Орындаған: Чепкасов Родион

6 «Б» сынып оқушысы

МБОУ «№53 орта мектеп»

Барнаул

Жетекшісі: Булыкина О.Г.

математика мұғалімі

МБОУ «№53 орта мектеп»

Барнаул

Кіріспе. 1

Қатынастар және пропорциялар. 3

Тура және кері пропорциялар. 4

Тура және кері пропорционалды қолдану 6

әртүрлі есептерді шешудегі тәуелділіктер.

Қорытынды. он бір

Әдебиет. 12

Кіріспе.

Пропорция сөзі латынның пропорция сөзінен шыққан, жалпы пропорционалдық, бөліктердің біркелкілігі (бөлшектердің бір-біріне белгілі бір қатынасы) деген мағынаны білдіреді. Ежелгі уақытта пропорциялар туралы ілімді пифагоршылар жоғары бағалаған. Пропорциялармен олар табиғаттағы тәртіп пен сұлулық туралы, музыкадағы дауыссыз аккордтар мен ғаламдағы үйлесімділік туралы ойларды байланыстырды. Пропорциялардың кейбір түрлерін олар музыкалық немесе гармоникалық деп атайды.

Адамзат ерте заманның өзінде табиғаттағы барлық құбылыстардың бір-бірімен байланысты екенін, барлық нәрсенің үздіксіз қозғалыста болатынын, өзгеретінін, сандармен өрнектелгенде таңғажайып заңдылықтарын ашатынын ашқан.

Пифагоршылар мен олардың ізбасарлары әлемде бар барлық нәрселердің сандық өрнектерін іздеді. Олар тапты; музыканың негізінде математикалық пропорциялар жатқанын (жіп ұзындығының дыбыс биіктігіне қатынасы, интервалдар арасындағы қатынас, гармоникалық дыбыс беретін аккордтардағы дыбыстардың қатынасы). Пифагоршылар дүниенің бірлігі идеясын математикалық тұрғыдан негіздеуге тырысты, олар ғаламның негізі симметриялық геометриялық фигуралар екенін дәлелдеді. Пифагоршылар сұлулықтың математикалық негіздемесін іздеді.

Пифагоршылардан кейін ортағасырлық ғұлама Августин сұлулықты «сандық теңдік» деп атаған. Схоластикалық философ Бонавентур былай деп жазды: "Пропорционалдықсыз сұлулық пен рахат болмайды, бірақ пропорционалдық ең алдымен сандарда болады. Барлығы есептелетін болуы керек". Өнерде пропорцияны қолдану туралы Леонардо да Винчи өзінің кескіндеме туралы трактатында былай деп жазды: «Суретші ғалым сандық заң түрінде білетін табиғатта жасырынып жатқан сол заңдылықтарды пропорция түрінде бейнелейді».

Пропорциялар ежелгі дәуірде де, орта ғасырларда да әртүрлі мәселелерді шешуде қолданылған. Пропорцияларды қолдану арқылы есептердің кейбір түрлері қазір оңай және тез шешіледі. Пропорциялар мен пропорционалдық тек математикада ғана емес, сонымен қатар сәулет пен өнерде де қолданылған және қолданылады. Сәулет пен өнердегі пропорционалдық өлшемдер арасындағы белгілі пропорцияларды сақтауды білдіреді. әртүрлі бөліктерғимараттар, фигуралар, мүсіндер немесе басқа өнер туындылары. Мұндай жағдайларда пропорционалдылық дұрыс және әдемі құрылыс пен кескіннің шарты болып табылады

Мен өз жұмысымда тікелей және кері пропорционалдық қатынастарды қоршаған өмірдің әртүрлі салаларында қолдануды қарастыруға, тапсырмалар арқылы оқу пәндерімен байланысын байқауға тырыстым.

Қатынастар және пропорциялар.

Екі санның бөлшегі деп аталады көзқарасмыналар сандар.

Қатынастарды көрсетеді, бірінші сан екінші саннан неше есе үлкен немесе бірінші сан екінші саннан неше бөліктен тұрады.

Тапсырма.

Дүкенге 2,4 тонна алмұрт, 3,6 тонна алма әкелінді. Импорттық жемістердің қандай бөлігін алмұрт құрайды?

Шешім . Барлығы қанша жеміс әкелінгенін табыңыз: 2,4 + 3,6 = 6 (т). Алынған жемістердің қандай бөлігі алмұрт екенін табу үшін 2,4:6 = қатынасын жасаймыз. Жауапты былай жазуға да болады ондық бөлшекнемесе пайызбен: = 0,4 = 40%.

өзара керішақырды сандар, оның туындылары 1-ге тең. Сондықтан қатынас кері байланыс деп аталады.

Екі бірдей қатынасты қарастырайық: 4,5:3 және 6:4. Олардың арасына теңдік белгісін қойып, пропорцияны алайық: 4,5:3=6:4.

Пропорцияекі қатынастың теңдігі болып табылады: a : b =c :d немесе = , мұндағы a және d пропорцияның экстремалды шарттары, c және b орта мүшелер(пропорцияның барлық шарттары нөлге тең емес).

Пропорцияның негізгі қасиеті:

дұрыс пропорцияда шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең болады.

Көбейтудің ауыстырымдылық қасиетін қолдана отырып, біз дұрыс пропорцияда экстремалды немесе орта мүшелерді ауыстыруға болатынын аламыз. Алынған пропорциялар да дұрыс болады.

Пропорцияның негізгі қасиетін пайдаланып, оның белгісіз мүшесін табуға болады, егер басқа мүшелері белгілі болса.

Пропорцияның белгісіз шеткі мүшесін табу үшін орта мүшелерін көбейтіп, белгілі шеткі мүшесіне бөлу керек. x : b = c : d , x =

Пропорцияның белгісіз орта мүшесін табу үшін шеткі мүшелерін көбейтіп, белгілі орта мүшесіне бөлу керек. a : b = x : d , x = .

Тура және кері пропорциялар.

Екі түрлі шаманың мәндері бір-біріне тәуелді болуы мүмкін. Сонымен, шаршының ауданы оның қабырғасының ұзындығына байланысты, ал керісінше - шаршының қабырғасының ұзындығы оның ауданына байланысты.

Екі шама пропорционал деп аталады, егер өсумен

Оның біреуі бірнеше есеге (азайтады), екіншісі сол мөлшерде көбейеді (азайтады).

Егер екі шама тура пропорционал болса, онда бұл шамалардың сәйкес мәндерінің қатынасы тең болады.

Мысал Түзу пропорционалды тәуелділік .

Жанармай құю станциясында 2 литр бензиннің салмағы 1,6 кг. Олардың салмағы қанша болады 5 литр бензин?

Шешімі:

Керосиннің салмағы оның көлеміне пропорционал.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Жауабы: 4 кг.

Мұнда салмақтың көлемге қатынасы өзгеріссіз қалады.

Екі шама кері пропорционал деп аталады, егер олардың біреуі бірнеше есе өссе (кемітсе), екіншісі бірдей шамаға кемісе (өссе).

Егер шамалар кері пропорционал болса, онда бір шаманың мәндерінің қатынасы басқа шаманың сәйкес мәндерінің кері қатынасына тең болады.

П мысалкері пропорционалды қатынас.

Екі төртбұрыштың ауданы бірдей. Бірінші төртбұрыштың ұзындығы 3,6 м, ені 2,4 м.Екінші төртбұрыштың ұзындығы 4,8 м.Екінші төртбұрыштың енін табыңдар.

Шешімі:

1 тіктөртбұрыш 3,6 м 2,4 м

2 тіктөртбұрыш 4,8 м x м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 м

Жауабы: 1,8 м.

Көріп отырғаныңыздай, пропорционалды шамалары бар есептерді пропорциялар арқылы шешуге болады.

Әрбір екі шама тура пропорционал немесе кері пропорционал емес. Мысалы, баланың бойы жас ұлғайған сайын өседі, бірақ бұл мәндер пропорционалды емес, өйткені жас екі есе өскен кезде баланың бойы екі есе өспейді.

Тура және кері пропорционалдылықтың практикалық қолданылуы.

№1 тапсырма

IN мектеп кітапханасы 210 математика оқулығы, бұл жалпы кітапхана қорының 15% құрайды. Кітапхана қорында қанша кітап бар?

Шешімі:

Жалпы оқулықтар – ? - 100%

Математиктер – 210 -15%

15% 210 шот

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 оқулық

100% x есептік жазба. 15

Жауабы: 1400 оқулық.

№2 тапсырма

Велосипедші 3 сағатта 75 км жол жүреді. Велосипедші бірдей жылдамдықпен 125 км жол жүру үшін қанша уақыт алады?

Шешімі:

3 сағ – 75 км

H - 125 км

Уақыт пен қашықтық тура пропорционалды, сондықтан

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Жауабы: 5 сағат.

№3 тапсырма

8 бірдей құбыр бассейнді 25 минутта толтырады. Бассейнді толтыру үшін осындай 10 құбыр неше минутта болады?

Шешімі:

8 құбыр - 25 минут

10 құбыр - ? минут

Құбырлардың саны уақытқа кері пропорционалды, сондықтан

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Жауабы: 20 минут.

№4 тапсырма

8 жұмысшыдан тұратын бригада тапсырманы 15 күнде орындайды. Бірдей өнімділікте жұмыс істейтін қанша жұмысшы тапсырманы 10 күнде орындай алады?

Шешімі:

8 жұмыс - 15 күн

Жұмыс уақыты - 10 күн

Жұмысшылар саны күндер санына кері пропорционалды, сондықтан

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Жауабы: 12 жұмысшы.

№5 тапсырма

5,6 кг қызанақтан 2 литр тұздық алынады. 54 кг қызанақтан неше литр тұздық алуға болады?

Шешімі:

5,6 кг - 2 л

54 кг - ? л

Қызанақтардың килограммдарының саны алынған тұздықтың мөлшеріне тікелей пропорционалды, сондықтан

5.6: 54 = 2: x,

x =
,

x = 19.

Жауабы: 19 л.

№6 тапсырма

Мектеп ғимаратын жылыту үшін тұтыну нормасы бойынша 180 күн көмір жиналды

Тәулігіне 0,6 тонна көмір. Бұл қор тәулігіне 0,5 тонна тұтынса неше күнге жетеді?

Шешімі:

Күндер саны

Тұтыну нормасы

Күндер саны көмір тұтыну нормасына кері пропорционалды, сондықтан

180: x = 0,5: 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Жауабы: 216 күн.

№7 тапсырма

Темір рудасында темірдің 7 бөлігі қоспалардың 3 бөлігін құрайды. Құрамында 73,5 т темір бар кенде қанша тонна қоспа бар?

Шешімі:

Бөлшектердің саны

Салмағы

Темір

73,5

қоспалар

Бөлшектердің саны массаға тура пропорционал, сондықтан

7: 73,5 = 3: x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Жауабы: 31,5 тонна

№8 тапсырма

Көлік 35 литр бензин жұмсап, 500 км жүрді. 420 км жол жүру үшін неше литр бензин қажет?

Шешімі:

Қашықтық, км

Бензин, л

Қашықтық бензинді тұтынуға тура пропорционалды, сондықтан

500: 35 = 420: x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29.4.

Жауабы: 29,4 литр

№9 тапсырма

2 сағатта 12 крест ауладық. 3 сағатта неше сазан ауланады?

Шешімі:

Айқыштардың саны уақытқа байланысты емес. Бұл шамалар тура пропорционал да, кері пропорционал да емес.

Жауап: Жауап жоқ.

№10 тапсырма

Тау-кен кәсіпорны белгілі бір ақшаға 12 мың рубльден тұратын 5 жаңа машина сатып алуы керек. Бір көліктің бағасы 15 000 рубль болса, компания осы көліктердің қаншасын сатып ала алады?

Шешімі:

Көліктер саны, дана.

Бағасы, мың рубль

Автокөліктердің саны құнына кері пропорционалды, сондықтан

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Жауабы: 4 машина.

№11 тапсырма

Қалада N алаңында P алаңында иесінің қаталдығы сонша, күніне 1 кешігуге кешіккені үшін жалақыдан 70 рубль ұстайтын дүкен бар. Екі қыз Юлия мен Наташа бір бөлімде жұмыс істейді. Олардың еңбекақыжұмыс күндерінің санына байланысты. Юлия 20 күнде 4100 рубль алды, ал Наташа 21 күнде көбірек алуы керек еді, бірақ ол 3 күн қатарынан кешігіп қалды. Наташа қанша рубль алады?

Шешімі:

Жұмыс күндері

Жалақы, руб.

Юлия

4100

Наташа

Демек, жалақы жұмыс күндерінің санына тікелей пропорционалды

20: 21 = 4100: x,

x= 4305.

4305 руб. Наташа болуы керек.

4305 - 3 * 70 = 4095 (руб.)

Жауап: Наташа 4095 рубль алады.

№12 тапсырма

Картадағы екі қаланың арақашықтығы 6 см.Карта масштабы 1:250000 болса, жердегі осы қалалардың арақашықтығын табыңыз.

Шешімі:

Жердегі қалалар арасындағы қашықтықты x арқылы (сантиметрмен) белгілейік және картадағы кесінді ұзындығының жердегі қашықтыққа қатынасын табайық, ол карта масштабына тең болады: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 см = 15 км

Жауабы: 15 км.

№13 тапсырма

4000 г ерітіндіде 80 г тұз бар. Бұл ерітіндідегі тұздың концентрациясы қандай?

Шешімі:

Салмағы, г

Концентрация, %

Шешім

4000

Тұз

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Жауабы: Тұздың концентрациясы 2%.

№14 тапсырма

Банк жылдық 10 пайызбен несие береді. Сіз 50 000 рубль несие алдыңыз. Бір жылда банкке қанша қайтару керек?

Шешімі:

50 000 руб.

100%

x руб.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 руб. 10% құрайды.

50 000 + 5000=55 000 (рубль)

Жауап: бір жылдан кейін банкке 55 000 рубль қайтарылады.

Қорытынды.

Жоғарыда келтірілген мысалдардан көріп отырғанымыздай, тура және кері пропорционалды қатынастар өмірдің әртүрлі салаларында қолданылады:

Экономика,

сауда,

өндірісте және өнеркәсіпте,

мектеп өмірі,

пісіру,

Құрылыс және сәулет.

спорт,

мал шаруашылығы,

топография,

физиктер,

Химия және т.б.

Орыс тілінде тура және кері байланыс орнататын мақал-мәтелдер де бар:

Ол қалай келсе, солай жауап береді.

Түбір неғұрлым жоғары болса, көлеңке соғұрлым жоғары болады.

Неғұрлым көп адам болса, соғұрлым оттегі аз болады.

Және дайын, иә ақымақтық.

Математика – ең көне ғылымдардың бірі, ол адамзаттың қажеттіліктері мен қажеттіліктері негізінде пайда болды. Содан бері қалыптасу тарихынан өткен Ежелгі Греция, ол әлі де өзекті және қажетті болып қала береді Күнделікті өміркез келген адам. Тура және кері пропорционалдық ұғымы көне заманнан бері белгілі, өйткені кез келген мүсіннің құрылысы немесе жасалуы кезінде сәулетшілерді қозғалтқан пропорция заңдары болды.

Пропорцияларды білу адам өмірі мен қызметінің барлық салаларында кеңінен қолданылады - кескіндемелерді (пейзаждар, натюрморттар, портреттер және т. кең қолдануархитекторлар мен инженерлер арасында, жалпы алғанда, пропорциялар мен олардың өзара байланысы туралы білімді пайдаланбай, кем дегенде бір нәрсе жасауды елестету қиын.

Әдебиет.

Математика-6, Н.Я. Виленкин және т.б.

Алгебра -7, Г.В. Дорофеев және т.б.

Математика-9, ЖИА-9, өңдеген Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов

Математика-6, дидактикалық материалдар, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Математикадан 4-5 сыныпқа арналған тапсырмалар, И.В.Баранова т.б., М.«Просвещение» 1988 ж.

Математикадан 5-6 сынып тапсырмалары мен мысалдар жинағы, Н.А. Терешин,

Т.Н. Терешина, М. «Аквариум» 1997 ж

Бүгін біз қандай шамаларды кері пропорционал деп атайтынын, кері пропорционалдық графигі қандай болатынын және мұның бәрі сізге тек математика сабақтарында ғана емес, сонымен қатар мектеп қабырғасынан тыс жерлерде де қалай пайдалы болуы мүмкін екенін қарастырамыз.

Мұндай әртүрлі пропорциялар

Пропорционалдықбір-біріне тәуелді екі шаманы ата.

Тәуелділік тікелей және кері болуы мүмкін. Демек, шамалар арасындағы байланыс тура және кері пропорционалдылықты сипаттайды.

Тура пропорционалдық- бұл екі шама арасындағы осындай қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы немесе азаюы екіншісінің өсуіне немесе азаюына әкеледі. Анау. олардың көзқарасы өзгермейді.

Мысалы, емтиханға дайындалу үшін неғұрлым көп күш жұмсасаңыз, соғұрлым сіздің бағаларыңыз жоғары болады. Немесе жаяу серуенге шыққанда өзіңізбен неғұрлым көп зат алсаңыз, сөмкеңізді алып жүру соғұрлым қиын болады. Анау. емтиханға дайындалуға жұмсалған күш мөлшері алынған бағаларға тура пропорционалды. Ал рюкзакқа салынған заттардың саны оның салмағына тура пропорционал.

Кері пропорционалдық - бұл функционалдық тәуелділік, онда тәуелсіз мәннің бірнеше есе азаюы немесе ұлғаюы (ол аргумент деп аталады) тәуелді мәннің пропорционалды (яғни, бірдей мөлшерде) өсуіне немесе төмендеуіне әкелетін (оны функция деп атайды) ).

Суреттеңіз қарапайым мысал. Сіз базардан алма сатып алғыңыз келеді. Есептегіштегі алмалар мен әмияныңыздағы ақшаның мөлшері кері байланысты. Анау. неғұрлым көп алма сатып алсаңыз, соғұрлым аз ақша қалдырады.

Функция және оның графигі

Кері пропорционалдық функциясын былай сипаттауға болады y = k/x. Қайсысында x≠ 0 және к≠ 0.

Бұл функцияның келесі қасиеттері бар:

1. Оның анықтау облысы басқа барлық нақты сандар жиыны болып табылады x = 0. D(ж): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Ассортимент барлығы нақты сандар, қоспағанда ж= 0. E(y): (-∞; 0) У (0; +∞) .
3. Оның максималды немесе ең төменгі мәндері жоқ.
4. Тақ және оның графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.
5. Мерзімді емес.
6. Оның графигі координат осьтерін кесіп өтпейді.
7. Нөлдер жоқ.
8. Егер к> 0 (яғни аргумент артады), функция оның әрбір интервалында пропорционалды түрде азаяды. Егер к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Аргумент көбейген сайын ( к> 0) теріс мәндерфункциялары (-∞; 0), ал оң - (0; +∞) аралығында болады. Аргумент азайған кезде ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Кері пропорционалдық функциясының графигі гипербола деп аталады. Төмендегідей бейнеленген:

Кері пропорционал есептер

Түсінікті болу үшін бірнеше тапсырмаларды қарастырайық. Олар тым күрделі емес және олардың шешімі кері пропорцияның не екенін және бұл білім сіздің күнделікті өміріңізде қалай пайдалы болатынын елестетуге көмектеседі.

№1 тапсырма. Көлік 60 км/сағ жылдамдықпен қозғалады. Ол діттеген жеріне 6 сағатта жетті. Екі есе жылдамдықпен қозғалса, ол бірдей қашықтықты қанша уақытта өтеді?

Уақыттың, қашықтықтың және жылдамдықтың байланысын сипаттайтын формуланы жазудан бастауға болады: t = S/V. Келісіңіз, бұл кері пропорционалдық функциясын еске салады. Және бұл автомобильдің жолда өткізетін уақыты мен оның қозғалу жылдамдығы кері пропорционалды екенін көрсетеді.

Мұны тексеру үшін V 2 мәнін табайық, ол шарт бойынша 2 есе жоғары: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 км/сағ. Содан кейін S = V * t = 60 * 6 = 360 км формуласы арқылы қашықтықты есептейміз. Енді есептің шарты бойынша бізден талап етілетін t 2 уақытын табу қиын емес: t 2 = 360/120 = 3 сағат.

Көріп отырғаныңыздай, жол жүру уақыты мен жылдамдық шынымен кері пропорционалды: бастапқы жылдамдықтан 2 есе жоғары жылдамдықпен автомобиль жолда 2 есе аз уақыт жұмсайды.

Бұл есептің шешімін пропорция түрінде де жазуға болады. Неліктен біз диаграмманы келесідей жасаймыз:

↓ 60 км/сағ – 6 сағ

↓120 км/сағ – х сағ

Көрсеткілер кері қатынасты көрсетеді. Сондай-ақ олар пропорцияны құру кезінде жазбаның оң жағын аударып тастауды ұсынады: 60/120 \u003d x / 6. x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 сағатты қайдан аламыз.

№2 тапсырма. Цехта 4 сағатта берілген жұмыс көлемін орындайтын 6 жұмысшы жұмыс істейді. Егер жұмысшылар саны екі есе азайса, қалған жұмысшылар бірдей көлемдегі жұмысты қанша уақытта аяқтайды?

Есептің шарттарын формаға жазамыз визуалды схема:

↓ 6 жұмысшы – 4 сағат

↓ 3 жұмысшы - х сағ

Мұны пропорция түрінде жазайық: 6/3 = x/4. Біз x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 сағат аламыз.Егер жұмысшылар 2 есе аз болса, қалғандары барлық жұмысты аяқтауға 2 есе көп уақыт жұмсайды.

№3 тапсырма. Екі құбыр бассейнге апарады. Бір құбыр арқылы су 2 л / с жылдамдықпен еніп, бассейнді 45 минут ішінде толтырады. Басқа құбыр арқылы бассейн 75 минутта толтырылады. Бұл құбыр арқылы су бассейнге қаншалықты жылдам түседі?

Алдымен біз есептің шарты бойынша бізге берілген барлық шамаларды бірдей өлшем бірліктеріне келтіреміз. Ол үшін бассейнді толтыру жылдамдығын минутына литрмен көрсетеміз: 2 л / с \u003d 2 * 60 \u003d 120 л / мин.

Бұл екінші құбыр арқылы бассейнді баяу толтыру шартынан туындайтындықтан, бұл судың түсу жылдамдығы төмен екенін білдіреді. Кері пропорция бетінде. Бізге белгісіз жылдамдықты х арқылы өрнектеп, мына схеманы құрастырайық:

↓ 120 л/мин - 45 мин

↓ x л/мин – 75 мин

Содан кейін біз пропорция жасаймыз: 120 / x \u003d 75/45, одан x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 л / мин.

Есепте бассейннің толтыру жылдамдығы секундына литрмен көрсетілген, жауабымызды сол пішінге келтірейік: 72/60 = 1,2 л/с.

№4 тапсырма. Визит карточкалары шағын жеке баспаханада басылады. Баспахана қызметкері сағатына 42 визиткалық жылдамдықпен жұмыс істеп, толық жұмыс күні – 8 сағат жұмыс істейді. Егер ол тезірек жұмыс істеп, сағатына 48 визитка басып шығарса, ол үйге қаншалықты тезірек бара алады?

Біз дәлелденген жолмен жүреміз және қажетті мәнді x ретінде белгілейтін есептің шартына сәйкес схеманы жасаймыз:

↓ 42 визитка/сағ – 8 сағ

↓ 48 визитка/сағ – хх

Біздің алдымызда кері пропорционалды қатынас тұр: баспахана қызметкері сағатына неше есе көп визитка басып шығарса, сол жұмысты орындау үшін де сонша уақыт қажет. Осыны біле отырып, біз пропорцияны орната аламыз:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 сағат.

Осылайша, жұмысты 7 сағатта аяқтаған баспахана қызметкері үйіне бір сағат бұрын бара алатын болды.

Қорытынды

Бізге бұл кері пропорционалдық есептер өте қарапайым болып көрінеді. Енді сіз де оларды солай деп есептейсіз деп үміттенеміз. Ең бастысы, шамалардың кері пропорционалды тәуелділігін білу сізге бірнеше рет пайдалы болуы мүмкін.

Тек математика сабақтарында және емтихандарда ғана емес. Бірақ сонда да саяхатқа, дүкен аралауға, демалыс кезінде ақша табуға шешім қабылдауға және т.б.

Түсініктемелерде айналаңызда кері және тура пропорционалдықтың қандай мысалдарын байқағаныңызды айтыңыз. Бұл ойын болсын. Оның қаншалықты қызықты екенін көресіз. Бұл мақаланы бөлісуді ұмытпаңыз әлеуметтік желілердедостарыңыз бен сыныптастарыңыз да ойнай алады.

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Пропорционалдылық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің өзгеруі екіншісінің бірдей шамаға өзгеруіне әкеп соғады.

Пропорционалдық тура және кері. Бұл сабақта біз олардың әрқайсысын қарастырамыз.

Сабақтың мазмұны

Тура пропорционалдық

Автокөлік 50 км/сағ жылдамдықпен қозғалады делік. Жылдамдық дегеніміз уақыт бірлігінде жүріп өткен жол (1 сағат, 1 минут немесе 1 секунд) екені есімізде. Біздің мысалда машина 50 км/сағ жылдамдықпен қозғалады, яғни бір сағатта ол елу километрге тең қашықтықты жүріп өтеді.

Көліктің 1 сағатта жүріп өткен жолын сызып көрейік.

Машина сағатына елу шақырым жылдамдықпен тағы бір сағат жүрсін. Сонда көлік 100 шақырым жол жүреді екен

Мысалдан көрініп тұрғандай, уақытты екі есе ұлғайту жүріп өткен жолдың бірдей мөлшерде, яғни екі есе артуына әкелді.

Уақыт пен қашықтық сияқты шамалар тура пропорционал деп айтылады. Осы шамалар арасындағы қатынас деп аталады тура пропорционалдық.

Тура пропорционалдылық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы екіншісінің бірдей мөлшерге көбеюіне әкеп соғады.

және керісінше, егер бір мән белгілі бірнеше есе азайса, екіншісі де сол шамаға азаяды.

Алғашында 100 км көлікті 2 сағатта жүргізу жоспарланған деп есептейік, бірақ 50 км жүріп өткеннен кейін жүргізуші үзіліс жасауды ұйғарды. Сонда қашықтықты екі есе қысқарту арқылы уақыт бірдей мөлшерде азаяды екен. Басқаша айтқанда, жүріп өткен жолдың азаюы сол факторға уақыттың азаюына әкеледі.

Тура пропорционал шамалардың қызықты ерекшелігі олардың қатынасы әрқашан тұрақты болады. Яғни, тура пропорционал шамалардың мәндерін өзгерткен кезде олардың қатынасы өзгеріссіз қалады.

Қарастырылған мысалда қашықтық бастапқыда 50 км-ге тең болды, ал уақыт бір сағат болды. Қашықтықтың уақытқа қатынасы 50 санына тең.

Бірақ біз қозғалыс уақытын 2 есеге ұлғайтып, екі сағатқа тең еттік. Осының нәтижесінде жүріп өткен жол дәл осындай мөлшерге ұлғайды, яғни 100 км-ге тең болды. Жүз шақырымның екі сағатқа қатынасы тағы да 50 саны

50 саны шақырылады тура пропорционалдық коэффициенті. Ол қозғалыстың сағатына қанша қашықтық бар екенін көрсетеді. Бұл жағдайда коэффициент қозғалыс жылдамдығының рөлін атқарады, өйткені жылдамдық жүріп өткен жолдың уақытқа қатынасы болып табылады.

Пропорцияларды тура пропорционал шамалардан жасауға болады. Мысалы, арақатынастар және пропорцияны құрайды:

Елу километр бір сағатқа байланысты болса, жүз шақырым екі сағатқа байланысты.

2-мысал. Сатып алынатын тауарлардың құны мен саны тура пропорционалды. Егер 1 кг кәмпит 30 рубль болса, сол тәттінің 2 кг - 60 рубль, 3 кг - 90 рубль болады. Сатып алынатын тауардың құнының өсуімен оның саны да сол сомаға өседі.

Тауардың құны мен оның саны тура пропорционал болғандықтан, олардың арақатынасы әрқашан тұрақты болады.

Отыз сомның бір келіге қатынасын жазып көрейік

Енді алпыс сомның екі келіге қатынасы неге тең екенін жазып көрейік. Бұл қатынас қайтадан отызға тең болады:

Мұнда тікелей пропорционалдық коэффициенті 30 саны болып табылады. Бұл коэффициент тәттілердің килограммына қанша рубль екенін көрсетеді. IN бұл мысалкоэффициент бір килограмм тауардың бағасының рөлін атқарады, өйткені баға тауар құнының оның санына қатынасы болып табылады.

Кері пропорционалдық

Келесі мысалды қарастырайық. Екі қаланың арасы 80 шақырым. Мотоциклші бірінші қаладан шығып, 20 км/сағ жылдамдықпен екінші қалаға 4 сағатта жетті.

Егер мотоциклшінің жылдамдығы 20 км/сағ болса, бұл оның әр сағат сайын жиырма километрге тең қашықтықты жүріп өткенін білдіреді. Суретте мотоциклшінің жүріп өткен жолын және оның қозғалыс уақытын көрсетейік:

Қайтар жолда мотоциклшінің жылдамдығы 40 км/сағ болды, сол жолда ол 2 сағатты өткізді.

Жылдамдық өзгерген кезде қозғалыс уақыты бірдей мөлшерде өзгергенін байқау қиын емес. Және ол өзгерді кері жағы- яғни жылдамдық өсті, ал уақыт, керісінше, қысқарды.

Жылдамдық пен уақыт сияқты шамалар кері пропорционал деп аталады. Осы шамалар арасындағы қатынас деп аталады кері пропорционалдық.

Кері пропорционалдық – екі шама арасындағы қатынас, олардың біреуінің ұлғаюы екіншісінің бірдей шамаға азаюына әкеп соғады.

және керісінше, егер бір мән белгілі бір санға азайса, екіншісі де сол мөлшерге артады.

Мысалы, қайтар жолда мотоциклшінің жылдамдығы 10 км/сағ болса, ол сол 80 км жолды 8 сағатта өтер еді:

Мысалдан көрініп тұрғандай, жылдамдықтың төмендеуі жол жүру уақытының бірдей факторға ұлғаюына әкелді.

Кері пропорционал шамалардың ерекшелігі олардың көбейтіндісі әрқашан тұрақты болады. Яғни, кері пропорционал шамалардың мәндерін өзгерткенде олардың туындысы өзгеріссіз қалады.

Қарастырылып отырған мысалда қалалар арасындағы қашықтық 80 км болды. Мотоциклшінің жылдамдығы мен уақытын өзгерткен кезде бұл қашықтық әрқашан өзгеріссіз қалды.

Мотоциклші бұл қашықтықты 20 км/сағ жылдамдықпен 4 сағатта, ал 40 км/сағ жылдамдықпен 2 сағатта, 10 км/сағ жылдамдықпен 8 сағатта өте алады. Барлық жағдайларда жылдамдық пен уақыттың көбейтіндісі 80 км-ге тең болды

Сізге сабақ ұнады ма?
Біздің қосылыңыз жаңа топВконтакте және жаңа сабақтар туралы хабарландырулар алуды бастаңыз

Тәуелділік түрлері

Батареяны зарядтауды қарастырыңыз. Бірінші мән ретінде зарядтауға кететін уақытты алайық. Екінші мән - зарядтаудан кейін жұмыс істейтін уақыт. Батарея неғұрлым ұзақ зарядталған болса, соғұрлым ұзақ қызмет етеді. Процесс батарея толығымен зарядталғанша жалғасады.

Батареяның қызмет ету мерзімі оның зарядталған уақытына тәуелділігі

Ескерту 1

Бұл тәуелділік деп аталады Түзу:

Бір мән өскен сайын екіншісі де артады. Бір мән азайса, екінші мән де азаяды.

Тағы бір мысалды қарастырайық.

Қалай көбірек кітаптароқушы оқиды аз қателердиктантпен жазады. Немесе тауға көтерілген сайын атмосфералық қысым төмендейді.

Ескерту 2

Бұл тәуелділік деп аталады кері:

Бір мән өскен сайын, екіншісі төмендейді. Бір мән азайса, екінші мән өседі.

Осылайша, жағдайда тікелей тәуелділікекі шама да бірдей өзгереді (екеуі де өседі немесе азаяды) және жағдайда кері байланыс- қарама-қарсы (біреуі артып, екіншісі азаяды немесе керісінше).

Шамалар арасындағы тәуелділікті анықтау

1-мысал

Досыңызға баруға кететін уақыт - 20 доллар минут. Жылдамдықтың (бірінші мәннің) $2$ есе артуымен біз досқа баратын жолға кететін уақыттың (екінші мән) қалай өзгеретінін табамыз.

Әлбетте, уақыт $2$ есе қысқарады.

Ескерту 3

Бұл тәуелділік деп аталады пропорционалды:

Бір мән неше рет өзгереді, екіншісі неше рет өзгереді.

2-мысал

Дүкенде 2 доллар тұратын нан үшін 80 рубль төлеу керек. Егер сізге $4$ бөлке нан сатып алу қажет болса (нан мөлшері $2$ есе артады), сізге қанша төлеуге тура келеді?

Құны да $2 есеге өсетіні анық. Бізде пропорционалды тәуелділіктің мысалы бар.

Екі мысалда да пропорционалды тәуелділіктер қарастырылды. Бірақ нанның мысалында мәндер бір бағытта өзгереді, демек, тәуелділік Түзу. Ал досқа сапар бар мысалда жылдамдық пен уақыт арасындағы байланыс бар кері. Осылайша, бар тура пропорционалды қатынасЖәне кері пропорционал қатынас.

Тура пропорционалдық

$2$ пропорционалды мөлшерлерді қарастырайық: бөлке нандардың саны және олардың құны. $2$ бөлке нан $80$ рубль болсын. Орамдар саны 4$ есе ($8$ орам) ұлғайған кезде олардың жалпы құны $320$ рубльді құрайды.

Орамдар санының қатынасы: $\frac(8)(2)=4$.

Орам құнының қатынасы: $\frac(320)(80)=4$.

Көріп отырғаныңыздай, бұл коэффициенттер бір-біріне тең:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Анықтама 1

Екі қатынастың теңдігі деп аталады пропорция.

Тікелей пропорционалды қатынаста бірінші және екінші мәндердің өзгеруі бірдей болған кезде қатынас алынады:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Анықтама 2

Екі шама деп аталады тура пропорционалегер олардың біреуін өзгерткенде (ұлғайтқанда немесе кеміткенде), екіншісі де сол шамаға өзгерсе (тиісінше артады немесе азаяды).

3-мысал

Көлік 2 доллар сағатта 180 доллар км жүрді. Оның $2$ есе қашықтықты бірдей жылдамдықпен өтуіне кететін уақытты табыңыз.

Шешім.

Уақыт арақашықтыққа тура пропорционал:

$t=\frac(S)(v)$.

Қашықтық қанша есе артады, тұрақты жылдамдықпен уақыт бірдей мөлшерге артады:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Көлік $180$ км жол жүрді - $2 $ сағат уақыт ішінде

Көлік $x$ сағат уақыт ішінде $180 \cdot 2=360$ км жүреді.

Қалай көбірек қашықтықкөлік өтіп кетсе, соғұрлым көп уақыт кетеді. Демек, шамалар арасындағы қатынас тура пропорционал.

Пропорция жасайық:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Жауап: Көлікке $4$ сағат қажет болады.

Кері пропорционалдық

Анықтама 3

Шешім.

Уақыт жылдамдыққа кері пропорционал:

$t=\frac(S)(v)$.

Жылдамдық неше есе өссе, сол жолмен уақыт бірдей мөлшерде азаяды:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Есептің шартын кесте түрінде жазайық:

Көлік $60$км жол жүрді - $6$сағат уақытында

Автокөлік $120 $ км жол жүреді - $x $ сағат уақытында

Көлік неғұрлым жылдам болса, соғұрлым аз уақыт кетеді. Демек, шамалар арасындағы қатынас кері пропорционал.

Пропорция жасайық.

Өйткені пропорционалдық кері, екінші қатынасты пропорционалды түрде айналдырамыз:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Жауап: Көлікке $3$ сағат қажет болады.