Całki funkcji trygonometrycznych.
Przykłady rozwiązań

W tej lekcji rozważymy całki funkcji trygonometrycznych, to znaczy wypełnienie całek będą sinusami, cosinusami, stycznymi i cotangensami w różnych kombinacjach. Wszystkie przykłady zostaną szczegółowo przeanalizowane, dostępne i zrozumiałe nawet dla czajnika.

Aby pomyślnie studiować całki funkcji trygonometrycznych, musisz być dobrze zorientowany w najprostszych całekach, a także opanować kilka technik całkowania. Z materiałami tymi można zapoznać się na wykładach. Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań I .

A teraz potrzebujemy: Tablica całek, Tabela pochodna I Podręcznik wzorów trygonometrycznych. Wszystkie instrukcje można znaleźć na stronie Wzory i tablice matematyczne. Polecam drukowanie wszystkiego. Szczególnie skupiam się na wzorach trygonometrycznych, powinny być przed twoimi oczami– bez niej wydajność pracy odczuwalnie spadnie.

Ale najpierw o tym, które całki w tym artykule NIE. Tutaj nie ma całek postaci , - cosinus, sinus pomnożony przez jakiś wielomian (rzadziej coś ze styczną lub cotangensem). Takie całki są całkowane przez części, a aby poznać metodę, przejdź do lekcji Całkowanie przez części. Przykłady rozwiązań Nie ma też całek z "łukami" - arcus tangens, arcus sinus itp., są też najczęściej całkowane przez części.

Podczas znajdowania całek funkcji trygonometrycznych stosuje się szereg metod:

(4) Użyj wzoru tabelarycznego , jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy złożone wyrażenie.

Przykład 2

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Klasyka gatunku dla tych, którzy toną w rankingach. Jak zapewne zauważyłeś, w tablicy całek nie ma całki ze stycznej i cotangensa, ale mimo wszystko takie całki można znaleźć.

(1) Korzystamy ze wzoru trygonometrycznego

(2) Podnosimy funkcję pod znak różniczki.

(3) Użyj całki tabelarycznej .

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Nasze poziomy będą stopniowo wzrastać =).
Najpierw rozwiązanie:

(1) Korzystamy ze wzoru

(2) Używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej , z czego wynika, że .

(3) Podziel licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.

(4) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej.

(5) Całkujemy korzystając z tabeli.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Istnieją również całki ze stycznych i cotangensów, które są w wyższych potęgach. W lekcji omówiono całkę ze stycznej w sześcianie Jak obliczyć pole figury płaskiej? Całki tangensa (cotangensa) w czwartej i piątej potędze można znaleźć na stronie Całki zespolone.

Zmniejszanie stopnia całki

Ta technika działa, gdy całki są wypełnione sinusami i cosinusami nawet stopni. W celu zmniejszenia stopnia stosuje się wzory trygonometryczne , i , a ostatnia formuła jest częściej używana w przeciwnym kierunku: .

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Rozwiązanie:

W zasadzie nie ma tu nic nowego poza tym, że zastosowaliśmy formułę (obniżenie stopnia całki). Proszę zauważyć, że skróciłem rozwiązanie. W miarę zdobywania doświadczenia całkę z można znaleźć ustnie, co oszczędza czas i jest całkiem do zaakceptowania przy kończeniu zadań. W takim przypadku wskazane jest, aby nie pisać reguły , najpierw ustnie bierzemy całkę z 1, potem - z .

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, pełne rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Taki jest obiecany wzrost stopnia:

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Najpierw rozwiązanie, później komentarze:

(1) Przygotuj całkę do zastosowania wzoru .

(2) W rzeczywistości stosujemy formułę.

(3) Podnosimy mianownik do kwadratu i usuwamy stałą ze znaku całki. Można to zrobić trochę inaczej, ale moim zdaniem tak jest wygodniej.

(4) Korzystamy ze wzoru

(5) W trzecim semestrze ponownie obniżamy stopień, ale korzystając ze wzoru .

(6) Podajemy podobne terminy (tutaj podzieliłem termin na termin i dodałem).

(7) W rzeczywistości bierzemy całkę, regułę liniowości a sposób sprowadzenia funkcji pod znak różniczki odbywa się ustnie.

(8) Przeczesujemy odpowiedź.

! W całce nieoznaczonej odpowiedź często można zapisać na kilka sposobów.

W rozważanym właśnie przykładzie ostateczna odpowiedź mogłaby być zapisana inaczej - otwórz nawiasy, a nawet zrób to przed całkowaniem wyrażenia, to znaczy następujące zakończenie przykładu jest całkiem do przyjęcia:

Możliwe, że ta opcja jest jeszcze wygodniejsza, po prostu wyjaśniłem to tak, jak sam decydowałem). Oto kolejny typowy przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Ten przykład został rozwiązany na dwa sposoby i można go uzyskać dwie zupełnie różne odpowiedzi.(dokładniej będą wyglądać zupełnie inaczej, ale z matematycznego punktu widzenia będą równoważne). Najprawdopodobniej nie zobaczysz najbardziej racjonalnego sposobu i będziesz cierpieć z otwieraniem nawiasów przy użyciu innych wzorów trygonometrycznych. Najskuteczniejsze rozwiązanie podano na końcu lekcji.

Podsumowując akapit, dochodzimy do wniosku, że dowolna całka formy , gdzie i - nawet liczbę, rozwiązuje się obniżając stopień całki.
W praktyce spotkałem całki o 8 i 10 stopniach, musiałem rozwiązać ich straszne hemoroidy poprzez kilkukrotne obniżenie stopnia, co skutkowało długimi, długimi odpowiedziami.

Zmienna metoda wymiany

Jak wspomniano w artykule Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej, głównym warunkiem zastosowania metody zastępczej jest fakt, że całka zawiera pewną funkcję i jej pochodną:
(funkcje niekoniecznie są w produkcie)

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Patrzymy na tabelę pochodnych i zauważamy wzory, , czyli w naszej całce jest funkcja i jej pochodna. Widzimy jednak, że podczas różniczkowania cosinus i sinus wzajemnie się przekształcają i powstaje pytanie: jak dokonać zamiany zmiennej i na co ją wyznaczyć - sinus czy cosinus?! Kwestię można rozwiązać metodą naukowego szturchania: jeśli dokonamy wymiany nieprawidłowo, to nic dobrego z tego nie wyniknie.

Ogólna wskazówka: w podobnych przypadkach należy oznaczyć funkcję znajdującą się w mianowniku.

Przerywamy rozwiązanie i przeprowadzamy wymianę

W mianowniku wszystko jest u nas w porządku, wszystko zależy tylko od , teraz pozostaje dowiedzieć się, w co się to zmieni.
Aby to zrobić, znajdujemy różnicę:

Lub w skrócie:
Z powstałej równości, zgodnie z zasadą proporcji, wyrażamy potrzebne wyrażenie:

Więc:

Teraz cała całka zależy tylko od rozwiązania i możemy kontynuować

Gotowy. Przypominam, że celem zamiany jest uproszczenie całki, w tym przypadku wszystko sprowadza się do całkowania funkcji potęgowej nad stołem.

To nie przypadek, że tak szczegółowo namalowałem ten przykład, zrobiono to w celu powtórzenia i utrwalenia materiałów lekcyjnych. Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

A teraz dwa przykłady niezależnego rozwiązania:

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Uzupełnij rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Przykład 14

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Tu znowu w całce jest sinus z cosinusem (funkcja z pochodną), ale już w iloczynie i pojawia się dylemat - co oznaczać, sinus czy cosinus?

Możesz spróbować dokonać wymiany za pomocą naukowej metody szturchania, a jeśli nic nie działa, wyznacz ją jako inną funkcję, ale jest:

Ogólna wskazówka: musisz wyznaczyć funkcję, która, mówiąc obrazowo, znajduje się w „niewygodnej pozycji”.

Widzimy, że w tym przykładzie cosinus ucznia „cierpi” z powodu stopnia, a sinus siedzi tak swobodnie, sam.

Dokonajmy więc zamiany:

Jeśli ktoś ma jeszcze trudności z algorytmem zmiany zmiennej i znalezieniem różniczki, to powinien wrócić do lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Przykład 15

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Analizujemy całkę, co powinno być oznaczone przez ?
Rzućmy okiem na nasze wytyczne:
1) Funkcja najprawdopodobniej jest w mianowniku;
2) Funkcja znajduje się w „niewygodnej pozycji”.

Nawiasem mówiąc, te wskazówki dotyczą nie tylko funkcji trygonometrycznych.

W obu kryteriach (zwłaszcza w drugim) sinus pasuje, więc wymiana sama się sugeruje. W zasadzie wymianę można już przeprowadzić, ale najpierw dobrze byłoby wymyślić, z czym zrobić? Najpierw „odpinamy” jeden cosinus:

Rezerwujemy dla naszego „przyszłego” dyferencjału

I wyrażamy przez sinus, używając podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

Teraz zamiennik:

Ogólna zasada: jeśli w całce występuje jedna z funkcji trygonometrycznych (sinus lub cosinus). dziwne stopień, to musisz „odgryźć” jedną funkcję od nieparzystego stopnia i wyznaczyć inną funkcję za nią. Mówimy tylko o całkach, gdzie są cosinusy i sinusy.

W rozważanym przykładzie mieliśmy cosinus w nieparzystym stopniu, więc odjęliśmy jeden cosinus od stopnia i oznaczyliśmy sinus.

Przykład 16

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Poziomy rosną =).
To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Powszechnym przypadkiem zmiany metody zmiennych jest uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Możesz spróbować go zastosować, gdy „nie wiesz, co robić”. Ale w rzeczywistości istnieją pewne wytyczne dotyczące jego stosowania. Typowe całki, w których należy zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, to następujące całki: , , , itp.

Przykład 17

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne w tym przypadku jest realizowane w następujący sposób. Zamieńmy: . Nie używam litery , ale litery , to nie jest jakaś reguła, po prostu jestem przyzwyczajony do decydowania.

Tutaj wygodniej jest znaleźć różnicę, w tym celu z równości wyrażam:
Wiszę na obu częściach łuku stycznego:

Arcus tangens i tangens znoszą się wzajemnie:

Zatem:

W praktyce nie można malować tak szczegółowo, ale po prostu użyć gotowego wyniku:

! Wyrażenie jest ważne tylko wtedy, gdy pod sinusami i cosinusami mamy po prostu „xes” dla całki (o czym porozmawiamy później) wszystko będzie trochę inne!

Zastępując sinusy i cosinusy, zamieniamy się w następujące ułamki:
, , równości te oparte są na dobrze znanych wzorach trygonometrycznych: ,

Czyszczenie może więc wyglądać tak:

Przeprowadźmy uniwersalne podstawienie trygonometryczne:

Szczegółowo omówiono przykłady rozwiązań całek przez części, których całka jest iloczynem wielomianu i wykładnika (e do potęgi x) lub sinusa (sin x) lub cosinusa (cos x).

Treść

Zobacz też: Metoda całkowania przez części
Tablica całek nieoznaczonych
Metody obliczania całek nieoznaczonych
Podstawowe funkcje elementarne i ich własności

Formuła całkowania przez części

Podczas rozwiązywania przykładów w tej sekcji używany jest wzór na całkowanie przez części:
;
.

Przykłady całek zawierających iloczyn wielomianu i sin x, cos x lub e x

Oto przykłady takich całek:
, , .

Aby zintegrować takie całki, wielomian oznacza się przez u, a resztę przez v dx. Następnie stosujemy formułę całkowania przez części.

Poniżej znajduje się szczegółowe rozwiązanie tych przykładów.

Przykłady rozwiązywania całek

Przykład z wykładnikiem, e do potęgi x

Zdefiniuj całkę:
.

Wprowadzamy wykładnik pod znakiem różniczkowym:
e - x dx = - mi - x d(-x) = - d(e - x).

Całkujemy przez części.

Tutaj
.
Pozostała całka jest również całkowalna przez części.
.
.
.
Wreszcie mamy:
.

Przykład definiowania całki za pomocą sinusa

Oblicz całkę:
.

Wprowadzamy sinus pod znakiem różniczki:

Całkujemy przez części.

tutaj u = x 2 , v = cos(2x+3), du = ( x2 )′ dx

Pozostała całka jest również całkowalna przez części. W tym celu wprowadzamy cosinus pod znakiem różniczki.


tutaj u = x, v = grzech(2x+3), du = dx

Wreszcie mamy:

Przykład iloczynu wielomianu i cosinusa

Oblicz całkę:
.

Cosinus wprowadzamy pod znakiem różniczki:

Całkujemy przez części.

tutaj u = x 2+3x+5, v = grzech2x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Przedstawiono podstawowe wzory trygonometryczne i podstawowe podstawienia. Opisano metody całkowania funkcji trygonometrycznych - całkowanie funkcji wymiernych, iloczyn funkcji potęgowych sin x i cos x, iloczyn wielomianu, wykładnika i sinusa lub cosinusa, całkowanie odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Dotyczy to niestandardowych metod.

Treść

Standardowe metody całkowania funkcji trygonometrycznych

Ogólne podejście

Najpierw, jeśli to konieczne, całkę należy przekształcić tak, aby funkcje trygonometryczne zależały od jednego argumentu, który pokrywałby się ze zmienną całkową.

Na przykład, jeśli całka zależy od grzech(x+a) I cos(x+b), to powinieneś wykonać transformację:
sałata (x+b) = sałata (x+a - (a-b)) = sałata (x+a) sałata (b-a) + grzech(x+a) grzech(b-a).
Następnie dokonaj zmiany z = x+a . W rezultacie funkcje trygonometryczne będą zależeć tylko od zmiennej całkowej z .

Gdy funkcje trygonometryczne zależą od jednego argumentu, pokrywającego się ze zmienną całkowania (powiedzmy, że jest to z ), to znaczy całka składa się tylko z funkcji typu grzech Z, bo z, tgz, ctgz, to musisz dokonać zamiany
.
Takie podstawienie prowadzi do całkowania funkcji wymiernych lub niewymiernych (jeśli istnieją pierwiastki) i pozwala obliczyć całkę, jeśli jest całkowana w funkcjach elementarnych.

Jednak często można znaleźć inne metody, które pozwalają obliczyć całkę w krótszy sposób, w oparciu o specyfikę całki. Poniżej znajduje się podsumowanie głównych takich metod.

Metody całkowania funkcji wymiernych sin x i cos x

Funkcje wymierne z grzech x I bo x są funkcjami pochodnymi grzech x, bo x oraz dowolne stałe wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi całkowitej. Są one oznaczone następująco: R (sinx, cosx). Może to również obejmować styczne i cotangensy, ponieważ są one tworzone przez podzielenie sinusa przez cosinus i odwrotnie.
Całki funkcji wymiernych mają postać:
.

Metody całkowania wymiernych funkcji trygonometrycznych są następujące.
1) Podstawienie zawsze prowadzi do całki ułamka wymiernego. Jednak w niektórych przypadkach istnieją podstawienia (patrz poniżej), które powodują krótsze obliczenia.
2) Jeśli r (sinx, cosx) sałata x → - sałata x grzech x.
3) Jeśli r (sinx, cosx) pomnożona przez -1 przy zastępowaniu grzech x → - grzech x, następnie podstawienie t = bo x.
4) Jeśli R (sinx, cosx) nie zmienia się jak przy jednoczesnej wymianie sałata x → - sałata x, I grzech x → - grzech x, następnie podstawienie t = tg x lub t= KTG x.

Przykłady:
, , .

Iloczyn funkcji potęgowych cos x i sin x

Całki formy

są całkami wymiernych funkcji trygonometrycznych. Dlatego metody opisane w poprzedniej sekcji można do nich zastosować. Poniżej rozważymy metody oparte na specyfice takich całek.

Jeśli m i n są liczbami wymiernymi, to jedna z permutacji t = grzech x lub t= bo x całka redukuje się do całki dwumianu różniczkowego.

Jeżeli m i n są liczbami całkowitymi, to całkowanie odbywa się za pomocą wzorów redukcyjnych:

;
;
;
.

Przykład:
.

Całki z iloczynu wielomianu i sinusa lub cosinusa

Całki postaci:
, ,
gdzie P(x) jest wielomianem w x są całkowane przez części. Powoduje to następujące formuły:

;
.

Przykłady:
, .

Całki z iloczynu wielomianu, wykładnika i sinusa lub cosinusa

Całki postaci:
, ,
gdzie P(x) jest wielomianem w x , są całkowane za pomocą wzoru Eulera
e iax = cos topór + isin topór(gdzie i 2 = - 1 ).
W tym celu metoda opisana w poprzednim akapicie oblicza całkę
.
Po oddzieleniu części rzeczywistej i urojonej od wyniku uzyskuje się oryginalne całki.

Przykład:
.

Niestandardowe metody całkowania funkcji trygonometrycznych

Poniżej przedstawiono szereg niestandardowych metod, które pozwalają wykonać lub uprościć całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Zależność od (a grzech x + b cos x)

Jeśli całka zależy tylko od a grzech x + b cos x, warto zastosować wzór:
,
Gdzie .

Na przykład

Rozkład ułamków z sinusów i cosinusów na ułamki prostsze

Rozważ całkę
.
Najprostszym sposobem całkowania jest rozłożenie ułamka na prostsze, stosując przekształcenie:
grzech(a - b) = grzech(x + a - (x + b)) = grzech(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) grzech(x+b)

Całkowanie ułamków pierwszego stopnia

Podczas obliczania całki
,
wygodnie jest wybrać część całkowitą ułamka i pochodną mianownika
A 1 grzech x + b 1 sałata x = A (a grzech x + b cos x) + B (a grzech x + b cos x)′ .
Stałe A i B można znaleźć, porównując lewą i prawą stronę.

Bibliografia:
NM Gunther, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, Lan, 2003.

Zobacz też:

Tabela funkcji pierwotnych („całek”). Tablica całek. Tabularne całki nieoznaczone. (Całki proste i całki z parametrem). Wzory na całkowanie przez części. Formuła Newtona-Leibniza.

Tabela funkcji pierwotnych („całek”). Tabularne całki nieoznaczone. (Całki proste i całki z parametrem).
Całka funkcji potęgowej.	Całka funkcji potęgowej.
Całka, która sprowadza się do całki funkcji potęgowej, jeśli x jest sterowane pod znakiem różniczki.
	Całka wykładnicza, gdzie a jest liczbą stałą.
Całka złożonej funkcji wykładniczej.	Całka funkcji wykładniczej.
Całka równa logarytmowi naturalnemu.	Całka: „Długi logarytm”.
	Całka: „Długi logarytm”.
Całka: „Wysoki logarytm”.	Całka, gdzie x w liczniku jest podstawiona pod znak różniczki (stałą pod znakiem można zarówno dodawać, jak i odejmować), w rezultacie jest podobna do całki równej logarytmowi naturalnemu.
Całka: „Wysoki logarytm”.
Całka cosinusowa.	Całka sinusoidalna.
Całka równa tangensowi.	Całka równa cotangensowi.
Całka równa arcus sinus i arcus sinus
Całka równa zarówno odwrotnemu sinusowi, jak i odwrotnemu cosinusowi.	Całka równa zarówno stycznej do łuku, jak i cotangensowi łuku.
Całka jest równa cosecansowi.	Całka równa siecznej.
Całka równa arcsecans.	Całka równa cosecansowi łuku.
Całka równa arcsecans.	Całka równa arcsecans.
Całka równa sinusowi hiperbolicznemu.	Całka równa cosinusowi hiperbolicznemu.
Całka równa sinusowi hiperbolicznemu, gdzie sinhx jest sinusem hiperbolicznym w języku angielskim.	Całka równa cosinusowi hiperbolicznemu, gdzie sinhx jest sinusem hiperbolicznym w wersji angielskiej.
Całka równa tangensowi hiperbolicznemu.	Całka równa cotangensowi hiperbolicznemu.
Całka równa siecznej hiperbolicznej.	Całka równa cosecansowi hiperbolicznemu.

Wzory na całkowanie przez części. Zasady integracji.

Wzory na całkowanie przez części. Formuła Newtona-Leibniza Reguły całkowania.
Całkowanie produktu (funkcji) przez stałą:
Całkowanie sumy funkcji:
całki nieoznaczone:
Formuła całkowania przez części całki oznaczone:
Formuła Newtona-Leibniza całki oznaczone:	Gdzie F(a),F(b) są odpowiednio wartościami funkcji pierwotnych w punktach b i a.

Tabela pochodna. Pochodne tabeli. Pochodna produktu. Pochodna prywatnego. Pochodna funkcji zespolonej.

Jeśli x jest zmienną niezależną, to:

Tabela pochodna. Pochodne tablicowe „pochodna tablicowa” – tak, niestety, tak są wyszukiwane w Internecie
	Pochodna funkcji potęgowej
	Pochodna wykładnika
Pochodna złożonej funkcji wykładniczej	Pochodna funkcji wykładniczej
Pochodna funkcji logarytmicznej	Pochodna logarytmu naturalnego
	Pochodna logarytmu naturalnego funkcji
Pochodna sinusoidalna	pochodna cosinusowa
Pochodna kosecanta	Pochodna sieczna
Pochodna arcus sinus	Pochodna kosinusa łuku
Pochodna arcus sinus	Pochodna kosinusa łuku
Pochodna styczna	Pochodna kotangensa
Pochodna stycznej łuku	Pochodna odwrotnej tangensa
Pochodna stycznej łuku	Pochodna odwrotnej tangensa
Pochodna arcsecans	Pochodna cosecansa łuku
Pochodna arcsecans	Pochodna cosecansa łuku
Pochodna sinusa hiperbolicznego Pochodna sinusa hiperbolicznego w wersji angielskiej	Pochodna kosinusa hiperbolicznego Pochodna cosinusa hiperbolicznego w wersji angielskiej
Pochodna tangensa hiperbolicznego	Pochodna cotangensa hiperbolicznego
Pochodna siecznej hiperbolicznej	Pochodna cosecansa hiperbolicznego

Reguły różniczkowania. Pochodna produktu. Pochodna prywatnego. Pochodna funkcji zespolonej.
Pochodna iloczynu (funkcji) przez stałą:
Pochodna sumy (funkcje):
Pochodna iloczynu (funkcji):
Pochodna ilorazu (funkcji):
Pochodna funkcji zespolonej:

Własności logarytmów. Podstawowe wzory logarytmów. Logarytmy dziesiętne (lg) i naturalne (ln).

Podstawowa tożsamość logarytmiczna
Pokażmy, jak dowolną funkcję postaci a b można uczynić wykładniczą. Skoro funkcja postaci e x nazywana jest wykładniczą, to
Dowolną funkcję postaci a b można przedstawić jako potęgę dziesięciu

Logarytm naturalny ln (podstawa logarytmu e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora.

Okazuje się, że większość praktycznie występujące funkcje matematyczne można przedstawić z dowolną dokładnością w pobliżu pewnego punktu w postaci szeregów potęgowych zawierających potęgi zmiennej w porządku rosnącym. Np. w okolicach punktu x=1:

Podczas korzystania z wierszy o nazwie rzędy Taylora, funkcje mieszane zawierające, powiedzmy, funkcje algebraiczne, trygonometryczne i wykładnicze, można wyrazić jako funkcje czysto algebraiczne. Za pomocą szeregów często można szybko przeprowadzić różniczkowanie i całkowanie.

Szereg Taylora w pobliżu punktu a ma postać:

1) , gdzie f(x) jest funkcją, która ma pochodne wszystkich rzędów w punkcie x=a. R n - reszta wyrazu w szeregu Taylora jest określona przez wyrażenie

2)

k-ty współczynnik (przy x k) szeregu określa wzór

3) Szczególnym przypadkiem szeregu Taylora jest szereg Maclaurina (=McLaren) (rozkład odbywa się wokół punktu a=0)

dla a=0

członkowie serii są określani przez wzór

Warunki stosowania szeregu Taylora.

1. Aby funkcja f(x) była rozwinięta w szereg Taylora na przedziale (-R;R), konieczne i wystarczające jest, aby reszta członu ze wzoru Taylora (Maclaurin (=McLaren)) dla tego funkcja dąży do zera w punkcie k →∞ w określonym przedziale (-R;R).

2. Konieczne jest, aby dla tej funkcji istniały pochodne w punkcie, w pobliżu którego będziemy budować szereg Taylora.

Własności szeregu Taylora.

Jeśli f jest funkcją analityczną, to jej szereg Taylora w dowolnym punkcie a dziedziny f zbiega się do f w pewnym sąsiedztwie a.

Istnieją nieskończenie różniczkowalne funkcje, których szereg Taylora jest zbieżny, ale różni się od funkcji w dowolnym sąsiedztwie a. Na przykład:

Szeregów Taylora używa się do aproksymacji (aproksymacja to metoda naukowa polegająca na zastępowaniu pewnych obiektów innymi, w pewnym sensie zbliżonymi do oryginału, ale prostszymi) funkcji przez wielomiany. W szczególności linearyzacja (od linearis - liniowy), jedna z metod przybliżonej reprezentacji zamkniętych układów nieliniowych, w której badanie układu nieliniowego zastępuje się analizą układu liniowego, w pewnym sensie równoważnym oryginalnemu .) równań następuje poprzez rozwinięcie w szereg Taylora i odcięcie wszystkich wyrazów powyżej pierwszego rzędu.

Zatem prawie każdą funkcję można przedstawić jako wielomian z określoną dokładnością.

Przykłady niektórych powszechnych rozwinięć funkcji potęgowych w szeregach Maclaurina (=McLaren,Taylor w okolicach punktu 0) i Taylora w okolicach punktu 1. Pierwsze wyrazy rozwinięć głównych funkcji w szeregach Taylora i MacLarena.

Przykłady niektórych typowych rozwinięć funkcji potęgowych w szeregu Maclaurina (= MacLaren, Taylor w pobliżu punktu 0)

Przykłady niektórych typowych rozwinięć szeregu Taylora wokół punktu 1