W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są najprostszymi.

Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie inne równania liniowe są redukowane do najprostszych za pomocą algorytmu:

1. Otwarte nawiasy, jeśli występują;
2. Przenieś wyrażenia zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a wyrażenia bez zmiennej na drugą;
3. Umieść podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
4. Podziel otrzymane równanie przez współczynnik zmiennej $x$ .

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

1. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
2. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.

A teraz zobaczmy jak to wszystko działa na przykładzie rzeczywistych problemów.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko tymi najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie przynieś podobne
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w których jest zawarta – jest przenoszone na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, jest przenoszone na drugą stronę.

Następnie z reguły musisz przynieść podobne po każdej stronie wynikowej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik w „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać rażące błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle popełnia się błędy przy otwieraniu nawiasów lub przy liczeniu „plusów” i „minusów”.

Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od większości proste zadania.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Na początek napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
2. Wyklucz zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
3. Przedstawiamy podobne warunki.
4. Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, tak jest pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie 1

W pierwszym kroku musimy otworzyć nawiasy. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten etap. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Notatka: rozmawiamy tylko o poszczególnych składnikach. Napiszmy:

Podajemy podobne terminy po lewej i po prawej stronie, ale to już zostało tutaj zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej tę samą konstrukcję, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:

Oto kilka takich jak:

Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:

\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, po prostu stoją przed nimi różne znaki. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi już znany nam krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

obliczmy:

Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik na „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, to chciałbym powiedzieć, co następuje:

• Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
• Nawet jeśli są korzenie, zero może się między nimi dostać - nie ma w tym nic złego.

Zero to taka sama liczba jak reszta, nie powinieneś jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli dostaniesz zero, to zrobiłeś coś źle.

Kolejna cecha związana jest z rozwinięciem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zamieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć zgodnie ze standardowymi algorytmami: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, kiedy takie działania są uważane za oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie należy się jednak tego bać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową zostaną koniecznie zredukowane.

Przykład 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Teraz weźmy prywatność:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto kilka takich jak:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy:

\[\różnorodność \]

lub bez korzeni.

Przykład nr 2

Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:

Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej w prawo:

Oto kilka takich jak:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:

\[\varnic\],

lub bez korzeni.

Niuanse rozwiązania

Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.

Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je rozszerzać, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia są zakończone, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko poniżej zmienia tylko znaki. W tym samym czasie znikają same wsporniki i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, z pozoru nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i uczą się od nowa rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, w którym doszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już wykonywać tylu przekształceń za każdym razem, wszystko zapiszesz w jednej linii. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co zamierzamy teraz rozwiązać, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie 1

\[\lewo(7x+1\prawo)\lewo(3x-1\prawo)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:

Zróbmy rekolekcje:

Oto kilka takich jak:

Zróbmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się zniosły, co sprawia, że ​​​​równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]

Zróbmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe wyrazy:

A teraz ostrożnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy wyrazy z „x” w lewo, a bez – w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest wyraz większy od niego, to robimy to zgodnie z następna reguła: bierzemy pierwszy wyraz z pierwszego i mnożymy z każdym elementem z drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy z każdym elementem z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery wyrazy.

O sumie algebraicznej

Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez $1-7$ rozumiemy prosty projekt: Odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy inną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko wykonując wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do tych opisanych powyżej, po prostu nie będziesz mieć żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie obejrzeliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkiem

Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:

1. Otwarte nawiasy.
2. Oddzielne zmienne.
3. Przynieś podobne.
4. Podziel przez czynnik.

Niestety, ten wspaniały algorytm, mimo całej swojej wydajności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, mamy ułamek po lewej i po prawej stronie w obu równaniach.

Jak działać w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:

1. Pozbądź się ułamków.
2. Otwarte nawiasy.
3. Oddzielne zmienne.
4. Przynieś podobne.
5. Podziel przez czynnik.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik jest tylko liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.

Przykład 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Uwaga: wszystko jest mnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że ​​​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz otwórzmy to:

Wykonujemy sekcję zmiennej:

Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.

Przykład nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem rozwiązany.

Właściwie to wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Kluczowe ustalenia są następujące:

• Znajomość algorytmu rozwiązywania równań liniowych.
• Możliwość otwierania nawiasów.
• Nie martw się, jeśli gdzieś masz funkcje kwadratowe najprawdopodobniej w procesie dalszych przekształceń ulegną one zmniejszeniu.
• Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet tych najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, pierwiastków nie ma wcale.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie o wiele więcej ciekawych rzeczy!

I tak dalej, logiczne jest zapoznanie się z równaniami innych typów. Następne w kolejce są równania liniowe, którego celowe studiowanie rozpoczyna się na lekcjach algebry w klasie 7.

Oczywiste jest, że najpierw musisz wyjaśnić, czym jest równanie liniowe, podać definicję równania liniowego, jego współczynniki, pokazać jego ogólną postać. Następnie możesz dowiedzieć się, ile rozwiązań ma równanie liniowe w zależności od wartości współczynników i sposobu znajdowania pierwiastków. Pozwoli to przejść do rozwiązywania przykładów, a tym samym utrwalić badaną teorię. W tym artykule zrobimy to: szczegółowo omówimy wszystkie teoretyczne i praktyczne punkty dotyczące równań liniowych i ich rozwiązań.

Powiedzmy od razu, że tutaj rozważymy tylko równania liniowe z jedną zmienną, aw osobnym artykule przestudiujemy zasady rozwiązywania równania liniowe w dwóch zmiennych.

Nawigacja po stronie.

Co to jest równanie liniowe?

Definicja równania liniowego jest określona przez formę jego zapisu. Ponadto w różnych podręcznikach matematyki i algebry sformułowania definicji równań liniowych mają pewne różnice, które nie wpływają na istotę zagadnienia.

Na przykład w podręczniku algebry dla klasy 7 autorstwa Yu.N. Makarycheva i innych równanie liniowe jest zdefiniowane w następujący sposób:

Definicja.

Wpisz równanie topór=b, gdzie x to zmienna, aib to jakieś liczby, nazywa się równanie liniowe z jedną zmienną.

Podajmy przykłady równań liniowych odpowiadających definicji dźwięcznej. Na przykład 5 x=10 jest równaniem liniowym z jedną zmienną x , tutaj współczynnik a wynosi 5 , a liczba b wynosi 10 . Inny przykład: −2,3 y=0 jest również równaniem liniowym, ale ze zmienną y , gdzie a=−2,3 i b=0 . A w równaniach liniowych x=−2 i −x=3,33 a nie występują jednoznacznie i są równe odpowiednio 1 i −1, podczas gdy w pierwszym równaniu b=−2, aw drugim b=3,33 .

Rok wcześniej w podręczniku matematyki N. Ya Vilenkina równania liniowe z jedną niewiadomą, oprócz równań postaci a x = b, uznano również za równania, które można sprowadzić do tej postaci, przenosząc wyrazy z jednej części równania na inne o przeciwnym znaku, a także poprzez redukcję wyrazów podobnych. Zgodnie z tą definicją równania postaci 5 x=2 x+6 , itd. są również liniowe.

Z kolei w podręczniku algebry dla 7 klas A. G. Mordkovicha podano następującą definicję:

Definicja.

Równanie liniowe z jedną zmienną x jest równaniem postaci a x+b=0 , gdzie aib to pewne liczby zwane współczynnikami równania liniowego.

Na przykład równania liniowe tego rodzaju to 2 x−12=0, tutaj współczynnik a jest równy 2, a b jest równe −12, a 0,2 y+4,6=0 przy współczynnikach a=0,2 i b=4,6. Ale jednocześnie istnieją przykłady równań liniowych, które mają postać nie a x+b=0 , ale a x=b , na przykład 3 x=12 .

Załóżmy, żebyśmy w przyszłości nie mieli rozbieżności, pod równaniem liniowym z jedną zmienną x i współczynnikami a i b będziemy rozumieć równanie postaci a x+b=0 . Ten typ równań liniowych wydaje się być najbardziej uzasadniony, ponieważ równania liniowe są równania algebraiczne pierwszy stopień. A wszystkie inne równania wskazane powyżej, jak również równania sprowadzone do postaci a x+b=0 za pomocą przekształceń równoważnych, będą nazywane równania sprowadzające się do równań liniowych. Przy takim podejściu równanie 2 x+6=0 jest równaniem liniowym, a 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 itd. są równaniami liniowymi.

Jak rozwiązywać równania liniowe?

Teraz nadszedł czas, aby dowiedzieć się, jak rozwiązuje się równania liniowe a x+b=0. Innymi słowy, nadszedł czas, aby dowiedzieć się, czy równanie liniowe ma pierwiastki, a jeśli tak, to ile i jak je znaleźć.

Obecność pierwiastków równania liniowego zależy od wartości współczynników aib. W tym przypadku równanie liniowe a x+b=0 ma

• jedyny pierwiastek w a≠0 ,
• nie ma pierwiastków dla a=0 i b≠0 ,
• ma nieskończenie wiele pierwiastków dla a=0 i b=0 , w którym to przypadku każda liczba jest pierwiastkiem równania liniowego.

Wyjaśnijmy, w jaki sposób uzyskano te wyniki.

Wiemy, że aby rozwiązać równania, można przejść z równania pierwotnego do równań równoważnych, czyli do równań o tych samych pierwiastkach lub, jak pierwotne, bez pierwiastków. Aby to zrobić, możesz użyć następujących równoważnych przekształceń:

• przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej o przeciwnym znaku,
• a także mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera.

Zatem w równaniu liniowym z jedną zmienną postaci a x+b=0 możemy przesunąć wyraz b z lewej strony na prawą o przeciwnym znaku. W tym przypadku równanie przyjmie postać a x=−b.

A potem samo nasuwa się dzielenie obu części równania przez liczbę a. Ale jest jedno: liczba a może być równa zeru, w takim przypadku taki podział jest niemożliwy. Aby poradzić sobie z tym problemem, najpierw założymy, że liczba a jest różna od zera, a nieco później rozważymy przypadek zera a osobno.

Zatem, gdy a nie jest równe zeru, to możemy podzielić obie części równania a x=−b przez a , po czym przekształcamy je do postaci x=(−b):a , wynik ten można zapisać za pomocą a linia ciągła jak .

Zatem dla a≠0 równanie liniowe a·x+b=0 jest równoważne równaniu , z którego widać jego pierwiastek.

Łatwo jest pokazać, że ten pierwiastek jest unikalny, to znaczy, że równanie liniowe nie ma innych pierwiastków. Pozwala to wykonać odwrotną metodę.

Oznaczmy pierwiastek jako x 1 . Załóżmy, że istnieje inny pierwiastek równania liniowego, który oznaczamy x 2, oraz x 2 ≠ x 1, który ze względu na definicje równe liczby przez różnicę jest równoważne warunkowi x 1 − x 2 ≠0 . Ponieważ x 1 i x 2 są pierwiastkami równania liniowego a x+b=0, to zachodzą równości liczbowe a x 1 +b=0 i a x 2 +b=0. Możemy odjąć odpowiednie części tych równości, na co pozwalają nam własności liczbowych równości, mamy a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , skąd a (x 1 −x 2)+( b-b)=0 a następnie a (x 1 − x 2)=0 . A ta równość jest niemożliwa, ponieważ zarówno a≠0, jak i x 1 − x 2 ≠0. Doszliśmy więc do sprzeczności, która dowodzi jednoznaczności pierwiastka równania liniowego a·x+b=0 dla a≠0 .

Więc rozwiązaliśmy równanie liniowe a x+b=0 z a≠0 . Pierwszy wynik podany na początku tego podrozdziału jest uzasadniony. Są jeszcze dwa, które spełniają warunek a=0 .

Dla a=0 równanie liniowe a·x+b=0 przyjmuje postać 0·x+b=0 . Z tego równania i własności mnożenia liczb przez zero wynika, że ​​niezależnie od tego, jaką liczbę przyjmiemy jako x, podstawiając ją do równania 0 x+b=0, otrzymamy numeryczną równość b=0. Ta równość jest prawdziwa, gdy b=0 , aw innych przypadkach, gdy b≠0 ta równość jest fałszywa.

Zatem dla a=0 i b=0 pierwiastkiem równania liniowego a x+b=0 jest dowolna liczba, ponieważ w tych warunkach podstawienie dowolnej liczby zamiast x daje poprawną równość liczbową 0=0. A dla a=0 i b≠0 równanie liniowe a x+b=0 nie ma pierwiastków, ponieważ w tych warunkach podstawienie dowolnej liczby zamiast x prowadzi do błędnej równości liczbowej b=0.

Powyższe uzasadnienia umożliwiają utworzenie ciągu działań, który pozwala rozwiązać dowolne równanie liniowe. Więc, algorytm rozwiązywania równania liniowego Jest:

• Po pierwsze, pisząc równanie liniowe, znajdujemy wartości współczynników a i b.
• Jeśli a=0 i b=0 , to równanie to ma nieskończenie wiele pierwiastków, czyli pierwiastkiem tego równania liniowego jest dowolna liczba.
• Jeżeli a jest różne od zera, to
• współczynnik b przenosimy na prawą stronę o przeciwnym znaku, natomiast równanie liniowe przekształcamy do postaci a x=−b ,
• po czym obie części wynikowego równania są dzielone przez niezerową liczbę a, co daje pożądany pierwiastek pierwotnego równania liniowego.

Napisany algorytm jest wyczerpującą odpowiedzią na pytanie, jak rozwiązywać równania liniowe.

Na zakończenie tego akapitu warto powiedzieć, że podobny algorytm służy do rozwiązywania równań postaci ax=b. Różnica polega na tym, że gdy a≠0 obie części równania są od razu dzielone przez tę liczbę, tutaj b jest już w żądanej części równania i nie trzeba jej przenosić.

Do rozwiązywania równań postaci a x=b stosuje się następujący algorytm:

• Jeśli a=0 i b=0 , to równanie ma nieskończenie wiele pierwiastków, którymi są dowolne liczby.
• Jeśli a=0 i b≠0 , to pierwotne równanie nie ma pierwiastków.
• Jeśli a jest niezerowe, to obie strony równania są podzielone przez niezerową liczbę a, z której znajduje się jedyny pierwiastek równania równy b / a.

Przykłady rozwiązywania równań liniowych

Przejdźmy do praktyki. Przeanalizujmy, w jaki sposób stosuje się algorytm rozwiązywania równań liniowych. Przedstawmy rozwiązania typowych przykładów odpowiadających różne znaczenia współczynniki równań liniowych.

Przykład.

Rozwiąż równanie liniowe 0 x−0=0 .

Rozwiązanie.

W tym równaniu liniowym a=0 i b=−0 , czyli to samo co b=0 . Dlatego to równanie ma nieskończenie wiele pierwiastków, każda liczba jest pierwiastkiem tego równania.

Odpowiedź:

x jest dowolną liczbą.

Przykład.

Czy równanie liniowe 0 x+2,7=0 ma rozwiązania?

Rozwiązanie.

W tym przypadku współczynnik a jest równy zero, a współczynnik b tego równania liniowego jest równy 2,7, czyli jest różny od zera. Dlatego równanie liniowe nie ma pierwiastków.

Równanie liniowe to równanie algebraiczne, w którym pełny stopień wielomianu jest równy jeden. Rozwiązywanie równań liniowych - cz program nauczania, i to wcale nie najtrudniejsze. Jednak niektórzy nadal mają trudności z przejściem tego tematu. Mamy nadzieję przeczytać dany materiał, wszystkie trudności dla ciebie pozostaną w przeszłości. Rozwiążmy to. jak rozwiązywać równania liniowe.

Formularz ogólny

Równanie liniowe jest reprezentowane jako:

• ax + b = 0, gdzie aib to dowolne liczby.

Mimo, że a i b mogą być dowolną liczbą, ich wartości wpływają na liczbę rozwiązań równania. Istnieje kilka szczególnych przypadków rozwiązania:

• Jeśli a=b=0, równanie ma nieskończoną liczbę rozwiązań;
• Jeśli a=0, b≠0, równanie nie ma rozwiązania;
• Jeśli a≠0, b=0, równanie ma rozwiązanie: x = 0.

W przypadku, gdy obie liczby mają wartości niezerowe, równanie musi zostać rozwiązane w celu uzyskania ostatecznego wyrażenia dla zmiennej.

Jak zdecydować?

Rozwiązanie równania liniowego polega na znalezieniu, czemu równa się zmienna. Jak to zrobić? Tak, to bardzo proste - za pomocą prostych operacji algebraicznych i przestrzegając zasad przenoszenia. Jeśli równanie pojawiło się przed tobą w ogólnej formie, masz szczęście, wszystko, co musisz zrobić, to:

1. Przesuń b na prawą stronę równania, nie zapominając o zmianie znaku (reguła przeniesienia!), Zatem z wyrażenia postaci ax + b = 0 należy otrzymać wyrażenie postaci ax = -b.
2. Zastosuj zasadę: aby znaleźć jeden z czynników (x - w naszym przypadku), musisz podzielić iloczyn (w naszym przypadku -b) przez inny czynnik (a - w naszym przypadku). W ten sposób należy uzyskać wyrażenie postaci: x \u003d -b / a.

To wszystko - rozwiązanie zostało znalezione!

Spójrzmy teraz na konkretny przykład:

1. 2x + 4 = 0 - przesuń b, które w tym przypadku wynosi 4, w prawo
2. 2x = -4 - podziel b przez a (nie zapomnij o znaku minus)
3. x=-4/2=-2

To wszystko! Nasze rozwiązanie: x = -2.

Jak widać, znalezienie rozwiązania równania liniowego z jedną zmienną jest dość proste, ale wszystko jest takie proste, jeśli mamy szczęście spotkać równanie w postaci ogólnej. W większości przypadków przed rozwiązaniem równania w dwóch krokach opisanych powyżej konieczne jest również zredukowanie istniejącego wyrażenia do ogólna perspektywa. Jednak nie jest to również trudne zadanie. Przyjrzyjmy się niektórym szczególnym przypadkom z przykładami.

Rozwiązywanie przypadków specjalnych

Najpierw przyjrzyjmy się przypadkom, które opisaliśmy na początku artykułu i wyjaśnijmy, co to znaczy mieć nieskończoną liczbę rozwiązań i żadnego rozwiązania.

• Jeśli a=b=0, to równanie będzie wyglądało następująco: 0x + 0 = 0. Wykonując pierwszy krok, otrzymamy: 0x = 0. Co to za nonsens, wykrzykniesz! W końcu, bez względu na to, jaką liczbę pomnożysz przez zero, zawsze otrzymasz zero! Prawidłowy! Dlatego mówią, że równanie ma nieskończoną liczbę rozwiązań - jakąkolwiek liczbę wybierzesz, równość będzie prawdziwa, 0x \u003d 0 lub 0 \u003d 0.
• Jeśli a=0, b≠0, równanie będzie wyglądać następująco: 0x + 3 = 0. Wykonujemy pierwszy krok, otrzymujemy 0x = -3. Znowu bzdury! Jest oczywiste, że ta równość nigdy nie będzie prawdziwa! Dlatego mówią, że równanie nie ma rozwiązań.
• Jeśli a≠0, b=0, równanie będzie wyglądać następująco: 3x + 0 = 0. Wykonując pierwszy krok, otrzymujemy: 3x = 0. Jakie jest rozwiązanie? To proste, x = 0.

Trudności w tłumaczeniu

Opisane przypadki szczególne to nie wszystko, czym mogą nas zaskoczyć równania liniowe. Czasami równanie jest na ogół trudne do zidentyfikowania na pierwszy rzut oka. Weźmy przykład:

• 12x - 14 = 2x + 6

Czy to jest równanie liniowe? Ale co z zerem po prawej stronie? Nie będziemy spieszyć się z wnioskami, będziemy działać - wszystkie składowe naszego równania przeniesiemy na lewą stronę. Otrzymujemy:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Teraz odejmując podobne od podobnego, otrzymujemy:

• 10x - 20 = 0

Nauczyli? Najbardziej liniowe równanie w historii! Czyje rozwiązanie: x = 20/10 = 2.

A co jeśli mamy taki przykład:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Tak, to również jest równanie liniowe, trzeba tylko wykonać więcej przekształceń. Najpierw rozwińmy nawiasy:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - teraz wykonaj przelew:
4. 25x - 4 = 0 - pozostaje znaleźć rozwiązanie według znanego już schematu:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Jak widać, wszystko jest rozwiązane, najważniejsze jest, aby się nie martwić, ale działać. Pamiętaj, jeśli twoje równanie zawiera tylko zmienne pierwszego stopnia i liczby, jest to równanie liniowe, które bez względu na to, jak wygląda na początku, można sprowadzić do postaci ogólnej i rozwiązać. Mamy nadzieję, że wszystko Ci się ułoży! Powodzenia!

Rozwiązując równania liniowe, staramy się znaleźć pierwiastek, czyli wartość zmiennej, która zamieni równanie w poprawną równość.

Aby znaleźć pierwiastek równania, którego potrzebujesz równoważne przekształcenia doprowadzają dane nam równanie do postaci

\(x=[liczba]\)

Ta liczba będzie pierwiastkiem.

Oznacza to, że przekształcamy równanie, ułatwiając je z każdym krokiem, aż sprowadzimy je do całkowicie prymitywnego równania „x = liczba”, w którym pierwiastek jest oczywisty. Najczęściej stosowane w rozwiązywaniu równań liniowych są następujące przekształcenia:

Na przykład: dodaj \(5\) do obu stron równania \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Zwróć uwagę, że ten sam wynik moglibyśmy uzyskać szybciej — po prostu wpisując piątkę po drugiej stronie równania i zmieniając przy tym jej znak. Właściwie tak właśnie odbywa się szkolne „przejście przez równych ze zmianą znaku na przeciwny”.

2. Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę lub wyrażenie.

Na przykład: Podziel równanie \(-2x=8\) przez minus dwa

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Zwykle ten krok wykonuje się na samym końcu, gdy równanie zostało już sprowadzone do \(ax=b\) i dzielimy przez \(a\), aby usunąć je z lewej strony.

3. Wykorzystanie własności i praw matematyki: otwieranie nawiasów, skracanie wyrazów podobnych, skracanie ułamków itp.

Dodaj \(2x\) lewą i prawą

Odejmij \(24\) od obu stron równania

Ponownie przedstawiamy podobne warunki

Teraz dzielimy równanie przez \ (-3 \), usuwając w ten sposób przed x po lewej stronie.

Odpowiedź : \(7\)

Znaleziono odpowiedź. Jednak sprawdźmy to. Jeśli siódemka jest naprawdę pierwiastkiem, to podstawienie jej zamiast x w pierwotnym równaniu powinno dać poprawną równość - te same liczby po lewej i prawej stronie. Próbujemy.

Badanie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Zgoda. Oznacza to, że siódemka jest rzeczywiście pierwiastkiem pierwotnego równania liniowego.

Nie bądź leniwy, aby sprawdzić odpowiedzi znalezione przez podstawienie, zwłaszcza jeśli rozwiązujesz równanie na teście lub egzaminie.

Pozostaje pytanie - jak ustalić, co zrobić z równaniem Następny krok? Jak dokładnie to przekonwertować? Udostępnij coś? Lub odjąć? A co dokładnie odjąć? Czym się podzielić?

Odpowiedź jest prosta:

Twoim celem jest doprowadzenie równania do postaci \(x=[liczba]\), czyli po lewej x bez współczynników i liczb, a po prawej tylko liczba bez zmiennych. Więc zobacz, co Cię powstrzymuje i zrobić coś przeciwnego do tego, co robi element zakłócający.

Aby lepiej to zrozumieć, rozważmy krok po kroku rozwiązanie równania liniowego \(x+3=13-4x\).

Pomyślmy o czym dane równanie różni się od \(x=[liczba]\)? Co nas powstrzymuje? Co jest nie tak?

Cóż, po pierwsze, trójka przeszkadza, ponieważ po lewej stronie powinien być tylko samotny X, bez cyfr. A co robi trio? Dodany do xx. Więc, aby go usunąć - odejmować ta sama trójka. Ale jeśli odejmiemy potrójną od lewej, to musimy odjąć ją od prawej, aby równość nie została naruszona.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Cienki. Co cię powstrzymuje? \(4x\) po prawej stronie, ponieważ powinien zawierać tylko liczby. \(4x\) odjęte- usunąć dodawanie.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz podajemy podobne wyrazy po lewej i prawej stronie.

To prawie gotowe. Pozostaje usunąć piątkę po lewej stronie. Co ona robi"? pomnożone na x. Więc to usuwamy dział.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Rozwiązanie jest kompletne, pierwiastek równania to dwa. Możesz sprawdzić podstawiając.

Zauważ, że najczęściej w równaniach liniowych występuje tylko jeden pierwiastek. Mogą jednak wystąpić dwa szczególne przypadki.

Przypadek szczególny 1 - w równaniu liniowym nie ma pierwiastków.

Przykład . Rozwiąż równanie \(3x-1=2(x+3)+x\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : brak korzeni.

W rzeczywistości to, że dojdziemy do takiego wyniku było widać już wcześniej, nawet gdy otrzymaliśmy \(3x-1=3x+6\). Pomyśl o tym: jak \(3x\) może być równe, od którego odjęto \(1\) i do którego \(3x\) dodano \(6\)? Oczywiście nie ma mowy, ponieważ wykonywali różne czynności z tą samą rzeczą! Wiadomo, że wyniki będą różne.

Przypadek szczególny 2 - równanie liniowe ma nieskończoną liczbę pierwiastków.

Przykład . Rozwiąż równanie liniowe \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : Jakikolwiek numer.

Nawiasem mówiąc, było to zauważalne już wcześniej, na etapie: \(8x+12=8x+12\). Rzeczywiście, w lewo i prawo identyczne wyrażenia. Bez względu na to, jakie x zastąpisz, tam i tam będzie ta sama liczba.

Bardziej złożone równania liniowe.

Oryginalne równanie nie zawsze od razu wygląda na liniowe, czasami jest „zamaskowane” jako inne, bardziej złożone równania. Jednak w procesie transformacji maskowanie ustępuje.

Przykład . Znajdź pierwiastek równania \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Rozwiązanie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Wydawałoby się, że jest tu x-kwadrat - to nie jest równanie liniowe! Ale nie spiesz się. Zastosujmy
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Dlaczego wynik rozwinięcia \((x-4)^(2)\) jest w nawiasach, a wynik \((3+x)^(2)\) nie? Bo przed pierwszym kwadratem jest minus, który zmieni wszystkie znaki. Aby o tym nie zapomnieć, bierzemy wynik w nawiasach, które teraz otwieramy.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dajemy podobne warunki
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Ponownie, tutaj są podobne.
		Lubię to. Okazuje się, że oryginalne równanie jest dość liniowe, a x do kwadratu to nic innego jak ekran, który ma nas zmylić. :) Uzupełniamy rozwiązanie dzieląc równanie przez \(2\) i otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź : \(x=5\)

Przykład . Rozwiąż równanie liniowe \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Rozwiązanie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Równanie nie wygląda na liniowe, niektóre ułamki... Pozbądźmy się jednak mianowników mnożąc obie części równania przez wspólny mianownik wszystkich - sześć
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\ckropka 6\)		Otwarty wspornik po lewej stronie
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zmniejszamy mianowniki
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz wygląda jak zwykły liniowy! Rozwiążmy to.
		Przechodząc przez równe, zbieramy x po prawej stronie i liczby po lewej
		Cóż, dzieląc przez \ (-4 \) prawą i lewą część, otrzymujemy odpowiedź

Odpowiedź : \(x=-1,25\)

Otrzymane układy równań szerokie zastosowanie w sektorze gospodarczym w modelowaniu matematycznym różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów zarządzania i planowania produkcji, tras logistycznych (problem transportowy) czy rozmieszczenia sprzętu.

Systemy równań są wykorzystywane nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów określania wielkości populacji.

Układ równań liniowych to termin określający dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.

Równanie liniowe

Równania postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny termin równania.
Rozwiązanie równania poprzez wykreślenie jego wykresu będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniem wielomianu.

Rodzaje układów równań liniowych

Najprostsze to przykłady układów równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.

Rozwiąż układ równań - oznacza znalezienie takich wartości (x, y), dla których układ staje się prawdziwą równością, lub ustalenie, że nie ma odpowiednich wartości x i y.

Parę wartości (x, y), zapisanych jako współrzędne punktu, nazywamy rozwiązaniem układu równań liniowych.

Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma rozwiązania, nazywamy je równoważnymi.

Układy jednorodne równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ nie jest jednorodny.

Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.

W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może ich być dowolnie duża liczba.

Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań

Nie ma ogólnego analitycznego sposobu rozwiązywania takich układów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. W kurs szkolny Matematyka opisuje szczegółowo takie metody jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metoda graficzna i macierzowa, rozwiązanie metodą Gaussa.

Głównym zadaniem w nauczaniu metod rozwiązywania jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania określonej metody.

Rozwiązanie przykładowych układów równań liniowych siódmej klasy programu szkoły ogólnokształcącej jest dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest badane bardziej szczegółowo na pierwszych kursach szkół wyższych.

Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową

Działania metody podstawienia mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej przez drugą. Wyrażenie jest podstawiane do pozostałego równania, a następnie redukowane do postaci pojedynczej zmiennej. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w układzie

Podajmy przykład układu równań liniowych 7. klasy metodą podstawienia:

Jak widać z przykładu, zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Otrzymane wyrażenie, podstawione w 2. równaniu układu w miejsce X, pozwoliło uzyskać jedną zmienną Y w 2. równaniu . Rozwiązanie ten przykład nie sprawia trudności i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie otrzymanych wartości.

Nie zawsze jest możliwe rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone, a wyrażenie zmiennej w postaci drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Gdy w systemie jest więcej niż 3 niewiadome, rozwiązanie podstawienia jest również niepraktyczne.

Rozwiązanie przykładowego układu liniowych równań niejednorodnych:

Rozwiązanie z wykorzystaniem dodawania algebraicznego

Podczas poszukiwania rozwiązania układów metodą dodawania, dodawania wyraz po wyrazie i mnożenia równań przez różne liczby. Ostateczny cel operacje matematyczne jest równaniem z jedną zmienną.

Do zastosowań Ta metoda wymaga praktyki i obserwacji. Nie jest łatwo rozwiązać układ równań liniowych metodą dodawania z liczbą zmiennych 3 lub większą. Dodawanie algebraiczne jest przydatne, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i liczby dziesiętne.

Algorytm działania rozwiązania:

1. Pomnóż obie strony równania przez pewną liczbę. W wyniku działania arytmetycznego jeden ze współczynników zmiennej musi być równy 1.
2. Dodaj wynikowe wyrażenie wyraz po wyrazie i znajdź jedną z niewiadomych.
3. Podstaw wynikową wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Metoda rozwiązania przez wprowadzenie nowej zmiennej

Nową zmienną można wprowadzić, jeśli system musi znaleźć rozwiązanie dla nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.

Metoda służy do uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie jest rozwiązywane w odniesieniu do wprowadzonej niewiadomej, a wynikowa wartość służy do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.

Z przykładu wynika, że ​​wprowadzając nową zmienną t można było sprowadzić pierwsze równanie układu do wzorca trójmian kwadratowy. Możesz rozwiązać wielomian, znajdując dyskryminator.

Należy znaleźć wartość wyróżnika korzystając ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D to poszukiwany wyróżnik, b, a, c to mnożniki wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, stąd D=100. Jeżeli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeżeli dyskryminator mniej niż zero, to jest tylko jedno rozwiązanie: x= -b / 2*a.

Rozwiązanie dla powstałych układów znajduje się metodą dodawania.

Wizualna metoda rozwiązywania układów

Nadaje się do układów z 3 równaniami. Metoda polega na wykreśleniu na osi współrzędnych wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą rozwiązaniem ogólnym układu.

Metoda graficzna ma wiele niuansów. Rozważ kilka przykładów rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.

Jak widać z przykładu dla każdej linii skonstruowano dwa punkty, wartości zmiennej x wybrano arbitralnie: 0 i 3. Na podstawie wartości x wyznaczono wartości dla y: 3 i 0. Punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) zaznaczono na wykresie i połączono linią.

Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

W poniższym przykładzie wymagane jest znalezienie graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Jak widać na przykładzie, układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.

Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy system ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest zbudowanie grafu.

Matryca i jej odmiany

Macierze służą do krótkiego zapisania układu równań liniowych. Tabela nazywana jest macierzą. specjalny rodzaj wypełnione liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.

Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor to macierz jednokolumnowa z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jednostkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywana jest tożsamością.

Macierz odwrotna to taka macierz, po pomnożeniu przez którą pierwotna zamienia się w jedynkę, taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.

Zasady przekształcania układu równań w macierz

W odniesieniu do układów równań współczynniki i człony swobodne równań są zapisywane jako liczby macierzy, jedno równanie to jeden wiersz macierzy.

Wiersz macierzy nazywamy niezerowym, jeśli przynajmniej jeden element wiersza nie jest równy zeru. Dlatego jeśli w którymś z równań liczba zmiennych jest różna, to w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.

Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y tylko w drugiej.

Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.

Opcje znajdowania macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 - macierz odwrotna, i |K| - wyznacznik macierzowy. |K| nie może być równy zeru, to układ ma rozwiązanie.

Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy po przekątnej przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz użyć formuły lub możesz pamiętać, że musisz wziąć jeden element z każdego wiersza i każdej kolumny, aby numery kolumn i wierszy elementów nie powtarzały się w produkcie.

Rozwiązywanie przykładowych układów równań liniowych metodą macierzową

Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala zredukować uciążliwe wpisy przy rozwiązywaniu układów z dużą liczbą zmiennych i równań.

W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor x n to zmienne, a b n to wyrazy wolne.

Rozwiązywanie układów metodą Gaussa

W matematyce wyższej metoda Gaussa jest badana razem z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywany jest metodą rozwiązywania Gaussa-Cramera. Te metody służą do wyszukiwania zmienne systemowe z wieloma równaniami liniowymi.

Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań polegających na podstawieniu i dodawaniu algebraicznym, ale jest bardziej systematyczna. Na kursie szkolnym rozwiązanie Gaussa jest używane dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest doprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie to wyrażenie z 2 niewiadomymi, a 3 i 4 - odpowiednio z 3 i 4 zmiennymi.

Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.

W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania Gaussa jest opisany w następujący sposób:

Jak widać z przykładu, w kroku (3) otrzymano dwa równania 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie dowolnego z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.

Wspomniane w tekście twierdzenie 5 mówi, że jeśli jedno z równań układu zastąpimy równoważnym, to otrzymany układ będzie również równoważny pierwotnemu.

Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla studentów Liceum, ale jest jednym z najbardziej ciekawe sposoby rozwijanie pomysłowości dzieci zapisanych na rozszerzony program nauczania w klasach matematyczno-fizycznych.

Aby ułatwić rejestrowanie obliczeń, zwykle wykonuje się następujące czynności:

Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisywane są w postaci macierzy, gdzie każdy wiersz macierzy odpowiada jednemu z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie oznaczają numery równań w układzie.

Najpierw zapisują macierz, z którą mają pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane w jednym z wierszy. Wynikowa macierz jest zapisywana po znaku „strzałki” i kontynuuje wykonywanie niezbędnych operacji algebraicznych, aż do osiągnięcia wyniku.

W rezultacie należy uzyskać macierz, w której jedna z przekątnych wynosi 1, a wszystkie inne współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz zostaje zredukowana do jednej postaci. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.

Ta notacja jest mniej kłopotliwa i pozwala nie rozpraszać się wyliczaniem wielu niewiadomych.

Swobodne zastosowanie dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody są stosowane. Niektóre sposoby znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, podczas gdy inne istnieją w celu uczenia się.