Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях вимірювання часу та не переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
середа, 4 липня 2018 р.
Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.
Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.
Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.
Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математиків.
Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.
Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально...
А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.
Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.
Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".
неділя, 18 березня 2018 р.
Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.
Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри – це графічні символи, За допомогою яких ми записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.
Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.
1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.
2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.
3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.
4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.
Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.
З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.
Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.
Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.
Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різним результатампісля їх порівняння, отже, це не має нічого спільного з математикою.
Що таке справжня математика? Це коли результат математичної діїне залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.
Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?
Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.
Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,
Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:
Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.
1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі та завдання уроку:
- Узагальнити та систематизувати знань учнів з цієї теми.
- Розвивати предметні та загальнонавчальні навички та вміння, вміння використовувати отримані знання для досягнення поставленої мети; встановлювати закономірності різноманіття зв'язків задля досягнення рівня системності знань.
- Виховання навичок самоконтролю та взаємоконтролю; виробляти бажання та потреби узагальнювати отримані факти; розвивати самостійність, інтерес до предмета.
План уроку:
I. Вступне слово вчителя.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
ІІІ. Повторення правил складання та віднімання чисел з різними знаками. Актуалізація знань.
IV. Розв'язання завдань за картками
V. Самостійна роботаза варіантами.
VI. Підбиття підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.
Хід уроку
I. Організаційний момент
Учні під керівництвом вчителя перевіряють наявність щоденника, робочого зошита, інструментів, зазначаються відсутні, перевіряється готовність класу до уроку, вчитель психологічно налаштовує дітей працювати на уроці.
Народна мудрість свідчить про “повторення – мати вчення”.
Сьогодні ми з вами проведемо заключний урок на тему складання та віднімання позитивних і негативних чисел.
Мета нашого уроку - повторити матеріал з цієї теми та підготуватися до контрольної роботи.
І девізом нашого уроку, я думаю, має стати висловлювання: "Складати та віднімати ми навчимося на "5"!"
ІІ. Перевірка домашнього завдання
№1114. Заповніть порожні місцятаблиці:
№1116. В альбомі 1105 марок, кількість іноземних марок становило 30% від числа російських марок. Скільки іноземних та скільки російських марок було в альбомі?
ІІІ. Повторення правил складання та віднімання чисел з різними знаками. Актуалізація знань.
Учні повторюють: правило додавання негативних чисел, правило додавання чисел з різними знаками, правило віднімання чисел з різними знаками. Потім вирішують приклади застосування кожного з цих правил. (Слайди 4-10)
Актуалізація знань учнів щодо знаходження довжини відрізка на координатній прямій за відомими координатами його кінців:
4)Завдання “Відгадай слово”
На земній кулі живуть птахи - безпомилкові "упорядники" прогнозу погоди на літо. Назва цих птахів зашифрована у картці.
Виконавши всі завдання, учень отримує ключове слово, а відповіді перевіряються проектором.
Ключ ФЛАМІНГО будують гнізда у вигляді конуса: високі – до дощового літа; низькі – до сухого. (Показується учням модель Слайди 14-16)
IV. Розв'язання завдань за картками.
V. Самостійна робота за варіантами.
У кожного учня індивідуальна картка.
Варіант 1.
Обов'язкова частина.
1. Порівняйте числа:
а) -24 і 15;
б) -2 та -6.
2. Запишіть число, протилежне числу:
3. Виконайте дії:
4. Знайдіть значення виразу:
VI. Підбиття підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.
Запитання спроектовано на екран.
- Число, якому відповідає точка на координатній прямій...
- З двох чисел на координатній прямій більше те число, яке розташоване на...
- Число, яке не є ні негативним, ні позитивним.
- Відстань від числа до початку відліку на числовій прямій...
- Натуральні числаїм протилежні і нуль...
Постановка домашнього завдання:
- підготуватися до контрольної роботи:
- повторити правила складання та віднімання позитивних і негативних чисел;
- вирішити № 1096 (к,л,м) №1117
Підсумки уроку.
Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і кожному поставив питання. У першого запитав: Що ти робив цілий день? І той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець запитав: "А що ти робив цілий день?" А той відповів: "А я сумлінно виконував свою роботу". А третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: "А я брав участь у будівництві храму"
Хлопці! Давайте спробуємо оцінити кожен свою роботу за урок.
Хтось працював так, як перша людина, піднімає сині квадратики.
Хто працював сумлінно, піднімає зелені квадратики.
Хто брав участь у будівництві храму "Знання", піднімає червоні квадратики.
Рефлексія- Чи відповідають ваші знання та вміння девізу уроку?
Які знання вам сьогодні були потрібні?
Абсолютною величиною (або абсолютним значенням) негативного числа називається позитивне число, що отримується від зміни його знака (-) на зворотний (+). Абсолютна величина -5 є +5, тобто 5. Абсолютною величиною позитивного числа(А також числа 0) називається саме це число.
Знак абсолютної величини - дві прямі риси, у яких полягає число, абсолютна величина якого береться. Наприклад,
|-5| = 5,
|+5| = 5,
| 0 | = 0.
Додавання чисел з однаковим знаком.а) При додаванні двох чисел з однаковим знаком складаються їх абсолютні величини і перед сумою ставиться загальний знак.
приклади.
(+8) + (+11) = 19;
(-7) + (-3) = -10.
б) При додаванні двох чисел з різними знаками з абсолютної величини одного з них віднімається абсолютна величина іншого (менша з більшої) а ставиться знак того числа, у якого абсолютна величина більша.
приклади.
(-3) + (+12) = 9;
(-3) + (+1) = -2.
Віднімання чисел з різними знаками. одного числа з іншого можна замінити додаванням; при цьому зменшуване береться зі своїм знаком, а віднімається зі зворотним.
приклади.
(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;
(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;
Зауваження. При виконанні додавання та віднімання, особливо коли маємо справу з кількома числами, найкраще чинити так:
1) звільнити всі числа від дужок, причому перед числом поставити знак «+ », якщо колишній знакперед дужкою був однаковий зі знаком у дужці, і «-», якщо він був протилежний знаку у дужці;
2) скласти абсолютні величини всіх чисел, що мають тепер ліворуч знак +;
3) скласти абсолютні величини всіх чисел, які мають тепер ліворуч знак -;
4) від більшої суми відняти меншу і поставити знак, що відповідає більшій сумі.
приклад.
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2;
17 + 2 = 19;
30 + 6 + 12 = 48;
48 - 19 = 29.
Результат є від'ємне число -29, тому що велика сума (48) вийшла від складання абсолютних величин тих чисел, перед якими коштували мінуси у виразі -30 + 17 - 6 -12 + 2. На цей останній вираз можна дивитися і як на суму чисел -30, +17, -6, -12, +2, і як на результат послідовного додавання до -30 числа 17, потім віднімання числа 6, потім віднімання 12і, нарешті, додавання 2. Взагалі на вираз а - b + с - d і т. д. можна дивитися як на суму чисел (+а), (-b), (+с), (-d), і як на результат таких послідовних дій: віднімання з (+а) числа (+b) , додавання (+c), віднімання (+d) і т.д.
Розмноження чисел з різними знакамиПри множенні двох чисел множаться їх абсолютні величини і перед добутком ставиться знак плюс, якщо знаки співмножників однакові, та мінус, якщо вони різні.
Схема (правило знаків при множенні):
+*+=+ +*-=- -*+=- -*-=+приклади.
(+ 2,4) * (-5) = -12;
(-2,4) * (-5) = 12;
(-8,2) * (+2) = -16,4.
При перемноженні кількох співмножників знак твору позитивний, якщо число негативних співмножників парне, і негативний, якщо число негативних співмножників непарне.
приклади.
(+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = 7 (три негативні співмножники);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (два негативні співмножники).
Розподіл чисел з різними знаками одного числа на інше ділять абсолютну величинупершого на абсолютну величину другого і перед приватним ставиться знак плюс, якщо знаки дільника і дільника однакові, і мінус, якщо вони різні (схема та ж, що для множення).
приклади.
(-6) : (+3) = -2;
(+8) : (-2) = -4;
(-12) : (-12) = + 1
Негативні числа- Це числа зі знаком мінус (-), наприклад -1, -2, -3. Читається як: мінус один, мінус два, мінус три.
Приклад застосування негативних чиселє термометр, що показує температуру тіла, повітря, ґрунту чи води. У зимовий часКоли на вулиці дуже холодно, температура буває негативною (або як кажуть у народі «мінусової»).
Наприклад, −10 градусів холоду:
Звичайні числа, які ми розглядали раніше, такі як 1, 2, 3 називають позитивними. Позитивні числа - це числа зі знаком плюс (+).
При записі позитивних чисел знак + не записують, тому ми бачимо звичні нам числа 1, 2, 3. Але слід пам'ятати, що це позитивні числа виглядають так: +1, +2, +3.
Зміст урокуЦе пряма лінія, де розташовуються всі числа: і негативні і позитивні. Виглядає наступним чином:
Тут показані числа від -5 до 5. Насправді координатна пряма нескінченна. На малюнку представлений лише невеликий фрагмент.
Числа на координатній прямій відзначають як точок. На малюнку жирна чорна точкає початком відліку. Початок відліку починається з нуля. Зліва від початку відліку відзначають негативні числа, а праворуч - позитивні.
Координатна пряма продовжується нескінченно по обидва боки. Нескінченність у математиці позначається символом ∞. Негативний напрямок позначатиметься символом −∞, а позитивний символом +∞. Тоді можна сказати, що на координатній прямій розташовуються всі числа від мінус нескінченності до плюс нескінченності:
Кожна точка на координатній прямій має своє ім'я та координату. Ім'я- це будь-яка латинська літера. Координата- Це число, яке показує положення точки на цій прямій. Простіше кажучи, координата це те саме число, яке ми хочемо відзначити на координатній прямій.
Наприклад, точка А(2) читається як "точка А з координатою 2" і буде позначатись на координатній прямій наступним чином:
Тут A- це ім'я точки, 2 - координата точки A.
приклад 2.Крапка B(4) читається як "точка B з координатою 4"
Тут B- це ім'я точки, 4 - координата точки B.
приклад 3.Точка M(−3) читається як "точка M з координатою мінус три" і буде позначатись на координатній прямій так:
Тут M- це ім'я точки, -3 - координата точки M .
Крапки можна позначати будь-якими літерами. Але прийнято позначати їх великими латинськими літерами. Більше того, початок звіту, який інакше називають початком координатприйнято позначати великою латинською літерою O
Легко помітити, що негативні числа лежать лівіше щодо початку відліку, а позитивні числа правіше.
Існують такі словосполучення, як «чим лівіше, тим менше»і «Чим правіше, тим більше». Напевно, ви вже здогадалися, про що йдеться. При кожному кроці вліво, число зменшуватиметься у менший бік. І при кожному кроці праворуч число збільшуватиметься. Стрілка, спрямована праворуч, вказує на позитивний напрямок відліку.
Порівняння негативних та позитивних чисел
Правило 1. Будь-яке негативне число менше від будь-якого позитивного числа.
Наприклад, порівняємо два числа: −5 та 3. Мінус п'ять менше, ніж три, незважаючи на те, що п'ятірка впадає в око в першу чергу, як цифра більша, ніж три.
Пов'язано це про те, що −5 є негативним числом, а 3 — позитивним. На координатній прямій можна побачити, де розташовуються числа −5 та 3
Видно, що −5 лежить ліворуч, а 3 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило говорить, що будь-яке негативне число менше за будь-яке позитивне число. Звідси слідує що
−5 < 3
«Мінус п'ять менше, ніж три»
Правило 2 З двох негативних чисел менше те, що розташовується ліворуч на координатній прямій.
Наприклад, порівняємо числа −4 та −1. Мінус чотири меншеніж мінус одиниця.
Пов'язано це знову ж таки з тим, що на координатній прямій -4 розташовується лівіше, ніж -1
Видно, що −4 лежить ліворуч, а −1 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило говорить, що з двох негативних чисел менше те, що розташовується ліворуч на координатній прямій. Звідси слідує що
Мінус чотири менше, ніж мінус одиниця
Правило 3 Нуль більше будь-якого негативного числа.
Наприклад, порівняємо 0 та −3. Нуль більшеніж мінус три. Пов'язано це з тим, що на координатній прямій 0 розташовується правіше, ніж −3
Видно, що 0 лежить правіше, а −3 ліворуч. А ми казали, що «Чим правіше, тим більше» . І правило каже, що нуль більше за будь-яке негативне число. Звідси слідує що
Нуль більше, ніж мінус три
Правило 4 Нуль менше будь-якого позитивного числа.
Наприклад, порівняємо 0 і 4. Нуль менше 4. Це в принципі ясно і так. Але ми спробуємо побачити це на власні очі, знову ж таки на координатній прямій:
Видно, що на координатній прямій 0 розташовується лівіше, а 4 правіше. А ми казали, що «чим лівіше, тим менше» . І правило каже, що нуль менший за будь-яке позитивне число. Звідси слідує що
Нуль менше, ніж чотири
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
У цій статті ми розберемо, як виконується віднімання негативних чиселіз довільних чисел. Тут ми дамо правило віднімання негативних чисел, і розглянемо приклади застосування цього правила.
Навігація на сторінці.
Правило віднімання негативних чисел
Має місце наступне правило віднімання негативних чисел: щоб від числа відняти негативне число b , потрібно до зменшуваного a додати число −b , протилежне віднімається b .
У літерному вигляді правило віднімання негативного числа b з довільного числа a виглядає так: a−b=a+(−b) .
Доведемо справедливість цього правила віднімання чисел.
Для початку нагадаємо сенс віднімання чисел a і b. Знайти різницю чисел a і b - це означає знайти таке число з сума якого з числом b дорівнює a (дивіться зв'язок віднімання зі додаванням). Тобто, якщо знайдено число таке, що c+b=a , то різниця a−b дорівнює c .
Таким чином, щоб довести озвучене правило віднімання, достатньо показати, що додавання до суми a+(−b) числа b дасть число a . Щоб це показати, звернемося до властивостям дій із дійсними числами. З огляду на поєднання складності справедливо рівність (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Оскільки сума протилежних чиселдорівнює нулю, a+((−b)+b)=a+0 , а сума a+0 дорівнює a , оскільки додавання нуля не змінює число. Таким чином, доведено рівність a−b=a+(−b) , отже, доведено і справедливість наведеного правила віднімання негативних чисел.
Ми довели це правило для дійсних чисел a і b. Однак, це правило справедливе і для будь-яких раціональних чисел a і b, а також для будь-яких цілих чисел a і b, так як дії з раціональними і цілими числами теж мають властивості, які ми використовували за доказом. Зазначимо, що за допомогою розібраного правила можна виконувати віднімання від'ємного числа як з позитивного, так і з від'ємного числа, а також з нуля.
Залишилося розглянути, як виконується віднімання негативних чисел за допомогою розібраного правила.
Приклади віднімання негативних чисел
Розглянемо приклади віднімання негативних чисел. Почнемо з рішення простого прикладу, щоб розібратися з усіма тонкощами процесу, не турбуючись обчисленнями.
приклад.
Відніміть від від'ємного числа −13 від'ємне число −7 .
Рішення.
Числом, протилежним віднімається −7 є число 7 . Тоді за правилом віднімання негативних чисел маємо (−13)−(−7)=(−13)+7 . Залишилося виконати додавання чисел з різними знаками , одержуємо (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Ось все рішення: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Відповідь:
(−13)−(−7)=−6 .
Віднімання дробових негативних чисел можна виконати, здійснивши перехід до відповідних звичайних дробів, змішаних чисел або десяткових дробів. Тут варто відштовхуватись від того, з якими числами зручніше працювати.
приклад.
Виконайте віднімання з числа 3,4 негативного числа.
Рішення.
Застосувавши правило віднімання негативних чисел, маємо 
. Тепер замінимо десятковий дріб 3,4 змішаним числом: 
(дивіться переведення десяткових дробів у звичайні дроби), отримуємо 
. Залишилося виконати додавання змішаних чисел: .
У цьому віднімання негативного числа з числа 3,4 завершено. Наведемо короткий запис рішення: .
Відповідь:
.
приклад.
Заберіть від'ємне число −0,(326) від нуля.
Рішення.
За правилом віднімання негативних чисел маємо 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Останній перехід справедливий з якості складання числа з нулем.