли до будівництва більш звичних для нас чотиригранних пірамід. Чому ж, однак, не тригранні чи, скажімо, восьмигранні? Непряма відповідь дає той факт, що практично всі піраміди чудово зорієнтовані по чотирьох сторонах світла, тому мають чотири сторони. До того ж піраміда була "будинком", оболонкою чотирикутного похоронного приміщення.

Але чим було зумовлено кут нахилу граней? У книзі "Принцип пропорцій" цьому присвячено цілу главу: "Що могло зумовити кути нахилів пірамід". Зокрема, вказується, що "образ, якого тяжіють великі піраміди Стародавнього царства - трикутник з прямим кутом у вершині.

У просторі це напівоктаедр: піраміда, в якій ребра та сторони основи рівні, грані - рівносторонні трикутники". Певні розгляди наведені з цього приводу в книгах Хембіджу, Гіка та інших.

Чим вигідний кут напівоктаедра? Згідно з описами археологів та істориків, деякі піраміди обвалилися під власним тягарем. Потрібен був "кут довговічності", кут, найбільш енергетично надійний. Чисто емпірично цей кут можна взяти з вершинного кута в купі сухого піску, що обсипається. Але, щоб отримати точні дані, потрібно скористатися моделлю. Взявши чотири міцно закріплені кулі, потрібно покласти на них п'яту і виміряти кути нахилу. Втім, і тут можна помилитися, тому рятує теоретичний розрахунок: слід з'єднати лініями центри куль (подумки). В основі вийде квадрат зі стороною, що дорівнює подвоєному радіусу. Квадрат буде якраз підставою піраміди, довжина ребер якої також дорівнюватиме подвоєному радіусу.

Таким чином щільна упаковка куль за типом 1: 4 дасть нам правильний напівоктаедр.

Однак, чому ж багато пірамід, тяжіючи до подібної форми, проте не зберігають її? Мабуть, піраміди старіють. Всупереч знаменитій приказці:

"Все у світі бояться часу, а час бояться пірамід", будівлі пірамід повинні старіти, в них можуть і повинні відбуватися не тільки процеси зовнішнього вивітрювання, а й процеси внутрішньої "усадки", від чого піраміди, можливо, стають нижчими. Усадка можлива і тому, що, як з'ясовано роботами Д. Давидовиця, стародавні єгиптяни застосовували технологію виготовлення блоків з вапняної крихти, простіше кажучи, з бетону. Саме подібні процеси могли б пояснити причину руйнування Медумської піраміди, розташованої за 50 км на південь від Каїра. Їй 4600 років, розміри основи 146 х 146 м, висота – 118м. "Чому вона так понівечена? - Запитує В. Замаровський. - Звичайні посилання на згубний вплив часу і "використання каменю для інших будівель" тут не підходять.

Адже більшість її блоків та облицювальних плиті понині залишилося на місці, в руїнах біля її підніжжя". Як побачимо, ряд положень змушує замислитися навіть над тим, що і знаменита піраміда Хеопса теж "усохла".

Форму пірамід могло породити і наслідування: деяким природним зразкам, "нерукотворної досконалості", скажімо, деяких кристалів у вигляді октаедра.

Подібними кристалами могли виявитися кристали алмазу та золота. Характерно велика кількість"пересічних" ознак для таких понять, як Фараон, Сонце, Золото, Алмаз. Скрізь - благородний, блискучий (блискучий), великий, бездоганний і таке інше. Подібності не випадкові.

Сонячний культ, як відомо, становив важливу частину релігії Стародавнього Єгипту. "Хоч би ми перекладали назву найбільшої з пірамід, - зазначається в одному з сучасних посібників - "Небосхил Хуфу" або "Небосхильний Хуфу", воно означало, що цар є сонцем". Якщо Хуфу у блиску своєї могутності уявив себе другим сонцем, його син Джедеф-Ра став першим з єгипетських царів, хто став іменувати себе " сином Ра " , тобто сином Сонця. Сонце практично в усіх народів символізувалося " сонячним металом " , золотом. "Великий диск яскравого золота" - так єгиптяни називали наше денне світило. Золото єгиптяни знали чудово, знали його самородні форми, де кристали золота можуть бути у вигляді октаедрів.

Як "зразок форм" цікавий тут і "сонячний камінь" – алмаз. Назва алмазу прийшла саме з арабського світу, "алмас" - найтвердіший, найтвердіший, незламний. Стародавні єгиптяни знали алмаз та його властивості дуже непогано. Згідно з деякими авторами, вони навіть використовували для буріння бронзові трубки з алмазними різцями.

Нині основним постачальником алмазів є Південна Африка, але на алмази багата і Африка Західна. Територію Республіки Малі там називають навіть "Діамантовим краєм". Тим часом саме на території Малі проживають наздоганяння, з якими прихильники гіпотези палеовізіту пов'язують чимало надій (див. далі). Алмази не могли спричинити контакти стародавніх єгиптян з цим краєм. Однак, так чи інакше, але, можливо, що саме копіюючи октаедри кристалів алмазу і золота, древні єгиптяни обожнювали тим самим "незламних" як алмаз і "блискучих" як золото фараонів, синів Сонця, порівнянних лише з чудовими творами природи.

Висновок:

Вивчивши піраміду як геометричне тіло, познайомившись з її елементами та властивостями, ми переконалися у справедливості думки про красу форми піраміди.

В результаті наших досліджень ми дійшли висновку, що єгиптяни, зібравши найцінніші математичні знання, втілили їх у піраміді. Тому піраміда воістину – найдосконаліший витвір природи та людини.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

«Геометрія: Навч. для 7 - 9 кл. загальноосвіт. установ \, та ін - 9-е вид. - М.: Просвітництво, 1999

Історія математики у шкільництві, М: «Просвіта», 1982 р.

Геометрія 10-11 клас, М: «Освіта», 2000

Пітер Томпкінс "Таємниці великої піраміди Хеопса", М: "Центрополіграф", 2005 р.

Інтернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Відеоурок 2: Завдання на піраміду. Об'єм піраміди

Відеоурок 3: Завдання на піраміду. Правильна піраміда

Лекція: Піраміда, її основа, бічні ребра, висота, бічна поверхня; трикутна піраміда; правильна піраміда

Піраміда, її властивості

Піраміда- це об'ємне тіло, яке має в основі багатокутник, а всі її грані складаються з трикутників.

Окремим випадком піраміди є конус, в основі якого лежить коло.

Розглянемо основні елементи піраміди:

Апофема– це відрізок, який з'єднує вершину піраміди із серединою нижнього ребра бічної грані. Інакше кажучи, це висота грані піраміди.

На малюнку можна побачити трикутники ADS, ABS, BCS, CDS. Якщо уважно подивитися на назви, можна побачити, що кожен трикутник має у своїй назві одну загальну літеру – S. Тобто це означає, що всі бічні грані (трикутники) сходяться на одній точці, яка називається вершиною піраміди.

Відрізок ОS, який з'єднує вершину з точкою перетину діагоналей основи (у разі трикутників – у точці перетину висот), називається заввишки піраміди.

Діагональним перетином називають площину, яка проходить через вершину піраміди, а також одну з діагоналей основи.

Так як бічна поверхня піраміди складається з трикутників, то для знаходження загальної площібічній поверхні необхідно знайти площі кожної грані та скласти їх. Кількість і форма граней залежить від форми та розмірів сторін багатокутника, що лежить в основі.

Єдина площина у піраміді, якій не належить її вершина, називається основоюпіраміди.

На малюнку ми бачимо, що в основі лежить паралелограм, проте може бути будь-який довільний багатокутник.

Властивості:

Розглянемо перший випадок піраміди, у якому вона має ребра однакової довжини:

• Навколо основи такої піраміди можна описати коло. Якщо спроектувати вершину такої піраміди, то її проекція буде в центрі кола.
• Кути при основі піраміди у кожної грані однакові.
• При цьому достатньою умовою до того, що навколо основи піраміди можна описати коло, а так само вважати, що всі ребра різної довжини, можна вважати однакові кути між основою та кожним рубом граней.

Якщо Вам трапилася піраміда, у якої кути між бічними гранями та основою рівні, то справедливі такі властивості:

• Ви зможете описати коло навколо основи піраміди, вершина якої проектується точно в центр.
• Якщо провести у кожній бічній грані висоти до основи, вони будуть рівної довжини.
• Щоб знайти площу бічної поверхні такої піраміди, достатньо знайти периметр основи та помножити його на половину довжини висоти.
• S бп = 0,5P oc H.
• Види піраміди.
• Залежно від того, який багатокутник лежить в основі піраміди, вони можуть бути трикутними, чотирикутними та ін. Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник (з рівними сторонами), то така піраміда називатиметься правильною.

Правильна трикутна піраміда

Цей відеоурок допоможе користувачам отримати уявлення про тему Піраміда. Правильна піраміда. У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення. Розглянемо, що таке правильна піраміда і які властивості вона має. Потім доведемо теорему про бічній поверхні правильної піраміди.

У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення.

Розглянемо багатокутник А 1 А 2...А n, який лежить у площині α, та точку P, яка не лежить у площині (рис. 1). З'єднаємо точку Pз вершинами А 1, А 2, А 3, … А n. Отримаємо nтрикутників: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Рі так далі.

Визначення. Багатогранник РА 1 А 2 …А n, складений з n-кутника А 1 А 2...А nі nтрикутників РА 1 А 2, РА 2 А 3 …РА n А n-1 , називається n-вугільною пірамідою. Мал. 1.

Мал. 1

Розглянемо чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 2).

Р- Вершина піраміди.

ABCD- основа піраміди.

РА- Бокове ребро.

АВ- ребро основи.

З точки Ропустимо перпендикуляр РНна площину основи АВСD. Проведений перпендикуляр є висотою піраміди.

Мал. 2

Повна поверхняпіраміди складається з поверхні бічної, тобто площі всіх бічних граней, і площі основи:

S повн = S бік + S осн

Піраміда називається правильною, якщо:

• її основа - правильний багатокутник;
• відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи є її висотою.

Пояснення на прикладі правильної чотирикутної піраміди

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 3).

Р- Вершина піраміди. Заснування піраміди АВСD- правильний чотирикутник, тобто квадрат. Крапка Про, точка перетину діагоналей є центром квадрата. Значить, РВ- Це висота піраміди.

Мал. 3

Пояснення: у правильному n-кутник центр вписаного і центр описаного кола збігається. Цей центр називається центром багатокутника. Іноді кажуть, що вершина проектується до центру.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюі позначається h а.

1. всі бічні ребра правильної піраміди рівні;

2. бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Доказ цих властивостей наведемо з прикладу правильної чотирикутної піраміди.

Дано: РАВСD- правильна чотирикутна піраміда,

АВСD- Квадрат,

РВ- Висота піраміди.

Довести:

1. РА = РВ = РС = РD

2.∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP Див. 4.

Мал. 4

Доведення.

РВ- Висота піраміди. Тобто, пряма РВперпендикулярна площині АВС, А значить, і прямим АТ, ВО, СОі DО, що лежить у ньому. Отже, трикутники РОА, РІВ, РІС, РОD- Прямокутні.

Розглянемо квадрат АВСD. З властивостей квадрата випливає, що АТ = ВО = СО = ДО.

Тоді у прямокутних трикутників РОА, РІВ, РІС, РОDкатет РВ- загальний та катети АТ, ВО, СОі DОрівні, отже, ці трикутники рівні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відрізків, РА = РВ = РС = РD.Пункт 1 доведено.

Відрізки АВі НДрівні, оскільки є сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Отже, трикутники АВРі ВCР -рівнобедрені та рівні по трьох сторонах.

Аналогічно отримуємо, що трикутники АВР, ВCР, СDР, DAPрівнобедрені та рівні, що й потрібно було довести у пункті 2.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему:

Для підтвердження виберемо правильну трикутну піраміду.

Дано: РАВС- правильна трикутна піраміда.

АВ = ВС = АС.

РВ- Висота.

Довести: . Див. Рис. 5.

Мал. 5

Доведення.

РАВС- правильна трикутна піраміда. Тобто АВ= АС = ВС. Нехай Про- центр трикутника АВСтоді РВ- Це висота піраміди. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник АВС. Зауважимо, що .

Трикутники РАВ, РВС, РСА- рівні рівнобедрені трикутники (за якістю). У трикутної піраміди три бічні грані: РАВ, РВС, РСА. Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

S бік = 3S РАВ

Теорему доведено.

Радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м, висота піраміди дорівнює 4 м. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Дано: правильна чотирикутна піраміда АВСD,

АВСD- Квадрат,

r= 3 м,

РВ- Висота піраміди,

РВ= 4 м-коду.

Знайти: S бік. Див. Рис. 6.

Мал. 6

Рішення.

По доведеній теоремі, .

Знайдемо спочатку бік основи АВ. Нам відомо, що радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м.

Тоді м.

Знайдемо периметр квадрата АВСDзі стороною 6 м:

Розглянемо трикутник BCD. Нехай М- середина сторони DC. Так як Про- середина BD, то (М).

Трикутник DPC- рівнобедрений. М- середина DC. Тобто, РМ- медіана, а значить, і висота у трикутнику DPC. Тоді РМ- Апофема піраміди.

РВ- Висота піраміди. Тоді, пряма РВперпендикулярна площині АВС, а значить, і прямий ОМ, що лежить у ньому. Знайдемо апофему РМіз прямокутного трикутника РОМ.

Тепер можемо знайти бічну поверхню піраміди:

Відповідь: 60 м 2 .

Радіус кола, описаного біля основи правильної трикутної піраміди, дорівнює м. Площа бічної поверхні дорівнює 18 м 2 . Знайдіть довжину апофеми.

Дано: АВСP- правильна трикутна піраміди,

АВ = ВС = СА,

R= м,

S бік = 18 м 2 .

Знайти: . Див. Рис. 7.

Мал. 7

Рішення.

У правильному трикутнику АВСдано радіус описаного кола. Знайдемо бік АВцього трикутника за допомогою теореми синусів.

Знаючи бік правильного трикутника (м), знайдемо його периметр.

По теоремі про площу бічної поверхні правильної піраміди , де h а- Апофема піраміди. Тоді:

Відповідь: 4 м.

Отже, ми розглянули, що таке піраміда, що таке правильна піраміда, довели теорему про бічну поверхню правильної піраміди. На наступному уроці ми познайомимося з усіченою пірамідою.

Список літератури

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.

1. Інтернет портал «Яклас» ()
2. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей «Перше вересня» ()
3. Інтернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнє завдання

1. Чи може правильний багатокутник бути основою неправильної піраміди?
2. Доведіть, що ребра правильної піраміди, що не перетинаються, перпендикулярні.
3. Знайдіть величину двогранного кута при стороні основи правильної чотирикутної піраміди, якщо апофема піраміди дорівнює стороні її основи.
4. РАВС- правильна трикутна піраміда. Побудуйте лінійний кут двогранного кута на основі піраміди.