Үшбұрыш - бізге бұрыннан таныс ең кең таралған геометриялық фигуралардың бірі бастауыш мектеп. Үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады деген сұрақ геометрия сабағында әр оқушының алдында тұрады. Сонымен, берілген фигураның ауданын табудың қандай ерекшеліктерін ажыратуға болады? Бұл мақалада біз осындай тапсырманы орындау үшін қажетті негізгі формулаларды қарастырамыз, сондай-ақ үшбұрыштардың түрлерін талдаймыз.

Үшбұрыштардың түрлері

Сіз үшбұрыштың ауданын толығымен таба аласыз әртүрлі жолдар, өйткені геометрияда үш бұрышты қамтитын фигураның бірнеше түрі бар. Бұл түрлерге мыналар жатады:

• доғал.
• Тең жақты (дұрыс).
• Тік бұрышты үшбұрыш.
• Изосцелярлар.

Әрқайсысын толығырақ қарастырайық бар түрлеріүшбұрыштар.

Мұндай геометриялық фигура геометриялық есептерді шешуде ең көп таралған болып саналады. Ерікті үшбұрышты салу қажет болғанда, бұл опция көмекке келеді.

Сүйір үшбұрышта, аты айтып тұрғандай, барлық бұрыштар сүйір және қосындысы 180°-қа жетеді.

Мұндай үшбұрыш та өте кең таралған, бірақ өткір бұрышқа қарағанда азырақ кездеседі. Мысалы, үшбұрыштарды шешу кезінде (яғни оның бірнеше қабырғалары мен бұрыштарын білесіз және қалған элементтерін табу керек), кейде бұрыштың доғал немесе доғал емес екенін анықтау керек. Косинус - теріс сан.

Бұрыштардың біреуінің мәні 90°-тан асады, сондықтан қалған екі бұрыш шағын мәндерді қабылдай алады (мысалы, 15° немесе тіпті 3°).

Осы түрдегі үшбұрыштың ауданын табу үшін сіз келесі нюанстарды білуіңіз керек, олар туралы келесіде айтатын боламыз.

Тұрақты және тең қабырғалы үшбұрыштар

дұрыс көпбұрышФигура барлық қабырғалары мен бұрыштары тең болатын n бұрышты қамтитын фигура деп аталады. Бұл тікбұрышты үшбұрыш. Үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180° болғандықтан, үш бұрыштың әрқайсысы 60°-қа тең.

Тікбұрышты үшбұрыш өзінің қасиетіне байланысты тең қабырғалы фигура деп те аталады.

Сондай-ақ, дұрыс үшбұрышқа бір ғана шеңберді сызуға және оның айналасында тек бір шеңберді сызуға болатынын және олардың орталықтары бір нүктеде орналасқанын атап өткен жөн.

Теңбүйірлі типтен басқа, одан аздап ерекшеленетін тең қабырғалы үшбұрышты да ажыратуға болады. Мұндай үшбұрышта екі қабырға мен екі бұрыш бір-біріне тең, ал үшінші қабырғасы (оған тең бұрыштар) негізі болып табылады.

Суретте D және F бұрыштары тең, ал DF негізі болып табылатын DEF тең қабырғалы үшбұрышы көрсетілген.

Тік бұрышты үшбұрыш

Тік бұрышты үшбұрыш осылай аталды, өйткені оның бір бұрышы тік бұрыш, яғни 90°-қа тең. Қалған екі бұрыштың қосындысы 90°-қа жетеді.

Бұндай үшбұрыштың 90° бұрышқа қарама-қарсы жатқан ең үлкен қабырғасы гипотенуза, ал қалған екі қабырғасы катеттері болып табылады. Үшбұрыштардың бұл түрі үшін Пифагор теоремасы қолданылады:

Катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысы гипотенузаның ұзындығының квадратына тең.

Суретте AC гипотенузасы және катеттері АВ және ВС болатын BAC тікбұрышты үшбұрышы көрсетілген.

Тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданын табу үшін білу керек сандық мәндероның аяқтары.

Берілген фигураның ауданын табуға арналған формулаларға көшейік.

Ауданды табудың негізгі формулалары

Геометрияда үшбұрыштардың көптеген түрлерінің ауданын табуға қолайлы екі формуланы ажыратуға болады, атап айтқанда сүйір бұрышты, доғал бұрышты, дұрыс және тең қабырғалы үшбұрыштар үшін. Олардың әрқайсысын талдап көрейік.

Бүйір жағынан және биіктікте

Бұл формулабіз қарастырып отырған фигураның ауданын табу үшін әмбебап болып табылады. Ол үшін жағының ұзындығын және оған тартылған биіктіктің ұзындығын білу жеткілікті. Формуланың өзі (негіз мен биіктіктің жартысы) ұқсайды келесідей:

Мұндағы А – берілген үшбұрыштың қабырғасы, ал Н – үшбұрыштың биіктігі.

Мысалы, сүйір бұрышты ACB үшбұрышының ауданын табу үшін оның АВ қабырғасын CD биіктігіне көбейтіп, алынған мәнді екіге бөлу керек.

Алайда үшбұрыштың ауданын осылай табу әрқашан оңай емес. Мысалы, бұл формуланы доғал бұрышты үшбұрыш үшін пайдалану үшін оның бір қабырғасын жалғастырып, содан кейін ғана оған биіктік салу керек.

Іс жүзінде бұл формула басқаларға қарағанда жиі қолданылады.

Екі жағы және бұрышы

Бұл формула, алдыңғы сияқты, көптеген үшбұрыштар үшін жарамды және өз мағынасында үшбұрыштың қабырғасы мен биіктігі бойынша ауданды табу формуласының салдары болып табылады. Яғни, қарастырылып отырған формуланы алдыңғысынан оңай шығаруға болады. Оның тұжырымы келесідей көрінеді:

S = ½*sinO*A*B,

Мұндағы А және В үшбұрыштың қабырғалары, ал О - А мен В қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Еске салайық, бұрыштың синусын көрнекті кеңес математигі В.М.Брадис атындағы арнайы кестеде көруге болады.

Ал енді үшбұрыштардың ерекше түрлеріне ғана жарамды басқа формулаларға көшейік.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы

Үшбұрышта биіктік салу қажеттілігін қамтитын әмбебап формуладан басқа, оның аяқтарынан тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданын табуға болады.

Сонымен, тік бұрышы бар үшбұрыштың ауданы оның катеттерінің көбейтіндісінің жартысына тең, немесе:

мұндағы a және b тікбұрышты үшбұрыштың катеттері.

тікбұрышты үшбұрыш

Бұл түрігеометриялық фигуралар оның ауданын оның бір жағының ғана көрсетілген мәнімен табуға болатындығымен ерекшеленеді (себебі барлық жақтары тікбұрышты үшбұрыштең). Сонымен, «қабырғалары тең болған кезде үшбұрыштың ауданын табу» тапсырмасын орындағаннан кейін келесі формуланы қолдану керек:

S = A 2 *√3 / 4,

мұндағы А – теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғасы.

Герон формуласы

Үшбұрыштың ауданын табудың соңғы нұсқасы - Герон формуласы. Оны пайдалану үшін фигураның үш жағының ұзындығын білу керек. Герон формуласы келесідей:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

мұндағы a, b және c – берілген үшбұрыштың қабырғалары.

Кейде тапсырма беріледі: «Дұрыс үшбұрыштың ауданы - оның қабырғасының ұзындығын табу». Бұл жағдайда дұрыс үшбұрыштың ауданын табу үшін бізге бұрыннан белгілі формуланы пайдалану керек және одан қабырғасының (немесе оның квадратының) мәнін шығару керек:

A 2 \u003d 4S / √3.

Емтихан мәселелері

Математикадан ЖИА тапсырмаларында көптеген формулалар бар. Сонымен қатар, жиі дойбы қағазда үшбұрыштың ауданын табу керек.

Бұл жағдайда фигураның бір жағына биіктікті салу, оның ұзындығын ұяшықтар арқылы анықтау және ауданды табу үшін әмбебап формуланы қолдану ыңғайлы:

Сонымен, мақалада келтірілген формулаларды зерттегеннен кейін сізде кез келген түрдегі үшбұрыштың ауданын табуда қиындықтар болмайды.

Үшбұрыштың ауданы – формулалар мен есептерді шығару мысалдары

Төменде ерікті үшбұрыштың ауданын табу формулаларықасиеттеріне, бұрыштарына немесе өлшемдеріне қарамастан кез келген үшбұрыштың ауданын табуға жарамды. Формулалар сурет түрінде берілген, мұнда олардың дұрыстығын қолдану немесе негіздеу бойынша түсініктемелер берілген. Сондай-ақ жеке суретте корреспонденциялар берілген әріптерформулаларда және сызбадағы графикалық белгілерде.

Ескерту . Егер үшбұрыштың ерекше қасиеттері болса (тең қабырғалы, тікбұрышты, тең қабырғалы), төмендегі формулаларды, сондай-ақ осы қасиеттері бар үшбұрыштар үшін ғана дұрыс болатын қосымша арнайы формулаларды пайдалануға болады:

• «Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданының формулалары»

Үшбұрыш ауданы формулалары

Формулаға түсініктеме:
a, b, c- ауданын тапқымыз келетін үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары
r- үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы
Р- үшбұрыштың айналасындағы сызылған шеңбердің радиусы
h- бүйір жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі
б- үшбұрыштың жарты периметрі, оның қабырғаларының қосындысы 1/2 (периметрі)
α - үшбұрыштың а қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
β - үшбұрыштың b қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
γ - үшбұрыштың c қабырғасына қарама-қарсы бұрышы
h а, h б , h в- a, b, c жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі

Берілген белгі жоғарыдағы суретке сәйкес келетініне назар аударыңыз, сондықтан геометриядағы нақты есепті шешкен кезде көрнекі түрде ауыстыру оңайырақ болады. дұрыс орындарформулалар дұрыс мәндер.

• Үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың биіктігі мен осы биіктік түсірілген жағының ұзындығының көбейтіндісінің жартысы(Формула 1). Бұл формуланың дұрыстығын логикалық тұрғыдан түсінуге болады. Негізге түсірілген биіктік ерікті үшбұрышты екі тікбұрыштыға бөледі. Егер олардың әрқайсысын b және h өлшемдері бар тіктөртбұрышқа аяқтасақ, онда бұл үшбұрыштардың ауданы тіктөртбұрыштың дәл жартысына тең болады (Spr = bh)
• Үшбұрыштың ауданы оның екі қабырғасының жартысы мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісі(Формула 2) (төменде осы формуланы пайдаланып есепті шешудің мысалын қараңыз). Бұрынғысынан өзгеше болып көрінгенімен, оны оңай өзгертуге болады. Егер биіктікті В бұрышынан b қабырғасына түсірсек, тікбұрышты үшбұрыштың синусының қасиеттеріне сәйкес а қабырғасы мен γ бұрышының синусының көбейтіндісі сызылған үшбұрыштың биіктігіне тең болады. біз, ол бізге алдыңғы формуланы береді
• Ерікті үшбұрыштың ауданын табуға болады арқылы жұмысбарлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына іштей сызылған шеңбердің радиусының жартысы(Формула 3), басқаша айтқанда, үшбұрыштың жарты периметрін сызылған шеңбердің радиусына көбейту керек (бұл жолмен есте сақтау оңайырақ)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның барлық қабырғаларының көбейтіндісін айналасындағы шеңбердің 4 радиусына бөлу арқылы табуға болады (Формула 4)
• Формула 5 - үшбұрыштың ауданын оның қабырғаларының ұзындығы мен жартылай периметрі бойынша табу (барлық қабырғаларының қосындысының жартысы)
• Герон формуласы(6) жартылай периметр түсінігін қолданбай, тек жақтарының ұзындықтары арқылы бірдей формуланың көрінісі.
• Ерікті үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың қабырғасының квадраты мен осы қабырғаға іргелес бұрыштардың синусы осы қабырғаға қарама-қарсы бұрыштың қос синусына бөлінген көбейтіндісіне тең (Формула 7)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның айналасында сызылған шеңбердің екі квадратының және оның әрбір бұрышының синусының көбейтіндісі ретінде табуға болады. (Формула 8)
• Егер бір қабырғасының ұзындығы және оған іргелес жатқан екі бұрыштың шамасы белгілі болса, онда үшбұрыштың ауданын осы қабырғасының квадраты ретінде олардың котангенстерінің қос қосындысына бөлу арқылы табуға болады. бұрыштар (Формула 9)
• Егер үшбұрыштың әрбір биіктігінің ұзындығы белгілі болса (Формула 10), онда мұндай үшбұрыштың ауданы Герон формуласы бойынша осы биіктіктердің ұзындықтарына кері пропорционал болады.
• Формула 11 есептеуге мүмкіндік береді үшбұрыштың төбелерінің координаталарына сәйкес ауданы, олар шыңдардың әрқайсысы үшін (x;y) мәндері ретінде берілген. Алынған мәнді модуль бойынша қабылдау керек екенін ескеріңіз, өйткені жеке (немесе тіпті барлық) шыңдардың координаттары теріс мәндер аймағында болуы мүмкін.

Ескерту. Төменде үшбұрыштың ауданын табу үшін геометрия есептерін шешу мысалдары берілген. Егер сізге геометриядағы мәселені шешу керек болса, оған ұқсас мұнда жоқ - бұл туралы форумда жазыңыз. Шешімдерде таңбаның орнына « Шаршы түбір" sqrt() функциясын қолдануға болады, онда sqrt квадрат түбір белгісі болып табылады, ал радикалды өрнек жақшада көрсетілген..Кейде символды қарапайым радикалды өрнектер үшін пайдалануға болады √

Тапсырма. Берілген екі қабырғаның ауданын және олардың арасындағы бұрышты табыңыз

Үшбұрыштың қабырғалары 5 және 6 см.Олардың арасындағы бұрыш 60 градус. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Бұл мәселені шешу үшін біз сабақтың теориялық бөлігінің нөмірі екінші формуласын қолданамыз.
Үшбұрыштың ауданын екі қабырғасының ұзындығы мен олардың арасындағы бұрыштың синусы арқылы табуға болады және оған тең болады
S=1/2 ab sin γ

Шешім үшін бізде барлық қажетті деректер болғандықтан (формула бойынша), біз тек мәселенің мәлімдемесіндегі мәндерді формулаға ауыстыра аламыз:
S=1/2*5*6*sin60

Мәндер кестесінде тригонометриялық функцияларөрнектегі синустың 60 градус мәнін тауып, орнына қойыңыз. Ол үштен екі түбірге тең болады.
S = 15 √3 / 2

Жауап: 7,5 √3 (мұғалімнің талабына байланысты 15 √3/2 қалдыруға болатын шығар)

Тапсырма. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңыз

Қабырғасы 3 см тең бүйірлі үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Үшбұрыштың ауданын Герон формуласы арқылы табуға болады:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c болғандықтан, теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы үшін формула келесідей болады:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Жауап: 9 √3 / 4.

Тапсырма. Бүйірлердің ұзындығын өзгерту кезінде аумақты өзгерту

Қабырғаларын төрт есе арттырса, үшбұрыштың ауданы неше есе артады?

Шешім.

Үшбұрыштың қабырғаларының өлшемдері бізге белгісіз болғандықтан, есепті шешу үшін қабырғаларының ұзындықтары сәйкесінше a, b, c ерікті сандарына тең деп есептейміз. Содан кейін мәселенің сұрағына жауап беру үшін біз осы үшбұрыштың ауданын табамыз, содан кейін қабырғалары төрт есе үлкен үшбұрыштың ауданын табамыз. Осы үшбұрыштардың аудандарының қатынасы бізге есептің жауабын береді.

Әрі қарай, мәселені шешудің қадамдары бойынша мәтіндік түсініктеме береміз. Дегенмен, ең соңында дәл сол шешім оқылатын түрде беріледі графикалық нысаны. Қалағандар шешімді дереу тастай алады.

Шешу үшін біз Герон формуласын қолданамыз (жоғарыдан сабақтың теориялық бөлігінде қараңыз). Бұл келесідей көрінеді:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бірінші жолын қараңыз)

Ерікті үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары a, b, c айнымалылары арқылы беріледі.
Егер қабырғалар 4 есе ұлғайса, онда жаңа c үшбұрышының ауданы:

S 2 = 1/4 шаршы((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(төмендегі суреттегі екінші жолды қараңыз)

Көріп отырғаныңыздай, 4 жалпы көбейткіш болып табылады, оны барлық төрт өрнектен жақшадан шығаруға болады жалпы ережелерматематика.
Содан кейін

S 2 = 1/4 шаршы(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - суреттің үшінші жолында
S 2 = 1/4 шаршы(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - төртінші жол

256 санынан квадрат түбір тамаша шығарылған, сондықтан оны түбірдің астынан шығарамыз
S 2 = 16 * 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бесінші жолын қараңыз)

Есепте қойылған сұраққа жауап беру үшін алынған үшбұрыштың ауданын түпнұсқаның ауданына бөлу жеткілікті.
Өрнектерді бір-біріне бөліп, алынған бөлшекті азайту арқылы ауданның қатынасын анықтаймыз.

Үшбұрыш – үш қабырғасы мен үш төбесінен тұратын ең қарапайым геометриялық фигура. Қарапайымдылығының арқасында үшбұрыш ежелден әртүрлі өлшемдер үшін қолданылған және бүгінгі күні бұл фигура практикалық және күнделікті мәселелерді шешу үшін пайдалы болуы мүмкін.

Үшбұрыштың мүмкіндіктері

Бұл фигура ежелден бері есептеулер үшін қолданылған, мысалы, геодезистер мен астрономдар аудандар мен қашықтықтарды есептеу үшін үшбұрыштардың қасиеттерімен жұмыс істейді. Бұл фигураның ауданы арқылы кез келген n-бұрыштың ауданын өрнектеу оңай және бұл сипатты ежелгі ғалымдар көпбұрыштардың аудандары үшін формулаларды алу үшін пайдаланған. Толық уақыт жұмысыүшбұрыштармен, әсіресе тікбұрышты үшбұрышпен, математиканың бүкіл бөлімі - тригонометрия үшін негіз болды.

үшбұрыш геометриясы

Қасиеттер геометриялық фигураежелгі заманнан бері зерттеліп келеді: үшбұрыш туралы ең алғашқы мәліметтер 4000 жыл бұрынғы мысырлық папирустардан табылған. Содан кейін фигура зерттелді Ежелгі Грецияал үшбұрыштың геометриясына ең үлкен үлес қосқан Евклид, Пифагор және Герон. Үшбұрышты зерттеу ешқашан тоқтаған жоқ, 18 ғасырда Леонгард Эйлер фигураның ортоцентрі мен Эйлер шеңбері ұғымын енгізді. 19-20 ғасырлар тоғысында үшбұрыш туралы бәрі белгілі болып көрінгенде, Фрэнк Морли бұрыштың трисектрисалары туралы теореманы тұжырымдады, ал Вацлав Сиерпински фракталдық үшбұрышты ұсынды.

Бізге таныс жалпақ үшбұрыштардың бірнеше түрі бар мектеп курсыгеометриялар:

• өткір бұрышты - фигураның барлық бұрыштары өткір;
• доғал - фигурада біреуі бар доғал бұрыш(90 градустан жоғары);
• тікбұрышты - фигура 90 градусқа тең бір тік бұрышты қамтиды;
• тең қабырғалы – екі қабырғасы тең үшбұрыш;
• тең бүйірлі – барлық қабырғалары тең үшбұрыш.
• IN шын өмірүшбұрыштардың барлық түрлері бар және кейбір жағдайларда геометриялық фигураның ауданын есептеу қажет болуы мүмкін.

Үшбұрыштың ауданы

Аудан - фигура жазықтықтың қанша бөлігін шектейтінін бағалау. Үшбұрыштың ауданын алты жолмен табуға болады: қабырғалары, биіктігі, бұрыштары, сызылған немесе шектелген шеңбердің радиусы, сондай-ақ Герон формуласы немесе жазықтықты шектейтін сызықтар бойынша қос интегралды есептеу. Үшбұрыштың ауданын есептеудің ең қарапайым формуласы:

мұндағы a – үшбұрыштың қабырғасы, h – биіктігі.

Бірақ іс жүзінде бізге геометриялық фигураның биіктігін табу әрқашан қолайлы бола бермейді. Біздің калькулятордың алгоритмі мынаны біле отырып, ауданды есептеуге мүмкіндік береді:

• үш жағы;
• екі жағы және олардың арасындағы бұрыш;
• бір жағы және екі бұрышы.

Ауданды үш жағы бойынша анықтау үшін Герон формуласын қолданамыз:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

мұндағы p – үшбұрыштың жарты периметрі.

Екі жақтағы және бұрыштағы ауданды есептеу классикалық формула бойынша жүргізіледі:

S = a × b × sin(альфа),

мұндағы альфа – а және b қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Бір жағы мен екі бұрышы арқылы ауданды анықтау үшін мына қатынасты қолданамыз:

a / sin(альфа) = b / sin(бета) = c / sin(гамма)

Қарапайым пропорцияны пайдалана отырып, біз екінші жақтың ұзындығын анықтаймыз, содан кейін S = a × b × sin (альфа) формуласы арқылы ауданды есептейміз. Бұл алгоритм толығымен автоматтандырылған және тек берілген айнымалыларды енгізіп, нәтиже алу керек. Бір-екі мысалды қарастырайық.

Өмірден алынған мысалдар

тротуар тақталары

Еденді үшбұрышты плиткамен төсегіңіз келеді делік және оның мөлшерін анықтаңыз қажетті материал, сіз бір плитканың ауданын және еденнің ауданын білуіңіз керек. Өлшемдері a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см болатын тақтайшаны пайдаланып беттің 6 шаршы метрін өңдеу керек делік. Әлбетте, калькулятор үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын пайдаланады және болады. нәтиже беріңіз:

Осылайша, бір плитка элементінің ауданы 0,021 болады шаршы метр, ал еденді әдемілеу үшін сізге 6/0,021 = 285 үшбұрыш қажет. 20, 21 және 29 сандары қанағаттандыратын Пифагор үштік сандарын құрайды. Бұл дұрыс, біздің калькулятор да үшбұрыштың барлық бұрыштарын есептеді, ал гамма бұрышы дәл 90 градус.

мектеп тапсырмасы

Мектеп мәселесінде бүйір жағы a \u003d 5 см, ал альфа және бета бұрыштары сәйкесінше 30 және 50 градус екенін біле отырып, үшбұрыштың ауданын табу керек. Бұл мәселені қолмен шешу үшін алдымен қабырғалар мен синустардың қатынасының пропорциясын пайдаланып, b қабырғасының мәнін табамыз. қарама-қарсы бұрыштар, содан кейін аудан S = a × b × sin(alfa) қарапайым формуласы арқылы анықталды. Уақытты үнемдейік, деректерді калькулятор пішініне енгізіп, лезде жауап алайық

Калькуляторды пайдаланған кезде бұрыштар мен жақтарды дұрыс көрсету маңызды, әйтпесе нәтиже дұрыс емес болады.

Қорытынды

Үшбұрыш – өмірде де, дерексіз есептеулерде де кездесетін ерекше фигура. Кез келген түрдегі үшбұрыштардың ауданын табу үшін онлайн калькуляторды пайдаланыңыз.

Үшбұрыш - белгілі фигура. Және бұл оның формаларының алуан түрлілігіне қарамастан. Тік бұрышты, тең қабырғалы, сүйір, тең қабырғалы, доғал. Олардың әрқайсысы біршама ерекшеленеді. Бірақ кез келгені үшін үшбұрыштың ауданын білу қажет.

Бүйірлерінің ұзындығын немесе биіктіктерін пайдаланатын барлық үшбұрыштар үшін жалпы формулалар

Оларда қабылданған белгілер: жақтары – а, б, в; a, n in, n s бойынша сәйкес жақтардағы биіктіктер.

1. Үшбұрыштың ауданы ½, қабырғасы мен оған түсірілген биіктігінің көбейтіндісі ретінде есептеледі. S = ½ * a * n a. Сол сияқты, қалған екі жақтың формулаларын жазу керек.

2. Жартылай периметрі пайда болатын Герон формуласы (толық периметрден айырмашылығы оны кіші p әрпімен белгілеу әдетке айналған). Жартылай периметрді келесідей есептеу керек: барлық жақтарын қосып, оларды 2-ге бөліңіз. Жартылай периметр формуласы: p \u003d (a + b + c) / 2. Содан кейін \ ауданы үшін теңдік u200b\u200b фигура келесідей: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Егер сіз жартылай периметрді пайдаланғыңыз келмесе, онда мұндай формула пайдалы болады, онда тек жақтарының ұзындығы бар: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Бұл алдыңғыға қарағанда біршама ұзағырақ, бірақ жартылай периметрді қалай табуға болатынын ұмытып қалсаңыз, бұл көмектеседі.

Үшбұрыштың бұрыштары көрінетін жалпы формулалар

Формулаларды оқу үшін қажетті белгілер: α, β, γ - бұрыштар. Олар сәйкесінше a, b, c қабырғаларына қарама-қарсы жатады.

1.Оған сәйкес екі қабырғаның жартысы мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісі үшбұрыштың ауданына тең. Яғни: S = ½ a * b * sin γ. Қалған екі жағдайдың формулалары ұқсас түрде жазылуы керек.

2. Үшбұрыштың ауданын бір қабырғасы мен үш белгілі бұрышынан есептеуге болады. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Біреуі бар басқа формула бар белгілі партияжәне көршілес екі бұрыш. Ол келесідей көрінеді: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Соңғы екі формула ең қарапайым емес. Оларды есте сақтау өте қиын.

Іштей сызылған немесе шектелген шеңберлердің радиустары белгілі болған жағдайдың жалпы формулалары

Қосымша белгілеулер: r, R — радиустар. Біріншісі сызылған шеңбердің радиусы үшін қолданылады. Екіншісі сипатталғанға арналған.

1. Үшбұрыштың ауданы есептелетін бірінші формула жартылай периметрге қатысты. S = r * r. Басқа жолмен оны келесідей жазуға болады: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Екінші жағдайда, үшбұрыштың барлық қабырғаларын көбейтіп, оларды шектелген шеңбердің төрттік радиусына бөлу керек. Сөзбе-сөз айтқанда, ол келесідей көрінеді: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Үшінші жағдай тараптарды білмей орындауға мүмкіндік береді, бірақ сізге барлық үш бұрыштың мәндері қажет. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Ерекше жағдай: тікбұрышты үшбұрыш

Бұл ең қарапайым жағдай, өйткені екі аяқтың ұзындығы ғана қажет. Олар латынның a және b әріптерімен белгіленеді. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы оған қосылған тіктөртбұрыштың жартысына тең.

Математикалық түрде ол келесідей көрінеді: S = ½ a * b. Ол ең оңай есте қалады. Тіктөртбұрыштың ауданы формуласына ұқсайтындықтан, жартысын білдіретін бөлшек ғана пайда болады.

Ерекше жағдай: тең қабырғалы үшбұрыш

Оның екі жағы тең болғандықтан, оның ауданына арналған кейбір формулалар біршама жеңілдетілген көрінеді. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептейтін Герон формуласы келесі пішінді алады:

S = ½ in √((a + ½ дюйм)*(a - ½ дюйм)).

Егер сіз оны түрлендірсеңіз, ол қысқарады. Бұл жағдайда тең қабырғалы үшбұрыш үшін Герон формуласы былай жазылады:

S = ¼ в √(4 * a 2 - b 2).

Егер қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, аумақ формуласы еркін үшбұрышқа қарағанда біршама қарапайым болып көрінеді. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Ерекше жағдай: тең қабырғалы үшбұрыш

Әдетте, ол туралы мәселелерде жағы белгілі немесе қандай да бір жолмен танылуы мүмкін. Онда мұндай үшбұрыштың ауданын табу формуласы келесідей:

S = (a 2 √3) / 4.

Допты қағазда үшбұрыш бейнеленген болса ауданды табуға арналған тапсырмалар

Ең қарапайым жағдай - тік бұрышты үшбұрышты оның аяқтары қағаздың сызықтарымен сәйкес келуі үшін сызу. Содан кейін сіз жай ғана аяққа сәйкес келетін ұяшықтардың санын санауыңыз керек. Содан кейін оларды көбейтіп, екіге бөліңіз.

Үшбұрыш сүйір немесе доғал болса, оны тіктөртбұрышқа салу керек. Сонда алынған суретте 3 үшбұрыш болады. Біреуі тапсырмада берілген. Ал қалған екеуі көмекші және төртбұрышты. Соңғы екеуінің аудандары жоғарыда сипатталған әдіспен анықталуы керек. Содан кейін тіктөртбұрыштың ауданын есептеп, одан көмекші үшін есептелгендерді алып тастаңыз. Үшбұрыштың ауданы анықталады.

Үшбұрыштың қабырғаларының ешқайсысы қағаздың сызықтарымен сәйкес келмейтін жағдай әлдеқайда қиын. Содан кейін оны тіктөртбұрышқа бастапқы фигураның төбелері оның бүйірлерінде болатындай етіп жазу керек. Бұл жағдайда үш көмекші тікбұрышты үшбұрыш болады.

Герон формуласы бойынша есептің мысалы

Шарт. Кейбір үшбұрыштың қабырғалары болады. Олар 3, 5 және 6 см-ге тең.Оның ауданын білу керек.

Енді сіз жоғарыдағы формуланы пайдаланып үшбұрыштың ауданын есептей аласыз. Квадрат түбірдің астында төрт санның көбейтіндісі: 7, 4, 2 және 1. Яғни ауданы √ (4 * 14) = 2 √ (14) болады.

Егер сізге дәлдік қажет болмаса, онда 14-тің квадрат түбірін алуға болады. Ол 3,74. Сонда аудан 7,48-ге тең болады.

Жауап. S \u003d 2 √14 см 2 немесе 7,48 см 2.

Тікбұрышты үшбұрышқа есептің мысалы

Шарт. Тік бұрышты үшбұрыштың бір катеті екіншісінен 31 см ұзын.Үшбұрыштың ауданы 180 см 2 болса, олардың ұзындығын табу керек.
Шешім. Екі теңдеу жүйесін шешу керек. Біріншісі аймаққа қатысты. Екіншісі - есепте берілген аяқтардың қатынасымен.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Біріншіден, бірінші теңдеуде «a» мәнін ауыстыру керек. Көрсетілгендей: 180 \u003d ½ (+ 31) * дюйм. Оның бір ғана белгісіз мөлшері бар, сондықтан оны шешу оңай. Жақшаларды ашқаннан кейін аламыз квадрат теңдеу: in 2 + 31 in - 360 = 0. Ол "in" үшін екі мән береді: 9 және - 40. Екінші сан жауап ретінде жарамайды, өйткені үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы теріс болуы мүмкін емес. мән.

Екінші қатарды есептеу қалды: алынған санға 31-ді қосыңыз.40 шығады.Бұл есепте ізделетін шамалар.

Жауап. Үшбұрыштың катеттері 9 және 40 см.

Үшбұрыштың ауданы, қабырғасы және бұрышы арқылы қабырғасын табу тапсырмасы

Шарт. Кейбір үшбұрыштың ауданы 60 см2. Екінші жағы 15 см, ал олардың арасындағы бұрыш 30º болса, оның бір жағын есептеу керек.

Шешім. Қабылданған белгілеулердің негізінде қалаған жағы «a», белгілі «b», берілген бұрыш «γ». Содан кейін аудан формуласын келесідей қайта жазуға болады:

60 \u003d ½ a * 15 * күнә 30º. Мұндағы 30 градустың синусы 0,5-ке тең.

Түрлендірулерден кейін «a» 60 / (0,5 * 0,5 * 15) тең болады. Яғни 16.

Жауап. Қалаған жағы 16 см.

Тікбұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шаршыға есеп

Шарт. Қабырғасы 24 см шаршының төбесі үшбұрыштың тік бұрышымен сәйкес келеді. Қалған екеуі аяқтың үстіне жатады. Үшіншісі гипотенузаға жатады. Бір катетінің ұзындығы 42 см.Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы неге тең?

Шешім. Екеуін қарастырыңыз тікбұрышты үшбұрыш. Біріншісі тапсырмада көрсетілген. Екіншісі негізделген әйгілі аяқтүпнұсқа үшбұрыш. Олар ұқсас, өйткені олардың ортақ бұрышы бар және параллель түзулер арқылы құрылған.

Сонда олардың аяқтарының қатынасы тең болады. Кіші үшбұрыштың катеттері 24 см (шаршы жағы) және 18 см (берілген катет 42 см минус шаршының қабырғасы 24 см). Үлкен үшбұрыштың сәйкес катеттері 42 см және х см.Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін дәл осы «x» қажет.

18/42 \u003d 24 / x, яғни x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (см).

Сонда аудан екіге бөлінген 56 мен 42 көбейтіндісіне тең, яғни 1176 см 2.

Жауап. Қажетті аумақ - 1176 см 2.

Қарама-қарсы шыңнан) және алынған өнімді екіге бөліңіз. Пішінде ол келесідей көрінеді:

S = ½ * a * сағ,

Қайда:
S - үшбұрыштың ауданы,
a - оның қабырғасының ұзындығы,
h – осы жағына түсірілген биіктік.

Бүйірлік ұзындығы мен биіктігі бірдей бірліктерде көрсетілуі керек. Бұл жағдайда үшбұрыштың ауданы сәйкес «» бірліктерде шығады.

Мысал.
Ұзындығы 20 см масштабты үшбұрыштың қабырғаларының бірінде ұзындығы 10 см қарама-қарсы төбесінен перпендикуляр түсірілген.
Үшбұрыштың ауданы қажет.
Шешім.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Масштабты үшбұрыштың кез келген екі қабырғасының ұзындығын және олардың арасындағы бұрышты білсеңіз, формуланы пайдаланыңыз:

S = ½ * a * b * sinγ,

мұндағы: a, b - екі ерікті жақтардың ұзындықтары, ал γ - олардың арасындағы бұрыш.

Тәжірибеде, мысалы, жерді өлшегенде, жоғарыда аталған формулаларды қолдану кейде қиынға соғады, өйткені ол қосымша құрылыстар мен бұрыштарды өлшеуді қажет етеді.

Егер сіз масштабты үшбұрыштың барлық үш қабырғасының ұзындықтарын білсеңіз, онда Герон формуласын қолданыңыз:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары,
р – жартылай периметр: p = (a+b+c)/2.

Егер барлық қабырғалардың ұзындықтарына қосымша үшбұрышқа сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, онда келесі ықшам формуланы қолданыңыз:

мұндағы: r – іштей сызылған шеңбердің радиусы (p – жартылай периметр).

Шектелген шеңбердің масштабты үшбұрышының ауданын және оның қабырғаларының ұзындығын есептеу үшін мына формуланы пайдаланыңыз:

мұндағы: R – шектелген шеңбердің радиусы.

Егер үшбұрыштың бір қабырғасы мен үш бұрышының ұзындығы белгілі болса (негізінде екеуі жеткілікті - үшіншісінің мәні үшбұрыштың үш бұрышының қосындысының теңдігінен есептеледі - 180º), онда пайдаланыңыз формула:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

мұндағы α – а қабырғасына қарама-қарсы бұрыштың мәні;
β, γ - үшбұрыштың қалған екі бұрышының мәндері.

Әртүрлі элементтерді, соның ішінде аумақты табу қажеттілігі үшбұрыш, біздің дәуірімізге дейін көптеген ғасырлар бұрын ежелгі Грецияның білімді астрономдарының арасында пайда болды. Шаршы үшбұрышесептеуге болады әртүрлі жолдарәртүрлі формулаларды қолдану. Есептеу әдісі қандай элементтерге байланысты үшбұрышбелгілі.

Нұсқау

Шарт бойынша біз екі жақтың b, c және олар жасаған бұрыштың мәндерін білсек, онда аудан үшбұрыш ABC мына формула бойынша табылады:
S = (bcsin?)/2.

Шарт бойынша біз екі жақтың мәндерін білсек a, b және олар құрмаған бұрыш?, онда аудан үшбұрыш ABC келесі түрде табылады:
Бұрышты табу?, күнә? = bsin?/a, әрі қарай үстелде бұрыштың өзін анықтаймыз.
Бұрыш табу керек пе? = 180°-?-?.
Ауданның өзін тап S = (абсин?)/2.

Егер шарттан біз тек үш жақтың мәндерін білсек үшбұрыш a, b және c, содан кейін аудан үшбұрыш ABC мына формула бойынша табылады:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , мұндағы p - жарты периметр p = (a+b+c)/2

Егер есептің шартынан біз биіктігін білеміз үшбұрыш h және осы биіктік төмендетілген жағы, содан кейін аудан үшбұрыш ABC формуласы бойынша:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Егер біз жақтардың құндылықтарын білсек үшбұрыш a, b, c және берілгенге жақын шектелген радиусы үшбұрыш R, содан кейін оның ауданы үшбұрыш ABC мына формуламен анықталады:
S = abc/4R.
Егер үш жағы a, b, c және іші сызылғанның радиусы белгілі болса, онда аудан үшбұрыш ABC мына формула бойынша табылады:
S = pr, мұндағы p - жарты периметр, p = (a+b+c)/2.

Егер АВС тең қабырғалы болса, онда аудан мына формула бойынша табылады:
S = (a^2v3)/4.
Егер ABC үшбұрышы- тең қабырғалы болса, онда аудан мына формуламен анықталады:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, мұндағы c үшбұрыш.
Егер АВС үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш болса, онда аудан мына формуламен анықталады:
S = ab/2, мұндағы a және b - аяқтар үшбұрыш.
Егер ABC үшбұрышы тікбұрышты тең қабырғалы үшбұрыш болса, онда аудан мына формуламен анықталады:
S = c^2/4 = a^2/2, мұндағы c - гипотенуза үшбұрыш, a=b - аяқ.

Қатысты бейнелер

Дереккөздер:

• үшбұрыштың ауданын қалай өлшеуге болады

3-кеңес: Егер сіз бұрышты білсеңіз, үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады

Ауданды табу үшін тек бір параметрді (бұрыштың мәнін) білу жеткіліксіз тре шаршы . Егер қандай да бір қосымша өлшемдер болса, онда ауданды анықтау үшін белгілі айнымалылардың бірі ретінде бұрыш мәні де қолданылатын формулалардың бірін таңдауға болады. Ең жиі қолданылатын формулалардың кейбірі төменде келтірілген.

Нұсқау

Егер екі жақтың түзетін бұрышына (γ) қосымша болса тре шаршы , бұл жақтарының (А және В) ұзындықтары да белгілі, сонда шаршы(S) сандарды бүйірлік ұзындықтардың жартысы мен осы белгілі бұрыштың синусының көбейтіндісі ретінде анықтауға болады: S=½×A×B×sin(γ).