Wat is er gebeurd factorisatie? Dit is een manier om van een ongemakkelijk en complex voorbeeld een eenvoudig en schattig voorbeeld te maken.) Een zeer krachtige techniek! Gevonden bij elke stap en in elementaire wiskunde, en in de hoogste.

Dergelijke transformaties worden in de wiskundige taal identieke transformaties van uitdrukkingen genoemd. Voor degenen die het nog niet weten: bekijk de link. Er is heel weinig, eenvoudig en nuttig.) De betekenis van elke identiteitstransformatie is het vastleggen van de uitdrukking in een andere vorm met behoud van de essentie.

Betekenis factorisatie uiterst eenvoudig en duidelijk. Al vanaf de naam zelf. Je vergeet misschien (of weet niet) wat een vermenigvuldiger is, maar je kunt erachter komen dat dit woord afkomstig is van het woord ‘vermenigvuldigen’?) Factoring betekent: vertegenwoordigen een uitdrukking in de vorm van iets met iets vermenigvuldigen. Moge de wiskunde en de Russische taal mij vergeven...) Dat is alles.

U moet bijvoorbeeld het getal 12 uitbreiden. U kunt veilig schrijven:

Daarom presenteerden we het getal 12 als een vermenigvuldiging van 3 bij 4. Let op: de getallen aan de rechterkant (3 en 4) zijn totaal anders dan aan de linkerkant (1 en 2). Maar we begrijpen heel goed dat 12 en 3 4 dezelfde. De essentie van het getal 12 uit transformatie is niet veranderd.

Is het mogelijk om 12 anders te ontbinden? Gemakkelijk!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

De ontbindingsmogelijkheden zijn eindeloos.

Het ontbinden van getallen is een nuttig iets. Het helpt bijvoorbeeld veel bij het werken met wortels. Maar het ontbinden van algebraïsche uitdrukkingen is niet alleen nuttig, dat is het ook nodig! Gewoon bijvoorbeeld:

Makkelijker maken:

Degenen die niet weten hoe ze een uitdrukking moeten verwerken, staan ​​aan de zijlijn. Degenen die weten hoe - vereenvoudigen en krijgen:

Het effect is geweldig, toch?) Trouwens, de oplossing is vrij eenvoudig. Je zult het hieronder zelf zien. Of bijvoorbeeld deze taak:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

Het wordt trouwens in de geest besloten. Factorisatie gebruiken. We zullen dit voorbeeld hieronder oplossen. Antwoord: x1 = 0; x2 = 1.

Of hetzelfde, maar dan voor de oudere):

Los De vergelijking op:

In deze voorbeelden heb ik het laten zien belangrijkste doel factorisatie: het vereenvoudigen van fractionele uitdrukkingen en het oplossen van sommige soorten vergelijkingen. Ik raad je aan het te onthouden vuistregel:

Als we een enge gebroken uitdrukking voor ons hebben, kunnen we proberen de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Heel vaak wordt de breuk verkleind en vereenvoudigd.

Als we een vergelijking voor ons hebben, waarbij aan de rechterkant nul is, en aan de linkerkant - ik begrijp niet wat, kunnen we proberen de linkerkant in factoren te ontbinden. Soms helpt het).

Basismethoden voor factorisatie.

Hier zijn ze, de meest populaire methoden:

4. Uitbreiding van een kwadratische trinominaal.

Deze methoden moeten onthouden worden. Precies in die volgorde. Complexe voorbeelden worden gecontroleerd voor iedereen mogelijke manieren ontleding. En het is beter om het op volgorde te controleren, om niet in de war te raken... Laten we dus op volgorde beginnen.)

1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Eenvoudig en betrouwbare manier. Er komt niets slechts van hem! Het gebeurt goed of helemaal niet.) Daarom komt hij op de eerste plaats. Laten we het uitzoeken.

Iedereen kent (geloof ik!) de regel:

a(b+c) = ab+ac

Of meer algemeen beeld:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Alle gelijkheden werken zowel van links naar rechts als omgekeerd, van rechts naar links. Je kan schrijven:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+advertentie+.... = a(b+c+d+.....)

Dat is het hele punt van het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor.

Aan de linkerkant A - gemeenschappelijke vermenigvuldiger voor alle termen. Vermenigvuldigd met alles wat bestaat). Rechts is het meest A bevindt zich al buiten de beugels.

Praktisch gebruik Laten we de methode bekijken met behulp van voorbeelden. In eerste instantie is de optie eenvoudig, zelfs primitief.) Maar over deze optie zal ik opmerken ( groente) Erg belangrijke punten voor elke factorisatie.

Factoriseren:

ah+9x

Welke algemeen verschijnt de vermenigvuldiger in beide termen? Natuurlijk! We zullen het tussen haakjes zetten. Laten we dit doen. We schrijven X onmiddellijk buiten de haakjes:

bijl+9x=x(

En tussen haakjes schrijven we het resultaat van de deling elke termijn op deze X. In volgorde:

Dat is alles. Het is natuurlijk niet nodig om het zo gedetailleerd te beschrijven, dit gebeurt in de geest. Maar het is raadzaam om te begrijpen wat wat is). We registreren in het geheugen:

We schrijven de gemeenschappelijke factor buiten de haakjes. Tussen haakjes schrijven we de resultaten van het delen van alle termen door deze gemeenschappelijke factor. In volgorde.

Daarom hebben we de uitdrukking uitgebreid ah+9x door vermenigvuldigers. Ik heb het omgezet in x vermenigvuldigen met (a+9). Ik merk op dat er in de oorspronkelijke uitdrukking ook een vermenigvuldiging was, zelfs twee: a·x en 9·x. Maar het werd niet gefactoriseerd! Want naast vermenigvuldigen bevatte deze uitdrukking ook optelling, het “+” teken! En qua expressie x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldiging!

Hoe komt het!? - Ik hoor de verontwaardigde stem van het volk - En tussen haakjes!?)

Ja, er staat een toevoeging tussen haakjes. Maar de truc is dat we de haakjes wel in overweging nemen, ook al zijn ze niet geopend als één letter. En we doen alle acties geheel tussen haakjes, zoals bij één letter. In deze zin, in de uitdrukking x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldigen. Dit is het hele punt van factorisatie.

Is het trouwens mogelijk om op de een of andere manier te controleren of we alles goed hebben gedaan? Gemakkelijk! Het is voldoende om wat u hebt weergegeven (x) tussen haakjes te vermenigvuldigen en te kijken of het werkt origineel uitdrukking? Als het werkt, is alles geweldig!)

x(a+9)=bijl+9x

Gebeurd.)

Er zijn geen problemen in dit primitieve voorbeeld. Maar als er meerdere termen zijn, en zelfs met verschillende tekens... Kortom, elke derde student verprutst het). Daarom:

Controleer indien nodig de factorisatie door inverse vermenigvuldiging.

Factoriseren:

3ax+9x

We zijn op zoek naar een gemeenschappelijke factor. Nou, alles is duidelijk met X, het kan eruit worden gehaald. Is er meer algemeen factor? Ja! Dit is een drie. U kunt de uitdrukking als volgt schrijven:

3ax+3 3x

Hier is het meteen duidelijk dat de gemeenschappelijke factor zal zijn 3x. Hier halen we het eruit:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Verspreiden.

Wat gebeurt er als je het eruit haalt alleen x? Niets speciaals:

3ax+9x=x(3a+9)

Ook dit zal een factorisatie zijn. Maar hierin spannend proces Het is gebruikelijk om alles zoveel mogelijk uit te leggen zolang het nog kan. Hier tussen haakjes is er de mogelijkheid om een ​​drie neer te zetten. Het zal blijken:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hetzelfde, alleen met één extra actie.) Onthoud:

Wanneer we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes verwijderen, proberen we deze eruit te halen maximaal veelvoorkomende factor.

Zullen we doorgaan met de pret?)

Factor de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Wat gaan we meenemen? Drie, X? Nee... Dat kun je niet. Ik herinner je eraan dat je alleen kunt afhalen algemeen vermenigvuldiger dus in alles termen van de uitdrukking. Daarom hij algemeen. Zo'n vermenigvuldiger bestaat hier niet... Wat, je hoeft het niet uit te breiden!? Nou ja, we waren zo blij... Maak kennis met:

2. Groeperen.

Eigenlijk is het moeilijk om de groep een naam te geven op een onafhankelijke manier factorisatie. Het is meer een manier om eruit te komen complex voorbeeld.) We moeten de termen groeperen zodat alles goed komt. Dit kan alleen door een voorbeeld worden aangetoond. We hebben dus de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Het is duidelijk dat er enkele veel voorkomende letters en cijfers zijn. Maar... Algemeen er is geen vermenigvuldiger in alle termen. Laten we de moed niet verliezen en breek de uitdrukking in stukken. Groepering. Zodat elk stuk een gemeenschappelijke factor heeft, valt er iets weg te nemen. Hoe kunnen we het doorbreken? Ja, we hebben alleen haakjes gezet.

Ik wil u eraan herinneren dat haakjes overal kunnen worden geplaatst en hoe u maar wilt. Even de essentie van het voorbeeld is niet veranderd. U kunt dit bijvoorbeeld doen:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Let op de tweede haakjes! Ze worden voorafgegaan door een minteken, en 8a En 24 positief geworden! Als we, om dit te controleren, de haakjes terug openen, veranderen de borden en krijgen we origineel uitdrukking. Die. de essentie van de uitdrukking tussen haakjes is niet veranderd.

Maar als u zojuist haakjes hebt ingevoegd zonder rekening te houden met de tekenwijziging, bijvoorbeeld als volgt:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

het zou een vergissing zijn. Aan de rechterkant - al ander uitdrukking. Open de haakjes en alles wordt zichtbaar. Je hoeft niet verder te beslissen, ja...)

Maar laten we terugkeren naar factorisatie. Laten we naar de eerste haakjes kijken (3ax+9x) en we denken: is er iets dat we eruit kunnen halen? Welnu, we hebben dit voorbeeld hierboven opgelost, we kunnen het aan 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Laten we de tweede haakjes bestuderen, we kunnen daar een acht toevoegen:

(8a+24)=8(a+3)

Onze hele uitdrukking zal zijn:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Gefactoriseerd? Nee. Het resultaat van de ontbinding zou moeten zijn alleen vermenigvuldiging maar bij ons bederft het minteken alles. Maar... Beide termen hebben een gemeenschappelijke factor! Dit (a+3). Ik zei niet voor niets dat de hele haakjes als het ware één letter zijn. Dit betekent dat deze beugels uit de beugels gehaald kunnen worden. Ja, dat is precies hoe het klinkt.)

Wij doen zoals hierboven beschreven. We schrijven de gemeenschappelijke factor (a+3), tussen de tweede haakjes schrijven we de resultaten van het delen van de termen door (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Alle! Er is niets aan de rechterkant behalve vermenigvuldigen! Dit betekent dat de factorisatie met succes is voltooid!) Hier is het:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Laten we kort de essentie van de groep herhalen.

Als de uitdrukking dat niet doet algemeen vermenigvuldiger voor iedereen termen, delen we de uitdrukking op tussen haakjes, zodat binnen de haakjes de gemeenschappelijke factor staat was. Wij halen het eruit en kijken wat er gebeurt. Als je geluk hebt en er staan ​​absoluut identieke uitdrukkingen tussen haakjes, dan verplaatsen we deze haakjes uit de haakjes.

Ik zal hieraan toevoegen dat groeperen een creatief proces is). Het lukt niet altijd de eerste keer. Het is ok. Soms moet je termen uitwisselen en nadenken verschillende varianten groepen totdat er een succesvolle is gevonden. Het belangrijkste hier is om de moed niet te verliezen!)

Voorbeelden.

Nu je jezelf hebt verrijkt met kennis, kun je lastige voorbeelden oplossen.) Aan het begin van de les waren er drie van deze...

Makkelijker maken:

In wezen hebben we dit voorbeeld al opgelost. Zonder dat we het weten.) Ik herinner je eraan: als we een verschrikkelijke breuk krijgen, proberen we de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Andere vereenvoudigingsopties gewoon nee.

Welnu, de noemer wordt hier niet uitgebreid, maar de teller... We hebben de teller al tijdens de les uitgebreid! Soortgelijk:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

We schrijven het resultaat van de uitbreiding in de teller van de breuk:

Volgens de regel van het reduceren van breuken (de belangrijkste eigenschap van een breuk), kunnen we (tegelijkertijd!) de teller en de noemer delen door hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Fractie hiervan verandert niet. Dus delen we de teller en de noemer door de uitdrukking (3x-8). En hier en daar zullen we er eentje krijgen. Het eindresultaat van de vereenvoudiging:

Ik zou vooral willen benadrukken: het verkleinen van een breuk is mogelijk als en slechts als in de teller en de noemer, naast het vermenigvuldigen van uitdrukkingen er is niets. Dat is de reden waarom de transformatie van de som (verschil) in vermenigvuldiging zo belangrijk voor vereenvoudiging. Natuurlijk, als de uitdrukkingen verschillend, dan wordt er niets verlaagd. Het zal gebeuren. Maar factorisatie geeft een kans. Deze kans zonder ontbinding is er eenvoudigweg niet.

Voorbeeld met vergelijking:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

We halen de gemeenschappelijke factor eruit x 4 buiten haakjes. We krijgen:

x4 (x-1)=0

We realiseren ons dat het product van factoren gelijk is aan nul toen en alleen dan, wanneer een van deze nul is. Als je twijfelt, zoek dan een paar getallen die niet nul zijn en die, vermenigvuldigd, nul opleveren.) Dus schrijven we eerst de eerste factor:

Bij een dergelijke gelijkheid gaat de tweede factor ons niet aan. Dat kan iedereen zijn, maar uiteindelijk zal het nog steeds nul zijn. Welk getal tot de vierde macht geeft nul? Slechts nul! En geen ander... Daarom:

We hebben de eerste factor ontdekt en één wortel gevonden. Laten we naar de tweede factor kijken. Nu geven we niet meer om de eerste factor.):

Hier hebben we een oplossing gevonden: x1 = 0; x2 = 1. Elk van deze wortels past in onze vergelijking.

Erg belangrijke notitie. Houd er rekening mee dat we de vergelijking hebben opgelost stuk voor stuk! Elke factor was gelijk aan nul, ongeacht andere factoren. Trouwens, als er in zo'n vergelijking niet twee factoren zijn, zoals de onze, maar drie, vijf, zoveel als je wilt, zullen we het oplossen vergelijkbaar. Stuk voor stuk. Bijvoorbeeld:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Iedereen die de haakjes opent en alles vermenigvuldigt, zal voor altijd aan deze vergelijking blijven hangen.) De juiste leerling Hij zal onmiddellijk zien dat er aan de linkerkant niets anders is dan vermenigvuldigen, en aan de rechterkant nul. En hij zal beginnen (in zijn gedachten!) alle haakjes gelijk te stellen tot nul. En hij krijgt (in 10 seconden!) de juiste oplossing: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x4 = -2.

Cool, toch?) Zo'n elegante oplossing is mogelijk als de linkerkant van de vergelijking geldt gefactoriseerd. Snap je de hint?)

Nou, nog een laatste voorbeeld, voor de oudere):

Los De vergelijking op:

Het lijkt enigszins op de vorige, vind je niet?) Natuurlijk. Het is tijd om te onthouden dat in de algebra van de zevende klas sinussen, logaritmen en al het andere verborgen kunnen worden onder de letters! Factoring werkt in de hele wiskunde.

We halen de gemeenschappelijke factor eruit lg 4x buiten haakjes. We krijgen:

log4x=0

Dit is één wortel. Laten we naar de tweede factor kijken.

Hier is het definitieve antwoord: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ik hoop dat je de kracht van factoring hebt gerealiseerd bij het vereenvoudigen van breuken en het oplossen van vergelijkingen.)

In deze les hebben we geleerd over gemeenschappelijke factoring en groepering. Het blijft nodig om de formules voor verkorte vermenigvuldiging en de kwadratische trinominaal te begrijpen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Het in factoren ontbinden van een vergelijking is het proces waarbij die termen of uitdrukkingen worden gevonden die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, tot de initiële vergelijking leiden. Factoring is een nuttige vaardigheid voor het oplossen van elementaire algebraproblemen, en wordt bijna essentieel bij het werken met kwadratische vergelijkingen en andere veeltermen. Factoring wordt gebruikt om algebraïsche vergelijkingen te vereenvoudigen, zodat ze gemakkelijker op te lossen zijn. Factoring kan u helpen bepaalde mogelijke antwoorden sneller te elimineren dan wanneer u een vergelijking met de hand zou oplossen.

Stappen

Ontbinden van getallen en elementaire algebraïsche uitdrukkingen

1. Cijfers factoriseren. Het concept van factoring is eenvoudig, maar in de praktijk kan factoring een uitdaging zijn (als er een complexe vergelijking wordt gegeven). Laten we daarom eerst eens kijken naar het concept van factorisatie met getallen als voorbeeld, en verder gaan eenvoudige vergelijkingen en ga dan verder met complexe vergelijkingen. Vermenigvuldigers gegeven nummer- Dit zijn getallen die, vermenigvuldigd, het oorspronkelijke getal opleveren. De factoren van het getal 12 zijn bijvoorbeeld de getallen: 1, 12, 2, 6, 3, 4, aangezien 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Op dezelfde manier kun je de factoren van een getal beschouwen als de delers, dat wil zeggen de getallen waardoor het getal deelbaar is.
   • Zoek alle factoren van het getal 60. We gebruiken vaak het getal 60 (bijvoorbeeld 60 minuten in een uur, 60 seconden in een minuut, enz.) en dit getal heeft nogal een groot aantal van vermenigvuldigers.
     • 60 vermenigvuldigers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.

2. Herinneren: termen van een uitdrukking die een coëfficiënt (getal) en een variabele bevatten, kunnen ook in factoren worden ontbonden. Om dit te doen, zoekt u de coëfficiëntfactoren voor de variabele. Als u weet hoe u de termen van vergelijkingen in factoren moet ontbinden, kunt u deze eenvoudig vereenvoudigen gegeven vergelijking.

   • De term 12x kan bijvoorbeeld worden geschreven als het product van 12 en x. Je kunt 12x ook schrijven als 3(4x), 2(6x), enz., waarbij je 12 opsplitst in de factoren die voor jou het beste werken.
     • Je kunt 12x meerdere keren achter elkaar delen. Met andere woorden, je moet niet stoppen bij 3(4x) of 2(6x); ga door met de uitbreiding: 3(2(2x)) of 2(3(2x)) (uiteraard 3(4x)=3(2(2x)), etc.)

3. Pas de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe op algebraïsche vergelijkingen in factoren. Als u weet hoe u getallen en uitdrukkingstermen (coëfficiënten met variabelen) moet ontbinden, kunt u eenvoudige algebraïsche vergelijkingen vereenvoudigen door de gemeenschappelijke factor van een getal en uitdrukkingsterm te vinden. Om een ​​vergelijking te vereenvoudigen, moet u doorgaans de grootste gemene deler (GCD) vinden. Deze vereenvoudiging is mogelijk vanwege de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: voor alle getallen a, b, c is de gelijkheid a(b+c) = ab+ac waar.

   • Voorbeeld. Factor de vergelijking 12x + 6. Zoek eerst de ggd van 12x en 6. 6 is het grootste aantal, die zowel 12x als 6 verdeelt, dus je kunt deze vergelijking ontbinden in: 6(2x+1).
   • Dit proces geldt ook voor vergelijkingen met negatieve en fractionele termen. x/2+4 kan bijvoorbeeld worden omgezet in 1/2(x+8); -7x+(-21) kan bijvoorbeeld worden omgezet in -7(x+3).

   Kwadratische vergelijkingen in factoren ontbinden

   1. Zorg ervoor dat de vergelijking in kwadratische vorm wordt gegeven (ax 2 + bx + c = 0). Kwadratische vergelijkingen hebben de vorm: ax 2 + bx + c = 0, waarbij a, b, c andere numerieke coëfficiënten dan 0 zijn. Als u een vergelijking krijgt met één variabele (x) en in deze vergelijking staan ​​een of meer termen met een variabele van de tweede orde kunt u alle termen van de vergelijking naar één kant van de vergelijking verplaatsen en deze gelijk stellen aan nul.

      • Gegeven bijvoorbeeld de vergelijking: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Dit kan worden omgezet in de vergelijking x 2 + 6x + 9 = 0, wat een kwadratische vergelijking is.
      • Vergelijkingen met variabele x van grote orden, bijvoorbeeld x 3, x 4, enz. zijn geen kwadratische vergelijkingen. Dit zijn kubieke vergelijkingen, vergelijkingen van de vierde orde, enzovoort (tenzij dergelijke vergelijkingen kunnen worden vereenvoudigd tot kwadratische vergelijkingen waarbij de variabele x tot de macht 2 wordt verhoogd).

   2. Kwadratische vergelijkingen, waarbij a = 1, worden uitgebreid naar (x+d)(x+e), waarbij d*e=c en d+e=b. Als de aan u gegeven kwadratische vergelijking de vorm heeft: x 2 + bx + c = 0 (dat wil zeggen, de coëfficiënt van x 2 is 1), dan kan een dergelijke vergelijking worden uitgebreid (maar is niet gegarandeerd) naar de bovengenoemde factoren. Om dit te doen, moet je twee getallen vinden die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, “c” opleveren, en wanneer ze worden opgeteld, “b”. Zodra je deze twee getallen (d en e) hebt gevonden, sluit je ze aan volgende uitdrukking: (x+d)(x+e), wat bij het openen van de haakjes leidt tot de oorspronkelijke vergelijking.

      • Gegeven bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 en 3+2=5, dus je kunt deze vergelijking ontbinden in (x+3)(x+2).
      • Voor negatieve termen brengt u de volgende kleine wijzigingen aan in het factorisatieproces:
        • Als een kwadratische vergelijking de vorm x 2 -bx+c heeft, breidt deze zich uit naar: (x-_)(x-_).
        • Als een kwadratische vergelijking de vorm x 2 -bx-c heeft, breidt deze zich uit naar: (x+_)(x-_).
      • Opmerking: spaties kunnen worden vervangen door breuken of decimalen. De vergelijking x 2 + (21/2)x + 5 = 0 wordt bijvoorbeeld uitgebreid naar (x+10)(x+1/2).

   3. Factorisatie door vallen en opstaan. Niet ingewikkeld kwadratische vergelijkingen kan worden ontbonden door simpelweg getallen in te vullen mogelijke oplossingen totdat je vindt de juiste beslissing. Als de vergelijking de vorm ax 2 +bx+c heeft, waarbij a>1, worden mogelijke oplossingen geschreven in de vorm (dx +/- _)(ex +/- _), waarbij d en e numerieke coëfficiënten zijn die niet nul zijn , die bij vermenigvuldiging a opleveren. D of e (of beide coëfficiënten) kunnen gelijk zijn aan 1. Als beide coëfficiënten gelijk zijn aan 1, gebruik dan de hierboven beschreven methode.

      • Gegeven bijvoorbeeld de vergelijking 3x 2 - 8x + 4. Hier heeft 3 slechts twee factoren (3 en 1), dus mogelijke oplossingen worden geschreven als (3x +/- _)(x +/- _). Als u in dit geval -2 vervangt door spaties, vindt u het juiste antwoord: -2*3x=-6x en -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x en -2*-2=4, dat wil zeggen dat een dergelijke uitbreiding bij het openen van de haakjes zal leiden tot de termen van de oorspronkelijke vergelijking.

Wat te doen als je tijdens het oplossen van een probleem van het Unified State Examination of een toelatingsexamen in de wiskunde een polynoom hebt ontvangen dat niet in factoren kan worden ontbonden standaard methoden die je op school hebt geleerd? In dit artikel zal een wiskundeleraar je vertellen over een effectieve methode, waarvan de studie buiten het bestek valt schoolcurriculum, maar met behulp waarvan het niet moeilijk zal zijn om de polynoom in factoren te ontbinden. Lees dit artikel tot het einde en bekijk de bijgevoegde video-tutorial. De kennis die je opdoet, helpt je bij het examen.

Een polynoom in factoren ontbinden met behulp van de delingsmethode

In het geval dat je een polynoom groter dan de tweede graad hebt ontvangen en de waarde hebt kunnen raden van de variabele waarbij dit polynoom gelijk wordt aan nul (deze waarde is bijvoorbeeld gelijk aan ), weet het dan! Dit polynoom kan worden gedeeld door .

Het is bijvoorbeeld gemakkelijk in te zien dat een polynoom van de vierde graad verdwijnt bij . Dit betekent dat het zonder rest kan worden gedeeld door , waardoor een polynoom van de derde graad (minder door één) wordt verkregen. Dat wil zeggen, presenteer het in de vorm:

Waar A, B, C En D- enkele cijfers. Laten we de haakjes uitbreiden:

Omdat de coëfficiënten op gelijke graden moet hetzelfde zijn, we krijgen:

Dus we hebben:

Doe Maar. Het volstaat om verschillende kleine gehele getallen te doorlopen om te zien dat de polynoom van de derde graad weer deelbaar is door . Dit resulteert in een polynoom van de tweede graad (minder met één). Ga dan verder met een nieuw item:

Waar E, F En G- enkele cijfers. We openen de haakjes opnieuw en komen tot de volgende uitdrukking:

Opnieuw verkrijgen we uit de voorwaarde van gelijkheid van coëfficiënten voor dezelfde graden:

Dan krijgen we:

Dat wil zeggen, de oorspronkelijke polynoom kan als volgt worden ontbonden:

In principe kan het resultaat, indien gewenst, met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten ook in de volgende vorm worden weergegeven:

Zo eenvoudig en effectieve methode polynomen ontbinden. Onthoud het, het kan nuttig voor je zijn bij een examen of wiskundewedstrijd. Controleer of je hebt geleerd hoe je deze methode kunt gebruiken. Probeer de volgende taak zelf op te lossen.

Ontbind de polynoom in factoren:

Schrijf uw antwoorden in de reacties.

Materiaal bereid door Sergey Valerievich

Het factoriseren van polynomen is een identiteitstransformatie, waardoor een polynoom wordt getransformeerd in het product van verschillende factoren: polynomen of monomialen.

Er zijn verschillende manieren om polynomen te ontbinden.

Methode 1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Deze transformatie is gebaseerd op de distributieve wet van vermenigvuldiging: ac + bc = c(a + b). De essentie van de transformatie is om de gemeenschappelijke factor in de twee componenten in kwestie te isoleren en deze tussen haakjes te ‘halen’.

Laten we de polynoom 28x 3 – 35x 4 in factoren ontbinden.

Oplossing.

1. Zoek een gemeenschappelijke deler voor de elementen 28x3 en 35x4. Voor 28 en 35 is dit 7; voor x 3 en x 4 – x 3. Met andere woorden, onze gemeenschappelijke factor is 7x 3.

2. We vertegenwoordigen elk van de elementen als een product van factoren, waarvan er één
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. We halen de gemeenschappelijke factor tussen haakjes
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Methode 2. Gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules. De “beheersing” van het gebruik van deze methode is het opmerken van een van de verkorte vermenigvuldigingsformules in de uitdrukking.

Laten we de polynoom x 6 – 1 in factoren ontbinden.

Oplossing.

1 AAN deze uitdrukking we kunnen de formule voor het verschil in vierkanten toepassen. Om dit te doen, stel je x 6 voor als (x 3) 2, en 1 als 1 2, d.w.z. 1. De uitdrukking heeft de vorm:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. We kunnen de formule voor de som en het verschil van kubussen toepassen op de resulterende uitdrukking:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Dus,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).

Methode 3. Groeperen. De groeperingsmethode is om de componenten van een polynoom zo te combineren dat het gemakkelijk is om er bewerkingen op uit te voeren (optellen, aftrekken, aftrekken van een gemeenschappelijke factor).

Laten we de polynoom x 3 – 3x 2 + 5x – 15 ontbinden.

Oplossing.

1. Laten we de componenten op deze manier groeperen: 1e met 2e en 3e met 4e
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. In de resulterende uitdrukking halen we de gemeenschappelijke factoren tussen haakjes: x 2 in het eerste geval en 5 in het tweede geval.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. We nemen de gemeenschappelijke factor x – 3 tussen haakjes en krijgen:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Dus,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Laten we het materiaal veiligstellen.

Ontbind de polynoom a 2 – 7ab + 12b 2 in factoren.

Oplossing.

1. Laten we de monomiale 7ab voorstellen als de som 3ab + 4ab. De uitdrukking zal de vorm aannemen:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Laten we de haakjes openen en krijgen:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Laten we de componenten van de polynoom op deze manier groeperen: 1e met 2e en 3e met 4e. We krijgen:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Laten we de gemeenschappelijke factoren tussen haakjes zetten:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Laten we de gemeenschappelijke factor (a – 3b) tussen haakjes zetten:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Dus,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= een 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= een 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Een polynoom in factoren ontbinden. Deel 1

Factorisatie- dit is een universele techniek die helpt bij het oplossen complexe vergelijkingen en ongelijkheden. De eerste gedachte die in je opkomt bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden waarbij er een nul aan de rechterkant staat, is proberen de linkerkant in factoren te betrekken.

Laten we de belangrijkste opsommen manieren om een ​​polynoom te ontbinden:

• door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten
• met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules
• met behulp van de formule voor het ontbinden van een kwadratische trinominaal
• groeperingsmethode
• een polynoom delen door een binomiaal
• methode van onzekere coëfficiënten

In dit artikel zullen we dieper ingaan op de eerste drie methoden, de rest zullen we in volgende artikelen bespreken.

1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen, moet je deze eerst vinden. Gemeenschappelijke vermenigvuldigingsfactor gelijk aan de grootste gemene deler van alle coëfficiënten.

Briefdeel de gemeenschappelijke factor is gelijk aan het product van de uitdrukkingen in elke term met de kleinste exponent.

Het schema voor het toekennen van een gemeenschappelijke vermenigvuldiger ziet er als volgt uit:

Aandacht!
Het aantal termen tussen haakjes is gelijk aan het aantal termen in de oorspronkelijke uitdrukking. Als een van de termen samenvalt met de gemeenschappelijke factor, krijgen we er één door deze te delen door de gemeenschappelijke factor.

Voorbeeld 1.

Factor de polynoom:

Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten. Om dit te doen, zullen we het eerst vinden.

1. Vind de grootste gemene deler van alle coëfficiënten van de polynoom, d.w.z. nummers 20, 35 en 15. Het is gelijk aan 5.

2. We stellen vast dat de variabele in alle termen vervat zit, en dat de kleinste van zijn exponenten gelijk is aan 2. De variabele is vervat in alle termen, en dat de kleinste van zijn exponenten 3 is.

De variabele zit alleen in de tweede term en maakt dus geen deel uit van de gemeenschappelijke factor.

De totale factor is dus

3. We halen de vermenigvuldiger tussen haakjes met behulp van het bovenstaande diagram:

Voorbeeld 2. Los De vergelijking op:

Oplossing. Laten we de linkerkant van de vergelijking ontbinden in factoren. Laten we de factor tussen haakjes zetten:

Dus we krijgen de vergelijking

Laten we elke factor gelijkstellen aan nul:

We krijgen - de wortel van de eerste vergelijking.

Wortels:

Antwoord: -1, 2, 4

2. Factorisatie met behulp van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Als het aantal termen in de polynoom die we gaan ontbinden kleiner is dan of gelijk is aan drie, dan proberen we de verkorte vermenigvuldigingsformules toe te passen.

1. Als de polynoom isverschil van twee termen, dan proberen we te solliciteren formule voor kwadratenverschil:

of formule voor verschil in kubussen:

Hier zijn de brieven en duiden een getal of algebraïsche uitdrukking aan.

2. Als een polynoom de som is van twee termen, kan deze misschien worden ontbonden met behulp van formules voor som van kubussen:

3. Als een polynoom uit drie termen bestaat, proberen we dit toe te passen formule voor vierkante som:

of kwadratische verschilformule:

Of we proberen te ontbinden in factoren formule voor het ontbinden van een kwadratische trinominaal:

Hier en zijn de wortels van de kwadratische vergelijking

Voorbeeld 3.Factor de uitdrukking:

Oplossing. We hebben de som van twee termen voor ons. Laten we proberen de formule voor de som van kubussen toe te passen. Om dit te doen, moet je eerst elke term voorstellen als een kubus van een bepaalde uitdrukking, en vervolgens de formule voor de som van de kubussen toepassen:

Voorbeeld 4. Factor de uitdrukking:

Beslissing. Hier hebben we het verschil tussen de kwadraten van twee uitdrukkingen. Eerste expressie: , tweede expressie:

Laten we de formule voor het verschil in vierkanten toepassen:

Laten we de haakjes openen en soortgelijke termen toevoegen, we krijgen: