Оқушылар бұрыш ұғымымен таныс бастауыш мектеп. Бірақ белгілі бір қасиеті бар геометриялық фигура ретінде оны геометриядан 7-сыныптан бастап оқи бастайды. Меніңше, өте қарапайым пішінол туралы не айтуға болады. Бірақ, жаңа білім ала отырып, мектеп оқушылары ол туралы өте қызықты фактілерді білуге ​​болатынын көбірек түсінеді.

Байланыста

Қашан зерттеледі

Мектептегі геометрия курсы екі бөлімге бөлінеді: планиметрия және тұтас геометрия. Олардың әрқайсысына көп көңіл бөлінеді. бұрыштарға беріледі:

• Планиметрияда олардың негізгі түсінігі беріледі, көлемі бойынша түрлерімен танысу жүзеге асады. Үшбұрыштардың әрбір түрінің қасиеттері толығырақ зерттеледі. Оқушылар үшін жаңа анықтамалар пайда болады - бұл екі түзудің бір-бірімен қиылысында және секанттың бірнеше сызықтарының қиылысында қалыптасқан геометриялық фигуралар.
• Стереометрияда кеңістіктік бұрыштар – екі және үшбұрыштар зерттеледі.

Назар аударыңыз!Бұл мақалада планиметриядағы бұрыштардың барлық түрлері мен қасиеттері қарастырылады.

Анықтау және өлшеу

Оқуды бастаңыз, алдымен анықтаңыз, бұрыш дегеніміз неПланиметрияда.

Жазықтықтың белгілі бір нүктесін алып, одан екі ерікті сәуле шығарсақ, келесі элементтерден тұратын геометриялық фигураны – бұрышты аламыз:

• шыңы – сәулелер түсірілген нүкте латын әліпбиінің бас әріпімен белгіленеді;
• жақтары жоғарыдан жартылай сызылған.

Біз қарастырып отырған фигураны құрайтын барлық элементтер жазықтықты екіге бөледі екі бөлік:

• ішкі - планиметрияда 180 градустан аспайды;
• сыртқы.

Планиметриядағы бұрыштарды өлшеу принципіинтуитивті түрде түсіндіріледі. Алдымен оқушылар дамыған бұрыш ұғымымен танысады.

Маңызды!Егер оның төбесінен шығатын жарты сызықтар түзу түзуді құраса, бұрыш дамыған деп аталады. Бүктелген бұрыш - бұл барлық басқа жағдайлар.

Егер ол 180-ге бөлінсе тең бөліктер, содан кейін бір бөліктің өлшемін 10-ға тең деп санау әдетке айналған. Бұл жағдайда олар өлшеу градуспен жасалады, ал мұндай фигураның градустық өлшемі 180 градус болады дейді.

Негізгі түрлері

Бұрыштардың түрлері градус өлшемі, олардың қалыптасу сипаты және төмендегі категориялар сияқты критерийлерге сәйкес бөлінеді.

Көлемі бойынша

Бұрыштар шамасына қарай бөлінеді:

• орналастырылған;
• Түзу;
• доғал;
• ащы.

Қандай бұрыш орналастырылған деп аталады, жоғарыда келтірілген. Түзу ұғымына анықтама берейік.

Оны орналастырылғандарды екі тең бөлікке бөлу арқылы алуға болады. Бұл жағдайда сұраққа жауап беру оңай: тік бұрыш, ол қанша градус?

Алу үшін 180 градусты 2-ге бөліңіз тік бұрыш 90 градус. Бұл керемет фигура, өйткені геометриядағы көптеген фактілер онымен байланысты.

Белгілеуде де оның өзіндік ерекшеліктері бар. Суретте тік бұрышты көрсету үшін ол доғамен емес, шаршымен көрсетілген.

Түзу сызықтың еркін сәулесін бөлу арқылы алынатын бұрыштар сүйір деп аталады.Заттардың логикасына сәйкес, сүйір бұрыш тік бұрыштан кіші, бірақ оның өлшемі 0 градустан өзгеше болады. Яғни, оның 0-ден 90 градусқа дейінгі мәні бар.

Доғал бұрыш тік бұрыштан үлкен, бірақ түзу бұрыштан кіші. Оның дәрежесі 90-нан 180 градусқа дейін өзгереді.

Бұл элементті бөлуге болады әртүрлі түрлерікеңейтілген сандарды қоспағанда, қарастырылған сандар.

Бұрылмайтын бұрыштың қалай бұзылғанына қарамастан, әрқашан планиметрияның негізгі аксиомасы қолданылады - «өлшемнің негізгі қасиеті».

Сағат бұрышты бір сәулемен бөлунемесе бірнеше болса, берілген фигураның градустық өлшемі ол бөлінген бұрыштардың өлшемдерінің қосындысына тең.

7-сынып деңгейінде олардың шамасындағы бұрыштардың түрлері сонда аяқталады. Бірақ эрудицияны арттыру үшін 180 градустан асатын дәреже өлшемі бар басқа сорттар бар екенін қосуға болады.Олар дөңес деп аталады.

Сызықтар қиылысындағы фигуралар

Оқушылармен таныстырылатын бұрыштардың келесі түрлері екі түзу қиылысу кезінде пайда болатын элементтер. Бір-біріне қарама-қарсы орналасқан фигуралар тік деп аталады. Олардың ерекшеленетін қасиеті- олар тең.

Бір сызыққа іргелес жатқан элементтер іргелес деп аталады. Олардың қасиетін бейнелейтін теорема осылай дейді Көршілес бұрыштар 180 градусқа дейін қосылады.

Үшбұрыштағы элементтер

Егер фигураны үшбұрыштың элементі ретінде қарастырсақ, онда бұрыштар ішкі және сыртқы болып бөлінеді. Үшбұрыш үш кесіндімен шектелген және үш төбеден тұрады. Әрбір төбесінде үшбұрыштың ішінде орналасқан бұрыштар, ішкі деп аталады.

Кез келген төбедегі кез келген ішкі элементті алып, кез келген жағын ұзартсақ, онда пайда болған және ішкі бұрышқа іргелес жатқан бұрыш сыртқы деп аталады. Бұл элементтер жұбының келесі қасиеті бар: олардың қосындысы 180 градус.

Екі түзудің қиылысуы

Сызықтың қиылысы

Екі түзу қиылысқанда бұрыштар да пайда болады, олар әдетте жұп болып бөлінеді. Әрбір элемент жұбының өз атауы бар. Бұл келесідей көрінеді:

• ішкі қиылысу: ∟4 және ∟6, ∟3 және ∟5;
• ішкі бір жақты: ∟4 және ∟5, ∟3 және ∟6;
• сәйкес: ∟1 және ∟5, ∟2 және ∟6, ∟4 және ∟8, ∟3 және ∟7.

Секант екеуін қиғанда

Бұл мақалада негізгі геометриялық фигуралардың бірі - бұрыш қарастырылады. Бұл тұжырымдамаға жалпы кіріспеден кейін біз мұндай фигураның белгілі бір түріне тоқталамыз. Түзу бұрыш геометриядағы маңызды ұғым болып табылады және осы мақаланың басты мақсаты болады.

Геометриялық бұрыш ұғымымен таныстыру

Геометрияда барлық ғылымның негізін құрайтын бірқатар объектілер бар. Бұрыш тек оларға қатысты және сәуле ұғымын қолдану арқылы анықталады, сондықтан одан бастайық.

Сондай-ақ, бұрыштың өзін анықтауға кіріспес бұрын, геометриядағы бірнеше бірдей маңызды нысандарды есте сақтау керек - бұл нүкте, жазықтықтағы түзу сызық және жазықтықтың өзі. Түзу – ең қарапайым геометриялық фигура, оның басы да, соңы да жоқ. Жазықтық - екі өлшемі бар бет. Ал, геометриядағы сәуле (немесе жарты сызық) - басы бар, бірақ соңы жоқ түзудің бөлігі.

Осы ұғымдарды пайдалана отырып, біз бұрыш деген тұжырым жасай аламыз геометриялық фигура, ол толығымен қандай да бір жазықтықта жатады және шығу тегі ортақ екі сәйкес келмейтін сәулелерден тұрады. Мұндай сәулелер бұрыштың қабырғалары деп аталады, ал қабырғалардың ортақ басы оның шыңы болып табылады.

Бұрыш түрлері және геометрия

Біз бұрыштардың әртүрлі болуы мүмкін екенін білеміз. Сондықтан төменде кішкене классификация беріледі, бұл бұрыштардың түрлерін және олардың негізгі ерекшеліктерін жақсы түсінуге көмектеседі. Сонымен, геометрияда бұрыштардың бірнеше түрі бар:

1. Тікбұрыш. Ол 90 градус мәнімен сипатталады, бұл оның жақтары әрқашан бір-біріне перпендикуляр екенін білдіреді.
2. Өткір бұрыш. Бұл бұрыштарға өлшемі 90 градустан аспайтын олардың барлық өкілдері кіреді.
3. Доғал бұрыш. 90-нан 180 градусқа дейінгі барлық бұрыштар да осында болуы мүмкін.
4. Кеңейтілген бұрыш. Оның өлшемі қатаң 180 градус және сыртқы жағынан оның жақтары бір түзу сызықты құрайды.

Тік бұрыш туралы түсінік

Енді дамыған бұрышты толығырақ қарастырайық. Бұл екі жақтың бір түзу бойында жатқандағы жағдай, оны төмендегі суретте анық көруге болады. Бұл оның бір жағы, шын мәнінде, екіншісінің жалғасы деп нық сеніммен айта аламыз дегенді білдіреді.

Мұндай бұрышты әрқашан оның шыңынан шығатын сәуле арқылы бөлуге болатынын есте ұстаған жөн. Нәтижесінде геометрияда іргелес деп аталатын екі бұрыш аламыз.

Сондай-ақ, дамыған бұрыштың бірнеше ерекшеліктері бар. Олардың біріншісі туралы айту үшін «бұрыштың биссектрисасы» түсінігін есте сақтау қажет. Еске салайық, бұл кез келген бұрышты екіге бөлетін сәуле. Түзу бұрышқа келетін болсақ, оның биссектрисасы 90 градус екі тік бұрыш пайда болатындай етіп бөледі. Мұны математикалық түрде есептеу өте оңай: 180˚ (түзетілген бұрыш дәрежесі): 2 = 90˚.

Егер дамыған бұрышты толығымен ерікті сәулеге бөлетін болсақ, нәтижесінде біз әрқашан екі бұрыш аламыз, олардың біреуі сүйір, екіншісі доғал болады.

Тегіс бұрыш қасиеттері

Біз осы тізімде жасаған барлық негізгі қасиеттерін біріктіре отырып, бұл бұрышты қарастыру ыңғайлы болады:

1. Түзу бұрыштың қабырғалары параллельге қарсы және түзу түзуді құрайды.
2. Әзірленген бұрыштың мәні әрқашан 180˚ болады.
3. Көршілес екі бұрыш бірге әрқашан түзу бұрыш жасайды.
4. 360˚ болатын толық бұрыш екі орналастырылған бұрыштан тұрады және олардың қосындысына тең.
5. Жартысы түзетілген бұрыш - тік бұрыш.

Сонымен, бұрыштың осы түрінің барлық осы сипаттамаларын біле отырып, біз оларды бірқатар геометриялық есептерді шешу үшін пайдалана аламыз.

Тікелей бұрыштармен проблемалар

Түзу бұрыш ұғымын меңгергеніңізді түсіну үшін келесі сұрақтардың бірнешеуіне жауап беруге тырысыңыз.

1. Егер оның қабырғалары тік сызықты құраса, түзу бұрыш дегеніміз не?
2. Біріншісінің шамасы 72˚, екіншісінің шамасы 118˚ болса, екі бұрыш іргелес бола ма?
3. Толық бұрыш екі түзу бұрыштан тұрса, оның қанша тік бұрышы болады?
4. Түзу бұрышты сәуле арқылы екі бұрышқа бөледі, олардың градустық өлшемдері 1:4 қатынасында болады. Алынған бұрыштарды есептеңдер.

Шешімдер мен жауаптар:

1. Түзу бұрыш қалай орналасқанына қарамастан, ол әрқашан анықтамасы бойынша 180˚-ге тең.
2. Көршілес бұрыштардың бір ортақ жағы бар. Сондықтан, олар біріктіретін бұрыштың өлшемін есептеу үшін олардың градустық өлшемдерінің мәнін қосу керек. Сонымен, 72 +118 = 190. Бірақ анықтамасы бойынша түзу бұрыш 180˚ болады, яғни берілген екі бұрыш іргелес бола алмайды.
3. Тік бұрыш екі тік бұрышты қамтиды. Толық бірінде екі орналастырылған болғандықтан, онда 4 түзу болады дегенді білдіреді.
4. Егер біз қажетті бұрыштарды a және b деп атасақ, онда x олар үшін пропорционалдық коэффициенті болсын, бұл a \u003d x, сәйкесінше b \u003d 4x дегенді білдіреді. Градустағы түзу бұрыш 180˚. Ал оның қасиеттеріне сәйкес, бұрыштың градустық өлшемі әрқашан оның қабырғалары арасында өтетін кез келген еркін сәулеге бөлінген бұрыштардың градустық өлшемдерінің қосындысына тең болады, біз x + 4x = 180 деп қорытынды жасауға болады. ˚, бұл 5x = 180˚ дегенді білдіреді. Осыдан мынаны табамыз: x=a=36˚ және b = 4x = 144˚. Жауабы: 36˚ және 144˚.

Егер сіз осы сұрақтардың бәріне жауапсыз және жауаптарды іздемей жауап бере алсаңыз, онда сіз келесі геометрия сабағына өтуге дайынсыз.

Бұрыш өлшемі

in бұрышы градуспен (градус, минут, секунд) өлшенеді, айналыммен – доғаның ұзындығы s-тің L шеңберіне қатынасы, радианмен – доғаның ұзындығы s-ның r радиусына қатынасы; Тарихи түрде бұрыштарды өлшеуге арналған бұршақ өлшемі де қолданылған, қазіргі уақытта ол ешқашан қолданылмайды.

1 айналым = 2π радиан = 360° = 400 градус.

Теңіз терминологиясында бұрыштар нүктелермен көрсетіледі.

Бұрыш түрлері

Көршілес бұрыштар сүйір (а) және доғал (b) болады. Кері бұрыш (c)

Сонымен қатар, жанама нүктедегі тегіс қисықтардың арасындағы бұрыш қарастырылады: анықтамасы бойынша оның мәні қисықтарға жанамалардың арасындағы бұрышқа тең.

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Басқа сөздіктерде «Толық бұрыш» деген не екенін қараңыз:

Рұқсат етілмеген жүйеден тыс қондырғылар. тегіс бұрыш. 1 P. u. \u003d 2PI рад 6,283 185 рад (Радианды қараңыз) ... Үлкен энциклопедиялық политехникалық сөздік

Кеменің айналу бұрыштарын ескере отырып, атыс кезінде оқпанның тік бағытталу бұрышы. Ол орталық артиллериялық посттың құралдарымен анықталады. Эдварт. Зияткерлік әскери Теңіз сөздігі, 2010 ... Теңіз сөздігі

Кеменің домалау бұрыштарын ескере отырып, атыс кезінде зеңбірек ұңғысының көлденең бағытталу бұрышы. Орталық артиллериялық бекетпен анықталады Эдварт. Түсіндірме теңіз сөздігі, 2010 ... Теңіз сөздігі

жылжымалы айнымалы резистор жүйесінің толық механикалық айналу бұрышы- толық механикалық айналу бұрышы Құлыптан құлыпқа дейін қозғалатын айнымалы резисторлық жүйенің толық айналу бұрышы. Ескертпе Тоқтауы жоқ резисторлар үшін жалпы механикалық бұрыш жылжымалы екі позиция арасындағы ең үлкен бұрышқа тең ... ... Техникалық аудармашының анықтамалығы

Жылжымалы айнымалы резистор жүйесінің толық механикалық айналу бұрышы- 52. Айнымалы резистордың жылжымалы жүйесінің толық механикалық айналуы Жалпы механикалық айналуы D. Механизатор Древинкель E. Толық механикалық айналуы F. Course mécanique totale Айнымалы резистордың қозғалатын жүйесінің жалпы айналуы ... ... Нормативтік-техникалық құжаттама терминдерінің сөздік-анықтамалығы

БҰРЫШ- (1) әуе кемесінің қанатындағы ауа ағынының бағыты мен қанат бөлігінің хордасы арасындағы шабуыл бұрышы. Көтеру күшінің мәні осы бұрышқа байланысты. Көтеру күші максимум болатын бұрыш шабуылдың критикалық бұрышы деп аталады. U…… Үлкен политехникалық энциклопедия

ANGLE, екі түзу немесе жазықтық арасындағы көлбеу өлшемі және айналу қозғалысының шамасы. Толық шеңбер 360°-қа бөлінеді (градус) 2p радианға барады. Тік бұрыш 90° немесе p/2 радиан. Бір дәреже 60 (минут)... деп бөлінеді. Ғылыми-техникалық энциклопедиялық сөздік

Элементтер: биіктіктен секіру, бір жерден немесе мысық секіру позициясынан орындалады. Сіз құлауды тек аяқтарыңызбен немесе аяқтарыңызбен және қолыңызбен (жақсы, немесе бір қолыңызбен) сіңіре аласыз. Серіппелі кез келген кедергіден оған тиіспей секіру. Мысалы, ... Wikipedia арқылы ұшу

Толық жүріңіз. Жарг. бұрыш. Қылмысты мойындау. Балдаев 1, 169. Екеуі толық, үшіншісі толық емес. қараша Темір. Адамдардың аз саны туралы, онда л. МҰРЫН 2, 76 ...

Жарг. бұрыш. Бекіту Бәрі жақсы, бәрі жақсы жүріп жатыр. Б., 159; Быков, 202. /i> Мүмкін идиш немесе иврит тілінен шыққан, мұнда бұл сөз болжамды білдіреді ең жоғары сапа. Элистратов 1994, 537 ... Үлкен сөздікОрыс сөздері

Бұрыш дегеніміз не?

Бұрыш деп бір нүктеден шығатын екі сәуледен пайда болған фигураны айтады (160-сурет).
Пайда болатын сәулелер бұрыш, бұрыштың қабырғалары, ал олардан шығатын нүкте бұрыштың төбесі деп аталады.
160-суретте бұрыштың қабырғалары OA және OB сәулелері, ал оның шыңы О нүктесі болып табылады. Бұл бұрыш келесідей белгіленеді: AOB.

Ортаға бұрышты жазғанда оның төбесін белгілейтін әріпті жазыңыз. Бұрышты бір әріппен – оның шыңының атымен де белгілеуге болады.

Мысалы, «АОБ бұрышының» орнына қысқарақ жазады: «О бұрышы».

Бұрыш деген сөздің орнына белгі жазады.

Мысалы, АОБ, О.

161-суретте C және D нүктелері AOB бұрышының ішінде, X және Y нүктелері осы бұрыштың сыртында жатыр, және ұпай M және H - бұрыштың бүйірлерінде.

Барлық геометриялық фигуралар сияқты бұрыштар қабаттасу арқылы салыстырылады.

Егер бір бұрышты екіншісіне сәйкес келетіндей етіп қоюға болатын болса, онда бұл бұрыштар тең болады.

Мысалы, 162-суретте ABC = MNK.

SOK бұрышының жоғарғы жағынан (163-сурет) OR сәулесі тартылды. Ол SOC бұрышын екі бұрышқа бөледі - COP және ROCK. Бұл бұрыштардың әрқайсысы ROC бұрышынан кіші.

Авторы: COP< COK и POK < COK.

Тікелей және бұрышты

Бірін-бірі толықтыратын екеуі сәулебүктелген бұрыш жасаңыз. Бұл бұрыштың қабырғалары бірге түзу түзуді құрайды, оның үстінде кеңейтілген бұрыштың төбесі жатыр (Cурет 164).

Сағаттың сағат және минут тілі 6-да дамыған бұрышты құрайды (165-сурет).

Қағаз парағын екі рет бүгеміз, содан кейін оны ашамыз (Cурет 166).

Бүктеме сызықтары 4 бірдей бұрыш жасайды. Бұл бұрыштардың әрқайсысы түзетілген бұрыштың жартысына тең. Мұндай бұрыштарды тік бұрыштар деп атайды.

Тік бұрыш - түзетілген бұрыштың жартысы.

үшбұрыш салу

Құрылыс үшін тікбұрышсызбаны қолдану үшбұрыш(Cурет 167). Қабырғаларының бірі OL сәулесі болатын тік бұрышты тұрғызу үшін қажет:

а) сызылған үшбұрышты оның тік бұрышының төбесі О нүктесімен сәйкес келетіндей етіп, ал қабырғаларының бірі ОА сәулесінің бойымен өтетіндей етіп орналастыр;

б) үшбұрыштың екінші қабырғасы бойымен ОБ сәулесін сал.

Нәтижесінде AOB тік бұрышын аламыз.

Тақырып бойынша сұрақтар

1. Бұрыш дегеніміз не?
2. Қандай бұрыш орналастырылған деп аталады?
3. Қандай бұрыштар тең деп аталады?
4. Қандай бұрыш тік деп аталады?
5. Сызба үшбұрышты пайдаланып тік бұрыш қалай салынады?

Кез келген бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөлетінін біз бұрыннан білеміз. Бірақ, егер бұрышта екі жағы да бір түзуде жатса, онда мұндай бұрыш орналастырылған деп аталады. Яғни, дамыған бұрышта оның бір жағы оның екінші жағының бұрышының жалғасы болып табылады.

Енді тек қана дамыған О бұрышын көрсететін суретті қарастырайық.

Егер түзу бұрыштың төбесінен сәуле алып, сызатын болсақ, онда ол берілген түзу бұрышты тағы екі бұрышқа бөледі, олардың бір ортақ қабырғасы болады, ал қалған екі бұрышы түзу түзеді. Яғни, бір ашылған бұрыштан біз екі көршілесті алдық.

Егер түзу бұрышты алып, биссектриса жүргізсек, онда бұл биссектриса түзу бұрышты екі тік бұрышқа бөледі.

Ал, егер біз дамыған бұрыштың төбесінен биссектриса болып табылмайтын ерікті сәуле түсіретін болсақ, онда мұндай сәуле кеңейтілген бұрышты екі бұрышқа бөледі, олардың біреуі сүйір, екіншісі доғал болады.

Тегіс бұрыш қасиеттері

Кеңейтілген бұрыштың келесі қасиеттері бар:

Біріншіден, түзу бұрыштың қабырғалары антипараллельді және түзу түзуді құрайды;
екіншіден, дамыған бұрыш 180°;
үшіншіден, көршілес екі бұрыш түзу бұрышты құрайды;
төртіншіден, дамыған бұрыш толық бұрыштың жартысы;
бесіншіден, толық бұрыш дамыған екі бұрыштың қосындысына тең болады;
алтыншыдан, түзетілген бұрыштың жартысы тік бұрыш.

Бұрышты өлшеу

Кез келген бұрышты өлшеу үшін бұл мақсаттар үшін транспортир жиі пайдаланылады, оның өлшем бірлігі бір градус. Бұрыштарды өлшегенде, кез келген бұрыштың өзінің нақты градус өлшемі бар екенін есте ұстаған жөн және табиғи түрде бұл өлшем нөлден үлкен. Ал дамыған бұрыш, біз білетіндей, 180 градусқа тең.

Яғни, шеңбердің кез келген жазықтығын алып, оны радиустары бойынша 360 тең бөлікке бөлсек, онда бұл шеңбердің 1/360 бөлігі бұрыштық градус болады. Өздеріңіз білетіндей, дәреже белгілі бір белгішемен көрсетіледі, ол келесідей көрінеді: «°».

Енді біз шеңбердің бір градусы 1° = 1/360 екенін де білеміз. Егер бұрыш шеңбер жазықтығына тең болса және 360 градус болса, онда мұндай бұрыш толық болады.

Ал енді бір түзудің бойында жатқан екі радиустың көмегімен шеңбердің жазықтығын алып, екі тең бөлікке бөлеміз. Сонда бұл жағдайда жарты шеңбердің жазықтығы толық бұрыштың жартысы болады, яғни 360: 2 = 180 °. Біз шеңбердің жарты жазықтығына тең және 180 ° болатын бұрышты алдық. Бұл бұралған бұрыш.

Практикалық тапсырма

1613. 168-суретте көрсетілген бұрыштарды атаңыз. Олардың белгілеулерін жазыңыз.

1614. Төрт сәулені салыңыз: OA, OB, OS және OD. Қабырғалары осы сәулелер болатын алты бұрыштың атын жаз. Бұл сәулелер неше бөлікке бөлінеді ұшақ?

1615. 169-суреттегі қандай нүктелер КОМ бұрышының ішінде жатқанын көрсетіңіз.Қай нүктелер осы бұрыштан тыс жатыр? Қандай нүктелер ОК жағында, қайсысы ОМ жағында?

1616. MOD бұрышын салыңыз және оның ішіне ОТ сәулесін салыңыз. Бұл сәуле MOD бұрышын бөлетін бұрыштарды атаңыз және белгілеңіз.

1617. Минут тілі 10 минутта AOB бұрышына, келесі 10 минутта - BOC бұрышына, ал тағы 15 минутта - COD бұрышына бұрылды. AOB және BOC, BOC және COD, AOC және AOB, AOC және COD бұрыштарын салыстырыңыз (170-сурет).

1618. Сызба үшбұрышын пайдаланып, әртүрлі позицияларда 4 тік бұрышты сызыңыз.

1619. Сызба үшбұрышын пайдаланып, 171-суреттегі тік бұрыштарды табыңыз. Олардың белгілерін жазыңыз.

1620. Сыныптағы тік бұрыштарды көрсетіңіз.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. 400-дің неше пайызы 200 саны; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Жоғалған санды табыңыз:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Қабырғасы дәптердің 10 ұяшығының ұзындығына тең шаршы сызыңыз. Бұл шаршы өрісті көрсетсін. Егістіктің 12%-ын қара бидай, 8%-ын сұлы, 64%-ын бидай, ал қалған алқапты қарақұмық алып жатыр. Суретте әр дақыл алып жатқан егістік бөлігін көрсетіңіз. Егістіктің қанша пайызын қарақұмық құрайды?

1632. Петя оқу жылында жыл басында сатып алған дәптердің 40%-ын пайдаланды, ал оның 30 дәптері қалды. Оқу жылының басында Петяға қанша дәптер сатып алынды?

1633. Қола - қалайы мен мыстың қорытпасы. 6 кг қалайы мен 34 кг мыстан тұратын қола кесегіндегі мыс қорытпаның қанша пайызын құрайды?

1634.Әлемнің жеті кереметінің бірі атанған ежелгі дәуірде салынған Александрия шамшырағы Мәскеу Кремлінің мұнараларынан 1,7 есе биік, бірақ Мәскеу университетінің ғимаратынан 119 м төмен.Биіктікті табыңыз. Мәскеу Кремлінің мұнаралары Александрия шамшырағынан 49 м төмен болса, осы құрылымдардың әрқайсысының.

1635. Микрокалькулятордың көмегімен табыңыз?

а) 168-ден 4,5%; в) 569,8-ден 28,3%;
б) 2500-ден 147,6%; г) 0,09% 456800.

1636. Есепті шешіңіз:

1) Бақшаның ауданы 6,4 а. Бірінші күні бақшаның 30 пайызы, екінші күні бақшаның 35 пайызы қазылды. Қазуға қанша алаң қалды?

2) Сережаның 4,8 сағат бос уақыты болды. Ол осы уақыттың 35%-ын кітап оқуға, 40%-ын телешоуларды көруге арнаған. Оның қанша уақыты қалды?

1637. Мынаны орындаңыз:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 BAC бұрышын салыңыз және бұрыштың ішіне, бұрыштың сыртына және бұрыштың бүйірлеріне бір нүктені белгілеңіз.

1639. 172-суретте белгіленген нүктелердің қайсысы AMK бұрышының ішінде жатыр.Қай нүкте AMB> бұрышының ішінде, бірақ AMK бұрышының сыртында.Қай нүкте AMK бұрышының қабырғаларында жатыр?

1640. 173-суреттегі тік бұрыштарды табу үшін сызу үшбұрышын пайдаланыңыз.

1641. Қабырғасы 43 мм шаршы тұрғыз. Оның периметрі мен ауданын есептеңдер.

1642. Өрнектің мәнін табыңыз:

а) 14,791: a + 160,961: b, егер a = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d егер c = 100, d = 100.

1643. Жұмысшы 450 деталь жасау керек болды. Бірінші күні ол бөлшектердің 60%, ал екіншісінде қалғанын жасады. Қанша бөлік болды жұмысшыекінші күні?

1644. Кітапханада 8000 кітап болды. Бір жылдан кейін олардың саны 2000 кітапқа өсті. Кітапханадағы кітап саны қанша пайызға өсті?

1645. Жүк көліктері бірінші күні жоспарланған жолдың 24%-ын, екінші күні жолдың 46%-ын, ал үшінші күні қалған 450 шақырымды басып өтті. Бұл жүк көліктері неше километр жүрді?

1646. Нешеу екенін табыңыз:

а) тоннаның 1%; в) 7 тоннаның 5%;
б) литрдің 1%; г) 80 км-нің 6%.

1647. Морж күшігінің массасы ересек морждың массасынан 9 есе аз. Ересек морждың массасы қанша болады, егер төлімен бірге олардың массасы 0,9 тонна болса?

1648. Маневрлер кезінде командир өткелді күзетуге өзінің барлық жауынгерлерінің 0,3-ін қалдырды, ал қалғандарын екі биіктікті қорғау үшін 2 отрядқа бөлді. Бірінші отрядта екіншіден 6 есе көп сарбаз болды. Барлығы 200 сарбаз болса, бірінші жасақта қанша жауынгер болды?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, В.И.ЖОХОВ, А.С.ЧЕСНОКОВ, С.И.ШВАРЦБУРД, Математика 5-сынып, Оқу орындарына арналған оқулық

Бұрыш - негізгі геометриялық фигура, біз оны бүкіл тақырып бойынша талдаймыз. Бұрыштың анықтамалары, орнату әдістері, белгіленуі және өлшеуі. Сызбалардағы бұрыштарды таңдау принциптерін талдап көрейік. Бүкіл теория суреттелген және бар көп саныкөрнекі сызбалар.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Анықтама 1

Бұрыш- геометриядағы қарапайым маңызды фигура. Бұрыш тікелей сәуленің анықтамасына байланысты, ол өз кезегінде тұрады негізгі ұғымдарнүктелер, түзулер және жазықтықтар. Егжей-тегжейлі оқу үшін тақырыптарға тереңірек үңілу керек жазықтықтағы түзу – қажетті ақпаратЖәне ұшақ – қажетті ақпарат.

Бұрыш ұғымы осы жазықтықта бейнеленген нүкте, жазықтық және түзу ұғымдарынан басталады.

Анықтама 2

Жазықтықта а сызығы берілген. Ондағы кейбір О нүктесін белгілеңіз. Түзу нүкте арқылы екі бөлікке бөлінеді, олардың әрқайсысының аты бар Рэй, және О нүктесі сәуленің басталуы.

Басқаша айтқанда, пучок немесе жарты сызық -қатысты бір жағында орналасқан, берілген түзудің нүктелерінен тұратын түзудің бөлігі болып табылады бастапқы нүкте, яғни О нүктелері.

Сәуленің белгіленуі екі нұсқада рұқсат етіледі: бір кіші әріп немесе латын әліпбиінің екі бас әріпі. Екі әріппен белгіленген кезде сәуленің екі әріптен тұратын атауы болады. Сызбаны мұқият қарастырайық.

Бұрышты анықтау ұғымына көшейік.

Анықтама 3

Бұрыш- бұл берілген жазықтықта орналасқан фигура, шығу тегі ортақ екі сәйкес келмейтін сәулелерден құралған. бүйірлік бұрышсәуле болып табылады шыңы- тараптардың ортақ бастамасы.

Бұрыштың қабырғалары түзу ретінде әрекет ете алатын жағдай бар.

Анықтама 4

Егер бұрыштың екі қабырғасы бір түзуде орналасса немесе оның қабырғалары бір түзудің қосымша жарты сызықтары қызметін атқарса, онда мұндай бұрыш деп аталады. орналастырылған.

Төмендегі суретте тегістелген бұрыш көрсетілген.

Түзу сызықтағы нүкте бұрыштың төбесі болып табылады. Көбінесе ол О нүктесімен белгіленеді.

Математикадағы бұрыш «∠» белгісімен белгіленеді. Бұрыштың қабырғаларын кіші латынша белгілегенде, бұрышты дұрыс анықтау үшін қабырғаларына сәйкес әріптер қатарға жазылады. Егер екі жағы k және h деп белгіленсе, онда бұрыш ∠ k h немесе ∠ h k деп белгіленеді.

Бас әріптермен белгілеу болған кезде, тиісінше, бұрыштың жақтарында O A және O B атаулары болады. Бұл жағдайда бұрышта латын әліпбиінің үш әріптерінің аты бар, олар ортасында төбесімен қатар жазылған - ∠ A O B және ∠ B O A . Бұрыштарда атаулар немесе атаулар болмаған кезде сандар түрінде белгілеу бар әріптер. Төменде сурет қайда орналасқан әртүрлі жолдарбұрыштары белгіленген.

Бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөледі. Егер бұрыш дамымаған болса, онда жазықтықтың бір бөлігінің атауы бар ішкі бұрыш аймағы, басқа - сыртқы аймақбұрыш. Төменде жазықтықтың қай бөліктері сыртқы және қайсысы ішкі екенін түсіндіретін сурет берілген.

Жазықтықта түзу бұрышқа бөлінгенде оның кез келген бөлігі түзу бұрыштың ішкі бөлігі болып саналады.

Бұрыштың ішкі аймағы - бұрыштың екінші анықтамасына қызмет ететін элемент.

Анықтама 5

бұрышгеометриялық фигура деп аталады, ол екі сәйкес келмейтін сәулелерден тұратын, ортақ шығу тегі және бұрыштың сәйкес ішкі ауданы бар.

Бұл анықтама бұрынғыға қарағанда қатаңырақ, өйткені оның шарттары көп. Екі анықтаманы да бөлек қарастырған жөн емес, өйткені бұрыш бір нүктеден шығатын екі сәуле арқылы түрленетін геометриялық фигура. Бұрышпен әрекеттерді орындау қажет болғанда, анықтама ортақ шығу тегі және ішкі аймақ бар екі сәуленің болуын білдіреді.

Анықтама 6

Екі бұрыш деп аталады байланысты, егер ортақ жағы болса, ал қалған екеуі бірін-бірі толықтыратын жарты сызықтар немесе түзу бұрышты құраса.

Суретте іргелес бұрыштар бірін-бірі толықтыратыны көрсетілген, өйткені олар бірінің жалғасы болып табылады.

Анықтама 7

Екі бұрыш деп аталады вертикалды, егер біреуінің қабырғалары екіншісінің қосымша жартылай сызығы болса немесе екіншісінің қабырғаларының жалғасы болса. Төмендегі суретте тік бұрыштардың кескіні көрсетілген.

Сызықтарды қиып өткенде 4 жұп іргелес және 2 жұп тік бұрыштар алынады. Төменде суретте көрсетілген.

Мақалада тең және тең емес бұрыштардың анықтамалары берілген. Біз қай бұрышты үлкен, қайсысы кіші деп есептейтінін және бұрыштың басқа да қасиеттерін талдаймыз. Екі фигура тең деп есептеледі, егер олар қабаттасқан кезде олар толығымен сәйкес келсе. Дәл осындай қасиет бұрыштарды салыстыру үшін де қолданылады.

Екі бұрыш берілген. Бұл бұрыштардың тең немесе тең еместігі туралы қорытындыға келу керек.

Екі бұрыштың шыңдары мен бірінші бұрыштың жағы екінші бұрыштың кез келген басқа жағымен қабаттасатыны белгілі. Яғни, толық сәйкес келген жағдайда, бұрыштарды бір-бірінің үстіне қойғанда, берілген бұрыштардың қабырғалары толығымен сәйкес келеді, бұрыштар тең.

Мүмкін, жақтарды біріктіру кезінде бұрыштар біріктірілмеуі мүмкін тең емес, кішірекбасқасынан тұрады және Көбіректолық басқа бұрышты қамтиды. Төменде тең емес бұрыштар қабаттасқан кезде тураланбайды.

Дамыған бұрыштар тең.

Бұрыштарды өлшеу өлшенетін бұрыштың жағын және оның өлшемін өлшеуден басталады ішкі аймақ, бірлік бұрыштары бар толтыру бір-біріне қолданылады. Үйілген бұрыштардың санын санау керек, олар өлшенген бұрыштың өлшемін алдын ала анықтайды.

Бұрыш бірлігін кез келген өлшенетін бұрышпен көрсетуге болады. Ғылым мен техникада қолданылатын жалпы қабылданған өлшем бірліктері бар. Олар басқа атауларға маманданған.

Ең жиі қолданылатын ұғым дәрежесі.

Анықтама 8

бір дәрежетүзілген бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігі болатын бұрыш деп аталады.

Дәреженің стандартты белгісі «°», содан кейін бір градус 1° болады. Демек, түзу бұрыш бір градустан тұратын осындай 180 бұрыштан тұрады. Барлық қол жетімді бұрыштар бір-біріне тығыз орналасқан және алдыңғысының бүйірлері келесіге сәйкес келеді.

Бұрыштағы градус саны бұрыштың бірдей өлшемі болатыны белгілі. Әзірленген бұрыштың құрамында 180 қабатталған бұрыштар бар. Төмендегі суретте бұрыштың 30 рет, яғни кеңейтілгеннің алтыдан бір бөлігі және 90 рет, яғни жартысы салынған мысалдар көрсетілген.

Бұрыш өлшемдерін дәл анықтау үшін минуттар мен секундтар қолданылады. Олар бұрыш мәні бүтін дәреже белгісі болмаған кезде қолданылады. Дәреженің мұндай бөліктері дәлірек есептеулерді орындауға мүмкіндік береді.

Анықтама 9

минутдәреженің алпыс бөлігі деп аталады.

Анықтама 10

екіншіминуттың алпыстан бір бөлігін шақырды.

Бір дәрежеде 3600 секунд бар. Минуттар «»», ал секундтар «»» белгілейді. Белгілеу орын алады:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

ал 17 градус 3 минут 59 секунд бұрышының белгісі 17° 3 «59»».

Анықтама 11

17 ° 3 «59» » тең бұрыштың градустық өлшемін белгілеуге мысал келтірейік. Жазбада 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600 басқа нысаны бар.

Бұрыштарды дәл өлшеу үшін мынаны пайдаланыңыз өлшеу құралытранспортир сияқты. ∠ A O B бұрышын және оның градус өлшемін 110 градусқа белгілеу кезінде ыңғайлырақ ∠ A O B \u003d 110 ° белгілеу пайдаланылады, онда «A O B бұрышы 110 градусқа тең» деп жазылған.

Геометрияда (0 , 180 ) аралығынан бұрыш өлшемі қолданылады, ал тригонометрияда ерікті градус өлшемі деп аталады. бұрылу бұрыштары.Бұрыштардың мәні әрқашан өрнектеледі нақты сан. Тікбұрыш 90 градус болатын бұрыш. Өткір бұрыш 90 градустан аз бұрыш болып табылады, және доғал- Көбірек.

Сүйір бұрыш (0, 90) аралықта өлшенеді, ал доғал бұрыш - (90, 180) . Бұрыштардың үш түрі төменде анық көрсетілген.

Кез келген бұрыштың кез келген градустық өлшемі бірдей мәнге ие болады. Сәйкесінше үлкенірек бұрыш кішіге қарағанда үлкен дәреже өлшеміне ие. Бір бұрыштың градустық өлшемі барлық қол жетімді градус өлшемдерінің қосындысы болып табылады. ішкі бұрыштар. Төмендегі суретте AOC, COD және DOB бұрыштарынан тұратын AOB бұрышы көрсетілген. Егжей-тегжейлі айтқанда, ол келесідей көрінеді: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Осыған сүйене отырып, мынадай қорытынды жасауға болады сомабарлық іргелес бұрыштары 180 градусөйткені олардың барлығы кеңейтілген бұрышты құрайды.

Бұдан шығатыны кез келген тік бұрыштары тең. Мұны мысалмен қарастырсақ, A O B және C O D бұрыштары тік (сызбада) болатынын аламыз, онда A O B және B O C, C O D және B O C бұрыштарының жұптары іргелес болып саналады. Мұндай жағдайда ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° және ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° теңдігі бірегей ақиқат болып саналады. Демек, бізде ∠ A O B = ∠ C O D болады. Төменде тік ұстағыштардың кескіні мен белгіленуі мысалы келтірілген.

Градустардан, минуттардан және секундтардан басқа басқа өлшем бірлігі қолданылады. деп аталады радиан. Көбінесе оны көпбұрыштардың бұрыштарын белгілеу кезінде тригонометриядан табуға болады. Радиан деп нені атайды.

Анықтама 12

Бір радиандық бұрышшеңбердің радиусы доғаның ұзындығына тең болатын орталық бұрыш деп аталады.

Суретте радиан шеңбер ретінде бейнеленген, онда центрі нүктемен көрсетілген, шеңбердің екі нүктесі қосылған және O A және O B радиустарына айналдырылған. Анықтама бойынша, бұл A O B үшбұрышы тең қабырғалы, яғни А В доғасының ұзындығы O B және Oh A радиустарының ұзындықтарына тең екенін.

Бұрыштың белгіленуі «рад» ретінде қабылданады. Яғни, 5 радиандағы жазба 5 рад деп қысқартылады. Кейде сіз pi атауы бар белгілеуді таба аласыз. Радиандар берілген шеңбердің ұзындығына тәуелді емес, өйткені фигуралар берілген бұрыштың төбесінде орналасқан центрі бар бұрыш пен доғаның көмегімен қандай да бір шектеулерге ие. Олар ұқсас болып саналады.

Радиандар градустармен бірдей мағынаға ие, тек айырмашылық олардың шамасында. Мұны анықтау үшін орталық бұрыш доғасының есептелген ұзындығын оның радиусының ұзындығына бөлу керек.

Іс жүзінде олар пайдаланады градустарды радианға және радианды градусқа түрлендірукөбірек ыңғайлы шешімтапсырмалар. Көрсетілген мақалада дәреже өлшемі мен радиан арасындағы байланыс туралы ақпарат бар, онда сіз градустан радианға және керісінше аудармаларды егжей-тегжейлі зерттей аласыз.

Доғаларды, бұрыштарды, сызбаларды көрнекі және ыңғайлы бейнелеу үшін қолданылады. Белгілі бір бұрышты, доғаны немесе атауды дұрыс бейнелеу және белгілеу әрқашан мүмкін емес. Тең бұрыштарретінде белгіленеді бірдей сомадоғалар, және әр түрлі түрінде тең емес. Сызбада өткір, тең және тең емес бұрыштардың дұрыс белгіленуі көрсетілген.

3-тен астам бұрыштарды белгілеу қажет болғанда, толқынды немесе қиыршық тәрізді арнайы доға белгілері қолданылады. Бұл соншалықты маңызды емес. Төмендегі суретте олардың белгіленуі көрсетілген.

Бұрыштарды белгілеу басқа мәндерге кедергі келтірмеу үшін қарапайым болуы керек. Мәселені шешу кезінде бүкіл сызбаны шатастырмас үшін шешуге қажетті бұрыштарды ғана таңдау ұсынылады. Бұл шешім мен дәлелдеуге кедергі жасамайды, сонымен қатар сызбаға эстетикалық көрініс береді.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз