Функцияның экстремумы дегеніміз не және экстремум үшін қандай шарт қажет?
Функцияның экстремумы - функцияның максимумы және минимумы.
Қажетті жағдайфункцияның максимум және минимумы (экстремумы) келесідей: f (x) функциясының х = а нүктесінде экстремумы болса, онда бұл нүктеде туынды не нөлге тең, не шексіз болады, не жоқ.
Бұл шарт қажет, бірақ жеткіліксіз. x = a нүктесіндегі туынды осы нүктеде экстремумсыз функция жойылып, шексіздікке баруы немесе болмауы мүмкін.
Функцияның экстремумының (максимум немесе минимум) жеткілікті шарты қандай?
Бірінші шарт:
Егер x = a нүктесіне жеткілікті жақындықта f?(x) туындысы a-ның сол жағында оң және а-ның оң жағында теріс болса, онда x = a нүктесінің өзінде f(x) функциясы болады. максимум
Егер x = a нүктесіне жеткілікті жақын жерде f?(x) туындысы а-ның сол жағында теріс және а-ның оң жағында оң болса, онда x = a нүктесінің өзінде f(x) функциясының минимум f(x) функциясы мұнда үзіліссіз болған жағдайда.
Оның орнына функцияның экстремумы үшін екінші жеткілікті шартты қолдануға болады:
x = нүктесінде бірінші туынды f?(x) жойылсын; егер f??(а) екінші туындысы теріс болса, онда f(x) функциясының х = а нүктесінде максимумы болады, егер ол оң болса, онда минимум болады.
Функцияның критикалық нүктесі дегеніміз не және оны қалай табуға болады?
Бұл функцияның экстремумы (яғни максимум немесе минимум) болатын функция аргументінің мәні. Оны табу үшін сізге қажет туындысын табыңыз f?(x) функциясы және оны нөлге теңеп, теңдеуді шеш f?(x) = 0. Бұл теңдеудің түбірлері, сондай-ақ осы функцияның туындысы жоқ нүктелер критикалық нүктелер болып табылады, яғни экстремум болуы мүмкін аргументтің мәндері. . Оларды қарау арқылы оңай анықтауға болады туынды график: бізді функцияның графигі абсцисса осімен (Ox осі) қиып өтетін аргументтің мәндері қызықтырады және график үзілетін мәндер.
Мысалы, тауып көрейік параболаның экстремумы.
y(x) = 3x2 + 2x - 50 функциясы.
Функцияның туындысы: y?(x) = 6x + 2
Теңдеуді шешеміз: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Бұл жағдайда критикалық нүкте x0=-1/3 болады. Дәл осы аргумент мәні үшін функция бар экстремум. Оны алу үшін табу, өрнектегі табылған санды функцияның орнына «x» орнына қоямыз:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Функцияның максимумы мен минимумын қалай анықтауға болады, яғни. оның ең үлкен және ең кіші мәндері?
Егер x0 критикалық нүктесі арқылы өткенде туындының таңбасы «плюс»-тен «минусқа» өзгерсе, онда х0 максималды нүкте; егер туындының таңбасы минустан плюсқа өзгерсе, онда х0 болады ең төменгі нүкте; егер таңбасы өзгермесе, онда х0 нүктесінде максимум да, минимум да болмайды.
Қарастырылған мысал үшін:
Критикалық нүктенің сол жағындағы аргументтің ерікті мәнін аламыз: x = -1
x = -1 болғанда, туындының мәні у болады?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (яғни, минус таңбасы).
Енді критикалық нүктенің оң жағындағы аргументтің ерікті мәнін аламыз: x = 1
x = 1 үшін туындының мәні y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (яғни, қосу белгісі) болады.
Көріп отырғаныңыздай, критикалық нүктеден өткенде туынды таңбаны минустан плюсқа өзгертті. Бұл х0 критикалық мәнінде бізде минималды нүкте бар екенін білдіреді.
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәні аралықта(сегментте) бірдей процедурамен табылады, тек барлық сыни нүктелер көрсетілген интервалда болмайтынын ескере отырып. Интервалдан тыс болатын маңызды нүктелер қарастырудан шығарылуы керек. Егер аралық ішінде бір ғана критикалық нүкте болса, оның максимумы немесе минимумы болады. Бұл жағдайда функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін анықтау үшін интервалдың соңындағы функцияның мәндерін де ескереміз.
Мысалы, функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табайық
y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x
аралықпен:
Сонымен, функцияның туындысы болады
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
3cos(x) - 0,5 = 0 теңдеуін шешеміз
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.
Критикалық нүктелерді [-9 аралықта табамыз; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (аралыққа кірмейді)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (аралыққа кірмейді)
Аргументтің критикалық мәндерінде функцияның мәндерін табамыз:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
аралықта [-9; 9] ең жоғары мәнфункцияның x = -4,88 мәні бар:
x = -4,88, y = 5,398,
ал ең кішісі - x = 4,88 кезінде:
х = 4,88, у = -5,398.
аралықта [-6; -3] бізде бір ғана критикалық нүкте бар: x = -4,88. x = -4,88 кезіндегі функцияның мәні у = 5,398.
Функцияның мәнін интервалдың соңында табамыз:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
аралықта [-6; -3] бізде функцияның ең үлкен мәні бар
x = -4,88 кезінде у = 5,398
ең кіші мән
x = -3 кезінде у = 1,077
Функция графигінің иілу нүктелерін тауып, дөңес және ойыс жақтарын қалай анықтайды?
y \u003d f (x) сызығының барлық иілу нүктелерін табу үшін сізге екінші туындыны табу керек, оны нөлге теңестіріңіз (теңдеуді шешіңіз) және екінші туындысы нөлге тең болатын x мәндерінің барлығын сынау керек. , шексіз немесе жоқ. Егер осы мәндердің біреуі арқылы өткенде екінші туынды таңбасын өзгертсе, онда функцияның графигінде осы нүктеде иілу болады. Егер ол өзгермесе, онда иілу жоқ.
f теңдеуінің түбірлері ? (х) = 0, сондай-ақ функцияның және екінші туындының мүмкін болатын үзіліс нүктелері функцияның анықталу облысын бірнеше интервалдарға бөледі. Олардың әрбір интервалындағы дөңес екінші туындының белгісімен анықталады. Егер зерттелетін аралықтағы нүктедегі екінші туынды оң болса, онда y = f(x) түзуі мұнда жоғары ойыс, ал теріс болса, төмен.
Екі айнымалы функцияның экстремумын қалай табуға болады?
Оның тағайындалу аймағында дифференциалданатын f(x, y) функциясының экстремумын табу үшін сізге қажет:
1) критикалық нүктелерді табыңыз және ол үшін теңдеулер жүйесін шешіңіз
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) P0(a;b) әрбір критикалық нүкте үшін айырмашылықтың белгісі өзгеріссіз қала ма, соны зерттеңіз.
барлық нүктелер үшін (x; y) P0-ге жеткілікті жақын. Егер айырмашылық оң таңбаны сақтаса, онда Р0 нүктесінде минимум, теріс болса, максимум болады. Егер айырмашылық таңбасын сақтамаса, онда Р0 нүктесінде экстремум болмайды.
Сол сияқты функцияның экстремумдары үшін де анықталады Көбірекаргументтер.
Бизнес-инкубатор қызметін құру схемасының ерекшеліктері қандай
Бизнес-инкубаторлар, ең алдымен, шағын бизнесті қолдаудың инфрақұрылымының бөлігі ретінде қарастырылады, бірақ сонымен бірге олар экономикалық, әлеуметтік, құрылымдық және инновациялық саясаттың құралы болып табылады. Технологиялық инкубаторлар бейімделген, серпінді, бәсекеге қабілетті ұлттық инновацияны қалыптастыру саясатының құралдарының бірі болып табылады.
Дракула (ағыл. Dracula) - кейіпкер әдеби шығармаларжәне фильмдер, вампир.Дракула (1897) романы үшін ирланд жазушысы Брам Стокер ойлап тапқан. Танымал пікірге сәйкес, бұл кейіпкердің прототипі нақты болды тарихи тұлға— Влад III Теп(жекпе-жек
Sony Ericsson K790 телефоны туралы ақпаратты қайдан табуға болады
Sony Ericsson K790 телефоны туралы ақпаратты келесі сайттардан табуға болады: www.mobiset.ru - mobiset.ru сайтында Sony Ericsson K790 телефоны туралы ақпарат ;www.mobidrive.ru - mobid сайтындағы Sony Ericsson K790 телефоны туралы ақпарат
«Дірмен» тобына кім кіреді
www.melnitsa.net — Мельница тобының ресми сайты Мельница — Мәскеуден шыққан ресейлік фольк-рок тобы. 1999 жылы 15 қазанда құрылған. Мельница тобы акустикалық және электроакустикалық музыкамен айналысады. Аспаптар: виолончель, флейта
Лют дегеніміз не
Лют - жұлынған жіп музыкалық аспап. Оның ішінде классикалық формасыалмұрт пішінді сымбатты денелі, шегелі мойын, мойынға бұрыш жасап артқа қайырылған қазық қорапшасы, розеткалы дыбыс тесігі және 11 ішекті (бес жұп және жалғыз жоғары ішек) бар. «Люта» сөзі де ең жалпы мағынада қолданылады.
Томат дегеніміз не (қызанақ)
Қызанақ (қызанақ) – түнбаған тұқымдасына жататын өсімдік, Solanaceae тұқымдасы, бір немесе көп жылдық шөптесін шөп. ретінде өсіріледі көкөніс дақылы. Томаттың жемісі қызанақ деп аталады. Жеміс түрі - жидек. Тарих Отан - Оңтүстік Америка, онда қызанақтың жабайы және жартылай мәдени түрлері әлі де кездеседі. 16 ғасырдың ортасында қызанақ Испанияға келді, дейді
Дәлелденген зат есімнің септелу үлгісін қайдан табуға болады
Зат есімнің септелуі Декленация - зат есімдердің (және басқа да атау бөліктерінің) регистрлер мен сандар бойынша өзгеруі. Орыс тілінде екі сан бар: жекеше (терезе, үстел) және көпше (терезелер, парталар); алты жағдай (сәйкес мектеп бағдарламасы). Кейс Кейс сұрақтары Номинативті кім? Не? Кімнің ата-анасы? не? Беруші
Бірінші арнадағы «Бақытты өмірдегі қысқаша курс» сериалында басты рөлдерді қай актрисалар сомдады
Орыс телехикаясында « Қысқа курс бақытты өмір”, 2011 жылы режиссер Валерия Гей Германика Бірінші арна үшін түсірген, басты рөлдерді 4 актриса сомдады: Люба рөлін Алиса Хазанова; Саша рөлін Светлана Ходченкова ойнады; Анна рөлін Анна Слю ойнады; Катя рөлін Ксения Громова сомдады. Фонда
90 градустың синусы неге тең
Синус бірі болып табылады тригонометриялық функциялар, күнә арқылы белгіленеді. IN тікбұрышты үшбұрышсинус сүйір бұрышосы бұрышқа қарама-қарсы катеттің (қарама-қарсы катет) гипотенузаға қатынасына тең Жиі кездесетін бұрыштар үшін синустар мәндері (π - pi саны, √ - квадраттың түбірі.
Интернетте ағылшын тілінің ақылы аудио курстары бар
Ақылы аудио курстар ағылшыншатөмендегі сілтемелер бойынша табуға болады: shop.iddk.ru - дискідегі ағылшын тілінің аудио курстары; london.ru - дискілердегі аудио курстар, сондай-ақ кітаптар; volxv.ru - аудио-видео ағылшын тілі курстары; ozon.ru - дискілердегі аудио курстар
Superjob.ru ақпараттық және рекрутингтік порталдары - Superjob.ru рекрутингтік порталы жұмыс істейді Ресей нарығы 2000 жылдан бері онлайн жалдау және жұмыс іздеу мен кадрларды ұсынатын ресурстар арасында көшбасшы болып табылады. Сайттың дерекқорына күн сайын 80 000-нан астам мамандардың түйіндемелері және 10 000-нан астам бос жұмыс орындары қосылады.
© ҚМДБ №2 дәріс | проф. Дымков М.П. | |||||
Ескертпе 1. Қарама-қарсы мәлімдеме сәл басқаша естіледі. Егер |
||||||
функция аралықта артады, онда f ′ (x 0 )≥ 0 немесе жоқ. | ||||||
1-мысал | y=x3 | артады | барлығы сандық | |||
тиісінше | f (x) > 0 , бірақ нүктеде | x = 0 туынды | f(0)=0. | |||
2-мысал. Функция | x ≥ 0, | нүктеде туындысы жоқ | x=0 |
|||
x< 0 |
||||||
(сол және оң туындылар әртүрлі), бірақ ол x-тің барлық мәндері үшін, соның ішінде x = 0 нүктелерінде артады.
Ескертпе 2. «Жұмсақ» шарттарға сүйене отырып, тікелей теореманы тұжырымдауға болады: егер интервалдағы үздіксіз функцияның туындысы теріс емес болса, онда функция осы интервалда кемімейді. Сонда формальданған тілдегі тура және қарама-қарсы теоремалар келесідей естіледі:
үшін, | y = f(x) функциясы интервалда үздіксіз болатындай |
|||
төмендемейтін | бұл интервал қажет | және жеткілікті |
||
f ′ (x0 ) ≥ 0 . | ||||
Экстремалды ұғым | ||||
Анықтама. | x0 нүкте деп аталады | жергілікті максимум |
||
f (x) функциясы, егер x0 нүктесінің көршілестігі болса, осы маңайдағы барлық х үшін f(x) ≤ f(x0 ) .
Анықтама. x0 нүктесі f(x) функциясының жергілікті минимум нүктесі деп аталады, егер x0 нүктесінің осы маңайындағы барлық х үшін f(x) ≥ f(x0 ) болатындай маңайы болса.
Функцияның максимум нүктесіндегі мәні жергілікті максимум деп аталады, функцияның минимум нүктесіндегі мәні берілген функцияның жергілікті минимумы деп аталады. Функцияның максимумы мен минимумы оның жергілікті экстремумы деп аталады.
(экстремум - экстремалды).
Анықтама. x0 нүктесі y= f(x) функциясының қатаң жергілікті максимум (минимум) нүктесі деп аталады, егер x0 нүктесінің маңайындағы барлық х үшін f(x) қатаң теңсіздік ақиқат болса.< f(x0 ) (соответственно
f (x) > f(x0 ) ).
Түсініктеме. Жергілікті экстремумның жоғарыдағы анықтамасында функция x 0 нүктесінде үзіліссіз деп есептемейміз.
X ≠ 0 | |||||
нүктеде үзіліссіз | x = 0, бірақ бұл жерде бар |
||||
y= функциясы | x=0 |
||||
максималды нүкте, өйткені x \u003d 0 нүктесінің маңы бар, онда f (x)< f (x 0 ).
Функцияның интервалдағы ең үлкен (ең кіші) мәні шақырылады жаһандық экстремалды.Жаһандық экстремумға жергілікті экстремум нүктелерінде де, сегменттің ұштарында да жетуге болады.
Экстремумның қажетті шарты
Теорема 2. (экстремумға қажетті шарт бойынша).
Егер y = f(x) функциясының x0 нүктесінде экстремумы болса, онда оның осы нүктедегі туынды f′ (x0 ) не нөлге тең, не жоқ.
◄Егер x 0 нүктесінде функция экстремумға ие болса және дифференциалданатын болса, онда
осы нүктенің кейбір маңайында Ферма теоремасының шарттары орындалады, сондықтан функцияның осы нүктедегі туындысы нөлге тең.
Бірақ y = f(x) функциясының экстремумы болуы мүмкін және сол нүктеде дифференциалданбауы мүмкін. Оған мысал келтірсек те жеткілікті. Мысал болар еді
y= функциясына қызмет етеді | нүктесінде минимумы бар | x=0 | дегенмен жоқ |
||||||||||||||||||||||||||
осы кезде дифференциацияланады. | |||||||||||||||||||||||||||||
Түсініктеме | Геометриялық | ||||||||||||||||||||||||||||
1-суретте теореманың суреті берілген. Функция | |||||||||||||||||||||||||||||
y \u003d f (x), оның графигі осында берілген | |||||||||||||||||||||||||||||
y=f(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
фигура, x 1 , x 3 , x 4 нүктелерінде экстремумдары бар, | |||||||||||||||||||||||||||||
туынды | |||||||||||||||||||||||||||||
бар, | ол нөлге тең, | ||||||||||||||||||||||||||||
тартады | шексіздік. | ||||||||||||||||||||||||||||
ұпай x 2, | экстремум функциясы жоқ, | ||||||||||||||||||||||||||||
және х 2 нүктесінде туынды болады | |||||||||||||||||||||||||||||
шексіздік, x 5 нүктесінде | туынды болып табылады | ||||||||||||||||||||||||||||
Ескертпе 2. Қажетті шарт орындалатын нүктелер |
|||||||||||||||||||||||||||||
Үздіксіз функцияның экстремумдары критикалық деп аталады | |||||||||||||||||||||||||||||
Олар теңдеу арқылы анықталады | f(x)=0 | (тұрақты |
|||||||||||||||||||||||||||
ұпай) немесе f | (x)=∞. | ||||||||||||||||||||||||||||
Ескерту 3. Функцияның әрбір критикалық нүктесінде максимум немесе минимум болуы міндетті емес.
4-мысал. y = x 3 функциясын қарастырайық. Бұл мүмкіндік үшін маңызды
f ′ (x) \u003d 3x 2 \u003d 0 теңдеуінен шығатын x \u003d 0 нүктесі. Дегенмен, бұл функция барлық x үшін артады және экстремумы жоқ.
© ҚМДБ №2 дәріс | Туындылар көмегімен функцияларды зерттеу проф. Дымков М.П. | ||||||||
Теорема 3. | (экстремум үшін жеткілікті шарттарда). | ||||||||
рұқсат етіңіз | y = f(x) келесі шарттар орындалады: | ||||||||
1) y = f(x) | x0 нүктесінің маңайында үздіксіз болады; | ||||||||
(x)=0 | f (x) = ∞ | ||||||||
белгісін өзгертеді. | |||||||||
(х) х0 нүктесі арқылы өткенде | |||||||||
Сонда x = x0 нүктесінде y= f(x) функциясының экстремумы бар: | |||||||||
минимум, егер x0 нүктесі арқылы өткенде | туынды өзгерістер белгісі |
||||||||
минустан плюсқа дейін; | |||||||||
нүкте арқылы өткенде максималды | x0 туындысы оны өзгертеді |
||||||||
плюстен минусқа қарай белгі. | f (x) х0 нүктесі арқылы өткенде оның мәні өзгермейді |
||||||||
Туынды болса |
|||||||||
белгі жоқ, х = x0 нүктесінде экстремум жоқ.◄ | |||||||||
Теореманың шарттарын келесі кестеде жинақтауға болады | |||||||||
Туынды белгі | Экстремум | ||||||||
Максималды | |||||||||
Өйткені f(x) шарты бойынша< 0 приx < x 0 , то на левом относительно точки |
|||||||||
x 0 интервал функциясы | төмендейді. x> x 0 үшін f (x)> 0 болғандықтан, | ||||||||
y = f(x) |
|||||||||
нүктеге қатысты | интервал | f(x) функциясы өсуде. |
|||||||
Демек, | f(x0) | f(x) функциясының көршілес ең кіші мәні |
|||||||
x 0 , яғни f (x 0 ) | функцияның жергілікті минимумы болып табылады | f(x) . |
|||||||
Егер сол жақ интервалдан оңға өту кезінде функция төмендей берсе, онда x нүктесінде 0-ге жетпейді. ең төменгі мәнфункциялары
(экстремум жоқ).
Максимумның болуы да осылай дәлелденген.
Суретте. 2 a-h үзіліссіз функцияның экстремумының болуы немесе болмауының ықтимал жағдайларын көрсетеді, оның туындысы критикалық нүктеде нөлге тең немесе шексіздікке барады.
© ҚМДБ №2 дәріс | Туындыларды қолданып функцияларды зерттеу | проф. Дымков М.П. | ||||||||
Түсініктеме. | Функция үшін үздіксіздік шарты болса | |||||||||
орындалмаған болса, онда қолжетімділік мәселесі | ||||||||||
экстремум ашық қалады. | ||||||||||
5-мысал | ||||||||||
Қарастырыңыз | үзіліссіз | |||||||||
x+1, | x ≤ 0, | (Cурет 3). Туынды | бұл функция таңбаны өзгертеді | ||||||||||||||||||||||
f(x)= | x > 0 | ||||||||||||||||||||||||
x 0 = 0 нүктесі арқылы өту, | дегенмен, нүктедегі функция | x0=0 | экстремум емес | ||||||||||||||||||||||
Мысал 6. Функция берілсін | |||||||||||||||||||||||||
X ≠ 0, | |||||||||||||||||||||||||
(Cурет 4). Суреттен көрініп тұрғандай, | f(x) | ||||||||||||||||||||||||
f(x)= | x=0 | ||||||||||||||||||||||||
нүктесінде жергілікті максимумы бар | x0=0 | Дегенмен, функция | |||||||||||||||||||||||
x 0 = 0 нүктесінде үзіліс бар. | |||||||||||||||||||||||||
Түсініктеме | функцияның х 0 нүктесінде экстремумы бар, мысалы, | ||||||||||||||||||||||||
ең аз, содан кейін таңдау бойынша нүктенің сол жағында | x 0 функциясы монотонды түрде кемиді және | ||||||||||||||||||||||||
х 0 оңға қарай монотонды түрде артады. | |||||||||||||||||||||||||
Мысал 7. Функция берілсін | |||||||||||||||||||||||||
2 - cos | X ≠ 0, | ||||||||||||||||||||||||
f(x)= | |||||||||||||||||||||||||
x=0 | y=3x2 | y=x | |||||||||||||||||||||||
ішінде көрсетуге болады | x = 0 | ||||||||||||||||||||||||
үздіксіз | |||||||||||||||||||||||||
Функция туындысы | |||||||||||||||||||||||||
f(x)=2x | - күнә | кез келген ауданда | |||||||||||||||||||||||
x = 0 нүктесі таңбаны шексіз көп рет өзгертеді. Демек, f (x) функциясы жоқ
х = 0 нүктесінен солға да, оңға да монотонды түрде кемиді немесе өспейді.
Экстремум үшін функцияны зерттеу схемасы:
1) туындысын табыңыз f'(x);
2) сыни нүктелерді табу, яғни. осындай құндылықтар x, онда f ′ (x)= 0 немесе
f′ (x) = ∞;
3) Әрбір сынның сол және оң жағындағы туындының таңбасын тексеріңіз
© ҚМДБ №2 дәріс | Туындыларды қолданып функцияларды зерттеу | проф. Дымков М.П. | ||||
ұпай. Егер, сыни нүктеден өткенде | туынды f(x) | |||||
оның таңбасы плюстен минусқа дейін, содан кейін х 0 нүктесінде | f(x) | максимумы бар, егер |
||||
f(x) белгісі | минустан плюсқа өзгереді | онда x 0 нүктесінде | f(x) функциясы | |||
Егер х критикалық нүкте арқылы өткенде x 0 таңбасы f | (x) жоқ |
|||||
өзгереді, онда x 0 нүктесінде f (x) функциясының максимумы да, минимумы да болмайды; 4) функцияның шеткі нүктелеріндегі мәндерін табу.
Теорема 4. (экстремум үшін 2-ші жеткілікті шарт). y = f (x) функциясы үшін келесі шарттар орындалсын:
1. y \u003d f (x) x 0 нүктесіне жақын жерде үздіксіз,
2. x 0 кезінде f ′ (x )= 0
3. f ′′ (x )≠ 0 x 0 нүктесінде.
Содан кейін x 0 нүктесінде | экстремумға жетеді және: | f ′′ (x 0 )> 0 болса, онда нүктеде |
|||||||||||||||||||||
x = x0 | y = f(x) | минимумы бар | f ′′ (x 0 )< 0 , то | x = x0 |
|||||||||||||||||||
y = f(x) функциясы максимумға ие. | |||||||||||||||||||||||
◄ 2-ші туынды f анықтамасы бойынша | f′ (x) − f′ (x0 ) | ||||||||||||||||||||||
) = лим | |||||||||||||||||||||||
− x | |||||||||||||||||||||||
x → x0 | |||||||||||||||||||||||
Бірақ f шарты бойынша | ) = лим | ||||||||||||||||||||||
(x)=0. | − x | (x) > 0, содан кейін |
|||||||||||||||||||||
x → x0 | |||||||||||||||||||||||
f'(x) | кейбіреулерінде | Көршілестік | x = x. | x< x | |||||||||||||||||||
x − x0 | |||||||||||||||||||||||
x > x0 | бөлшек оң | мынадай жағдай болса |
|||||||||||||||||||||
оң, егер f(x)< 0 . | |||||||||||||||||||||||
f (x) нүкте арқылы өткенде | x = x0 | белгісін өзгертеді, |
|||||||||||||||||||||
f(x)>0. Демек, | |||||||||||||||||||||||
сондықтан экстремум бар. Туындының таңбасы минустан плюсқа өзгереді, сондықтан бұл минимум. f ′′ (x 0 ) жағдайы< 0 .
8-мысал. Экстремум үшін y = x 2 + 2x + 3 функциясын зерттеңіз.y ′= 2x + 2 туындысын табыңыз.
1) Біз критикалық нүктелерді табамыз, олар үшін туындыны нөлге теңестіреміз: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.
2) Осы нүктенің сол және оң жағындағы туындының таңбасын зерттейміз (6-сурет).
Туындының таңбасы минустан плюске өзгеретіндіктен, х = − 1 нүктесінде минимумға жетеді.
3) Минимумның мәнін табыңыз: ymin (− 1)= 2.
f'(x)- | ||||||||||
Экстремум үшін y = 3 функциясын зерттеңіз | ||||||||||
1) y ′= туындысын табыңыз | . | |||||||||
Функцияның өсу, кему және экстремумы
Функцияның өсу, кему және экстремум интервалдарын табу тәуелсіз тапсырма және басқа тапсырмалардың маңызды бөлігі болып табылады, атап айтқанда, толық функционалдық зерттеу. Функцияның ұлғаюы, кемуі және экстремумы туралы бастапқы ақпарат берілген туынды туралы теориялық тарау, мен оны алдын ала зерттеуге өте ұсынамын (немесе қайталау)- сонымен қатар келесі материалдың негізіне негізделгендіктен туындының мәніосы мақаланың үйлесімді жалғасы болып табылады. Уақыт таусылып жатса да, бүгінгі сабақтың мысалдарын таза формалды өңдеу де мүмкін.
Бүгін ауада сирек кездесетін бірауыздылық рухы бар және мен жиналғандардың барлығының тілекпен жанып тұрғанын тікелей сезінемін. туындыны пайдаланып функцияны зерттеуге үйрету. Сондықтан, ақылға қонымды жақсы мәңгілік терминология мониторларыңыздың экрандарында бірден пайда болады.
Не үшін? Ең практикалық себептердің бірі: белгілі бір тапсырмада сізден не талап етілетінін түсіндіру!
Функцияның монотондылығы. Экстремум нүктелері және функцияның экстремалары
Кейбір функцияларды қарастырайық. Қарапайым тілмен айтқанда, біз солай деп есептейміз үздіксізбүкіл сан түзуінде:
Қалай болғанда да, біз ықтимал иллюзиялардан бірден құтыламыз, әсіресе жақында танысқан оқырмандар үшін. функцияның таңба тұрақтылығының интервалдары. Енді біз ҚЫЗЫҚТЫРМАЙДЫ, функцияның графигі оське қатысты қалай орналасқаны (жоғарыда, төменде, осьті қай жерде кесіп өтетіні). Сенімділік үшін осьтерді ойша өшіріп, бір график қалдырыңыз. Өйткені қызығушылық сонда.
Функция артадыаралықта, егер осы интервалдың қатынасымен байланысты кез келген екі нүктесі үшін теңсіздік ақиқат болса. Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келеді және оның графигі «төменнен жоғарыға» өтеді. Демонстрациялық функция аралықта өседі.
Сол сияқты, функция төмендейдіаралықта, егер берілген интервалдың кез келген екі нүктесі үшін теңсіздік ақиқат болатындай. Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның кішірек мәніне сәйкес келеді және оның графигі «жоғарыдан төменге» өтеді. Біздің функциямыз аралықта азаяды 
.
Егер функция белгілі бір аралықта артып немесе кеміп жатса, онда ол шақырылады қатаң монотондыосы аралықта. Монотондылық дегеніміз не? Сөзбе-сөз қабылдаңыз - монотондылық.
анықтауға да болады төмендемейтінфункциясы (бірінші анықтамадағы босаңсыған жағдай) және өспейтінфункциясы (2-ші анықтамадағы жұмсартылған шарт). Интервалдағы кемімейтін немесе өспейтін функцияны берілген аралықтағы монотонды функция деп атайды. (қатаң монотондылық - жеке оқиға«жай» монотондылық).
Теория сонымен қатар функцияның ұлғаюын / кемуін анықтаудың басқа тәсілдерін қарастырады, соның ішінде жарты интервалдар, сегменттер, бірақ сіздің басыңызға май-май-май құймау үшін біз категориялық анықтамалары бар ашық интервалдармен жұмыс істеуге келісеміз - бұл анық және көптеген практикалық мәселелерді шешу үшін жеткілікті.
Осылайша, Менің мақалаларымда «функцияның монотондылығы» деген сөз әрқашан дерлік жасырылады интервалдарқатаң монотондылық(функцияның қатаң ұлғаюы немесе қатаң төмендеуі).
Нүкте маңы. Студенттер қолдарынан келгенше шашырап, бұрыштарда қорқынышпен жасырынатын сөздер. …Посттан кейін Коши шектеулеріолар енді жасырмайтын шығар, бірақ аздап дірілдейді =) Уайымдамаңыз, енді теоремалардың дәлелдері болмайды математикалық талдау– Анықтамаларды неғұрлым қатаң тұжырымдау үшін маған аудандар керек болды экстремум нүктелері. Біз есімізде:
Көршілес нүктеқамтитын интервал деп аталады берілген нүкте, ал ыңғайлы болу үшін интервал жиі симметриялы болып қабылданады. Мысалы, нүкте және оның стандартты көршілестігі:
Негізінен анықтамалар:
Нүкте деп аталады қатаң максималды нүкте, Егер бароның көршісі, барлығынанүктенің өзінен басқа мәндері теңсіздік орындалады. Біздің нақты мысалбұл нүкте.
Нүкте деп аталады қатаң минималды нүкте, Егер бароның көршісі, барлығынанүктенің өзінен басқа мәндері теңсіздік орындалады. Сызбада – «а» нүктесі.
Ескерту : маңайдың симметриялы болуы туралы талап мүлдем қажет емес. Сонымен қатар, бұл маңызды өмір сүру фактісіКөрсетілген шарттарды қанағаттандыратын көрші (кішкентай болса да, тіпті микроскопиялық).
Нүктелер деп аталады қатаң экстремум нүктелерінемесе жай экстремум нүктелеріфункциялары. Яғни, бұл максималды ұпайлар мен минималды ұпайлар үшін жалпылама термин.
«Төтенше» деген сөзді қалай түсінуге болады? Иә, монотондылық сияқты. Роликтердің шеткі нүктелері.
Монотондылық жағдайындағы сияқты, теорияда қатаң емес постулаттар бар және одан да көп таралған. (оның астында, әрине, қаралған қатаң істер жатады!):
Нүкте деп аталады максималды нүкте, Егер бароның айналасы, осындай барлығына
Нүкте деп аталады ең төменгі нүкте, Егер бароның айналасы, осындай барлығынаосы маңайдың құндылықтарында теңсіздік сақталады.
Соңғы екі анықтамаға сәйкес тұрақты функцияның кез келген нүктесі (немесе кейбір функцияның «жазық ауданы») максималды нүкте және ең төменгі нүкте ретінде қарастырылатынын ескеріңіз! Айтпақшы, функциясы өспейтін де, кемімейтін де, яғни монотонды. Дегенмен, біз бұл аргументтерді теоретиктерге қалдырамыз, өйткені іс жүзінде біз дәстүрлі «төбелер» мен «шұңқырларды» (сызбаны қараңыз) бірегей «төбе патшасы» немесе «батпақты ханшайыммен» қарастырамыз. Әртүрлілік ретінде ол кездеседі нүкте, жоғары немесе төмен бағытталған, мысалы, нүктедегі функцияның минимумы.
О, және роялти туралы айтатын болсақ:
- мағынасы деп аталады максимумфункциялар;
- мағынасы деп аталады минимумфункциялары.
Жалпы аты - шектен тысфункциялары.
Сөздеріңізге абай болыңыздар!
экстремум нүктелері«x» мәндері болып табылады.
Экстремалдар- «ойын» құндылықтары.
! Ескерту : кейде аталған терминдер функцияның ГРАФИК-те тікелей жататын «x-y» нүктелеріне сілтеме жасайды.
Функцияның қанша экстремум болуы мүмкін?
Ешбір, 1, 2, 3, … т.б. шексіздікке. Мысалы, синуста минимумдар мен максимумдардың шексіз саны бар.
МАҢЫЗДЫ!«максималды функция» термині бірдей емес«функцияның ең үлкен мәні» термині. Мәннің тек жергілікті ауданда ғана максималды екенін байқау қиын емес, ал жоғарғы сол жақта «күтпеген жолдастар» бар. Сол сияқты «минималды функция» «минималды функция мәніне» ұқсамайды және сызбада мәннің белгілі бір аймақта ғана минималды екенін көреміз. Осыған байланысты экстремалды нүктелер де аталады жергілікті экстремум нүктелері, және экстремум жергілікті экстремалдар. Олар серуендеп, айналады және жаһандықағайындар. Сонымен, кез келген параболаның төбесінде болады жаһандық минимумнемесе жаһандық максимум. Әрі қарай, мен экстремалды түрлерін ажыратпаймын, және түсініктеме жалпы білім беру мақсаттары үшін көбірек айтылады - «жергілікті» / «жаһандық» қосымша сын есімдерді таң қалдыруға болмайды.
Теорияға қысқаша шегінісімізді бақылау кадрымен қорытындылайық: «функцияның монотондылық интервалдары мен экстремум нүктелерін табу» тапсырмасы нені білдіреді?
Формула мыналарды табуға шақырады:
- функцияның ұлғаю/төмендеу аралықтары (азаймайтын, өспейтіндер әлдеқайда сирек пайда болады);
– максималды ұпайлар және/немесе минималды ұпайлар (бар болса). Сәтсіздіктен минимум/максималарды өздері тапқан дұрыс ;-)
Мұның бәрін қалай анықтауға болады?Туынды функцияның көмегімен!
Өсу, кему аралықтарын қалай табуға болады,
функцияның экстремум нүктелері мен экстремумдары?
Көптеген ережелер, шын мәнінде, бұрыннан белгілі және түсінікті туынды сөздің мағынасы туралы сабақ.
Тангенс туындысы 
функцияның ұлғаюы туралы жақсы жаңалық береді домендер.
Котангенспен және оның туындысымен 
жағдай мүлде керісінше.
Арксинус аралықта өседі - мұнда туынды оң болады: 
.
үшін, функция анықталған, бірақ дифференциалданбайды. Дегенмен, критикалық нүктеде оң қол туындысы және оң қол жанама, ал екінші шетінде олардың сол жақ ұқсастары бар.
Менің ойымша, доғаның косинусы мен оның туындысы үшін ұқсас дәлелдерді орындау сізге қиын болмайды.
Бұл жағдайлардың барлығы, олардың көпшілігі кестелік туындылар, Еске саламын, мына жерден тікелей орындаңыз туынды анықтамалар.
Неліктен туындысы бар функцияны зерттеу?
Бұл функцияның графигі қалай көрінетіні туралы жақсы түсінік алу үшін: қай жерде ол «төменнен жоғарыға», қай жерде «жоғарыдан төменге» барады, қай жерде ол биіктіктердің төменгі шегіне жетеді (егер болса). Барлық функциялар соншалықты қарапайым емес - көп жағдайда бізде белгілі бір функцияның графигі туралы шамалы түсінік жоқ.
Мағыналы мысалдарға көшіп, қарастыратын кез келді функцияның монотондылық пен экстремалдылық интервалдарын табу алгоритмі:
1-мысал
Функцияның өсу/кему аралықтарын және экстремумдарын табыңыз
Шешім:
1) Бірінші қадам - табу функция ауқымы, сондай-ақ тоқтау нүктелерін (егер олар бар болса) ескеріңіз. Бұл жағдайда функция бүкіл нақты сызықта үздіксіз болады және бұл әрекет біршама формальды. Бірақ кейбір жағдайларда бұл жерде ауыр құмарлықтар өршиді, сондықтан абзацты елеусіз қалдырмай қарастырайық.
2) Алгоритмнің екінші нүктесі орындалады
экстремум үшін қажетті шарт:
Егер нүктеде экстремум болса, онда мән жоқ.
Аяқтау арқылы шатастырдыңыз ба? «х модулі» функциясының экстремумы .
шарт қажет, бірақ жеткіліксіз, және керісінше әрқашан дұрыс бола бермейді. Сонымен, функция нүктесінде максимумға немесе минимумға жетеді деген теңдік әлі шықпайды. Классикалық мысал жоғарыда көрсетілген - бұл текше парабола және оның сыни нүктесі.
Дегенмен, экстремумның қажетті шарты күдікті нүктелерді табу қажеттілігін талап етеді. Ол үшін туындыны тауып, теңдеуді шешіңіз:
Бірінші мақаланың басында Функция графиктері туралыМен мысал арқылы параболаны қалай тез салу керектігін айттым 
: «... бірінші туындыны алып, оны нөлге теңестіреміз: ... Сонымен, теңдеуіміздің шешімі: - дәл осы нүктеде параболаның төбесі орналасқан ...». Енді параболаның төбесі неліктен дәл осы нүктеде тұрғанын бәрі түсінеді деп ойлаймын =) Жалпы, осы жерде ұқсас мысалдан бастау керек, бірақ бұл өте қарапайым (тіпті шәйнек үшін де). Сонымен қатар, сабақтың соңында аналогы бар туынды функция. Сонымен, деңгейді көтерейік:
2-мысал
Функцияның монотондылық интервалдары мен экстремумдарын табыңыз
Бұл үшін мысал тәуелсіз шешім. Толық шешімжәне сабақтың соңында тапсырманың шамамен аяқтау үлгісі.
Бөлшек рационал функциялары бар кездесудің көптен күткен сәті келді:
3-мысал
Бірінші туындыны пайдаланып функцияны зерттеңіз
Бір және бір тапсырманы қалай өзгертуге болатынына назар аударыңыз.
Шешім:
1) Функция нүктелерінде шексіз үзілістерге ұшырайды.
2) Біз сыни нүктелерді анықтаймыз. Бірінші туындыны тауып, оны нөлге теңестірейік: 
Теңдеуді шешейік. Бөлшек алымы нөлге тең болса, ол нөлге тең болады:
Осылайша, біз үш маңызды нүктені аламыз: 
3) Сан түзуіндегі БАРЛЫҚ анықталған нүктелерді бір жаққа қойыңыз және интервал әдісіТУЫНДЫҚ белгілерін анықтаңыз:
Сізге интервалдың қандай да бір нүктесін алу, ондағы туындының мәнін есептеу керек екенін еске саламын 
және оның белгісін анықтайды. Тіпті санамай, ауызша «бағалау» тиімдірек. Мысалы, интервалға жататын нүктені алып, ауыстыруды орындаңыз: 
. 
Екі «плюс» және бір «минус» «минус» береді, демек, туынды барлық интервалда теріс болады.
Әрекет, сіз түсінгеніңіздей, алты интервалдың әрқайсысы үшін орындалуы керек. Айтпақшы, алымдардың көбейткіші мен бөлгіші кез келген интервалдың кез келген нүктесі үшін қатаң оң болатынын ескеріңіз, бұл тапсырманы айтарлықтай жеңілдетеді.
Сонымен, туынды бізге ФУНКЦИЯНЫҢ ӨЗІ артады деп айтты 
және төмендейді. Бір типті аралықтарды біріктіру белгішесімен бекіту ыңғайлы .
Функция максимумға жеткен кезде:
Функция минимумға жеткен кезде: 
Неліктен екінші мәнді қайта есептей алмайтыныңызды ойлап көріңіз ;-)
Нүкте арқылы өткенде туынды таңбасын өзгертпейді, сондықтан функцияның NO EXTREME жоқ – ол әрі азайып, бірде кему күйінде қалды.
! Маңызды ойды қайталайық: нүктелер критикалық болып саналмайды - олардың функциясы бар анықталмаған. Тиісінше, мұнда экстремумдар негізінен бола алмайды(тіпті туынды таңбаны өзгертсе де).
Жауап: функция артады 
және төмендейді Функцияның максимумына жеткен кезде: 
, ал нүктеде - минимум: .
Монотандылық интервалдарын және белгіленген экстремаларды білу асимптоталарөте береді жақсы өнімділікО сыртқы түріфункция графигі. Орташа адам функция графигінің екі тік асимптотасы және қиғаш асимптотасы бар екенін ауызша анықтай алады. Міне, біздің кейіпкеріміз: 
Зерттеу нәтижелерін осы функцияның графигімен салыстырып көріңіз.
Сыни нүктеде экстремум жоқ, бірақ бар қисық иілу(бұл, әдетте, ұқсас жағдайларда болады).
4-мысал
Функцияның экстремумын табыңыз
5-мысал
Функцияның монотондылық интервалдарын, максимумдары мен минимумдарын табыңыз
... текшедегі X-in-a-cube мерекесінің бір түрі бүгін шығады ....
Сооо, галереяда кім бұл үшін ішуді ұсынды? =)
Әрбір тапсырманың өзіндік мазмұнды нюанстары мен техникалық нәзіктіктері бар, олар сабақ соңында түсіндіріледі.
Математикадағы маңызды ұғым – функция. Оның көмегімен сіз табиғатта болып жатқан көптеген процестерді елестете аласыз, графиктегі формулалар, кестелер және суреттер арқылы белгілі бір шамалар арасындағы байланысты көрсете аласыз. Мысал ретінде сұйық қабаттың денеге түсіретін қысымының суға бату тереңдігіне, үдеу – белгілі бір күштің затқа әсер етуіне, температураның артуына – берілетін энергияға және басқа да көптеген процестерге тәуелділігін келтіруге болады. Функцияны зерттеу графигін салуды, оның қасиеттерін, анықтау облысы мен мәндерін, өсу және кему интервалдарын анықтауды қамтиды. Маңызды нүктеБұл процесте экстремум нүктелері табылады. Мұны қалай дұрыс жасау керектігі туралы және әңгіме жалғасады.
Нақты мысалдағы тұжырымдаманың өзі туралы
Медицинада функция графигін тұрғызу науқастың денесінде оның жағдайын анық көрсете отырып, аурудың даму барысы туралы айта алады. Тәуліктегі уақыт ОК осі бойымен, ал адам денесінің температурасы OY осі бойымен сызылған деп есептейік. Суретте бұл көрсеткіштің қалай күрт көтерілетіні, содан кейін төмендейтіні анық көрсетілген. Сондай-ақ, функцияның бұрын ұлғайып, азая бастаған сәттерін көрсететін ерекше нүктелерді байқау оңай және керісінше. Бұл экстремалды нүктелер, яғни бұл жағдайда науқастың температурасының критикалық мәндері (максимум және минимум), содан кейін оның күйінде өзгерістер орын алады.
Еңкейту бұрышы
Функцияның туындысы қалай өзгеретінін суреттен анықтау оңай. Егер графиктің түзу сызықтары уақыт өте келе жоғарылайтын болса, онда ол оң болады. Ал олар неғұрлым тік болса, көлбеу бұрышы артқан сайын туындының мәні соғұрлым жоғары болады. Төмендеу кезеңдерінде бұл мән алынады теріс мәндер, экстремум нүктелерінде нөлге айналады және соңғы жағдайда туындының графигі OX осіне параллель сызылады.
Кез келген басқа процесті дәл осылай өңдеу керек. Бірақ бұл тұжырымдаманың ең жақсысы қозғалысты айта алады әртүрлі органдар, графиктерде анық көрсетілген.
Қозғалыс
Қандай да бір зат біркелкі жылдамдыққа ие болып, түзу сызықта қозғалады делік. Бұл кезеңде дене координаталарының өзгеруі графиктік түрде белгілі бір қисықты көрсетеді, оны математик параболаның тармағы деп атайды. Бұл ретте функция үнемі өсіп отырады, өйткені координат индикаторлары секунд сайын тезірек және жылдам өзгереді. Жылдамдық графигі туындының әрекетін көрсетеді, оның мәні де артады. Бұл қозғалыстың сыни нүктелері жоқ дегенді білдіреді.
Бұл шексіз жалғасады. Бірақ егер дене кенеттен баяулауды, тоқтауды және басқа бағытта қозғалуды шешсе ше? Бұл жағдайда координат көрсеткіштері төмендей бастайды. Ал функция критикалық мәнді өтеді және өсуден кемуге айналады.
Бұл мысалда функция графигіндегі экстремум нүктелері оның монотонды болуды тоқтатқан сәттерде пайда болатынын тағы да түсінуге болады.
Туындының физикалық мағынасы
Бұрын сипатталған нәрсе туындының мәні функцияның өзгеру жылдамдығы екенін анық көрсетті. Бұл нақтылау өзінің физикалық мағынасын қамтиды. Экстремалды нүктелер диаграммадағы маңызды аймақтар болып табылады. Нөлге тең болатын туындының мәнін есептеу арқылы оларды анықтауға және анықтауға болады.
Тағы бір белгі бар, бұл экстремум үшін жеткілікті шарт. Мұндай иілу орындарындағы туынды өз таңбасын өзгертеді: максимум аймағындағы «+»-ден «-»-ге дейін және минимум аймағында «-»-ден «+»-ге дейін.
Ауырлық күшінің әсерінен қозғалыс
Басқа жағдайды елестетіп көрейік. Доп ойнаған балалар оны көкжиекке бұрышпен қозғала бастағандай етіп лақтырды. Бастапқыда бұл нысанның жылдамдығы ең үлкен болды, бірақ ауырлық күшінің әсерінен ол төмендей бастады және әр секунд сайын бірдей мәнмен шамамен 9,8 м / с 2 құрайды. Бұл еркін түсу кезінде жердің тартылыс күшінің әсерінен пайда болатын үдеудің мәні. Айда ол шамамен алты есе аз болар еді.
Дененің қозғалысын сипаттайтын график тармақтары төмен қараған парабола болып табылады. Экстремум нүктелерін қалай табуға болады? Бұл жағдайда бұл дененің (шардың) жылдамдығы нөлдік мәнді қабылдайтын функцияның шыңы. Функцияның туындысы нөлге айналады. Бұл жағдайда бағыт, демек жылдамдықтың мәні керісінше өзгереді. Дене әр секунд сайын жылдамырақ және жылдамырақ ұшады және бірдей мөлшерде - 9,8 м/с 2 үдейді.
Екінші туынды
Алдыңғы жағдайда жылдамдық модулінің графигі түзу сызық түрінде салынады. Бұл сызық алдымен төменге бағытталған, өйткені бұл шаманың мәні үнемі төмендейді. Уақыт нүктелерінің бірінде нөлге жеткеннен кейін бұл мәннің көрсеткіштері өсе бастайды және жылдамдық модулінің графикалық көрсетілімінің бағыты күрт өзгереді. Енді сызық жоғары бағытталған.
Уақыт бойынша координатаның туындысы болатын жылдамдықтың да критикалық нүктесі бар. Бұл аймақта бастапқыда төмендейтін функция жоғарылай бастайды. Бұл функция туындысының экстремум нүктесінің орны. Бұл жағдайда жанаманың еңісі нөлге айналады. Ал үдеу координатаның уақытқа қатысты екінші туындысы бола отырып, таңбаны “-”-ден “+”-ге өзгертеді. Ал біркелкі баяу қозғалыс біркелкі жылдамдатады.
Үдеу графигі
Енді төрт фигураны қарастырайық. Олардың әрқайсысы уақыт бойынша өзгеру графигін көрсетеді, мысалы физикалық шамажеделдету сияқты. «А» жағдайында оның мәні оң және тұрақты болып қалады. Бұл дененің жылдамдығы, оның координатасы сияқты, үнемі өсетінін білдіреді. Егер объект осылайша шексіз ұзақ уақыт бойы қозғалады деп елестетсек, координатаның уақытқа тәуелділігін көрсететін функция үнемі өсетін болып шығады. Бұдан шығатыны, оның сыни аймақтары жоқ. Сондай-ақ туындының графигінде экстремум нүктелері жоқ, яғни сызықты өзгеретін жылдамдық.
Дәл осы жағдай оң және үнемі өсіп келе жатқан үдеумен «В» жағдайына қатысты. Рас, координаттар мен жылдамдықтың графиктері мұнда біршама күрделірек болады.
Үдеу нөлге жеткенде
«В» фигурасына қарап, дененің қозғалысын сипаттайтын мүлде басқа суретті байқауға болады. Оның жылдамдығы тармақтары төмен қараған парабола түрінде графикалық түрде бейнеленетін болады. Егер үдеу өзгерісін сипаттайтын сызықты ол OX осімен қиылысқанша жалғастырсақ және одан әрі, онда біз осы сыни мәнге дейін үдеу нөлге тең болатынын елестетуге болады, онда нысанның жылдамдығы артады. барған сайын баяу. Координаталық функция туындысының экстремум нүктесі параболаның дәл басында болады, содан кейін дене қозғалыс сипатын түбегейлі өзгертіп, басқа бағытта қозғала бастайды.
Соңғы жағдайда «G» қозғалыс сипатын дәл анықтау мүмкін емес. Мұнда біз тек қарастырылып жатқан кейбір кезең үшін жеделдету жоқ екенін білеміз. Бұл нысанның орнында қалуы мүмкін екенін немесе қозғалыс тұрақты жылдамдықта болатынын білдіреді.
Координатты қосу мәселесі
Мектепте алгебраны оқу кезінде жиі кездесетін және емтиханға дайындалу ұсынылатын тапсырмаларға көшейік. Төмендегі суретте функцияның графигі көрсетілген. Экстремум нүктелерінің қосындысын есептеу қажет.
Мұны функция сипаттамаларының өзгеруі байқалатын критикалық аймақтардың координаталарын анықтау арқылы y осі үшін жасаймыз. Қарапайым тілмен айтқанда, иілу нүктелері үшін х осі бойынша мәндерді табамыз, содан кейін алынған шарттарды қосуды жалғастырамыз. Графикке сәйкес олар келесі мәндерді қабылдайтыны анық: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Бұл жауап -21-ге жетеді.
Оңтайлы шешім
Оңтайлы шешімді таңдау практикалық тапсырмаларды орындауда қаншалықты маңызды болуы мүмкін екенін түсіндіру қажет емес. Өйткені, мақсатқа жетудің көптеген жолдары бар, және ең жақсы жол, әдетте, біреу ғана. Бұл өте қажет, мысалы, кемелерді жобалау кезінде, ғарыш кемелеріжәне ұшақтар сәулет құрылымдарыосы қолдан жасалған заттардың оңтайлы пішінін табу.
Көлік құралдарының жылдамдығы көбінесе су мен ауа арқылы қозғалу кезіндегі қарсылықты сауатты азайтуға, гравитациялық күштердің әсерінен туындайтын шамадан тыс жүктемелерге және басқа да көптеген көрсеткіштерге байланысты. Теңіздегі кеме дауыл кезінде тұрақтылық сияқты қасиеттерді қажет етеді, өзен кемесі үшін ең аз тартпа маңызды. Есептеу кезінде оңтайлы дизайндиаграммадағы экстремум нүктелері туралы түсінік бере алады ең жақсы шешімқиын мәселе. Мұндай жоспардың міндеттері көбінесе экономикада, экономикалық аудандарда, көптеген басқа өмірлік жағдайларда шешіледі.
Ежелгі тарихтан
Төтенше міндеттер тіпті ежелгі данышпандарды да атқарды. Грек ғалымдары математикалық есептеулер арқылы аудандар мен көлемдердің құпиясын сәтті ашты. Периметрі бірдей әртүрлі фигуралар жазықтығында шеңбердің әрқашан ең үлкен ауданы болатынын олар бірінші түсінді. Сол сияқты, допқа бірдей бетінің ауданы бар кеңістіктегі басқа нысандар арасындағы максималды көлем беріледі. Осындай мәселелерді шешуге арналған атақты тұлғаларАрхимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний сияқты. Герон экстремум нүктелерін табуда өте сәтті болды, олар есептеулерге жүгініп, тапқыр құрылғыларды құрастырды. Оларға бу арқылы қозғалатын автоматты машиналар, сорғылар және сол принцип бойынша жұмыс істейтін турбиналар кірді.
Карфагеннің құрылысы
Аңыз бар, оның сюжеті төтенше тапсырмалардың бірін шешуге негізделген. Данышпандардың көмегіне жүгінген финикиялық ханшайым көрсеткен іскерлік көзқарастың нәтижесі Карфаген құрылысы болды. Жер теліміосы көне және әйгілі қала үшін Дидоны (әміршінің аты осылай атаған) африкалық тайпалардың бірінің басшысы сыйға тартты. Алғашында оған жер телімінің ауданы онша үлкен болып көрінбеді, өйткені келісім-шарт бойынша ол терімен жабылуы керек еді. Бірақ ханшайым сарбаздарына оны жұқа жолақтарға кесіп, олардан белдік жасауды бұйырды. Ұзындығы сонша, ол бүкіл қала сыйатын аумақты қамтыды.
Есептің шығу тегі
Ал енді көне дәуірден кейінгі дәуірге көшейік. Бір қызығы, 17 ғасырда Кеплерге шарап сатушымен кездесуі математикалық талдаудың негіздерін түсінуге түрткі болды. Саудагердің өз кәсібін жақсы меңгергені сонша, ол бөшкедегі сусынның көлемін оған темір бұрауышпен түсіру арқылы оңай анықтайтын. Осындай қызығуға ой жүгірткен атақты ғалым бұл дилемманы өзі шеше алды. Ол кездегі шебер дайындаушылар ыдыстарды бекіту сақиналарының шеңберінің белгілі бір биіктікте және радиусында максималды сыйымдылыққа ие болатындай етіп жасауды меңгерген.
Бұл Кеплер үшін әрі қарай ой жүгіртуге мүмкіндік болды. Бочарс келді оңтайлы шешімұзақ ізденіс, қателіктер мен жаңа талпыныстар арқылы өз тәжірибемізді ұрпақтан-ұрпаққа жеткізу. Бірақ Кеплер бұл процесті жылдамдатқысы келді және математикалық есептеулер арқылы қысқа уақыт ішінде солай істеуді үйренгісі келді. Әріптестер жинаған оның барлық әзірлемелері Ферма мен Ньютон - Лейбництің қазір белгілі теоремаларына айналды.
Максималды ауданды табу мәселесі
Бізде ұзындығы 50 см сым бар деп елестетіп көріңізші, одан ауданы ең үлкен тіктөртбұрышты қалай жасауға болады?
Шешім қабылдауды қарапайым және белгілі шындықтардан бастау керек. Біздің фигурамыздың периметрі 50 см болатыны анық.Ол да екі жақтың екі есе ұзындықтарынан тұрады. Бұл олардың біреуін «Х» деп белгілей отырып, екіншісін (25 - X) түрінде көрсетуге болатынын білдіреді.
Осыдан X-ке тең ауданды аламыз (25 - X). Бұл өрнекті көптеген мәндерді қабылдайтын функция ретінде көрсетуге болады. Есептің шешімі олардың максимумын табуды талап етеді, яғни экстремум нүктелерін табу керек.
Ол үшін бірінші туындыны тауып, оны нөлге теңестіреміз. Нәтиже қарапайым теңдеу: 25 - 2X = 0.
Одан бір жақтың Х = 12,5 екенін білеміз.
Сондықтан басқа: 25 - 12,5 \u003d 12,5.
Есептің шешімі қабырғасы 12,5 см болатын шаршы болады екен.
Максималды жылдамдықты қалай табуға болады
Тағы бір мысалды қарастырайық. Дене бар деп елестетіңіз түзу сызықты қозғалысол S \u003d - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 теңдеуімен сипатталады, мұнда жүріп өткен қашықтық метрмен, ал уақыт секундпен көрсетіледі. Максималды жылдамдықты табу қажет. Бұны қалай істейді? Жүктелген жылдамдықты, яғни бірінші туындыны табыңыз.
Теңдеуді аламыз: V = - 3t 2 + 18t - 24. Енді есепті шешу үшін қайтадан экстремум нүктелерін табу керек. Мұны алдыңғы тапсырмадағыдай орындау керек. Жылдамдықтың бірінші туындысын тауып, оны нөлге теңестіреміз.
Біз мынаны аламыз: - 6t + 18 = 0. Осыдан t = 3 с. Бұл дененің жылдамдығы сыни мәнге ие болатын уақыт. Алынған мәліметтерді жылдамдық теңдеуіне қойып, аламыз: V = 3 м/с.
Бірақ бұл дәл максималды жылдамдық екенін қалай түсінуге болады, өйткені функцияның критикалық нүктелері оның ең үлкен немесе ең кіші мәндері болуы мүмкін? Тексеру үшін жылдамдықтың екінші туындысын табу керек. Ол минус таңбасы бар 6 санымен өрнектеледі. Бұл табылған нүкте максимум дегенді білдіреді. Ал екінші туындының оң мәні болған жағдайда минимум болады. Демек, табылған шешім дұрыс болды.
Мысал ретінде берілген тапсырмалар функцияның экстремум нүктелерін таба білу арқылы шешілетін тапсырмалардың бір бөлігі ғана. Шындығында, одан да көп. Ал мұндай білім адамзат өркениетіне шексіз мүмкіндіктер ашады.
Функцияның экстремум нүктесі - функцияның мәні минимум немесе ең үлкен мән қабылдайтын функцияның облысындағы нүкте. Бұл нүктелердегі функция мәндері функцияның экстремалары (минимум және максимум) деп аталады.
Анықтама. Нүкте x1 функция ауқымы f(x) аталады функцияның максималды нүктесі егер осы нүктедегі функцияның мәні көбірек құндылықтарфункциялары оған жеткілікті жақын, оның оң және сол жағында орналасқан нүктелерінде (яғни, теңсіздік f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 максимум.
Анықтама. Нүкте x2 функция ауқымы f(x) аталады функцияның ең кіші нүктесі, егер функцияның осы нүктедегі мәні оның оң және сол жағында орналасқан оған жеткілікті жақын нүктелердегі функция мәндерінен кіші болса (яғни, теңсіздік f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Бұл жағдайда функция нүктеде бар деп айтылады x2 минимум.
Мәселені айтайық x1 - функцияның максималды нүктесі f(x). Содан кейін дейін аралықта x1 функциясы артады, сондықтан функцияның туындысы нөлден үлкен ( f "(x) > 0 ) және одан кейінгі аралықта x1 функциясы төмендейді, сондықтан функцияның туындысы нөлден аз (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Сондай-ақ мәселенің мәнін қарастырайық x2 - функцияның минималды нүктесі f(x). Содан кейін дейін аралықта x2 функция кемиді және функцияның туындысы нөлден кіші ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функция өсуде және функцияның туындысы нөлден үлкен ( f "(x) > 0). Бұл жағдайда да нүктеде x2 функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ.
Ферма теоремасы ( функцияның экстремум ының болуы үшін қажетті критерий. Егер нүкте x0 - функцияның экстремум нүктесі f(x), онда осы нүктеде функцияның туындысы нөлге тең ( f "(x) = 0 ) немесе жоқ.
Анықтама. Функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ нүктелер деп аталады сыни нүктелер .
1-мысалФункцияны қарастырайық.
Нүктеде x= 0 функциясының туындысы нөлге тең, сондықтан нүкте x= 0 - критикалық нүкте. Дегенмен, функцияның графигінен көрініп тұрғандай, ол анықтаудың барлық облысында өседі, сондықтан нүкте x= 0 бұл функцияның экстремум нүктесі емес.
Сонымен, нүктедегі функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ болатын шарттар экстремум үшін қажетті шарттар болып табылады, бірақ жеткіліксіз, өйткені бұл шарттар орындалатын функциялардың басқа мысалдарын беруге болады, бірақ функция сәйкес нүктеде экстремум болмайды. Сондықтан жеткілікті көрсеткіштері болуы керек, бұл белгілі бір критикалық нүктеде экстремум бар-жоғын анықтауға мүмкіндік береді және қайсысы - максимум немесе минимум.
Теорема (функцияның экстремумының бар болуының бірінші жеткілікті критерийі).Сыни нүкте x0 f(x) , егер функцияның туындысы осы нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе және таңбасы «плюс» -тен «минусқа» өзгерсе, онда ең үлкен нүкте, ал «минус» -тен «плюс» болса, онда ең кіші нүкте .
Егер нүктеге жақын болса x0 , оның сол жағында және оң жағында туынды өз таңбасын сақтайды, бұл функция нүктенің кейбір маңайында не азаяды, не тек өседі дегенді білдіреді x0 . Бұл жағдайда нүктеде x0 экстремум жоқ.
Сонымен, функцияның экстремум нүктелерін анықтау үшін келесі әрекеттерді орындау керек :
- Функцияның туындысын табыңыз.
- Туындыны нөлге теңестіріп, критикалық нүктелерді анықтаңыз.
- Ойша немесе қағазда сандық осьте критикалық нүктелерді белгілеп, алынған интервалдардағы функция туындысының белгілерін анықтаңыз. Егер туындының таңбасы «плюс» -тен «минусқа» өзгерсе, онда критикалық нүкте максималды нүкте, ал «минус» -тен «плюс» болса, онда критикалық нүкте ең төменгі нүкте болып табылады.
- Функцияның экстремум нүктелеріндегі мәнін есептеңіз.
2-мысалФункцияның экстремумын табыңыз 
.
Шешім. Функцияның туындысын табайық:
Критикалық нүктелерді табу үшін туындыны нөлге теңестіріңіз:
.
Кез келген «x» мәндері үшін бөлгіш нөлге тең болмағандықтан, алымды нөлге теңейміз:
Бір сыни нүкте бар x= 3. Туындының белгісін осы нүктемен шектелген аралықтарда анықтаймыз:
минус шексіздіктен 3-ке дейінгі диапазонда - минус белгісі, яғни функция азаяды,
3-тен плюс шексіздікке дейінгі диапазонда - қосу белгісі, яғни функция артады.
Яғни, нүкте x= 3 - ең төменгі нүкте.
Функцияның минималды нүктесіндегі мәнін табыңыз:
Осылайша, функцияның экстремум нүктесі табылды: (3; 0) , және ол ең кіші нүкте болып табылады.
Теорема (функцияның экстремумының болуының екінші жеткілікті критерийі).Сыни нүкте x0 функцияның экстремум нүктесі болып табылады f(x), егер функцияның осы нүктедегі екінші туындысы нөлге тең болмаса ( f ""(x) ≠ 0 ), сонымен қатар, егер екінші туынды нөлден үлкен болса ( f ""(x) > 0 ), онда максималды нүкте, ал егер екінші туынды нөлден аз болса ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Ескертпе 1. Егер нүктеде болса x0 бірінші де, екінші туынды да жоғалады, содан кейін бұл кезде екінші жеткілікті белгі негізінде экстремумның бар екенін анықтау мүмкін емес. Бұл жағдайда функцияның экстремумы үшін бірінші жеткілікті критерийді пайдалану керек.
Ескертпе 2. Функцияның экстремумының екінші жеткілікті критерийі бірінші туынды стационарлық нүктеде болмаған кезде де қолданылмайды (онда екінші туынды да жоқ). Бұл жағдайда функцияның экстремумының бірінші жеткілікті критерийін де пайдалану қажет.
Функцияның экстремумының жергілікті сипаты
Жоғарыда келтірілген анықтамалардан функцияның экстремумының жергілікті сипатта болатыны шығады - бұл функцияның ең жақын мәндермен салыстырғанда ең үлкен және ең кіші мәні.
Сіз өзіңіздің табысыңызды бір жыл ішінде есептедіңіз делік. Егер мамыр айында сіз 45 000 рубль, ал сәуірде 42 000 рубль және маусымда 39 000 рубль тапсаңыз, онда мамыр айындағы кірістер ең жақын мәндермен салыстырғанда табыс функциясының максималды мәні болып табылады. Бірақ қазан айында сіз 71 000 рубль, қыркүйекте 75 000 рубль және қарашада 74 000 рубль таптыңыз, сондықтан қазан айындағы табыс жақын маңдағы мәндермен салыстырғанда табыс функциясының ең төменгі мәні болып табылады. Сәуір-мамыр-маусым айларындағы мәндер арасындағы максимум қыркүйек-қазан-қарашадағы минимумнан аз екенін оңай көруге болады.
Жалпы айтқанда, функцияның интервалында бірнеше экстремум болуы мүмкін және функцияның кез келген минимумы кез келген максимумнан үлкен болып шығуы мүмкін. Сонымен, жоғарыдағы суретте көрсетілген функция үшін .
Яғни, функцияның максималды және минимумы, сәйкесінше, оның барлық қарастырылатын сегменттегі ең үлкен және ең аз мәндері деп ойламау керек. Максималды нүктеде функция барлық нүктелерде максималды нүктеге жеткілікті жақын болатын мәндермен салыстырғанда ең үлкен мәнге, ал ең төменгі нүктеде тек осы мәндермен салыстырғанда ең кіші мәнге ие болады оның барлық нүктелерінде минималды нүктеге жеткілікті жақын болуы.
Сондықтан жоғарыда берілген функцияның экстремум нүктелері түсінігін нақтылап, ең кіші нүктелерді жергілікті минимум нүктелер, ал максимум нүктелерді жергілікті максимум нүктелер деп атауға болады.
Біз бірге функцияның экстремумын іздейміз
3-мысал
Шешімі.Функция бүтін сандар түзуінде анықталған және үздіксіз. Оның туындысы 
сонымен қатар бүкіл сандар жолында бар. Сондықтан, бұл жағдайда тек , яғни сыни нүктелер ретінде қызмет ететіндер ғана. , қайдан және . Критикалық нүктелер және функцияның бүкіл облысын біртектіліктің үш интервалына бөліңіз: . Олардың әрқайсысында бір бақылау нүктесін таңдаймыз және осы нүктедегі туындының белгісін табамыз.
Интервал үшін сілтеме нүктесі болуы мүмкін: біз табамыз. Интервалдағы нүктені алып, біз аламыз, ал аралықтағы нүктені аламыз. Сонымен, аралықтарда және , және аралықта . Экстремумның бірінші жеткілікті белгісіне сәйкес нүктеде экстремум болмайды (себебі туынды аралықта таңбасын сақтайды), ал функция нүктеде минимумға ие (себебі туынды өткенде таңбаны минустан плюске өзгертеді) осы нүкте арқылы). Функцияның сәйкес мәндерін табыңыз: , және . Интервалда функция төмендейді, өйткені бұл аралықта , ал аралықта ол артады, өйткені осы аралықта.
Графиктің құрылысын нақтылау үшін оның координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Түбірлері және , яғни функция графигінің екі нүктесі (0; 0) және (4; 0) табылған теңдеуді алған кезде. Барлық алынған ақпаратты пайдалана отырып, біз графикті саламыз (мысалдың басын қараңыз).
4-мысалФункцияның экстремумын тауып, оның графигін құрастыр.
Функцияның анықталу облысы нүктеден басқа бүкіл сан сызығы болып табылады, яғни. .
Зерттеуді қысқарту үшін біз бұл функцияның жұп екенін пайдалана аламыз, өйткені 
. Сондықтан оның графигі оське қатысты симметриялы Ойжәне зерттеу интервал үшін ғана орындалуы мүмкін.
Туындыны табу 
және функцияның критикалық нүктелері:
1) 
;
2) 
,
бірақ функция осы нүктеде үзіліске ұшырайды, сондықтан ол экстремум нүктесі бола алмайды.
Осылайша, берілген функцияекі сыни нүктесі бар: және . Функцияның паритеттігін ескере отырып, экстремумның екінші жеткілікті белгісі бойынша нүктені ғана тексереміз. Ол үшін екінші туындыны табамыз 
және оның таңбасын анықтаңыз: аламыз. Себебі және , онда функциясының ең кіші нүктесі, while 
.
Функция графигінің толық бейнесін алу үшін анықтау облысы шекарасында оның әрекетін білейік:
(мұнда таңба тілекті білдіреді xоң жақта нөлге, және xоң болып қалады; сол сияқты ұмтылуды білдіреді xсол жақта нөлге, және xтеріс болып қалады). Осылайша, егер болса, онда . Келесі, біз табамыз
,
анау. егер, онда.
Функция графигінде осьтермен қиылысу нүктелері жоқ. Сурет мысалдың басында.
Біз бірге функцияның экстремумдарын іздеуді жалғастырамыз
8-мысалФункцияның экстремумын табыңыз.
Шешім. Функцияның анықталу облысын табыңыз. Теңсіздік орындалуы керек болғандықтан, -ден аламыз.
Функцияның бірінші туындысын табайық:
Функцияның критикалық нүктелерін табайық.