Trapez jest szczególny przypadek czworokąt, w którym jedna para boków jest równoległa. Termin „trapez” pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, oznaczającego „stół”, „stół”. W tym artykule rozważymy rodzaje trapezu i jego właściwości. Zobaczmy również, jak obliczyć poszczególne elementy Na przykład przekątna trapezu równoramiennego, linia środkowa, powierzchnia itp. Materiał jest przedstawiony w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępnej formie.
Informacje ogólne
Najpierw zrozummy, czym jest czworokąt. Ta figura jest szczególnym przypadkiem wielokąta zawierającego cztery boki i cztery wierzchołki. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywamy przeciwnymi. To samo można powiedzieć o dwóch nieprzylegających bokach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i deltoid.
Wróćmy więc do trapezu. Jak już powiedzieliśmy, ta figura ma dwa równoległe boki. Nazywa się je bazami. Pozostałe dwa (nierównoległe) to boki. W materiałach egzaminacyjnych i różnych prace kontrolne bardzo często można spotkać zadania związane z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od ucznia posiadania wiedzy, której nie przewiduje program. Szkolny kurs geometrii zapoznaje studentów z własnościami kątów i przekątnych oraz linią środkową trapezu równoramiennego. Ale przecież oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma jeszcze inne cechy. Ale o nich później...
Rodzaje trapezów
Istnieje wiele rodzajów tej figury. Jednak najczęściej bierze się pod uwagę dwa z nich - równoramienny i prostokątny.
1. Prostokątny trapez to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do podstaw. Ma dwa kąty, które zawsze mają dziewięćdziesiąt stopni.
2. Trapez równoramienny to figura geometryczna, której boki są sobie równe. Oznacza to, że kąty przy podstawach są również parami równe.
Główne zasady metodologii badania właściwości trapezu
Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. W zasadzie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego toku geometrii. Można je odkrywać i formułować w procesie rozwiązywania różnych problemów (lepszych niż systemowe). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy postawić przed uczniami w danym momencie procesu edukacyjnego. Co więcej, każda właściwość trapezu może być reprezentowana jako kluczowe zadanie w systemie zadań.
Drugą zasadą jest tak zwana spiralna organizacja badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danego figura geometryczna. W ten sposób uczniom łatwiej jest je zapamiętać. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno w badaniu podobieństwa, jak i później za pomocą wektorów. A równy obszar trójkątów przylegających do boków figury można udowodnić, stosując nie tylko właściwości trójkątów o równych wysokościach narysowanych na bokach leżących na tej samej prostej, ale także za pomocą wzoru S = 1/2 (ab*sinα). Ponadto możesz ćwiczyć na trapezie wpisanym lub trójkącie prostokątnym na trapezie opisanym itp.
Wykorzystanie w treści „pozaprogramowych” cech figury geometrycznej kurs szkolny jest zadaniem technologii ich nauczania. Ciągłe odwoływanie się do badanych własności podczas przechodzenia przez inne tematy pozwala studentom na głębsze poznanie trapezu i gwarantuje powodzenie w rozwiązywaniu zadań. Zacznijmy więc studiować tę cudowną postać.
Elementy i własności trapezu równoramiennego
Jak już zauważyliśmy, boki tej figury geometrycznej są równe. Jest również znany jako prawy trapez. Dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Cechy tej figury obejmują fakt, że nie tylko boki i rogi u podstaw są równe, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Spośród wszystkich znanych trapezów tylko wokół równoramiennego można opisać okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwległych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworoboku. Następną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od wierzchołka podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.
Teraz wymyślmy, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważ rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.
Rozwiązanie
Zwykle czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Przyjmiemy, że ich rozmiar to X, a rozmiary podstaw to Y i Z (odpowiednio mniejszy i większy). Aby wykonać obliczenia, należy narysować wysokość H z kąta B. Wynikiem jest trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB to przeciwprostokątna, a BN i AN to ramiona. Obliczamy rozmiar nogi AN: od większej podstawy odejmujemy mniejszą i dzielimy wynik przez 2. Zapisujemy to w postaci wzoru: (Z-Y) / 2 \u003d F. Teraz, aby obliczyć użyjemy kąta ostrego trójkąta funkcja cos. Otrzymujemy następujący zapis: cos(β) = Х/F. Teraz obliczamy kąt: β=arcos (Х/F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.
Istnieje również drugie rozwiązanie tego problemu. Na początek obniżamy wysokość H od narożnika B. Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Otrzymujemy: BN \u003d √ (X2-F2). Dalej używamy funkcja trygonometryczna tg. W rezultacie mamy: β = arctg (BN / F). Znaleziono ostry róg. Następnie określamy w taki sam sposób, jak pierwszą metodą.
Własność przekątnych trapezu równoramiennego
Zapiszmy najpierw cztery zasady. Jeżeli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:
Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;
Jego wysokość i linia środkowa są równe;
Środek okręgu to punkt, w którym ;
Jeśli bok boczny jest podzielony przez punkt styku na segmenty H i M, to jest równy pierwiastek kwadratowy produkty tych segmentów;
Czworokąt, który został utworzony przez punkty styczne, wierzchołek trapezu i środek wpisanego koła, jest kwadratem, którego bok jest równy promieniowi;
Pole figury jest równe iloczynowi podstaw i iloczynowi połowy sumy podstaw i jej wysokości.
Podobne trapezy
Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego.Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te sąsiadujące z podstawami są podobne, a boki są równe. To stwierdzenie można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Pierwsza część tego twierdzenia jest udowodniona przez kryterium podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej użyć metody podanej poniżej.
Dowód twierdzenia
Przyjmujemy, że figura ABSD (AD i BS - podstawy trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AC. Ich punktem przecięcia jest O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u podstawy dolnej, BOS - u podstawy górnej, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BOS mają wspólną wysokość, jeśli ich podstawami są odcinki BO i OD. Otrzymujemy, że różnica między ich polami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Zatem PSOD = PBOS / K. Podobnie trójkąty BOS i AOB mają wspólną wysokość. Jako podstawy przyjmujemy odcinki CO i OA. Otrzymujemy PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K i PAOB \u003d PBOS / K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.
Aby skonsolidować materiał, uczniowie powinni znaleźć połączenie między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne, rozwiązując następujące zadanie. Wiadomo, że pola trójkątów BOS i AOD są równe, konieczne jest znalezienie pola trapezu. Ponieważ PSOD \u003d PAOB oznacza to, że PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Z podobieństwa trójkątów BOS i AOD wynika, że BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Dlatego PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otrzymujemy PSOD = √ (PBOS * PAOD). Wtedy PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
właściwości podobieństwa
Kontynuując rozwijanie tego tematu, możemy udowodnić inne ciekawe funkcje trapez. Tak więc, używając podobieństwa, możesz udowodnić właściwość odcinka, który przechodzi przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równolegle do podstaw. W tym celu rozwiązujemy następujące zadanie: należy znaleźć długość odcinka RK, który przechodzi przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BOS wynika, że AO/OS=AD/BS. Z podobieństwa trójkątów AOP i ASB wynika, że AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Stąd otrzymujemy, że RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOK i DBS wynika, że OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Stąd otrzymujemy, że RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do podstaw i łączący dwa boki, jest podzielony przez punkt przecięcia na pół. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw figury.
Rozważmy następującą własność trapezu, którą nazywamy własnością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcia kontynuacji boków (E), a także punkty środkowe podstaw (T i W) leżą zawsze na tej samej prostej. Łatwo to udowodnić metodą podobieństwa. Otrzymane trójkąty BES i AED są podobne, aw każdym z nich środkowe ET i EZH dzielą kąt przy wierzchołku E na równe części. Dlatego punkty E, T i W leżą na tej samej prostej. W ten sam sposób na jednej prostej leżą punkty T, O i G. Wszystko to wynika z podobieństwa trójkątów BOS i AOD. Z tego wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty - E, T, O i W - będą leżeć na jednej linii prostej.
Korzystając z podobnych trapezów, uczniowie mogą zostać poproszeni o znalezienie długości odcinka (LF), który dzieli figurę na dwie podobne. Segment ten powinien być równoległy do podstaw. Ponieważ otrzymane trapezy ALFD i LBSF są podobne, to BS/LF=LF/BP. Wynika z tego, że LF=√(BS*BP). Otrzymujemy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.
Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na odcinku, który dzieli trapez na dwie równej wielkości figury. Przyjmujemy, że trapez ABSD dzieli odcinek EN na dwa podobne. Od wierzchołka B pomija się wysokość, która jest podzielona odcinkiem EH na dwie części - B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2, a drugie (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Wynika z tego, że B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Otrzymujemy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa średniemu kwadratowi długości podstaw: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Wnioskowanie o podobieństwie
Tym samym udowodniliśmy, że:
1. Odcinek łączący środki boków trapezu jest równoległy do AD i BS i jest równy średniej arytmetycznej BS i AD (długość podstawy trapezu).
2. Linia przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do AD i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb AD i BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).
3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i AD.
4. Element, który dzieli figurę na dwie równe, ma długość średnich liczb kwadratowych AD i BS.
Aby utrwalić materiał i zrozumieć powiązania między rozważanymi segmentami, uczeń musi je zbudować dla określonego trapezu. Z łatwością potrafi wyświetlić linię środkową i odcinek przechodzący przez punkt O - przecięcie przekątnych figury - równolegle do podstaw. Ale gdzie będzie trzeci i czwarty? Ta odpowiedź doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanej relacji między średnimi.
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu
Rozważ następującą właściwość tej figury. Przyjmujemy, że odcinek MH jest równoległy do podstaw i przecina przekątne. Nazwijmy punkty przecięcia W i W. Ten odcinek będzie równy połowie różnicy podstaw. Przeanalizujmy to bardziej szczegółowo. MSH - środkowa linia trójkąta ABS, jest równa BS / 2. MS - środkowa linia trójkąta ABD, jest równa AD / 2. Wtedy otrzymujemy, że ShShch = MShch-MSh, zatem Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.
Środek ciężkości
Przyjrzyjmy się, jak wyznacza się ten element dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Konieczne jest dodanie dolnej podstawy do górnej podstawy - do dowolnej strony, na przykład po prawej stronie. A dół jest przedłużony o długość góry w lewo. Następnie łączymy je przekątną. Punkt przecięcia tego odcinka ze środkową linią figury jest środkiem ciężkości trapezu.
Trapezy wpisane i opisane
Wymieńmy cechy takich figur:
1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.
2. Trapez można opisać wokół koła, pod warunkiem, że suma długości jego podstaw jest równa sumie długości boków.
Konsekwencje wpisanego okręgu:
1. Wysokość opisanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.
2. Boczną stronę opisanego trapezu obserwujemy ze środka koła pod kątem prostym.
Pierwszy wniosek jest oczywisty, a dla udowodnienia drugiego trzeba ustalić, że kąt SOD jest prosty, co zresztą też nie będzie trudne. Ale znajomość tej właściwości pozwoli nam wykorzystać trójkąt prostokątny w rozwiązywaniu problemów.
Teraz określimy te konsekwencje dla trapezu równoramiennego, który jest wpisany w okrąg. Otrzymujemy, że wysokość jest średnią geometryczną podstaw figury: H=2R=√(BS*AD). Ćwicząc główną technikę rozwiązywania problemów trapezów (zasada rysowania dwóch wysokości), uczeń musi rozwiązać następujące zadanie. Przyjmujemy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Należy znaleźć odcinki AT i TD. Korzystając ze wzoru opisanego powyżej, nie będzie to trudne.
Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od góry B do podstawy AD. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS + AD \u003d 2AB lub AB \u003d (BS + AD) / 2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Otrzymujemy PABSD \u003d (BS + PIEKŁO) * R, wynika z tego, że R \u003d PABSD / (BS + PIEKŁO).
Wszystkie wzory linii środkowej trapezu
Teraz czas przejść do ostatniego elementu tej figury geometrycznej. Zastanówmy się, ile równa się środkowa linia trapezu (M):
1. Przez podstawy: M \u003d (A + B) / 2.
2. Poprzez wysokość, podstawę i kąty:
M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:
M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.
4. Przez obszar i wysokość: M = P / N.
Z taką formą jak trapez spotykamy się w życiu dość często. Na przykład każdy most wykonany z bloków betonowych jest pierwszorzędny przykład. Bardziej wizualną opcję można uznać za sterowanie każdym z nich pojazd I tak dalej. Właściwości figury znane były już w r Starożytna Grecja
, co dokładniej opisał Arystoteles w swoim Praca naukowa"Początek". A wiedza zdobyta tysiące lat temu jest nadal aktualna. Dlatego zapoznamy się z nimi bardziej szczegółowo.
W kontakcie z
Podstawowe koncepcje
Obrazek 1. Klasyczny kształt trapez.
Trapez jest zasadniczo czworokątem, składającym się z dwóch segmentów, które są równoległe i dwóch innych, które nie są równoległe. Mówiąc o tej figurze, zawsze należy pamiętać o takich pojęciach jak: podstawy, wysokość i linia środkowa. Dwa odcinki czworokąta, które są nazywane względem siebie podstawami (segmenty AD i BC). Wysokość nazywamy odcinkiem prostopadłym do każdej z podstaw (EH), tj. przecinają się pod kątem 90° (jak pokazano na ryc. 1).
Jeśli dodamy wszystkie miary stopnia wewnętrznego, wówczas suma kątów trapezu będzie równa 2π (360 °), jak każdy czworobok. Segment, którego końce są punktami środkowymi ścian bocznych (IF) nazywana linią środkową. Długość tego odcinka to suma podstaw BC i AD podzielona przez 2.
Istnieją trzy rodzaje kształtów geometrycznych: proste, regularne i równoramienne. Jeśli co najmniej jeden kąt w wierzchołkach podstawy jest prosty (na przykład, jeśli ABD = 90 °), wówczas taki czworokąt nazywa się prawym trapezem. Jeśli segmenty boczne są równe (AB i CD), nazywa się to równoramiennymi (odpowiednio kąty u podstaw są równe).
Jak znaleźć obszar
Za to, znaleźć pole czworokąta ABCD użyj następującego wzoru:
Rysunek 2. Rozwiązanie problemu znalezienia obszaru
Po więcej dobry przykład Rozwiążmy prosty problem. Na przykład niech górna i dolna podstawa będą równe odpowiednio 16 i 44 cm, a boki 17 i 25 cm Zbudujmy odcinek prostopadły z wierzchołka D tak, aby DE II BC (jak pokazano na rysunku 2). Stąd to rozumiemy
Niech DF - będzie. Z ΔADE (która będzie równoboczna) otrzymujemy:
Czyli wyrazić zwykły język, najpierw znaleźliśmy wysokość ΔADE, która jest również wysokością trapezu. Stąd obliczamy pole czworoboku ABCD za pomocą już znanego wzoru, z już znana wartość Wysokość DF.
Zatem żądane pole ABCD wynosi 450 cm³. To znaczy, można z całą pewnością stwierdzić, że Aby obliczyć powierzchnię trapezu, potrzebujesz tylko sumy podstaw i długości wysokości.
Ważny! Rozwiązując zadanie, nie trzeba osobno znajdować wartości długości, jest całkiem możliwe, jeśli zastosuje się inne parametry figury, które przy odpowiednim dowodzie będą równe sumie podstaw.
Rodzaje trapezu
W zależności od tego, jakie boki ma figura, jakie kąty są utworzone u podstaw, istnieją trzy rodzaje czworoboków: prostokątny, dwuboczny i równoboczny.
Wszechstronny
Istnieją dwie formy: ostry i tępy. ABCD jest ostry tylko wtedy, gdy kąty przy podstawie (AD) są ostre, a długości boków są różne. Jeżeli wartość jednego kąta jest o liczbę Pi/2 większa (miara stopnia jest większa niż 90°), wówczas otrzymujemy kąt rozwarty.
Jeśli boki są równej długości
Rysunek 3. Widok trapezu równoramiennego
Jeśli boki nierównoległe są równej długości, to ABCD nazywa się równoramiennymi (poprawne). Co więcej, dla takiego czworoboku miara stopni kątów u podstawy jest taka sama, ich kąt zawsze będzie mniejszy niż prawy. Z tego powodu równoramiennych nigdy nie dzieli się na ostre i tępe. Czworokąt o tym kształcie ma swoje specyficzne różnice, które obejmują:
- Segmenty łączące przeciwległe wierzchołki są równe.
- Kąty ostre o większej podstawie wynoszą 45° (ilustracyjny przykład na rycinie 3).
- Jeśli dodasz stopnie przeciwnych kątów, to w sumie dadzą 180 °.
- wokół dowolnego prawy trapez można zbudować.
- Jeśli dodasz miarę stopni przeciwległych kątów, to jest równa π.
Ponadto, ze względu na ich geometryczny układ punktów, istnieją podstawowe własności trapezu równoramiennego:
Wartość kąta u podstawy 90°
Prostopadłość bocznej strony podstawy jest pojemną cechą koncepcji „prostokątnego trapezu”. Nie może być dwóch boków z rogami u podstawy, bo inaczej będzie to już prostokąt. W czworobokach tego typu drugi bok zawsze będzie tworzył kąt ostry o dużej podstawie, a przy mniejszej - rozwarty. W tym przypadku bok prostopadły będzie również wysokością.
Segment między środkiem ścian bocznych
Jeśli połączymy środki boków, a powstały odcinek będzie równoległy do podstaw i równy połowie ich sumy, to utworzona prosta będzie środkową linią. Wartość tej odległości oblicza się ze wzoru:
Aby uzyskać bardziej ilustracyjny przykład, rozważ problem z wykorzystaniem środkowej linii.
Zadanie. Linia środkowa trapezu wynosi 7 cm, wiadomo, że jeden z boków jest o 4 cm większy od drugiego (ryc. 4). Znajdź długości podstaw.
Rysunek 4. Rozwiązanie problemu znajdowania długości podstaw
Rozwiązanie. Niech mniejsza podstawa DC będzie równa x cm, wtedy większa podstawa będzie równa odpowiednio (x + 4) cm Stąd, korzystając ze wzoru na środkową linię trapezu, otrzymujemy:
Okazuje się, że mniejsza podstawa DC ma 5 cm, a większa 9 cm.
Ważny! Pojęcie linii środkowej jest kluczem do rozwiązania wielu problemów w geometrii. Na podstawie jego definicji buduje się wiele dowodów na inne liczby. Używając koncepcji w praktyce, może więcej racjonalne rozwiązanie i wyszukaj żądaną wartość.
Określenie wysokości i jak ją znaleźć
Jak zaznaczono wcześniej, wysokość to odcinek, który przecina podstawy pod kątem 2Pi/4 i jest najkrótszą odległością między nimi. Zanim znajdziesz wysokość trapezu, konieczne jest ustalenie, jakie wartości wejściowe są podane. Dla lepszego zrozumienia rozważ problem. Znajdź wysokość trapezu, pod warunkiem, że podstawy mają odpowiednio 8 i 28 cm, a boki odpowiednio 12 i 16 cm.
Rysunek 5. Rozwiązanie problemu znalezienia wysokości trapezu
Narysujmy odcinki DF i CH pod kątem prostym do podstawy AD. Zgodnie z definicją każdy z nich będzie miał wysokość danego trapezu (rys. 5). W tym przypadku, znając długość każdej ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy wysokość w trójkątach AFD i BHC.
Suma odcinków AF i HB jest równa różnicy podstaw, czyli:
Niech długość AF będzie równa x cm, wtedy długość odcinka HB = (20 - x) cm. Jak ustalono, DF=CH , stąd .
Otrzymujemy wtedy następujące równanie:
Okazuje się, że odcinek AF w trójkącie AFD ma 7,2 cm, stąd wysokość trapezu DF obliczamy za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa:
Te. wysokość trapezu ADCB wyniesie 9,6 cm Jak widać, obliczenie wysokości jest procesem bardziej mechanicznym i opiera się na obliczeniach boków i kątów trójkątów. Ale w wielu problemach geometrii znane mogą być tylko stopnie kątów, w którym to przypadku obliczenia zostaną wykonane na podstawie stosunku boków wewnętrznych trójkątów.
Ważny! Zasadniczo trapez jest często uważany za dwa trójkąty lub kombinację prostokąta i trójkąta. Aby rozwiązać 90% wszystkich problemów znalezionych w podręcznikach szkolnych, właściwości i cechy tych liczb. Większość wzorów dla tego GMT wyprowadza się w oparciu o „mechanizmy” dla tych dwóch typów liczb.
Jak szybko obliczyć długość podstawy
Zanim znajdziesz podstawę trapezu, musisz określić, jakie parametry są już podane i jak racjonalnie z nich korzystać. Praktycznym podejściem jest wyodrębnienie długości nieznanej podstawy ze wzoru na linię środkową. Aby uzyskać wyraźniejszy obraz obrazu, pokażemy, jak można to zrobić na przykładzie zadania. Niech wiadomo, że środkowa linia trapezu ma 7 cm, a jedna z podstaw ma 10 cm. Znajdź długość drugiej podstawy.
Rozwiązanie: Wiedząc, że linia środkowa jest równa połowie sumy podstaw, można stwierdzić, że ich suma wynosi 14 cm.
(14cm=7cm×2). Z warunku zadania wiemy, że jeden z jest równy 10 cm, stąd mniejszy bok trapezu będzie równy 4 cm (4 cm = 14 - 10).
Co więcej, dla wygodniejszego rozwiązania tego rodzaju problemów, zalecamy dobrze nauczyć się takich wzorów z obszaru trapezu jak:
- Środkowa linia;
- kwadrat;
- wysokość;
- przekątne.
Znając istotę (dokładnie istotę) tych obliczeń, możesz łatwo znaleźć pożądaną wartość.
Wideo: trapez i jego właściwości
Wideo: funkcje trapezu
Wniosek
Z rozważanych przykładów problemów możemy wyciągnąć prosty wniosek, że trapez pod względem problemów obliczeniowych jest jedną z najprostszych figur w geometrii. Aby pomyślnie rozwiązać problemy, przede wszystkim nie trzeba decydować, jakie informacje są znane na temat opisywanego obiektu, w jakich formułach można je zastosować, i decydować, co należy znaleźć. Dzięki wykonaniu tego prostego algorytmu żadne zadanie z wykorzystaniem tej figury geometrycznej nie będzie łatwe.
W materiałach różnych testów i egzaminów bardzo często są zadania dla trapezu, którego rozwiązanie wymaga znajomości jego właściwości.
Dowiedzmy się, jakie interesujące i przydatne właściwości trapez ma do rozwiązywania problemów.
Po przestudiowaniu właściwości linii środkowej trapezu możemy sformułować i udowodnić właściwość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu. Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy podstaw.
MO - linia środkowa trójkąt ABC i równa 1/2BC (Rys. 1).
MQ jest linią środkową trójkąta ABD i jest równa 1/2AD.
Wtedy OQ = MQ – MO, stąd OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).
Podczas rozwiązywania wielu problemów na trapezie jedną z głównych sztuczek jest utrzymanie w nim dwóch wysokości.
Rozważ następujące zadanie.
Niech BT będzie wysokością trapezu równoramiennego ABCD o podstawach BC i AD, gdzie BC = a, AD = b. Znajdź długości odcinków AT i TD.
Rozwiązanie.
Rozwiązywanie problemów nie jest trudne (Rys. 2), ale pozwala uzyskać właściwość wysokości trapezu równoramiennego narysowanego z wierzchołka kąt rozwarty : wysokość trapezu równoramiennego poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli większą podstawę na dwa odcinki, z których mniejszy stanowi połowę różnicy podstaw, a większy stanowi połowę sumy podstaw.
Badając właściwości trapezu, należy zwrócić uwagę na taką właściwość, jak podobieństwo. Na przykład przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty, a trójkąty przylegające do podstaw są podobne, a trójkąty przylegające do boków są równe. To stwierdzenie można nazwać właściwość trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Co więcej, pierwsza część twierdzenia jest bardzo łatwo udowodniona przez znak podobieństwa trójkątów pod dwoma kątami. udowodnijmy druga część wypowiedzi.
Trójkąty BOC i COD mają taką samą wysokość (Rys. 3), jeśli jako podstawy przyjmiemy odcinki BO i OD. Wtedy S BOC /S COD = BO/OD = k. Dlatego S COD = 1/k · S BOC .
Podobnie trójkąty BOC i AOB mają wspólną wysokość, jeśli jako podstawy przyjmiemy odcinki CO i OA. Wtedy S BOC /S AOB = CO/OA = k i S A O b = 1/k · S BOC .
Z tych dwóch twierdzeń wynika, że S COD = S A O B.
Nie będziemy rozwodzić się nad podanym stwierdzeniem, ale znajdziemy stosunek między polami trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Aby to zrobić, rozwiążemy następujący problem.
Niech punkt O będzie punktem przecięcia się przekątnych trapezu ABCD z podstawami BC i AD. Wiadomo, że pola trójkątów BOC i AOD są równe odpowiednio S 1 i S 2 . Znajdź obszar trapezu.
Ponieważ S COD \u003d S A O B, to S ABC D \u003d S 1 + S 2 + 2S COD.
Z podobieństwa trójkątów BOC i AOD wynika, że BO / OD \u003d √ (S₁ / S 2).
Zatem S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), stąd S COD = √(S 1 S 2).
Wtedy S ABC re = S 1 + S 2 + 2√ (S 1 S 2) = (√ S 1 + √ S 2) 2 .
Korzystając z podobieństwa, można również udowodnić właściwość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległego do podstaw.
Rozważać zadanie:
Niech punkt O będzie punktem przecięcia się przekątnych trapezu ABCD z podstawami BC i AD. BC=a, AD=b. Znajdź długość odcinka PK przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległego do podstaw. Na jakie segmenty dzieli się PK przez punkt O (ryc. 4)?
Z podobieństwa trójkątów AOD i BOC wynika, że АO/OC = AD/BC = b/a.
Z podobieństwa trójkątów AOP i ACB wynika, że AO/AC = PO/BC = b/(a + b).
Stąd PO = BC b / (a + b) = ab/(a + b).
Podobnie z podobieństwa trójkątów DOK i DBC wynika, że OK = ab/(a + b).
Stąd PO = OK i PK = 2ab/(a + b).
Tak więc sprawdzoną właściwość można sformułować w następujący sposób: odcinek równoległy do podstaw trapezu, przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych i łączący dwa punkty po bokach, jest podzielony przez punkt przecięcia przekątnych na pół. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw trapezu.
Następny własności czterech punktów: w trapezie punkt przecięcia przekątnych, punkt przecięcia kontynuacji boków, punkty środkowe podstaw trapezu leżą na tej samej prostej.
Trójkąty BSC i ASD są podobne (Rys. 5) aw każdym z nich środkowe ST i SG dzielą kąt wierzchołkowy S na równe części. Dlatego punkty S, T i G leżą na tej samej prostej.
Podobnie na jednej prostej leżą punkty T, O i G. Wynika to z podobieństwa trójkątów BOC i AOD.
Stąd wszystkie cztery punkty S, T, O i G leżą na tej samej prostej.
Możesz również znaleźć długość odcinka dzielącego trapez na dwa podobne.
Jeśli trapezy ALFD i LBCF są podobne (Rys. 6), wtedy a/LF = LF/b.
Stąd LF = √(ab).
Zatem odcinek dzielący trapez na dwa podobne trapezy ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw. 
udowodnijmy właściwość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części.
Niech polem trapezu będzie S (Rys. 7). h 1 i h 2 to części wysokości, a x to długość żądanego segmentu.
Wtedy S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 i
S \u003d (h 1 + h 2) (a + b) / 2.
Zróbmy system
(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 (a + x) = (h 1 + h 2) (a + b)/2.
Decydowanie ten system, otrzymujemy x \u003d √ (1/2 (a 2 + b 2)).
Zatem, długość odcinka dzielącego trapez na dwa równe to √ ((a 2 + b 2) / 2)(średnie kwadratowe długości podstaw).
Zatem dla trapezu ABCD o podstawach AD i BC (BC = a, AD = b) udowodniliśmy, że odcinek:
1) MN, łączący punkty środkowe boków trapezu, jest równoległy do podstaw i równy ich połowie sumy (średnia arytmetyczna liczb a i b);
2) PK przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległego do podstaw jest równy
2ab/(a + b) (średnia harmoniczna liczb a i b);
3) LF, dzieląc trapez na dwa podobne trapezy, ma długość równą średniej geometrycznej liczb aib, √(ab);
4) EH dzieląca trapez na dwie równe ma długość √((a 2 + b 2)/2) (pierwiastek średni kwadratowy z liczb aib).
Znak i własność trapezu wpisanego i opisanego.
Własność trapezu wpisanego: Trapez można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny.
Właściwości opisanego trapezu. Trapez można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości podstaw jest równa sumie długości boków.
Przydatne konsekwencje faktu, że okrąg jest wpisany w trapez:
1. Wysokość opisanego trapezu jest równa dwóm promieniom wpisanego okręgu.
2. Boczny bok opisanego trapezu jest widoczny ze środka wpisanego koła pod kątem prostym.
Pierwsza jest oczywista. Aby udowodnić drugi wniosek, należy ustalić, że kąt COD jest prosty, co również nie jest trudne. Ale znajomość tej konsekwencji pozwala nam używać trójkąta prostokątnego do rozwiązywania problemów.
Konkretyzujemy konsekwencje dla trapezu opisanego na równoramiennych:
Wysokość opisanego trapezu równoramiennego jest średnią geometryczną podstaw trapezu
h = 2r = √(ab).
Rozważane własności pozwolą na głębsze poznanie trapezu i zapewnią sukces w rozwiązywaniu problemów dotyczących zastosowania jego własności.
Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązać problemy z trapezami?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
- (grecki trapez). 1) w geometrii czworoboku, w którym dwa boki są równoległe, ale dwa nie. 2) postać przystosowana do ćwiczenia gimnastyczne. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZIA ... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego
Trapez- Trapez. TRAPEZIA (z greckiego trapezu, dosłownie stół), wypukły czworobok, w którym dwa boki są równoległe (podstawy trapezu). Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw (linia środkowa) i wysokości. … Ilustrowany słownik encyklopedyczny
Czworokąt, pocisk, poprzeczka Słownik rosyjskich synonimów. trapez n., liczba synonimów: 3 poprzeczka (21) ... Słownik synonimów
- (z greckiego trapezu, dosłownie stół), czworokąt wypukły, w którym dwa boki są równoległe (podstawy trapezu). Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw (linia środkowa) i wysokości ... Współczesna encyklopedia
- (z greckiego trapezu litery. tabela), czworokąt, w którym dwa przeciwległe boki, zwane podstawami trapezu, są równoległe (AD i BC na rysunku), a dwa pozostałe nie są równoległe. Odległość między podstawami nazywana jest wysokością trapezu (w ... ... Wielki słownik encyklopedyczny
TRAPEZIA Czworokątna płaska figura, w której dwa przeciwległe boki są równoległe. Pole trapezu to połowa sumy boków równoległych pomnożona przez długość prostopadłej między nimi... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny
TRAPEZ, trapez, żeński. (z greckiego trapezu). 1. Czworokąt z dwoma równoległymi i dwoma nierównoległymi bokami (mat.). 2. Przyrząd gimnastyczny składający się z poprzeczki zawieszonej na dwóch linach (sport.). akrobatyczny… … Słownik Uszakow
TRAPEZIA i żony. 1. Czworokąt z dwoma równoległymi i dwoma nierównoległymi bokami. Podstawy trapezu (jego równoległe boki). 2. Pocisk cyrkowy lub gimnastyczny, poprzeczka zawieszona na dwóch linkach. Słownik wyjaśniający Ożegowa. Z … Słownik wyjaśniający Ożegowa
Kobieta, geometria. czworobok o nierównych bokach, z których dwa są posteniczne (równoległe). Trapez to podobny czworokąt, w którym wszystkie boki są od siebie oddalone. Trapezoedr, ciało przecięte trapezami. Słownik wyjaśniający Dahla . W I. Dal. 1863 1866 ... Słownik wyjaśniający Dahla
- (Trapez), USA, 1956, 105 min. Melodramat. Początkujący akrobata Tino Orsini dołącza do trupy cyrkowej, w której pracuje Mike Ribble, znany w przeszłości artysta trapezowy. Kiedyś Mike występował z ojcem Tino. Młody Orsini chce Mike'a... ... Encyklopedia kina
Czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a dwa pozostałe boki nie są równoległe. Odległość między równoległymi bokami. wysokość T. Jeśli równoległe boki i wysokość zawierają metry a, b i h, to obszar T. zawiera metry kwadratowe … Encyklopedia Brockhausa i Efrona
\[(\Duży(\text(Dowolny trapez)))\]
Definicje
Trapez to wypukły czworokąt, w którym dwa boki są równoległe, a dwa pozostałe nie są równoległe.
Równoległe boki trapezu nazywane są jego podstawami, a pozostałe dwa boki bokami.
Wysokość trapezu to prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu jednej podstawy do drugiej podstawy.
Twierdzenia: własności trapezu
1) Suma kątów przy boku wynosi \(180^\circ\) .
2) Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, z których dwa są podobne, a dwa pozostałe są równe.
Dowód
1) Ponieważ \(AD\równolegle BC\) , to kąty \(\kąt BAD\) i \(\kąt ABC\) są na tych prostych jednostronne, a sieczna \(AB\) , zatem \(\kąt BAD +\kąt ABC=180^\circ\).
2) Ponieważ \(AD\równoległy BC\) i \(BD\) jest sieczną, więc \(\angle DBC=\angle BDA\) leży w poprzek.
Także \(\angle BOC=\angle AOD\) jako pionowe.
Dlatego w dwóch rogach \(\trójkąt BOC \sim \trójkąt AOD\).
Udowodnijmy to \(S_(\trójkąt AOB)=S_(\trójkąt COD)\). Niech \(h\) będzie wysokością trapezu. Następnie \(S_(\trójkąt ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trójkąt ACD)\). Następnie: \
Definicja
Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków.
Twierdzenie
Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa połowie ich sumy.
Dowód*
1) Udowodnijmy równoległość.
Narysuj linię \(MN"\równoległą AD\) (\(N"\in CD\) ) przechodzącą przez punkt \(M\) ). Następnie z twierdzenia Talesa (ponieważ \(MN"\równoległy AD\równoległy BC, AM=MB\)) punkt \(N"\) jest środkiem odcinka \(CD\)... Zatem punkty \(N\) i \(N"\) będą się pokrywać.
2) Udowodnijmy wzór.
Narysujmy \(BB"\sprawca AD, CC"\sprawca AD\) . Pozwalać \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Następnie, zgodnie z twierdzeniem Talesa, \(M"\) i \(N"\) są odpowiednio środkami odcinków \(BB"\) i \(CC"\). Zatem \(MM"\) to linia środkowa \(\trójkąt ABB"\) , \(NN"\) to linia środkowa \(\trójkąt DCC"\) . Dlatego: \
Ponieważ \(MN\równoległy AD\równoległy BC\) i \(BB", CC"\perp AD\) , wtedy \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) są prostokątami. Z twierdzenia Talesa \(MN\równoległe AD\) i \(AM=MB\) implikują, że \(B"M"=M"B\) . Stąd \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) są równymi prostokątami, stąd \(M"N"=B"C"=BC\) .
Zatem:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Twierdzenie: własność dowolnego trapezu
Punkty środkowe podstaw, punkt przecięcia przekątnych trapezu i punkt przecięcia przedłużeń boków bocznych leżą na tej samej linii prostej.
Dowód*
Zaleca się zapoznanie się z dowodem po przestudiowaniu tematu „Podobne trójkąty”.
1) Udowodnijmy, że punkty \(P\) , \(N\) i \(M\) leżą na tej samej prostej.
Narysuj linię \(PN\) (\(P\) to punkt przecięcia przedłużeń boków, \(N\) to środek \(BC\) ). Niech przecina bok \(AD\) w punkcie \(M\) . Udowodnijmy, że \(M\) jest środkiem \(AD\) .
Rozważ \(\trójkąt BPN\) i \(\trójkąt APM\) . Są one podobne pod dwoma kątami (\(\angle APM\) - wspólny, \(\angle PAM=\angle PBN\) jako odpowiadający w \(AD\równoległy BC\) i \(AB\) sieczny). Oznacza: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Rozważ \(\triangle CPN\) i \(\triangle DPM\) . Są one podobne pod dwoma kątami (\(\angle DPM\) - wspólny, \(\angle PDM=\angle PCN\) jako odpowiadający w \(AD\równoległy BC\) i \(CD\) sieczny). Oznacza: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Stąd \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) , stąd \(AM=DM\) .
2) Udowodnijmy, że punkty \(N, O, M\) leżą na jednej prostej.
Niech \(N\) będzie środkiem odcinka \(BC\) , \(O\) będzie punktem przecięcia przekątnych. Narysuj linię \(NIE\) , przetnie ona bok \(AD\) w punkcie \(M\) . Udowodnijmy, że \(M\) jest środkiem \(AD\) .
\(\trójkąt BNO\sim \trójkąt DMO\) pod dwoma kątami (\(\kąt OBN=\kąt ODM\) leżący pod kątem \(BC\równoległy AD\) i \(BD\) sieczny; \(\kąt BON=\kąt DOM\) jako pionowy). Oznacza: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
podobnie \(\trójkąt CON\sim \trójkąt AOM\). Oznacza: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Stąd \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) , stąd \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(trapez równoramienny)))\]
Definicje
Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty.
Trapez nazywamy równoramiennym, jeśli jego boki są równe.
Twierdzenia: własności trapezu równoramiennego
1) Trapez równoramienny ma równe kąty przy podstawie.
2) Przekątne trapezu równoramiennego są równe.
3) Dwa trójkąty utworzone przez przekątne i podstawę są równoramienne.
Dowód
1) Rozważmy trapez równoramienny \(ABCD\) .
Z wierzchołków \(B\) i \(C\) opuszczamy odpowiednio na bok \(AD\) prostopadłe \(BM\) i \(CN\). Skoro \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , to \(BM\równoległy CN\) ; \(AD\równolegle BC\) , wtedy \(MBCN\) jest równoległobokiem, stąd \(BM = CN\) .
Rozważać prawe trójkąty\(ABM\) i \(CDN\) . Ponieważ mają równe przeciwprostokątne, a ramię \(BM\) jest równe ramieniu \(CN\) , te trójkąty są przystające, więc \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Ponieważ \(AB=CD, \kąt A=\kąt D, AD\)- generał, potem na pierwszy znak. Dlatego \(AC=BD\) .
3) Ponieważ \(\trójkąt ABD=\trójkąt ACD\), a następnie \(\kąt BDA=\kąt CAD\) . Zatem trójkąt \(\trójkąt AOD\) jest równoramienny. Podobnie można udowodnić, że \(\trójkąt BOC\) jest równoramienny.
Twierdzenia: znaki trapezu równoramiennego
1) Jeśli kąty przy podstawie trapezu są równe, to jest on równoramienny.
2) Jeśli przekątne trapezu są równe, to jest to równoramienny.
Dowód
Rozważmy trapez \(ABCD\) taki, że \(\angle A = \angle D\) .
Dokończmy trapez do trójkąta \(AED\), jak pokazano na rysunku. Skoro \(\angle 1 = \angle 2\) , to trójkąt \(AED\) jest równoramienny i \(AE = ED\) . Kąty \(1\) i \(3\) są równe, ponieważ odpowiadają prostym równoległym \(AD\) i \(BC\) oraz siecznej \(AB\) . Podobnie kąty \(2\) i \(4\) są równe, ale \(\angle 1 = \angle 2\) , to \(\kąt 3 = \kąt 1 = \kąt 2 = \kąt 4\), zatem trójkąt \(BEC\) jest również równoramienny i \(BE = EC\) .
W końcu \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), czyli \(AB = CD\) , co należało udowodnić.
2) Niech \(AC=BD\) . Ponieważ \(\trójkąt AOD\sim \trójkąt BOC\), to oznaczamy ich współczynnik podobieństwa przez \(k\) . Wtedy jeśli \(BO=x\) , to \(OD=kx\) . Podobny do \(CO=y \Strzałka w prawo AO=ky\) .
Ponieważ \(AC=BD\) , następnie \(x+kx=y+ky \Strzałka w prawo x=y\) . Zatem \(\trójkąt AOD\) to równoramienne, a \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Tak więc, zgodnie z pierwszym znakiem \(\trójkąt ABD=\trójkąt ACD\) (\(AC=BD, \kąt OAD=\kąt ODA, AD\)- ogólny). Więc \(AB=CD\) , więc.