1 . Suma przekątnych czworokąta wypukłego jest większa niż suma jego dwóch przeciwległych boków.

2 . Jeśli segmenty łączą środki przeciwległych boków czworoboczny

a) są równe, to przekątne czworoboku są prostopadłe;

b) są prostopadłe, to przekątne czworoboku są równe.

3 . Dwusieczne kątów bocznych trapezu przecinają się w jego linii środkowej.

4 . Boki równoległoboku są równe i . Wtedy czworokąt utworzony przez przecięcia dwusiecznych kątów równoległoboku jest prostokątem, którego przekątne są równe.

5 . Jeżeli suma kątów przy jednej z podstaw trapezu wynosi 90°, to odcinek łączący środki podstaw trapezu jest równy ich połowie różnicy.

6 . Na bokach AB I OGŁOSZENIE równoległobok ABCD punkty są brane M I N tak prosto SM I NC Podziel równoległobok na trzy równe części. Znajdować MN, Jeśli BD=d.

7 . Odcinek prostej równoległej do podstaw trapezu, zawarty wewnątrz trapezu, dzieli się jego przekątnymi na trzy części. Wtedy segmenty przylegające do boków są sobie równe.

8 . Przez punkt przecięcia przekątnych trapezu z podstawami poprowadzono linię prostą, równoległą do podstaw. Odcinek tej linii, zawarty pomiędzy bokami trapezu, jest równy.

9 . Trapez jest podzielony linią równoległą do jego podstaw równą i , na dwa równe trapezy. Następnie odcinek tej prostej, zawarty pomiędzy bokami, jest równy .

10 . Jeśli zostanie spełniony jeden z poniższych warunków, wówczas cztery punkty A, B, C I D leżeć w tym samym kręgu.

A) CAD=CBD= 90°.

b) punkty A I W leżeć po jednej stronie prostej płyta CD i kąt CHAM równy kątowi CBD

c) prosto UA I BD przecinają się w jednym punkcie O I O OS=OV OD.

11 . Linia łącząca punkt R przecięcia przekątnych czworokąta ABCD z kropka Q przecięcia linii AB I PŁYTA CD, dzieli bok OGŁOSZENIE w połowie. Następnie dzieli na pół i bok Słońce.

12 . Każdy bok wypukłego czworoboku jest podzielony na trzy równe części. Odpowiednie punkty podziału po przeciwnych stronach są połączone segmentami. Następnie segmenty te dzielą się na trzy równe części.

13 . Dwie proste linie dzielą każdy z dwóch przeciwległych boków wypukłego czworoboku na trzy równe części. Następnie między tymi liniami leży jedna trzecia powierzchni czworoboku.

14 . Jeżeli w czworokąt można wpisać okrąg, to odcinek łączący punkty, w których okrąg wpisany styka się z przeciwległymi bokami czworoboku, przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych.

15 . Jeżeli sumy przeciwległych boków czworokąta są równe, to w taki czworokąt można wpisać okrąg.

16. Własności czworokąta wpisanego o przekątnych wzajemnie prostopadłych. Czworoboczny ABCD wpisany w okrąg o promieniu R. Jego przekątne UA I BD są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w jednym punkcie R. Następnie

a) środkowa trójkąta ARV prostopadle do boku PŁYTA CD;

b) linia przerywana AOC dzieli czworokąt ABCD na dwie równe cyfry;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AP 2 + BP 2 + SR 2 + DP 2 = 4R 2 i AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

e) odległość od środka okręgu do boku czworoboku wynosi połowę przeciwnej strony.

f) jeśli prostopadłe opadły na bok OGŁOSZENIE ze szczytów W I Z, przekątne UA I BD w punktach mi I F, To BCFE- romb;

g) czworokąt, którego wierzchołki są rzutami punktu R po stronie czworoboku ABCD,- zarówno wpisane, jak i opisane;

h) czworobok utworzony przez styczne do okręgu opisanego na czworokącie ABCD, narysowane na jego wierzchołkach można wpisać w okrąg.

17 . Jeśli A, b, c, d- kolejne boki czworoboku, S- jego pole zatem, a równość zachodzi tylko dla czworoboku wpisanego, którego przekątne są wzajemnie prostopadłe.

18 . Formuła Brahmagupty. Jeżeli boki wpisanego czworokąta są równe a, b, c I D, potem jego obszar S można obliczyć ze wzoru,

Gdzie jest półobwodem czworokąta.

19 . Jeśli czworokąt z bokami A, b, c, d można wpisać i opisać wokół niego okrąg, wówczas jego pole jest równe .

20 . Punkt P znajduje się wewnątrz kwadratu ABCD, i kąt PAB równy kątowi RVA i jest równe 15°. Następnie trójkąt DPC- równoboczny.

21 . Jeśli dla czworoboku wpisanego ABCD równość CD=AD+BC, następnie dwusieczne jego kątów A I W przecinają się z boku PŁYTA CD.

22 . Kontynuacje przeciwnych stron AB I płyta CD wpisany czworokąt ABCD przecinają się w jednym punkcie M, i strony OGŁOSZENIE I słońce- w tym momencie N. Następnie

a) dwusieczne kąta AMD I DNC wzajemnie prostopadłe;

b) proste MQ I NQ przecinają boki czworoboku w wierzchołkach rombu;

c) punkt przecięcia Q tych dwusiecznych leży na odcinku łączącym środki przekątnych czworoboku ABCD.

23 . Twierdzenie Ptolemeusza. Suma iloczynów dwóch par przeciwległych boków czworokąta wpisanego jest równa iloczynowi jego przekątnych.

24 . Twierdzenie Newtona. W dowolnym czworokącie opisanym środki przekątnych i środek okręgu wpisanego leżą na tej samej linii prostej.

25 . Twierdzenie Monge'a. Linie poprowadzone przez środki boków czworoboku wpisanego prostopadłego do przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie.

27 . Cztery koła, zbudowane na bokach wypukłego czworoboku jako średnice, pokrywają cały czworobok.

29 . Dwa przeciwległe narożniki wypukłego czworoboku są rozwarte. Wtedy przekątna łącząca wierzchołki tych kątów jest mniejsza niż druga przekątna.

30. Środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku na zewnątrz niego same tworzą kwadrat.

I znowu pytanie brzmi: czy romb jest równoległobokiem, czy nie?

Z pełnym prawym - równoległobok, ponieważ ma i (pamiętajcie nasz znak 2).

I znowu, ponieważ romb jest równoległobokiem, musi mieć wszystkie właściwości równoległoboku. Oznacza to, że romb ma równe przeciwległe kąty, przeciwległe boki są równoległe, a przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Właściwości rombu

Zobacz zdjęcie:

Podobnie jak w przypadku prostokąta, właściwości te są charakterystyczne, czyli dla każdej z tych właściwości możemy stwierdzić, że mamy nie tylko równoległobok, ale romb.

Znaki rombu

I jeszcze raz zwróć uwagę: powinien istnieć nie tylko czworokąt z prostopadłymi przekątnymi, ale równoległobok. Upewnić się:

Nie, oczywiście, że nie, chociaż jego przekątne i są prostopadłe, a przekątna jest dwusieczną kątów u. Ale ... przekątne nie dzielą się, punkt przecięcia na pół, zatem - NIE równoległobok, a zatem NIE romb.

Oznacza to, że kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem. Zobaczmy, co z tego wyniknie.

Czy jest jasne dlaczego? - romb - dwusieczna kąta A, która jest równa. Zatem dzieli się (i także) na dwa kąty wzdłuż.

No cóż, to całkiem jasne: przekątne prostokąta są równe; przekątne rombu są prostopadłe i ogólnie - przekątne równoległoboku są podzielone przez punkt przecięcia na pół.

ŚREDNI POZIOM

Właściwości czworokątów. Równoległobok

Właściwości równoległoboku

Uwaga! Słowa " właściwości równoległoboku» oznacza, że ​​jeśli masz zadanie Jest równoległobok, wówczas można zastosować wszystkie poniższe.

Twierdzenie o własnościach równoległoboku.

W dowolnym równoległoboku:

Innymi słowy, zobaczmy, dlaczego jest to prawdą DOWODNIMY twierdzenie.

Dlaczego więc 1) jest prawdą?

Ponieważ jest to równoległobok, to:

• jak leżenie w poprzek
• jak leżał.

Stąd (na podstawie II: i - ogólnie.)

Cóż, raz - to wszystko! - udowodniono.

Ale przy okazji! Udowodniliśmy również 2)!

Dlaczego? Ale przecież (spójrz na zdjęcie), to znaczy dlatego, że.

Tylko 3 do końca).

Aby to zrobić, musisz jeszcze narysować drugą przekątną.

I teraz to widzimy - zgodnie ze znakiem II (kąt i bok „pomiędzy nimi”).

Właściwości sprawdzone! Przejdźmy do znaków.

Funkcje równoległoboku

Przypomnijmy, że znak równoległoboku odpowiada na pytanie „jak się dowiedzieć?” Że figura jest równoległobokiem.

W ikonach wygląda to tak:

Dlaczego? Byłoby miło zrozumieć dlaczego – to wystarczy. Ale spójrz:

Cóż, odkryliśmy dlaczego znak 1 jest prawdziwy.

Cóż, to jeszcze łatwiejsze! Narysujmy jeszcze raz przekątną.

Co znaczy:

I jest również łatwe. Ale inne!

Oznacza, . Wow! Ale także - wewnętrzny jednostronny w siecznej!

Zatem fakt, że to oznacza.

A jeśli spojrzysz z drugiej strony, to są one wewnętrzne jednostronne w siecznej! I dlatego.

Widzisz jakie to świetne?!

I znowu po prostu:

Dokładnie to samo i.

Zwróć uwagę: jeśli znalazłeś co najmniej jeden znak równoległoboku w twoim problemie, to masz Dokładnie równoległobok i możesz go użyć wszyscy właściwości równoległoboku.

Dla pełnej przejrzystości spójrz na diagram:

Właściwości czworokątów. Prostokąt.

Właściwości prostokąta:

Punkt 1) jest dość oczywisty - wszak znak 3 () jest po prostu spełniony

I punkt 2) - bardzo ważne. Więc udowodnijmy to

A więc na dwóch nogach (i - ogólnie).

Cóż, skoro trójkąty są równe, to ich przeciwprostokątne również są równe.

Udowodniłem to!

I wyobraźcie sobie, że równość przekątnych jest charakterystyczną właściwością prostokąta wśród wszystkich równoległoboków. Oznacza to, że poniższe stwierdzenie jest prawdziwe

Zobaczmy dlaczego?

Zatem (co oznacza kąty równoległoboku). Ale jeszcze raz pamiętaj o tym - równoległobok, a zatem.

Oznacza, . I oczywiście wynika z tego, że każdy z nich W końcu w takiej kwocie, jaką powinni dać!

Tutaj udowodniliśmy, że jeśli równoległobok nagle (!) będą równe przekątne, to to dokładnie prostokąt.

Ale! Zwróć uwagę! To jest o równoległoboki! Żaden czworokąt o równych przekątnych jest prostokątem, a tylko równoległobok!

Właściwości czworokątów. Romb

I znowu pytanie brzmi: czy romb jest równoległobokiem, czy nie?

Z pełnym prawym - równoległobok, ponieważ ma i (Pamiętaj o naszym znaku 2).

I znowu, ponieważ romb jest równoległobokiem, musi mieć wszystkie właściwości równoległoboku. Oznacza to, że romb ma równe przeciwległe kąty, przeciwległe boki są równoległe, a przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Ale są też specjalne właściwości. Formułujemy.

Właściwości rombu

Dlaczego? Cóż, ponieważ romb jest równoległobokiem, wówczas jego przekątne są podzielone na pół.

Dlaczego? Tak, właśnie dlatego!

Innymi słowy, przekątne i okazały się dwusiecznymi narożników rombu.

Podobnie jak w przypadku prostokąta, właściwości te są charakterystyczny, każdy z nich jest także znakiem rombu.

Znaki rombu.

Dlaczego? I spójrz

Stąd i Zarówno te trójkąty są równoramienne.

Aby być rombem, czworokąt musi najpierw „stać się” równoległobokiem, a następnie wykazywać już cechę 1 lub cechę 2.

Właściwości czworokątów. Kwadrat

Oznacza to, że kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem. Zobaczmy, co z tego wyniknie.

Czy jest jasne dlaczego? Kwadrat - romb - dwusieczna kąta, która jest równa. Zatem dzieli się (i także) na dwa kąty wzdłuż.

No cóż, to całkiem jasne: przekątne prostokąta są równe; przekątne rombu są prostopadłe i ogólnie - przekątne równoległoboku są podzielone przez punkt przecięcia na pół.

Dlaczego? Cóż, wystarczy zastosować twierdzenie Pitagorasa do.

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Właściwości równoległoboku:

1. Przeciwne strony są równe: , .
2. Kąty przeciwne to: , .
3. Kąty po jednej stronie sumują się do: , .
4. Przekątne są podzielone przez punkt przecięcia na pół: .

Właściwości prostokąta:

1. Przekątne prostokąta to: .
2. Prostokąt jest równoległobokiem (wszystkie właściwości równoległoboku są spełnione dla prostokąta).

Właściwości rombu:

1. Przekątne rombu są prostopadłe: .
2. Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów: ; ; ; .
3. Romb jest równoległobokiem (wszystkie właściwości równoległoboku są spełnione dla rombu).

Właściwości kwadratu:

Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem, zatem dla kwadratu spełnione są wszystkie właściwości prostokąta i rombu. I.

Jednym z najciekawszych tematów z geometrii z zajęć szkolnych są „Czworokąty” (klasa 8). Jakie rodzaje takich figur istnieją, jakie mają specjalne właściwości? Co jest wyjątkowego w czworokątach o narożnikach pod kątem dziewięćdziesięciu stopni? Przyjrzyjmy się temu wszystkiemu.

Jaką figurę geometryczną nazywa się czworobokiem

Wielokąty, które składają się z czterech boków i odpowiednio z czterech wierzchołków (narożników), nazywane są czworokątami w geometrii euklidesowej.

Ciekawa jest historia nazwy tego typu postaci. W języku rosyjskim rzeczownik „czworokątny” powstaje od wyrażenia „cztery rogi” (podobnie jak „trójkąt” - trzy rogi, „pięciokąt” - pięć rogów itp.).

Jednak w języku łacińskim (przez który wiele terminów geometrycznych przeszło do większości języków świata) nazywa się to czworobokiem. Słowo to utworzone jest z liczebnika quadri (cztery) i rzeczownika latus (bok). Możemy więc stwierdzić, że wśród starożytnych wielokąt ten był określany jedynie jako „czterościenny”.

Nawiasem mówiąc, taka nazwa (z naciskiem na obecność czterech boków, a nie narożników w figurach tego typu) zachowała się w niektórych współczesnych językach. Na przykład w języku angielskim - quadrilateral i po francusku - quadrilatère.

Jednocześnie w większości języków słowiańskich rozważany typ figur nadal identyfikuje się na podstawie liczby kątów, a nie boków. Na przykład w języku słowackim (štvoruholník), bułgarskim („chetirigalnik”), białoruskim („chatyrokhkutnik”), ukraińskim („chotirikutnik”), czeskim (čtyřúhelník), ale w języku polskim czworobok nazywa się liczbą boki - czworoboczny.

Jakie rodzaje czworokątów są badane w szkolnym programie nauczania

We współczesnej geometrii istnieją 4 rodzaje wielokątów z czterema bokami.

Jednak ze względu na zbyt złożone właściwości niektórych z nich, na lekcjach geometrii uczniowie zapoznają się tylko z dwoma typami.

• Równoległobok. Przeciwne strony takiego czworoboku są parami równoległe do siebie i odpowiednio są również równe parami.
• Trapez (trapez lub trapez). Ten czworokąt składa się z dwóch przeciwległych boków równoległych do siebie. Jednak druga para boków nie ma tej funkcji.

Rodzaje czworokątów, których nie uczy się na szkolnym kursie geometrii

Oprócz powyższego istnieją jeszcze dwa typy czworokątów, z którymi uczniowie nie są zapoznawani na lekcjach geometrii ze względu na ich szczególną złożoność.

• Naramienny (latawiec)- figura, w której każda z dwóch par sąsiednich boków jest sobie równa długości. Taki czworobok ma swoją nazwę, ponieważ z wyglądu dość mocno przypomina literę alfabetu greckiego - „delta”.
• Antyrównoległobok- ta liczba jest tak złożona jak jej nazwa. W nim dwie przeciwne strony są równe, ale jednocześnie nie są do siebie równoległe. Ponadto długie przeciwległe boki tego czworoboku przecinają się ze sobą, podobnie jak przedłużenia pozostałych dwóch, krótszych boków.

Rodzaje równoległoboku

Zajmując się głównymi typami czworokątów, warto zwrócić uwagę na jego podgatunki. Z kolei wszystkie równoległoboki są również podzielone na cztery grupy.

• Klasyczny równoległobok.
• Romb (romb)- czworokątna figura o równych bokach. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzieląc romb na cztery równe trójkąty prostokątne.
• Prostokąt. Nazwa mówi sama za siebie. Ponieważ jest to czworokąt z kątami prostymi (każdy z nich jest równy dziewięćdziesięciu stopniom). Jego przeciwne strony są nie tylko równoległe do siebie, ale także równe.
• Kwadrat (kwadrat). Podobnie jak prostokąt, jest to czworokąt z kątami prostymi, ale ma wszystkie boki równe sobie. Liczba ta jest zbliżona do rombu. Można więc argumentować, że kwadrat jest skrzyżowaniem rombu i prostokąta.

Specjalne właściwości prostokąta

Biorąc pod uwagę figury, w których każdy z kątów między bokami wynosi dziewięćdziesiąt stopni, warto bliżej przyjrzeć się prostokątowi. Jakie więc cechy szczególne ma on, odróżniający go od innych równoległoboków?

Aby stwierdzić, że rozważany równoległobok jest prostokątem, jego przekątne muszą być sobie równe, a każdy z kątów musi być prosty. Ponadto kwadrat jego przekątnych musi odpowiadać sumie kwadratów dwóch sąsiednich boków tej figury. Innymi słowy, klasyczny prostokąt składa się z dwóch trójkątów prostokątnych, a w nich, jak wiadomo, przekątna rozważanego czworoboku pełni rolę przeciwprostokątnej.

Ostatni z wymienionych znaków tej figury jest także jej szczególną właściwością. Oprócz tego są jeszcze inne. Przykładowo fakt, że wszystkie boki badanego czworoboku o kątach prostych są jednocześnie jego wysokościami.

Ponadto, jeśli wokół dowolnego prostokąta narysuje się okrąg, jego średnica będzie równa przekątnej wpisanej figury.

Wśród innych właściwości tego czworoboku jest to, że jest on płaski i nie występuje w geometrii nieeuklidesowej. Wynika to z faktu, że w takim układzie nie ma figur czworokątnych, których suma kątów wynosi trzysta sześćdziesiąt stopni.

Kwadrat i jego cechy

Zajmując się znakami i właściwościami prostokąta, warto zwrócić uwagę na drugi znany nauce czworobok o kątach prostych (jest to kwadrat).

Będąc w rzeczywistości tym samym prostokątem, ale o równych bokach, figura ta ma wszystkie swoje właściwości. Ale w przeciwieństwie do niego kwadrat występuje w geometrii nieeuklidesowej.

Ponadto liczba ta ma inne charakterystyczne cechy. Na przykład fakt, że przekątne kwadratu nie tylko są sobie równe, ale także przecinają się pod kątem prostym. Zatem, podobnie jak romb, kwadrat składa się z czterech trójkątów prostokątnych, na które jest podzielony przekątnymi.

Ponadto figura ta jest najbardziej symetryczna spośród wszystkich czworoboków.

Jaka jest suma kątów czworokąta

Rozważając cechy czworokątów geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na ich kąty.

Zatem w każdej z powyższych figur, niezależnie od tego, czy ma kąty proste, czy nie, ich łączna suma jest zawsze taka sama - trzysta sześćdziesiąt stopni. Jest to wyjątkowa cecha wyróżniająca tego typu figurę.

Obwód czworokątów

Po ustaleniu, jaka jest suma kątów czworoboku i innych specjalnych właściwościach figur tego typu, warto wiedzieć, jakie wzory najlepiej zastosować do obliczenia ich obwodu i pola.

Aby określić obwód dowolnego czworokąta, wystarczy dodać do siebie długości wszystkich jego boków.

Na przykład na rysunku KLMN jego obwód można obliczyć za pomocą wzoru: P \u003d KL + LM + MN + KN. Jeśli zastąpisz tutaj liczby, otrzymasz: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

W przypadku, gdy dana figura jest rombem lub kwadratem, aby znaleźć obwód, możesz uprościć wzór, po prostu mnożąc długość jednego z jego boków przez cztery: P \u003d KL x 4. Na przykład: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Wzory na pola czworokątne

Po zorientowaniu się, jak znaleźć obwód dowolnej figury z czterema narożnikami i bokami, warto rozważyć najpopularniejsze i proste sposoby znalezienia jej obszaru.

Inne właściwości czworokątów: okręgi wpisane i opisane

Rozważając cechy i właściwości czworoboku jako figury geometrii euklidesowej, warto zwrócić uwagę na możliwość opisywania wokół niego lub wpisywania w jego wnętrzu okręgów:

• Jeśli sumy przeciwległych kątów figury wynoszą sto osiemdziesiąt stopni każdy i są sobie parami równe, to wokół takiego czworoboku można swobodnie opisać okrąg.
• Zgodnie z twierdzeniem Ptolemeusza, jeśli na zewnątrz wielokąta o czterech bokach opisano okrąg, to iloczyn jego przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków danej figury. Zatem formuła będzie wyglądać następująco: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Jeśli zbudujesz czworokąt, w którym sumy przeciwległych boków są sobie równe, to można w nim wpisać okrąg.

Po ustaleniu, czym jest czworobok, jakie są jego rodzaje, które z nich mają tylko kąty proste między bokami i jakie mają właściwości, warto pamiętać o całym tym materiale. W szczególności wzory na znalezienie obwodu i pola rozważanych wielokątów. W końcu liczby tej formy są jednymi z najczęstszych, a wiedza ta może być przydatna do obliczeń w prawdziwym życiu.

Dzisiaj rozważymy figurę geometryczną - czworobok. Z nazwy tej figury staje się już jasne, że figura ta ma cztery rogi. Ale pozostałe cechy i właściwości tej figury rozważymy poniżej.

Co to jest czworokąt

Czworokąt to wielokąt składający się z czterech punktów (wierzchołków) i czterech odcinków (boków) łączących te punkty parami. Pole czworoboku jest połową iloczynu jego przekątnych i kąta między nimi.

Czworokąt to wielokąt mający cztery wierzchołki, z których trzy nie leżą na tej samej prostej.

Rodzaje czworokątów

• Czworokąt, którego przeciwne strony są parami równoległe, nazywa się równoległobokiem.
• Czworokąt, w którym dwa przeciwległe boki są równoległe, a pozostałe dwa nie, nazywa się trapezem.
• Czworokąt mający wszystkie kąty proste jest prostokątem.
• Czworokąt mający wszystkie boki równe to romb.
• Czworokąt, w którym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są proste, nazywa się kwadratem.

Czworokąt może być:

samoprzecinające się

nie wypukły

wypukły

Samoprzecinający się czworobok to czworokąt, w którym którykolwiek z jego boków ma punkt przecięcia (na rysunku zaznaczony na niebiesko).

Nie wypukły czworobok to czworokąt, w którym jeden z kątów wewnętrznych ma więcej niż 180 stopni (zaznaczony na rysunku kolorem pomarańczowym).

Suma kątów każdy czworokąt, który nie przecina się sam ze sobą, zawsze ma 360 stopni.

Specjalne typy czworokątów

Czworokąty mogą mieć dodatkowe właściwości, tworząc specjalne typy kształtów geometrycznych:

• Równoległobok
• Prostokąt
• Kwadrat
• Trapez
• Deltoid
• Kontrrównoległobok

Czworokąt i okrąg

Czworokąt wpisany na okrąg (okrąg wpisany w czworokąt).

Główna właściwość opisanego czworoboku:

Czworokąt można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.

Czworokąt wpisany w okrąg (okrąg wpisany na czworokącie)

Główna właściwość czworoboku wpisanego:

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma przeciwległych kątów wynosi 180 stopni.

Właściwości długości boku czworoboku

Moduł różnicowy dowolnych dwóch boków czworoboku nie przekracza sumy swoich dwóch pozostałych stron.

|a - b| ≤ do + re

|a - c| ≤ b + re

|a - d| ≤ b + do

|b - c| ≤ a + re

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Ważny. Nierówność jest prawdziwa dla dowolnej kombinacji boków czworoboku. Rysunek podano wyłącznie w celu ułatwienia zrozumienia.

W dowolnym czworokącie suma długości jego trzech boków jest nie mniejsza niż długość czwartego boku.

Ważny. Rozwiązując problemy w ramach szkolnego programu nauczania, można zastosować ścisłą nierówność (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby móc wykonywać obliczenia, należy włączyć kontrolki ActiveX!

Z czterema rogami i czterema bokami. Czworokąt jest utworzony przez zamkniętą polilinię składającą się z czterech ogniw i tej części płaszczyzny, która znajduje się wewnątrz polilinii.

Oznaczenie czworoboku składa się z liter znajdujących się na jego wierzchołkach, nazywając je w kolejności. Na przykład mówią lub piszą: czworobok ABCD :

W czworoboku ABCD zwrotnica A, B, C I D- Ten wierzchołki czworoboczne, segmenty AB, pne, płyta CD I DA - boki.

Nazywamy wierzchołki należące do tego samego boku sąsiedni, nazywane są wierzchołki, które nie sąsiadują ze sobą naprzeciwko:

W czworoboku ABCD szczyty A I B, B I C, C I D, D I A sąsiadują ze sobą oraz wierzchołki A I C, B I D- naprzeciwko. Kąty leżące na sąsiednich wierzchołkach nazywane są także sąsiadującymi, a na przeciwległych wierzchołkach - przeciwnymi.

Boki czworoboku można również podzielić parami na sąsiednie i przeciwne strony: nazywa się strony, które mają wspólny wierzchołek sąsiedni(Lub powiązany), boki, które nie mają wspólnych wierzchołków - naprzeciwko:

Strony AB I pne, pne I płyta CD, płyta CD I DA, DA I AB sąsiadują ze sobą i po bokach AB I DC, OGŁOSZENIE I pne- naprzeciwko.

Jeżeli przeciwległe wierzchołki zostaną połączone segmentem, to taki segment zostanie wywołany przekątna czworokąta. Biorąc pod uwagę, że w czworokącie są tylko dwie pary przeciwległych wierzchołków, wówczas mogą istnieć tylko dwie przekątne:

Segmenty AC I BD- przekątne.

Rozważ główne typy wypukłych czworoboków:

• Trapez- czworokąt, w którym jedna para przeciwległych boków jest do siebie równoległa, a druga para nie jest równoległa.
  • Trapez równoramienny- trapez, którego boki są równe.
  • Trapez prostokątny Trapez z jednym z kątów prostych.
• Równoległobok Czworokąt, w którym obie pary przeciwległych boków są do siebie równoległe.
  • Prostokąt Równoległobok, w którym wszystkie kąty są równe.
  • Romb Równoległobok mający wszystkie boki równe.
  • Kwadrat Równoległobok o równych bokach i kątach. Zarówno prostokąt, jak i romb mogą być kwadratem.

Właściwości narożne czworokątów wypukłych

Wszystkie wypukłe czworoboki mają następujące dwie właściwości:

1. Dowolny kąt wewnętrzny mniejszy niż 180°.
2. Suma kątów wewnętrznych wynosi 360°.