Бастапқы деңгей

Медиана. Көрнекі нұсқаулық (2019)

1. Медиана дегеніміз не?

Бұл өте оңай!

Үшбұрышты алыңыз

Ортасын оның бір жағында белгілеңіз.

Және қарама-қарсы жоғарғы жағына қосылыңыз!

Алынған сызық және медиана болып табылады.

2. Медиананың қасиеттері.

Не жақсы қасиеттермедиана бар ма?

1) Елестетіп көрейік, үшбұрыш - тікбұрышты.Ондайлар бар, иә?

Неге??? Оң бұрышқа не жатады?

Мұқият қарайық. Тек үшбұрышта емес, ... тіктөртбұрышта. Сен неге сұрайсың?

Бірақ сіз Жерде жүресіз - оның дөңгелек екенін көресіз бе? Жоқ, әрине, ол үшін ғарыштан Жерге қарау керек. Сонымен, біз «кеңістіктен» тік бұрышты үшбұрышымызға қараймыз.

Диагональ сызайық:

Тіктөртбұрыштың диагональдары есіңізде ме? теңЖәне бөлісуқиылысу нүктесі жартысында? (Есіңізде болмаса, тақырыпты қараңыз)

Демек, екінші диагоналдың жартысы біздікі медиана. Диагональдары тең, олардың жартысы да, әрине. Міне, жеттік

Біз бұл мәлімдемені дәлелдемейміз, бірақ оған сену үшін өзіңіз ойлап көріңіз: басқа параллелограмм бар ма? тең диагональдартіктөртбұрыштан басқа? Жоқ әрине! Бұл медиана тек тікбұрышты үшбұрышта қабырғаның жартысына тең болуы мүмкін дегенді білдіреді.

Бұл сипат мәселелерді шешуге қалай көмектесетінін көрейік.

Мұнда, тапсырма:
Бүйірлерге; . Жоғарыдан ұсталды медиана. Егер тап.

Ура! Сіз Пифагор теоремасын қолдана аласыз! Қараңызшы, бұл қаншалықты керемет? Егер біз мұны білмесек медианажарты жағына тең

Пифагор теоремасын қолданамыз:

2) Ал енді бір емес, тұтас болсын үш медиана! Олар өздерін қалай ұстайды?

Өте есте сақта маңызды факт:

Қиын ба? Суретке қара:

Медиандар және бір нүктеде қиылысады.

Және .... (біз оны -де дәлелдейміз, бірақ әзірге Есте сақта!):

• - екі есе көп;
• - екі есе көп;
• - екі есе.

Әлі шаршамадың ба? Келесі мысалға күш жеткілікті ме? Енді біз айтқанның бәрін қолданамыз!

Тапсырма: Үшбұрышта бір нүктеде қиылысатын медианалар мен сызылған. Егер тап

Пифагор теоремасы арқылы табамыз:

Ал енді медианалардың қиылысу нүктесі туралы білімді қолданамыз.

Оны белгілейік. кесу, а. Егер бәрі анық болмаса - суретке қараңыз.

Біз мұны әлдеқашан таптық.

білдіреді, ; .

Есепте біз сегмент туралы сұраймыз.

біздің белгілеуімізде.

Жауап: .

Ұнады ма? Енді медиана туралы білімді өзіңіз қолданып көріңіз!

МЕДИАНА. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

1. Медиана қабырғаны екіге бөледі.

Болды? Немесе ол бір нәрсені екіге бөлетін шығар? Бұл екенін елестетіп көріңіз!

2. Теорема: Медиана ауданды екіге бөледі.

Неліктен? Ал ең көп еске түсірейік қарапайым пішінүшбұрыштың ауданы.

Және бұл формуланы екі рет қолданамыз!

Қараңызшы, медиана екі үшбұрышқа бөлінген: және. Бірақ! Олардың биіктігі бірдей! Тек осы биіктікте бүйірге түседі, ал - жағының жалғасы үшін. Бір қызығы, бұл да осылай болады: үшбұрыштар әртүрлі, бірақ биіктігі бірдей. Сонымен, біз формуланы екі рет қолданамыз.

Бұл нені білдіреді? Суретке қара. Шын мәнінде, бұл теоремада екі мәлімдеме бар. Сіз оны байқадыңыз ба?

Бірінші мәлімдеме:медианалар бір нүктеде қиылысады.

Екінші мәлімдеме:медиананың қиылысу нүктесі жоғарыдан санау арқылы қатынасқа бөлінеді.

Осы теореманың сырын ашуға тырысайық:

Нүктелерді қосамыз және. Не болды?

Ал енді тағы бір ортаңғы сызық сызайық: ортаны белгілеу – нүкте қою, ортаны белгілеу – нүкте қою.

Енді - ортаңғы сызық. Яғни

1. параллель;

Кездейсоқтықтарды байқадыңыз ба? Екеуі де параллель. Және, және.

Бұдан не шығады?

1. параллель;

Әрине, тек параллелограмм!

Сонымен - параллелограмм. Енді не? Ал параллелограмның қасиеттерін еске түсірейік. Мысалы, параллелограмның диагональдары туралы не білесіз? Дұрыс, олар қиылысу нүктесін екіге бөледі.

Суретке қайта қарайық.

Яғни - медиана нүктелермен және үш тең ​​бөлікке бөлінеді. Және дәл солай.

Бұл екі медиананың дәл қатынаста нүктемен бөлінгенін білдіреді, яғни және.

Үшінші медианамен не болады? Басына оралайық. Құдай-ау?! Жоқ, енді бәрі әлдеқайда қысқа болады. Медиананы түсіріп, және медианаларын салайық.

Енді біз медианалар мен үшін дәл осындай дәлелдемелерді орындадық деп елестетіңіз. Сонда ше?

Медиана медиананы дәл солай бөледі екен: қатынас бойынша, нүктеден санау.

Бірақ бір нүктеден бастап санағанда, оны қатынасқа бөлетін кесіндіде қанша нүкте болуы мүмкін?

Әрине, бір ғана! Ал біз оны бұрыннан көрдік - бұл мәселе.

Соңында не болды?

Медиана дәл өтті! Оның үш медианасы да өтті. Және бәрі жоғарыдан санап, қатынасқа бөлінді.

Сонымен біз теореманы шештік (дәлелдедік). Жауап үшбұрыштың ішінде отырған параллелограмм болып шықты.

4. Медиананың ұзындығының формуласы

Егер қабырғалары белгілі болса, медиананың ұзындығын қалай табуға болады? Сізге қажет екеніне сенімдісіз бе? ашайық қорқынышты құпия: Бұл формула өте пайдалы емес. Бірақ бәрібір, біз оны жазамыз, бірақ біз оны дәлелдей алмаймыз (егер сіз дәлелдеуге қызығушылық танытсаңыз, келесі деңгейді қараңыз).

Неліктен бұл орын алғанын қалай түсінуге болады?

Мұқият қарайық. Тек үшбұрышта емес, тіктөртбұрышта.

Ендеше тіктөртбұрышты қарастырайық.

Біздің үшбұрыш осы тіктөртбұрыштың дәл жартысы екенін байқадыңыз ба?

Диагональ сызайық

Тіктөртбұрыштың диагональдары тең және қиылысу нүктесін екіге бөлетіні есіңізде ме? (Есіңізде болмаса, тақырыпты қараңыз)
Бірақ диагональдардың бірі - біздің гипотенузамыз! Сонымен, диагональдардың қиылысу нүктесі гипотенузаның ортасы болып табылады. Оны біз шақырдық.

Сонымен, екінші диагоналдың жартысы біздің медиана болып табылады. Диагональдары тең, олардың жартысы да, әрине. Міне, жеттік

Оның үстіне, бұл тек тікбұрышты үшбұрышта болады!

Біз бұл тұжырымды дәлелдемейміз, бірақ оған сену үшін өзіңіз ойлап көріңіз: тіктөртбұрыштан басқа диагональдары бірдей параллелограмм бар ма? Жоқ әрине! Бұл медиана тек тікбұрышты үшбұрышта қабырғаның жартысына тең болуы мүмкін дегенді білдіреді. Бұл сипат мәселелерді шешуге қалай көмектесетінін көрейік.

Міне, тапсырма:

Бүйірлерге; . Медиана жоғарыдан сызылған. Егер тап.

Ура! Сіз Пифагор теоремасын қолдана аласыз! Қараңызшы, бұл қаншалықты керемет? Егер біз медиананың жарты жағы екенін білмесек тек тікбұрышты үшбұрышта, біз бұл мәселені ешқандай жолмен шеше алмадық. Ал енді біз аламыз!

Пифагор теоремасын қолданамыз:

МЕДИАНА. НЕГІЗГІ ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

1. Медиана қабырғаны екіге бөледі.

2. Теорема: Медиана ауданды екіге бөледі

4. Медиананың ұзындығының формуласы

Кері теорема:егер медиана қабырғаның жартысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады және бұл медиана гипотенузаға тартылады.

Міне, тақырып аяқталды. Егер сіз осы жолдарды оқып жатсаңыз, сіз өте кереметсіз.

Өйткені адамдардың 5%-ы ғана бір нәрсені өз бетінше меңгере алады. Ал егер соңына дейін оқысаңыз, онда сіз 5% қатарындасыз!

Енді ең бастысы.

Сіз бұл тақырып бойынша теорияны анықтадыңыз. Және, қайталаймын, бұл ... бұл өте керемет! Сіз құрбыларыңыздың басым көпшілігінен жақсысыз.

Мәселе мынада, бұл жеткіліксіз болуы мүмкін ...

Не үшін?

Табысты болу үшін емтихан тапсыру, бюджет бойынша институтқа түсу үшін және ЕҢ БАСТЫСЫ өмір бойы.

Мен сені ештеңеге сендірмеймін, тек бір нәрсені айтамын ...

Жақсы білім алған адамдар алмағандарға қарағанда әлдеқайда көп жалақы алады. Бұл статистика.

Бірақ бұл басты нәрсе емес.

Ең бастысы, олар БАҚЫТТЫ (осындай зерттеулер бар). Мүмкін, олардың алдында әлдеқайда көп мүмкіндіктер ашылып, өмір нұрлана түскендіктен бе? Білмеймін...

Бірақ өзің ойла...

Емтиханда басқалардан жақсы болу және ақырында ... бақытты болу үшін не қажет?

ОСЫ ТАҚЫРЫП БОЙЫНША МӘСЕЛЕЛЕРДІ ШЕШІП, ҚОЛЫҢДЫ ТОЛтыр.

Емтиханда сізден теория сұралмайды.

Саған қажет болады мәселелерді уақытында шешу.

Егер сіз оларды шешпеген болсаңыз (LOTS!), сіз бір жерде ақымақ қателік жібересіз немесе оны уақытында жасай алмайсыз.

Бұл спорттағыдай - сенімді жеңіске жету үшін бірнеше рет қайталау керек.

Коллекцияны қалаған жерден табыңыз шешімдерімен міндетті түрде егжей-тегжейлі талдау және шешіңіз, шешіңіз, шешіңіз!

Сіз біздің тапсырмаларды пайдалана аласыз (қажет емес) және біз оларды міндетті түрде ұсынамыз.

Біздің тапсырмаларды орындау үшін сізге қазір оқып жатқан YouClever оқулығының қызмет ету мерзімін ұзартуға көмектесу керек.

Қалай? Екі нұсқа бар:

1. Осы мақаладағы барлық жасырын тапсырмаларға қол жеткізуді ашыңыз - 299 руб.
2. Оқулықтың барлық 99 мақаласындағы барлық жасырын тапсырмаларға қол жеткізуді ашыңыз - 999 руб.

Иә, бізде оқулықта осындай 99 мақала бар және барлық тапсырмаларға қол жеткізу және олардағы барлық жасырын мәтіндерді бірден ашуға болады.

Екінші жағдайда береміз«Әр тақырып үшін, күрделіліктің барлық деңгейлері үшін шешімдері мен жауаптары бар 6000 тапсырма» симуляторы. Кез келген тақырып бойынша есептерді шешуге қолыңызды тигізу жеткілікті.

Шын мәнінде, бұл жай ғана тренажерден әлдеқайда көп - бүкіл оқу бағдарламасы. Қажет болса, оны ТЕГІН де пайдалана аласыз.

Барлық мәтіндер мен бағдарламаларға қол жеткізу сайттың бүкіл қызмет ету мерзімі ішінде қамтамасыз етіледі.

Қорытындысында...

Тапсырмаларымыз ұнамаса, басқаларды табыңыз. Тек теориямен тоқтап қалмаңыз.

«Түсіндім» және «Мен шешуді білемін» - бұл мүлдем басқа дағдылар. Саған екеуі де керек.

Мәселелерді тауып, шешіңіз!

Медиана үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасының ортасына дейін жүргізілген кесінді, яғни оны қиылысу нүктесі арқылы екіге бөледі. Медиананың өзі шығатын қарсы жағымен қиылысатын нүктесі негіз деп аталады. Қиылысу нүктесі деп аталатын бір нүкте арқылы үшбұрыштың әрбір медианасы өтеді. Оның ұзындығының формуласын бірнеше жолмен көрсетуге болады.

Медиананың ұзындығын өрнектейтін формулалар

• Көбінесе геометрия есептерінде студенттер үшбұрыштың медианасы сияқты кесіндімен айналысады. Оның ұзындығының формуласы жақтарымен өрнектеледі:

мұндағы a, b және c қабырғалары. Сонымен қатар, c - медиана түсетін жағы. Ең қарапайым формула осылай көрінеді. Көмекші есептеулер үшін кейде үшбұрыштың медианалары қажет. Басқа формулалар да бар.

• Егер есептеу кезінде үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасында орналасқан белгілі α бұрышы белгілі болса, онда үшбұрыштың үшінші қабырғасына түсірілген медианасының ұзындығы келесідей өрнектеледі.

Негізгі қасиеттер

• Барлық медианалардың бір ортақ қиылысу нүктесі бар O және олар да оған екіден бірге қатынасында бөлінеді, егер біз жоғарыдан санасақ. Бұл нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі деп аталады.
• Медиана үшбұрышты аудандары тең басқа екіге бөледі. Мұндай үшбұрыштар тең үшбұрыштар деп аталады.
• Егер сіз барлық медианаларды салсаңыз, онда үшбұрыш 6 бірдей фигураға бөлінеді, олар да үшбұрыштар болады.
• Егер үшбұрышта үш қабырғасы тең болса, онда оның әрбір медианасы да биіктік пен биссектриса болады, яғни ол жүргізілген жағына перпендикуляр және одан шығатын бұрышты екіге бөледі.
• Тең қабырғалы үшбұрышта басқасына тең емес қабырғаға қарама-қарсы орналасқан шыңнан түсірілген медиана да биіктік пен биссектриса болады. Басқа шыңдардан түсірілген медианалар тең. Бұл да тең қабырғалылар үшін қажетті және жеткілікті шарт.
• Егер үшбұрыш негіз болса дұрыс пирамида, содан кейін берілген негізге түсірілген биіктік барлық медианалардың қиылысу нүктесіне проекцияланады.

• Тікбұрышты үшбұрышта ең ұзын жағына түсірілген медиана оның ұзындығының жартысына тең.
• Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі О болсын. Төмендегі формула кез келген М нүктесі үшін дұрыс болады.

• Тағы бір қасиет - үшбұрыштың медианасы. Оның қабырғаларының квадраттары бойынша ұзындығының квадратының формуласы төменде келтірілген.

Медиана тартылған жақтардың қасиеттері

• Егер сіз медианалардың кез келген екі қиылысу нүктесін олар түсірілген жақтарымен байланыстырсаңыз, онда алынған кесінді үшбұрыштың орта сызығы болады және оның ортақ нүктелері жоқ үшбұрыштың бір жартысы болады.
• Үшбұрыштағы биіктіктер мен медианалардың табандары, сондай-ақ үшбұрыштың төбелерін биіктіктердің қиылысу нүктесімен қосатын кесінділердің ортаңғы нүктелері бір шеңберде жатыр.

Қорытындылай келе, ең маңызды сегменттердің бірі дәл үшбұрыштың медианасы деп айту қисынды. Оның формуласын оның басқа қабырғаларының ұзындықтарын табу үшін пайдалануға болады.

Үшбұрыш – үш қабырғасы бар көпбұрыш немесе үш буыны бар тұйық сынық сызық немесе бір түзуде жатпайтын үш нүктені қосатын үш кесіндіден құралған фигура (1-суретті қараңыз).

Маңызды элементтер үшбұрыш abc

Шыңдар – A, B және C нүктелері;

Тараптар – төбелерді қосатын a = BC, b = AC және c = AB кесінділері;

бұрыштар – α , β, γ үш жұп қабырғалардан құралған. Бұрыштар көбінесе шыңдар сияқты, A, B және C әріптерімен белгіленеді.

Үшбұрыштың қабырғалары түзетін және оның ішкі бөлігінде жатқан бұрышты ішкі бұрыш, ал оған іргелес жатқан бұрыш үшбұрыштың іргелес бұрышы деп аталады (2, 534 б.).

Үшбұрыштың биіктіктері, медианалары, биссектрисалары және ортаңғы сызықтары

Үшбұрыштың негізгі элементтерінен басқа, қызықты қасиеттері бар басқа сегменттер де қарастырылады: биіктіктер, медианалар, биссектрисалар және орта сызықтар.

Биіктігі

Үшбұрыштың биіктіктеріүшбұрыштың төбелерінен қарама-қарсы қабырғаларға түсірілген перпендикулярлар.

Биіктікті құру үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

1) үшбұрыштың қабырғаларының бірін қамтитын түзу сызыңыз (егер биіктік шыңынан жүргізілсе сүйір бұрышдоғал үшбұрышта)

2) сызылған түзуге қарама-қарсы жатқан төбеден нүктеден осы түзуге кесінді сызып, онымен 90 градус бұрыш жасаймыз.

Үшбұрыштың қабырғасымен биіктіктің қиылысу нүктесі деп аталады биіктік негізі (2-суретті қараңыз).

Үшбұрыш биіктігінің қасиеттері

Тік бұрышты үшбұрышта төбесінен түсірілген биіктік тікбұрыш, оны бастапқы үшбұрышқа ұқсас екі үшбұрышқа бөледі.

Сүйір үшбұрышта оның екі биіктігі одан ұқсас үшбұрыштарды кесіп тастайды.

Егер үшбұрыш сүйір бұрышты болса, онда биіктіктердің барлық табандары үшбұрыштың қабырғаларына жатады, ал доғал үшбұрыш үшін қабырғалардың созылуына екі биіктік түседі.

Сүйір үшбұрыштағы үш биіктік бір нүктеде қиылысады және бұл нүкте деп аталады ортоцентр үшбұрыш.

Медиана

медианалар(латын тілінен mediana – «ортаңғы») – бұл үшбұрыштың төбелерін қарама-қарсы жақтардың ортаңғы нүктелерімен қосатын кесінділер (3-суретті қараңыз).

Медиананы құру үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

1) қабырғаның ортасын табыңыз;

2) үшбұрыштың қабырғасының ортасы болатын нүктені кесіндімен қарама-қарсы төбемен байланыстыр.

Үшбұрыштың медианалық қасиеттері

Медиана үшбұрышты бір ауданның екі үшбұрышына бөледі.

Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын 2:1 қатынасында жоғарыдан санап бөледі. Бұл нүкте деп аталады ауырлық орталығы үшбұрыш.

Бүкіл үшбұрыш медианалары бойынша алты бірдей үшбұрышқа бөлінген.

биссектриса

биссектрисалар(лат. bis - екі рет «және секо - кесіп тастаймын) үшбұрыштың ішінде орналасқан оның бұрыштарын екіге бөлетін түзулердің кесінділерін атайды (4-суретті қараңыз).

Биссектриса құру үшін келесі әрекеттерді орындау керек:

1) бұрыштың төбесінен шығатын және оны екі тең бөлікке (бұрыш биссектрисасына) бөлетін сәулені салу;

2) үшбұрыштың бұрышының биссектрисасының қарама-қарсы қабырғасымен қиылысу нүктесін табу;

3) үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы жағындағы қиылысу нүктесімен қосатын кесіндіні таңдау.

Үшбұрыш биссектрисасының қасиеттері

Үшбұрыштың бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасын көршілес екі қабырғасының қатынасына тең қатынаста бөледі.

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары бір нүктеде қиылысады. Бұл нүкте іштей сызылған шеңбердің центрі деп аталады.

Ішкі және сыртқы бұрыштардың биссектрисалары перпендикуляр.

Егер үшбұрыштың сыртқы бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасының жалғасын қиып өтсе, онда ADBD=ACBC болады.

Бір ішкі және екеуінің биссектрисалары сыртқы бұрыштарүшбұрыштар бір нүктеде қиылысады. Бұл нүкте осы үшбұрыштың үш шеңберінің бірінің центрі.

Үшбұрыштың екі ішкі және бір сыртқы бұрыштарының биссектрисасының табандары бір түзудің бойында жатады, егер сыртқы бұрыштың биссектрисасы үшбұрыштың қарама-қарсы қабырғасына параллель болмаса.

Егер үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының биссектрисалары қарама-қарсы қабырғаларына параллель болмаса, онда олардың табандары бір түзудің бойында жатады.

1. Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі.

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын 2:1 қатынасында жоғарыдан санап бөледі. Бұл нүкте деп аталады ауырлық орталығыүшбұрыш.

3. Бүкіл үшбұрыш медианалары бойынша алты бірдей үшбұрышқа бөлінген.

Үшбұрыш биссектрисасының қасиеттері

1. Бұрыштың биссектрисасы деп осы бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусын айтады.

2. Биссектриса ішкі бұрышүшбұрыш қарама-қарсы қабырғаны көрші қабырғаларына пропорционал кесінділерге бөледі: .

3. Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі.

Үшбұрыш биіктігінің қасиеттері

1. Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрыштың төбесінен түсірілген биіктік оны бастапқы үшбұрышқа ұқсас екі үшбұрышқа бөледі.

2. Сүйір үшбұрышта оның екі биіктігі ұқсас кесілген үшбұрыштар.

Қасиеттер ортаңғы перпендикулярларүшбұрыш

1. Кесіндіге перпендикуляр биссектрисаның әрбір нүктесі осы кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан. Керісінше тұжырым да дұрыс: кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан әрбір нүкте оған перпендикуляр биссектрисада жатыр.

2. Үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген ортаңғы перпендикулярлардың қиылысу нүктесі осы үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің центрі болады.

Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті

Үшбұрыштың орта сызығы оның бір қабырғасына параллель және сол қабырғасының жартысына тең.

үшбұрыштардың ұқсастығы

Екі үшбұрыш ұқсасегер біреуі келесі шарттаршақырды ұқсастық белгілері:

бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың екі бұрышына тең;

бір үшбұрыштың екі қабырғасы екінші үшбұрыштың екі қабырғасына пропорционал, ал осы қабырғалардың құрайтын бұрыштары тең;

Бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше екінші үшбұрыштың үш қабырғасына пропорционал.

Ұқсас үшбұрыштарда сәйкес түзулер (биіктіктер, медианалар, биссектрисалар және т.б.) пропорционал болады.

Синустар теоремасы

Косинус теоремасы

а 2= б 2+ c 2- 2б.з.б cos

Үшбұрыш ауданы формулалары

1. Ерікті үшбұрыш

a, b, c -жақтары; - қабырғалар арасындағы бұрыш аЖәне б; - жартылай периметр; R-шектелген шеңбердің радиусы; r-сызылған шеңбердің радиусы; S-шаршы; h a -дейін тартылған биіктік жағы а.

S = ah a

S = ab sin

С = пр

2. Тік бұрышты үшбұрыш

а, б-аяқтар; в-гипотенуза; hc -биіктіктен жағына қарай в.

S = ch c S = ab

3. Тең қабырғалы үшбұрыш

Төртбұрыштар

Параллелограмның қасиеттері

Қарама-қарсы жақтары тең

Қарама-қарсы бұрыштар тең

қиылысу нүктесінің диагональдары екіге бөлінеді;

бір жағына іргелес бұрыштардың қосындысы 180°;

Диагональдардың квадраттарының қосындысы барлық қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Төртбұрыш параллелограмм болады, егер:

1. Оның қарама-қарсы екі қабырғасы тең және параллель.

2. Қарама-қарсы жақтары жұпта тең.

3. Қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең.

4. Қиылысу нүктесінің диагональдары екіге бөлінеді.

Трапецияның қасиеттері

Оның орта сызығы табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең;

егер трапеция тең қабырғалы болса, онда оның диагональдары тең және табанындағы бұрыштары тең;

егер трапеция тең қабырғалы болса, онда оның айналасында шеңберді сызуға болады;

Егер табандардың қосындысы қабырғалардың қосындысына тең болса, онда оған шеңберді жазуға болады.

Тіктөртбұрыш қасиеттері

диагональдары тең.

Параллелограмм тіктөртбұрыш болады, егер:

1. Оның бір бұрышы дұрыс.

2. Оның диагональдары тең.

Ромб қасиеттері

параллелограмның барлық қасиеттерін;

Диагональдары перпендикуляр

диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.

1. Параллелограмм ромб болады, егер:

2. Оның көршілес екі қабырғасы тең.

3. Оның диагональдары перпендикуляр.

4. Диагональдардың бірі оның бұрышының биссектрисасы.

Шаршы қасиеттері

Шаршының барлық бұрыштары дұрыс

Шаршының диагональдары тең, өзара перпендикуляр, қиылысу нүктесі екіге, ал шаршының бұрыштары екіге бөлінеді.

Тіктөртбұрыш, егер оның ромбқа тән қандай да бір сипаттамасы болса, шаршы болады.

Негізгі формулалар

1. Ерікті дөңес төртбұрыш
d1,d2-диагоналдар; - олардың арасындағы бұрыш; S-шаршы.

S=d 1 г 2 күнә