dom Ściany Jak znaleźć obszar trójkąta o różnych bokach. Jak obliczyć pole trójkąta

Jak znaleźć obszar trójkąta o różnych bokach. Jak obliczyć pole trójkąta

Trójkąt jest jednym z najczęstszych kształtów geometrycznych, który znamy już w Szkoła Podstawowa. Pytanie, jak znaleźć obszar trójkąta, staje przed każdym uczniem na lekcjach geometrii. Jakie są więc cechy znajdowania obszaru danej figury, które można wyróżnić? W tym artykule rozważymy podstawowe formuły niezbędne do wykonania takiego zadania, a także przeanalizujemy rodzaje trójkątów.

Rodzaje trójkątów

Możesz absolutnie znaleźć obszar trójkąta różne sposoby, ponieważ w geometrii istnieje więcej niż jeden typ figury zawierającej trzy kąty. Te typy obejmują:

rozwarty.
Równoboczny (poprawny).
Trójkąt prostokątny.
Równoramienny.

Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z nich istniejące typy trójkąty.

Taka figura geometryczna jest uważana za najczęstszą w rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Kiedy konieczne jest narysowanie dowolnego trójkąta, ta opcja przychodzi na ratunek.

W trójkącie ostrym, jak sama nazwa wskazuje, wszystkie kąty są ostre i sumują się do 180°.

Taki trójkąt jest również bardzo powszechny, ale jest nieco mniej powszechny niż trójkąt o ostrym kącie. Na przykład, rozwiązując trójkąty (czyli znasz kilka jego boków i kątów i musisz znaleźć pozostałe elementy), czasami musisz określić, czy kąt jest rozwarty, czy nie. Cosinus jest liczbą ujemną.

W wartości jednego z kątów przekracza 90°, więc pozostałe dwa kąty mogą przyjmować niewielkie wartości (na przykład 15° lub nawet 3°).

Aby znaleźć obszar trójkąta tego typu, musisz znać niektóre niuanse, o których będziemy mówić dalej.

Trójkąty regularne i równoramienne

regularny wielokąt Figura nazywana jest figurą zawierającą n kątów, w których wszystkie boki i kąty są sobie równe. To jest prawy trójkąt. Ponieważ suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°, każdy z trzech kątów ma miarę 60°.

Trójkąt prostokątny, ze względu na swoją właściwość, nazywany jest również figurą równoboczną.

Warto też zauważyć, że w trójkąt foremny można wpisać tylko jedno koło i wokół niego można opisać tylko jedno koło, a ich środki leżą w jednym punkcie.

Oprócz typu równobocznego wyróżnia się także trójkąt równoramienny, który nieco się od niego różni. W takim trójkącie dwa boki i dwa kąty są sobie równe, a trzeci bok (do którego równe kąty) to podstawa.

Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny DEF, którego kąty D i F są równe, a podstawą jest DF.

Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny jest tak nazwany, ponieważ jeden z jego kątów jest kątem prostym, czyli równym 90°. Pozostałe dwa kąty sumują się do 90°.

Największym bokiem takiego trójkąta, leżącym naprzeciw kąta 90°, jest przeciwprostokątna, natomiast pozostałe dwa jego boki to nogi. Dla tego typu trójkątów zastosowanie ma twierdzenie Pitagorasa:

Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny BAC z przeciwprostokątną AC i ramionami AB i BC.

Aby znaleźć obszar trójkąta pod kątem prostym, musisz wiedzieć wartości liczbowe jego nogi.

Przejdźmy do wzorów na znalezienie obszaru danej figury.

Podstawowe wzory na znalezienie obszaru

W geometrii można wyróżnić dwa wzory, które są odpowiednie do znalezienia obszaru większości typów trójkątów, a mianowicie dla trójkątów ostrokątnych, rozwartokątnych, regularnych i równoramiennych. Przeanalizujmy każdy z nich.

Z boku i wysokości

Ta formuła jest uniwersalny do znalezienia obszaru rozważanej figury. Aby to zrobić, wystarczy znać długość boku i długość narysowanej na nim wysokości. Sama formuła (połowa iloczynu podstawy i wysokości) wygląda w następujący sposób:

gdzie A to bok danego trójkąta, a H to wysokość tego trójkąta.

Na przykład, aby znaleźć obszar trójkąta o ostrych kątach ACB, należy pomnożyć jego bok AB przez wysokość CD i podzielić wynikową wartość przez dwa.

Jednak nie zawsze łatwo jest znaleźć obszar trójkąta w ten sposób. Na przykład, aby użyć tego wzoru dla trójkąta rozwartokątnego, musisz kontynuować jeden z jego boków, a dopiero potem narysować do niego wysokość.

W praktyce ta formuła jest używana częściej niż inne.

Dwie strony i narożnik

Ten wzór, podobnie jak poprzedni, jest odpowiedni dla większości trójkątów iw swoim znaczeniu jest konsekwencją wzoru na znalezienie pola boku i wysokości trójkąta. Oznacza to, że rozważaną formułę można łatwo wywnioskować z poprzedniej. Jego brzmienie wygląda następująco:

S = ½*sinO*A*B,

gdzie A i B to boki trójkąta, a O to kąt między bokami A i B.

Przypomnijmy, że sinus kąta można zobaczyć w specjalnej tabeli nazwanej na cześć wybitnego radzieckiego matematyka V. M. Bradisa.

A teraz przejdźmy do innych formuł, które są odpowiednie tylko dla wyjątkowych typów trójkątów.

Powierzchnia trójkąta prostokątnego

Oprócz uniwersalnej formuły, która obejmuje konieczność narysowania wysokości w trójkącie, z jego nóg można znaleźć obszar trójkąta zawierający kąt prosty.

Tak więc obszar trójkąta zawierającego kąt prosty to połowa iloczynu jego nóg lub:

gdzie a i b to ramiona trójkąta prostokątnego.

trójkąt prostokątny

Ten typ figury geometryczne różnią się tym, że ich obszar można znaleźć z określoną wartością tylko jednego z jego boków (ponieważ wszystkie boki trójkąt prostokątny są równe). Tak więc, po spotkaniu z zadaniem „znalezienia obszaru trójkąta, gdy boki są równe”, musisz użyć następującego wzoru:

S = ZA 2 *√3 / 4,

gdzie A jest bokiem trójkąta równobocznego.

Formuła Herona

Ostatnią opcją znalezienia obszaru trójkąta jest wzór Herona. Aby go użyć, musisz znać długości trzech boków figury. Formuła Herona wygląda następująco:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

gdzie a, b i c to boki danego trójkąta.

Czasami powierzane jest zadanie: „obszar regularnego trójkąta polega na znalezieniu długości jego boku”. W takim przypadku należy skorzystać ze znanego nam już wzoru na znalezienie pola trójkąta foremnego i wyprowadzić z niego wartość boku (lub jego kwadratu):

A2 \u003d 4S / √3.

Problemy z egzaminem

W zadaniach GIA z matematyki jest wiele formuł. Ponadto dość często konieczne jest znalezienie obszaru trójkąta na papierze w kratkę.

W takim przypadku najwygodniej jest narysować wysokość na jednym z boków figury, określić jej długość za pomocą komórek i zastosować uniwersalną formułę do znalezienia obszaru:

Tak więc po przestudiowaniu wzorów przedstawionych w artykule nie będziesz miał problemów ze znalezieniem obszaru dowolnego trójkąta.

Pole trójkąta – wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Poniżej są wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta które nadają się do znalezienia obszaru dowolnego trójkąta, niezależnie od jego właściwości, kątów czy wymiarów. Wzory przedstawiono w formie obrazkowej, tutaj znajdują się wyjaśnienia zastosowania lub uzasadnienie ich poprawności. Również na osobnym rysunku są korespondencje listy we wzorach i symbolach graficznych na rysunku.

Notatka . Jeśli trójkąt ma specjalne właściwości (równoramienny, prostokątny, równoboczny), możesz użyć poniższych wzorów, a także dodatkowo specjalnych wzorów, które są prawdziwe tylko dla trójkątów o tych właściwościach:

„Wzory na pole trójkąta równobocznego”

Wzory na pole trójkąta

Objaśnienia formuł:
a, b, c- długości boków trójkąta, którego pole chcemy znaleźć
R- promień okręgu wpisanego w trójkąt
R- promień okręgu opisanego na trójkącie
H- wysokość trójkąta, obniżona z boku
P- półobwód trójkąta, 1/2 sumy jego boków (obwód)
α - kąt przeciwległy do boku a trójkąta
β - kąt przeciwległy do boku b trójkąta
γ - kąt przeciwległy do boku c trójkąta
H A, H B , H C- wysokość trójkąta, obniżona do boku a, b, c

Zwróć uwagę, że podany zapis odpowiada powyższemu rysunkowi, więc rozwiązując prawdziwy problem w geometrii, łatwiej byłoby ci wizualnie zastąpić właściwe miejsca formuły poprawne wartości.

Pole trójkąta to połowę iloczynu wysokości trójkąta i długości boku, o który ta wysokość jest obniżona(Formuła 1). Poprawność tej formuły można zrozumieć logicznie. Wysokość obniżona do podstawy podzieli dowolny trójkąt na dwa prostokątne. Jeśli uzupełnimy każdy z nich do prostokąta o wymiarach b i h, to oczywiście pole tych trójkątów będzie równe dokładnie połowie pola prostokąta (Spr = bh)
Pole trójkąta to połowa iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi(Wzór 2) (patrz przykład rozwiązania problemu przy użyciu tego wzoru poniżej). Pomimo tego, że wydaje się inny od poprzedniego, łatwo można go w niego przekształcić. Jeśli obniżymy wysokość od kąta B do boku b, okaże się, że iloczyn boku a i sinusa kąta γ, zgodnie z własnościami sinusa w trójkącie prostokątnym, jest równy wysokości trójkąta narysowanego przez nas, co da nam poprzednią formułę
Można znaleźć obszar dowolnego trójkąta Poprzez praca połowę promienia okręgu wpisanego w ten okrąg przez sumę długości wszystkich jego boków(Wzór 3), innymi słowy, musisz pomnożyć połowę obwodu trójkąta przez promień wpisanego okręgu (łatwiej zapamiętać w ten sposób)
Obszar dowolnego trójkąta można znaleźć, dzieląc iloczyn wszystkich jego boków przez 4 promienie okręgu opisanego wokół niego (wzór 4)
Formuła 5 polega na znalezieniu pola trójkąta pod względem długości jego boków i jego półobwodu (połowa sumy wszystkich jego boków)
Formuła Herona(6) jest reprezentacją tego samego wzoru bez użycia pojęcia półobwodu, tylko przez długości boków
Obszar dowolnego trójkąta jest równy iloczynowi kwadratu boku trójkąta i sinusów kątów przylegających do tego boku podzielonych przez podwójny sinus kąta przeciwnego do tego boku (wzór 7)
Obszar dowolnego trójkąta można znaleźć jako iloczyn dwóch kwadratów okręgu opisanego wokół niego i sinusów każdego z jego kątów. (Formuła 8)
Jeśli znana jest długość jednego boku i wielkość dwóch przylegających do niego kątów, wówczas obszar trójkąta można znaleźć jako kwadrat tego boku podzielony przez podwójną sumę cotangensów tych kąty (wzór 9)
Jeśli znana jest tylko długość każdej z wysokości trójkąta (wzór 10), to powierzchnia takiego trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do długości tych wysokości, zgodnie ze wzorem Herona
Formuła 11 pozwala obliczyć obszar trójkąta według współrzędnych jego wierzchołków, które są podane jako wartości (x;y) dla każdego z wierzchołków. Należy pamiętać, że wynikową wartość należy przyjąć modulo, ponieważ współrzędne poszczególnych (lub nawet wszystkich) wierzchołków mogą znajdować się w obszarze wartości ujemnych

Notatka. Poniżej przedstawiono przykłady rozwiązywania problemów z geometrii w celu znalezienia obszaru trójkąta. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego nie ma tutaj - napisz o tym na forum. W rozwiązaniach zamiast symbolu „ Pierwiastek kwadratowy" można użyć funkcji sqrt(), w której sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a radykalne wyrażenie jest podane w nawiasach.Czasami symbol może być używany do prostych radykalnych wyrażeń √

Zadanie. Znajdź obszar, biorąc pod uwagę dwa boki i kąt między nimi

Boki trójkąta mają 5 i 6 cm, a kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, używamy formuły numer dwa z teoretycznej części lekcji.
Obszar trójkąta można znaleźć na podstawie długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi i będzie równy
S=1/2 ab sin γ

Ponieważ mamy wszystkie niezbędne dane do rozwiązania (zgodnie ze wzorem), możemy jedynie podstawić wartości z opisu problemu do wzoru:
S=1/2*5*6*grzech60

W tabeli wartości funkcje trygonometryczne znajdź i podstaw w wyrażeniu wartość sinusa 60 stopni. Będzie równy pierwiastkowi z trzech na dwa.
S = 15 √ 3 / 2

Odpowiedź: 7,5 √3 (w zależności od wymagań nauczyciela prawdopodobnie można zostawić 15 √3/2)

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta równobocznego

Znajdź obszar trójkąta równobocznego o boku 3 cm.

Rozwiązanie .

Obszar trójkąta można znaleźć za pomocą wzoru Herona:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ponieważ a \u003d b \u003d c, wzór na pole trójkąta równobocznego przyjmie postać:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpowiedź: 9 √3 / 4.

Zadanie. Zmień obszar przy zmianie długości boków

Ile razy zwiększy się powierzchnia trójkąta, jeśli boki zostaną powiększone czterokrotnie?

Rozwiązanie.

Ponieważ wymiary boków trójkąta nie są nam znane, aby rozwiązać problem, przyjmiemy, że długości boków są odpowiednio równe dowolnym liczbom a, b, c. Następnie, aby odpowiedzieć na pytanie problemu, znajdujemy obszar tego trójkąta, a następnie znajdujemy obszar trójkąta, którego boki są czterokrotnie większe. Stosunek pól tych trójkątów da nam rozwiązanie problemu.

Następnie podajemy tekstowe wyjaśnienie rozwiązania problemu w krokach. Jednak na samym końcu to samo rozwiązanie podano w bardziej czytelnej formie forma graficzna. Ci, którzy chcą, mogą natychmiast upuścić rozwiązanie.

Aby rozwiązać, używamy formuły Herona (patrz wyżej w teoretycznej części lekcji). To wygląda tak:

S = 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz pierwsza linia obrazka poniżej)

Długości boków dowolnego trójkąta są określone przez zmienne a, b, c.
Jeśli boki zostaną zwiększone 4 razy, wówczas pole nowego trójkąta c będzie wynosić:

S 2 = 1/4 kwadratu((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(patrz druga linia na obrazku poniżej)

Jak widać, 4 jest wspólnym czynnikiem, który można wyjąć z nawiasów ze wszystkich czterech wyrażeń zgodnie z Główne zasady matematyka.
Następnie

S 2 = 1/4 kwadratu(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - w trzeciej linii obrazu
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - czwarta linia

Z liczby 256 pierwiastek kwadratowy jest doskonale wyodrębniony, więc wyjmiemy go spod korzenia
S 2 = 16 * 1/4 kwadratu((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz piąty wiersz rysunku poniżej)

Aby odpowiedzieć na postawione w zadaniu pytanie, wystarczy, że podzielimy pole powstałego trójkąta przez pole pierwotnego.
Stosunki powierzchni określamy, dzieląc wyrażenia między sobą i zmniejszając wynikowy ułamek.

Trójkąt to najprostsza figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech wierzchołków. Ze względu na swoją prostotę trójkąt był używany od czasów starożytnych do różnych pomiarów, a dziś figura może być przydatna do rozwiązywania praktycznych i codziennych problemów.

Cechy trójkąta

Rysunek był używany do obliczeń od czasów starożytnych, na przykład geodeci i astronomowie operują właściwościami trójkątów, aby obliczyć obszary i odległości. Przez obszar tej figury łatwo jest wyrazić obszar dowolnego n-gonu, a starożytni naukowcy wykorzystali tę właściwość do wyprowadzenia wzorów dla obszarów wielokątów. Praca na pełen etat z trójkątami, zwłaszcza z trójkątem prostokątnym, stała się podstawą całego działu matematyki - trygonometrii.

geometria trójkąta

Nieruchomości figura geometryczna były badane od czasów starożytnych: najwcześniejsze informacje o trójkącie znaleziono w egipskich papirusach sprzed 4000 lat. Następnie postać została zbadana w Starożytna Grecja a największy wkład w geometrię trójkąta wnieśli Euklides, Pitagoras i Czapla. Badanie trójkąta nigdy się nie skończyło, aw XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził koncepcję ortocentrum figury i koła Eulera. Na przełomie XIX i XX wieku, kiedy wydawało się, że o trójkącie wiadomo już absolutnie wszystko, Frank Morley sformułował twierdzenie o trójsektorach kąta, a Wacław Sierpinski trójkąt fraktalny.

Istnieje kilka rodzajów płaskich trójkątów, które są nam znane kurs szkolny geometrie:

ostry kąt - wszystkie rogi figury są ostre;
rozwarty - postać ma jeden kąt rozwarty(więcej niż 90 stopni);
prostokątny - figura zawiera jeden kąt prosty równy 90 stopni;
równoramienny - trójkąt o dwóch równych bokach;
równoboczny - trójkąt o wszystkich równych bokach.
W prawdziwe życie istnieją wszelkiego rodzaju trójkąty, aw niektórych przypadkach może być konieczne obliczenie pola figury geometrycznej.

Powierzchnia trójkąta

Pole to oszacowanie, jaką część płaszczyzny ogranicza figura. Pole trójkąta można znaleźć na sześć sposobów, korzystając z boków, wysokości, kątów, promienia okręgu wpisanego lub opisanego, a także korzystając ze wzoru Herona lub obliczając całkę podwójną wzdłuż linii ograniczających płaszczyznę. Najprostszym wzorem do obliczenia powierzchni trójkąta jest:

gdzie a to bok trójkąta, h to jego wysokość.

Jednak w praktyce znalezienie wysokości figury geometrycznej nie zawsze jest dla nas wygodne. Algorytm naszego kalkulatora pozwala obliczyć powierzchnię, wiedząc:

trzy strony;
dwa boki i kąt między nimi;
jeden bok i dwa rogi.

Aby określić pole powierzchni z trzech stron, używamy wzoru Herona:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

Obliczenia powierzchni z dwóch stron i kąta dokonuje się według klasycznego wzoru:

S = a × b × grzech(alfa),

gdzie alfa jest kątem między bokami a i b.

Aby wyznaczyć obszar przechodzący przez jeden bok i dwa rogi, używamy zależności, że:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Korzystając z prostej proporcji, określamy długość drugiego boku, po czym obliczamy powierzchnię za pomocą wzoru S = a × b × sin (alfa). Algorytm ten jest w pełni zautomatyzowany i wystarczy wprowadzić podane zmienne i uzyskać wynik. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia wzięte

płyty chodnikowe

Załóżmy, że chcesz wyłożyć podłogę trójkątnymi płytkami i ustalić ich ilość wymagany materiał, powinieneś znaleźć powierzchnię jednej płytki i powierzchnię podłogi. Załóżmy, że musisz przetworzyć 6 metrów kwadratowych powierzchni za pomocą płytki o wymiarach a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Oczywiście kalkulator używa wzoru Herona do obliczenia pola trójkąta i podaj wynik:

Zatem powierzchnia jednego elementu płytki wyniesie 0,021 metr kwadratowy, a będziesz potrzebować 6/0,021 = 285 trójkątów, aby upiększyć podłogę. Liczby 20, 21 i 29 tworzą pitagorejskie potrójne liczby, które spełniają . I to prawda, nasz kalkulator obliczył również wszystkie kąty trójkąta, a kąt gamma wynosi dokładnie 90 stopni.

zadanie szkolne

W zadaniu szkolnym musisz znaleźć obszar trójkąta, wiedząc, że bok a \u003d 5 cm, a kąty alfa i beta rany wynoszą odpowiednio 30 i 50 stopni. Aby rozwiązać ten problem ręcznie, musielibyśmy najpierw znaleźć wartość boku b, używając proporcji stosunku boków i sinusów przeciwległych rogach, po czym pole zostało określone za pomocą prostego wzoru S = a × b × sin(alfa). Oszczędźmy czas, wprowadź dane do formularza kalkulatora i uzyskaj natychmiastową odpowiedź

Podczas korzystania z kalkulatora ważne jest, aby poprawnie określić kąty i boki, w przeciwnym razie wynik będzie nieprawidłowy.

Wniosek

Trójkąt to wyjątkowa figura, która występuje zarówno w prawdziwym życiu, jak iw abstrakcyjnych obliczeniach. Skorzystaj z naszego kalkulatora online, aby znaleźć pole dowolnego trójkąta.

Trójkąt jest dobrze znaną postacią. I to pomimo bogatej różnorodności jej form. Prostokątne, równoboczne, ostre, równoramienne, rozwarte. Każdy z nich jest nieco inny. Ale dla każdego wymagana jest znajomość obszaru trójkąta.

Wspólne wzory dla wszystkich trójkątów, które wykorzystują długości boków lub wysokości

Przyjęte w nich oznaczenia: boki – a, b, c; wysokości na odpowiednich bokach na a, n in, n s.

1. Powierzchnia trójkąta jest obliczana jako iloczyn ½, boku i wysokości na nim opuszczonej. S = ½ * za * n za. Podobnie należy pisać wzory na pozostałe dwie strony.

2. Formuła Herona, w której pojawia się półobwód (zwykle oznacza się go małą literą p, w przeciwieństwie do pełnego obwodu). Półobwód należy obliczyć w następujący sposób: dodać wszystkie boki i podzielić je przez 2. Formuła półobwodu: p \u003d (a + b + c) / 2. Następnie równość dla obszaru \ u200b\u200brysunek wygląda następująco: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Jeśli nie chcesz używać półobwodu, przyda się taka formuła, w której występują tylko długości boków: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Jest nieco dłuższy niż poprzedni, ale przyda się, jeśli zapomniałeś, jak znaleźć półobwód.

Ogólne wzory, w których występują kąty trójkąta

Oznaczenie wymagane do odczytania wzorów: α, β, γ - kąty. Leżą po przeciwnych stronach odpowiednio a, b, c.

1. Zgodnie z nim połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi jest równa polu trójkąta. To znaczy: S = ½ a * b * sin γ. Wzory dla pozostałych dwóch przypadków należy zapisać w podobny sposób.

2. Pole trójkąta można obliczyć z jednego boku i trzech znanych kątów. S \u003d (a 2 * grzech β * grzech γ) / (2 grzech α).

3. Istnieje inna formuła z jednym znana impreza i dwa sąsiednie narożniki. Wygląda to tak: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dwie ostatnie formuły nie należą do najprostszych. Dość trudno je zapamiętać.

Ogólne wzory na sytuację, gdy znane są promienie okręgów wpisanych lub opisanych

Oznaczenia dodatkowe: r, R — promienie. Pierwszy jest używany do promienia wpisanego okręgu. Drugi dotyczy opisanego.

1. Pierwsza formuła, według której oblicza się powierzchnię trójkąta, jest związana z półobwodem. S = r * r. W inny sposób można to zapisać w następujący sposób: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. W drugim przypadku będziesz musiał pomnożyć wszystkie boki trójkąta i podzielić je przez czterokrotny promień opisanego okręgu. Dosłownie wygląda to tak: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Trzecia sytuacja pozwala obejść się bez znajomości boków, ale potrzebne są wartości wszystkich trzech kątów. S \u003d 2 R 2 * grzech α * grzech β * grzech γ.

Przypadek szczególny: trójkąt prostokątny

Jest to najprostsza sytuacja, ponieważ wymagana jest tylko długość obu nóg. Są one oznaczone łacińskimi literami a i b. Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie pola dodanego do niego prostokąta.

Matematycznie wygląda to tak: S = ½ a * b. Jest najłatwiejsza do zapamiętania. Ponieważ wygląda to jak wzór na pole prostokąta, pojawia się tylko ułamek, oznaczający połowę.

Przypadek szczególny: trójkąt równoramienny

Ponieważ jego dwa boki są równe, niektóre wzory na jego pole wyglądają na nieco uproszczone. Na przykład wzór Herona, który oblicza pole trójkąta równoramiennego, ma następującą postać:

S = ½ cala √((a + ½ cala)*(a - ½ cala)).

Jeśli go przekonwertujesz, stanie się krótszy. W tym przypadku wzór Herona na trójkąt równoramienny jest zapisany w następujący sposób:

S = ¼ w √ (4 * za 2 - b 2).

Wzór na pole wygląda nieco prościej niż dla dowolnego trójkąta, jeśli znane są boki i kąt między nimi. S \u003d ½ a 2 * grzech β.

Przypadek szczególny: trójkąt równoboczny

Zwykle w problemach z jego strony strona jest znana lub może być w jakiś sposób rozpoznana. Wtedy wzór na znalezienie obszaru takiego trójkąta jest następujący:

S = (za 2 √3) / 4.

Zadania polegające na znalezieniu obszaru, jeśli trójkąt jest przedstawiony na papierze w kratkę

Najprostszą sytuacją jest narysowanie trójkąta prostokątnego w taki sposób, aby jego ramiona pokrywały się z liniami papieru. Następnie wystarczy policzyć liczbę komórek, które pasują do nóg. Następnie pomnóż je i podziel przez dwa.

Gdy trójkąt jest ostry lub rozwarty, należy go narysować jako prostokąt. Następnie na wynikowej figurze będą 3 trójkąty. Jeden to ten podany w zadaniu. A pozostałe dwa są pomocnicze i prostokątne. Obszary dwóch ostatnich należy określić metodą opisaną powyżej. Następnie oblicz pole prostokąta i odejmij od niego te obliczone dla pomocniczych. Obszar trójkąta jest określony.

Znacznie trudniejsza jest sytuacja, w której żaden z boków trójkąta nie pokrywa się z liniami papieru. Następnie należy go wpisać w prostokąt, tak aby wierzchołki oryginalnej figury leżały na jego bokach. W tym przypadku będą trzy pomocnicze trójkąty prostokątne.

Przykład problemu we wzorze Herona

Stan : schorzenie. Jakiś trójkąt ma boki. Są równe 3, 5 i 6 cm, musisz znać jego powierzchnię.

Teraz możesz obliczyć powierzchnię trójkąta za pomocą powyższego wzoru. Pod pierwiastkiem kwadratowym jest iloczyn czterech liczb: 7, 4, 2 i 1. Oznacza to, że obszar wynosi √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Jeśli nie potrzebujesz większej precyzji, możesz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 14. To jest 3,74. Wtedy pole będzie równe 7,48.

Odpowiedź. S \u003d 2 √14 cm 2 lub 7,48 cm 2.

Przykład problemu z trójkątem prostokątnym

Stan : schorzenie. Jedna noga trójkąta prostokątnego jest o 31 cm dłuższa od drugiej. Należy określić ich długości, jeśli pole trójkąta wynosi 180 cm 2.
Rozwiązanie. Musisz rozwiązać układ dwóch równań. Pierwsza dotyczy obszaru. Drugi dotyczy stosunku nóg, który jest podany w zadaniu.
180 \u003d ½ a * b;

za \u003d b + 31.
Po pierwsze, wartość „a” musi zostać podstawiona w pierwszym równaniu. Okazuje się: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Ma tylko jedną niewiadomą, więc jest łatwy do rozwiązania. Po otwarciu nawiasów dostajemy równanie kwadratowe: in 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dwie wartości dla „in”: 9 i - 40. Druga liczba nie nadaje się jako odpowiedź, ponieważ długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną wartość.

Pozostaje obliczyć drugą nogę: dodaj do otrzymanej liczby 31. Okazuje się, że 40. Są to wielkości poszukiwane w zadaniu.

Odpowiedź. Boki trójkąta mają długości 9 i 40 cm.

Zadanie znalezienia boku przez obszar, bok i kąt trójkąta

Stan : schorzenie. Pole pewnego trójkąta wynosi 60 cm2. Konieczne jest obliczenie jednego z jego boków, jeśli drugi bok ma 15 cm, a kąt między nimi wynosi 30º.

Rozwiązanie. Na podstawie przyjętych oznaczeń żądany bok to „a”, znany „b”, podany kąt to „γ”. Następnie wzór na pole można przepisać w następujący sposób:

60 \u003d ½ a * 15 * grzech 30º. Tutaj sinus 30 stopni wynosi 0,5.

Po przekształceniach „a” okazuje się równe 60 / (0,5 * 0,5 * 15). czyli 16.

Odpowiedź. Żądany bok ma 16 cm.

Problem kwadratu wpisanego w trójkąt prostokątny

Stan : schorzenie. Wierzchołek kwadratu o boku 24 cm pokrywa się z kątem prostym trójkąta. Pozostałe dwa leżą na nogach. Trzeci należy do przeciwprostokątnej. Długość jednej z nóg wynosi 42 cm Jakie jest pole trójkąta prostokątnego?

Rozwiązanie. Rozważ dwa trójkąt prostokątny. Pierwszy z nich jest określony w zadaniu. Drugi opiera się na słynna noga oryginalny trójkąt. Są podobne, ponieważ mają wspólny kąt i są utworzone przez równoległe linie.

Wtedy proporcje ich nóg są równe. Boki mniejszego trójkąta mają długość 24 cm (bok kwadratu) i 18 cm (bok kwadratu ma długość 42 cm, a bok kwadratu wynosi 24 cm). Odpowiednie nogi dużego trójkąta mają 42 cm i x cm To właśnie ten „x” jest potrzebny do obliczenia pola trójkąta.

18/42 \u003d 24 / x, czyli x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Wtedy pole jest równe iloczynowi 56 i 42 podzielonego przez dwa, czyli 1176 cm2.

Odpowiedź. Żądana powierzchnia to 1176 cm 2.

Z przeciwnego wierzchołka) i podziel wynikowy produkt przez dwa. W formie wygląda to tak:

S = ½ * a * h,

Gdzie:
S jest obszarem trójkąta,
a to długość jego boku,
h to wysokość obniżona na tę stronę.

Długość i wysokość boku należy podać w tych samych jednostkach. W takim przypadku obszar trójkąta okaże się w odpowiednich jednostkach „”.

Przykład.
Na jednym z boków trójkąta o długości 20 cm obniżono prostopadłą do przeciwległego wierzchołka o długości 10 cm.
Pole trójkąta jest wymagane.
Rozwiązanie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jeśli znasz długości dowolnych dwóch boków trójkąta skalenowego i kąt między nimi, użyj wzoru:

S = ½ * a * b * grzechγ,

gdzie: a, b to długości dwóch dowolnych boków, a γ to kąt między nimi.

W praktyce, na przykład przy pomiarze terenu, użycie powyższych wzorów jest czasami trudne, ponieważ wymaga dodatkowych konstrukcji i pomiaru kątów.

Jeśli znasz długości wszystkich trzech boków trójkąta skalenowego, użyj wzoru Herona:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c to długości boków trójkąta,
İ – półobwód: p = (a+b+c)/2.

Jeżeli oprócz długości wszystkich boków znany jest promień okręgu wpisanego w trójkąt, wówczas należy zastosować następującą zwartą formułę:

gdzie: r to promień okręgu wpisanego (p to półobwód).

Aby obliczyć pole trójkąta pochyłego opisanego koła i długość jego boków, użyj wzoru:

gdzie: R jest promieniem opisanego okręgu.

Jeśli znana jest długość jednego z boków trójkąta i trzech kątów (w zasadzie wystarczą dwa - wartość trzeciego oblicza się na podstawie równości sumy trzech kątów trójkąta - 180º), użyj Formuła:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdzie α jest wartością kąta przeciwległego do boku a;
β, γ to wartości pozostałych dwóch kątów trójkąta.

Konieczność znalezienia różnych elementów, w tym obszaru trójkąt, pojawił się wiele wieków przed naszą erą wśród uczonych astronomów starożytnej Grecji. Kwadrat trójkąt można obliczyć różne sposoby przy użyciu różnych formuł. Metoda obliczania zależy od tego, które elementy trójkąt znany.

Instrukcja

Jeśli z warunku znamy wartości dwóch boków b, c i utworzonego przez nie kąta?, to pole trójkąt ABC można znaleźć według wzoru:
S = (bcsin?)/2.

Jeśli z warunku znamy wartości dwóch boków a, b i nie utworzonego przez nie kąta?, to obszar trójkąt ABC znajduje się w następujący sposób:
Znalezienie kąta?, grzech? = bsin? / a, dalej na stole określamy sam kąt.
Znalezienie kąta? = 180°-?-?.
Znajdź sam obszar S = (absin?)/2.

Jeśli z warunku znamy wartości tylko z trzech stron trójkąt a, b i c, następnie pole trójkąt ABC można znaleźć według wzoru:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdzie p jest półobwodem p = (a+b+c)/2

Jeśli ze stanu problemu znamy wysokość trójkąt h i bok, do którego ta wysokość jest obniżona, a następnie obszar trójkąt ABC według wzoru:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jeśli znamy wartości boków trójkąt a, b, c i promień opisanego w pobliżu podanego trójkąt R, a następnie obszar tego trójkąt ABC określa wzór:
S = abc/4R.
Jeżeli znane są trzy boki a, b, c oraz promień wpisanego w, to pole trójkąt ABC można znaleźć według wzoru:
S = pr, gdzie p jest półobwodem, p = (a+b+c)/2.

Jeśli ABC jest równoboczny, to pole oblicza się ze wzoru:
S = (a^2v3)/4.
Jeśli trójkąt ABC- równoramienny, wówczas obszar określa wzór:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdzie c jest trójkąt.
Jeśli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, to obszar jest określony wzorem:
S = ab/2, gdzie aib to nogi trójkąt.
Jeśli trójkąt ABC jest prawym trójkątem równoramiennym, to pole jest określone wzorem:
S = c^2/4 = a^2/2, gdzie c to przeciwprostokątna trójkąt, a=b - noga.

Powiązane wideo

Źródła:

jak zmierzyć pole trójkąta

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trójkąta, jeśli znasz kąt

Znajomość tylko jednego parametru (wartości kąta) nie wystarczy do znalezienia pola tre kwadrat . Jeśli istnieją dodatkowe wymiary, to aby określić obszar, możesz wybrać jeden ze wzorów, w których wartość kąta jest również używana jako jedna ze znanych zmiennych. Poniżej wymieniono kilka najczęściej używanych formuł.