dom Wykończenie zewnętrzne Znajdź punkt symetryczny względem prostej w przestrzeni. Najprostsze problemy z linią prostą na płaszczyźnie. Wzajemny układ linii. Kąt między liniami

Znajdź punkt symetryczny względem prostej w przestrzeni. Najprostsze problemy z linią prostą na płaszczyźnie. Wzajemny układ linii. Kąt między liniami

Oh-oh-oh-oh-oh… no to blado, jakbyś sobie czytała zdanie =) Jednak wtedy relaks pomoże, tym bardziej, że kupiłam dzisiaj odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam pogodny nastrój.

Wzajemny układ dwóch linii prostych

Przypadek, gdy sala śpiewa w refrenie. Dwie linie mogą:

1) dopasowanie;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla debili : proszę pamiętać o matematycznym znaku skrzyżowania, będzie się on pojawiał bardzo często. Wpis oznacza, że prosta przecina się z prostą w punkcie.

Jak określić względną pozycję dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości

Rozważmy proste i ułóżmy trzy równania z odpowiadających im współczynników: . Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania zmniejsz o 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednak jasne jest, że .

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE istnieje taka wartość "lambda" aby równości były spełnione

Tak więc dla prostych ułożymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że , az drugiego równania: , stąd system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W praktycznych problemach można zastosować właśnie rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania współliniowości wektorów, który rozważaliśmy na lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierujących liniami prostymi:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, więc wektory nie są współliniowe i proste się przecinają.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei Nieśmiertelnego =)

b) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Proste mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.

Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
, zatem wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy są zerowe, więc:

Otrzymana wartość spełnia to równanie (zwykle spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Bardzo szybko nauczysz się (lub już się nauczyłeś) rozwiązywać rozważany problem ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. Pod tym względem nie widzę powodu, aby oferować coś za samodzielne rozwiązanie, lepiej dołożyć jeszcze jedną ważną cegiełkę w geometrycznym fundamencie:

Jak narysować linię równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Rozbójnik surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy prostej „ce” nadaje się również do zbudowania prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie.

Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do przeprowadzenia werbalnie. Przyjrzyj się dwóm równaniom, a wielu z was szybko odkryje, w jaki sposób linie są równoległe bez żadnego rysowania.

Przykłady samodzielnego rozwiązania dzisiaj będą kreatywne. Bo ciągle trzeba rywalizować z Babą Jagą, a ona, wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej if

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.

Popracowaliśmy trochę nad liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Twoje zdrowie znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia prostych

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu podanych linii i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że zrobienie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyrazami. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład zrób to sam. Zadanie można wygodnie podzielić na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrował.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów nie została jeszcze zużyta, ponieważ przeszliśmy do drugiej części lekcji:

Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na kurzych nóżkach obróci się o 90 stopni:

Jak narysować linię prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.

Rozwiązanie: Wiadomo z założenia, że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierunkowym prostej.

Tworzymy równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy:

Odpowiedź:

Rozłóżmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań i z pomocą iloczyn skalarny wektorów wnioskujemy, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie .

Weryfikacja jest łatwa do przeprowadzenia ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i kropka.

To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka działań, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadłości. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyraża się wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do prostej

Rozwiązanie: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Wykonajmy rysunek:

Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej . Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znajdować .

Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Niezależnie od rogu, to oścież:

W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadłe, To zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:
więc proste nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa .

W lipcu 2020 NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Statek kosmiczny dostarczy na Marsa nośnik elektroniczny z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych członków ekspedycji.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej między tagami I lub zaraz po tagu . Zgodnie z pierwszą opcją MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wkleisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najprostszym sposobem połączenia MathJax jest Blogger lub WordPress: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję powyższego kodu ładowania i umieść widżet bliżej początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz osadzać formuły matematyczne na swoich stronach internetowych.

Kolejny Sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... Wszystko to skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach io tym, co Wolfram Alpha o nich wie. Z tej okazji pojawił się ciekawy artykuł, w którym znajdują się przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj rozważymy bardziej złożone przykłady trójwymiarowych fraktali.

Fraktal można wizualnie przedstawić (opisać) jako figurę geometryczną lub bryłę (co oznacza, że oba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), których szczegóły mają taki sam kształt jak sama figura pierwotna. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, biorąc pod uwagę szczegóły, których po powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłej figury geometrycznej (nie fraktala) po powiększeniu zobaczymy detale, które mają prostszy kształt niż sama figura oryginalna. Na przykład przy odpowiednio dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który przy każdym wzroście będzie się powtarzał.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, w swoim artykule Fractals and Art for Science napisał: „Fraktale to geometryczne kształty, które są tak samo złożone w szczegółach, jak iw ich ogólnej formie. Oznacza to, że jeśli część fraktala będzie powiększony do rozmiaru całości, będzie wyglądał jak całość, albo dokładnie, albo może z lekką deformacją.

Linię prostą w przestrzeni można zawsze zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn. Jeżeli równanie jednej płaszczyzny jest równaniem drugiej płaszczyzny, to równanie prostej jest podane jako

Tutaj niewspółliniowe
. Równania te nazywają się równania ogólne linia prosta w przestrzeni.

Równania kanoniczne linii prostej

Każdy niezerowy wektor leżący na danej prostej lub do niej równoległy nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej.

Jeśli sprawa jest znana
linia i jej wektor kierunkowy
, to równania kanoniczne linii mają postać:

. (9)

Równania parametryczne prostej

Niech będą podane równania kanoniczne prostej

Stąd otrzymujemy parametryczne równania prostej:

(10)

Te równania są przydatne do znajdowania punktu przecięcia linii i płaszczyzny.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
I
wygląda jak:

Kąt między liniami

Kąt między liniami

jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi. Dlatego można to obliczyć za pomocą wzoru (4):

Warunek linii równoległych:

Warunek prostopadłości płaszczyzn:

Odległość punktu od prostej

P dany punkt
i bezpośredni

Punkt jest znany z równań kanonicznych linii
, należący do prostej, oraz wektor jej kierunku
. Następnie odległość punktowa
od linii prostej jest równa wysokości równoległoboku zbudowanego na wektorach I
. Stąd,

Warunek przecięcia linii

Dwie nierównoległe linie

przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy

Wzajemny układ prostej i płaszczyzny.

Niech linia prosta
i płaski. Narożnik między nimi można znaleźć za pomocą wzoru

Zadanie 73. Napisz równania kanoniczne linii

(11)

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej (9), konieczna jest znajomość dowolnego punktu należącego do prostej oraz wektora kierunkowego prostej.

Znajdźmy wektor równolegle do podanej linii. Ponieważ musi być prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, tj.

,
, To

Z ogólnych równań linii prostej mamy to
,
. Następnie

Od punktu
dowolny punkt prostej, to jej współrzędne muszą spełniać równania prostej, a jedno z nich można określić, np.
, znajdujemy pozostałe dwie współrzędne z układu (11):

Stąd,
.

Zatem równania kanoniczne pożądanej linii mają postać:

Lub
.

Zadanie 74.

I
.

Rozwiązanie. Z równań kanonicznych pierwszego wiersza znane są współrzędne punktu
należący do prostej i współrzędne wektora kierunkowego
. Z równań kanonicznych drugiej linii znane są również współrzędne punktu
i współrzędne wektora kierunku
.

Odległość między liniami równoległymi jest równa odległości punktu
z drugiej linii. Odległość tę oblicza się według wzoru

Znajdźmy współrzędne wektora
.

Oblicz iloczyn wektorowy
:

zadanie 75. Znajdź punkt symetryczny punkt
względnie prosto

Rozwiązanie. Piszemy równanie płaszczyzny prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt . Jako wektor normalny możemy przyjąć wektor kierunkowy jako linię prostą. Następnie
. Stąd,

Znajdźmy punkt
punkt przecięcia danej linii i płaszczyzny P. W tym celu zapisujemy równania parametryczne linii, korzystając z równań (10), otrzymujemy

Stąd,
.

Pozwalać
punkt symetryczny do punktu
o tej linii. Następnie punkt
punkt środkowy
. Aby znaleźć współrzędne punktu używamy wzorów na współrzędne środka odcinka:

,
,
.

Więc,
.

Zadanie 76. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez linię prostą
I

a) przez kropkę
;

b) prostopadle do płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zapiszmy ogólne równania tej prostej. Aby to zrobić, rozważ dwie równości:

Oznacza to, że pożądana płaszczyzna należy do ołówka płaszczyzn z generatorami i jej równanie można zapisać w postaci (8):

a) znaleźć
I od warunku, że płaszczyzna przechodzi przez punkt
, zatem jego współrzędne muszą spełniać równanie płaszczyzny. Podstaw współrzędne punktu
do równania wiązki płaszczyzn:

Znaleziona wartość
podstawiamy do równania (12). otrzymujemy równanie pożądanej płaszczyzny:

b) znaleźć
I od warunku, że pożądana płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny. Wektor normalny danej płaszczyzny
, wektor normalny żądanej płaszczyzny (patrz równanie dla wiązki płaszczyzn (12).