Studenci spotykają się z pojęciem piramidy na długo przed studiowaniem geometrii. Obwiniaj słynne wielkie egipskie cuda świata. Dlatego rozpoczynając badanie tego wspaniałego wielościanu, większość uczniów już to wyraźnie sobie wyobraża. Wszystkie powyższe zabytki są w prawidłowym kształcie. Co się stało prawa piramida, i jakie ma właściwości i zostaną omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszy się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował to jako bryłę, składającą się z płaszczyzn, które, zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron dostarczył bardziej precyzyjne sformułowanie. Upierał się, że to postać ma podstawę i płaszczyzny w kształcie trójkątów, zbiegające się w jednym punkcie.

Polegając na nowoczesna interpretacja, piramida jest reprezentowana jako przestrzenny wielościan, składający się z pewnego k-gonu i k płaskich figur o kształcie trójkąta, mających jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się bliżej, Z jakich elementów się składa?

• k-gon jest uważany za podstawę figury;
• Trójkątne figury wystają jako boki części bocznej;
• górna część, z której pochodzą elementy boczne, nazywa się wierzchołkiem;
• wszystkie segmenty łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
• jeżeli prosta zostanie opuszczona od wierzchołka do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, to jej część zawarta w przestrzeń wewnętrzna- wysokość piramidy;
• w dowolnym elemencie bocznym do boku naszego wielościanu możesz narysować prostopadłą, zwaną apothem.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-gonu. Ile ścian ma wielościan, taki jak piramida, można określić za pomocą wyrażenia k + 1.

Ważny! Piramida o regularnym kształcie to figura stereometryczna, której płaszczyzną podstawy jest k-gon o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Prawidłowa piramida ma wiele właściwości które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

1. Podstawą jest figura o prawidłowej formie.
2. Krawędzie ostrosłupa, ograniczające elementy boczne, mają jednakowe wartości liczbowe.
3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
4. Podstawa wysokości figury mieści się w środku wielokąta, będąc jednocześnie centralnym punktem wpisanego i opisanego.
5. Wszystkie żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia w stosunku do podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom wykonywanie obliczeń elementów jest znacznie uproszczone. Na podstawie powyższych właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

1. Kiedy wielokąt jest wpisany w okrąg, twarze boczne będzie miał z bazą równe kąty.
2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie piramidy wychodzące z wierzchołka będą miały tę samą długość i równe kąty z podstawą.

Plac jest oparty

Regularna czworokątna piramida - wielościan oparty na kwadracie.

Ma cztery ściany boczne, które wyglądają na równoramienne.

Na płaszczyźnie przedstawiono kwadrat, ale są one oparte na wszystkich właściwościach regularnego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest połączenie boku kwadratu z jego przekątną, stosuje się następujący wzór: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Oparty na regularnym trójkącie

prawidłowy trójkątna piramida jest wielościanem, którego podstawą jest 3-kąt foremny.

Jeśli podstawa jest regularnym trójkątem, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu to 3-kąty równoboczne. W takim przypadku musisz znać kilka punktów i nie tracić na nie czasu podczas obliczania:

• kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
• wartość wszystkich ścian wewnętrznych również wynosi 60 stopni;
• dowolna twarz może służyć jako podstawa;
• narysowane wewnątrz figury są równymi elementami.

Przekroje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji samolot. Często w kurs szkolny geometrie działają z dwoma:

• osiowy;
• podstawa równoległa.

Przekrój osiowy uzyskuje się przez przecięcie wielościanu płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku oś jest wysokością narysowaną od wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, co daje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia przebiega równolegle do podstawy, wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy w kontekście figurę podobną do podstawy.

Na przykład, jeśli podstawa jest kwadratem, to przekrój równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszym rozmiarze.

Podczas rozwiązywania problemów pod tym warunkiem stosuje się znaki i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Talesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli płaszczyzna jest narysowana równolegle do podstawy i odcina się Górna część wielościanu, wówczas w dolnej części uzyskuje się regularną ściętą piramidę. Wtedy mówi się, że podstawy ściętego wielościanu są podobnymi wielokątami. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby wyznaczyć wysokość wielościanu ściętego, należy narysować wysokość przekrój osiowy czyli w trapezie.

Obszary powierzchni

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii, to: znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa rodzaje powierzchni:

• powierzchnia elementów bocznych;
• całą powierzchnię.

Już z samego tytułu wiadomo o co chodzi. Powierzchnia boczna zawiera tylko elementy boczne. Z tego wynika, że ​​aby go znaleźć, wystarczy dodać obszary płaszczyzn bocznych, czyli obszary 3-kątów równoramiennych. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole elementów bocznych:

1. Pole 3-kąta równoramiennego to Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna czworokątna piramida ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego należy dodać pola czterech cyfr Sbok=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Wyrażenie upraszcza się w ten sposób, ponieważ wartość 4a=POS, gdzie POS to obwód podstawy. A wyrażenie 1/2 * Rosn jest jego półobwodem.
3. Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia elementów bocznych regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotemu: Sside \u003d Rosn * L.

Obszar pełnej powierzchni piramidy składa się z sumy obszarów płaszczyzn bocznych i podstawy: Sp.p. = Sside + Sbase.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj wzór jest używany zgodnie z typem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy jest równy iloczynowi powierzchni płaszczyzny podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbase*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Co to jest regularna piramida w geometrii

właściwości poprawne czworokątna piramida

Pierwszy poziom

Piramida. przewodnik wizualny (2019)

Co to jest piramida?

Jak ona wygląda?

Widzisz: w piramidzie poniżej (mówią „ w bazie"") jakiś wielokąt, a wszystkie wierzchołki tego wielokąta są połączone z jakimś punktem w przestrzeni (punkt ten nazywa się " wierzchołek»).

Cała ta struktura ma twarze boczne, boczne żebra I żebra podstawy. Jeszcze raz narysujmy piramidę wraz ze wszystkimi tymi nazwami:

Niektóre piramidy mogą wyglądać bardzo dziwnie, ale nadal są piramidami.

Tutaj na przykład dość „skośny” piramida.

I trochę więcej o nazwach: jeśli u podstawy piramidy znajduje się trójkąt, wówczas piramida nazywa się trójkątna;

Jednocześnie punkt, w którym spadł wysokość, jest nazywany podstawa wysokości. Zauważ, że w „krzywych” piramidach wysokość może nawet znajdować się poza piramidą. Lubię to:

I nie ma w tym nic strasznego. Wygląda jak rozwarty trójkąt.

Prawidłowa piramida.

Dużo złożone słowa? Rozszyfrujmy: „ U podstawy - poprawna„- jest to zrozumiałe. A teraz pamiętaj, że regularny wielokąt ma środek - punkt, który jest środkiem i , i .

Cóż, a słowa „góra jest rzutowana na środek podstawy” oznaczają, że podstawa wysokości przypada dokładnie na środek podstawy. Zobacz, jak gładko i uroczo to wygląda prawa piramida.

Sześciokątny: u podstawy - sześciokąt foremny, wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy.

czworokątny: u podstawy - kwadrat, góra jest rzutowana na punkt przecięcia przekątnych tego kwadratu.

trójkątny: u podstawy znajduje się trójkąt foremny, wierzchołek jest rzutowany na punkt przecięcia wysokości (są też medianami i dwusiecznymi) tego trójkąta.

Bardzo ważne właściwości właściwa piramida:

W prawej piramidzie

• wszystkie krawędzie boczne są równe.
• wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.

Objętość piramidy

Główny wzór na objętość piramidy:

Skąd się dokładnie wziął? To nie jest takie proste i na początku wystarczy pamiętać, że ostrosłup i stożek mają objętość we wzorze, ale cylinder nie.

Teraz obliczmy objętość najpopularniejszych piramid.

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa. Muszę znaleźć i.

To jest obszar trójkąt prostokątny.

Pamiętajmy, jak szukać tego obszaru. Korzystamy ze wzoru na pole:

Mamy „” - to i „” - to też, ech.

Teraz znajdźmy.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Co to za różnica To jest promień opisanego okręgu w, ponieważ piramidaprawidłowy a co za tym idzie centrum.

Ponieważ - punkt przecięcia i mediana też.

(Twierdzenie Pitagorasa dla)

Podstaw we wzorze na.

Podstawiamy wszystko do wzoru na objętość:

Uwaga: jeśli masz regularny czworościan (tj.), to wzór jest następujący:

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa.

Nie ma potrzeby szukać tutaj; ponieważ u podstawy jest kwadrat, a zatem.

Znajdźmy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

czy wiemy? Prawie. Patrzeć:

(widzieliśmy to, przeglądając).

Zastąp we wzorze:

A teraz podstawiamy i do wzoru na objętość.

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna.

Jak znaleźć? Spójrz, sześciokąt składa się dokładnie z sześciu identycznych trójkątów foremnych. Szukaliśmy już pola trójkąta foremnego przy obliczaniu objętości ostrosłupa foremnego trójkątnego, tutaj korzystamy ze znalezionego wzoru.

Teraz znajdźmy (to).

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Ale jakie to ma znaczenie? To proste, ponieważ (i wszyscy inni też) mają rację.

zastępujemy:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. KRÓTKO O GŁÓWNEJ

Piramida to wielościan, który składa się z dowolnego płaskiego wielokąta (), punktu, który nie leży w płaszczyźnie podstawy (szczytu piramidy) i wszystkich segmentów łączących górę piramidy z punktami podstawy (krawędzie boczne).

Prostopadła opadająca ze szczytu ostrosłupa na płaszczyznę podstawy.

Prawidłowa piramida- piramida, której podstawą jest regularny wielokąt, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.

Własność regularnej piramidy:

• W regularnej piramidzie wszystkie krawędzie boczne są równe.
• Wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z praw matematycznych zawartych w jej kształcie.

Cel: po zbadaniu piramidy jako bryły geometrycznej, aby wyjaśnić doskonałość jej formy.

Zadania:

1. Podaj matematyczną definicję piramidy.

2. Przestudiuj piramidę jako bryłę geometryczną.

3. Zrozum, jaką wiedzę matematyczną umieścili Egipcjanie w swoich piramidach.

Prywatne pytania:

1. Czym jest piramida jako bryła geometryczna?

2. Jak matematycznie wytłumaczyć wyjątkowy kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia geometryczne cuda piramidy?

4. Co wyjaśnia doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckiego piramidy, rodzaj n. pyramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem (rysunek). W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla o geometrycznym kształcie piramidy (czasami także schodkowa lub wieżowa). Gigantyczne grobowce starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia pne nazywane są piramidami. e., a także starożytne amerykańskie cokoły świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru) związane z kultami kosmologicznymi.

Możliwe, że greckie słowo „piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od terminu oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog V. Struve uważał, że greckie „puram…j” pochodzi od starożytnego egipskiego „p”-mr.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasyana. Butuzova i inni dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kątów A1A2A3 ... An i n trójkątów RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3 ... An to podstawa piramidy, a trójkąty RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 to ściany boczne piramidy, P to wierzchołek piramidy, odcinki RA1, RA2, .. , RAn to krawędzie boczne.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny grecki matematyk, autor teoretycznych traktatów matematycznych, które do nas dotarły, Euclid, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami, które zbiegają się od jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Ale ta definicja była krytykowana już w starożytności. Dlatego Heron zaproponował następującą definicję piramidy: „Jest to figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa, porównując te definicje, doszła do wniosku, że nie mają one jednoznacznego sformułowania pojęcia „fundament”.

Przestudiowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 roku w swojej pracy „Elementy geometrii” definiuje piramidę w następujący sposób: „Piramida to figura cielesna utworzona przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się w różne strony płaska podstawa”.

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje czysty widok o piramidzie, bo w niej w pytaniuże podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to kąt bryłowy przecięty przez płaszczyznę”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ściany (boki) to trójkąty, które mają jeden wspólny wierzchołek (wierzchołek piramidy).

Prostopadłą poprowadzoną od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy nazywamy wysokiH piramidy.

Oprócz dowolnej piramidy istnieją prawa piramida, u podstawy którego znajduje się regularny wielokąt i ścięta piramida.

Na rysunku - piramida PABCD, ABCD - jej podstawa, PO - wysokość.

Pełna powierzchnia Piramidę nazywamy sumą pól wszystkich jej ścian.

Sfull = Sside + Sbase, Gdzie Strona jest sumą pól ścian bocznych.

objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Spodstawa H, gdzie Sosn. - obszar bazowy H- wysokość.

Oś piramidy foremnej jest linią prostą zawierającą jej wysokość.
Apothem ST - wysokość ściany bocznej regularnej piramidy.

Powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest wyrażona w następujący sposób: Sside. =1/2szt H, gdzie P jest obwodem podstawy, H- wysokość ściany bocznej (apothem regularnej piramidy). Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna A'B'C'D' równoległa do podstawy, to:

1) krawędzie boczne i wysokość są podzielone tą płaszczyzną na części proporcjonalne;

2) w przekroju otrzymujemy wielokąt A'B'C'D', podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Podstawy ściętej piramidy są podobnymi wielokątami ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wysokośćścięta piramida - odległość między podstawami.

Obcięta objętość piramidę można znaleźć według wzoru:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy wyraża się następująco: Sbok = ½(P+P') H, gdzie P i P’ to obwody podstaw, H- wysokość lica bocznego (apothem regularnego obciętego przez święta

Sekcje piramidy.

Przekroje piramidy płaszczyznami przechodzącymi przez jej wierzchołek to trójkąty.

Nazywa się odcinek przechodzący przez dwie niesąsiadujące krawędzie boczne ostrosłupa sekcja diagonalna.

Jeśli przekrój przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i boku podstawy, to ta strona będzie jego śladem na płaszczyźnie podstawy piramidy.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na ścianie ostrosłupa i zadany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, to konstrukcję należy wykonać w następujący sposób:

znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany ze śladem przekroju ostrosłupa i wyznaczyć go;

zbudować linię prostą przechodzącą przez dany punkt i wynikowy punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla kolejnych twarzy.

, co odpowiada stosunkowi nóg trójkąt prostokątny 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywany jest trójkątem „doskonałym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkątowi „egipskiemu” nadano magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie porównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tego, co rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 równość jest prawdziwa: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie jest to twierdzenie, które kapłani egipscy chcieli uwiecznić, wznosząc piramidę na podstawie trójkąta 3:4:5? Trudno znaleźć więcej dobry przykład aby zilustrować twierdzenie Pitagorasa, które było znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

Tak pomysłowi twórcy Piramidy egipskie starali się zaimponować dalekim potomkom głębią swojej wiedzy i osiągnęli to wybierając jako „główną ideę geometryczną” dla piramidy Cheopsa – „złoty” trójkąt prostokątny, a dla piramidy Chefrena – „święty” " lub "egipski" trójkąt.

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach Złotego Podziału.

W matematyce słownik encyklopedyczny podawana jest następująca definicja Złotego Podziału – jest to podział harmoniczny, podział w stosunku skrajnym i średnim – podział odcinka AB na dwie części w taki sposób, aby większość jego AC była średnią proporcjonalną między całym odcinkiem AB i jego mniejsza część CB.

Algebraiczne znalezienie złotego przekroju segmentu AB = za sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a - x), skąd x jest w przybliżeniu równe 0,62a. Współczynnik x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczna konstrukcja Złotego Podziału odcinka AB odbywa się w następujący sposób: w punkcie B przywracana jest prostopadłość do AB, kładzie się na nim odcinek BE \u003d 1/2 AB, A i E są połączone, DE \ u003d BE jest odroczony i wreszcie AC \u003d AD, wtedy spełniona jest równość AB: CB = 2: 3.

złoty podział często używane w dziełach sztuki, architekturze, spotykane w przyrodzie. Żywe przykłady są rzeźba Apollo Belvedere, Partenon. Podczas budowy Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i stosunek ten wynosi 0,618. Obiekty wokół nas również dostarczają przykładów złotego podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozpatrując rozmieszczenie liści na wspólnej łodydze roślin można zauważyć, że pomiędzy co dwiema parami liści trzecia znajduje się w miejscu Złotego Podziału (slajdy). Każdy z nas „nosi” Złoty Podział ze sobą „w dłoniach” - jest to stosunek paliczków palców.

Dzięki odkryciu kilku papirusów matematycznych egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach rachunku różniczkowego i miar. Zawarte w nich zadania rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Studiując te zagadki, egiptolodzy dowiedzieli się, jak radzili sobie starożytni Egipcjanie różne ilości które powstały przy obliczaniu miar masy, długości i objętości, w których często używano ułamków, a także jak radziły sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie nachylenia wyrażono jako stosunek liczby całkowitej, zwanej „seked”. W Mathematics in the Time of the Pharaohs Richard Pillins wyjaśnia: „Seked regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone jako n-ta liczba jednostek poziomych na pionową jednostkę wysokości . Zatem ta jednostka miary jest równoważna naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seked” jest związane z naszym nowoczesne słowo"gradient"".

Numeryczny klucz do piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W praktyce jest to najłatwiejszy sposób na wykonanie szablonów potrzebnych do ciągłego sprawdzania prawidłowego kąta nachylenia podczas całej budowy piramidy.

Egiptolodzy chętnie by nas przekonali, że każdy faraon chętnie wyrażał swoją indywidualność, stąd różnice w kątach nachylenia każdej piramidy. Ale może być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne skojarzenia symboliczne ukryte w różnych proporcjach. Jednak kąt piramidy Chefrena (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w Papirusie Matematycznym Rhinda). Taka postawa była więc dobrze znana starożytnym Egipcjanom.

Aby być uczciwym wobec egiptologów, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie znali trójkąta 3:4:5, powiedzmy, że nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej 5. Ale problemy matematyczne dotyczące piramid są zawsze rozwiązywane na podstawie kąta przekroju - stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wywnioskowano, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunek wysokości do podstawy stosowany w piramidach w Gizie był bez wątpienia znany starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te proporcje dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne z wagą, jaką przywiązuje się do symboliki numerycznej we wszystkich typach egipskich dzieł sztuki. Jest wysoce prawdopodobne, że takie relacje były znaczące, ponieważ wyrażały się specyficznie idee religijne. Innymi słowy, cały kompleks Gizy został poddany spójnemu projektowi, zaprojektowanemu tak, aby odzwierciedlał jakiś boski motyw. To wyjaśniałoby, dlaczego projektanci wybrali różne kąty dla trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody na związek piramid w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona.Ta sama konstelacja jest obecna w micie Izydy i Ozyrysa, a tam jest powodem, aby uważać każdą piramidę za wizerunek jednego z trzech głównych bóstw - Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród okazałych piramid Egiptu szczególne miejsce zajmują Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Chufu). Zanim przejdziemy do analizy kształtu i wielkości piramidy Cheopsa, warto przypomnieć, jakim systemem miar posługiwali się Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), równy siedmiu „dłoniom” (66,5 mm), co z kolei było równe czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy rozmiar piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się rozumowaniem podanym we wspaniałej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasiutyńskiego „Złota proporcja” (1990).

Większość badaczy zgadza się, że długość boku podstawy piramidy, na przykład, GF jest równe Ł\u003d 233,16 m. Ta wartość odpowiada prawie dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „łokciami” nastąpi, jeśli długość „łokcia” zostanie uznana za równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) jest szacowana przez badaczy różnie od 146,6 do 148,2 m. A w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie proporcje jej elementów geometrycznych. Jaka jest przyczyna różnic w oszacowaniu wysokości piramidy? Faktem jest, że ściśle mówiąc, piramida Cheopsa jest ścięta. Jej górna platforma ma dziś rozmiar około 10 ´ 10 m, a sto lat temu miała 6 ´ 6 m. Jest oczywiste, że wierzchołek piramidy został rozebrany i nie odpowiada oryginalnemu.

Szacując wysokość piramidy, należy wziąć pod uwagę taki czynnik fizyczny, jak „zanurzenie” konstrukcji. Za długi czas pod wpływem kolosalnego ciśnienia (sięgającego 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszyła się w stosunku do jej pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, jeśli znajdziesz podstawowy „pomysł geometryczny” piramidy.

Rysunek 2.

W 1837 r. Angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy A= 51°51". Ta wartość jest obecnie uznawana przez większość badaczy. Określona wartość kąt odpowiada tangensowi (tg A), równe 1,27306. Ta wartość odpowiada stosunkowi wysokości piramidy AC do połowy swojej podstawy CB(ryc. 2), tj. AC / CB = H / (Ł / 2) = 2H / Ł.

I tu badaczy czekało wielkie zaskoczenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg A= 1,27306, widzimy, że wartości te są bardzo do siebie zbliżone. Jeśli przyjmiemy kąt A\u003d 51 ° 50", to znaczy, aby zmniejszyć go tylko o jedną minutę kątową, wówczas wartość A stanie się równy 1,272, czyli zbiegnie się z wartością . Należy zauważyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta A=51°50".

Pomiary te doprowadziły naukowców do następującej bardzo interesującej hipotezy: trójkąt ASV piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / CB = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / CB= (Rys. 2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC oznaczać przez X, y, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek y/X= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć ze wzoru:

Jeśli akceptujesz X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Rysunek 3„Złoty” trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są powiązane jako T:złoty” trójkąt prostokątny.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, to stąd łatwo obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. jest równe:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz inne zależności dla piramidy Cheopsa, które wynikają z hipotezy „złotej”. W szczególności znajdujemy stosunek zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi CB na jednostkę, czyli: CB= 1. Ale wtedy długość boku podstawy piramidy GF= 2, a obszar podstawy E F G H będzie równy SEFGH = 4.

Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej piramidy Cheopsa SD. Ponieważ wysokość AB trójkąt AEF jest równe T, wtedy pole powierzchni bocznej będzie równe SD = T. Wtedy całkowita powierzchnia wszystkich czterech ścian bocznych piramidy będzie równa 4 T, a stosunek całkowitej powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główny geometryczny sekret piramidy Cheopsa!

Grupa „cudów geometrycznych” piramidy Cheopsa obejmuje rzeczywiste i wymyślone właściwości relacji między różnymi wymiarami piramidy.

Z reguły uzyskuje się je w poszukiwaniu jakiejś „stałej”, w szczególności liczby „pi” (liczby Ludolfowskiej), równej 3,14159…; fusy logarytmy naturalne„e” (liczba Napiera), równa 2,71828…; liczba „F”, liczba „złotego podziału”, równa np. 0,618… itd.

Możesz wymienić na przykład: 1) Własność Herodota: (Wysokość) 2 \u003d 0,5 st. główny x Apothem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 st. osn \u003d pierwiastek kwadratowy z „Ф”; 3) Własność M. Eista: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. główny : Wysokość = "Pi"; 4) Własność G. Rebera: Promień okręgu wpisanego: 0,5 st. główny = "F"; 5) Własność K. Kleppisha: (st. main.) 2: 2 (st. main. x Apotem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apotem) : (( 2 st. główny X Apothem) + (st. główny) 2). Itp. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako "Właściwości A. Arefiewa" można wspomnieć, że różnica między objętościami piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Mykerinosa...

Wiele interesujących przepisów, w szczególności dotyczących budowy piramid według „złotego podziału”, znajduje się w książkach D. Hambidge „Dynamic Symetry in Architecture” i M. Geek „Estetyka proporcji w naturze i sztuce”. Przypomnijmy, że „złoty podział” to podział odcinka w takim stosunku, gdy część A jest tyle razy większa od części B, ile razy A jest mniejsza od całego odcinka A + B. Stosunek A/B to równa liczbie „Ф” == 1,618. .. Użycie „złotej części” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że jedna i ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” zawierać tylu wspaniałych właściwości. Biorąc po kolei pewną właściwość, możesz ją „dopasować”, ale od razu nie pasują - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Dlatego, jeśli np. przy sprawdzaniu wszystkich właściwości weźmiemy początkowo jeden i ten sam bok podstawy piramidy (233 m), to wysokości piramid o różnych właściwościach również będą różne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, zewnętrznie podobna do piramid Cheopsa, ale odpowiadająca innym właściwościom. Zauważmy, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego – wiele powstaje automatycznie, z właściwości samej figury. „Cud” należy uważać za coś, co dla starożytnych Egipcjan było oczywiście niemożliwe. Obejmuje to w szczególności „kosmiczne” cuda, w których pomiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie są porównywane z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazywane są liczby „parzyste”: milion razy, miliard razy mniej i tak dalej . Rozważmy kilka „kosmicznych” relacji.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielimy bok podstawy piramidy przez dokładną długość roku, otrzymamy dokładnie 10-milionową część osi Ziemi”. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest właściwie przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli użyjesz wymyślonego przez niego „egipskiego łokcia”, wówczas bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi rok słoneczny, wyrażoną z dokładnością do jednej miliardowej części dnia" - 365.540.903.777.

Oświadczenie P. Smitha: „Wysokość piramidy jest dokładnie jedną miliardową odległości od Ziemi do Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją jako 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych półoś wielka orbity Ziemi wynosi 149,597,870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, ale w peryhelium jest o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak wytłumaczyć, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Mykerinosa są ze sobą powiązane, jak masy planet Ziemia, Wenus, Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid są powiązane jako: Chefrena - 0,835; Cheopsa - 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Tak więc, mimo sceptycyzmu, zwróćmy uwagę na dobrze znaną harmonię konstrukcji stwierdzeń: 1) wysokość piramidy, jako linia „wychodząca w kosmos” – odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) strona podstawy piramidy najbliższa „podłodze”, czyli Ziemi, odpowiada za promień Ziemi i jej obieg; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet znajdujących się najbliżej Ziemi. Podobny „szyfr” można prześledzić na przykład w języku pszczół, analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak powstrzymujemy się od komentowania tej sprawy.

KSZTAŁT PIRAMID

Słynny czworościenny kształt piramid nie pojawił się od razu. Scytowie dokonali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kurhanów. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Stało się to po raz pierwszy po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w 28 wieku pne, kiedy założyciel III dynastii, faraon Dżeser (Zoser), stanął przed zadaniem umocnienia jedności kraju.

I tutaj, zdaniem historyków, „nowa koncepcja deifikacji” cara odegrała ważną rolę we wzmocnieniu władzy centralnej. Chociaż pochówki królewskie odznaczały się większym przepychem, to w zasadzie nie różniły się one od grobowców dworskiej szlachty, były to te same budowle – mastaby. Nad komorą z sarkofagiem zawierającym mumię wylano prostokątne wzniesienie z drobnych kamieni, na którym następnie umieszczono niewielki budynek z dużych kamiennych bloków – „mastaba” (po arabsku – „ławka”). Na miejscu mastaby swojego poprzednika, Sanachta, faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramidę. Był schodkowy i był widocznym etapem przejściowym od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób faraona „wychował” mędrzec i architekt Imhotep, który później został uznany za maga i utożsamiany przez Greków z bogiem Asklepiosem. To było tak, jakby ustawiono sześć mastab w rzędzie. Ponadto pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów, przy szacowanej wysokości 66 metrów (według egipskich miar - 1000 „palm”). Początkowo architekt planował zbudować mastabę, ale nie podłużną, ale kwadratową w planie. Później został rozbudowany, ale ponieważ przedłużenie zostało obniżone, powstały niejako dwa stopnie.

Taka sytuacja nie zadowoliła architekta i na górnej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił trzy kolejne, stopniowo opadające ku górze. Grób znajdował się pod piramidą.

Znanych jest kilka innych piramid schodkowych, ale później budowniczowie przeszli do budowania bardziej znanych piramid czworościennych. Dlaczego jednak nie trójkątny lub, powiedzmy, ośmiokątny? Pośrednią odpowiedź daje fakt, że prawie wszystkie piramidy są idealnie zorientowane na cztery strony świata, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co spowodowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcony jest temu cały rozdział: „Co może określać kąty piramid”. W szczególności wskazano, że „obrazem, do którego zmierzają wielkie piramidy Starego Państwa, jest trójkąt z kątem prostym u góry.

W przestrzeni jest to półośmiościan: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, ściany są trójkątami równobocznymi.Pewne rozważania na ten temat znajdują się w książkach Hambidge'a, Geeka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półośmiościanu? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt wytrzymałości”, kąt najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten można wziąć z kąta wierzchołka stosu kruszącego się suchego piasku. Ale aby uzyskać dokładne dane, musisz użyć modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kulki, musisz położyć na nich piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Jednak tutaj możesz popełnić błąd, dlatego pomaga teoretyczne obliczenie: powinieneś połączyć środki piłek liniami (mentalnie). U podstawy otrzymujesz kwadrat o boku równym dwukrotności promienia. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa podwójnemu promieniowi.

Tak więc gęste upakowanie kulek typu 1:4 da nam regularny półośmiościan.

Dlaczego jednak wiele piramid, zmierzających w kierunku podobnej formy, mimo to jej nie zachowuje? Prawdopodobnie piramidy się starzeją. Wbrew znanemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budowle piramid muszą się starzeć, mogą i powinny zachodzić w nich nie tylko procesy wietrzenia zewnętrznego, ale także procesy wewnętrznego „skurczu” , z którego piramidy mogą stać się niższe. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak wykazały prace D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, innymi słowy z „betonu”. To właśnie te procesy mogą wyjaśnić przyczynę zniszczenia piramidy Medum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość to 118 m. „Dlaczego jest tak okaleczony?”, pyta V. Zamarovsky. „Zwykłe odniesienia do destrukcyjnego wpływu czasu i „wykorzystywania kamienia do innych budynków” nie pasują tutaj.

Przecież większość jego bloków i płyty licowe i nadal pozostaje na miejscu, w ruinach u jego stóp. „Jak zobaczymy, szereg przepisów każe nam pomyśleć nawet o tym, że słynna piramida Cheopsa również„ skurczyła się ”. W każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są spiczaste...

Kształt piramid mógł być również generowany przez naśladownictwo: niektóre naturalne wzory, „cudowna doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Takimi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakterystycznie duża liczba„przecinające się” znaki dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetny, genialny (genialny), wspaniały, bez skazy i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Kult słońca, jak wiecie, był ważną częścią religii. Starożytny Egipt. „Bez względu na to, jak przetłumaczymy nazwę największej z piramid”, mówi jeden ze współczesnych podręczników „Niebo Chufu” lub „Niebo Chufu”, oznaczało to, że królem jest słońce. Jeśli Chufu, w blasku swojej mocy, wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, to jego syn Jedef-Ra stał się pierwszym z egipskich królów, który zaczął nazywać siebie „synem Ra”, to znaczy synem Słońce. Słońce było symbolizowane przez prawie wszystkie narody jako „metal słoneczny”, złoto. „Wielki dysk jasnego złota” – tak Egipcjanie nazywali nasze światło dzienne. Egipcjanie bardzo dobrze znali złoto, znali jego rodzime formy, gdzie kryształy złota mogą pojawiać się w postaci ośmiościanów.

Jako "próbka form" ciekawy jest tu także "kamień słońca" - diament. Nazwa diamentu pochodzi właśnie ze świata arabskiego, „almas” – najtwardszy, najtwardszy, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie znali diament i jego właściwości są całkiem dobre. Według niektórych autorów do wiercenia używali nawet rur z brązu z diamentowymi frezami.

Republika Południowej Afryki jest obecnie głównym dostawcą diamentów, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest tam nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem na terytorium Mali żyją Dogoni, z którymi zwolennicy hipotezy paleowizytów wiążą wiele nadziei (patrz poniżej). Diamenty nie mogły być powodem kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób możliwe jest, że właśnie poprzez kopiowanie ośmiościanów z diamentowych i złotych kryształów starożytni Egipcjanie ubóstwiali faraonów, „niezniszczalnych” jak diament i „błyszczących” jak złoto, synów Słońca, porównywalnych tylko z najwspanialszymi tworami natury.

Wniosek:

Po zbadaniu piramidy jako ciała geometrycznego, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, byliśmy przekonani o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zebrawszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym tworem natury i człowieka.

BIBLIOGRAFIA

„Geometria: proc. dla 7 - 9 komórek. ogólne wykształcenie instytucje \ itp. - wyd. 9 - M .: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: "Oświecenie", 1982

Klasa geometrii 10-11, M: "Oświecenie", 2000

Peter Tompkins „Tajemnice Wielkiej Piramidy Cheopsa”, M: „Centropoligraph”, 2005

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Lekcja wideo 2: Wyzwanie piramidy. Objętość piramidy

Lekcja wideo 3: Wyzwanie piramidy. Prawidłowa piramida

Wykład: Piramida, jej podstawa, krawędzie boczne, wysokość, powierzchnia boczna; trójkątna piramida; prawa piramida

Piramida, jej właściwości

Piramida- To jest trójwymiarowe ciało, które ma wielokąt u podstawy, a wszystkie jego ściany składają się z trójkątów.

Szczególnym przypadkiem piramidy jest stożek, u podstawy którego leży okrąg.

Rozważ główne elementy piramidy:

Apotem to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze środkiem dolnej krawędzi ściany bocznej. Innymi słowy, jest to wysokość ściany piramidy.

Na rysunku widać trójkąty ADS, ABS, BCS, CDS. Jeśli przyjrzysz się uważnie nazwom, zobaczysz, że każdy trójkąt ma w nazwie jedną wspólną literę - S. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne (trójkąty) zbiegają się w jednym punkcie, który nazywa się szczytem piramidy.

Nazywa się odcinek OS, który łączy wierzchołek z punktem przecięcia przekątnych podstawy (w przypadku trójkątów w punkcie przecięcia wysokości) wysokość piramidy.

Przekątna to płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek piramidy, a także jedną z przekątnych podstawy.

Ponieważ boczna powierzchnia piramidy składa się z trójkątów, aby znaleźć Całkowita powierzchnia powierzchnia boczna, musisz znaleźć obszar każdej twarzy i dodać je. Liczba i kształt ścian zależy od kształtu i wielkości boków wielokąta leżącego u podstawy.

Jedyna płaszczyzna w piramidzie, która nie ma wierzchołka, nazywa się podstawa piramidy.

Na rysunku widzimy, że podstawa jest równoległobokiem, jednak może istnieć dowolny dowolny wielokąt.

Nieruchomości:

Rozważmy pierwszy przypadek piramidy, w której ma ona krawędzie tej samej długości:

• Wokół podstawy takiej piramidy można opisać okrąg. Jeśli rzutujesz wierzchołek takiej piramidy, to jej rzut będzie znajdował się na środku okręgu.
• Kąty u podstawy piramidy są takie same dla każdej ściany.
• Jednocześnie za warunek wystarczający, aby wokół podstawy ostrosłupa można było opisać okrąg, a także, aby wszystkie krawędzie były różnej długości, można uznać takie same kąty między podstawą a każdą krawędzią ścian .

Jeśli natkniesz się na piramidę, w której kąty między ścianami bocznymi a podstawą są równe, wówczas prawdziwe są następujące właściwości:

• Będziesz w stanie opisać okrąg wokół podstawy piramidy, której wierzchołek jest rzutowany dokładnie na środek.
• Jeśli narysujesz z każdej strony wysokość do podstawy, będą one równej długości.
• Aby znaleźć pole powierzchni bocznej takiej piramidy, wystarczy znaleźć obwód podstawy i pomnożyć go przez połowę długości wysokości.
• Sbp \u003d 0,5 P oc H.
• Rodzaje piramid.
• W zależności od tego, który wielokąt leży u podstawy piramidy, mogą być trójkątne, czworokątne itp. Jeśli u podstawy piramidy leży wielokąt foremny (o równych bokach), wówczas taka piramida będzie nazywana regularną.

Regularna trójkątna piramida

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zorientować się w temacie Piramida. Prawidłowa piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję. Zastanów się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie na powierzchni bocznej ostrosłupa foremnego.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży na płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropkę P ze szczytami 1, 2, 3, … Jakiś. Dostawać N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ... A n, złożony z N-Gon A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tzw N- piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważ czworokątną piramidę PABCD(Rys. 2).

R- wierzchołek piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- krawędź podstawy.

Z punktu R upuścić pion RN na płaszczyźnie naziemnej ABCD. Prostopadła narysowana jest wysokością piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia Piramida składa się z powierzchni bocznej, czyli powierzchni wszystkich ścian bocznych oraz powierzchni podstawy:

S pełny \u003d S strona + S główna

Piramidę nazywamy poprawną, jeśli:

• jego podstawą jest regularny wielokąt;
• odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy

Rozważ regularną czworokątną piramidę PABCD(Rys. 3).

R- wierzchołek piramidy. podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: po prawej N-gon, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. To centrum nazywa się środkiem wielokąta. Czasami mówią, że góra jest rzutowana na środek.

Nazywa się wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowanej od jej wierzchołka apotema i oznaczone he a.

1. wszystkie krawędzie boczne piramidy foremnej są równe;

2. ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Udowodnijmy te własności na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy.

Dany: RABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO jest wysokością piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO jest wysokością piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośrednio AO, VO, SO I DO leżąc w nim. A więc trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważ kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = BO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- ogólne i nogi AO, VO, SO I DO równe, więc te trójkąty są równe na dwóch nogach. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = PC = PD. Udowodniono punkt 1.

Segmenty AB I Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = RV = PC. A więc trójkąty AVR I magnetowid - równoramienne i równe z trzech stron.

Podobnie otrzymujemy, że trójkąty ABP, BCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, co należało udowodnić w punkcie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothem:

Jako dowód wybieramy regularną trójkątną piramidę.

Dany: RAVY jest regularną trójkątną piramidą.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Patrz Ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY jest regularną trójkątną piramidą. To jest AB= AC = pne. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. ABC. Zauważ, że .

trójkąty RAV, RVS, RSA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RSA. Tak więc obszar bocznej powierzchni piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAB

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień koła wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: strona S. Patrz Ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie z udowodnionym twierdzeniem, .

Najpierw znajdź bok podstawy AB. Wiemy, że promień koła wpisanego w podstawę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 3 m.

następnie m.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważ trójkąt BCD. Pozwalać M- środkowa strona DC. Ponieważ O- środek BD, To (M).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a więc wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO jest wysokością piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośredni OM leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć boczną powierzchnię piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego w pobliżu podstawy ostrosłupa foremnego trójkątnego wynosi m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m2. Znajdź długość apotemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

bok P = 18 m 2.

Znajdować: . Patrz Ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W prawym trójkącie ABC dany promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt za pomocą twierdzenia o sinusach.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Zgodnie z twierdzeniem o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie he a- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4m.

Zbadaliśmy więc, czym jest piramida, czym jest piramida foremna, udowodniliśmy twierdzenie na powierzchni bocznej piramidy foremnej. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne(poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie 5, ks. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chory.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki / E. V. Potoskuev, LI Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Portal internetowy „Yaklass” ()
2. Portal internetowy „Festiwal Idei Pedagogicznych „Pierwszy września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Udowodnij, że nie przecinające się krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąta dwuściennego przy boku podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVY jest regularną trójkątną piramidą. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy ostrosłupa.