Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.
Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 - d 4 to a 3 - b n + h 5 - re 4 .
Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.
Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .
Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.
Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.
Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .
Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.
Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.
Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Mnożenie mocy
Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.
Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.
Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y
Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .
Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.
Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.
Zatem a n .a m = a m+n .
Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;
A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;
Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.
Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki są - negatywny.
1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. za -n .a m = za m-n .
Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy
Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.
Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.
Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .
Podział władzy
Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.
Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .
Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 , za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..
Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.
A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.
Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami
1. Zmniejsz wykładniki w $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Zmniejsz wykładniki w $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.
3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .
4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.
5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.
6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).
7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .
8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.
9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.
Lekcja na temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg o tych samych i różnych wykładnikach. Przykłady”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Podręcznik Makaryczewy do podręcznika A.G. Mordkowicz
Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczby.
Na początek przypomnijmy sobie pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie takie jak $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ można przedstawić jako $a^n$.
Odwrotność jest również prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ta równość nazywana jest „zapisywaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam ustalić, jak mnożyć i dzielić potęgi.
Pamiętać:
A- podstawa stopnia.
N- wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę A wzięte raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n=0, wtedy $a^0= 1$.
Dlaczego tak się dzieje, możemy się dowiedzieć, gdy zapoznamy się z zasadami mnożenia i dzielenia potęg.
zasady mnożenia
a) Jeśli potęgi o tej samej podstawie zostaną pomnożone.Do $a^n * a^m$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Rysunek pokazuje, że liczba A wziąłem n+m razy, wtedy $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę podczas podnoszenia liczby do dużej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Jeśli potęgi są mnożone przez inną podstawę, ale ten sam wykładnik.
Do $a^n * b^n$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy wynikowe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Więc $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
zasady podziału
a) Podstawa stopnia jest taka sama, wykładniki są różne.Rozważ podzielenie stopnia z większym wykładnikiem przez podzielenie stopnia z mniejszym wykładnikiem.
Więc to jest konieczne $\frac(a^n)(a^m)$, Gdzie n>m.
Stopnie zapisujemy jako ułamek:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Dla wygody zapiszemy dzielenie jako ułamek zwykły.Skróćmy teraz ułamek.
Okazuje się, że: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację z podniesieniem liczby do potęgi zero. Załóżmy, że n=m, to $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Podstawy stopnia są różne, wskaźniki są takie same.
Powiedzmy, że potrzebujesz $\frac(a^n)( b^n)$. Zapisujemy potęgi liczb jako ułamek:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Wyobraźmy sobie dla wygody.
Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy duży ułamek na iloczyn małych, otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Pierwszy poziom
Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)
Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie ich potrzebujesz? Dlaczego warto poświęcić czas na ich studiowanie?
Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą, jak wykorzystać swoją wiedzę Życie codzienne przeczytaj ten artykuł.
I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do sukcesu przejeżdżając przez OGE lub Jednolity Egzamin Państwowy i dostać się na wymarzoną uczelnię.
Chodźmy, chodźmy!)
Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz bełkot, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij klawisze CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (w systemie Mac).
PIERWSZY POZIOM
Potęgowanie jest tą samą operacją matematyczną, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.
Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem w bardzo przystępny sposób proste przykłady. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.
Zacznijmy od dodawania.
Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.
Teraz mnożenie.
Ten sam przykład z colą można zapisać w inny sposób: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób na ich szybsze „liczenie”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób ten sam numer butelki coli i wymyślił technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, uważa się to za łatwiejsze i szybsze niż.
Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…
Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.
I jeszcze jeden, ładniejszy:
I co jeszcze sprytne sztuczki leniwi matematycy wymyślili rachunki? Prawidłowy - podniesienie liczby do potęgi.
Podnoszenie liczby do potęgi
Jeśli musisz pomnożyć liczbę przez siebie pięć razy, matematycy twierdzą, że musisz podnieść tę liczbę do piątej potęgi. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do piątej potęgi to jest. I takie problemy rozwiązują w myślach - szybciej, łatwiej i bezbłędnie.
Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.
Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat liczby i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.
Przykład z życia wzięty nr 1
Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.
Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach metry na metry. Basen jest na twoim podwórku. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale… basen bez dna! Konieczne jest pokrycie dna basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać obszar dna basenu.
Możesz po prostu policzyć, szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli twoje płytki są metr po metrze, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Ale gdzie widziałeś taką płytkę? Płytka będzie raczej centymetr po centymetrze, a potem męczy cię „liczenie palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Tak więc po jednej stronie dna basenu zmieścimy kafelki (sztuki), a po drugiej również kafelki. Mnożąc przez, otrzymujesz kafelki ().
Czy zauważyłeś, że pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie, aby określić powierzchnię dna basenu? Co to znaczy? Ponieważ ta sama liczba jest mnożona, możemy zastosować technikę potęgowania. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach Dla egzaminu jest to bardzo ważne).
Tak więc trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Lub możesz powiedzieć, że trzydzieści do kwadratu będzie. Innymi słowy, drugą potęgę liczby można zawsze przedstawić jako kwadrat. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.
Przykład z życia wzięty nr 2
Oto zadanie dla Ciebie, policz ile pól jest na szachownicy za pomocą kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, musisz pomnożyć osiem przez osiem lub… jeśli to zauważysz Szachownica jest kwadratem o boku, to możesz podnieść ósemkę do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?
Przykład z życia nr 3
Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Objętości i ciecze, nawiasem mówiąc, są mierzone w metry sześcienne. Nieoczekiwanie, prawda?) Narysuj basen: dolny jeden metr i głęboki na metr i spróbuj obliczyć, ile sześcianów łącznie metr po metrze wejdzie do twojego basenu.
Po prostu wskaż palcem i policz! Raz, dwa, trzy, cztery… dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy… Ile wyszło? Nie zgubiłeś się? Czy trudno jest policzyć palcem? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość puli będzie równa kostkom… Łatwiej, prawda?
A teraz wyobraź sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, jeśli to zbyt łatwo upraszczają. Zredukowałem wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są sobie równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie… A co to oznacza? Oznacza to, że możesz użyć stopnia. A więc to, co kiedyś policzyłeś palcem, robią jednym ruchem: trzy w kostce równa się. Jest napisane tak:
Pozostałości tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś tak samo leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz liczyć na palcach.
Cóż, żeby cię w końcu przekonać, że stopnie zostały wymyślone przez próżniaków i przebiegłych ludzi, aby je rozwiązać problemy życiowe, a nie stwarzać Ci problemów, oto jeszcze kilka przykładów z życia.
Przykład z życia #4
Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy twój milion na początku każdego roku podwaja się. Ile będziesz miał pieniędzy za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało przez kolejne dwa, w trzecim roku... Stop! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez siebie raz. Więc dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto szybciej policzy, dostanie te miliony… Czy warto pamiętać stopnie liczb, co o tym sądzisz?
Przykład z życia wzięty nr 5
Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz o dwa więcej za każdy milion. To świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile będziesz miał pieniędzy za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Więc czwarta potęga to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.
Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się dalej, co możesz zrobić ze stopniami i co musisz o nich wiedzieć.
Terminy i pojęcia… żeby się nie pomylić
A więc najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste - jest to liczba, która jest „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania ...
Cóż, w tym samym czasie, co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba, która znajduje się na dole, u podstawy.
Oto zdjęcie dla pewności.
No i w ogólna perspektywa aby uogólnić i lepiej zapamiętać ... Stopień z podstawą „” i wykładnikiem „” odczytuje się jako „do stopnia” i zapisuje się w następujący sposób:
Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym
Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest Liczba naturalna. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia przy wymienianiu przedmiotów: jeden, dwa, trzy… Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „zero przecinek pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, co to za liczby?
Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych (czyli wzięte ze znakiem minus) oraz liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia - wtedy nie ma nic. A co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim w celu oznaczenia długów: jeśli masz saldo w telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.
Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak do nich doszło, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie mają wystarczającej liczby liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne… Ciekawe, prawda?
Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.
Streszczenie:
Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli całkowita i dodatnia).
- Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa samej sobie:
- Podniesienie liczby do kwadratu to pomnożenie jej przez siebie:
- Sześcian liczby to trzykrotne pomnożenie jej samej przez siebie:
Definicja. Aby podnieść liczbę do potęgi naturalnej, należy pomnożyć ją przez siebie razy:
.
Właściwości stopnia
Skąd wzięły się te właściwości? Pokażę ci teraz.
Zobaczmy, co jest I ?
A-priorytet:
Ile jest łącznie mnożników?
To bardzo proste: dodaliśmy czynniki do czynników, a wynikiem są czynniki.
Ale z definicji jest to stopień liczby z wykładnikiem, czyli: , który należało udowodnić.
Przykład: Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie:
Przykład: Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie: Warto zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być ten sam powód!
Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:
tylko dla produktów potęg!
W żadnym wypadku nie powinieneś tak pisać.
2. to znaczy -ta potęga liczby
Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:
Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to th potęga liczby:
W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:
Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać?
Ale to nieprawda, naprawdę.
Stopień z ujemną podstawą
Do tego momentu omawialiśmy tylko, jaki powinien być wykładnik.
Ale co powinno być podstawą?
W stopniach od wskaźnik naturalny podstawa może być Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.
Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?
Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ? Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.
Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez, okazuje się.
Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Czy udało Ci się?
Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że \u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni.
No chyba, że podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).
Przykład 6) nie jest już taki prosty!
6 praktycznych przykładów
Analiza rozwiązania 6 przykładów
Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów! Otrzymujemy:
Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały zamienione, reguła mogłaby obowiązywać.
Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.
Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach.
Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!
Wróćmy do przykładu:
I znowu formuła:
cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „”) i liczbę.
Dodatnia liczba całkowita, i nie różni się niczym od naturalnego, to wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.
Teraz spójrzmy na nowe przypadki. Zacznijmy od wskaźnika równego.
Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:
Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?
Rozważmy pewną moc z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:
Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Właśnie, wł. Oznacza.
To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:
Powtórzmy regułę:
Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.
Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).
Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, jak bardzo pomnożysz zero przez siebie, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do stopnia zerowego, musi być równa. Więc jaka jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko dzielić przez zero, ale także podnosić go do potęgi zerowej.
Idźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co poprzednio: mnożymy pewną liczbę normalną przez to samo w stopniu ujemnym:
Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:
Teraz rozszerzymy wynikową regułę w dowolnym stopniu:
Sformułujmy więc regułę:
Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie podstawa nie może być pusta:(bo nie da się podzielić).
Podsumujmy:
I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.
II. Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .
III. Liczba, która nie jest równa zero do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Cóż, jak zwykle, przykłady niezależnego rozwiązania:
Analiza zadań do samodzielnego rozwiązania:
Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!
Kontynuujmy rozszerzanie kręgu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.
Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?
Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są zresztą liczbami całkowitymi.
Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:
Podnieśmy obie strony równania do potęgi:
Teraz zapamiętaj zasadę „stopień do stopnia”:
Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?
To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia.
Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.
Oznacza to, że pierwiastek stopnia jest odwrotną operacją potęgowania: .
Okazało się, że. Oczywiście to szczególny przypadek można rozszerzyć: .
Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki zasadzie mocy do władzy:
Ale czy podstawą może być dowolna liczba? W końcu nie można wyodrębnić korzenia ze wszystkich liczb.
Nic!
Pamiętaj o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych!
A to oznacza, że \u200b\u200btakich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej z parzystym mianownikiem, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.
A co z ekspresją?
Ale tutaj pojawia się problem.
Liczbę można przedstawić jako inne, zredukowane ułamki, na przykład lub.
I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.
Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Ale gdy tylko zapiszemy wskaźnik w inny sposób, znowu mamy kłopoty: (to znaczy otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).
Aby uniknąć takich paradoksów, rozważ tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.
Więc jeśli:
- - Liczba naturalna;
- jest liczbą całkowitą;
Przykłady:
Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:
5 praktycznych przykładów
Analiza 5 przykładów do treningu
Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz będziemy analizować stopień z niewymiernym wykładnikiem.
Wszystkie zasady i właściwości stopni tutaj są dokładnie takie same jak dla stopni z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem
Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (to znaczy wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).
Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.
Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;
...zerowa moc- jest to niejako liczba pomnożona przez siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że \u200b\u200bsama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „liczba pusta” , a mianowicie liczba;
...ujemny wykładnik całkowity- to tak jakby jakiś " proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.
Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.
Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.
GDZIE JESTEŚMY PEWNI, ŻE POJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))
Na przykład:
Zdecyduj sam:
Analiza rozwiązań:
1. Zacznijmy od już zwykłej zasady podnoszenia stopnia do stopnia:
Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:
W tym przypadku,
Okazało się, że:
Odpowiedź: .
2. Doprowadzamy ułamki w wykładnikach do tej samej postaci: albo dziesiętnej, albo zwykłej. Otrzymujemy np.:
Odpowiedź: 16
3. Nic specjalnego, aplikuj regularne właściwości stopni:
POZIOM ZAAWANSOWANY
Definicja stopnia
Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:
- — podstawa stopnia;
- - wykładnik.
Stopień z naturalnym wykładnikiem (n = 1, 2, 3,...)
Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:
Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)
Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:
erekcja do zerowej mocy:
Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w jakimkolwiek stopniu to jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do tego stopnia jest tym.
Jeśli wykładnik jest liczba całkowita ujemna numer:
(bo nie da się podzielić).
Jeszcze raz o wartościach zerowych: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.
Przykłady:
Stopień z wykładnikiem wymiernym
- - Liczba naturalna;
- jest liczbą całkowitą;
Przykłady:
Właściwości stopnia
Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.
Zobaczmy: co jest i?
A-priorytet:
Tak więc po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący produkt:
Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:
co było do okazania
Przykład : Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie : .
Przykład : Uprość wyrażenie.
Rozwiązanie : Należy zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być na tej samej podstawie. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:
Inny ważna uwaga: ta zasada jest - tylko dla iloczynów potęg!
W żadnym wypadku nie powinienem tak pisać.
Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:
Przeorganizujmy to tak:
Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:
W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!
Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać? Ale to nieprawda, naprawdę.
Potęga o ujemnej podstawie.
Do tego momentu dyskutowaliśmy tylko o tym, co powinno być indeks stopień. Ale co powinno być podstawą? W stopniach od naturalny wskaźnik podstawa może być Jakikolwiek numer .
Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?
Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ?
Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.
Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.
I tak w nieskończoność: z każdym kolejnym mnożeniem znak będzie się zmieniał. Takie sformułowanie jest możliwe proste zasady:
- nawet stopień, - liczba pozytywny.
- Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
- Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
- Zero do dowolnej potęgi jest równe zeru.
Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.
W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że \u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).
Przykład 6) nie jest już taki prosty. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: czy? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, że, co oznacza, że podstawa mniej niż zero. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.
I znowu używamy definicji stopnia:
Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:
Przed demontażem ostatnia zasada Rzućmy okiem na kilka przykładów.
Oblicz wartości wyrażeń:
Rozwiązania :
Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów!
Otrzymujemy:
Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały odwrócone, można by zastosować regułę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.
Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:
Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie można tego zastąpić, zmieniając tylko jeden budzący zastrzeżenia minus dla nas!
Wróćmy do przykładu:
I znowu formuła:
A teraz ostatnia zasada:
Jak to udowodnimy? Oczywiście, jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy:
Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: suma okazała się mnożnikami. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:
Przykład:
Stopień z niewymiernym wykładnikiem
Oprócz informacji o stopniach dla średniego poziomu przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wskaźnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopnia z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem - w końcu z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).
Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do stopnia zerowego jest niejako liczbą pomnożoną przez samą siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła – zatem wynik jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, a mianowicie liczby; stopień z całkowitym ujemnym wskaźnikiem - to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.
Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z niewymiernym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny stworzony przez matematyków w celu rozszerzenia pojęcia stopnia na całą przestrzeń liczb.
Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.
Co więc robimy, gdy widzimy niewymierny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się go pozbyć! :)
Na przykład:
Zdecyduj sam:
| 1) | 2) | 3) |
Odpowiedzi:
- Zapamiętaj wzór na różnicę kwadratów. Odpowiedź: .
- Doprowadzamy ułamki do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
- Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:
PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWA FORMUŁA
Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:
Stopień z wykładnikiem całkowitym
stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. całkowita i dodatnia).
Stopień z wykładnikiem wymiernym
stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.
Stopień z niewymiernym wykładnikiem
wykładnik, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.
Właściwości stopnia
Cechy stopni.
- Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
- Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
- Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
- Zero jest równe dowolnej potędze.
- Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.
TERAZ MASZ SŁOWO...
Jak ci się podoba artykuł? Daj mi znać w komentarzach poniżej, czy ci się podobało, czy nie.
Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z właściwościami mocy.
Być może masz pytania. Lub sugestie.
Napisz w komentarzach.
I powodzenia na egzaminach!
Artykuły z nauk przyrodniczych i matematyki
Własności potęg o tej samej podstawie
Istnieją trzy właściwości potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Ten
- Praca suma
- Prywatny dwie potęgi o tej samej podstawie są równe wyrażeniu, w którym podstawa jest taka sama, a wykładnik jest równy różnica wskaźniki oryginalnych mnożników.
- Podnoszenie potęgi liczby do potęgi jest równe wyrażeniu, w którym podstawa jest tą samą liczbą, a wykładnik jest równy praca dwa stopnie.
Bądź ostrożny! Zasady dot Dodawanie i odejmowanie potęgi o tej samej podstawie nie istnieje.
Piszemy te reguły właściwości w postaci formuł:
- jestem? za n = za m + n
- jestem? za n = za m – n
- (am) n = a mn
Teraz przyjrzyjmy się im konkretne przykłady i spróbuj to udowodnić.
5 2? 5 3 = 5 5 - tutaj zastosowaliśmy regułę; a teraz wyobraź sobie, jak rozwiązalibyśmy ten przykład, gdybyśmy nie znali zasad:
5 2? 5 3 = 5? 5? 5? 5? 5 \u003d 5 5 - pięć do kwadratu to pięć razy pięć, a sześcian to iloczyn trzech piątek. Rezultatem jest iloczyn pięciu piątek, ale to jest coś innego niż pięć do potęgi piątej: 5 5 .
3 9? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapiszmy dzielenie jako ułamek:
Można to skrócić: 
W rezultacie otrzymujemy: 
W ten sposób udowodniliśmy, że dzieląc dwie potęgi o tych samych podstawach, należy odjąć ich wskaźniki.
Jednak podczas dzielenia nie jest możliwe, aby dzielnik był równy zeru (ponieważ nie można dzielić przez zero). Ponadto, ponieważ stopnie bierzemy pod uwagę tylko ze wskaźnikami naturalnymi, w wyniku odjęcia wskaźników nie możemy otrzymać liczby mniejszej niż 1. Zatem wzór a m ? a n = a m–n nakładane są ograniczenia: a ? 0 i m > n.
Przejdźmy do trzeciej właściwości:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Napiszmy w rozszerzonej formie:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Można dojść do tego wniosku i logicznie rozumować. Musisz pomnożyć dwa do kwadratu cztery razy. Ale w każdym kwadracie są dwie dwójki, więc w sumie będzie osiem dwójek.
naukaland.info
Zasady dodawania i odejmowania.
1. Od zmiany miejsc warunków suma się nie zmieni (przemienna właściwość dodawania)
13+25=38 można zapisać jako: 25+13=38
2. Wynik dodawania nie zmieni się, jeśli sąsiednie wyrazy zostaną zastąpione ich sumą (właściwość asocjacyjna dodawania).
10+13+3+5=31 można zapisać jako: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 itd.
3. Jednostki sumują się z jedynkami, dziesiątki z dziesiątkami i tak dalej.
34+11=45 (3 dziesiątki plus 1 dziesiątka; 4 jedności plus 1 jedynka).
4. Jednostki są odejmowane od jednostek, dziesiątki od dziesiątek itd.
53-12=41 (3 jednostki minus 2 jednostki; 5 dziesiątek minus 1 dziesiątka)
uwaga: 10 jednostek to jedna dziesiątka. Należy o tym pamiętać przy odejmowaniu, ponieważ jeśli liczba jednostek odejmowanej jest większa niż liczba jednostek zredukowanych, możemy „pożyczyć” jedną dziesiątkę od zredukowanej.
41-12 \u003d 29 (Aby odjąć 2 od 1, najpierw musimy „pożyczyć” jednostkę od dziesiątek, otrzymujemy 11-2 \u003d 9; pamiętaj, że zredukowana ma o 1 mniej mniej, dlatego jest to 3 dziesiątki i od niej odejmuje się 1 dziesiątkę. Odpowiedź 29).
5. Jeśli jeden z nich zostanie odjęty od sumy dwóch wyrazów, otrzymamy drugi wyraz.
Oznacza to, że dodawanie można sprawdzić za pomocą odejmowania.
Aby to sprawdzić, od sumy odejmuje się jeden z wyrazów: 49-7=42 lub 49-42=7
Jeśli w wyniku odejmowania nie otrzymałeś jednego z warunków, to w twoim dodaniu popełniono błąd.
6. Jeśli do różnicy dodasz odejmowanie, otrzymasz odcięcie.
Oznacza to, że odejmowanie można sprawdzić przez dodanie.
Aby to sprawdzić, dodaj odejmowanie do różnicy: 19+50=69.
Jeśli w wyniku opisanej powyżej procedury nie uzyskałeś zmniejszenia, oznacza to, że popełniłeś błąd w odejmowaniu.
Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
Ta lekcja dotyczy dodawania i odejmowania liczb wymiernych. Temat jest klasyfikowany jako złożony. Tutaj konieczne jest wykorzystanie całego arsenału zdobytej wcześniej wiedzy.
Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych obowiązują również dla liczb wymiernych. Przypomnij sobie, że liczby wymierne to liczby, które można przedstawić jako ułamek, gdzie A - jest licznikiem ułamka B jest mianownikiem ułamka. I B nie powinien być zerowy.
W tej lekcji będziemy coraz częściej odnosić się do ułamków zwykłych i liczb mieszanych jako jednego wspólnego wyrażenia - liczby wymierne.
Nawigacja po lekcji:
Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia
Każdą liczbę wymierną umieszczamy w nawiasie wraz z jej znakami. Bierzemy pod uwagę, że plus podany w wyrażeniu jest znakiem działania i nie dotyczy ułamków zwykłych. Ułamek ten ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny, ponieważ nie jest zapisany. Ale zapiszemy to dla jasności:
To jest dodawanie liczb wymiernych z różne znaki. Aby dodać liczby wymierne o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszy i umieścić przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Aby zrozumieć, który moduł jest większy, a który mniejszy, musisz być w stanie porównać moduły tych ułamków przed ich obliczeniem:
Moduł liczby wymiernej jest większy niż moduł liczby wymiernej. Dlatego odjęliśmy od . Mam odpowiedź. Następnie, zmniejszając ten ułamek o 2, otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
W razie potrzeby niektóre prymitywne czynności, takie jak umieszczanie liczb w nawiasach i umieszczanie modułów, można pominąć. Ten przykład można zapisać w krótszy sposób:
Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia
Każdą liczbę wymierną umieszczamy w nawiasie wraz z jej znakami. Bierzemy pod uwagę, że minus podany w wyrażeniu jest znakiem działania i nie dotyczy ułamka.
Ułamek w tym przypadku jest dodatni. Liczba wymierna, który ma znak plus, który jest niewidoczny. Ale zapiszemy to dla jasności:
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Przypomnij sobie, że w tym celu musisz dodać liczbę przeciwną do odejmowanej do miniend:
Otrzymaliśmy dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Aby dodać ujemne liczby wymierne, musisz dodać ich moduły i umieścić minus przed odpowiedzią:
Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia
W tym wyrażeniu ułamki różne mianowniki. Dla ułatwienia sobie sprowadźmy te ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika. Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić. Jeśli masz problemy, wróć do lekcji ułamków i powtórz ją.
Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika wyrażenie przyjmie następującą postać:
Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Mniejszy moduł odejmujemy od większego modułu i stawiamy znak przed otrzymaną odpowiedzią, której moduł jest większy:
Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia
Otrzymaliśmy sumę trzech wyrazów. Najpierw znajdź wartość wyrażenia, a następnie dodaj do otrzymanej odpowiedzi
Pierwsza akcja:
Druga akcja:
Zatem wartość wyrażenia jest równa.
Rozwiązanie dla ten przykład można zapisać krócej
Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia
Umieść każdą liczbę w nawiasie wraz z jej znakami. W tym celu tymczasowo rozszerzymy liczbę mieszaną
Obliczmy części całkowite:
W głównym wyrażeniu zamiast 
napisz wynikową jednostkę:
Przekształćmy wynikowe wyrażenie. W tym celu pomijamy nawiasy i zapisujemy jednostkę i ułamek razem
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:
Przykład 6 Znajdź wartość wyrażenia
Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. Przepiszmy resztę tak jak jest:
Każdą liczbę wymierną umieszczamy w nawiasie wraz z jej znakami:
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Otrzymaliśmy dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajmy moduły tych liczb i wstawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:
Zatem wartość wyrażenia wynosi .
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:
Przykład 7 Znajdź wyrażenie wartości
Zapiszmy liczbę mieszaną w postaci rozszerzonej. Przepiszmy resztę tak jak jest:
Każdą liczbę wymierną ujmuj w nawiasy wraz z jej znakami
Zastąpmy odejmowanie dodawaniem tam, gdzie to możliwe:
Obliczmy części całkowite:
W wyrażeniu głównym zamiast wpisywać wynikową liczbę? 7
Wyrażenie jest rozszerzoną formą zapisu liczby mieszanej. Możesz od razu zapisać odpowiedź, zapisując razem cyfry 7 i ułamek (ukrywając minus tego ułamka)
Zatem wartość wyrażenia wynosi
Rozwiązanie tego przykładu można napisać znacznie krócej. Jeśli pominiesz niektóre szczegóły, można to zapisać w następujący sposób:
Przykład 8 Znajdź wartość wyrażenia
To wyrażenie można obliczyć na dwa sposoby. Rozważmy każdy z nich.
Pierwszy sposób. Części całkowite i ułamkowe wyrażenia są obliczane oddzielnie.
Najpierw napiszmy liczby mieszane w postaci rozszerzonej:
Umieść każdą liczbę w nawiasie wraz z jej znakami:
Zastąpmy odejmowanie dodawaniem tam, gdzie to możliwe:
Otrzymaliśmy sumę kilku wyrazów. Zgodnie z prawem asocjacji dodawania, jeśli wyrażenie zawiera kilka wyrazów, to suma nie będzie zależała od kolejności działań. Umożliwi nam to oddzielne pogrupowanie części całkowitych i ułamkowych:
Obliczmy części całkowite:
W wyrażeniu głównym zamiast pisać liczbę wynikową? 3
Obliczmy części ułamkowe:
W głównym wyrażeniu zamiast pisać wynikową liczbę mieszaną
Aby obliczyć wynikowe wyrażenie, liczbę mieszaną należy tymczasowo rozwinąć, a następnie umieścić każdą liczbę w nawiasach i zastąpić odejmowanie dodawaniem. Należy to zrobić bardzo ostrożnie, aby nie pomylić znaków warunków.
Po przekształceniu wyrażenia mamy nowe wyrażenie, które jest łatwe do obliczenia. Podobne wyrażenie było w Przykładzie 7. Przypomnij sobie, że osobno dodaliśmy części całkowite, a część ułamkową pozostawiliśmy bez zmian:
Zatem wartość wyrażenia wynosi
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej
W krótkim rozwiązaniu pomijane są kroki polegające na umieszczaniu liczb w nawiasach, zamianie odejmowania na dodawanie, odkładaniu modułów. Jeśli uczysz się w szkole lub innej instytucja edukacyjna, będziesz musiał pominąć te prymitywne kroki, aby zaoszczędzić czas i miejsce. Powyższe krótkie rozwiązanie można zapisać jeszcze krócej. będzie wyglądać tak:
Dlatego będąc w szkole lub innej placówce oświatowej bądź przygotowany na to, że pewne czynności będą musiały zostać wykonane w umyśle.
Drugi sposób. Wyrażenia liczb mieszanych przekładają się na ułamki niewłaściwe i obliczane jak ułamki zwykłe.
W nawiasach umieść każdą liczbę wymierną wraz z jej znakami
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Teraz liczby mieszane i przełóż na ułamki niewłaściwe:
Otrzymaliśmy dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajmy ich moduły i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:
Dostałem taką samą odpowiedź jak ostatnio.
Szczegółowe rozwiązanie dla drugiego sposobu jest następujące:
Przykład 9 Znajdź wyrażenia wyrażenia 
Pierwszy sposób. Dodaj osobno części całkowite i ułamkowe.
Tym razem spróbujmy pominąć niektóre prymitywne czynności, takie jak pisanie wyrażenia w postaci rozwiniętej, umieszczanie liczb w nawiasach, zamiana odejmowania na dodawanie, wstawianie modułów:
Zauważ, że części ułamkowe zostały sprowadzone do wspólnego mianownika.
Drugi sposób. Konwertuj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i obliczaj jak zwykłe ułamki.
Przykład 10 Znajdź wartość wyrażenia 
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Otrzymane wyrażenie nie zawiera liczb ujemnych, które są główną przyczyną błędów. A ponieważ nie ma liczb ujemnych, możemy usunąć plus przed odjęciem, a także usunąć nawiasy. Otrzymujemy wtedy najprostsze wyrażenie, które łatwo obliczyć:
W tym przykładzie części całkowite i ułamkowe zostały obliczone oddzielnie.
Przykład 11. Znajdź wartość wyrażenia
Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Mniejszy moduł odejmujemy od większego modułu i stawiamy znak przed otrzymaną liczbą, której moduł jest większy:
Przykład 12. Znajdź wartość wyrażenia 
Wyrażenie składa się z kilku parametrów. Zgodnie z kolejnością działań, przede wszystkim musisz wykonać czynności w nawiasach.
Najpierw obliczamy wyrażenie , następnie dodajemy wyrażenie Otrzymane odpowiedzi są dodawane.
Pierwsza akcja:
Druga akcja:
Trzecia akcja:
Odpowiedź: wartość wyrażenia równa się
Przykład 13 Znajdź wartość wyrażenia 
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Otrzymane przez dodanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmij mniejszy moduł od większego i postaw przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Ale mamy do czynienia z liczbami mieszanymi. Aby zrozumieć, który moduł jest większy, a który mniejszy, musisz porównać moduły tych liczb mieszanych. Aby porównać moduły liczb mieszanych, musisz je zamienić na ułamki niewłaściwe i porównać jak zwykłe ułamki.
Poniższy rysunek przedstawia wszystkie kroki porównywania modułów liczb mieszanych
Wiedząc, który moduł jest większy, a który mniejszy, możemy kontynuować obliczenia naszego przykładu:
Stąd wartość wyrażenia równa się
Rozważ dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych, które są również liczbami wymiernymi i które mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne.
Przykład 14 Znajdź wartość wyrażenia?3,2 + 4,3
Każdą liczbę wymierną umieszczamy w nawiasie wraz z jej znakami. Bierzemy pod uwagę, że plus podany w wyrażeniu jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamka dziesiętnego 4.3. Ta dziesiętna ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny, ponieważ nie jest zapisany. Ale zapiszemy to dla jasności:
Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Aby dodać liczby wymierne o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszy i umieścić przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Aby zrozumieć, który moduł jest większy, a który mniejszy, musisz być w stanie porównać moduły tych ułamków dziesiętnych przed ich obliczeniem:
Moduł 4,3 jest większy niż moduł 3,2, więc odjęliśmy 3,2 od 4,3. Dostałem odpowiedź 1.1. Odpowiedź brzmi tak, ponieważ odpowiedź musi zawierać znak większego modułu, czyli modułu |+4,3|.
Zatem wartość wyrażenia ?3,2 + (+4,3) wynosi 1,1
Przykład 15 Znajdź wartość wyrażenia 3,5 + (?8,3)
Jest to dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Tak jak w poprzednim przykładzie odejmujemy mniejszy moduł od większego modułu i stawiamy znak przed odpowiedzią, której moduł jest większy
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Zatem wartość wyrażenia 3,5 + (?8,3) jest równa ?4,8
Ten przykład można zapisać krócej:
Przykład 16 Znajdź wartość wyrażenia?7,2 + (?3,11)
Jest to dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Aby dodać ujemne liczby wymierne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Zatem wartość wyrażenia a7,2 + (a3,11) wynosi a10,31
Ten przykład można zapisać krócej:
Przykład 17. Znajdź wartość wyrażenia?0,48 + (?2,7)
Jest to dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
Przykład 18. Znajdź wartość wyrażenia?4,9 ? 5.9
Każdą liczbę wymierną umieszczamy w nawiasie wraz z jej znakami. Bierzemy pod uwagę, że podany w wyrażeniu minus jest znakiem operacji i nie dotyczy ułamka dziesiętnego 5,9. Ta dziesiętna ma swój własny znak plus, który jest niewidoczny, ponieważ nie jest zapisany. Ale zapiszemy to dla jasności:
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Otrzymaliśmy dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodaj ich moduły i wstaw minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Zatem wartość wyrażenia ?4,9 ? 5,9 równa się 10,8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Przykład 19. Znajdź wartość wyrażenia 7 ? 9.3
Umieść każdą liczbę w nawiasie wraz z jej znakami
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie
Otrzymaliśmy dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmij mniejszy moduł od większego i postaw przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Zatem wartość wyrażenia 7 ? 9,3 równa się 2,3
Szczegółowe rozwiązanie tego przykładu jest napisane w następujący sposób:
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:
Przykład 20. Znajdź wartość wyrażenia?0,25 ? (?1,2)
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Otrzymaliśmy dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Odejmujemy mniejszy od większego i stawiamy znak przed odpowiedzią, której moduł jest większy:
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Szczegółowe rozwiązanie tego przykładu jest napisane w następujący sposób:
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Krótkie rozwiązanie wyglądałoby tak:
Przykład 21. Znajdź wartość wyrażenia?3,5 + (4,1 ? 7,1)
W pierwszej kolejności wykonamy czynności w nawiasach, następnie dodamy otrzymaną odpowiedź wraz z numerem ?3.5. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażeń.
Pierwsza akcja:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
Druga akcja:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Odpowiedź: wartość wyrażenia ?3,5 + (4,1 ? 7,1) wynosi ?6,5.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
Przykład 22. Znajdź wartość wyrażenia (3,5 ? 2,9) ? (3,7 x 9,1)
Wykonajmy działania w nawiasach, a następnie od liczby, która okazała się w wyniku wykonania pierwszych nawiasów, odejmijmy liczbę, która okazała się w wyniku wykonania drugich nawiasów. Pomińmy wpis z modułami, żeby nie zaśmiecać wyrażeń.
Pierwsza akcja:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
Druga akcja:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
Akt trzeci
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Odpowiedź: wartość wyrażenia (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) równa się 6.
Krótkie rozwiązanie tego przykładu można zapisać w następujący sposób:
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
Przykład 23. Znajdź wartość wyrażenia?3,8 + 17,15 ? 6,2? 6.15
W nawiasach umieść każdą liczbę wymierną wraz z jej znakami
W miarę możliwości zastąp odejmowanie dodawaniem
Wyrażenie składa się z kilku terminów. Zgodnie z asocjacyjnym prawem dodawania, jeśli wyrażenie składa się z kilku wyrazów, suma nie będzie zależała od kolejności działań. Oznacza to, że terminy można dodawać w dowolnej kolejności.
Nie wymyślimy koła na nowo, ale dodamy wszystkie terminy od lewej do prawej w kolejności, w jakiej się pojawiają:
Pierwsza akcja:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
Druga akcja:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
Trzecia akcja:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Odpowiedź: wartość wyrażenia 3,8 + 17,15 ? 6,2? 6,15 równa się 1.
Krótkie rozwiązanie tego przykładu można zapisać w następujący sposób:
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Krótkie decyzje tworzą mniej problemów i zamieszanie, dlatego wskazane jest, aby się do nich przyzwyczaić.
Przykład 24. Znajdź wartość wyrażenia
Zamieńmy ułamek dziesiętny 1,8 na liczbę mieszaną. Resztę napiszemy tak jak jest. Jeśli masz trudności z zamianą ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną, koniecznie powtórz lekcję dziesiętne.
Przykład 25. Znajdź wartość wyrażenia 
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Po drodze zamienimy ułamek dziesiętny (? 4,4) na ułamek niewłaściwy
W wynikowym wyrażeniu nie ma liczb ujemnych. A ponieważ nie ma liczb ujemnych, możemy usunąć plus przed drugą liczbą i pominąć nawiasy. Otrzymujemy wówczas proste wyrażenie dodawania, które można łatwo rozwiązać
Przykład 26. Znajdź wartość wyrażenia 
Zamieńmy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a ułamek dziesiętny 0,85 na zwykły. Dostawać następujące wyrażenie:
Otrzymaliśmy dodawanie ujemnych liczb wymiernych. Dodajemy ich moduły i stawiamy znak minus przed otrzymaną odpowiedzią. Możesz pominąć wpis z modułami, aby uniknąć zaśmiecania wyrażenia:
Przykład 27. Znajdź wartość wyrażenia 
Zamień oba ułamki na ułamki niewłaściwe. Aby zamienić ułamek dziesiętny 2,05 na ułamek niewłaściwy, możesz najpierw zamienić go na liczbę mieszaną, a następnie na ułamek niewłaściwy:
Po zamianie obu ułamków na ułamki niewłaściwe otrzymujemy następujące wyrażenie:
Otrzymaliśmy dodawanie liczb wymiernych o różnych znakach. Mniejszy moduł odejmujemy od większego modułu i przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak, którego moduł jest większy:
Przykład 28. Znajdź wartość wyrażenia
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Zamieńmy ułamek dziesiętny na zwykły
Przykład 29. Znajdź wartość wyrażenia 
Zamień ułamki dziesiętne 0,25 i 1,25 na ułamki zwykłe, resztę zostaw tak jak jest. Otrzymujemy następujące wyrażenie:
Tam, gdzie to możliwe, możesz najpierw zastąpić odejmowanie dodawaniem i dodawać liczby wymierne jedna po drugiej. Jest druga opcja: najpierw dodaj liczby wymierne i , a następnie odejmij liczbę wymierną od otrzymanej liczby. Skorzystamy z tej opcji.
Pierwsza akcja:
Druga akcja:
Odpowiedź: wartość wyrażenia równa?2.
Przykład 30. Znajdź wartość wyrażenia
Zamień ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe. Resztę zostawmy jak jest.
Otrzymaliśmy sumę kilku wyrazów. Jeśli suma składa się z kilku wyrazów, to wyrażenie można oceniać w dowolnej kolejności. Wynika to z asocjacyjnego prawa dodawania.
Dlatego możemy zorganizować najdogodniejszą dla nas opcję. Przede wszystkim możesz dodać pierwszy i ostatni wyraz, a mianowicie liczby wymierne i . Te liczby mają same mianowniki, co oznacza, że uwolni nas od konieczności ich sprowadzania.
Pierwsza akcja:
Otrzymaną liczbę można dodać do drugiego wyrazu, czyli liczby wymiernej. Liczby wymierne mają takie same mianowniki w częściach ułamkowych, co znowu jest dla nas zaletą
Druga akcja:
No to dodajmy wynikową liczbę ?7 z ostatnim wyrazem, czyli z liczbą wymierną. Wygodne jest, aby przy obliczaniu tego wyrażenia siódemki zniknęły, to znaczy ich suma będzie równa zeru, ponieważ suma liczb przeciwnych jest równa zeru
Trzecia akcja:
Odpowiedź: wartość wyrażenia to
Podobała ci się lekcja?
Dołączć do naszego Nowa grupa Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych
W tej lekcji nauczymy się dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, a także zasady ich dodawania i odejmowania.
Przypomnij sobie, że liczby całkowite to wszystkie liczby dodatnie i ujemne, a także liczba 0. Na przykład następujące liczby są liczbami całkowitymi:
Liczby dodatnie można łatwo dodawać i odejmować, mnożyć i dzielić. Niestety nie można tego powiedzieć o liczbach ujemnych, które mylą wielu początkujących z ich minusami przed każdą cyfrą. Jak pokazuje praktyka, błędy popełniane z powodu liczb ujemnych najbardziej denerwują uczniów.
Przykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych
Pierwszą rzeczą, której należy się nauczyć, jest dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych za pomocą osi współrzędnych. Nie jest konieczne rysowanie linii współrzędnych. Wystarczy wyobrazić sobie to w myślach i zobaczyć, gdzie znajdują się liczby ujemne, a gdzie dodatnie.
Rozważ najprostsze wyrażenie: 1 + 3. Wartość tego wyrażenia wynosi 4:
Ten przykład można zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przesunąć się o trzy kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 4. Na rysunku możesz zobaczyć, jak to się dzieje:
Znak plus w wyrażeniu 1 + 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Przykład 2 Znajdźmy wartość wyrażenia 1 ? 3.
Wartość tego wyrażenia wynosi?2
Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przesunąć się o trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się liczba ujemna ?2. Rysunek pokazuje, jak to się dzieje:
Znak minus w wyrażeniu 1? 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.
Ogólnie musimy pamiętać, że jeśli przeprowadzane jest dodawanie, musimy przesunąć się w prawo w kierunku wzrostu. Jeśli przeprowadzane jest odejmowanie, musisz przesunąć się w lewo w kierunku zmniejszania.
Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 4
Wartość tego wyrażenia wynosi 2
Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna ?2, musisz przesunąć się o cztery kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.
Widać, że przesunęliśmy się od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna 2 w prawo, o cztery kroki i znaleźliśmy się w miejscu, w którym znajduje się liczba 2 dodatnia.
Znak plus w wyrażeniu ?2 + 4 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia?1 ? 3
Wartość tego wyrażenia wynosi?4
Ten przykład można ponownie rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna?1, musisz przesunąć się o trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się liczba ujemna? 4
Widać, że przesunęliśmy się od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna ?1, w lewo o trzy kroki i znaleźliśmy się w miejscu, w którym znajduje się liczba ujemna ?4.
Znak minus w wyrażeniu?1 ? 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.
Przykład 5 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 2
Wartość tego wyrażenia wynosi 0
Ten przykład można rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna ?2, musisz przesunąć się o dwa kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 0
Widać, że przesunęliśmy się od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna ?2, w prawo o dwa kroki i skończyliśmy w miejscu, w którym znajduje się liczba 0.
Znak plus w wyrażeniu ?2 + 2 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.
Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych
Aby obliczyć to lub inne wyrażenie, nie trzeba za każdym razem wyobrażać sobie linii współrzędnych, nie mówiąc już o jej rysowaniu. Wygodniej jest korzystać z gotowych reguł.
Stosując zasady, należy zwrócić uwagę na znak operacji oraz znaki liczb, które należy dodać lub odjąć. To określi, którą regułę zastosować.
Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia?2 + 5
Tutaj liczba dodatnia jest dodawana do liczby ujemnej. Innymi słowy, przeprowadzane jest dodawanie liczb o różnych znakach. ?2 jest ujemne, a 5 jest dodatnie. W takich przypadkach przewidziana jest następująca zasada:
Zobaczmy więc, który moduł jest większy:
Czy moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby ?2. Reguła wymaga odjęcia mniejszego modułu od większego modułu. Dlatego musimy odjąć 2 od 5, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak, którego moduł jest większy.
Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby będzie w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź będzie pozytywna:
Czy zwykle pisze się krócej? 2 + 5 = 3
Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia 3 + (?2)
Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, przeprowadzane jest dodawanie liczb o różnych znakach. 3 jest liczbą dodatnią, a ?2 jest liczbą ujemną. Zwróć uwagę, że liczba?2 jest ujęta w nawiasy, aby wyrażenie było jaśniejsze i ładniejsze. To wyrażenie jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia niż wyrażenie 3+?2.
Stosujemy więc zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie odejmujemy mniejszy moduł od większego modułu i stawiamy znak przed odpowiedzią, której moduł jest większy:
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
Moduł liczby 3 jest większy niż moduł liczby ?2, więc od 3 odejmujemy 2 i stawiamy znak modułu, który jest większy, przed otrzymaną odpowiedzią. Liczba 3 ma większy moduł, więc znak tej liczby jest umieszczany w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź brzmi: tak.
Zwykle pisane krócej 3 + (? 2) = 1
Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia 3 ? 7
W tym wyrażeniu większa liczba jest odejmowana od mniejszej liczby. W takim przypadku przewidziana jest następująca reguła:
Aby odjąć większą liczbę od mniejszej liczby, więcej odejmij mniejszą i wstaw minus przed odpowiedzią.
W tym wyrażeniu jest lekki szkopuł. Przypomnij sobie, że znak równości (=) jest umieszczany między wartościami i wyrażeniami, gdy są sobie równe.
Wartość wyrażenia 3 ? 7 skąd znaliśmy równych?4. Oznacza to, że wszelkie przekształcenia, które wykonamy w tym wyrażeniu, muszą być równe?4
Ale widzimy, że drugi etap zawiera wyrażenie 7 ? 3, co nie jest równe?4.
Aby zaradzić tej sytuacji, wyrażenie 7 ? 3 należy umieścić w nawiasie i umieścić minus przed tym nawiasem:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
W takim przypadku równość będzie przestrzegana na każdym etapie:
Po obliczeniu wyrażenia nawiasy można usunąć, co zrobiliśmy.
Aby być bardziej precyzyjnym, rozwiązanie powinno wyglądać tak:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Tę regułę można zapisać za pomocą zmiennych. będzie wyglądać tak:
A? b=? (b? a)
Duża liczba nawiasów i znaków operacji może skomplikować rozwiązanie pozornie bardzo prostego zadania, dlatego bardziej celowe jest nauczenie się krótkiego pisania takich przykładów, na przykład 3 ? 7=? 4.
W rzeczywistości dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do samego dodawania. Co to znaczy? Oznacza to, że jeśli chcesz odjąć liczby, tę operację można zastąpić dodawaniem.
Zapoznajmy się zatem z nową zasadą:
Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odliczania liczby, która będzie przeciwieństwem odejmowanej liczby.
Rozważmy na przykład najprostsze wyrażenie 5 ? 3. Wł wczesne stadia ucząc się matematyki, po prostu stawialiśmy znak równości i zapisywaliśmy odpowiedź:
Ale teraz robimy postępy w nauce, więc musimy dostosować się do nowych zasad. Nowa zasada mówi, że odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do oddzielenia liczby, która będzie przeciwieństwem odejmowanej liczby.
Na przykładzie wyrażenia 5?3 spróbujmy zrozumieć tę regułę. W tym wyrażeniu zmniejszono 5, a odjęto 3. Reguła mówi, że aby od 5 odjąć 3, należy dodać do 5 liczbę, która będzie przeciwna do 3. Liczba przeciwna do liczby 3 jest? 3. Piszemy nowe wyrażenie:
I już wiemy, jak znaleźć wartości dla takich wyrażeń. Jest to dodawanie liczb o różnych znakach, które omówiliśmy powyżej. Aby dodać liczby o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszy, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak, którego moduł jest większy:
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
Czy moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby ?3. Dlatego odjęliśmy 3 od 5 i otrzymaliśmy 2. Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby został umieszczony w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.
Na początku nie każdemu udaje się szybko zastąpić odejmowanie dodawaniem. Wynika to z faktu, że liczby dodatnie są pisane bez znaku plusa.
Na przykład w wyrażeniu 3 ? Znak minus 1 oznaczający odejmowanie jest znakiem operacji i nie odnosi się do jednego. Jednostką w tym przypadku jest liczba dodatnia i ma ona swój własny znak plus, ale go nie widzimy, ponieważ plusa tradycyjnie nie pisze się przed liczbami dodatnimi.
A tak dla jasności dane wyrażenie można zapisać w następujący sposób:
Dla ułatwienia liczby wraz z ich znakami umieszczono w nawiasach. W takim przypadku zastąpienie odejmowania dodawaniem jest znacznie łatwiejsze. Odejmowana jest w tym przypadku liczba (+1) i liczba przeciwna (?1). Zamieńmy operację odejmowania na dodawanie i zamiast odejmowania (+1) wpisujemy liczbę przeciwną (? 1)
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
Na pierwszy rzut oka wydawałoby się, jaki jest sens tych dodatkowych gestów, jeśli można użyć starej, dobrej metody, aby postawić znak równości i natychmiast zapisać odpowiedź 2. W rzeczywistości ta zasada pomoże nam nie raz.
Rozwiążmy poprzedni przykład 3 ? 7 stosując regułę odejmowania. Najpierw doprowadzamy wyrażenie do postaci normalnej, umieszczając każdą liczbę z jej znakami. Trzy ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią. Minus oznaczający odejmowanie nie dotyczy siódemki. Siedem ma znak plus, ponieważ jest to również liczba dodatnia:
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
Dalsze obliczenia nie są trudne:
Przykład 7 Znajdź wartość wyrażenia?4 ? 5
Przed nami znowu operacja odejmowania. Tę operację należy zastąpić dodawaniem. Do pomniejszonego (?4) dodajemy liczbę przeciwną do odejmowanej (+5). przeciwny numer dla odejmowania (+5) jest to liczba (?5).
Doszliśmy do sytuacji, w której musimy dodać liczby ujemne. W takich przypadkach przewidziana jest następująca zasada:
Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i umieścić minus przed otrzymaną odpowiedzią.
Dodajmy więc moduły liczb, tak jak nakazuje nam reguła, i wstawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Wpis z modułami należy ująć w nawiasy kwadratowe i przed tymi nawiasami postawić minus. Podajemy więc minus, który powinien pojawić się przed odpowiedzią:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:
Przykład 8 Znajdź wartość wyrażenia?3 ? 5? 7? 9
Doprowadźmy wyrażenie do zrozumiały. Tutaj wszystkie liczby z wyjątkiem liczby ?3 są dodatnie, więc będą miały znaki plus:
Zastąpmy operacje odejmowania operacjami dodawania. Wszystkie minusy (z wyjątkiem minusa, który znajduje się przed trójką) zmienią się w plusy, a wszystkie liczby dodatnie zmienią się w przeciwieństwo:
Teraz zastosuj regułę dodawania liczb ujemnych. Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i umieścić minus przed otrzymaną odpowiedzią:
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać krócej:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
Przykład 9 Znajdź wartość wyrażenia?10 + 6 ? 15 + 11? 7
Doprowadźmy wyrażenie do jasnej postaci:
Są tu dwie operacje: dodawanie i odejmowanie. Pozostawiamy dodawanie bez zmian i zastępujemy odejmowanie dodawaniem:
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Zgodnie z kolejnością czynności wykonamy każdą akcję po kolei, w oparciu o wcześniej przestudiowane zasady. Wpisy z modułami można pominąć:
Pierwsza akcja:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
Druga akcja:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
Trzecia akcja:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
Czwarta akcja:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Więc wartość wyrażenia ?10 + 6 ? 15 + 11? 7 równa się?15
Notatka. Nie jest konieczne doprowadzanie wyrażenia do czytelnej postaci poprzez umieszczanie liczb w nawiasach. Przyzwyczajając się do liczb ujemnych, tę czynność można pominąć, ponieważ zajmuje to dużo czasu i może być mylące.
Tak więc, aby dodawać i odejmować liczby całkowite, musisz pamiętać o następujących zasadach:
Aby dodać liczby o różnych znakach, należy od większego modułu odjąć mniejszy moduł i umieścić przed odpowiedzią znak, którego moduł jest większy.
Aby odjąć większą liczbę od mniejszej liczby, należy od większej liczby odjąć mniejszą liczbę i postawić znak minus przed otrzymaną odpowiedzią.
Odjąć jedną liczbę od drugiej oznacza dodać do liczby zredukowanej przeciwieństwo liczby odejmowanej.
Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i umieścić znak minus przed otrzymaną odpowiedzią.
W ostatnim samouczku wideo dowiedzieliśmy się, że stopień określonej podstawy jest wyrażeniem będącym iloczynem podstawy i samej siebie, wziętym w ilości równej wykładnikowi. Przyjrzyjmy się teraz niektórym najważniejsze właściwości i działania stopni.
Na przykład pomnóżmy dwie różne potęgi o tej samej podstawie:
Przyjrzyjmy się temu fragmentowi w całości:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Obliczając wartość tego wyrażenia, otrzymujemy liczbę 32. Z drugiej strony, jak widać z tego samego przykładu, 32 można przedstawić jako iloczyn o tej samej podstawie (dwa), wzięty 5 razy. I rzeczywiście, jeśli liczyć, to:
Można więc bezpiecznie stwierdzić, że:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Ta zasada działa z powodzeniem dla dowolnych wskaźników i dowolnych podstaw. Ta właściwość mnożenia stopnia wynika z zasady zachowania znaczenia wyrażeń podczas przekształceń w produkcie. Dla dowolnej podstawy a iloczyn dwóch wyrażeń (a) x i (a) y jest równy a (x + y). Innymi słowy, podczas tworzenia dowolnych wyrażeń o tej samej podstawie końcowy jednomian ma całkowity stopień utworzony przez dodanie stopnia pierwszego i drugiego wyrażenia.
Przedstawiona reguła świetnie sprawdza się również przy mnożeniu kilku wyrażeń. Głównym warunkiem jest to, aby podstawy dla wszystkich były takie same. Na przykład:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Niemożliwe jest dodawanie stopni iw ogóle przeprowadzanie jakichkolwiek działań połączonych mocą z dwoma elementami wyrażenia, jeśli ich podstawy są różne.
Jak pokazuje nasz film, dzięki podobieństwu procesów mnożenia i dzielenia, zasady dodawania potęg podczas iloczynu są doskonale przeniesione na procedurę dzielenia. Rozważ ten przykład:
Dokonajmy przekształcenia wyrażenia wyraz po wyrazie do pełnej formy i zredukujmy te same elementy w dzielnej i dzielniku:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Wynik końcowy tego przykładu nie jest tak ciekawy, ponieważ już w trakcie jego rozwiązania widać, że wartość wyrażenia jest równa kwadratowi dwójki. I jest to dwójka, którą uzyskuje się przez odjęcie stopnia drugiego wyrażenia od stopnia pierwszego.
Aby określić stopień ilorazu, należy od stopnia dzielnej odjąć stopień dzielnika. Reguła działa na tej samej podstawie dla wszystkich jej wartości i dla wszystkich sił natury. W postaci abstrakcyjnej mamy:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Definicja stopnia zerowego wynika z zasady dzielenia identycznych podstaw potęgami. Oczywiście, następujące wyrażenie to:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Z drugiej strony, jeśli podzielimy w bardziej wizualny sposób, otrzymamy:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Podczas zmniejszania wszystkich widocznych elementów ułamka zawsze uzyskuje się wyrażenie 1/1, czyli jeden. Dlatego ogólnie przyjmuje się, że każda podstawa podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
Niezależnie od wartości A.
Byłoby jednak absurdem, gdyby 0 (które nadal daje 0 dla dowolnego mnożenia) było w jakiś sposób równe jeden, więc wyrażenie takie jak (0) 0 (zero do stopnia zerowego) po prostu nie ma sensu, a wzór (a) 0 = 1 dodaj warunek: „jeśli a nie jest równe 0”.
Zróbmy ćwiczenie. Znajdźmy wartość wyrażenia:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Ponieważ podstawa jest wszędzie taka sama i wynosi 34, ostateczna wartość będzie miała tę samą podstawę ze stopniem (zgodnie z powyższymi zasadami):
Innymi słowy:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odpowiedź: Wyrażenie jest równe jeden.