Алгебрадағы және шын мәнінде барлық математикадағы негізгі сипаттамалардың бірі - дәреже. Әрине, 21 ғасырда барлық есептеулерді онлайн-калькуляторда жүргізуге болады, бірақ мидың дамуы үшін мұны өзіңіз жасауды үйренген дұрыс.

Бұл мақалада біз ең көп қарастырамыз маңызды сұрақтаросы анықтамаға қатысты. Атап айтқанда, біз оның жалпы не екенін және оның негізгі функциялары қандай екенін, математикада қандай қасиеттер бар екенін түсінеміз.

Есептеу қандай болатынын, негізгі формулалар қандай болатынын мысалдармен қарастырайық. Біз шамалардың негізгі түрлерін және олардың басқа функциялардан айырмашылығын талдаймыз.

Біз осы мәнді пайдаланып әртүрлі есептерді қалай шешуге болатынын түсінеміз. Біз мысалдармен нөлдік дәрежеге көтеруді, иррационалды, теріс және т.б. көрсетеміз.

Онлайн дәрежелік калькулятор

Санның дәрежесі қандай

«Санды дәрежеге көтеру» өрнегі нені білдіреді?

a санының n дәрежесі қатарынан a n рет шамасының көбейтіндісі болып табылады.

Математикалық түрде бұл келесідей көрінеді:

a n = a * a * a * …a n .

Мысалы:

• Үшінші қадамда 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 қадам. екі = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 қадам. төрт = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 қадамда 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 қадамда 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Төменде 1-ден 10-ға дейінгі квадраттар мен текшелер кестесі берілген.

1-ден 10-ға дейінгі дәрежелер кестесі

Төменде натурал сандарды оң дәрежелерге көтеру нәтижелері берілген - «1-ден 100-ге дейін».

Ch-lo	2 сынып	3 сынып
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Дәреженің қасиеттері

Мұндайға не тән математикалық функция? Негізгі қасиеттерді қарастырайық.

Ғалымдар мынаны анықтады Барлық дәрежелерге тән белгілер:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Мысалдармен тексерейік:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Екінші жағынан 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Сол сияқты: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Әйтпесе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Басқаша болса ше? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Көріп отырғаныңыздай, ережелер жұмыс істейді.

Бірақ қалай болу керек қосу және азайту арқылы? Бәрі оңай. Алдымен дәрежеге шығару, содан кейін ғана қосу және азайту орындалады.

Мысалдарды қарастырайық:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Бірақ бұл жағдайда алдымен қосуды есептеу керек, өйткені жақшада әрекеттер бар: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Қалай өндіру керек көбірек есептеу қиын жағдайлар ? Тапсырыс бірдей:

• жақшалар болса, олардан бастау керек;
• содан кейін дәрежеге шығару;
• содан кейін көбейту, бөлу амалдарын орындау;
• қосу, азайтудан кейін.

Барлық дәрежелерге тән емес ерекше қасиеттер бар:

1. a санынан m дәрежесіне дейінгі n-ші дәреженің түбірі былай жазылады: a m / n .
2. Бөлшекті дәрежеге көтеру кезінде: алым да, оның бөлімі де осы процедураға бағынады.
3. Жұмысты салу кезінде әртүрлі сандардәрежесіне, өрнек берілген дәрежеге осы сандардың көбейтіндісіне сәйкес болады. Яғни: (a * b) n = a n * b n .
4. Санды теріс дәрежеге көтергенде, 1-ді бірдей қадамда, бірақ «+» белгісімен санға бөлу керек.
5. Бөлшектің бөлімі теріс дәрежеде болса, онда бұл өрнек оң дәрежедегі алым мен бөлгіштің көбейтіндісіне тең болады.
6. Кез келген сан 0 = 1 дәрежесіне және қадамға. 1 = өзіне.

Бұл ережелер маңызды жеке жағдайлар, біз оларды төменде толығырақ қарастырамыз.

Теріс көрсеткішті дәреже

Теріс дәрежемен не істеу керек, яғни индикатор теріс болғанда?

4 және 5 қасиеттерге негізделген(жоғарыдағы тармақты қараңыз) шығады:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Және керісінше:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Бөлшек болса ше?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Табиғи көрсеткіші бар дәреже

Ол дәрежелері бүтін сандарға тең дәреже ретінде түсініледі.

Есте сақтау керек нәрселер:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…т.б.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… т.б.

Сондай-ақ, (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…болса, нәтиже «+» белгісімен болады. Егер теріс сан тақ дәрежеге көтерілсе, онда керісінше.

Жалпы қасиеттер және жоғарыда сипатталған барлық ерекше белгілер де оларға тән.

Бөлшек дәрежесі

Бұл көріністі схема түрінде жазуға болады: A m / n. Ол былай оқылады: m дәрежесіне А санының n-ші дәрежелі түбірі.

Бөлшек көрсеткішпен сіз кез келген нәрсені жасай аласыз: азайту, бөліктерге бөлу, басқа дәрежеге көтеру және т.б.

Иррационал көрсеткішті дәреже

α иррационал сан және А ˃ 0 болсын.

Мұндай көрсеткішпен дәреженің мәнін түсіну үшін, Әр түрлі ықтимал жағдайларды қарастырайық:

• A \u003d 1. Нәтиже 1-ге тең болады. Аксиома болғандықтан - 1 барлық дәрежелерде біреуге тең;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационал сандар;

• 0˂А˂1.

Бұл жағдайда, керісінше: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 екінші абзацтағыдай шарттарда.

Мысалы, дәреже көрсеткіші π саны болып табылады.Бұл ұтымды.

r 1 - бұл жағдайда ол 3-ке тең;

r 2 - 4-ке тең болады.

Сонда A = 1 үшін 1 π = 1.

A = 2, содан кейін 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, содан кейін (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Мұндай дәрежелер жоғарыда сипатталған барлық математикалық операциялармен және нақты қасиеттермен сипатталады.

Қорытынды

Қорытындылайық - бұл мәндер не үшін қажет, мұндай функциялардың артықшылықтары қандай? Әрине, ең алдымен, олар мысалдарды шешу кезінде математиктер мен бағдарламашылардың өмірін жеңілдетеді, өйткені олар есептеулерді азайтуға, алгоритмдерді азайтуға, деректерді жүйелеуге және т.б. мүмкіндік береді.

Бұл білім тағы қай жерде пайдалы болуы мүмкін? Кез келген жұмыс мамандығы бойынша: медицина, фармакология, стоматология, құрылыс, технология, инженерия, дизайн және т.б.

Осы материал аясында біз санның дәрежесінің не екенін талдаймыз. Негізгі анықтамалардан басқа, біз натурал, бүтін, рационал және иррационал көрсеткішті дәрежелердің қандай болатынын тұжырымдаймыз. Әдеттегідей, барлық ұғымдар тапсырмалар мысалдарымен суреттелетін болады.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Біріншіден, біз табиғи көрсеткіші бар дәреженің негізгі анықтамасын тұжырымдаймыз. Ол үшін көбейтудің негізгі ережелерін есте сақтау керек. Алдын ала нақтылап көрейік, әзірше негіз ретінде нақты санды (оны а әрпімен белгілейік), ал индикатор ретінде натурал санды (n әрпімен белгілейді) алатынымызды алдын ала түсіндірейік.

Анықтама 1

Натурал көрсеткіші n болатын a-ның дәрежесі әрбір а санына тең болатын n-ші көбейткіштер санының көбейтіндісі болып табылады. Дәреже келесідей жазылады: а п, және формула түрінде оның құрамын келесідей көрсетуге болады:

Мысалы, егер дәреже көрсеткіші 1, ал негізі а болса, онда а-ның бірінші дәрежесі былай жазылады а 1. a - фактордың мәні және 1 - факторлардың саны екенін ескере отырып, бұл туралы қорытынды жасауға болады a 1 = a.

Жалпы алғанда, дәрежені ыңғайлы белгілеу деп айта аламыз үлкен сантең көбейткіштер. Сонымен, пішіннің жазбасы 8 8 8 8дейін азайтуға болады 8 4 . Сол сияқты, жұмыс жазудан аулақ болуға көмектеседі үлкен сантерминдер (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Біз мұны натурал сандарды көбейтуге арналған мақалада талдадық.

Диплом туралы жазбаны қалай дұрыс оқуға болады? Жалпы қабылданған нұсқа «a-ның n дәрежесіне». Немесе «a-ның n-ші дәрежесі» немесе «n-ші дәрежесі» деп айтуға болады. Мысалы, мысалда жазба болса 8 12 , біз «8-ден 12-ші дәрежеге», «8-ден 12-ге дейін» немесе «8-дің 12-ші дәрежесіне» оқи аламыз.

Санның екінші және үшінші дәрежелерінің өзіндік қалыптасқан атаулары бар: шаршы және текше. Мысалы, 7 санының екінші дәрежесін көретін болсақ (7 2), онда «7 квадраты» немесе «7 санының квадраты» деп айта аламыз. Сол сияқты үшінші дәреже де былай оқылады: 5 3 «5 санының кубы» немесе «5 текше» болып табылады. Дегенмен, стандартты тұжырымды «екінші / үшінші дәрежеде» қолдануға болады, бұл қате болмайды.

1-мысал

Натурал көрсеткіші бар дәреженің мысалын қарастырайық: үшін 5 7 бес базалық, ал жетеуі көрсеткіш болады.

Негіздің бүтін сан болуы міндетті емес: дәреже үшін (4 , 32) 9 негізі 4, 32 бөлшек, ал көрсеткіш тоғыз болады. Жақшаларға назар аударыңыз: мұндай белгілер барлық дәрежелер үшін жасалады, олардың негіздері натурал сандардан ерекшеленеді.

Мысалы: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Жақшалар не үшін қажет? Олар есептеулердегі қателерді болдырмауға көмектеседі. Бізде екі жазба бар делік: (− 2) 3 Және − 2 3 . Олардың біріншісі натурал көрсеткіші үшке тең дәрежеге көтерілген минус екі теріс санды білдіреді; екіншісі – дәреженің қарама-қарсы мәніне сәйкес келетін сан 2 3 .

Кейде кітаптарда санның дәрежесінің сәл басқаша жазылуын табуға болады - a^n(мұндағы a – негіз, n – көрсеткіш). Сонымен 4^9 бірдей 4 9 . n болған жағдайда көп таңбалы сан, жақшаның ішінде алынады. Мысалы, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Бірақ біз белгілерді қолданамыз а пжиірек.

Табиғи көрсеткіші бар дәреженің мәнін қалай есептеуге болатынын оның анықтамасынан болжау оңай: сізге тек n-ші рет көбейту керек. Бұл туралы басқа мақалада толығырақ жаздық.

Дәреже ұғымы басқа математикалық ұғымға қарама-қарсы ұғым – санның түбірі. Көрсеткіш пен көрсеткіштің мәнін білсек, оның негізін есептей аламыз. Дәреженің біз жеке материалда талдаған мәселелерді шешуге пайдалы кейбір ерекше қасиеттері бар.

Көрсеткіштер тек натурал сандарды ғана емес, жалпы кез келген бүтін мәндерді, соның ішінде теріс және нөлдерді қамтуы мүмкін, өйткені олар да бүтін сандар жиынына жатады.

Анықтама 2

Оң бүтін көрсеткіші бар санның дәрежесін формула түрінде көрсетуге болады: .

Сонымен қатар, n - кез келген натурал сан.

Нөлдік дәреже ұғымымен айналысайық. Ол үшін негіздері тең дәрежелер үшін бөліндінің қасиетін ескеретін тәсілді қолданамыз. Ол былай тұжырымдалған:

Анықтама 3

Теңдік a m: a n = a m − nкелесі шарттарда ақиқат болады: m және n – натурал сандар, m< n , a ≠ 0 .

Соңғы шарт маңызды, себебі ол нөлге бөлуді болдырмайды. Егер m және n мәндері тең болса, біз келесі нәтиже аламыз: a n: a n = a n − n = a 0

Бірақ сонымен бірге a n: a n = 1 - бөлік тең сандар а пжәне а. Кез келген нөлдік емес санның нөлдік дәрежесі бірге тең болып шығады.

Дегенмен, мұндай дәлелдеу нөлден нөлге дейін сәйкес келмейді. Ол үшін өкілеттіктердің тағы бір қасиеті – тең негіздердегі билік өнімдерінің қасиеті қажет. Бұл келесідей көрінеді: a m a n = a m + n .

Егер n 0 болса, онда a m a 0 = a m(бұл теңдік бізге де соны дәлелдейді a 0 = 1). Бірақ егер және де нөлге тең болса, біздің теңдігіміз пішінді алады 0 м 0 0 = 0 м, Бұл n-дің кез келген табиғи мәні үшін ақиқат болады және дәреженің нақты мәні қандай екені маңызды емес 0 0 , яғни кез келген санға тең болуы мүмкін және бұл теңдіктің жарамдылығына әсер етпейді. Сондықтан, пішіннің жазбасы 0 0 өзіндік ерекше мағынасы жоқ және біз оны оған жатқызбаймыз.

Қаласаңыз, оны тексеру оңай a 0 = 1дәреже қасиетімен жинақталады (a m) n = a m nдәреженің негізі нөлге тең болмаған жағдайда. Осылайша, кез келген нөлдік емес санның дәрежесі нөлбіріне тең.

2-мысал

Нақты сандармен мысалды қарастырайық: Сонымен, 5 0 - бірлік, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , және мәні 0 0 белгісіз.

Нөлдік дәрежеден кейін бізге теріс дәреженің не екенін анықтау қалады. Ол үшін жоғарыда біз пайдаланған, негіздері бірдей дәрежелер көбейтіндісінің бірдей қасиеті қажет: a m · a n = a m + n.

Шартты енгіземіз: m = − n , онда а нөлге тең болмауы керек. Осыдан шығады a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Анықталғандай, a n және а-нбізде өзара өзара сандар бар.

Нәтижесінде а-ның теріс бүтін дәрежесі 1 a n бөлігінен басқа ештеңе емес.

Бұл тұжырым теріс бүтін көрсеткішті дәреже үшін табиғи дәреже көрсеткіші бар дәрежедегідей қасиеттердің барлығы жарамды екенін растайды (негізі нөлге тең емес болған жағдайда).

3-мысал

Теріс бүтін n саны бар a дәрежесін 1 a n бөлігі ретінде көрсетуге болады. Сонымен, шарт бойынша a - n = 1 a n a ≠ 0және n кез келген натурал сан.

Өз ойымызды нақты мысалдармен түсіндірейік:

4-мысал

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Параграфтың соңғы бөлігінде біз бір формулада нақты айтылғанның бәрін бейнелеуге тырысамыз:

Анықтама 4

Натурал көрсеткіші z болатын a-ның дәрежесі: a z = a z , e c және z натурал сан 1 , z = 0 және a ≠ 0 , (егер z = 0 және a = 0 болса, 0 0 мәнін аламыз. 0 0 өрнегі анықталмаған)   1 a z , егер z теріс бүтін және а ≠ 0 болса (егер z теріс бүтін болса және a = 0 болса, 0 z аламыз, бұл a n d e n t i o n )

Рационал көрсеткішті дәрежелер дегеніміз не

Көрсеткіш бүтін сан болатын жағдайларды талдадық. Дегенмен, оның көрсеткіші бөлшек сан болған кезде де санды дәрежеге көтеруге болады. Бұл рационал көрсеткішті дәреже деп аталады. Бұл бөлімде біз оның басқа қуаттармен бірдей қасиеттері бар екенін дәлелдейміз.

Рационал сандар дегеніміз не? Олардың жиыны бүтін сандарды да, бөлшек сандарды да қамтиды, ал бөлшек сандарды қарапайым бөлшектер (оң және теріс) ретінде көрсетуге болады. m/n бөлшек көрсеткіші бар а санының дәрежесінің анықтамасын тұжырымдаймыз, мұндағы n – натурал сан, m – бүтін сан.

Бізде a m n бөлшек көрсеткіші бар қандай да бір дәреже бар. Күш қасиеті белгілі дәрежеде сақталуы үшін a m n n = a m n · n = a m теңдігі ақиқат болуы керек.

n-ші түбірдің және a m n n = a m анықтамасын ескере отырып, a m n = a m n шартын қабылдай аламыз, егер a m n берілген m , n және a мәндері үшін мағыналы болса.

Бүтін көрсеткішті дәреженің жоғарыдағы қасиеттері a m n = a m n шартында ақиқат болады.

Біздің пайымдауымыздан шығатын негізгі қорытынды мынадай: m/n бөлшек көрсеткіші бар кейбір а санының дәрежесі а санынан m дәрежесіне дейінгі n-ші дәреженің түбірі. Бұл дұрыс, егер берілген m, n және a мәндері үшін a m n өрнегі мағыналы болса.

1. Дәреже негізінің мәнін шектей аламыз: a қабылдаңыз, ол m оң мәндері үшін 0-ден үлкен немесе оған тең болады, ал теріс мәндер үшін ол қатаң түрде аз болады (өйткені m ≤ үшін). 0 аламыз 0 м, бірақ бұл дәреже анықталмаған). Бұл жағдайда бөлшек көрсеткіші бар дәреженің анықтамасы келесідей болады:

Кейбіреулер үшін бөлшек көрсеткіші m/n болатын қуат оң сан a - m дәрежесіне көтерілген a-ның n-ші түбірі. Формула түрінде оны келесідей көрсетуге болады:

Нөлдік базасы бар дәреже үшін бұл ереже де жарамды, бірақ оның көрсеткіші оң сан болса ғана.

Негізі нөл және оң бөлшек көрсеткіші m/n болатын дәрежені былай өрнектеуге болады

0 m n = 0 m n = 0 натурал m және натурал n шартында.

Теріс қатынаспен m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Бір жайтты атап өтейік. Біз a нөлден үлкен немесе тең деген шартты енгізгендіктен, кейбір жағдайларды алып тастадық.

a m n өрнегі кейде a кейбір теріс мәндері және m кейбір теріс мәндері үшін мағынасы бар. Сонымен, жазбалар дұрыс (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , олардың негізі теріс.

2. Екінші тәсіл – жұп және тақ дәрежелі a m n түбірін бөлек қарастыру. Содан кейін тағы бір шартты енгізу керек: дәреже көрсеткішінде қысқартылатын жай бөлшек болатын а дәрежесі а дәрежесі болып саналады, оның көрсеткішінде сәйкес келтірілмейтін бөлшек бар. Кейінірек біз бұл шарттың не үшін қажет екенін және оның неліктен маңызды екенін түсіндіреміз. Осылайша, егер бізде a m · k n · k жазбасы болса, онда оны a m n дейін азайтып, есептеулерді жеңілдетуге болады.

Егер n тақ сан, ал m оң және а кез келген теріс емес сан болса, онда a m n мағынасы бар. Теріс емес а шарты қажет, себебі жұп дәрежелі түбір теріс саншығарылмайды. Егер m мәні оң болса, онда а теріс және нөл болуы мүмкін, өйткені Кез келген нақты саннан тақ түбірді алуға болады.

Анықтаманың үстіндегі барлық деректерді бір жазбаға біріктірейік:

Мұндағы m/n азайтылмайтын бөлшекті білдіреді, m – кез келген бүтін сан, n – кез келген натурал сан.

Анықтама 5

Кез келген жай келтірілген бөлшек m · k n · k үшін дәрежені m n -ге ауыстыруға болады.

Қайталанбайтын бөлшек көрсеткіші m/n болатын a дәрежесін келесі жағдайларда m n түрінде көрсетуге болады: - кез келген нақты а үшін оң бүтін мәндер m және тақ табиғи мәндер n . Мысалы: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Кез келген нөлдік емес нақты a үшін m теріс бүтін мәндері және n тақ мәндері, мысалы, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Кез келген теріс емес a , m және жұп n бүтін оң мәндері үшін, мысалы, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18.

Кез келген оң a , теріс бүтін m және жұп n үшін, мысалы, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Басқа мәндер жағдайында бөлшек көрсеткіші бар дәреже анықталмайды. Мұндай өкілеттіктердің мысалдары: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Енді жоғарыда айтылған шарттың маңыздылығын түсіндіріп көрейік: неге бөлшекті азайтылатын көрсеткішпен алмастыру керек. Егер біз мұны жасамас едік, онда мұндай жағдайлар, айталық, 6/10 = 3/5 болар еді. Сонда (- 1) 6 10 = - 1 3 5 дұрыс болуы керек, бірақ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , және (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Біз бірінші берген бөлшек көрсеткіші бар дәреженің анықтамасы екіншіге қарағанда практикада қолдануға ыңғайлы, сондықтан біз оны пайдалана береміз.

Анықтама 6

Осылайша, m/n бөлшек көрсеткіші бар оң а санының дәрежесі 0 m n = 0 m n = 0 ретінде анықталады. Теріс болған жағдайда а a m n белгісінің мағынасы жоқ. Оң бөлшек дәрежелер үшін нөл дәрежесі м/н 0 m n = 0 m n = 0 ретінде анықталады, теріс бөлшек дәрежелер үшін біз нөл дәрежесін анықтамаймыз.

Қорытындыда біз кез келген бөлшек көрсеткішті аралас сан ретінде де, сияқты жазуға да болатындығын атап өтеміз ондық бөлшек: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Есептеу кезінде дәреже көрсеткішін жай бөлшекпен ауыстырып, одан кейін бөлшек көрсеткішпен дәреже анықтамасын қолданған дұрыс. Жоғарыдағы мысалдар үшін біз аламыз:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Иррационал және нақты көрсеткішті дәрежелер дегеніміз не

Нақты сандар дегеніміз не? Олардың жиынына рационал сандар да, иррационал сандар да кіреді. Сондықтан нақты көрсеткіші бар дәреженің не екенін түсіну үшін рационал және иррационал көрсеткішті дәрежелерді анықтауымыз керек. Рационалды туралы біз жоғарыда айттық. Рационал емес көрсеткіштермен кезең-кезеңімен айналысайық.

5-мысал

Бізде иррационал a саны және оның ондық жуықтауларының тізбегі бар делік a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Мысалы, a = 1 , 67175331 мәнін алайық. . . , Содан кейін

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,. . .

Біз жуықтаулар тізбегін a a 0 , a 1 , a a 2 , дәрежелер тізбегімен байланыстыра аламыз. . . . Сандарды көтеру туралы бұрын не айтқанымызды еске түсірсек рационалды дәреже, содан кейін біз осы қуаттардың мәндерін өзіміз есептей аламыз.

Мысалы ал a = 3, онда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . және т.б.

Дәрежелер тізбегін санға дейін азайтуға болады, ол a негізі және иррационал көрсеткіші a бар дәреженің мәні болады. Нәтижесінде: 3 1 , 67175331 түріндегі иррационал көрсеткішті дәреже. . 6, 27 санына дейін азайтуға болады.

Анықтама 7

Иррационал көрсеткіші а болатын оң а санының дәрежесі a түрінде жазылады. Оның мәні a a 0 , a 1 , a a 2 , тізбегінің шегі болып табылады. . . , мұндағы a 0, a 1, a 2,. . . кезекті ондық жуықтаулар иррационал сана. Негізі нөлге тең дәрежені оң иррационал көрсеткіштер үшін де анықтауға болады, ал 0 a \u003d 0 Сонымен, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Ал теріс үшін мұны істеу мүмкін емес, өйткені, мысалы, 0 - 5, 0 - 2 π мәні анықталмаған. Кез келген иррационал қуатқа көтерілген бірлік бірлік болып қалады, мысалы, 2-де 1 2 , 1 5 және 1 - 5 1-ге тең болады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Күш формулаларыкүрделі өрнектерді азайту және ықшамдау процесінде, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолданылады.

Сан вболып табылады n-санның дәрежесі аҚашан:

Дәрежелері бар амалдар.

1. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде олардың көрсеткіштері қосылады:

а мa n = a m + n .

2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу кезінде олардың көрсеткіштері шегеріледі:

3. 2 немесе көбейтіндісінің дәрежесі Көбірекфакторлар осы факторлардың күштерінің көбейтіндісіне тең:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Бөлшектің дәрежесі дивиденд пен бөлгіштің дәрежелерінің қатынасына тең:

(a/b) n = a n / b n .

5. Дәрежені дәрежеге көтергенде, дәрежелер көбейтіледі:

(am) n = a m n .

Жоғарыдағы әрбір формула солдан оңға және керісінше бағытта дұрыс.

Мысалы. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Түбірлермен операциялар.

1. Бірнеше факторлардың туындысының түбірі осы факторлардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең:

2. Қатынас түбірі дивиденд пен түбірлердің бөлгішінің қатынасына тең:

3. Түбірді дәрежеге көтергенде, түбір санын осы дәрежеге көтеру жеткілікті:

4. Түбірдің дәрежесін арттырсақ nбір рет және бір уақытта дейін көтеріңіз n th дәреже түбір сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

5. Түбірдің дәрежесін төмендетсек nбір мезгілде тамыр nрадикалды саннан ші дәрежелі болса, түбірдің мәні өзгермейді:

Теріс көрсеткішті дәреже.Оң емес (бүтін) дәреже көрсеткіші бар кейбір санның дәрежесі дәреже көрсеткіші тең сол санның дәрежесіне бөлінетін дәреже ретінде анықталады. абсолютті мәноң емес көрсеткіш:

Формула а м:a n = a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, бірақ сонымен бірге м< n.

Мысалы. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Формулаға а м:a n = a m - nәділетті болды m=n, сізге нөлдік дәреженің болуы қажет.

Нөл көрсеткіші бар дәреже.Кез келген нөлдік көрсеткіші нөлдік емес санның дәрежесі бірге тең.

Мысалы. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Бөлшек көрсеткіші бар дәреже.Нақты санды көтеру үшін Адәрежеге дейін м/н, түбірін шығарып алу керек nші дәрежесі мосы санның дәрежесі А.

«Теріс көрсеткіші бар дәреже. Анықтама және есептерді шығару мысалдары» тақырыбына сабақ және презентация.

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, ұсыныстарыңызды қалдыруды ұмытпаңыздар. Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексеріледі.

8-сыныпқа арналған «Интеграл» интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар
Оқулыққа арналған нұсқаулық Муравина Г.К. Оқулыққа арналған әдістемелік құрал Алимова Ш.А.

Теріс көрсеткішті дәрежені анықтау

Балалар, біз сандарды күшке көтеруге шеберміз.
Мысалы: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан бірге тең болатынын жақсы білеміз. $a^0=1$, $a≠0$.
Сұрақ туындайды, егер сіз санды теріс дәрежеге көтерсеңіз не болады? Мысалы, $2^(-2)$ саны неге тең болады?
Бұл сұрақты қойған алғашқы математиктер дөңгелекті қайта ойлап табудың қажеті жоқ деп шешті және дәрежелердің барлық қасиеттерінің өзгеріссіз қалғаны жақсы болды. Яғни, бірдей базасы бар дәрежелерді көбейткенде, дәрежелер қосылады.
Осы жағдайды қарастырайық: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Мұндай сандардың көбейтіндісі бірлік беруі керек екенін түсіндік. Өнімдегі бірлік кері мәндерді көбейту арқылы алынады, яғни $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Мұндай пайымдау келесі анықтамаға әкелді.
Анықтама. Егер $n$ натурал сан және $а≠0$ болса, онда келесі теңдік орындалады: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Жиі қолданылатын маңызды сәйкестік: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Атап айтқанда, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Шешу мысалдары

1-мысал
Есептеңіз: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Шешім.
Әр терминді бөлек қарастырайық.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Қосу және алу амалдарын орындау қалады: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Жауабы: $6\frac(1)(4)$.

2-мысал
Берілген санды дәреже түрінде көрсетіңіз жай сан$\frac(1)(729)$.

Шешім.
$\frac(1)(729)=729^(-1)$ екені анық.
Бірақ 729 саны 9-мен аяқталатын жай сан емес. Бұл сан үштің дәрежесі деп болжауға болады. 729 санын 3-ке ретімен бөлейік.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Алты операция аяқталды, яғни: $729=3^6$.
Біздің тапсырмамыз үшін:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Жауабы: $3^(-6)$.

Мысал 3. Өрнекті дәреже ретінде өрнектеңіз: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Шешім. Бірінші операция әрқашан жақшаның ішінде орындалады, содан кейін $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) көбейту. )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Жауабы: $a$.

Мысал 4. Сәйкестікті дәлелдеңіз:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Шешім.
Сол жақта жақшадағы әрбір факторды бөлек қарастырыңыз.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^) 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Бөлінетін бөлшекке көшейік.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Бөлуді орындайық.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Біз дәлелдеуді талап ететін дұрыс сәйкестікті алдық.

Сабақтың соңында біз тағы да дәрежелері бар әрекеттердің ережелерін жазамыз, мұнда көрсеткіш бүтін сан.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

1. Есептеңіз: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Берілген санды $\frac(1)(16384)$ жай санның дәрежесі ретінде көрсетіңіз.
3. Өрнекті дәреже түрінде көрсетіңіз:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Жеке басын дәлелдеңіз:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Бұл мақалада біз не екенін түсінеміз дәрежесі. Мұнда натурал көрсеткіштен басталып иррационалға дейінгі дәреженің барлық мүмкін көрсеткіштерін егжей-тегжейлі қарастыра отырып, санның дәрежесінің анықтамаларын береміз. Материалда сіз пайда болатын барлық нәзіктіктерді қамтитын дәрежелердің көптеген мысалдарын таба аласыз.

Бетті шарлау.

Натурал көрсеткішті дәреже, санның квадраты, санның кубы

-ден бастайық. Алға қарап, натурал көрсеткіші n болатын а дәрежесінің анықтамасы а үшін берілген делік, оны біз деп атаймыз. дәреже базасы, және n, біз оны шақырамыз көрсеткіш. Сондай-ақ, табиғи көрсеткіші бар дәреже өнім арқылы анықталатынын ескеріңіз, сондықтан төмендегі материалды түсіну үшін сандарды көбейту туралы түсінік болуы керек.

Анықтама.

Натурал көрсеткіші n болатын а санының дәрежесі a n түрінің өрнегі болып табылады, оның мәні n факторлардың көбейтіндісіне тең, олардың әрқайсысы а -ға тең, яғни .
Атап айтқанда, көрсеткіші 1 болатын а санының дәрежесі а санының өзі, яғни а 1 =а.

Бірден дәрежелерді оқу ережелерін атап өткен жөн. a n жазбасын оқудың әмбебап тәсілі: «a n дәрежесіне». Кейбір жағдайларда мұндай опциялар да қолайлы: «a-дан n-ші дәрежеге» және «а санының n-ші дәрежесі». Мысалы, 8 12 дәрежесін алайық, бұл «сегізден он екінің дәрежесіне», немесе «сегізден он екінші дәрежеге», немесе «сегіздің он екінші дәрежесіне».

Санның екінші дәрежесінің де, үшінші дәрежесінің де өз атаулары бар. Санның екінші дәрежесі деп аталады санның квадраты, мысалы, 7 2 «жеті квадрат» немесе «жеті санының квадраты» ретінде оқылады. Санның үшінші дәрежесі деп аталады текше нөмірі, мысалы, 5 3-ті «бес текше» деп оқуға немесе «5 санының текшесін» айтуға болады.

Әкелетін кез келді физикалық көрсеткіштері бар дәрежелердің мысалдары. 5 7 дәрежесінен бастайық, мұндағы 5 - дәреженің негізі және 7 - көрсеткіш. Тағы бір мысал келтірейік: 4,32 негізі, ал натурал саны 9 көрсеткіші (4,32) 9 .

Соңғы мысалда 4.32 дәреженің негізі жақшада жазылғанын ескеріңіз: сәйкессіздіктерді болдырмау үшін натурал сандардан ерекшеленетін дәреженің барлық негіздерін жақшаға аламыз. Мысал ретінде табиғи көрсеткіштермен келесі дәрежелерді береміз , олардың негіздері натурал сандар емес, сондықтан жақшаға жазылады. Бұл жерде толық түсінікті болу үшін (−2) 3 және −2 3 пішіндерінің жазбаларындағы айырмашылықты көрсетеміз. (−2) 3 өрнегі натурал көрсеткіші 3 болатын −2 дәрежесі, ал −2 3 өрнегі (оны −(2 3) түрінде жазуға болады) 2 3 дәрежесінің мәніне, санына сәйкес келеді.

a^n түріндегі n көрсеткіші бар a дәрежесінің белгісі бар екенін ескеріңіз. Сонымен қатар, егер n көп мәнді натурал сан болса, онда көрсеткіш жақшаға алынады. Мысалы, 4^9 - 4 9 дәрежесінің басқа белгісі. Міне, «^» таңбасын пайдаланып дәрежелерді жазудың басқа мысалдары: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Келесіде біз негізінен a n пішінінің дәрежесінің белгісін қолданамыз.

Натурал көрсеткішті дәрежеге шығаруға кері есептердің бірі дәрежесінің негізін табу мәселесі болып табылады. белгілі мәндәреже және белгілі көрсеткіш. Бұл тапсырма әкеледі.

Рационал сандар жиыны бүтін және бөлшек сандардан тұратыны белгілі және әрбір бөлшек санды оң немесе теріс түрінде беруге болады. жай бөлшек. Біз алдыңғы абзацта дәрежені бүтін көрсеткішпен анықтадық, сондықтан рационал көрсеткішпен дәреженің анықтамасын аяқтау үшін m/n бөлшек көрсеткіші бар а санының дәрежесінің мағынасын беру керек, мұндағы m – бүтін сан, n – натурал сан. Қанекей мынаны істейік.

Пішіннің бөлшек көрсеткіші бар дәрежені қарастырайық . Дәрежедегі дәреже қасиеті жарамды болып қалуы үшін теңдік сақталуы керек . Егер алынған теңдікті және біз анықтаған жолды ескерсек, онда берілген m, n және a үшін өрнек мағыналы болған жағдайда қабылдау қисынды болады.

Бүтін көрсеткішті дәреженің барлық қасиеттері келесідей жарамды екенін тексеру оңай (бұл рационал көрсеткішті дәреженің қасиеттері бөлімінде орындалады).

Жоғарыдағы пайымдаулар келесіні жасауға мүмкіндік береді қорытынды: егер берілген m, n және a өрнек үшін мағыналы болса, онда m/n бөлшек көрсеткіші бар а санының дәрежесі m дәрежесіне a-ның n-ші дәрежесінің түбірі болады.

Бұл мәлімдеме бізді бөлшек көрсеткіші бар дәреженің анықтамасына жақындатады. Қай m, n және a өрнектерінің мағынасы бар екенін сипаттау ғана қалады. m , n және a-ға қойылған шектеулерге байланысты екі негізгі тәсіл бар.

a шектеудің ең оңай жолы - оң m үшін a≥0 және теріс m үшін a>0 деп қабылдау (өйткені m≤0-де 0 м күші жоқ). Сонда бөлшек көрсеткіші бар дәреженің келесі анықтамасын аламыз.

Анықтама.

Бөлшек көрсеткіші m/n болатын оң а санының дәрежесі, мұндағы m - бүтін сан, ал n - натурал сан, а санының n-ші бөлігінің m дәрежесіне дейінгі түбірі деп аталады, яғни .

Нөлдің бөлшек дәрежесі де көрсеткіш оң болуы керек деген жалғыз ескертумен анықталады.

Анықтама.

Бөлшек оң көрсеткішті m/n нөлдің дәрежесі, мұндағы m – натурал сан және n – натурал сан, келесідей анықталады .
Дәреже анықталмаған кезде, яғни бөлшек теріс көрсеткіші бар нөл санының дәрежесі мағынасы болмайды.

Бөлшек көрсеткіші бар дәреженің мұндай анықтамасында бір нюанс бар екенін атап өткен жөн: кейбір теріс a және кейбір m және n үшін өрнек мағынасы бар және біз a≥0 шартын енгізу арқылы бұл жағдайларды алып тастадық. Мысалы, жазудың мағынасы бар немесе , және жоғарыдағы анықтама форманың бөлшек көрсеткіші бар дәрежелерді айтуға мәжбүр етеді мағынасы жоқ, себебі негіз теріс болмауы керек.

m/n бөлшек көрсеткішімен дәрежені анықтаудың тағы бір тәсілі түбірдің жұп және тақ дәрежелерін бөлек қарастыру болып табылады. Бұл тәсіл қосымша шартты талап етеді: көрсеткіші a санының дәрежесі, көрсеткіші сәйкес келтірілмейтін бөлшек болып табылатын а санының дәрежесі болып саналады (бұл шарттың маңыздылығы төменде түсіндіріледі). Яғни, егер m/n азайтылмайтын бөлшек болса, онда кез келген k натурал саны үшін градус алдымен -ге ауыстырылады.

Жұп n және оң m үшін өрнек кез келген теріс емес а үшін мағына береді (теріс саннан жұп дәреженің түбірі мағынасы жоқ), теріс m үшін а саны әлі де нөл емес болуы керек (әйтпесе бөлу нөлге тең болады). Ал тақ n және оң m үшін а саны кез келген болуы мүмкін (тақ дәреженің түбірі кез келген нақты сан үшін анықталады), ал теріс m үшін а саны нөлден өзгеше болуы керек (бөлінбейтін етіп нөл).

Жоғарыда келтірілген пайымдаулар бізді бөлшек көрсеткіші бар дәреженің осындай анықтамасына әкеледі.

Анықтама.

m/n азайтылмайтын бөлшек, m бүтін сан, n натурал сан болсын. Кез келген қысқартылатын жай бөлшек үшін дәреже -ге ауыстырылады. Қайталанбайтын бөлшек көрсеткіші m/n болатын a-ның күші



Неліктен қысқартылатын бөлшек көрсеткіші бар дәреже алдымен азайтылмайтын дәреже көрсеткіші бар дәрежеге ауыстырылатынын түсіндірейік. Егер біз жай ғана дәрежені ретінде анықтасақ және m / n бөлігінің келтірілмейтіндігі туралы ескертпе жасамасақ, онда біз келесіге ұқсас жағдайларды кездестірер едік: 6/10=3/5 болғандықтан, онда теңдік , Бірақ , А.