Faktoryzacja trójmianu kwadratowego może być przydatne przy rozwiązywaniu nierówności z zadania C3 lub zadania z parametrem C5. Ponadto wiele zadań tekstowych B13 zostanie rozwiązanych znacznie szybciej, jeśli znasz twierdzenie Vieta.
Twierdzenie to można oczywiście rozpatrywać z punktu widzenia ósmej klasy, w której jest ono przekazywane po raz pierwszy. Ale naszym zadaniem jest dobrze przygotować się do egzaminu i nauczyć się jak najefektywniej rozwiązywać zadania egzaminacyjne. Dlatego w tej lekcji podejście jest nieco inne niż w szkole.
Wzór na pierwiastki równania według twierdzenia Viety znam (lub przynajmniej widziałem) wielu:
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
gdzie `a, b` i `c` to współczynniki kwadratowego trójmianu `ax^2+bx+c`.
Aby nauczyć się łatwo korzystać z twierdzenia, zrozummy, skąd ono pochodzi (naprawdę łatwiej będzie zapamiętać w ten sposób).
Miejmy równanie `ax^2+ bx+ c = 0`. Dla większej wygody dzielimy to przez `a` i otrzymujemy `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Takie równanie nazywamy zredukowanym równaniem kwadratowym.
Ważne punkty lekcji: każdy wielomian kwadratowy, który ma pierwiastki, można rozłożyć na nawiasy. Załóżmy, że nasze można przedstawić jako `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, gdzie `k` i `l` - niektóre stałe.
Zobaczmy, jak otwierają się nawiasy:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Zatem `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Różni się to nieco od klasycznej interpretacji Twierdzenia Viety- w nim szukamy pierwiastków równania. Proponuję poszukać warunków rozwinięcia nawiasów- więc nie trzeba pamiętać o minusie ze wzoru (czyli `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Wystarczy wybrać dwie takie liczby, których suma jest równa średniemu współczynnikowi, a iloczyn jest równy dowolnemu wyrazowi.
Jeśli potrzebujemy rozwiązania równania, to jest oczywiste: pierwiastki `x=-k` lub `x=-l` (ponieważ w tych przypadkach jeden z nawiasów będzie równy zero, co oznacza, że całe wyrażenie będzie równy zeru).
Na przykład pokażę algorytm, jak rozłożyć wielomian kwadratowy na nawiasy.
Przykład pierwszy. Algorytm rozkładania kwadratowego trójmianu na czynniki
Ścieżka, którą mamy, to kwadratowy trójmian `x^2+5x+4`.
Jest zredukowany (współczynnik `x^2` jest równy jeden). On ma korzenie. (Dla pewności możesz oszacować dyskryminator i upewnić się, że jest on większy od zera).
Dalsze kroki (należy się ich nauczyć wykonując wszystkie zadania szkoleniowe):
- Dokonaj następującego zapisu: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Zamiast kropek zostaw wolne miejsce, dodamy tam odpowiednie cyfry i znaki.
- Rozważ wszystkie możliwe opcje rozłożenia liczby „4” na iloczyn dwóch liczb. Otrzymujemy pary „kandydatów” na pierwiastki równania: `2, 2` i `1, 4`.
- Oszacuj, z której pary można uzyskać średni współczynnik. Oczywiście jest to „1, 4”.
- Zapisz $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Kolejnym krokiem jest umieszczenie znaków przed wstawionymi cyframi.
Jak zrozumieć i zapamiętać na zawsze, jakie znaki powinny znajdować się przed liczbami w nawiasach? Spróbuj je rozwinąć (nawiasy). Współczynnik przed `x` do pierwszej potęgi będzie wynosił `(± 4 ± 1)` (nie znamy jeszcze znaków - musimy wybrać) i powinien być równy `5`. Oczywiście będą tu dwa plusy $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Wykonaj tę operację kilka razy (witaj, zadania treningowe!), a nigdy więcej nie będzie z tym problemów.
Jeśli potrzebujesz rozwiązać równanie `x^2+5x+4`, to teraz jego rozwiązanie nie jest trudne. Jego pierwiastki to `-4, -1`.
Drugi przykład. Faktoryzacja trójmianu kwadratowego ze współczynnikami o różnych znakach
Musimy rozwiązać równanie `x^2-x-2=0`. Odręcznie, wyróżnik jest dodatni.
Postępujemy zgodnie z algorytmem.
- $$x^2-x-2=(x \ldotek) (x \ldotek).$$
- Istnieje tylko jeden faktoring liczby całkowitej 2: `2 · 1`.
- Pomijamy sedno - nie ma w czym wybierać.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Iloczyn naszych liczb jest ujemny (`-2` jest wyrazem wolnym), co oznacza, że jedna z nich będzie ujemna, a druga dodatnia.
Ponieważ ich suma jest równa `-1` (współczynnik `x`), to `2` będzie ujemne (wyjaśnienie intuicyjne - dwa jest większe z dwóch liczb, to "ciągnie" więcej w kierunku ujemnym). Otrzymujemy $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Trzeci przykład. Faktoryzacja trójmianu kwadratowego
Równanie `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldotek) (x \ldotek).$$
- Rozkład liczby 84 na czynniki całkowite: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Ponieważ potrzebujemy, aby różnica (lub suma) liczb wynosiła 5, wystarczy para „7, 12”.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Mieć nadzieję, rozkład tego trójmianu kwadratowego na nawiasy Jest jasne.
Jeśli potrzebujesz rozwiązania równania, oto ono: `12, -7`.
Zadania na szkolenie
Oto kilka przykładów, które są łatwe do wykonania są rozwiązywane za pomocą twierdzenia Vieta.(Przykłady zaczerpnięte z Matematyka, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Kilka lat po napisaniu artykułu pojawił się zbiór 150 zadań do rozwinięcia wielomianu kwadratowego za pomocą twierdzenia Vieta.
Lajkujcie i zadawajcie pytania w komentarzach!
W tej lekcji nauczymy się rozkładać trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe. W tym celu należy przypomnieć twierdzenie Vieta i jego odwrotność. Ta umiejętność pomoże nam szybko i wygodnie rozłożyć trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe, a także uprościć redukcję ułamków składających się z wyrażeń.
Wróćmy więc do równania kwadratowego , gdzie .
To, co mamy po lewej stronie, nazywa się kwadratowym trójmianem.
Twierdzenie jest prawdziwe: Jeśli są pierwiastkami kwadratowego trójmianu, to tożsamość jest prawdziwa
Gdzie jest wiodący współczynnik, to pierwiastki równania.
Mamy więc równanie kwadratowe - trójmian kwadratowy, w którym pierwiastki równania kwadratowego nazywane są również pierwiastkami trójmianu kwadratowego. Dlatego jeśli mamy pierwiastki kwadratowego trójmianu, to ten trójmian jest rozkładany na czynniki liniowe.
Dowód:
Dowód tego faktu przeprowadza się za pomocą twierdzenia Vieta, które rozważaliśmy na poprzednich lekcjach.
Przypomnijmy sobie, co mówi nam twierdzenie Viety:
Jeśli są pierwiastki kwadratowego trójmianu dla których , to .
Twierdzenie to implikuje następujące twierdzenie, że .
Widzimy, że zgodnie z twierdzeniem Vieta, czyli podstawiając te wartości do powyższego wzoru, otrzymujemy następujące wyrażenie
co było do okazania
Przypomnijmy, że udowodniliśmy twierdzenie, że jeśli są pierwiastkami kwadratowego trójmianu, to rozkład jest ważny.
Przypomnijmy sobie teraz przykład równania kwadratowego, do którego wybraliśmy pierwiastki za pomocą twierdzenia Viety. Z tego faktu, dzięki udowodnionemu twierdzeniu, możemy otrzymać następującą równość:
Teraz sprawdźmy poprawność tego faktu, po prostu rozszerzając nawiasy:
Widzimy, że rozłożyliśmy poprawnie i każdy trójmian, jeśli ma pierwiastki, można rozłożyć zgodnie z tym twierdzeniem na czynniki liniowe zgodnie ze wzorem
Sprawdźmy jednak, czy dla dowolnego równania taka faktoryzacja jest możliwa:
Weźmy na przykład równanie. Najpierw sprawdźmy znak wyróżnika
A pamiętamy, że aby spełnione było twierdzenie, którego się nauczyliśmy, D musi być większe od 0, dlatego w tym przypadku rozkład na czynniki według badanego twierdzenia jest niemożliwy.
Dlatego formułujemy nowe twierdzenie: jeśli kwadratowy trójmian nie ma pierwiastków, to nie można go rozłożyć na czynniki liniowe.
Rozważaliśmy więc twierdzenie Vieta, możliwość rozłożenia kwadratowego trójmianu na czynniki liniowe, a teraz rozwiążemy kilka problemów.
Zadanie 1
W tej grupie faktycznie rozwiążemy problem odwrotny do postawionego. Mieliśmy równanie i znaleźliśmy jego pierwiastki rozkładające się na czynniki. Tutaj zrobimy odwrotnie. Powiedzmy, że mamy pierwiastki równania kwadratowego
Problem odwrotny jest następujący: napisz równanie kwadratowe tak, aby były jego pierwiastkami.
Istnieją 2 sposoby rozwiązania tego problemu.
Skoro są pierwiastkami równania, to 
jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastkami są podane liczby. Teraz otwórzmy nawiasy i sprawdźmy:
To był pierwszy sposób, w jaki stworzyliśmy równanie kwadratowe z podanymi pierwiastkami, które nie ma żadnych innych pierwiastków, ponieważ każde równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa pierwiastki.
Metoda ta polega na wykorzystaniu odwrotnego twierdzenia Vieta.
Jeśli są pierwiastki równania, to spełniają warunek, że .
Dla zredukowanego równania kwadratowego 
, , czyli w tym przypadku , oraz .
W ten sposób stworzyliśmy równanie kwadratowe, które ma podane pierwiastki.
Zadanie nr 2
Musisz skrócić ułamek.
Mamy trójmian w liczniku i trójmian w mianowniku, a trójmiany mogą, ale nie muszą być rozłożone na czynniki. Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik są rozłożone na czynniki, to wśród nich mogą być równe czynniki, które można zmniejszyć.
Przede wszystkim konieczne jest rozłożenie licznika na czynniki.
Najpierw musisz sprawdzić, czy to równanie można rozłożyć na czynniki, znaleźć dyskryminator . Skoro , to znak zależy od iloczynu ( musi być mniejszy od 0 ), w tym przykładzie , czyli podane równanie ma pierwiastki.
Aby rozwiązać, używamy twierdzenia Vieta:
W tym przypadku, ponieważ mamy do czynienia z korzeniami, dość trudno będzie po prostu podnieść korzenie. Widzimy jednak, że współczynniki są zrównoważone, tj. jeśli przyjmiemy, że i podstawimy tę wartość do równania, to otrzymamy następujący układ: tj. 5-5=0. W ten sposób wybraliśmy jeden z pierwiastków tego równania kwadratowego.
Drugiego pierwiastka będziemy szukać podstawiając do układu równań to, co już jest znane, np. , tj. .
W ten sposób znaleźliśmy oba pierwiastki równania kwadratowego i możemy zastąpić ich wartości pierwotnym równaniem, aby je uwzględnić:
Przypomnij sobie pierwotny problem, musieliśmy zmniejszyć ułamek.
Spróbujmy rozwiązać problem, podstawiając zamiast licznika .
Należy nie zapominać, że w tym przypadku mianownik nie może być równy 0, tj.
Jeśli te warunki są spełnione, to zredukowaliśmy pierwotny ułamek do postaci .
Zadanie nr 3 (zadanie z parametrem)
Przy jakich wartościach parametru jest suma pierwiastków równania kwadratowego
Jeśli pierwiastki tego równania istnieją, to 
, pytanie brzmi kiedy.
W celu rozłożenia na czynniki konieczne jest uproszczenie wyrażeń. Jest to konieczne, aby móc dalej redukować. Dekompozycja wielomianu ma sens, gdy jego stopień jest nie mniejszy niż drugi. Wielomian pierwszego stopnia nazywamy liniowym.
Artykuł ujawni wszystkie koncepcje rozkładu, podstawy teoretyczne i metody rozkładania wielomianu na czynniki.
Teoria
Twierdzenie 1Gdy dowolny wielomian o stopniu n ma postać P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , są reprezentowane jako iloczyn o stałym współczynniku o najwyższym stopniu a n i n czynników liniowych (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , wtedy P n (x) = a n (x - x n) ( x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , gdzie x i , i = 1 , 2 , … , n - to są pierwiastki wielomianu.
Twierdzenie jest przeznaczone dla pierwiastków typu zespolonego x i , i = 1 , 2 , … , n oraz dla współczynników zespolonych a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To jest podstawa każdego rozkładu.
Gdy współczynniki postaci a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n są liczbami rzeczywistymi, wówczas pierwiastki zespolone wystąpią w parach sprzężonych. Na przykład pierwiastki x 1 i x 2 odnoszą się do wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 uważa się za złożony sprzężony, wtedy pozostałe pierwiastki są rzeczywiste, stąd otrzymujemy, że wielomian przyjmuje postać P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, gdzie x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentarz
Pierwiastki wielomianu można powtarzać. Rozważ dowód twierdzenia algebry, konsekwencje twierdzenia Bezouta.
Podstawowe twierdzenie algebry
Twierdzenie 2Każdy wielomian stopnia n ma co najmniej jeden pierwiastek.
Twierdzenie Bezouta
Po podzieleniu wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , to otrzymujemy resztę, która jest równa wielomianowi w punkcie s , to otrzymujemy
P n x = za n x n + za n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , gdzie Q n - 1 (x) jest wielomianem stopnia n - 1 .
Wniosek z twierdzenia Bezouta
Gdy pierwiastek wielomianu P n (x) jest uważany za s , to P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ten wniosek jest wystarczający, gdy jest używany do opisania rozwiązania.
Faktoryzacja trójmianu kwadratowego
Kwadratowy trójmian postaci a x 2 + b x + c można rozłożyć na czynniki liniowe. wtedy otrzymujemy, że a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , gdzie x 1 i x 2 to pierwiastki (zespolone lub rzeczywiste).
To pokazuje, że sam rozkład sprowadza się do późniejszego rozwiązania równania kwadratowego.
Przykład 1
Rozłóż kwadratowy trójmian na czynniki.
Rozwiązanie
Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby to zrobić, musisz znaleźć wartość dyskryminatora zgodnie ze wzorem, a następnie otrzymujemy D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Stąd mamy to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Stąd otrzymujemy, że 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Aby przeprowadzić kontrolę, musisz otworzyć nawiasy. Otrzymujemy wtedy wyrażenie postaci:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po weryfikacji dochodzimy do oryginalnego wyrażenia. Oznacza to, że możemy stwierdzić, że rozwinięcie jest poprawne.
Przykład 2
Rozłóż na czynniki kwadratowy trójmian postaci 3 x 2 - 7 x - 11 .
Rozwiązanie
Otrzymujemy, że konieczne jest obliczenie wynikowego równania kwadratowego postaci 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Aby znaleźć pierwiastki, musisz określić wartość dyskryminatora. Rozumiemy to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 re = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + re 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - re 2 3 = 7 - 1816
Stąd otrzymujemy, że 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Przykład 3
Rozłóż wielomian na czynniki 2 x 2 + 1.
Rozwiązanie
Teraz musisz rozwiązać równanie kwadratowe 2 x 2 + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki. Rozumiemy to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ja x 2 = - 1 2 = - 1 2 ja
Pierwiastki te nazywane są koniugatami złożonymi, co oznacza, że sam rozkład można przedstawić jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Przykład 4
Rozwiń kwadratowy trójmian x 2 + 1 3 x + 1 .
Rozwiązanie
Najpierw musisz rozwiązać równanie kwadratowe postaci x 2 + 1 3 x + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 re = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + re 2 1 = - 1 3 + 35 3 ja 2 = - 1 + 35 ja 6 = - 1 6 + 35 6 ja x 2 = - 1 3 - re 2 1 = - 1 3 - 35 3 ja 2 = - 1 - 35 ja 6 = - 1 6 - 35 6 ja
Po uzyskaniu korzeni piszemy
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ja x - - 1 6 - 35 6 ja = = x + 1 6 - 35 6 ja x + 1 6 + 35 6 ja
Komentarz
Jeśli wartość dyskryminatora jest ujemna, to wielomiany pozostaną wielomianami drugiego rzędu. Wynika z tego, że nie będziemy ich rozkładać na czynniki liniowe.
Metody rozkładania na czynniki wielomianu stopnia wyższego od drugiego
Dekompozycja zakłada metodę uniwersalną. Większość przypadków opiera się na następstwie twierdzenia Bezouta. Aby to zrobić, musisz wybrać wartość pierwiastka x 1 i zmniejszyć jego stopień, dzieląc przez wielomian przez 1, dzieląc przez (x - x 1) . Otrzymany wielomian musi znaleźć pierwiastek x 2 , a proces wyszukiwania jest cykliczny, aż do uzyskania pełnego rozkładu.
Jeśli pierwiastek nie zostanie znaleziony, stosowane są inne metody faktoryzacji: grupowanie, dodatkowe terminy. Temat ten zakłada rozwiązywanie równań o wyższych potęgach i współczynnikach całkowitych.
Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów
Rozważmy przypadek, gdy wyraz wolny jest równy zeru, wtedy postać wielomianu przyjmuje postać P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1x.
Można zauważyć, że pierwiastek takiego wielomianu będzie równy x 1 \u003d 0, wtedy wielomian można przedstawić w postaci wyrażenia P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + za 1 x = = x (za n x n - 1 + za n - 1 x n - 2 + ... + za 1)
Ta metoda jest uważana za wyjmowanie wspólnego czynnika z nawiasów.
Przykład 5
Rozłóż na czynniki wielomian trzeciego stopnia 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Rozwiązanie
Widzimy, że x 1 \u003d 0 jest pierwiastkiem danego wielomianu, wtedy możemy wziąć x z całego wyrażenia w nawias. Otrzymujemy:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Przejdźmy do znalezienia pierwiastków kwadratowego trójmianu 4 x 2 + 8 x - 1. Znajdźmy dyskryminator i pierwiastki:
re = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + re 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - re 2 4 = - 1 - 5 2
Potem to wynika
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Na początek rozważmy metodę dekompozycji zawierającą współczynniki całkowitoliczbowe postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , gdzie współczynnik najwyższej potęgi wynosi 1 .
Gdy wielomian ma pierwiastki całkowite, uważa się je za dzielniki terminu wolnego.
Przykład 6
Rozwiń wyrażenie f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Rozwiązanie
Rozważ, czy istnieją pierwiastki całkowite. Konieczne jest wypisanie dzielników liczby - 18. Otrzymujemy to ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Wynika z tego, że ten wielomian ma pierwiastki całkowite. Możesz sprawdzić według schematu Hornera. Jest to bardzo wygodne i pozwala szybko uzyskać współczynniki rozszerzalności wielomianu:
Wynika z tego, że x \u003d 2 i x \u003d - 3 są pierwiastkami pierwotnego wielomianu, który można przedstawić jako iloczyn postaci:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Przechodzimy do rozkładu kwadratowego trójmianu postaci x 2 + 2 x + 3 .
Ponieważ dyskryminator jest ujemny, oznacza to, że nie ma prawdziwych pierwiastków.
Odpowiedź: fa (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentarz
Dozwolone jest stosowanie selekcji pierwiastków i dzielenia wielomianu przez wielomian zamiast schematu Hornera. Przejdźmy do rozwinięcia wielomianu zawierającego współczynniki całkowitoliczbowe postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z których najwyższa nie równa się jeden.
Ten przypadek ma miejsce dla ułamkowych ułamków wymiernych.
Przykład 7
Rozłóż na czynniki f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Rozwiązanie
Należy zamienić zmienną y = 2 x , należy przejść do wielomianu o współczynnikach równych 1 w najwyższym stopniu. Musisz zacząć od pomnożenia wyrażenia przez 4 . Rozumiemy to
4 fa (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Gdy wynikowa funkcja postaci g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ma pierwiastki całkowite, wówczas ich znalezienie należy do dzielników terminu wolnego. Wpis będzie wyglądał następująco:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Przejdźmy do obliczenia funkcji g (y) w tych punktach, aby w rezultacie uzyskać zero. Rozumiemy to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Otrzymujemy, że y \u003d - 5 jest pierwiastkiem równania postaci y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, co oznacza, że x \u003d y 2 \u003d - 5 2 jest pierwiastkiem pierwotnej funkcji.
Przykład 8
Konieczne jest podzielenie przez kolumnę 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 przez x + 5 2.
Rozwiązanie
Piszemy i otrzymujemy:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Sprawdzenie dzielników zajmie dużo czasu, dlatego bardziej opłaca się rozłożyć na czynniki wynikowy trójmian kwadratowy postaci x 2 + 7 x + 3. Przyrównując do zera, znajdujemy dyskryminator.
x 2 + 7 x + 3 = 0 re = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Stąd wynika, że
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Sztuczne sztuczki podczas rozkładania wielomianu na czynniki
Wymierne korzenie nie są nieodłączne dla wszystkich wielomianów. Aby to zrobić, musisz użyć specjalnych metod, aby znaleźć czynniki. Ale nie wszystkie wielomiany można rozłożyć lub przedstawić jako iloczyn.
Metoda grupowania
Istnieją przypadki, w których można pogrupować wyrazy wielomianu, aby znaleźć wspólny czynnik i wyjąć go z nawiasów.
Przykład 9
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Rozwiązanie
Ponieważ współczynniki są liczbami całkowitymi, pierwiastki mogą prawdopodobnie również być liczbami całkowitymi. Aby to sprawdzić, bierzemy wartości 1 , - 1 , 2 i - 2 w celu obliczenia wartości wielomianu w tych punktach. Rozumiemy to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To pokazuje, że nie ma korzeni, konieczne jest zastosowanie innej metody rozkładu i rozwiązania.
Wymagane jest grupowanie:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po zgrupowaniu pierwotnego wielomianu konieczne jest przedstawienie go jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych. Aby to zrobić, musimy rozłożyć na czynniki. rozumiemy to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 re = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - re 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - re 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentarz
Prostota grupowania nie oznacza, że łatwo jest wybrać terminy. Nie ma określonego sposobu rozwiązania tego problemu, dlatego konieczne jest użycie specjalnych twierdzeń i reguł.
Przykład 10
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Rozwiązanie
Podany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Terminy należy pogrupować. Rozumiemy to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktoringu dostajemy to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Używanie skróconego mnożenia i wzorów dwumianowych Newtona do rozkładania wielomianu na czynniki
Wygląd często nie zawsze wyjaśnia, w jaki sposób należy użyć podczas rozkładu. Po dokonaniu przekształceń można zbudować linię składającą się z trójkąta Pascala, inaczej nazywamy je dwumianem Newtona.
Przykład 11
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Rozwiązanie
Konieczne jest przekształcenie wyrażenia w formę
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Kolejność współczynników sumy w nawiasach wskazuje wyrażenie x + 1 4 .
Więc mamy x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
Po zastosowaniu różnicy kwadratów otrzymujemy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Rozważ wyrażenie, które jest w drugim nawiasie. Oczywiste jest, że nie ma tam koni, więc należy ponownie zastosować wzór na różnicę kwadratów. Otrzymujemy wyrażenie np
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Przykład 12
Rozłóż na czynniki x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Rozwiązanie
Zmieńmy wyrażenie. Rozumiemy to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone mnożenie różnicy sześcianów. Otrzymujemy:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda zastępowania zmiennej podczas rozkładania wielomianu na czynniki
Podczas zmiany zmiennej stopień jest zmniejszany, a wielomian rozkładany na czynniki.
Przykład 13
Rozłóż wielomian na czynniki w postaci x 6 + 5 x 3 + 6 .
Rozwiązanie
Pod warunkiem jasne jest, że konieczne jest dokonanie wymiany y = x 3 . Otrzymujemy:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Pierwiastki otrzymanego równania kwadratowego to zatem y = - 2 i y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone mnożenie sumy kostek. Otrzymujemy wyrażenia postaci:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Oznacza to, że uzyskaliśmy pożądane rozszerzenie.
Przypadki omówione powyżej pomogą w rozważaniu i rozkładaniu wielomianu na czynniki na różne sposoby.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Faktoryzacja trójmianów kwadratowych to jedno z zadań szkolnych, przed którym prędzej czy później staje każdy. Jak to zrobić? Jaki jest wzór na rozłożenie trójmianu kwadratowego na czynniki? Przejdźmy przez to krok po kroku z przykładami.
Ogólna formuła
Faktoryzacja trójmianów kwadratowych odbywa się poprzez rozwiązanie równania kwadratowego. Jest to proste zadanie, które można rozwiązać kilkoma metodami - znajdując dyskryminator, korzystając z twierdzenia Vieta, istnieje również graficzny sposób rozwiązania. Pierwsze dwie metody są badane w szkole średniej.
Ogólna formuła wygląda następująco:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algorytm wykonania zadania
Aby rozłożyć trójmiany kwadratowe na czynniki, trzeba znać twierdzenie Wita, mieć pod ręką program do rozwiązywania, umieć znaleźć rozwiązanie graficznie lub poszukać pierwiastków równania drugiego stopnia za pomocą wzoru na dyskryminację. Jeśli podany jest trójmian kwadratowy i należy go rozłożyć na czynniki, algorytm działań jest następujący:
1) Przyrównaj oryginalne wyrażenie do zera, aby uzyskać równanie.
2) Podaj podobne terminy (jeśli to konieczne).
3) Znajdź korzenie dowolną znaną metodą. Metodę graficzną najlepiej stosować, jeśli wiadomo z góry, że pierwiastki są liczbami całkowitymi i małymi liczbami. Należy pamiętać, że liczba pierwiastków jest równa maksymalnemu stopniowi równania, czyli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
4) Wartość zastępcza X do wyrażenia (1).
5) Zapisz faktoryzację trójmianów kwadratowych.
Przykłady
Praktyka pozwala w końcu zrozumieć, jak wykonuje się to zadanie. Przykłady ilustrują faktoryzację kwadratowego trójmianu:
musisz rozwinąć wyrażenie:
Skorzystajmy z naszego algorytmu:
1) x 2 -17x+32=0
2) podobne terminy ulegają skróceniu
3) zgodnie ze wzorem Vieta trudno jest znaleźć pierwiastki dla tego przykładu, dlatego lepiej jest użyć wyrażenia dla wyróżnika:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Zastąp pierwiastki, które znaleźliśmy w głównym wzorze rozkładu:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Wtedy odpowiedź będzie następująca:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)
Sprawdźmy, czy znalezione przez dyskryminatora rozwiązania odpowiadają wzorom Vieta:
14,845 . 2,155=32
Dla tych pierwiastków stosuje się twierdzenie Vieta, zostały one znalezione poprawnie, co oznacza, że uzyskana przez nas faktoryzacja jest również poprawna.
Podobnie rozszerzamy 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
W poprzednim przypadku rozwiązaniami były liczby niecałkowite, ale rzeczywiste, które można łatwo znaleźć, mając przed sobą kalkulator. Rozważmy teraz bardziej złożony przykład, w którym pierwiastki są złożone: rozłóż na czynniki x 2 + 4x + 9. Zgodnie ze wzorem Vieta nie można znaleźć pierwiastków, a wyróżnik jest ujemny. Korzenie będą na złożonej płaszczyźnie.
D=-20
Na tej podstawie otrzymujemy interesujące nas pierwiastki -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2, ponieważ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Pożądane rozszerzenie uzyskujemy, podstawiając pierwiastki do wzoru ogólnego.
Inny przykład: musisz rozłożyć wyrażenie na czynniki 23x 2 -14x + 7.
Mamy równanie 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Więc pierwiastki to 14+21,166i i 14-21,166i. Odpowiedź będzie:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Podajmy przykład, który można rozwiązać bez pomocy dyskryminatora.
Niech konieczne będzie rozłożenie równania kwadratowego x 2 -32x + 255. Oczywiście można to również rozwiązać za pomocą dyskryminatora, ale w tym przypadku szybciej jest znaleźć pierwiastki.
x 1 = 15
x2=17
Oznacza x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Klasa: 9
Rodzaj lekcji: lekcja utrwalania i systematyzowania wiedzy.
Rodzaj lekcji: Weryfikacja, ocena i korekta wiedzy i metod działania.
Cele:
- Edukacyjny:
- utrwalenie wiedzy w procesie rozwiązywania różnych zadań na zadany temat;
– kształtowanie myślenia matematycznego;
- zwiększać zainteresowanie tematem w procesie powtarzania przerabianego materiału.
- kształtowanie pozytywnego nastawienia do nauki;
- rozwijanie ciekawości.
- rozwinąć umiejętność racjonalnego planowania pracy;
- rozwój samodzielności, uwagi.
Sprzęt: materiał dydaktyczny do pracy ustnej, praca samodzielna, zadania testowe do sprawdzania wiedzy, karty z pracą domową, podręcznik do algebry Yu.N. Makaryczew.
Plan lekcji.
| Etapy lekcji | Czas min | Techniki i metody |
| I. Etap aktualizacji wiedzy. Problem z motywacją do nauki | 2 | Rozmowa nauczyciela |
| II. Główna treść lekcji Tworzenie i utrwalanie pomysłów uczniów na temat wzoru na rozłożenie trójmianu kwadratowego na czynniki. | 10 | Wyjaśnienie nauczyciela. Rozmowa heurystyczna |
| III. Kształtowanie umiejętności i zdolności. Konsolidacja badanego materiału | 25 | Rozwiązywanie problemów. Odpowiedzi na pytania uczniów |
| IV. Sprawdzanie przyswajania wiedzy. Odbicie | 5 | Wiadomość nauczyciela. Wiadomość studencka |
| V. Praca domowa | 3 | Zadanie na kartach |
Podczas zajęć
I. Etap aktualizacji wiedzy. Motywacja problemu wychowawczego.
Organizowanie czasu.
Dzisiaj na lekcji uogólnimy i usystematyzujemy wiedzę na temat: „Faktoryzacja trójmianu kwadratowego”. Wykonując różne ćwiczenia, powinieneś sam zanotować punkty, na które musisz zwrócić szczególną uwagę podczas rozwiązywania równań i problemów praktycznych. Jest to bardzo ważne podczas przygotowań do egzaminu.
Zapisz temat lekcji: „Rozkład kwadratowego trójmianu na czynniki. Rozwiązywanie przykładów.
II. Główna treść lekcji Tworzenie i utrwalanie pomysłów uczniów na temat wzoru na rozłożenie trójmianu kwadratowego na czynniki.
praca ustna.
– Aby pomyślnie rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki, musisz zapamiętać zarówno wzory na znalezienie wyróżnika, jak i wzory na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego, wzór na rozłożenie trójmianu kwadratowego na czynniki i zastosować je w praktyce.
1. Spójrz na karty „Kontynuuj lub uzupełnij zdanie”.
2. Spójrz na tablicę.
1. Który z proponowanych wielomianów nie jest kwadratowy?
1) X 2 – 4x + 3 =
0;
2) – 2X 2 +X– 3 =
0;
3) X 4 – 2X 3 +
2 =
0;
4)2x 3 – 2X 2 +
2 =
0;
Zdefiniuj trójmian kwadratowy. Zdefiniuj pierwiastek trójmianu kwadratowego.
2. Który ze wzorów nie jest wzorem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego?
1) X 1,2 =
;
2) X 1,2 =
– B+
;
3) X 1,2 =
.
3. Znajdź współczynniki a, b, c kwadratowego trójmianu - 2 X 2 + 5x + 7
1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.
4. Który ze wzorów jest wzorem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego
x2 + px + q= 0 według twierdzenia Viety?
1) X 1 + x 2 =p,
X 1 · X 2 = q.
2) X 1 + x 2 =
–P ,
X 1 · X 2 = q.
3)X 1 + x 2 =
–P ,
X 1 · X 2 = – q .
5. Rozwiń kwadratowy trójmian X 2 – 11x + 18 dla mnożników.
Odpowiedź: ( X – 2)(X – 9)
6. Rozwiń kwadratowy trójmian Na 2 – 9y + 20 dla mnożników
Odpowiedź: ( X – 4)(X – 5)
III. Kształtowanie umiejętności i zdolności. Konsolidacja badanego materiału.
1. Rozłóż trójmian kwadratowy na czynniki:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
o 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.
2. Faktoring pomaga nam w redukcji ułamków zwykłych.
3. Nie korzystając ze wzoru na pierwiastek, znajdź pierwiastki kwadratowego trójmianu:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
B) X 2 – 9X + 20 = 0.
4. Utwórz kwadratowy trójmian, którego pierwiastkami są liczby:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
B) X 1 = 3; X 2 = -6;
Niezależna praca.
Samodzielnie wykonaj zadanie zgodnie z opcjami, a następnie dokonaj weryfikacji. Na pierwsze dwa zadania należy odpowiedzieć „Tak” lub „Nie”. Wzywany jest jeden uczeń z każdej opcji (pracują na klapach planszy). Po wykonaniu samodzielnej pracy na tablicy przeprowadzana jest wspólna kontrola rozwiązania. Uczniowie oceniają swoją pracę.
1. opcja:
1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.
2. Liczba 2 jest pierwiastkiem równania x 2 + 3x - 10 = 0.
3. Rozłóż kwadratowy trójmian na czynniki 6 X 2 – 5X + 1;
2. opcja:
1.D>0. Równanie ma 2 pierwiastki.
2. Liczba 3 jest pierwiastkiem równania kwadratowego x 2 - x - 12 = 0.
3. Rozłóż kwadratowy trójmian na czynniki 2 X 2 – 5x + 3
IV. Sprawdzanie przyswajania wiedzy. Odbicie.
– Lekcja pokazała, że znasz podstawowy materiał teoretyczny z tego tematu. Podsumowaliśmy wiedzę