Co się stało faktoryzacja? To sposób na przekształcenie niezręcznego i skomplikowanego przykładu w prosty i uroczy). Bardzo potężna sztuczka! Znalezione na każdym kroku i w elementarna matematyka, a na najwyższym.

Takie przekształcenia w języku matematycznym nazywane są identycznymi przekształceniami wyrażeń. Kogo nie ma w temacie - przejdź się po linku. Jest bardzo mało, prostych i użytecznych.) Znaczenie każdej identycznej transformacji polega na napisaniu wyrażenia w innej formie zachowując jednocześnie jego istotę.

Oznaczający faktoryzacja niezwykle proste i zrozumiałe. Już od samego tytułu. Możesz zapomnieć (lub nie wiedzieć), czym jest mnożnik, ale czy możesz zrozumieć, że to słowo pochodzi od słowa „mnożyć”?) Faktoring to: reprezentować wyrażenie jako mnożenie czegoś przez coś. Wybacz mi matematykę i język rosyjski ...) I to wszystko.

Na przykład musisz rozłożyć liczbę 12. Możesz bezpiecznie napisać:

Przedstawiliśmy więc liczbę 12 jako pomnożenie liczby 3 przez 4. Zwróć uwagę, że liczby po prawej (3 i 4) są zupełnie inne niż po lewej (1 i 2). Ale dobrze wiemy, że 12 i 3 4 To samo. Esencja liczby 12 z transformacji nie zmienił się.

Czy można rozłożyć 12 w inny sposób? Łatwo!

12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=......

Możliwości rozkładu są nieograniczone.

Rozkładanie liczb na czynniki to przydatna rzecz. Bardzo pomaga, na przykład, gdy mamy do czynienia z korzeniami. Ale faktoryzacja wyrażeń algebraicznych nie jest czymś użytecznym, jest - niezbędny! Tylko na przykład:

Uproszczać:

Ci, którzy nie wiedzą, jak rozłożyć wyrażenie na czynniki, pozostają na uboczu. Kto wie jak - upraszcza i otrzymuje:

Efekt jest niesamowity, prawda?) Nawiasem mówiąc, rozwiązanie jest dość proste. Zobaczysz sam poniżej. Lub na przykład takie zadanie:

Rozwiązać równanie:

x 5 - x 4 = 0

Nawiasem mówiąc, zdecydowano w umyśle. Za pomocą faktoryzacji. Poniżej rozwiążemy ten przykład. Odpowiedź: x 1 = 0; x2 = 1.

Lub to samo, ale dla starszych):

Rozwiązać równanie:

Na tych przykładach pokazałem główny cel rozkłady na czynniki: upraszczanie wyrażeń ułamkowych i rozwiązywanie niektórych typów równań. Polecam zapamiętać praktyczna zasada:

Jeśli mamy przed sobą okropne wyrażenie ułamkowe, możemy spróbować rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Bardzo często ułamek jest redukowany i upraszczany.

Jeśli mamy przed sobą równanie, w którym po prawej stronie jest zero, a po lewej - nie rozumiem co, możesz spróbować rozłożyć lewą stronę na czynniki. Czasem pomaga.)

Podstawowe metody faktoryzacji.

Oto najpopularniejsze sposoby:

4. Rozkład trójmianu kwadratowego.

O tych metodach trzeba pamiętać. To w tej kolejności. Sprawdzane są złożone przykłady dla wszystkich możliwe sposoby rozkład. I lepiej sprawdzać w kolejności, aby się nie pomylić ... Zacznijmy w kolejności.)

1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

proste i niezawodny sposób. Nie wychodzi mu to źle! Dzieje się to albo dobrze, albo wcale.) Dlatego jest pierwszy. Rozumiemy.

Wszyscy znają (chyba!) zasadę:

a(b+c) = ab+ac

Lub w więcej ogólna perspektywa:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Wszystkie równości działają zarówno od lewej do prawej, jak i odwrotnie, od prawej do lewej. Możesz pisać:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+reklama+.... = a(b+c+d+.....)

O to chodzi w wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów.

Po lewej stronie A - wspólny czynnik dla wszystkich terminów. Pomnożona przez wszystko.) Prawy jest najbardziej A jest już poza nawiasami.

Praktyczne użycie Rzućmy okiem na przykłady. Na początku wariant jest prosty, wręcz prymitywny.) Ale na tym wariancie zaznaczę ( w zielonym) Bardzo ważne punkty dla dowolnej faktoryzacji.

Zwielokrotniać:

aha +9x

Który ogólny jest mnożnikiem w obu terminach? X, oczywiście! Wyciągniemy to z nawiasów. Robimy to. Natychmiast piszemy x poza nawiasami:

topór+9x=x(

A w nawiasach piszemy wynik dzielenia co semestr na tym właśnie x. W celu:

To wszystko. Oczywiście nie trzeba malować tak szczegółowo, robi się to w umyśle. Ale aby zrozumieć, co jest, jest pożądane). Naprawiamy w pamięci:

Wspólny czynnik zapisujemy poza nawiasami. W nawiasach podajemy wyniki dzielenia wszystkich wyrazów przez ten bardzo wspólny czynnik. W celu.

Tutaj rozszerzyliśmy wyrażenie aha +9x dla mnożników. Zamieniłem to na mnożenie x przez (a + 9). Zauważam, że w pierwotnym wyrażeniu było też mnożenie, a nawet dwa: a x i 9 x. Ale to nie została rozłożona! Bo oprócz mnożenia to wyrażenie zawierało również dodawanie, znak „+”! I w wyrażeniu x(a+9) nic tylko mnożyć!

Jak to!? - Słyszę oburzony głos ludu - A w nawiasach!?)

Tak, w nawiasach jest dodawanie. Ale sztuczka polega na tym, że chociaż nawiasy nie są otwarte, rozważamy je jak jedna litera. I wszystkie czynności wykonujemy z nawiasami w całości, jak jedna litera. W tym sensie w wyrażeniu x(a+9) nic tylko mnożyć. To jest cały punkt faktoryzacji.

Swoją drogą, czy jest jakiś sposób, żeby sprawdzić, czy wszystko zrobiliśmy dobrze? Łatwy! Wystarczy pomnożyć z powrotem to, co zostało wyjęte (x) przez nawiasy i sprawdzić, czy się udało oryginalny wyrażenie? Jeśli się udało, wszystko jest na tip-top!)

x(a+9)=ax+9x

Stało się.)

W tym prymitywnym przykładzie nie ma problemu. Ale jeśli jest kilka terminów, a nawet z różne znaki...Krótko mówiąc, co trzeci uczeń robi bałagan). Dlatego:

W razie potrzeby sprawdź rozkład na czynniki przez odwrotne mnożenie.

Zwielokrotniać:

3ax+9x

Szukamy wspólnego czynnika. Cóż, z X wszystko jasne, da się wytrzymać. Czy jest więcej ogólny czynnik? Tak! To jest trio. Możesz też napisać wyrażenie w ten sposób:

3x+3 3x

Tutaj od razu widać, że wspólny czynnik będzie 3x. Tutaj wyjmujemy:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Rozrzucić.

A co się stanie, jeśli weźmiesz tylko x? Nic specjalnego:

3ax+9x=x(3a+9)

Będzie to również faktoryzacja. Ale w tym ekscytujący proces Zwyczajowo układa się wszystko, aż się zatrzyma, dopóki jest okazja. Tutaj w nawiasach istnieje możliwość wykupienia potrójnego. Dostawać:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

To samo, tylko z jedną dodatkową akcją.) Pamiętaj:

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów, staramy się go usunąć maksymalny wspólny mnożnik.

Kontynuujmy zabawę?

Rozkładając wyrażenie:

3ax+9x-8a-24

Co wyciągniemy? Trzy, X? Nieee... Nie możesz. Przypominam, że możesz tylko brać ogólny mnożnik tzn we wszystkim warunki wyrażenia. Dlatego on ogólny. Nie ma tu takiego mnożnika... Co, nie umiesz wyłożyć!? No tak, byliśmy zachwyceni, jak... Poznajcie:

2. Grupowanie.

Właściwie to ugrupowanie jest trudne do nazwania w niezależny sposób faktoryzacja. To raczej sposób na wydostanie się złożony przykład.) Konieczne jest pogrupowanie terminów, aby wszystko się udało. Można to pokazać tylko na przykładzie. Mamy więc wyrażenie:

3ax+9x-8a-24

Można zauważyć, że istnieją pewne wspólne litery i cyfry. Ale... Ogólny nie ma mnożnika pod każdym względem. Nie trać serca i dzielimy wyrażenie na części. Grupujemy się. Tak, aby w każdym kawałku był wspólny czynnik, było coś do wyjęcia. Jak się łamiemy? Tak, tylko nawiasy.

Przypominam, że wsporniki można umieścić w dowolnym miejscu iw dowolny sposób. Jeśli tylko istota przykładu nie zmienił się. Na przykład możesz to zrobić:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Proszę zwrócić uwagę na drugie nawiasy! Są one poprzedzone znakiem minus i 8a I 24 stać się pozytywnym! Jeśli w celu weryfikacji otworzymy nawiasy z powrotem, znaki zmienią się i otrzymamy oryginalny wyrażenie. Te. istota wyrażenia z nawiasów nie uległa zmianie.

Ale jeśli po prostu wstawisz nawiasy, nie biorąc pod uwagę zmiany znaku, na przykład tak:

3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8a-24 )

to będzie błąd. Właśnie - już Inny wyrażenie. Rozwiń nawiasy i wszystko stanie się jasne. Nie możesz dalej decydować, tak ...)

Ale wracając do faktoryzacji. Spójrz na pierwsze nawiasy (3x + 9x) i pomyśl, czy można coś znieść? Cóż, rozwiązaliśmy ten przykład powyżej, możemy go wyjąć 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Studiujemy drugie nawiasy, tam możesz wyjąć osiem:

(8a+24)=8(a+3)

Całe nasze wyrażenie będzie miało postać:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

pomnożone? NIE. Efektem rozkładu powinno być tylko mnożenie, i mamy znak minus psuje wszystko. Ale... Oba terminy mają wspólny czynnik! Ten (a+3). Nie na próżno powiedziałem, że nawiasy jako całość są jakby jedną literą. Więc te nawiasy można wyjąć z nawiasów. Tak, dokładnie tak to brzmi.)

Robimy tak, jak opisano powyżej. Napisz wspólny czynnik (a+3), w drugim nawiasie zapisujemy wyniki dzielenia wyrazów przez (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Wszystko! Po prawej stronie jest tylko mnożenie! Tak więc rozkład na czynniki został pomyślnie zakończony!) Oto on:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Podsumujmy istotę grupy.

Jeśli wyrażenie nie ogólny mnożnik dla Wszystko wyrażenia, dzielimy wyrażenie nawiasami tak, aby wewnątrz nawiasów znajdował się wspólny czynnik był. Wyjmijmy go i zobaczmy, co się stanie. Jeśli mamy szczęście i dokładnie te same wyrażenia pozostają w nawiasach, wyjmujemy te nawiasy z nawiasów.

Dodam, że grupowanie to proces twórczy). Nie zawsze udaje się za pierwszym razem. W porządku. Czasem trzeba zamienić pojęcia, przemyśleć różne warianty grupowanie aż do znalezienia dobrego. Najważniejsze, aby nie stracić serca!)

Przykłady.

Teraz, wzbogacając się wiedzą, możesz także rozwiązywać trudne przykłady.) Na początku lekcji były trzy takie ...

Uproszczać:

W rzeczywistości rozwiązaliśmy już ten przykład. Niezauważalnie dla siebie.) Przypominam: jeśli otrzymamy straszny ułamek, staramy się rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Inne opcje uproszczenia po prostu nie.

Cóż, tutaj nie rozkłada się mianownika, ale licznik... Rozkładaliśmy już licznik w trakcie lekcji! Lubię to:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Zapisujemy wynik rozwinięcia do licznika ułamka:

Zgodnie z zasadą redukcji ułamków (główna własność ułamka) możemy podzielić (jednocześnie!) licznik i mianownik przez tę samą liczbę, czyli wyrażenie. Ułamek z tego nie zmienia. Więc dzielimy licznik i mianownik przez wyrażenie (3x-8). I tu i tam dostajemy jednostki. Ostateczny wynik uproszczenia:

Podkreślam w szczególności: redukcja ułamka jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy w liczniku i mianowniku oprócz mnożenia wyrażeń tam nic nie ma. Dlatego przekształcenie sumy (różnicy) w mnożenie tak ważne, aby uprościć. Oczywiście, jeśli wyrażenia różny, wtedy nic nie zostanie zmniejszone. Byvet. Ale faktoryzacja daje szansę. Ta szansa bez rozkładu - po prostu nie istnieje.

Przykład równania:

Rozwiązać równanie:

x 5 - x 4 = 0

Wyeliminowanie wspólnego czynnika x 4 dla wsporników. Otrzymujemy:

x 4 (x-1)=0

Zakładamy, że iloczyn czynników jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek z nich jest równy zeru. W razie wątpliwości znajdź mi kilka niezerowych liczb, które po pomnożeniu dadzą zero.) Piszemy więc najpierw pierwszy czynnik:

Przy tej równości drugi czynnik nam nie przeszkadza. Każdy może być, tak czy inaczej, w końcu wyjdzie zero. Jaka jest liczba do czwartej potęgi zera? Tylko zero! I nic więcej... Dlatego:

Ustaliliśmy pierwszy czynnik, znaleźliśmy jeden pierwiastek. Zajmijmy się drugim czynnikiem. Teraz nie dbamy o pierwszy mnożnik.):

Tutaj znaleźliśmy rozwiązanie: x 1 = 0; x2 = 1. Każdy z tych pierwiastków pasuje do naszego równania.

Bardzo ważna uwaga. Zauważ, że rozwiązaliśmy równanie kawałek po kawałku! Każdy czynnik został ustawiony na zero. niezależnie od innych czynników. Nawiasem mówiąc, jeśli w takim równaniu nie ma dwóch czynników, jak mamy, ale trzy, pięć, ile chcesz, zdecydujemy podobny. Kawałek po kawałku. Na przykład:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Ten, kto otwiera nawiasy, mnoży wszystko, na zawsze będzie wisiał na tym równaniu.) Właściwy uczeń od razu zobaczy, że po lewej stronie nie ma nic oprócz mnożenia, po prawej zero. I zacznie (w myślach!) Zrównywać do zera wszystkie nawiasy w kolejności. I dostanie (w 10 sekund!) poprawne rozwiązanie: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Świetnie, prawda?) Takie eleganckie rozwiązanie jest możliwe, jeśli lewa strona równania podzielić na wielokrotności. Czy wskazówka jest jasna?)

Cóż, ostatni przykład dla starszych):

Rozwiązać równanie:

Jest trochę podobny do poprzedniego, nie sądzisz?) Oczywiście. Czas przypomnieć sobie, że w algebrze siódmej klasy sinusy, logarytmy i wszystko inne można ukryć pod literami! Faktoring działa w każdej matematyce.

Wyeliminowanie wspólnego czynnika lg4x dla wsporników. Otrzymujemy:

lg 4x=0

To jest jeden korzeń. Zajmijmy się drugim czynnikiem.

Oto ostateczna odpowiedź: x 1 = 1; x2 = 10.

Mam nadzieję, że zdałeś sobie sprawę z potęgi faktoringu w upraszczaniu ułamków i rozwiązywaniu równań.)

W tej lekcji zapoznaliśmy się z usuwaniem wspólnego czynnika i grupowaniem. Pozostaje zająć się wzorami skróconego mnożenia i trójmianu kwadratowego.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozkładanie równania na czynniki to proces znajdowania terminów lub wyrażeń, które po pomnożeniu prowadzą do początkowego równania. Faktoring jest przydatną umiejętnością do rozwiązywania podstawowych problemów algebraicznych i staje się praktyczną koniecznością podczas pracy z równaniami kwadratowymi i innymi wielomianami. Rozkład na czynniki służy do uproszczenia równań algebraicznych, aby ułatwić ich rozwiązanie. Faktoring może pomóc w wykluczeniu pewnych możliwych odpowiedzi szybciej niż w przypadku ręcznego rozwiązania równania.

Kroki

Faktoryzacja liczb i podstawowe wyrażenia algebraiczne

1. Faktoryzacja liczb. Koncepcja faktoringu jest prosta, ale w praktyce faktoring może być trudny (biorąc pod uwagę złożone równanie). Dlatego na początek rozważymy koncepcję faktoryzacji na przykładzie liczb, kontynuuj proste równania, a następnie przejdź do złożonych równań. Mnożniki podany numer to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ponieważ 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobnie możesz myśleć o dzielnikach liczby jako o jej dzielnikach, czyli liczbach, przez które dana liczba jest podzielna.
   • Znajdź wszystkie czynniki liczby 60. Często używamy liczby 60 (na przykład 60 minut w godzinie, 60 sekund w minucie itp.), a liczba ta ma dość duża liczba mnożniki.
     • 60 mnożników: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Pamiętać: wyrażenia zawierające współczynnik (liczbę) i zmienną można również rozłożyć na czynniki. Aby to zrobić, znajdź mnożniki współczynnika przy zmiennej. Wiedząc, jak rozkładać na czynniki warunki równań, możesz łatwo uprościć dane równanie.

   • Na przykład termin 12x można zapisać jako iloczyn 12 i x. Możesz także zapisać 12x jako 3(4x), 2(6x) itd., rozkładając 12 na czynniki, które najlepiej Ci odpowiadają.
     • Możesz ułożyć 12x wiele razy z rzędu. Innymi słowy, nie powinieneś zatrzymywać się na 3(4x) lub 2(6x); kontynuuj rozwinięcie: 3(2(2x)) lub 2(3(2x)) (oczywiście, 3(4x)=3(2(2x)) itd.)

3. Zastosuj właściwość rozdzielności mnożenia, aby rozłożyć równania algebraiczne na czynniki. Wiedząc, jak rozkładać liczby i wyrazy wyrażenia na czynniki (współczynniki ze zmiennymi), możesz uprościć proste równania algebraiczne, znajdując wspólny czynnik liczby i wyrazu wyrażenia. Zwykle, aby uprościć równanie, musisz znaleźć największy wspólny dzielnik (gcd). Takie uproszczenie jest możliwe dzięki rozdzielczej własności mnożenia: dla dowolnych liczb a, b, c równość a (b + c) = ab + ac jest prawdziwa.

   • Przykład. Rozłóż równanie na czynniki 12x + 6. Najpierw znajdź gcd 12x i 6. 6 to Największa liczba, która dzieli zarówno 12x, jak i 6, więc możesz rozwinąć to równanie do: 6(2x+1).
   • Ten proces jest również prawdziwy dla równań, które mają wyrazy ujemne i ułamkowe. Na przykład x/2+4 można rozłożyć na 1/2(x+8); na przykład -7x+(-21) można rozłożyć na -7(x+3).

   Faktoryzacja równań kwadratowych

   1. Upewnij się, że równanie ma postać kwadratową (ax 2 + bx + c = 0). Równania kwadratowe to: ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c to współczynniki liczbowe różne od 0. Jeśli masz równanie z jedną zmienną (x) i to równanie ma jeden lub więcej wyrazów drugiego rzędu zmiennej , możesz przenieść wszystkie wyrazy równania na jedną stronę równania i zrównać je do zera.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Można to przekształcić w równanie x 2 + 6x + 9 = 0, które jest równaniem kwadratowym.
      • Równania ze zmienną x dużych rzędów, na przykład x 3 , x 4 itd. nie są równaniami kwadratowymi. Są to równania sześcienne, równania czwartego rzędu i tak dalej (tylko jeśli takich równań nie można uprościć do równań kwadratowych ze zmienną x podniesioną do potęgi 2).

   2. Równania kwadratowe, w których a \u003d 1, rozkłada się na (x + d) (x + e), gdzie d * e \u003d c i d + e \u003d b. Jeśli podane ci równanie kwadratowe ma postać: x 2 + bx + c \u003d 0 (to znaczy współczynnik przy x 2 jest równy 1), wówczas takie równanie można (ale nie jest to gwarantowane) rozłożyć na powyższe czynniki. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają „c”, a po dodaniu - „b”. Po znalezieniu tych dwóch liczb (d i e) podłącz je następujące wyrażenie: (x+d)(x+e), co po otwarciu nawiasów prowadzi do pierwotnego równania.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie kwadratowe x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, więc możesz rozwinąć równanie do (x+3)(x+2).
      • W przypadku warunków ujemnych wprowadź następujące drobne zmiany w procesie faktoryzacji:
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx + c, to rozkłada się na: (x-_) (x-_).
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx-c, to rozkłada się na: (x + _) (x-_).
      • Uwaga: spacje można zastąpić ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x 2 + (21/2)x + 5 = 0 rozkłada się na (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktoryzacja metodą prób i błędów. Nieskomplikowany równania kwadratowe można rozłożyć na czynniki, po prostu podstawiając liczby do możliwe rozwiązania dopóki nie znajdziesz Dobra decyzja. Jeżeli równanie ma postać ax 2 +bx+c, gdzie a>1, możliwe rozwiązania zapisujemy jako (dx +/- _)(ex +/- _), gdzie d i e są współczynnikami liczbowymi różnymi od zera, co po pomnożeniu daje a. Albo d albo e (lub oba współczynniki) mogą być równe 1. Jeśli oba współczynniki są równe 1, użyj metody opisanej powyżej.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie 3x 2 - 8x + 4. Tutaj 3 ma tylko dwa czynniki (3 i 1), więc możliwe rozwiązania są zapisane jako (3x +/- _)(x +/- _). W tym przypadku, zastępując spacje wartością -2, uzyskasz poprawną odpowiedź: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, czyli takie rozwinięcie po otwarciu nawiasów doprowadzi do wyrazów pierwotnego równania.

Co zrobić, jeśli w trakcie rozwiązywania zadania z Jednolitego Egzaminu Państwowego lub na egzaminie wstępnym z matematyki otrzymałeś wielomian, którego nie można rozłożyć na czynniki standardowe metody których nauczyłeś się w szkole? W tym artykule nauczyciel matematyki opowie o jednym skutecznym sposobie, którego studiowanie jest poza zasięgiem program nauczania, ale za pomocą którego nie będzie trudno rozłożyć wielomian na czynniki. Przeczytaj ten artykuł do końca i obejrzyj załączony samouczek wideo. Zdobyta wiedza przyda Ci się na egzaminie.

Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą dzielenia

W przypadku, gdy otrzymałeś wielomian większy niż drugiego stopnia i byłeś w stanie odgadnąć wartość zmiennej, przy której ten wielomian staje się równy zeru (na przykład ta wartość jest równa), wiedz! Ten wielomian można podzielić bez reszty przez .

Na przykład łatwo zauważyć, że wielomian czwartego stopnia znika w . Oznacza to, że można go podzielić przez bez reszty, uzyskując w ten sposób wielomian trzeciego stopnia (mniej niż jeden). To znaczy umieść to w formie:

Gdzie A, B, C I D- kilka liczb. Rozwińmy nawiasy:

Ponieważ współczynniki w równe stopnie powinno być takie samo, otrzymujemy:

Więc mamy:

Zacząć robić. Wystarczy posortować kilka małych liczb całkowitych, aby zobaczyć, że wielomian trzeciego stopnia jest znowu podzielny przez . Daje to wielomian drugiego stopnia (mniej niż jeden). Następnie przechodzimy do nowego rekordu:

Gdzie mi, F I G- kilka liczb. Otwierając ponownie nawiasy, dochodzimy do następującego wyrażenia:

Ponownie z warunku równości współczynników przy tych samych potęgach otrzymujemy:

Następnie otrzymujemy:

Oznacza to, że pierwotny wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

W zasadzie, w razie potrzeby, stosując wzór na różnicę kwadratów, wynik można również przedstawić w następującej postaci:

Takie proste i skuteczna metoda faktoryzacja wielomianów. Zapamiętaj to, może się przydać na egzaminie lub olimpiadzie matematycznej. Sprawdź, czy nauczyłeś się korzystać z tej metody. Spróbuj samodzielnie rozwiązać następujący problem.

Rozłóż wielomian na czynniki:

Wpisz swoje odpowiedzi w komentarzach.

Przygotowane przez Siergieja Waleriewicza

Faktoryzacja wielomianów jest identycznym przekształceniem, w wyniku którego wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Branie w nawias wspólnego czynnika.

Ta transformacja jest oparta na rozdzielczym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota przekształcenia polega na wyodrębnieniu czynnika wspólnego w dwóch rozważanych składnikach i „wykreśleniu go” z nawiasów.

Rozłóżmy na czynniki wielomian 28x 3 - 35x 4.

Rozwiązanie.

1. Znajdujemy wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 - x 3. Innymi słowy, naszym wspólnym dzielnikiem jest 7x3.

2. Przedstawiamy każdy z elementów jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Branie w nawias wspólnego czynnika
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Korzystanie ze skróconych wzorów mnożenia. „Mistrem” opanowania tej metody jest zauważenie w wyrażeniu jednego ze wzorów na skrócone mnożenie.

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 - 1.

Rozwiązanie.

1 DO dane wyrażenie możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, reprezentujemy x 6 jako (x 3) 2, a 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie przyjmie postać:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę sześcianów:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składowych wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonać działania (dodawanie, odejmowanie, usuwanie wspólnego czynnika).

Rozkładamy wielomian na czynniki x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupuj elementy w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu usuwamy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Wyciągamy wspólny czynnik x - 3 i otrzymujemy:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Więc,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Naprawmy materiał.

Rozłóż wielomian na czynniki a 2 - 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Jednomian 7ab przedstawiamy jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie przyjmie postać:
za 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
za 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Pogrupuj składowe wielomianu w następujący sposób: pierwszy z drugim, a trzeci z czwartym. Otrzymujemy:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d za (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Więc,
za 2 - 7ab + 12b 2 =
= za 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Rozkładanie wielomianu na czynniki. Część 1

Faktoryzacja jest uniwersalną techniką, która pomaga rozwiązać złożone równania i nierówności. Pierwszą myślą, która powinna przyjść do głowy podczas rozwiązywania równań i nierówności, w których prawa strona jest równa zeru, jest próba rozłożenia lewej strony na czynniki.

Wymieniamy główne sposoby rozkładania wielomianu na czynniki:

• wyjmując wspólny czynnik z nawiasu
• stosowanie skróconych wzorów mnożenia
• według wzoru na faktoring trójmianu kwadratowego
• metoda grupowania
• dzielenie wielomianu przez dwumian
• metoda współczynników nieokreślonych

W tym artykule szczegółowo omówimy pierwsze trzy metody, pozostałe zostaną omówione w kolejnych artykułach.

1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasu.

Aby wyjąć wspólny czynnik z nawiasu, musisz go najpierw znaleźć. Wspólny współczynnik mnożnika jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi wszystkich współczynników.

Część listowa wspólny czynnik jest równy iloczynowi wyrażeń tworzących każdy termin z najmniejszym wykładnikiem.

Schemat usuwania wspólnego czynnika wygląda następująco:

Uwaga!
Liczba terminów w nawiasach jest równa liczbie terminów w oryginalnym wyrażeniu. Jeśli jeden z terminów pokrywa się ze wspólnym czynnikiem, to dzieląc go przez wspólny czynnik, otrzymujemy jeden.

Przykład 1

Rozłóż wielomian na czynniki:

Wyciągnijmy wspólny czynnik z nawiasów. Aby to zrobić, najpierw go znajdujemy.

1. Znajdź największy wspólny dzielnik wszystkich współczynników wielomianu, tj. liczby 20, 35 i 15. Jest równa 5.

2. Ustalamy, że zmienna jest zawarta we wszystkich wyrazach, a najmniejszy z jej wykładników to 2. Zmienna jest zawarta we wszystkich wyrazach, a najmniejszy z jej wykładników to 3.

Zmienna jest zawarta tylko w drugim członie, więc nie jest częścią wspólnego czynnika.

Więc wspólny czynnik jest

3. Wyciągamy czynnik, korzystając z powyższego schematu:

Przykład 2 Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie. Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania. Wyjmijmy czynnik z nawiasów:

Otrzymaliśmy więc równanie

Ustaw każdy czynnik na zero:

Otrzymujemy - pierwiastek pierwszego równania.

Korzenie:

Odpowiedź: -1, 2, 4

2. Rozkład na czynniki za pomocą skróconych wzorów mnożenia.

Jeśli liczba wyrazów w wielomianie, który zamierzamy rozłożyć na czynniki, jest mniejsza lub równa trzem, wówczas próbujemy zastosować zredukowane wzory mnożenia.

1. Jeśli wielomian jestróżnica dwóch wyrazów, wtedy staramy się zastosować wzór na różnicę kwadratów:

Lub wzór na różnicę sześcianów:

Oto litery i oznaczają liczbę lub wyrażenie algebraiczne.

2. Jeśli wielomian jest sumą dwóch wyrazów, być może można go rozłożyć na czynniki wzory na sumę sześcianów:

3. Jeśli wielomian składa się z trzech wyrazów, wówczas próbujemy go zastosować formuła sumy kwadratów:

Lub wzór na kwadrat różnicy:

Albo próbujemy rozłożyć na czynniki wzór na faktoring trójmianu kwadratowego:

Tutaj i są pierwiastkami równania kwadratowego

Przykład 3Rozkładając wyrażenie:

Rozwiązanie. Mamy sumę dwóch wyrazów. Spróbujmy zastosować wzór na sumę sześcianów. Aby to zrobić, musisz najpierw przedstawić każdy termin jako sześcian jakiegoś wyrażenia, a następnie zastosować wzór na sumę kostek:

Przykład 4 Rozkładając wyrażenie:

Rozwiązanie. Przed nami różnica kwadratów dwóch wyrażeń. Pierwsze wyrażenie: , drugie wyrażenie:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

Otwórzmy nawiasy i podajmy podobne wyrazy, otrzymamy: