Дәрежесі бар сандарды басқа шамалар сияқты қосуға болатыны анық , оларды белгілерімен бір-бірден қосу арқылы.
Сонымен, a 3 және b 2 қосындысы a 3 + b 2 болады.
3 - b n және h 5 -d 4 қосындысы 3 - b n + h 5 - d 4 болады.
Мүмкіндіктер бірдей айнымалылардың бірдей дәрежелеріқосуға немесе азайтуға болады.
Сонымен, 2a 2 және 3a 2 қосындысы 5a 2 болады.
Сондай-ақ екі шаршы a, немесе үш шаршы a немесе бес шаршыны алсақ, бұл анық.
Бірақ дәрежелер әртүрлі айнымалыларЖәне әртүрлі дәрежелер бірдей айнымалылар, олардың белгілеріне қосу арқылы қосылуы керек.
Сонымен, 2 мен 3-тің қосындысы 2 + a 3-тің қосындысы болады.
А-ның квадраты және а-ның кубы а-ның квадратынан екі есе емес, а-ның екі есе кубы екені анық.
a 3 b n және 3a 5 b 6 қосындысы a 3 b n + 3a 5 b 6 болады.
Алуөкiлеттiктер қосу сияқты жүргiзiледi, тек айыру белгiлерiнiң тиiсiнше өзгертiлуi тиiс.
Немесе:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3сағ 2 b 6 - 4сағ 2 b 6 = -сағ 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Қуатты көбейту
Дәрежесі бар сандарды бірінен соң бірін жазу арқылы, олардың арасында көбейту белгісін қойып немесе онсыз басқа шамалар сияқты көбейтуге болады.
Сонымен, a 3-ті b 2-ге көбейтудің нәтижесі 3 b 2 немесе aaabb болады.
Немесе:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Соңғы мысалдағы нәтижені бірдей айнымалыларды қосу арқылы ретке келтіруге болады.
Өрнектің пішіні болады: a 5 b 5 y 3 .
Бірнеше сандарды (айнымалыларды) дәрежелерімен салыстыра отырып, егер олардың кез келген екеуін көбейтсе, онда нәтиже дәрежесі мынаған тең сан (айнымалы) болатынын көреміз. соматерминдердің дәрежелері.
Сонымен, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Мұндағы 5 – көбейту нәтижесінің дәрежесі, 2+3-ке тең, мүшелердің дәрежелерінің қосындысы.
Сонымен, a n .a m = a m+n .
a n үшін a көбейткіш ретінде n-дің дәрежесі қанша болса, сонша рет алынады;
Ал a m , көбейткіш ретінде m дәрежесі қанша болса, сонша рет алынады;
Сондықтан, негіздері бірдей дәрежелерді дәрежелерді қосу арқылы көбейтуге болады.
Сонымен, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ал x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Немесе:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) көбейтіңіз.
Жауабы: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) көбейтіңіз.
Бұл ереже дәреже көрсеткіштері - болатын сандарға да қатысты. теріс.
1. Сонымен, a -2 .a -3 = a -5 . Мұны (1/аа) түрінде жазуға болады.(1/ааа) = 1/аааа.
2. у-н .у-м = у-н-м .
3. a -n .a m = a m-n .
Егер a + b a - b көбейтілсе, нәтиже 2 - b 2 болады: яғни
Екі санның қосындысын немесе айырмасын көбейтудің нәтижесі олардың квадраттарының қосындысына немесе айырмасына тең.
Екі санның қосындысы мен айырмасы көтерілсе шаршы, нәтиже осы сандардың қосындысына немесе айырмасына тең болады төртіншідәрежесі.
Сонымен, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Биліктерді бөлу
Дәрежесі бар сандарды басқа сандар сияқты бөлгіштен азайту немесе бөлшек түрінде орналастыру арқылы бөлуге болады.
Демек, a 3 b 2, b 2-ге бөлінгенде, а 3 болады.
Немесе:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5-ті 3-ке бөлу $\frac(a^5)(a^3)$ сияқты көрінеді. Бірақ бұл 2-ге тең. Сандар қатарында
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
кез келген санды екіншісіне бөлуге болады, ал дәреже көрсеткіші тең болады айырмашылықбөлінетін сандардың көрсеткіштері.
Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу кезінде олардың дәрежелері алынып тасталады..
Сонымен, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Яғни, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ал a n+1:a = a n+1-1 = a n . Яғни, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Немесе:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Ереже бар сандар үшін де жарамды терісдәреже мәндері.
-5-ті -3-ке бөлудің нәтижесі -2 болады.
Сондай-ақ, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 немесе $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Дәрежелерді көбейту мен бөлуді өте жақсы меңгеру керек, өйткені мұндай амалдар алгебрада өте кең қолданылады.
Құрамында дәрежесі бар сандары бар бөлшекті мысалдарды шешу мысалдары
1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ көрсеткішіндегі дәрежелерді азайтыңыз Жауабы: $\frac(5a^2)(3)$.
2. $\frac(6x^6)(3x^5)$ көрсеткішіндегі дәрежелерді азайтыңыз. Жауабы: $\frac(2x)(1)$ немесе 2x.
3. a 2 / a 3 және a -3 / a -4 дәрежелерін азайтып, ортақ бөлгішке келтіріңіз.
a 2 .a -4 -2 бірінші алымы.
a 3 .a -3 - 0 = 1, екінші алым.
a 3 .a -4 - a -1 , ортақ алым.
Жеңілдетілгеннен кейін: a -2 /a -1 және 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 және 2 /a 4 дәрежелерін азайтып, ортақ бөлгішке келтіріңдер.
Жауабы: 2a 3/5a 7 және 5a 5/5a 7 немесе 2a 3/5a 2 және 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4-ті (a - b)/3-ке көбейтіңіз.
6. (a 5 + 1)/x 2 санын (b 2 - 1)/(x + a) көбейтіңіз.
7. b 4 /a -2 санын h -3 /x және a n /y -3 көбейтіңіз.
8. 4 /y 3 санын 3 /y 2-ге бөліңіз. Жауабы: а/ж.
9. (h 3 - 1)/d 4-ті (d n + 1)/сағ-қа бөліңіз.
Тақырып бойынша сабақ: «Дәрежелері бірдей және әр түрлі дәрежедегі дәрежелерді көбейту және бөлу ережелері. Мысалдар»
Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, ұсыныстарыңызды қалдыруды ұмытпаңыздар. Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексеріледі.
7-сыныпқа арналған «Интеграл» интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар
Оқулыққа арналған нұсқаулық Ю.Н. Макарычева Оқулыққа арналған нұсқаулық А.Г. Мордкович
Сабақтың мақсаты: санның дәрежелерімен амалдарды орындауды үйрету.
Алдымен «санның дәрежесі» ұғымын еске түсірейік. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ сияқты өрнекті $a^n$ ретінде көрсетуге болады.
Керісінше де дұрыс: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Бұл теңдік «дәрежені өнім ретінде жазу» деп аталады. Бұл қуаттарды қалай көбейту және бөлу керектігін анықтауға көмектеседі.
Есіңізде болсын:
а- дәреженің негізі.
n- көрсеткіш.
Егер n=1, бұл санды білдіреді Абір рет алынады және сәйкесінше: $a^n= 1$.
Егер n=0, содан кейін $a^0= 1$.
Неліктен бұл орын алады, біз дәрежелерді көбейту және бөлу ережелерімен танысқанда біле аламыз.
көбейту ережелері
а) Негіздері бірдей дәрежелер көбейтілсе.$a^n * a^m$ мәніне қуаттарды туынды ретінде жазамыз: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (м )$.
Суретте бұл сан көрсетілген Аалды n+mрет, содан кейін $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Мысал.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Бұл қасиет санды үлкен қуатқа көтеру кезінде жұмысты жеңілдету үшін қолдануға ыңғайлы.
Мысал.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Дәрежелері басқа негізге көбейтілсе, бірақ көрсеткіші бірдей.
$a^n * b^n$ мәніне қуаттарды туынды ретінде жазамыз: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (м )$.
Егер факторларды ауыстырып, алынған жұптарды санасақ, мынаны аламыз: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Сонымен $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Мысал.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
бөлу ережелері
а) Дәреженің негізі бірдей, дәрежелері әртүрлі.Дәрежені кіші дәрежелі дәрежеге бөлу арқылы үлкен дәрежелі дәрежені бөлуді қарастырыңыз.
Демек, бұл қажет $\frac(a^n)(a^m)$, Қайда n>m.
Дәрежелерді бөлшек түрінде жазамыз:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Ыңғайлы болу үшін бөлуді жай бөлшек түрінде жазамыз.Енді бөлшекті азайтайық.
Көрсетілгендей: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
білдіреді, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Бұл қасиет санды нөл дәрежесіне көтеру жағдайын түсіндіруге көмектеседі. Соны делік n=m, онда $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Мысалдар.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
б) Дәреженің негіздері әртүрлі, көрсеткіштері бірдей.
Сізге $\frac(a^n)( b^n)$ керек делік. Сандардың дәрежелерін бөлшек түрінде жазамыз:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Ыңғайлы болу үшін елестетіп көрейік.
Бөлшектердің қасиетін пайдаланып, үлкен бөлшекті кішілердің көбейтіндісіне бөлеміз, аламыз.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Сәйкесінше: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Мысал.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Бастапқы деңгей
Дәреже және оның қасиеттері. Кешенді нұсқаулық (2019)
Неліктен дәрежелер қажет? Олар сізге қайда керек? Неліктен оларды зерттеуге уақыт бөлу керек?
Дәрежелер туралы, олар не үшін қажет, біліміңізді қалай пайдалану керектігі туралы білу Күнделікті өміросы мақаланы оқыңыз.
Және, әрине, дәрежелерді білу сізді сәттілікке жақындатады OGE өтунемесе Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырып, армандаған университетке түсу.
Кеттік... (Кеттік!)
Маңызды ескерту! Формулалардың орнына бос сөзді көрсеңіз, кэшті тазалаңыз. Ол үшін CTRL+F5 (Windows жүйесінде) немесе Cmd+R (Mac жүйесінде) пернелер тіркесімін басыңыз.
БАСТАПҚЫ ДЕҢГЕЙ
Дәрежеге шығару – қосу, алу, көбейту немесе бөлу сияқты математикалық операция.
Енді мен бәрін адам тілінде өте жақсы түсіндіремін қарапайым мысалдар. Абай бол. Мысалдар қарапайым, бірақ маңызды нәрселерді түсіндіреді.
Қосымшадан бастайық.
Мұнда түсіндіретін ештеңе жоқ. Сіз бәрін білесіз: біз сегіз адамбыз. Әрқайсысында екі бөтелке кола бар. Кола қанша? Бұл дұрыс - 16 бөтелке.
Енді көбейту.
Коламен бірдей мысалды басқаша жазуға болады: . Математиктер айлакер және жалқау адамдар. Олар алдымен кейбір үлгілерді байқайды, содан кейін оларды тезірек «санау» әдісін ойлап табады. Біздің жағдайда олар сегіз адамның әрқайсысына назар аударды бірдей санкола бөтелкелерін алып, көбейту деп аталатын әдісті ойлап тапты. Келісіңіз, ол оңайырақ және жылдамырақ болып саналады.
Сонымен, тезірек, оңай және қатесіз санау үшін тек есте сақтау керек көбейту кестесі. Әрине, сіз бәрін баяу, қиынырақ және қателіктермен жасай аласыз! Бірақ…
Міне, көбейту кестесі. Қайталау.
Тағы бір, әдемірек:
Және тағы не күрделі трюктарЖалқау математиктер шоттарды ойлап тапты ма? Оң - санды дәрежеге көтеру.
Санды дәрежеге көтеру
Егер санды өзіне бес есе көбейту керек болса, онда математиктер бұл санды бесінші дәрежеге дейін көтеру керек дейді. Мысалы, . Математиктер екіден бесінші дәрежеге тең екенін есте ұстайды. Және олар мұндай мәселелерді өз санасында шешеді - тезірек, оңай және қатесіз.
Мұны істеу үшін сізге тек қажет сандардың дәрежелер кестесінде ненің түсімен ерекшеленгенін есте сақтаңыз. Маған сеніңіз, бұл сіздің өміріңізді әлдеқайда жеңілдетеді.
Айтпақшы, неге екінші дәреже деп аталады шаршысандар, үшінші текше? Бұл нені білдіреді? Өте жақсы сұрақ. Енді сізде шаршылар да, текшелер де болады.
Нақты өмірлік мысал №1
Квадраттан немесе санның екінші дәрежесінен бастайық.
Метрлермен өлшенетін шаршы бассейнді елестетіп көріңіз. Бассейн сіздің аулаңызда. Күн ыстық, мен шынымен жүзгім келеді. Бірақ ... түбі жоқ бассейн! Бассейннің түбін плиткамен жабу керек. Сізге қанша плитка қажет? Мұны анықтау үшін сіз бассейн түбінің ауданын білуіңіз керек.
Саусағыңызды қағып, бассейннің түбі метрмен текшелерден тұратынын жай ғана санай аласыз. Егер сіздің плиткаларыңыз метрге метр болса, сізге бөліктер қажет болады. Бұл оңай... Бірақ мұндай тақтайшаны қайдан көрдіңіз? Плитка см см болады, содан кейін «саусақпен санау» сізді азаптайды. Содан кейін көбейту керек. Сонымен, бассейннің түбінің бір жағында біз тақтайшаларды (кесектер), ал екіншісінде де плиткаларды орналастырамыз. Көбейту арқылы сіз плиткаларды аласыз ().
Бассейн түбінің ауданын анықтау үшін бірдей санды өзіне көбейткенімізді байқадыңыз ба? Бұл нені білдіреді? Бірдей сан көбейтілгендіктен, біз дәрежеге шығару техникасын пайдалана аламыз. (Әрине, сізде тек екі сан болған кезде, сіз оларды әлі де көбейтуіңіз керек немесе оларды бір дәрежеге дейін көтеруіңіз керек. Бірақ егер сізде олар көп болса, онда дәрежеге көтеру әлдеқайда оңай және есептеулерде қателер де аз болады. Емтихан үшін бұл өте маңызды).
Сонымен, отыздан екінші дәрежеге дейін () болады. Немесе отыз квадрат болады деп айтуға болады. Басқаша айтқанда, санның екінші дәрежесін әрқашан шаршы түрінде көрсетуге болады. Және керісінше, егер сіз шаршыны көрсеңіз, ол ӘРҚАШАН кейбір санның екінші дәрежесі болады. Шаршы – санның екінші дәрежесінің кескіні.
Нақты өмірлік мысал №2
Міне, сендерге тапсырма, санның квадраты арқылы шахмат тақтасында қанша шаршы бар екенін есепте... Ұяшықтардың бір жағында, екінші жағында да. Олардың санын санау үшін сегізді сегізге немесе ... байқасаңыз, көбейту керек шахмат тақтасықабырғасы бар шаршы болса, онда сегізді шаршыға алуға болады. Ұяшықтарды алыңыз. () Сонымен?
Нақты өмірден мысал №3
Енді текше немесе санның үшінші дәрежесі. Дәл сол бассейн. Бірақ қазір бұл бассейнге қанша су құйылуы керек екенін анықтау керек. Сізге көлемді есептеу керек. (Айтпақшы, көлем мен сұйықтық өлшенеді текше метр. Күтпеген жерден, солай ма?) Бассейнді сызыңыз: түбі бір метр, тереңдігі бір метр және бассейнге барлығы қанша текше метрге кіретінін есептеп көріңіз.
Тек саусағыңызды көрсетіңіз және санаңыз! Бір, екі, үш, төрт...жиырма екі, жиырма үш... Қанша шықты? Адасқан жоқсыз ба? Саусақпен санау қиын ба? Сондай-ақ! Математиктерден мысал алайық. Олар жалқау, сондықтан бассейннің көлемін есептеу үшін оның ұзындығын, енін және биіктігін бір-біріне көбейту керек екенін байқады. Біздің жағдайда бассейннің көлемі текшелерге тең болады ... Оңай, солай ма?
Енді математиктердің қаншалықты жалқау және айлакер екенін елестетіп көріңіз, егер олар мұны тым жеңілдетсе. Барлығын бір әрекетке қысқартты. Олар ұзындықтың, ені мен биіктігінің тең екенін және бірдей санның өздігінен көбейтілетінін байқады ... Ал бұл нені білдіреді? Бұл сіз дәрежені пайдалана аласыз дегенді білдіреді. Сонымен, сіз бір рет саусақпен санағаныңызды олар бір әрекетте жасайды: текшедегі үшеу тең. Ол былай жазылған:
Тек қалады дәрежелер кестесін жаттау. Әрине, сіз математиктер сияқты жалқау және қу болмасаңыз. Егер сіз көп жұмыс істеп, қателескенді ұнатсаңыз, саусақпен санауды жалғастыра аласыз.
Ақыр соңында сізді ғылыми дәрежелерді лоферлер мен айлакер адамдар ойлап тапқанына сендіру үшін өмірлік проблемалар, және сізге қиындық тудырмау үшін, міне, өмірден тағы бірнеше мысал.
№4 өмірлік мысал
Сізде миллион рубль бар. Әр жылдың басында сіз миллионға тағы миллион табасыз. Яғни, әр жылдың басында сіздің миллионыңыз екі есе артады. Бірнеше жылдан кейін сізде қанша ақша болады? Егер сіз қазір отырып, «саусақпен санап» жатсаңыз, сіз өте еңбекқор және .. ақымақсыз. Бірақ сіз бір-екі секундта жауап бересіз, өйткені сіз ақылдысыз! Сонымен, бірінші жылы – екі есе екі... екінші жылы – не болды, тағы екі, үшінші жылы... Тоқта! Сіз санның өзіне бір рет көбейтілетінін байқадыңыз. Демек, екіден бесінші дәреже - миллион! Енді елестетіп көріңізші, сізде жарыс өтіп жатыр және кім жылдам есептесе, сол миллиондарды алады ... Сандардың дәрежелерін еске түсіру керек пе, сіз қалай ойлайсыз?
№5 өмірлік мысал
Сізде миллион бар. Әр жылдың басында сіз әр миллионға екі қосымша табыс табасыз. Өте жақсы, солай ма? Әрбір миллион үш есе артады. Бір жылда қанша ақшаңыз болады? Есептеп көрейік. Бірінші жыл - көбейтіңіз, содан кейін нәтиже басқа ... Бұл қазірдің өзінде қызықсыз, өйткені сіз бәрін түсіндіңіз: үш саны өздігінен еселенген. Сонымен төртінші дәреже – миллион. Тек үштен төртінші дәрежеге дейін немесе екенін есте сақтау керек.
Енді сіз санды күшке көтеру арқылы өміріңізді әлдеқайда жеңілдететініңізді білесіз. Дәрежелермен не істей алатыныңызды және олар туралы не білуіңіз керек екенін толығырақ қарастырайық.
Терминдер мен түсініктер ... шатастырмас үшін
Сонымен, алдымен ұғымдарды анықтайық. Қалай ойлайсын, көрсеткіш дегеніміз не? Бұл өте қарапайым - бұл санның қуатының «жоғарғы жағында» орналасқан сан. Ғылыми емес, бірақ түсінікті және есте сақтау оңай ...
Ал, сонымен бірге, не осындай дәреже базасы? Төменгі жағында, негізде орналасқан сан одан да қарапайым.
Бұл сізге сенімді болу үшін сурет.
Жақсы және ішінде жалпы көрінісжалпылау және жақсырақ есте сақтау үшін ... «» негізі және «» көрсеткіші бар дәреже «дәрежеге дейін» деп оқылады және келесідей жазылады:
Натурал көрсеткішті санның дәрежесі
Сіз оны қазірдің өзінде болжаған шығарсыз: себебі көрсеткіш натурал сан. Иә, бірақ не натурал сан? Бастауыш! Натурал сандар - элементтерді тізімдеу кезінде санауда қолданылатын сандар: бір, екі, үш ... Біз элементтерді санаған кезде: «минус бес», «минус алты», «минус жеті» деп айтпаймыз. Біз де «үштен бір» немесе «нөл бес ондық» демейміз. Бұл натурал сандар емес. Бұл сандар қандай деп ойлайсыңдар?
«Минус бес», «минус алты», «минус жеті» сияқты сандар жатады бүтін сандар.Жалпы алғанда бүтін сандарға барлық натурал сандар, натурал сандарға қарама-қарсы сандар (яғни минус таңбасымен алынған) және сан жатады. Нөлді түсіну оңай - бұл ештеңе болмаған кезде. Ал теріс («минус») сандар нені білдіреді? Бірақ олар ең алдымен қарыздарды белгілеу үшін ойлап табылған: егер сіздің телефоныңызда рубльдегі теңгерім болса, бұл сіздің операторға рубль қарыз екеніңізді білдіреді.
Барлық бөлшектер рационал сандар. Олар қалай пайда болды, қалай ойлайсыз? Өте оңай. Бірнеше мың жыл бұрын біздің ата-бабаларымыз ұзындықты, салмақты, ауданды және т.б. өлшеу үшін натурал сандар жеткіліксіз екенін анықтады. Және олар ойлап тапты рационал сандар... Қызық, солай емес пе?
Иррационал сандар да бар. Бұл қандай сандар? Қысқасы, шексіз ондық бөлшек. Мысалы, шеңбердің шеңберін оның диаметріне бөлсеңіз, онда иррационал сан шығады.
Түйіндеме:
Көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң) болатын дәреже ұғымын анықтайық.
- Бірінші дәрежеге дейінгі кез келген сан өзіне тең:
- Санды квадраттау дегеніміз оны өзіне көбейту:
- Санды текшелеу үшін оны өзіне үш есе көбейту керек:
Анықтама.Санды натурал дәрежеге көтеру дегеніміз санды өзіне көбейту:
.
Дәреженің қасиеттері
Бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Қазір көрсетемін.
Не екенін көрейік Және ?
А- приорит:
Барлығы неше көбейткіш бар?
Бұл өте қарапайым: факторларға факторларды қостық, ал нәтиже факторлар болып табылады.
Бірақ анықтамасы бойынша бұл дәреже көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни: , дәлелдеуді талап етті.
Мысал: Өрнекті жеңілдету.
Шешімі:
Мысалы:Өрнекті жеңілдету.
Шешімі:Бұл біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрдесол себеп болуы керек!
Сондықтан біз дәрежелерді негізбен біріктіреміз, бірақ бөлек фактор болып қала береміз:
тек күштердің өнімдері үшін!
Ешбір жағдайда оны жазбау керек.
2. яғни -санның дәрежесі
Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына көшейік:
Көрсетілгендей, өрнек өзіне бір рет көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның ші дәрежесі:
Шын мәнінде, мұны «индикаторды жақшаға алу» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:
Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді?
Бірақ бұл шын емес.
Теріс базасы бар дәреже
Осы уақытқа дейін біз тек көрсеткіштің қандай болуы керектігін талқыладық.
Бірақ негіз не болуы керек?
бастап градуспен табиғи көрсеткішнегізі болуы мүмкін кез келген сан. Шынында да, біз кез келген санды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп.
Қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандар дәрежелері болатынын ойластырайық?
Мысалы, сан оң немесе теріс болады ма? А? ? Біріншісінде бәрі түсінікті: біз бір-бірімізге қанша оң сандарды көбейтсек те, нәтиже оң болады.
Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. Өйткені, біз 6-сыныптағы қарапайым ережені еске аламыз: «минусты көбейту минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ көбейтсек, шығады.
Мына өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Сіз басқардыңыз ба?
Міне, жауаптар: Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
5-мысалда) бәрі де соншалықты қорқынышты емес: базаның теңдігі маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады.
Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База бірдей емес, солай емес пе? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).
6-мысал) енді оңай емес!
6 тәжірибелік мысал
Шешімді талдау 6 мысал
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы! Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар ауыстырылса, ереже қолданылуы мүмкін.
Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз.
Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
тұтаснатурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын (яғни «» белгісімен алынған) және санды атаймыз.
оң бүтін сан, және бұл табиғидан еш айырмашылығы жоқ, сонда бәрі алдыңғы бөлімдегідей болады.
Енді жаңа істерді қарастырайық. тең көрсеткіштен бастайық.
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең:
Әдеттегідей, біз өзімізге сұрақ қоямыз: неге бұлай?
Негізмен біраз қуатты қарастырыңыз. Мысалы, алайық және көбейтіңіз:
Сонымен, біз санды көбейттік және ол - сияқты болды. Ештеңе өзгермеуі үшін қандай санға көбейту керек? Дәл солай. білдіреді.
Біз ерікті санмен де солай істей аламыз:
Ережені қайталайық:
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең.
Бірақ көптеген ережелерден ерекшеліктер бар. Міне, ол да бар - бұл сан (негіз ретінде).
Бір жағынан, ол кез келген дәрежеге тең болуы керек – нөлді өзіне қанша көбейтсең де, бәрібір нөл шығады, бұл түсінікті. Бірақ екінші жағынан, нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан сияқты, ол тең болуы керек. Сонымен, мұның шындығы қандай? Математиктер араласпауға шешім қабылдады және нөлді нөлдік дәрежеге көтеруден бас тартты. Яғни, қазір біз нөлге бөліп қана қоймай, оны нөлдік дәрежеге дейін көтере аламыз.
Әрі қарай жүрейік. Натурал сандардан басқа бүтін сандарға да кіреді теріс сандар. Теріс дәреженің не екенін түсіну үшін соңғы ретпен бірдей әрекет етейік: кейбір қалыпты санды теріс дәрежеде бірдей көбейтеміз:
Осы жерден қалағаныңызды білдіру оңай:
Енді алынған ережені еркін дәрежеге дейін кеңейтеміз:
Ендеше, ережені құрастырайық:
Теріс дәрежелі сан – сол санның оң дәрежесіне кері сан. Бірақ негіз нөл болуы мүмкін емес:(өйткені бөлуге болмайды).
Жинақтау:
I. Өрнек жағдайда анықталмайды. Егер, онда.
II. Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең: .
III. Теріс дәрежеге нөлге тең емес сан оң дәрежеге бірдей санға кері сан болады: .
Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:
Әдеттегідей, тәуелсіз шешімнің мысалдары:
Өз бетінше шешу үшін тапсырмаларды талдау:
Білемін, білемін, сандар қорқынышты, бірақ емтиханда сіз бәріне дайын болуыңыз керек! Осы мысалдарды шешіңіз немесе егер сіз оны шеше алмасаңыз, олардың шешімін талдаңыз және емтиханда олармен оңай күресуді үйренесіз!
Көрсеткіш ретінде «қолайлы» сандар шеңберін кеңейтуді жалғастырайық.
Енді ойланыңыз рационал сандар.Қандай сандар рационал деп аталады?
Жауап: бөлшек түрінде беруге болатынның бәрі, мұндағы және бүтін сандар.
Не екенін түсіну үшін «бөлшек дәреже»Бөлшекті қарастырайық:
Теңдеудің екі жағын да дәрежеге көтерейік:
Енді ережені еске түсіріңіз «дәрежеге дейін»:
Алу үшін қандай санды көбейту керек?
Бұл тұжырым – ші дәрежелі түбірдің анықтамасы.
Еске сала кетейін: санның () дәрежесінің түбірі дәрежеге көтерілгенде тең болатын сан.
Яғни, ші дәреженің түбірі дәрежеге шығарудың кері операциясы: .
Солай екен. Әлбетте, бұл жеке оқиғаұзартылуы мүмкін: .
Енді санды қосыңыз: бұл не? Жауапты қуат-қуат ережесімен алу оңай:
Бірақ негіз кез келген сан болуы мүмкін бе? Өйткені, түбірді барлық сандардан шығару мүмкін емес.
Ешбір!
Ережені есте сақтаңыз: жұп дәрежеге көтерілген кез келген сан оң сан болады. Яғни, теріс сандардан жұп дәрежелі түбірлерді шығару мүмкін емес!
Ал бұл мұндай сандарды жұп бөлімі бар бөлшек дәрежесіне көтеруге болмайтынын білдіреді, яғни өрнек мағынасы жоқ.
Ал өрнек туралы не деуге болады?
Бірақ бұл жерде мәселе туындайды.
Санды басқа, қысқартылған бөлшек түрінде көрсетуге болады, мысалы, немесе.
Ал ол бар, бірақ жоқ екені белгілі болды және бұл бір санның екі түрлі жазбасы ғана.
Немесе басқа мысал: бір рет, содан кейін оны жазуға болады. Бірақ индикаторды басқаша жазғанда, біз қайтадан қиындыққа тап боламыз: (яғни, біз мүлдем басқа нәтиже алдық!).
Мұндай парадокстарды болдырмау үшін қарастырыңыз бөлшек көрсеткіші бар тек оң базалық көрсеткіш.
Сонымен, егер:
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәрежелер түбірлері бар өрнектерді түрлендіру үшін өте пайдалы, мысалы:
5 тәжірибелік мысал
Тренингке 5 мысалды талдау
Ал, қазір - ең қиын. Енді талдаймыз иррационал көрсеткіші бар дәреже.
Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежелермен бірдей.
Шынында да, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және рационал көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз.
Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан;
...нөлдік қуат- бұл бір рет өзіне көбейтілген сан, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан» болып табылады. , атап айтқанда саны;
...теріс бүтін көрсеткіш- бұл қандай да бір түрі сияқты» кері процесс”, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бөлінді.
Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткіші бар дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес.
Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта бұл жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
СІЗДІҢ ҚАЙДА БАРАТЫНЫЗҒА СЕНІМДІМІЗ! (мұндай мысалдарды шешуді үйренсеңіз :))
Мысалы:
Өзіңіз шешіңіз:
Шешімдерді талдау:
1. Дипломды дәрежеге көтерудің әдеттегі ережесінен бастайық:
Енді ұпайға қараңыз. Ол сізге бірдеңені еске түсіре ме? Квадраттардың айырмасын қысқартылған көбейту формуласын еске түсіреміз:
Бұл жағдайда,
Анықталғандай:
Жауап: .
2. Көрсеткіштердегі бөлшектерді бірдей пішінге келтіреміз: не ондық немесе екеуі де жай. Біз, мысалы:
Жауабы: 16
3. Ерекше ештеңе жоқ, қолданыңыз тұрақты қасиеттердәрежелері:
АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ
Дәреженің анықтамасы
Дәреже пішіннің өрнегі: , мұндағы:
- — дәреже базасы;
- - көрсеткіш.
Натурал көрсеткішті дәреже (n = 1, 2, 3,...)
Санды n натурал дәрежесіне көтеру санды өзіне есе көбейтуді білдіреді:
Бүтін көрсеткішті қуат (0, ±1, ±2,...)
Көрсеткіш болса оң бүтін сансаны:
эрекция нөлдік қуатқа:
Өрнек белгісіз, өйткені, бір жағынан, кез келген дәрежеде бұл, ал екінші жағынан, кез келген ші дәрежелі сан осы.
Көрсеткіш болса бүтін теріссаны:
(өйткені бөлуге болмайды).
Нөлдер туралы тағы бір рет: өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәреже
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Дәреженің қасиеттері
Есептерді шешуді жеңілдету үшін түсінуге тырысайық: бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Оларды дәлелдеп көрейік.
Көрейік: бұл не және?
А- приорит:
Сонымен, осы өрнектің оң жағында келесі өнім алынады:
Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни:
Q.E.D.
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : .
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : Біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрденегізі бірдей болуы керек. Сондықтан біз дәрежелерді негізбен біріктіреміз, бірақ бөлек фактор болып қала береміз:
Басқа маңызды ескерту: бұл ереже - тек билік өнімдері үшін!
Ешбір жағдайда мен оны жазбауым керек.
Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына көшейік:
Оны келесідей ретке келтірейік:
Көрсетілгендей, өрнек өзіне бір рет көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның --ші дәрежесі:
Шын мәнінде, мұны «индикаторды жақшаға алу» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:!
Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді? Бірақ бұл шын емес.
Теріс негізі бар қуат.
Осы уақытқа дейін біз тек не болуы керек екенін талқыладық индексдәрежесі. Бірақ негіз не болуы керек? бастап градуспен табиғи көрсеткіш негізі болуы мүмкін кез келген сан .
Шынында да, біз кез келген санды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп. Қандай белгілердің («» немесе «») оң және теріс сандар дәрежелері болатынын ойластырайық?
Мысалы, сан оң немесе теріс болады ма? А? ?
Біріншісінде бәрі түсінікті: біз бір-бірімізге қанша оң сандарды көбейтсек те, нәтиже оң болады.
Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. Өйткені, біз 6-сыныптағы қарапайым ережені еске аламыз: «минусты көбейту минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ () көбейтсек, - аламыз.
Және т.б. ad infinitum: әрбір келесі көбейту кезінде белгі өзгереді. Мұндай тұжырым жасауға болады қарапайым ережелер:
- тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Кез келген дәрежедегі нөл нөлге тең.
Мына өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Сіз басқардыңыз ба? Міне, жауаптар:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.
5-мысалда) бәрі де соншалықты қорқынышты емес: базаның теңдігі маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады. Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База бірдей емес, солай емес пе? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).
6-мысал бұдан былай қарапайым емес. Мұнда қайсысы аз екенін анықтау керек: немесе? Соны еске түсірсек, бұл белгілі болады, яғни негіз нөлден аз. Яғни, 2-ережені қолданамыз: нәтиже теріс болады.
Біз тағы да дәреже анықтамасын қолданамыз:
Барлығы әдеттегідей - біз дәрежелердің анықтамасын жазып, оларды бір-біріне бөлеміз, жұптарға бөлеміз және аламыз:
Бөлшектеу алдында соңғы ережеБірнеше мысалды қарастырайық.
Өрнектер мәндерін есептеңіз:
Шешімдер :
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы!
Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар кері қайтарылса, 3-ереже қолданылуы мүмкін.Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Егер сіз оны көбейтсеңіз, ештеңе өзгермейді, солай емес пе? Бірақ қазір ол келесідей көрінеді:
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз. Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!Оны бізге тек бір жағымсыз минус өзгерту арқылы ауыстыруға болмайды!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
Енді соңғы ереже:
Оны қалай дәлелдейміз? Әрине, әдеттегідей: дәреже ұғымын кеңейтіп, жеңілдетейік:
Ал, енді жақшаларды ашайық. Қанша әріп болады? есе көбейткіштер бойынша – ол неге ұқсайды? Бұл операцияның анықтамасынан басқа ештеңе емес көбейту: барлығы көбейткіштер болып шықты. Яғни, анықтамасы бойынша, көрсеткіші бар санның дәрежесі:
Мысалы:
Иррационал көрсеткішті дәреже
Орташа деңгейге арналған дәрежелер туралы ақпаратқа қосымша, біз иррационал көрсеткішпен дәрежені талдаймыз. Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежеге дәл сәйкес келеді, оны қоспағанда - анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни , иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және ұтымды көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз. Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан; нөлдік дәрежеге дейінгі сан - бұл өзіне бір рет көбейтілген сан, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - демек, нәтиже тек белгілі бір «санды дайындау», атап айтқанда сан; бүтін теріс көрсеткіші бар дәреже - бұл белгілі бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.
Иррационал көрсеткіші бар дәрежені елестету өте қиын (4 өлшемді кеңістікті елестету қиын сияқты). Керісінше, бұл математиктер дәреже ұғымын сандар кеңістігіне дейін кеңейту үшін жасаған таза математикалық нысан.
Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткіші бар дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес. Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта бұл жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
Сонымен иррационал көрсеткішті көрсек не істейміз? Біз одан құтылуға тырысамыз! :)
Мысалы:
Өзіңіз шешіңіз:
| 1) | 2) | 3) |
Жауаптары:
- Квадраттардың айырмашылығы формуласын есте сақтаңыз. Жауап: .
- Бөлшектерді бір пішінге келтіреміз: не ондықты да, не қарапайым екеуін де. Біз аламыз, мысалы: .
- Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:
БӨЛІМДІ ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА
Дәрежетүрінің өрнегі деп аталады: , мұндағы:
Бүтін көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң).
Рационал көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші теріс және бөлшек сандар.
Иррационал көрсеткішті дәреже
көрсеткіші шексіз ондық бөлшек немесе түбір болатын дәреже.
Дәреженің қасиеттері
Дәрежелердің ерекшеліктері.
- Теріс сан көтерілді тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Нөл кез келген қуатқа тең.
- Кез келген санның нөлдік дәрежесі тең болады.
ЕНДІ СІЗДЕ СӨЗ БАР...
Сізге мақала қалай ұнады? Сізге ұнады ма, жоқ па, төмендегі түсініктемелерде маған хабарлаңыз.
Қуат қасиеттерімен тәжірибеңіз туралы айтып беріңіз.
Мүмкін сізде сұрақтар бар. Немесе ұсыныстар.
Түсініктемелерде жазыңыз.
Ал емтихандарыңызға сәттілік!
Жаратылыстану-математика бойынша мақалалар
Негіздері бірдей дәрежелердің қасиеттері
Негіздері мен натурал дәрежелері бірдей дәрежелердің үш қасиеті бар. Бұл
- Жұмыс сома
- Жекенегізі бірдей екі дәреже негізі бірдей және көрсеткіші бірдей болатын өрнекке тең айырмашылықбастапқы көбейткіштердің көрсеткіштері.
- Санның дәрежесін дәрежеге көтерунегізі бірдей сан және көрсеткіші бірдей болатын өрнекке тең жұмысекі градус.
Сақ болыңыз! қатысты ережелер қосу және азайтубазасы бірдей қуаттар жоқ.
Бұл қасиеттер-ережелерді формулалар түрінде жазамыз:
- а м? a n = a m+n
- а м? a n = a m–n
- (am) n = a mn
Енді оларға назар аударайық нақты мысалдаржәне оны дәлелдеуге тырысыңыз.
5 2 ? 5 3 = 5 5 - мұнда ережені қолдандық; ал енді біз ережелерді білмесек, бұл мысалды қалай шешетінімізді елестетіп көріңіз:
5 2 ? 5 3 = 5? 5 ? 5 ? 5 ? 5 \u003d 5 5 - бес квадраты бес есе бес, ал текше үш бестің көбейтіндісі. Нәтиже бес бестің көбейтіндісі, бірақ бұл бестен бесінші дәрежеге қарағанда басқа нәрсе: 5 5 .
3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Бөлуді бөлшек түрінде жазайық:
Оны қысқартуға болады: 
Нәтижесінде біз аламыз: 
Сонымен негіздері бірдей екі дәрежені бөлгенде олардың көрсеткіштерін алып тастау керек екенін дәлелдедік.
Алайда бөлу кезінде бөлгіштің нөлге тең болуы мүмкін емес (өйткені нөлге бөлуге болмайды). Сонымен қатар, градустарды тек натурал көрсеткіштермен қарастыратындықтан, көрсеткіштерді алып тастау нәтижесінде 1-ден кіші санды ала алмаймыз.Сондықтан a m формуласы ? a n = a m–n шектеулер қойылады: a ? 0 және m > n.
Үшінші қасиетке көшейік:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Кеңейтілген түрде жазайық:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Сіз бұл қорытындыға келе аласыз және логикалық негіздей аласыз. Екі квадратты төрт есе көбейту керек. Бірақ әр шаршыда екі екілік бар, сондықтан барлығы сегіз екілік болады.
Scienceland.info
Қосу және азайту ережелері.
1. Терминдердің орындарының өзгеруінен қосынды өзгермейді (қосудың ауыспалы қасиеті)
13+25=38 былай жазылады: 25+13=38
2. Егер іргелес мүшелер олардың қосындысымен ауыстырылса, қосу нәтижесі өзгермейді (қосудың ассоциативті қасиеті).
10+13+3+5=31 былай жазуға болады: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 т.б.
3. Бірліктер бірліктермен, ондықтармен ондықтармен және т.б.
34+11=45 (3 ондық плюс 1 ондық; 4 бірлік плюс 1 бір).
4. Бірліктерден бірлік, ондықтан ондық және т.б.
53-12=41 (3 бірлік минус 2 бірлік; 5 ондық минус 1 ондық)
ескертпе: 10 бірлік бір онды құрайды. Бұл шегеру кезінде есте сақталуы керек, өйткені егер азайтылған бірліктердің саны азайтылғаннан көп болса, онда біз азайтылғаннан бір онды «қарызға» аламыз.
41-12 \u003d 29 (1-ден 2-ні алу үшін алдымен ондықтардан бірлікті «қарызға алу» керек, біз 11-2 \u003d 9 аламыз; азайтылғанда 1 кем бар екенін есте сақтаңыз, сондықтан бар 3 ондық және одан 1 ондық шегеріледі Жауап 29).
5. Екі мүшенің қосындысынан олардың біреуін алып тастаса, онда екінші мүше шығады.
Бұл қосуды азайту арқылы тексеруге болатынын білдіреді.
Тексеру үшін қосындыдан мүшелердің бірі алынып тасталады: 49-7=42 немесе 49-42=7
Егер азайту нәтижесінде сіз терминдердің біреуін алмасаңыз, онда сіздің қосуыңызда қате жіберілді.
6. Айырмаға кіші септік қосылса, минуенд шығады.
Бұл азайтуды қосу арқылы тексеруге болатынын білдіреді.
Тексеру үшін айырмаға көбейтіндіні қосыңыз: 19+50=69.
Егер жоғарыда сипатталған процедураның нәтижесінде сіз төмендеу алмасаңыз, онда азайтуда қате жіберілді.
Рационал сандарды қосу және азайту
Бұл сабақ рационал сандарды қосу және азайтуды қамтиды. Тақырып күрделі деп жіктеледі. Мұнда бұрын алынған білімнің барлық арсеналын пайдалану қажет.
Бүтін сандарды қосу және азайту ережелері рационал сандар үшін де жарамды. Еске салайық, рационал сандар бөлшек түрінде ұсынылатын сандар, мұнда а -бөлшектің алымы болып табылады ббөлшектің бөлгіші болып табылады. Және бнөл болмауы керек.
Бұл сабақта біз бөлшектер мен аралас сандарды бір жалпы сөз тіркесі ретінде көбірек қарастырамыз - рационал сандар.
Сабақты шарлау:
1-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген плюс амалдың белгісі болып табылатынын және бөлшектерге қолданылмайтынын ескереміз. Бұл бөлшектің өзіндік плюс таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:
Бұл рационал сандарды қосу әртүрлі белгілер. Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішісін алып, жауаптың алдына модулі үлкен таңбаны қою керек. Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін түсіну үшін, оларды есептемес бұрын осы бөлшектердің модульдерін салыстыра білу керек:
Рационал санның модулі рационал санның модулінен үлкен. Сондықтан біз -дан шегердік. Жауап алды. Содан кейін бұл бөлшекті 2-ге азайтып, біз соңғы жауапты алдық.
Қажет болса, сандарды жақшаға алу және модульдерді қою сияқты кейбір қарапайым әрекеттерді өткізіп жіберуге болады. Бұл мысалды қысқаша жазуға болады:
2-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген минус амалдың таңбасы болып табылатынын және бөлшектерге қолданылмайтынын ескереміз.
Бұл жағдайда бөлшек оң. рационал сан, көрінбейтін плюс белгісі бар. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:
Алуды қосуды алмастырайық. Естеріңізге сала кетейік, бұл үшін минуендке шегерілгенге қарама-қарсы санды қосу керек:
Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Теріс рационал сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, жауаптың алдына минус қою керек:
3-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Бұл өрнекте бөлшектер әртүрлі бөлгіштер. Өзімізге жеңіл болу үшін осы бөлшектерді бірдей (ортақ) бөлгішке келтірейік. Біз бұл туралы егжей-тегжейлі тоқталмаймыз. Егер сізде қиындық туындаса, бөлшек сабағына оралып, оны қайталаңыз.
Бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін өрнек келесі пішінді алады:
Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Үлкенірек модульден кішісін алып тастаймыз және модулі үлкенірек алынған жауаптың алдына белгіні қоямыз:
4-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Біз үш мүшенің қосындысын алдық. Алдымен өрнектің мәнін табыңыз, содан кейін алынған жауапқа қосыңыз
Бірінші әрекет:
Екінші әрекет:
Осылайша, өрнектің мәні тең болады.
үшін шешім бұл мысалқысқартып жазуға болады
5-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз
Әрбір санды белгілерімен бірге жақшаға ал. Ол үшін аралас санды уақытша кеңейтеміз
Бүтін бөлшектерді есептейік:
Негізгі өрнекте орнына 
алынған бірлікті жазыңыз:
Алынған өрнекті түрлендірейік. Ол үшін жақшаларды тастап, бірлік пен бөлшекті бірге жазамыз
Бұл мысалдың шешімі қысқарақ жазылуы мүмкін:
6-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыр. Қалғанын келесідей қайта жазайық:
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Осы сандардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз:
Осылайша, өрнектің мәні болып табылады.
Бұл мысалдың шешімі қысқарақ жазылуы мүмкін:
7-мысалМән өрнегін табыңыз
Аралас санды кеңейтілген түрде жазайық. Қалғанын келесідей қайта жазайық:
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға ал
Мүмкіндігінше азайтуды қосумен ауыстырайық:
Бүтін бөлшектерді есептейік:
Негізгі өрнекте алынған санды жазудың орнына?7
Өрнек аралас санды жазудың кеңейтілген түрі. Жауапты бірден жазуға болады?7 сандарын және бөлшекті (осы бөлшектің минусын жасырып) бірге жазуға болады.
Осылайша, өрнектің мәні болып табылады
Бұл мысалдың шешімін әлдеқайда қысқа жазуға болады. Кейбір мәліметтерді өткізіп жіберсеңіз, оны келесідей жазуға болады:
8-мысалӨрнектің мәнін табыңыз
Бұл өрнекті екі жолмен есептеуге болады. Олардың әрқайсысын қарастырайық.
Бірінші жол.Өрнектің бүтін және бөлшек бөліктері бөлек есептеледі.
Алдымен аралас сандарды кеңейтілген түрде жазайық:
Әрбір санды белгілермен бірге жақшаға ал:
Мүмкіндігінше азайтуды қосумен ауыстырайық:
Біз бірнеше шарттардың қосындысын алдық. Қосудың ассоциативті заңына сәйкес, егер өрнекте бірнеше мүше болса, онда қосынды амалдардың орындалу ретіне тәуелді болмайды. Бұл бүтін және бөлшек бөлшектерді бөлек топтастыруға мүмкіндік береді:
Бүтін бөлшектерді есептейік:
Негізгі өрнекте алынған санды жазудың орнына?3
Бөлшек бөлшектерді есептейік:
Негізгі өрнекте алынған аралас санды жазудың орнына
Алынған өрнекті бағалау үшін аралас санды уақытша кеңейту керек, содан кейін әрбір санды жақшаға алып, азайтуды қосумен ауыстыру керек. Бұл терминдердің белгілерін шатастырмау үшін өте мұқият жасалуы керек.
Өрнекті түрлендіруден кейін бізде оңай есептеуге болатын жаңа өрнек пайда болады. Ұқсас өрнек 7-мысалда болды. Еске салайық, біз бүтін бөліктерді бөлек қосып, бөлшек бөлігін сол күйінде қалдырдық:
Сонымен өрнектің мәні
Бұл мысалдың шешімін қысқарақ жазуға болады
Қысқаша шешімде сандарды жақшаға қою, азайтуды қосумен ауыстыру, модульдерді қою қадамдары өткізілмейді. Егер сіз мектепте немесе басқа жерде оқып жатсаңыз оқу орны, содан кейін уақыт пен орынды үнемдеу үшін осы қарапайым қадамдарды өткізіп жіберу қажет болады. Жоғарыдағы қысқа шешімді одан да қысқа жазуға болады. Ол келесідей болады:
Сондықтан мектепте немесе басқа оқу орнында жүргенде, кейбір әрекеттерді санада орындауға тура келетініне дайын болыңыз.
Екінші жол.Аралас сандар өрнектері аударылады бұрыс бөлшектержәне жай бөлшектер сияқты есептеледі.
Әрбір рационал санды белгілерімен бірге жақшаға ал
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Енді аралас сандарды бұрыс бөлшектерге аударыңыз:
Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз:
Өткен жолы бірдей жауап алды.
Екінші жолдың егжей-тегжейлі шешімі келесідей:
9-мысалӨрнекті өрнектерді табыңыз 
Бірінші жол.Бүтін және бөлшек бөлшектерді бөлек қосыңыз.
Бұл жолы өрнекті кеңейтілген түрде жазу, сандарды жақшаға қою, азайтуды қосумен ауыстыру, модульдерді қою сияқты кейбір қарапайым әрекеттерді өткізіп көрейік:
Бөлшек бөліктері ортақ бөлімге дейін қысқартылғанын ескеріңіз.
Екінші жол.Аралас сандарды бұрыс бөлшектерге айналдырыңыз және жай бөлшектер сияқты есептеңіз.
10-мысалӨрнектің мәнін табыңыз 
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Алынған өрнекте қателердің негізгі себебі болып табылатын теріс сандар жоқ. Теріс сандар болмағандықтан, біз астыңғы таңбаның алдындағы плюсті алып тастай аламыз, сонымен қатар жақшаларды алып тастай аламыз. Содан кейін біз ең қарапайым өрнекті аламыз, оны есептеу оңай:
Бұл мысалда бүтін және бөлшек бөліктер бөлек есептелді.
11-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз
Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Біз үлкенірек модульден кішісін алып, модулі үлкен болған санның алдына белгіні қоямыз:
12-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз 
Өрнек бірнеше параметрлерден тұрады. Амалдардың орындалу реті бойынша, ең алдымен, жақшадағы әрекеттерді орындау керек.
Алдымен өрнекті есептейміз, сосын өрнекті қосамыз.Алынған жауаптар қосылады.
Бірінші әрекет:
Екінші әрекет:
Үшінші әрекет:
Жауап:өрнек мәні тең
13-мысалӨрнектің мәнін табыңыз 
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу арқылы алынады. Үлкенінен кіші модульді алып тастап, модулі үлкенірек жауаптың алдына белгіні қойыңыз. Бірақ біз аралас сандармен айналысамыз. Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін түсіну үшін осы аралас сандардың модульдерін салыстыру керек. Ал аралас сандардың модульдерін салыстыру үшін оларды бұрыс бөлшектерге айналдырып, жай бөлшектер сияқты салыстыру керек.
Келесі суретте аралас сандардың модульдерін салыстырудың барлық қадамдары көрсетілген
Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін біле отырып, біз мысалды есептеуді жалғастыра аламыз:
Осылайша, өрнектің мәні тең
Ондық бөлшектерді қосу мен азайтуды қарастырайық, олар да рационал сандар болып табылады және оң және теріс болуы мүмкін.
14-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?3.2 + 4.3
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген плюс амалдың таңбасы болып табылатынын және 4.3 ондық бөлшекке қолданылмайтынын ескереміз. Бұл ондықтың өзіндік қосу таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:
Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішісін алып, жауаптың алдына модулі үлкен таңбаны қою керек. Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін түсіну үшін, оларды есептеу алдында осы ондық бөлшектердің модульдерін салыстыра білу керек:
4,3 модулі 3,2 модулінен үлкен, сондықтан 4,3-тен 3,2-ні алып тастадық. Жауап 1.1. Жауабы иә, өйткені жауапта үлкенірек модульдің, яғни |+4,3| модулінің белгісі болуы керек.
Сонымен өрнектің мәні?3.2 + (+4.3) 1.1
15-мысал 3,5 + (?8,3) өрнектің мәнін табыңыз.
Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Алдыңғы мысалдағыдай, үлкенірек модульден кішісін алып, модулі үлкенірек жауаптың алдына белгіні қоямыз.
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Сонымен, 3,5 + (?8,3) өрнегінің мәні?4,8-ге тең
Бұл мысалды қысқарақ жазуға болады:
16-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?7.2 + (?3.11)
Бұл теріс рационал сандарды қосу. Теріс рационал сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, жауаптың алдына минус қою керек. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Сонымен?7.2 + (?3.11) өрнектің мәні?10.31
Бұл мысалды қысқарақ жазуға болады:
17-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз?0,48 + (?2,7)
Бұл теріс рационал сандарды қосу. Олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус белгісін қоямыз. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
18-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз?4,9 ? 5.9
Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген минус амалдың таңбасы болып табылатынын және 5.9 ондық бөлшекке қолданылмайтынын ескереміз. Бұл ондықтың өзіндік қосу таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қойыңыз. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Сонымен, өрнектің мәні?4,9 ? 5,9 тең?10,8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
19-мысал. 7 өрнегінің мәнін табыңыз? 9.3
Әрбір санды белгілерімен бірге жақшаға ал
Алуды қосуды алмастырайық
Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкенінен кіші модульді алып тастап, модулі үлкенірек жауаптың алдына белгіні қойыңыз. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Сонымен, 7 өрнектің мәні ? 9.3 тең?2.3
Бұл мысалдың егжей-тегжейлі шешімі келесідей жазылған:
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
Қысқаша шешім келесідей болады:
20-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз?0,25 ? (?1,2)
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкенінен кішісін алып, модулі үлкен жауаптың алдына белгіні қоямыз:
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Бұл мысалдың егжей-тегжейлі шешімі келесідей жазылған:
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Қысқаша шешім келесідей болады:
21-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз?3.5 + (4.1 ? 7.1)
Алдымен жақшадағы әрекеттерді орындаймыз, одан кейін алынған жауапты цифрмен қосамыз?3.5. Өрнектерді шатастырмас үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберейік.
Бірінші әрекет:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
Екінші әрекет:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Жауап:?3,5 + (4,1 ? 7,1) өрнегінің мәні ?6,5-ке тең.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
22-мысал.(3,5 ? 2,9) өрнектің мәнін табыңыз? (3,7 x 9,1)
Жақшадағы әрекеттерді орындаймыз, содан кейін бірінші жақшаларды орындау нәтижесінде шыққан саннан екінші жақшаларды орындау нәтижесінде шыққан санды алып тастаймыз. Өрнектерді шатастырмас үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберейік.
Бірінші әрекет:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
Екінші әрекет:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
Үшінші әрекет
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Жауап:өрнектің мәні (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) 6-ға тең.
Бұл мысалдың қысқаша шешімін келесідей жазуға болады:
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
23-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15
Әрбір рационал санды белгілерімен бірге жақшаға ал
Мүмкіндігінше азайтуды қосумен ауыстырыңыз
Өрнек бірнеше терминдерден тұрады. Қосудың ассоциативті заңы бойынша өрнек бірнеше мүшеден тұрса, онда қосынды амалдардың орындалу ретіне тәуелді болмайды. Бұл терминдерді кез келген ретпен қосуға болатынын білдіреді.
Біз дөңгелекті қайта ойлап таппаймыз, бірақ барлық терминдерді пайда болу ретімен солдан оңға қарай қосыңыз:
Бірінші әрекет:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
Екінші әрекет:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
Үшінші әрекет:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Жауап:өрнек мәні?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 1-ге тең.
Бұл мысалдың қысқаша шешімін келесідей жазуға болады:
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Қысқа шешімдер жасайды аз проблемаларжәне шатасу, сондықтан оларға үйренген жөн.
24-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз
Ондық бөлшекті аралас санға айналдырайық?1,8. Қалғанын сол күйінде қайта жазамыз. Ондық бөлшекті аралас санға түрлендіру қиын болса, сабақты міндетті түрде қайталаңыз ондық бөлшектер.
25-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз 
Алуды қосуды алмастырайық. Жол бойында ондық бөлшекті (? 4.4) бұрыс бөлшекке аударамыз.
Алынған өрнекте теріс сандар жоқ. Ал теріс сандар болмағандықтан, екінші санның алдындағы плюсті алып тастап, жақшаларды алып тастай аламыз. Содан кейін біз оңай шешілетін қарапайым қосу өрнегін аламыз
26-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз 
Аралас санды бұрыс бөлшекке, ал ондық бөлшекті?0,85 жай бөлшекке айналдырайық. Алу келесі өрнек:
Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус белгісін қоямыз. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:
27-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз 
Екі бөлшекті де бұрыс бөлшекке айналдыр. 2.05 ондық бөлігін бұрыс бөлшекке түрлендіру үшін оны алдымен аралас санға, содан кейін бұрыс бөлшекке түрлендіруге болады:
Екі бөлшекті де бұрыс бөлшекке айналдырғаннан кейін келесі өрнекті аламыз:
Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкен модульден кішісін алып, алынған жауаптың алдына модулі үлкен таңбаны қоямыз:
28-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз
Алуды қосуды алмастырайық. Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырайық
29-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз 
Ондық бөлшектерді?0,25 және?1,25-ке түрлендіру жай бөлшектер, қалғанын сол күйінде қалдырыңыз. Біз келесі өрнекті аламыз:
Алдымен азайтуды мүмкіндігінше қосумен ауыстырып, рационал сандарды бір-бірден қосуға болады. Екінші нұсқа бар: алдымен және рационал сандарды қосыңыз, содан кейін алынған саннан рационал санды алып тастаңыз. Біз бұл опцияны қолданамыз.
Бірінші әрекет:
Екінші әрекет:
Жауап:өрнек мәні тең?2.
30-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз
Ондық бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендіру. Қалғанын сол күйінде қалдырайық.
Біз бірнеше шарттардың қосындысын алдық. Егер қосынды бірнеше мүшеден тұрса, онда өрнекті кез келген ретпен бағалауға болады. Бұл қосудың ассоциативті заңынан туындайды.
Сондықтан біз үшін ең қолайлы нұсқаны ұйымдастыра аламыз. Ең алдымен, бірінші және соңғы мүшелерді, атап айтқанда рационал сандарды және -ді қосуға болады. Бұл сандар бар бірдей бөлгіштер, яғни ол бізді оған әкелу қажеттілігінен босатады.
Бірінші әрекет:
Алынған санды екінші мүшеге, атап айтқанда рационал санға қосуға болады. Рационал сандар бөлшек бөліктерде бірдей бөлгіштерге ие, бұл біз үшін тағы да артықшылық
Екінші әрекет:
Ал, алынған санды соңғы мүшесімен, атап айтқанда рационал санмен 7 қосамыз. Бұл өрнекті есептеген кезде жетілік жойылатыны ыңғайлы, яғни олардың қосындысы нөлге тең болады, өйткені қарама-қарсы сандардың қосындысы нөлге тең
Үшінші әрекет:
Жауап:өрнектің мәні болып табылады
Сізге сабақ ұнады ма?
Біздің қосылыңыз жаңа топВконтакте және жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз
Натурал сандарды қосу және азайту
Бұл сабақта біз үйренеміз натурал сандарды қосу және азайту, сондай-ақ оларды қосу және азайту ережелері.
Еске салайық, бүтін сандар оң және теріс сандар, сонымен қатар 0 саны. Мысалы, келесі сандар бүтін сандар:
Оң сандарды оңай қосуға және алуға, көбейтуге және бөлуге болады. Өкінішке орай, бұл көптеген жаңадан бастағандарды әр санның алдындағы минустарымен шатастыратын теріс сандар туралы айту мүмкін емес. Тәжірибе көрсеткендей, теріс сандарға байланысты жіберілген қателер студенттерді ең көп ренжітеді.
Бүтін сандарды қосу және азайту мысалдары
Үйренетін бірінші нәрсе - координаталық түзу арқылы бүтін сандарды қосу және азайту. Координаталық түзуді салудың қажеті жоқ. Оны өз ойларыңызда елестетіп, теріс сандар қай жерде, ал оң сандар қайда орналасқанын көру жеткілікті.
Ең қарапайым өрнекті қарастырайық: 1 + 3. Бұл өрнектің мәні 4:
Бұл мысалды координаталық түзу арқылы түсінуге болады. Ол үшін 1 саны орналасқан жерден үш қадам оңға қарай жылжу керек. Нәтижесінде біз 4 саны орналасқан нүктеге тап боламыз.Суретте мұның қалай болатынын көруге болады:
1 + 3 өрнегіндегі қосу таңбасы бізге сандарды көбейту бағытында оңға жылжу керектігін айтады.
2-мысал 1 өрнектің мәнін табайық? 3.
Бұл өрнектің мәні?2
Бұл мысалды координаталық түзу арқылы қайтадан түсінуге болады. Ол үшін 1 саны орналасқан нүктеден солға үш қадам жылжыту керек. Нәтижесінде біз теріс сан 2 орналасқан нүктеге тап боламыз. Суретте бұл қалай болатыны көрсетілген:
Минус белгісі 1 өрнегі? 3 саны азаю бағытында солға жылжу керектігін айтады.
Жалпы, егер қосу жүзеге асырылатын болса, онда өсу бағытында оңға қарай жылжу керек екенін есте ұстауымыз керек. Егер азайту орындалса, онда азайту бағытында солға жылжу керек.
3-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?2 + 4
Бұл өрнектің мәні 2
Бұл мысалды координаталық түзу арқылы қайтадан түсінуге болады. Ол үшін теріс сан?2 орналасқан нүктеден төрт қадам оңға жылжу керек. Нәтижесінде біз оң 2 саны орналасқан нүктеге тап боламыз.
2 теріс саны орналасқан нүктеден оңға төрт сатыға жылжып, оң 2 саны орналасқан нүктеге жеткенімізді көруге болады.
Өрнектегі қосу белгісі?2 + 4 сандарды көбейту бағытында оңға жылжу керектігін айтады.
4-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?1 ? 3
Бұл өрнектің мәні?4
Бұл мысалды координаталық түзу арқылы қайтадан шешуге болады. Ол үшін теріс сан?1 орналасқан нүктеден солға үш қадам жылжыту керек. Нәтижесінде біз теріс сан орналасқан нүктеге тап боламыз?4
Теріс сан?1 орналасқан нүктеден үш сатыға солға жылжып, теріс сан?4 орналасқан нүктеге жеткенімізді көруге болады.
Өрнектегі минус таңбасы?1 ? 3 саны азаю бағытында солға жылжу керектігін айтады.
5-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?2 + 2
Бұл өрнектің мәні 0-ге тең
Бұл мысалды координаталық түзу арқылы шешуге болады. Ол үшін теріс сан?2 орналасқан нүктеден оңға екі қадам жылжыту керек. Нәтижесінде біз 0 саны орналасқан нүктеге тап боламыз
2 теріс саны орналасқан нүктеден оңға екі сатыға жылжып, 0 саны орналасқан нүктеге жеткенімізді көруге болады.
Өрнектегі қосу белгісі?2 + 2 сандардың өсу бағытында оңға жылжу керектігін айтады.
Бүтін сандарды қосу және азайту ережелері
Осы немесе басқа өрнекті есептеу үшін координаталық түзуді әр уақытта елестетудің қажеті жоқ, оны сызу былай тұрсын. Дайын ережелерді пайдалану ыңғайлырақ.
Ережелерді қолдану кезінде амалдың белгісіне және қосылатын немесе алынатын сандардың белгілеріне назар аудару керек. Бұл қай ережені қолдану керектігін анықтайды.
1-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?2 + 5
Мұнда теріс санға оң сан қосылады. Басқаша айтқанда, таңбалары әртүрлі сандарды қосу жүзеге асырылады. ?2 теріс және 5 оң. Мұндай жағдайларда келесі ереже қарастырылған:
Сонымен, қай модуль үлкенірек екенін көрейік:
5-тің модулі санның модулінен үлкен бе?2. Ереже үлкенірек модульден кішісін алып тастауды талап етеді. Сондықтан 5-тен 2-ні алып тастау керек және алынған жауаптың алдында модулі үлкен болатын белгіні қою керек.
5 санының модулі үлкен, сондықтан бұл санның таңбасы жауапта болады. Яғни, жауап оң болады:
Әдетте қысқарақ жазылады ма?2 + 5 = 3
2-мысал 3 + (?2) өрнегінің мәнін табыңыз.
Мұнда, алдыңғы мысалдағыдай, әртүрлі таңбалары бар сандарды қосу жүзеге асырылады. 3 оң сан, ал ?2 теріс сан. Өрнекті анық және әдемі ету үшін?2 саны жақшаға алынғанын ескеріңіз. Бұл өрнек 3+?2 өрнегіне қарағанда түсінуге оңай.
Сонымен, таңбалары әртүрлі сандарды қосу ережесін қолданамыз. Алдыңғы мысалдағыдай, үлкенірек модульден кішірек модульді алып тастап, модулі үлкенірек жауаптың алдына белгі қоямыз:
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
3 санының модулі?2 санының модулінен үлкен, сондықтан 3-тен 2-ні алып тастап, алынған жауаптың алдына үлкен модульдің таңбасын қойдық. 3 санының модулі үлкен, сондықтан жауапта осы санның белгісі қойылады. Яғни, жауап иә.
Әдетте қысқарақ 3 + (? 2) = 1 жазылады
3-мысал 3 өрнегінің мәнін табыңыз? 7
Бұл өрнекте кіші саннан үлкен сан шегеріледі. Мұндай жағдайда келесі ереже қарастырылған:
Кіші саннан үлкен санды алу үшін, Көбіреккішісін алып, жауаптың алдына минус қойыңыз.
Бұл өрнекте аздап сызат бар. Еске салайық, теңдік белгісі (=) мәндер мен өрнектердің арасына олар бір-біріне тең болғанда қойылады.
3 өрнектің мәні? 7 теңдікті қалай білдік?4. Бұл осы өрнекте орындайтын кез келген түрлендірулер тең болуы керек дегенді білдіреді?4
Бірақ біз екінші кезеңде 7 өрнегі бар екенін көреміз? 3, қайсысы тең емес?4.
Бұл жағдайды түзету үшін 7 өрнек ? 3-ті жақшаға алып, осы жақшаның алдына минус қою керек:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
Бұл жағдайда теңдік әрбір кезеңде сақталады:
Өрнекті бағалағаннан кейін жақшаларды алып тастауға болады, біз мұны істедік.
Мәселен, дәлірек айтқанда, шешім келесідей болуы керек:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Бұл ережені айнымалылар арқылы жазуға болады. Ол келесідей болады:
а? b=? (б? а)
Жақшалар мен операциялық белгілердің көптігі бір қарағанда өте қарапайым болып көрінетін тапсырманың шешімін қиындатуы мүмкін, сондықтан мұндай мысалдарды қысқаша жазуды үйрену тиімдірек, мысалы 3 ? 7=? 4.
Шындығында, бүтін сандарды қосу және азайту тек қосуға дейін қысқарады. Бұл нені білдіреді? Бұл сандарды азайтқыңыз келсе, бұл операцияны қосу арқылы ауыстыруға болатынын білдіреді.
Ендеше жаңа ережемен танысайық:
Бір санды екінші саннан азайту дегеніміз, кемітілген санға қарама-қарсы болатын санды қосу.
Мысалы, ең қарапайым өрнекті қарастырайық 5 ? 3. Қосулы ерте кезеңдеріматематиканы үйренген кезде біз жай ғана теңдік белгісін қойып, жауабын жазамыз:
Бірақ қазір біз оқуда алға жылжудамыз, сондықтан жаңа ережелерге бейімделуіміз керек. Жаңа ережеде бір санды екіншісінен азайту дегеніміз, азайтылған санға қарама-қарсы болатын санды минуендке қосу дегенді білдіреді.
Мысал ретінде 5?3 өрнегін қолданып, осы ережені түсінуге тырысайық. Бұл өрнекте азайтылған 5-ке, ал азайтылғаны 3-ке тең. Ережеде 5-тен 3-ті азайту үшін 5-ке 3-ке қарама-қарсы болатын санды қосу керек. 3 санына қарама-қарсы сан. 3. Біз жаңа өрнек жазамыз:
Біз мұндай өрнектердің мәндерін қалай табуға болатынын білеміз. Бұл біз жоғарыда талқылаған әртүрлі таңбалары бар сандарды қосу. Таңбалары әртүрлі сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішісін алып, алынған жауаптың алдына модулі үлкен таңбаны қою керек:
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
5-тің модулі санның модулінен үлкен бе?3. Сондықтан 5-тен 3-ті азайтып, 2-ге жеттік. 5 санының модулі үлкен, сондықтан жауапта осы санның таңбасы қойылды. Яғни, жауап оң.
Алғашында азайтуды қосумен жылдам ауыстыру бәрі бірдей сәтті бола бермейді. Бұл осыған байланысты оң сандарқосу белгісінсіз жазылады.
Мысалы, 3 өрнекте ? Алуды көрсететін 1 минус таңбасы операцияның белгісі болып табылады және біреуіне сілтеме жасамайды. Бұл жағдайда бірлік оң сан және оның өзіндік плюс таңбасы бар, бірақ біз оны көрмейміз, өйткені плюс дәстүрлі түрде оң сандар алдында жазылмайды.
Және түсінікті болу үшін берілген өрнеккелесідей жазуға болады:
Ыңғайлы болу үшін олардың белгілері бар сандар жақшаға алынған. Бұл жағдайда азайтуды қосумен ауыстыру әлдеқайда оңай. Бұл жағдайда (+1) сан және қарама-қарсы сан (?1) алынып тасталады. Алу амалын қосумен ауыстырайық және азайтудың орнына (+1) қарама-қарсы санды (? 1) жазамыз.
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
Бір қарағанда, егер сіз теңдік белгісін қою үшін ескі жақсы әдісті қолданып, жауапты бірден жазып алсаңыз, бұл қосымша қимылдардың мәні неде болып көрінетін сияқты. Шындығында, бұл ереже бізге бірнеше рет көмектеседі.
Алдыңғы мысалды шешейік 3 ? 7 азайту ережесін қолдану. Алдымен өрнекті қалыпты пішінге келтіреміз, әр санды белгілерімен орналастырамыз. Үштің плюс таңбасы бар, себебі ол оң сан. Алуды көрсететін минус жетіге қолданылмайды. Жеті плюс таңбасы бар, өйткені ол да оң сан:
азайтуды қосумен ауыстырайық:
Әрі қарай есептеу қиын емес:
7-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?4 ? 5
Біздің алдымызда қайтадан алу операциясы тұр. Бұл әрекетті қосу арқылы ауыстыру керек. Кемітілгенге (?4) азайтылғанға (+5) қарама-қарсы санды қосамыз. қарама-қарсы саназайту үшін (+5) бұл (?5) саны.
Біз теріс сандарды қосу керек жағдайға жеттік. Мұндай жағдайларда келесі ереже қарастырылған:
Теріс сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қою керек.
Ендеше, ережеге сәйкес сандар модулін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Модульдері бар жазба жақшаға алынып, осы жақшалардың алдында минус қойылуы керек. Сондықтан біз минус береміз, ол жауаптан бұрын болуы керек:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Бұл мысалдың шешімі қысқарақ жазылуы мүмкін:
8-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?3 ? 5 ? 7? 9
өрнекті келтірейік түсінікті. Мұнда?3 санынан басқа барлық сандар оң, сондықтан олардың қосу таңбалары болады:
Алу амалдарын қосу амалдарымен ауыстырайық. Барлық минустар (үшеуінің алдындағы минусты қоспағанда) плюстерге, ал барлық оң сандар керісінше өзгереді:
Енді теріс сандарды қосу ережесін қолданыңыз. Теріс сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қою керек:
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Бұл мысалдың шешімі қысқарақ жазылуы мүмкін:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
9-мысалӨрнектің мәнін табыңыз?10 + 6 ? 15 + 11? 7
Өрнекті нақты пішінге келтірейік:
Мұнда екі амал бар: қосу және азайту. Біз қосуды сол күйінде қалдырамыз және азайтуды қосумен ауыстырамыз:
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Әрекеттер ретін сақтай отырып, біз бұрын зерттелген ережелерге сүйене отырып, әрбір әрекетті кезекпен орындаймыз. Модульдері бар жазбаларды өткізіп жіберуге болады:
Бірінші әрекет:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
Екінші әрекет:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
Үшінші әрекет:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
Төртінші әрекет:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Сонымен ?10 + 6 өрнектің мәні ? 15 + 11? 7 тең?15
Ескерту. Сандарды жақшаға алу арқылы өрнекті анық пішінге келтіру қажет емес. Теріс сандарға үйренгенде, бұл әрекетті өткізіп жіберуге болады, себебі бұл уақытты қажет етеді және шатастыруы мүмкін.
Сонымен, бүтін сандарды қосу және азайту үшін келесі ережелерді есте сақтау керек:
Таңбалары әртүрлі сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішірек модульді алып, жауаптың алдына модулі үлкен таңбаны қою керек.
Кіші саннан үлкен санды азайту үшін үлкен саннан кіші санды алып, алынған жауаптың алдына минус белгісін қою керек.
Бір санды екінші саннан азайту дегеніміз азайтылған санға кері санды қосу деген сөз.
Теріс сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус белгісін қою керек.
Соңғы бейне оқулықта біз белгілі бір негіздің дәрежесі – көрсеткішке тең мөлшерде алынған негіз бен өзіне көбейтіндісі болып табылатын өрнек екенін білдік. Енді біраз зерттеп көрейік ең маңызды қасиеттержәне өкілеттіктердің операциялары.
Мысалы, негізі бірдей екі түрлі дәрежені көбейтейік:
Осы бөлікті толығымен қарастырайық:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Бұл өрнектің мәнін есептей отырып, біз 32 санын аламыз. Екінші жағынан, сол мысалдан көрініп тұрғандай, 32 бірдей негіздің (екі) көбейтіндісі ретінде ұсынылуы мүмкін, 5 рет алынған. Егер сіз есептесеңіз, онда:
Осылайша, сенімді түрде қорытынды жасауға болады:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Бұл ереже кез келген көрсеткіштер мен кез келген негіздер үшін сәтті жұмыс істейді. Дәрежені көбейтудің бұл қасиеті туындыдағы түрлендірулер кезінде өрнектердің мағынасын сақтау ережесінен туындайды. Кез келген а негізі үшін (a) x және (a) y екі өрнектің көбейтіндісі a (x + y) тең. Басқаша айтқанда, негізі бірдей кез келген өрнектерді шығарғанда, соңғы мономиал бірінші және екінші өрнектердің дәрежесін қосу арқылы қалыптасқан жалпы дәрежеге ие болады.
Ұсынылған ереже бірнеше өрнектерді көбейту кезінде де жақсы жұмыс істейді. Басты шарт – барлығына негіздердің бірдей болуы. Мысалы:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Өрнектің екі элементімен, егер олардың негіздері әртүрлі болса, дәрежелерді қосу және жалпы түрде қандай да бір дәрежелі бірлескен әрекеттерді орындау мүмкін емес.
Біздің бейнеде көрсетілгендей, көбейту және бөлу процестерінің ұқсастығына байланысты көбейтінді кезінде дәрежелерді қосу ережелері бөлу процедурасына тамаша ауыстырылады. Мына мысалды қарастырайық:
Өрнекті толық түрге айналдырып, дивиденд пен бөлгіштегі бірдей элементтерді азайтайық:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Бұл мысалдың соңғы нәтижесі соншалықты қызықты емес, өйткені оны шешу барысында өрнектің мәні екінің квадратына тең екені анық. Ал бірінші өрнектің дәрежесінен екінші өрнектің дәрежесін шегергенде шығатын екілік.
Бөлімнің дәрежесін анықтау үшін дивиденд дәрежесінен бөлгіш дәрежесін шегеру керек. Ереже өзінің барлық құндылықтары мен барлық табиғи күштер үшін бірдей негізде жұмыс істейді. Абстрактілі түрде бізде:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Нөлдік дәреженің анықтамасы бірдей негіздерді дәрежелерімен бөлу ережесінен шығады. Әлбетте, келесі өрнек:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
Екінші жағынан, егер біз көрнекі түрде бөлсек, біз мынаны аламыз:
(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1
Бөлшектің барлық көрінетін элементтерін азайту кезінде әрқашан 1/1 өрнегі алынады, яғни бір. Сондықтан нөлдік дәрежеге көтерілген кез келген база бірге тең деп жалпы қабылданған:
а мәніне қарамастан.
Дегенмен, егер 0 (кез келген көбейту үшін әлі де 0 береді) қандай да бір түрде бірге тең болса, бұл абсурд болар еді, сондықтан (0) 0 (нөлден нөлге дейін) сияқты өрнектің мағынасы жоқ және (а) формуласы 0 = 1 шартты қосыңыз: "егер a 0-ге тең болмаса".
Жаттығуды орындайық. Өрнектің мәнін табайық:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Негіз барлық жерде бірдей және 34-ке тең болғандықтан, соңғы мән дәрежесімен бірдей базаға ие болады (жоғарыда көрсетілген ережелерге сәйкес):
Басқаша айтқанда:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Жауап: Өрнек бірге тең.