dom domy z bali Liczby Fibonacciego we wzór słonecznika. Złota proporcja – co to jest? Liczby Fibonacciego są? Co wspólnego ma helisa DNA, powłoka, galaktyka i egipskie piramidy?

Liczby Fibonacciego we wzór słonecznika. Złota proporcja – co to jest? Liczby Fibonacciego są? Co wspólnego ma helisa DNA, powłoka, galaktyka i egipskie piramidy?

Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, był pierwszym z wielkich europejskich matematyków późnego średniowiecza. Urodzony w Pizie w zamożnej rodzinie kupieckiej, wszedł do matematyki z czysto praktycznej potrzeby ustalenia kontakty biznesowe. W młodości Leonardo dużo podróżował, towarzysząc ojcu w podróżach służbowych. Wiemy na przykład o jego długim pobycie w Bizancjum i na Sycylii. Podczas takich podróży często kontaktował się z lokalnymi naukowcami.

Serie liczb, które dziś noszą jego imię, wyrosły z problemu z królikami, który Fibonacci nakreślił w swojej książce Liber abacci, napisanej w 1202 roku:

Mężczyzna umieścił parę królików w zagrodzie otoczonej ze wszystkich stron ścianą. Ile par królików może urodzić ta para w ciągu roku, jeśli wiadomo, że co miesiąc, począwszy od drugiego, każda para królików rodzi jedną parę?

Możesz upewnić się, że liczba par w każdym z kolejnych dwunastu miesięcy z miesiąca będzie odpowiednio

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Innymi słowy, liczba par królików tworzy szereg, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Znany jest jako Ciąg Fibonacciego i same liczby liczby Fibonacciego. Okazuje się, że ten ciąg ma wiele matematycznie interesujących właściwości. Oto przykład: możesz podzielić linię na dwa odcinki, tak aby stosunek między większym i mniejszym odcinkiem był proporcjonalny do stosunku między całą linią a większym odcinkiem. Ten współczynnik proporcjonalności, w przybliżeniu równy 1,618, jest znany jako złoty podział. W renesansie wierzono, że jest to ta proporcja, obserwowana w konstrukcje architektoniczne najbardziej przyjemne dla oka. Jeśli weźmiesz kolejne pary z ciągu Fibonacciego i podzielisz więcej z każdej pary na mniejszą, Twój wynik będzie stopniowo zbliżał się do złotego podziału.

Odkąd Fibonacci odkrył jego ciąg, odkryto nawet zjawiska naturalne, w których ten ciąg wydaje się odgrywać ważną rolę. Jeden z nich - filotaksja(układ liści) - zasada, według której nasiona znajdują się np. w kwiatostanie słonecznika. Nasiona są ułożone w dwóch rzędach spirali, z których jedna idzie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a druga przeciwnie. A jaka jest liczba nasion w każdym przypadku? 34 i 55.

Ciąg Fibonacciego. Jeśli spojrzysz na liście rośliny z góry, zobaczysz, że kwitną spiralnie. Kąty między sąsiednimi liśćmi tworzą regularny ciąg matematyczny, znany jako ciąg Fibonacciego. Dzięki temu każdy pojedynczy liść rosnący na drzewie otrzymuje maksymalną dostępną ilość ciepła i światła.

Piramidy w Meksyku

Nie tylko piramidy egipskie zostały zbudowane zgodnie z idealnymi proporcjami złotego podziału, to samo zjawisko stwierdzono w piramidach meksykańskich. Powstaje pomysł, że piramidy egipskie i meksykańskie zostały zbudowane mniej więcej w tym samym czasie przez ludzi wspólnego pochodzenia.
Na przekroju piramidy widoczny jest kształt przypominający klatkę schodową.Na pierwszym poziomie znajduje się 16 stopni, na drugim 42 stopnie, a na trzecim 68 stopni.
Liczby te są oparte na współczynniku Fibonacciego w następujący sposób:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68

Po kilku pierwszych liczbach ciągu stosunek któregokolwiek z jego wyrazów do następnego wynosi około 0,618, a do poprzedniego - 1,618. Im większy numer seryjny elementu ciągu, tym stosunek ten jest bliższy liczbie phi, która jest liczbą niewymierną i wynosi 0,618034… Stosunek elementów ciągu oddzielonych jedną liczbą wynosi około 0,382 , a jej odwrotność to 2,618. na ryc. 3-2 przedstawia tabelę stosunków wszystkich liczb Fibonacciego od 1 do 144.

F jest pojedynczy, co po dodaniu do 1 daje jej odwrotność: 1 + 0,618 = 1: 0,618. Ta zależność między procedurami dodawania i mnożenia prowadzi do następującej sekwencji równań:

Jeśli będziemy kontynuować ten proces, utworzymy prostokąty o wymiarach 13 na 21, 21 na 34 i tak dalej.

Teraz to sprawdź. Jeśli podzielisz 13 przez 8, otrzymasz 1,625. A jeśli podzielisz większą liczbę przez mniejszą liczbę, to stosunki te będą coraz bardziej zbliżać się do liczby 1,618, znanej wielu osobom jako złoty podział, liczba, która od wieków fascynowała matematyków, naukowców i artystów.

Tabela współczynników Fibonacciego

W miarę wzrostu nowej progresji liczby tworzą trzecią sekwencję, składającą się z liczb dodanych do iloczynu czterech i liczby Fibonacciego. Jest to możliwe dzięki faktowi że stosunek między elementami ciągu oddalonymi o dwie pozycje wynosi 4,236. gdzie liczba 0,236 jest odwrotnością 4,236 i. ponadto różnica między 4,236 a 4. Inne czynniki prowadzą do innych sekwencji, wszystkie oparte na stosunkach Fibonacciego.

1. Żadne dwie kolejne liczby Fibonacciego nie mają wspólnego dzielnika.

2. Jeśli wyrazy ciągu Fibonacciego ponumerujemy jako 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 itd., to okaże się, że z wyjątkiem czwartego wyrazu (liczba 3), liczba dowolna liczba Fibonacciego Liczba pierwsza(to znaczy nie mający innych dzielników niż siebie i jedność) jest również prostym czystym. Podobnie, z wyjątkiem czwartego elementu ciągu Fibonacciego (numer 3), wszystkie liczby złożone elementów ciągu (tj. te, które mają co najmniej dwa dzielniki z wyjątkiem siebie i jednego) odpowiadają złożonym liczbom Fibonacciego, jak pokazano w tabeli poniżej. . Nie zawsze jest odwrotnie.

3. Suma dowolnych dziesięciu wyrazów ciągu jest podzielna przez jedenaście.

4. Suma wszystkich liczb Fibonacciego do pewnego punktu ciągu plus jeden jest równa liczbie Fibonacciego o dwie pozycje od ostatniej dodanej liczby.

5. Suma kwadratów dowolnych kolejnych wyrazów zaczynających się od pierwszej 1 będzie zawsze równa ostatniej (z podanej próbki) liczbie ciągu pomnożonej przez kolejny wyraz.

6. Kwadrat liczby Fibonacciego minus kwadrat drugiego elementu ciągu w dół zawsze będzie liczbą Fibonacciego.

7. Kwadrat dowolnej liczby Fibonacciego jest równy poprzedniemu członowi ciągu pomnożonemu przez następną liczbę w ciągu, plus lub minus jeden. Dodawanie i odejmowanie jednej alternatywy w miarę postępu sekwencji.

8. Suma kwadratu liczby Fn i kwadratu kolejnej liczby Fibonacciego F jest równa liczbie Fibonacciego F,. Formuła F - + F 2 \u003d F„, ma zastosowanie do prawe trójkąty, gdzie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku. Po prawej stronie znajduje się przykład użycia klawiszy F5, F6 i Pierwiastek kwadratowy z Fn.

10. Jednym ze zdumiewających zjawisk, o którym, o ile nam wiadomo, dotychczas nie wspomniano, jest to, że stosunki między liczbami Fibonacciego są równe liczbom bardzo bliskim tysięcznym innych liczb Fibonacciego, z różnicą równą jednej tysięcznej innej liczby Fibonacciego (patrz rysunek 3-2). Tak więc, w kierunku rosnącym, stosunek dwóch identycznych liczb Fibonacciego wynosi 1, czyli 0,987 plus 0,013: sąsiednie liczby Fibonacciego mają stosunek 1,618. lub 1,597 plus 0,021; liczby Fibonacciego po obu stronach pewnego elementu sekwencji mają stosunek 2,618 lub 2,584 plus 0,034 i tak dalej. W przeciwnym kierunku sąsiednie liczby Fibonacciego mają stosunek 0,618. lub 0,610 plus 0,008: Liczby Fibonacciego znajdujące się po obu stronach jakiegoś elementu ciągu mają stosunek 0,382 lub 0,377 plus 0,005; Liczby Fibonacciego, między którymi są dwa elementy ciągu, mają stosunek 0,236 lub 0,233 plus 0,003: Liczby Fibonacciego, między którymi jest trzech członków ciągu, mają stosunek 0,146. lub 0,144 plus 0,002: Liczby Fibonacciego, między którymi jest to cztery elementy ciągu mają stosunek 0,090, czyli 0,089 plus 0,001: Liczby Fibonacciego, między którymi jest pięciu elementów ciągu, mają stosunek 0,056. lub 0,055 plus 0,001; Liczby Fibonacciego, między którymi znajduje się od sześciu do dwunastu członków ciągu, mają stosunki, które same są tysięcznymi liczbami Fibonacciego, zaczynając od 0,034. Co ciekawe, w tej analizie współczynnik łączący liczby Fibonacciego, między którymi znajduje się trzynastu członków ciągu, ponownie rozpoczyna szereg od 0,001, czyli jednej tysięcznej liczby, w której się rozpoczął! Przy wszystkich obliczeniach rzeczywiście otrzymujemy podobieństwo lub „samoodtwarzanie w nieskończonej serii”, ujawniające właściwości „najsilniejszego związku ze wszystkich relacji matematycznych”.

Na koniec zauważ, że (V5 + 1)/2 = 1,618 i [\^5- 1)/2 = 0,618. gdzie V5 = 2,236. 5 okazuje się być najważniejszą liczbą dla zasady falowej, a jej pierwiastek kwadratowy jest matematycznym kluczem do liczby f.

Liczba 1,618 (lub 0,618) jest znana jako złoty podział lub złoty środek. Miła dla oka i ucha jest związana z tym proporcjonalność. Przejawia się w biologii, muzyce, malarstwie i architekturze. W artykule z grudnia 1975 roku w Smithsonian Magazine William Hoffer powiedział:

„... Stosunek liczby 0,618034 do 1 jest matematyczną podstawą formy grać w karty i Partenon, słonecznik i muszla, greckie wazy i spiralne galaktyki przestrzeni kosmicznej. Tak wiele dzieł sztuki i architektury Greków opiera się na tej proporcji. Nazywali to „złotym środkiem”.

Płodne króliki Fibonacciego pojawiają się w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. Liczby Fibonacciego są niewątpliwie częścią mistycznej naturalnej harmonii, która dobrze się czuje, dobrze wygląda, a nawet dobrze brzmi. Na przykład muzyka opiera się na oktawie ośmiu nut. Na fortepianie jest to reprezentowane przez 8 białych i 5 czarnych klawiszy – w sumie 13. Nieprzypadkowo interwałem muzycznym, który sprawia naszemu uchu największą przyjemność jest seksta. Nuta „mi” wibruje w stosunku 0,62500 do nuty „do”. To tylko 0,006966 od dokładnego złotego środka. Proporcje szóstego przenoszą przyjemne wibracje do ślimaka ucha środkowego - narządu, który również ma kształt spirali logarytmicznej.

Ciągłe występowanie liczb Fibonacciego i złotej spirali w przyrodzie dokładnie wyjaśnia, dlaczego stosunek 0,618034 do 1 jest tak przyjemny w dziełach sztuki. Człowiek widzi w sztuce odzwierciedlenie życia, którego podstawą jest złoty środek.

Natura wykorzystuje złoty podział w swoich najdoskonalszych tworach – od tak małych, jak mikrozwoje mózgu i cząsteczki DNA (patrz ryc. 3 9), po tak duże, jak galaktyki. Przejawia się w tak różnych zjawiskach, jak wzrost kryształów, załamanie wiązki światła w szkle, budowa mózgu i system nerwowy, konstrukcje muzyczne, budowa roślin i zwierząt. Nauka dostarcza coraz więcej dowodów na to, że natura rzeczywiście ma nadrzędną zasadę proporcjonalności. Nawiasem mówiąc, trzymasz tę książkę dwoma z pięciu palców, z których każdy składa się z trzech części. Razem: pięć jednostek, z których każda jest podzielona przez trzy - progresja 5-3-5-3, podobna do tej, która leży u podstaw zasady fali.

Symetryczny i proporcjonalny kształt przyczynia się do najlepszej percepcji wzrokowej i wywołuje poczucie piękna i harmonii. Holistyczny obraz zawsze składa się z części inny rozmiar, które pozostają ze sobą w pewnej relacji i z całością. Złoty podział jest najwyższym przejawem doskonałości całości i jej części w nauce, sztuce i przyrodzie.

Jeśli na prosty przykład, to Złoty Podział to podział segmentu na dwie części w takim stosunku, w jakim większa część odnosi się do mniejszej, jak ich suma (cały odcinek) do większej.

Jeżeli cały odcinek c przyjmiemy jako 1, to odcinek a będzie równy 0,618, odcinek b - 0,382, tylko w ten sposób zostanie spełniony warunek złotego podziału (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Stosunek c do a wynosi 2,618, a c do b wynosi 1,618. To wszystko te same, już nam znane współczynniki Fibonacciego.

Oczywiście jest złoty prostokąt, złoty trójkąt, a nawet złoty prostopadłościan. Proporcje Ludzkie ciało pod wieloma względami zbliżony do Złotego Podziału.

Ale najciekawiej zaczyna się, gdy połączymy zdobytą wiedzę. Rysunek wyraźnie pokazuje związek między ciągiem Fibonacciego a Złotym Podziałem. Zaczynamy od dwóch kwadratów pierwszego rozmiaru. Z góry dodajemy kwadrat drugiego rozmiaru. Malujemy obok kwadratu o boku równym sumie boków dwóch poprzednich, trzeciego rozmiaru. Analogicznie pojawia się kwadrat piątego rozmiaru. I tak dalej, aż się znudzisz, najważniejsze jest to, aby długość boku każdego następnego kwadratu była równa sumie długości boków dwóch poprzednich. Widzimy serię prostokątów, których długości boków są liczbami Fibonacciego i co dziwne, nazywane są one prostokątami Fibonacciego.

Jeśli poprowadzimy gładką linię przez rogi naszych kwadratów, otrzymamy jedynie spiralę Archimedesa, której skok jest zawsze równomierny.

Każdy element złotego ciągu logarytmicznego jest potęgą Złotego Podziału ( z). Część wiersza wygląda mniej więcej tak: ...z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5 ... Jeśli zaokrąglimy wartość złotego podziału do trzech miejsc po przecinku, otrzymamy z=1,618, wtedy wiersz wygląda następująco: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Każdy kolejny wyraz można otrzymać nie tylko mnożąc poprzedni przez 1,618 , ale także dodając dwa poprzednie. Zatem wykładniczy wzrost w sekwencji jest zapewniony przez prosty dodatek dwa sąsiednie elementy. Jest to ciąg bez początku i końca i właśnie takim ciągiem Fibonacciego stara się być. Mając dobrze określony początek, dąży do ideału, nigdy go nie osiągając. Takie jest życie.

A jednak w związku ze wszystkim, co widziano i czytano, nasuwają się całkiem naturalne pytania:
Skąd wzięły się te liczby? Kim jest ten architekt wszechświata, który próbował uczynić go doskonałym? Czy kiedykolwiek było tak, jak chciał? A jeśli tak, to dlaczego się nie udało? Mutacje? Wolny wybór? Co będzie następne? Czy cewka skręca się lub rozkręca?

Znajdując odpowiedź na jedno pytanie, otrzymujesz następne. Jeśli go rozwiążesz, otrzymasz dwa nowe. Rozpraw się z nimi, pojawią się trzy kolejne. Po ich rozwiązaniu zdobędziesz pięć nierozwiązanych. Potem osiem, potem trzynaście, 21, 34, 55...

Dowiedzmy się, co łączy starożytne egipskie piramidy, obraz Leonarda da Vinci „Mona Lisa”, słonecznik, ślimak, szyszkę i ludzkie palce?

Odpowiedź na to pytanie jest ukryta w niesamowitych liczbach, które zostały odkryte. włoski średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy, lepiej znany pod imieniem Fibonacci (ur. ok. 1170 r. - zm. po 1228 r.), włoski matematyk . Podróżując po Wschodzie zapoznał się z osiągnięciami matematyki arabskiej; przyczynił się do ich przeniesienia na Zachód.

Po jego odkryciu liczby te zaczęto nazywać imieniem słynnego matematyka. Niesamowita istota ciągu Fibonacciego polega na tym że każda liczba w tym ciągu jest otrzymana z sumy dwóch poprzednich liczb.

Zatem liczby tworzące ciąg:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

nazywane są „liczbami Fibonacciego”, a sam ciąg nazywa się ciągiem Fibonacciego.

W liczbach Fibonacciego jest jedna bardzo interesująca cecha. Podczas dzielenia dowolnej liczby z ciągu przez liczbę znajdującą się przed nią w szeregu, wynikiem zawsze będzie wartość, która oscyluje wokół wartości niewymiernej 1,61803398875… i za każdym razem albo ją przekracza, albo nie osiąga. (Notatka. Liczba niewymierna, tj. liczba, której reprezentacja dziesiętna jest nieskończona, a nie okresowa)

Co więcej, po 13. liczbie w ciągu wynik dzielenia staje się stały aż do nieskończoności szeregu… To właśnie ta stała liczba podziałów w średniowieczu nazywana była Boską Proporcją, a obecnie nazywana jest złotym podziałem, złotym środkiem lub złotą proporcją. . W algebrze liczba ta jest oznaczona grecką literą phi (Ф)

Tak więc złoty podział = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ludzkie ciało i złoty podział

Najważniejsza książka wszystkich współczesnych architektów, podręcznik E. Neuferta „Projekt budowlany” zawiera podstawowe obliczenia parametrów ludzkiego ciała, w tym złoty podział.

Proporcje różne części nasze ciało jest liczbą bardzo bliską złotemu podziałowi. Jeśli te proporcje pokrywają się z formułą złotego podziału, to wygląd lub ciało osoby uważa się za idealnie zbudowane. Zasadę obliczania złotej miary na ciele człowieka można przedstawić na schemacie:

M/m=1,618

Pierwszy przykład złotego podziału w budowie ludzkiego ciała:
Jeśli przyjmiemy punkt pępka za środek ludzkiego ciała, a odległość między stopą człowieka a punktem pępka jako jednostkę miary, to wysokość osoby będzie równa liczbie 1,618.

Oprócz tego istnieje jeszcze kilka podstawowych złotych proporcji naszego ciała:

* odległość od czubków palców do nadgarstka do łokcia wynosi 1:1,618;

* odległość od poziomu barku do czubka głowy i wielkość głowy wynosi 1:1,618;

* odległość od pępka do czubka głowy i od poziomu barku do czubka głowy wynosi 1:1,618;

* odległość od pępka do kolan i od kolan do stóp wynosi 1:1,618;

* odległość od czubka brody do czubka górnej wargi i od czubka górnej wargi do nozdrzy wynosi 1:1,618;

* odległość od czubka brody do górnej linii brwi i od górnej linii brwi do nasady wynosi 1:1,618;

* odległość od czubka brody do górnej linii brwi oraz od górnej linii brwi do nasady wynosi 1:1,618:

Złoty podział w rysach twarzy człowieka jako kryterium idealnej urody.

W strukturze rysów twarzy człowieka jest też wiele przykładów zbliżonych wartością do formuły złotego podziału. Jednak nie pędź od razu za władcą, aby zmierzyć twarze wszystkich ludzi. Ponieważ dokładne odpowiedniki złotego podziału, według naukowców i ludzi sztuki, artystów i rzeźbiarzy, istnieją tylko u ludzi o doskonałej urodzie. W rzeczywistości dokładna obecność złotego podziału na twarzy osoby jest ideałem piękna dla ludzkiego oka.

Na przykład, jeśli zsumujemy szerokość dwóch górnych przednich zębów i podzielimy tę sumę przez wysokość zębów, to otrzymawszy złoty podział, możemy powiedzieć, że budowa tych zębów jest idealna.

NA ludzka twarz Istnieją inne wcielenia zasady złotego podziału. Oto niektóre z tych relacji:

* Wysokość twarzy / szerokość twarzy;

* Centralny punkt połączenia ust z podstawą nosa/długością nosa;

* Wysokość twarzy / odległość od czubka podbródka do środkowego punktu połączenia ust;

* Szerokość ust / szerokość nosa;

* Szerokość nosa / odległość między nozdrzami;

* Odległość między źrenicami / odległość między brwiami.

Ludzka ręka

Wystarczy teraz zbliżyć do siebie dłoń i uważnie się jej przyjrzeć palec wskazujący, a od razu znajdziesz w nim formułę złotego podziału. Każdy palec naszej dłoni składa się z trzech paliczków.

* Suma dwóch pierwszych paliczków palca w stosunku do całej długości palca i podaje numer złotego podziału (z wyjątkiem kciuk);

* Ponadto stosunek między palcem środkowym a małym palcem jest również równy złotemu podziałowi;

* Osoba ma 2 ręce, palce każdej dłoni składają się z 3 paliczków (z wyjątkiem kciuka). Każda ręka ma 5 palców, czyli łącznie 10, ale z wyjątkiem dwóch dwupaliczkowych kciuki tylko 8 palców powstaje zgodnie z zasadą złotego podziału. Podczas gdy wszystkie te liczby 2, 3, 5 i 8 to liczby ciągu Fibonacciego:

Złoty podział w budowie ludzkich płuc

Amerykański fizyk B.D. West i dr A.L. Goldberger podczas badań fizykalnych i anatomicznych stwierdził, że złoty podział istnieje również w strukturze płuc człowieka.

Osobliwością oskrzeli, które tworzą płuca człowieka, jest ich asymetria. Oskrzela składają się z dwóch głównych dróg oddechowych, z których jedna (po lewej) jest dłuższa, a druga (po prawej) krótsza.

* Stwierdzono, że asymetria ta utrzymuje się w gałęziach oskrzeli, we wszystkich mniejszych drogi oddechowe. Ponadto stosunek długości oskrzeli krótkich i długich jest również złotym podziałem i wynosi 1:1,618.

Struktura złotego ortogonalnego czworoboku i spirali

Złoty podział to taki proporcjonalny podział segmentu na nierówne części, w którym cały segment ma się do większej części w taki sam sposób, jak sam większy ma się do mniejszego; lub innymi słowy, mniejsza sekcja jest powiązana z większą, tak jak większa jest powiązana ze wszystkim.

W geometrii prostokąt o takim stosunku boków zaczęto nazywać złotym prostokątem. Jego długie boki mają stosunek do boków krótszych w stosunku 1,168:1.

Złoty prostokąt ma również wiele niesamowitych właściwości. Złoty prostokąt ma wiele niezwykłych właściwości. Odcinając kwadrat ze złotego prostokąta, którego bok jest równy mniejszemu bokowi prostokąta, ponownie otrzymujemy mniejszy złoty prostokąt. Proces ten można kontynuować w nieskończoność. W miarę odcinania kwadratów będziemy otrzymywać coraz mniejsze złote prostokąty. Co więcej, będą one ułożone w spirali logarytmicznej, co jest ważne w matematycznych modelach obiektów naturalnych (np. muszli ślimaków).

Biegun spirali leży na przecięciu przekątnych początkowego prostokąta i pierwszego odciętego pionu. Co więcej, przekątne wszystkich kolejnych malejących złotych prostokątów leżą na tych przekątnych. Oczywiście jest też złoty trójkąt.

Angielski projektant i estetyk William Charlton stwierdził, że ludzie uważają spiralne kształty za przyjemne dla oka i używają ich od tysiącleci, wyjaśniając to w następujący sposób:

„Podoba nam się wygląd spirali, ponieważ wizualnie możemy ją łatwo zobaczyć”.

W naturze

* Zasada złotego podziału leżąca u podstaw struktury spirali bardzo często spotykana jest w naturze w tworach o niespotykanej urodzie. Bardzo ilustrujące przykłady- spiralny kształt można zobaczyć w układzie nasion słonecznika, w szyszkach sosnowych, w ananasach, kaktusach, strukturze płatków róż itp.;

* Botanicy ustalili, że w układzie liści na gałęzi, nasionach słonecznika lub szyszkach wyraźnie manifestuje się ciąg Fibonacciego, a zatem manifestuje się prawo złotego podziału;

Wszechmogący Pan ustanowił specjalną miarę dla każdego ze swoich stworzeń i nadał proporcjonalność, co potwierdzają przykłady znalezione w przyrodzie. Można przytoczyć bardzo wiele przykładów, kiedy proces wzrostu organizmów żywych przebiega ściśle według kształtu spirali logarytmicznej.

Wszystkie sprężyny w zwoju mają ten sam kształt. Matematycy odkryli, że nawet wraz ze wzrostem rozmiaru sprężyn kształt spirali pozostaje niezmieniony. Nie ma innej formy w matematyce, która ma takie same unikalne właściwości jak spirala.

Budowa muszli morskich

Naukowcy, którzy badali wewnętrzne i struktura zewnętrzna muszle mięczaki o miękkim ciele mieszkający na dnie mórz stwierdził:

„Wewnętrzna powierzchnia muszli jest nienagannie gładka, podczas gdy zewnętrzna jest pokryta chropowatością i nierównościami. Małż był w muszli i do tego wewnętrzna powierzchnia umywalki musiały być nieskazitelnie gładkie. Zewnętrzne naroża-zagięcia skorupy zwiększają jej wytrzymałość, twardość, a tym samym zwiększają jej wytrzymałość. Perfekcja i niesamowita sensowność budowy muszli (ślimaka) zachwyca. Spiralna idea muszli to doskonała forma geometryczna i niesamowita w swoim dopracowanym pięknie”.

U większości ślimaków, które mają muszle, muszla rośnie w spirali logarytmicznej. Nie ulega jednak wątpliwości, że te nierozsądne stworzenia nie tylko nie mają pojęcia o spirali logarytmicznej, ale nie mają nawet najprostszej wiedzy matematycznej, aby stworzyć dla siebie spiralną powłokę.

Ale w jaki sposób te nieinteligentne istoty mogłyby określić i wybrać dla siebie idealną formę wzrostu i istnienia w postaci spiralnej skorupy? Czy te żywe stworzenia, które świat naukowy nazywa prymitywnymi formami życia, mogły obliczyć, że logarytmiczny kształt skorupy byłby idealny dla ich istnienia?

Oczywiście, że nie, bo takiego planu nie da się zrealizować bez obecności rozumu i wiedzy. Ale ani prymitywne mięczaki, ani nieświadoma natura, którą jednak niektórzy naukowcy nazywają stwórcą życia na ziemi (?!)

Próba wyjaśnienia pochodzenia nawet najbardziej prymitywnej formy życia przypadkowym zbiegiem okoliczności naturalnych jest co najmniej absurdalna. Wyraźnie widać, że ten projekt jest świadomym tworem.

Biolog Sir D'Arkey Thompson nazywa ten rodzaj wzrostu muszli morskich „Kształt wzrostu gnoma”.

Sir Thompson komentuje:

„Nie ma prostszego systemu niż wzrost muszli, które rosną i rozszerzają się proporcjonalnie, zachowując ten sam kształt. Skorupa, co jest najbardziej niesamowite, rośnie, ale nigdy nie zmienia kształtu.

Nautilus, mierzący kilka centymetrów średnicy, jest najbardziej uderzającym przykładem wzrostu podobnego do gnoma. S. Morrison opisuje ten proces wzrostu łodzika, który nawet ludzki umysł wydaje się trudny do zaplanowania:

„Wewnątrz muszli łodzika znajduje się wiele działów-pokojów z przegrodami z masy perłowej, a sama skorupa wewnątrz jest spiralą rozszerzającą się od środka. Gdy nautilus rośnie, przed muszlą rośnie kolejny pokój, ale już duże rozmiary niż poprzednia, a pozostawione przegrody pomieszczenia pokryte są warstwą masy perłowej. W ten sposób spirala rozszerza się proporcjonalnie przez cały czas”.

Oto tylko niektóre rodzaje muszli spiralnych, które mają logarytmiczny kształt wzrostu zgodnie z ich nazwami naukowymi:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Wszystkie odkryte szczątki kopalne muszli również miały rozwinięty spiralny kształt.

Jednak logarytmiczna forma wzrostu występuje w świecie zwierząt nie tylko u mięczaków. Rogi antylop, dzikich kóz, baranów i innych podobnych zwierząt również rozwijają się w formie spirali zgodnie z prawami złotego podziału.

Złoty podział w ludzkim uchu

W ludzkim uchu wewnętrznym znajduje się narząd Ślimak („Ślimak”), który pełni funkcję przenoszenia wibracji dźwiękowych. Ta podobna do kości struktura jest wypełniona płynem i również utworzona w formie ślimaka, zawierającego stabilny logarytmiczny kształt spirali = 73º 43'.

Zwierzęce rogi i kły rozwijające się w spiralny wzór

Kły słoni i wymarłych mamutów, pazury lwów i dzioby papug są formami logarytmicznymi i przypominają kształt osi, która ma tendencję do przekształcania się w spiralę. Pająki zawsze przędą swoje sieci po spirali logarytmicznej. Struktura mikroorganizmów, takich jak plankton (gatunki globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae i trochida) ma również kształt spiralny.

Złoty podział w strukturze mikroświatów

Kształty geometryczne nie ograniczają się tylko do trójkąta, kwadratu, pięciokąta czy sześciokąta. Jeśli połączymy te liczby na różne sposoby między sobą, wtedy otrzymujemy nowe trójwymiarowe figury geometryczne. Przykładami tego są figury, takie jak sześcian lub piramida. Jednak oprócz nich są też inne trójwymiarowe postacie, w których nie musieliśmy się spotykać Życie codzienne, i których imiona słyszymy, być może po raz pierwszy. Wśród takich trójwymiarowych figur można wymienić czworościan (zwykły czworościan), ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan itp. Dwunastościan składa się z 13 pięciokątów, dwudziestościan z 20 trójkątów. Matematycy zauważają, że figury te są matematycznie bardzo łatwe do przekształcenia, a ich przekształcenie odbywa się zgodnie ze wzorem spirali logarytmicznej złotego podziału.

W mikrokosmosie wszechobecne są trójwymiarowe logarytmiczne formy zbudowane według złotych proporcji. . Na przykład wiele wirusów ma trójwymiarowy geometryczny kształt dwudziestościanu. Być może najbardziej znanym z tych wirusów jest wirus Adeno. Powłoka białkowa wirusa Adeno jest utworzona z 252 jednostek komórek białkowych ułożonych w określonej kolejności. W każdym rogu dwudziestościanu znajduje się 12 jednostek komórek białkowych w postaci pięciokątnego graniastosłupa, a z tych rogów rozciągają się struktury przypominające kolce.

Złoty podział w strukturze wirusów został po raz pierwszy odkryty w latach pięćdziesiątych XX wieku. naukowcy z londyńskiego Birkbeck College A.Klug i D.Kaspar. 13 Wirus Polyo jako pierwszy wykazał postać logarytmiczną. Stwierdzono, że forma tego wirusa jest podobna do formy wirusa Rhino 14.

Powstaje pytanie, w jaki sposób wirusy tworzą tak złożone trójwymiarowe formy, których struktura zawiera złoty podział, który jest dość trudny do skonstruowania nawet naszym ludzkim umysłem? Odkrywca tych form wirusów, wirusolog A. Klug, komentuje to następująco:

„Dr Kaspar i ja pokazaliśmy, że dla kulistej otoczki wirusa najbardziej optymalnym kształtem jest symetria przypominająca kształt dwudziestościanu. Taka kolejność minimalizuje ilość elementów łączących... Większość geodezyjne półkuliste sześciany Buckminstera Fullera są zbudowane zgodnie z podobną zasadą geometryczną. 14 Montaż takich kostek wymaga niezwykle precyzyjnego i szczegółowego schematu objaśniającego. Podczas gdy nieświadome wirusy same konstruują taką złożoną powłokę z elastycznych, elastycznych białkowych jednostek komórkowych.

Jeśli spojrzysz na otaczające nas rośliny i drzewa, zobaczysz, ile liści ma każde z nich. Z daleka wydaje się, że gałęzie i liście na roślinach są ułożone przypadkowo, w dowolnej kolejności. Jednak we wszystkich roślinach jest cudownie, matematycznie precyzyjnie zaplanowane, która gałąź skąd wyrośnie, jak gałęzie i liście będą rozmieszczone w pobliżu łodygi lub pnia. Od pierwszego dnia swojego pojawienia się roślina ściśle przestrzega tych praw w swoim rozwoju, to znaczy, że ani jeden liść, ani jeden kwiat nie pojawia się przypadkowo. Jeszcze przed pojawieniem się rośliny jest już dokładnie zaprogramowany. Ile gałęzi będzie na przyszłym drzewie, gdzie będą rosły gałęzie, ile liści będzie na każdej gałęzi i jak, w jakiej kolejności zostaną ułożone liście. Wspólna praca botaników i matematyków rzuciła na to światło niesamowite zjawiska Natura. Okazało się, że w układzie liści na gałęzi (filotaksja), w liczbie zwojów na łodydze, w liczbie liści w cyklu, przejawia się ciąg Fibonacciego, a zatem prawo złotego podziału również objawia się.

Jeśli spróbujesz znaleźć wzorce numeryczne w dzikiej przyrodzie, zauważysz, że liczby te często występują w różnych formach spiralnych, w które świat roślin jest tak bogaty. Na przykład sadzonki liściowe przylegają do łodygi w spirali, która biegnie między dwoma sąsiednimi liśćmi: pełny obrót - w leszczynie, - w dębie, - w topoli i gruszy, - w wierzbie.

Nasiona słonecznika, Echinacea purpurea i wielu innych roślin są ułożone w spirale, a liczba spiral w każdym kierunku to liczba Fibonacciego.

Słonecznik, 21 i 34 spirale. Echinacea, spirale 34 i 55.

Wyraźna, symetryczna forma kwiatów również podlega surowemu prawu.

Wiele kwiatów ma liczbę płatków - dokładnie liczbę z ciągu Fibonacciego. Na przykład:

irys, 3 lepki. jaskier, 5 lepów. złoty kwiat, 8 lep. ostróżka,

cykoria, 21 lep. aster, 34 lep. stokrotki, 55 lepów.

Seria Fibonacciego charakteryzuje strukturalną organizację wielu żywych systemów.

Powiedzieliśmy już, że stosunek sąsiednich liczb w szeregu Fibonacciego to liczba φ = 1,618. Okazuje się, że sam człowiek jest tylko magazynem liczby phi.

Proporcje poszczególnych części naszego ciała składają się na liczbę bardzo bliską złotemu podziałowi. Jeśli te proporcje pokrywają się z formułą złotego podziału, to wygląd lub ciało osoby uważa się za idealnie zbudowane. Zasadę obliczania złotej miary na ciele człowieka można przedstawić w formie diagramu.

M/m=1,618

Pierwszy przykład złotego podziału w budowie ludzkiego ciała:

Jeśli przyjmiemy punkt pępka za środek ludzkiego ciała, a odległość między stopą człowieka a punktem pępka jako jednostkę miary, to wysokość osoby będzie równa liczbie 1,618.

Ludzka ręka

Wystarczy teraz zbliżyć do siebie dłoń i uważnie spojrzeć na palec wskazujący, a od razu znajdziesz w nim formułę złotego podziału. Każdy palec naszej dłoni składa się z trzech paliczków.
Suma dwóch pierwszych paliczków palca w stosunku do całej długości palca daje złoty podział (z wyjątkiem kciuka).

Ponadto stosunek między palcem środkowym a małym palcem jest również równy złotemu podziałowi.

Osoba ma 2 ręce, palce każdej dłoni składają się z 3 paliczków (z wyjątkiem kciuka). Każda ręka ma 5 palców, czyli w sumie 10, ale z wyjątkiem dwóch kciuków dwupaliczkowych tylko 8 palców tworzy się zgodnie z zasadą złotego podziału. Podczas gdy wszystkie te liczby 2, 3, 5 i 8 to liczby ciągu Fibonacciego.

Złoty podział w budowie ludzkich płuc

Amerykański fizyk B.D. West i dr A.L. Goldberger podczas badań fizycznych i anatomicznych stwierdził to w budowie płuc człowieka istnieje również złoty podział.

Stwierdzono, że asymetria ta utrzymuje się w gałęziach oskrzeli, we wszystkich mniejszych drogach oddechowych. Ponadto stosunek długości oskrzeli krótkich i długich jest również złotym podziałem i wynosi 1:1,618.

Artyści, naukowcy, projektanci mody, projektanci wykonują swoje obliczenia, rysunki lub szkice w oparciu o stosunek złotego podziału. Wykorzystują pomiary z ludzkiego ciała, również tworzone zgodnie z zasadą złotego podziału. Leonardo Da Vinci i Le Corbusier przed stworzeniem swoich arcydzieł przyjęli parametry ludzkiego ciała, stworzonego zgodnie z prawem Złotego Podziału.
Jest jeszcze inne, bardziej prozaiczne zastosowanie proporcji ludzkiego ciała. Na przykład za pomocą tych wskaźników analitycy kryminalni i archeolodzy przywracają wygląd całości z fragmentów części ludzkiego ciała.

Z pewnością znasz ideę, że matematyka jest najważniejszą ze wszystkich nauk. Ale wielu może się z tym nie zgodzić, ponieważ. czasami wydaje się, że matematyka to tylko problemy, przykłady i tym podobne nudne rzeczy. Jednak matematyka może z łatwością pokazać nam znane rzeczy z zupełnie nieznanej strony. Co więcej, może nawet ujawnić tajemnice wszechświata. Jak? Spójrzmy na liczby Fibonacciego.

Co to są liczby Fibonacciego?

Liczby Fibonacciego to elementy ciągu liczbowego, w którym każda następna sumuje dwie poprzednie, np.: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Jako regułą, taki ciąg zapisuje się wzorem: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2.

Liczby Fibonacciego mogą zaczynać się od wartości ujemne„n”, ale w tym przypadku sekwencja będzie dwukierunkowa - obejmie zarówno dodatnie, jak i liczby ujemne dążenie do nieskończoności w dwóch kierunkach. Przykładem takiej sekwencji może być: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34, a wzór będzie następujący: F n \u003d F n + 1 - F n + 2 lub F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.

Twórcą liczb Fibonacciego jest jeden z pierwszych europejskich matematyków średniowiecza o imieniu Leonardo z Pizy, który w rzeczywistości znany jest jako Fibonacci – przydomek ten otrzymał wiele lat po śmierci.

Leonardo z Pizy bardzo lubił turnieje matematyczne, dlatego w swoich dziełach („Liber abaci”, 1202; „Practica geometriae”, 1220, „Flos ” / „Kwiat”, 1225 - studium równań sześciennych i „Liber quadratorum” / „Księga kwadratów”, 1225 - problemy nieokreślone równania kwadratowe) bardzo często rozwiązywali różnego rodzaju problemy matematyczne.

O ścieżka życia Bardzo niewiele wiadomo o samym Fibonacciego. Wiadomo jednak na pewno, że jego problemy były niezwykle popularne w kręgach matematycznych w kolejnych stuleciach. Poniżej rozważymy jeden z nich.

Problem Fibonacciego z królikami

Aby wykonać zadanie, autor postawił następujące warunki: istnieje para nowonarodzonych królików (samica i samiec), które się różnią ciekawa funkcja- od drugiego miesiąca życia rodzą nową parę królików - także samicę i samca. Króliki przebywają w ograniczonej przestrzeni i stale się rozmnażają. I ani jeden królik nie umiera.

Zadanie: określić liczbę królików w ciągu roku.

Rozwiązanie:

Mamy:

Jedna para królików na początku pierwszego miesiąca, która łączy się w pary pod koniec miesiąca
Dwie pary królików w drugim miesiącu (pierwsza para i potomstwo)
Trzy pary królików w trzecim miesiącu (pierwsza para, potomstwo pierwszej pary z poprzedniego miesiąca i nowe potomstwo)
Pięć par królików w czwartym miesiącu (pierwsza para, pierwsze i drugie potomstwo z pierwszej pary, trzecie potomstwo z pierwszej pary i pierwsze potomstwo z drugiej pary)

Liczba królików w miesiącu „n” = liczba królików z poprzedniego miesiąca + liczba nowych par królików, czyli powyższy wzór: F n = F n-1 + F n-2. Powoduje to powtarzającą się sekwencję numeryczną (o rekurencji porozmawiamy później), w której każda nowa liczba odpowiada sumie dwóch poprzednich liczb:

1 miesiąc: 1 + 1 = 2

Miesiąc 2: 2 + 1 = 3

Miesiąc 3: 3 + 2 = 5

4 miesiąc: 5 + 3 = 8

Miesiąc 5: 8 + 5 = 13

6. miesiąc: 13 + 8 = 21

7. miesiąc: 21 + 13 = 34

8 miesiąc: 34 + 21 = 55

Miesiąc 9: 55 + 34 = 89

Miesiąc 10: 89 + 55 = 144

Miesiąc 11: 144 + 89 = 233

Miesiąc 12: 233+ 144 = 377

Ta sekwencja może trwać w nieskończoność, ale biorąc pod uwagę, że zadaniem jest ustalenie liczby królików po roku, okazuje się, że jest to 377 par.

Warto tutaj również zauważyć, że jedną z właściwości liczb Fibonacciego jest to, że jeśli porównamy dwie kolejne pary, a następnie podzielimy większą przez mniejszą, to wynik przesunie się w stronę złotego podziału, o którym też będziemy mówić poniżej.

W międzyczasie proponujemy dwa kolejne problemy z liczbami Fibonacciego:

Definiować liczba kwadratowa, o którym wiadomo tylko, że jeśli odejmie się od niego 5 lub doda się do niego 5, to ponownie wyjdzie kwadratowa liczba.
Wyznacz liczbę podzielną przez 7, ale pod warunkiem, że dzieląc ją przez 2, 3, 4, 5 lub 6, reszta będzie równa 1.

Takie zadania będą nie tylko świetnym sposobem na rozwój umysłu, ale także zabawną rozrywką. Możesz także dowiedzieć się, jak rozwiązuje się te problemy, wyszukując informacje w Internecie. Nie będziemy się na nich skupiać, ale będziemy kontynuować naszą historię.

Co to jest rekurencja i złoty podział?

rekursja

Rekurencja to opis, definicja lub obraz obiektu lub procesu, który zawiera sam dany obiekt lub proces. Innymi słowy, obiekt lub proces można nazwać częścią samego siebie.

Rekurencja jest szeroko stosowana nie tylko w naukach matematycznych, ale także w informatyce, kulturze popularnej i sztuce. Stosując się do liczb Fibonacciego, możemy powiedzieć, że jeśli liczba to „n>2”, to „n” = (n-1)+(n-2).

złoty podział

Złoty podział to podział całości na części, skorelowane w myśl zasady: większy ma się do mniejszego tak, jak wartość całkowita do większej części.

Po raz pierwszy Euklides wspomina o złotym podziale (traktat „Początki” ok. 300 pne), mówiąc i budując regularny prostokąt. Jednak bardziej znaną koncepcję wprowadził niemiecki matematyk Martin Ohm.

W przybliżeniu złoty podział można przedstawić jako proporcjonalny podział na dwie różne części, na przykład 38% i 68%. Numeryczne wyrażenie złotego podziału wynosi około 1,6180339887.

W praktyce złoty podział jest stosowany w architekturze, sztukach plastycznych (patrz prace), kinie i innych dziedzinach. Przez długi czas jednak, tak jak obecnie, złoty podział był uważany za proporcję estetyczną, choć większość ludzi postrzega go jako nieproporcjonalny – wydłużony.

Możesz sam spróbować oszacować złoty podział, kierując się następującymi proporcjami:

Długość odcinka a = 0,618
Długość odcinka b= 0,382
Długość odcinka c = 1
Stosunek c i a = 1,618
Stosunek c i b = 2,618

Teraz stosujemy złoty podział do liczb Fibonacciego: bierzemy dwa sąsiednie elementy jego ciągu i dzielimy większy przez mniejszy. Otrzymujemy około 1,618. Jeśli weźmiemy tę samą większą liczbę i podzielimy ją przez następną większą liczbę, otrzymamy w przybliżeniu 0,618. Spróbuj sam: „zagraj” z liczbami 21 i 34 lub innymi. Jeśli przeprowadzimy ten eksperyment z pierwszymi liczbami ciągu Fibonacciego, to nie będzie takiego wyniku, ponieważ złoty podział „nie działa” na początku sekwencji. Nawiasem mówiąc, aby określić wszystkie liczby Fibonacciego, musisz znać tylko trzy pierwsze kolejne liczby.

I na koniec jeszcze trochę materiału do przemyśleń.

Złoty prostokąt i spirala Fibonacciego

„Złoty prostokąt” to kolejny związek między złotym podziałem a liczbami Fibonacciego, as jego współczynnik kształtu wynosi 1,618 do 1 (pamiętaj o liczbie 1,618!).

Oto przykład: bierzemy dwie liczby z ciągu Fibonacciego, na przykład 8 i 13, i rysujemy prostokąt o szerokości 8 cm i długości 13 cm równy dwóm długościom mniejszej z nich.

Następnie łączymy rogi wszystkich prostokątów, które mamy gładką linią i otrzymujemy szczególny przypadek spirala logarytmiczna - spirala Fibonacciego. Jego główne właściwości to brak granic i zmiana form. Taka spirala często występuje w przyrodzie: najbardziej żywe przykłady to muszle mięczaków, cyklony na zdjęciach satelitarnych, a nawet szereg galaktyk. Ale bardziej interesujące jest to, że DNA żywych organizmów podlega tej samej zasadzie, czy pamiętasz, że ma kształt spiralny?

Te i wiele innych „przypadkowych” zbiegów okoliczności nawet dzisiaj ekscytuje umysły naukowców i sugeruje, że wszystko we Wszechświecie podlega jednemu algorytmowi, w dodatku matematycznemu. A ta nauka kryje ogromną liczbę całkowicie nudnych tajemnic i tajemnic.

O liczbach i wzorach występujących w przyrodzie. Cóż, kilka słów o tych samych liczbach i formułach.

Liczby i wzory w przyrodzie są przeszkodą między tymi, którzy wierzą w stworzenie wszechświata przez kogoś, a tymi, którzy wierzą w samo stworzenie wszechświata. Na pytanie: „Gdyby wszechświat powstał sam, to czy praktycznie wszystkie żywe i nieożywione obiekty nie byłyby zbudowane według tego samego schematu, według tych samych formuł?”

Cóż, za to pytanie filozoficzne nie odpowiemy tutaj (format strony nie ten sam 🙂), ale ogłosimy formuły. Zacznijmy od liczb Fibonacciego i Złotej Spirali.

Tak więc liczby Fibonacciego są elementami ciągu liczbowego, w którym każda kolejna liczba jest równa sumie dwóch poprzednich liczb. To znaczy 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 i tak dalej.

W sumie otrzymuje się szereg: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Kolejny przykład ciągu Fibonacciego: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 i tak dalej. Możesz sam poeksperymentować 🙂

Jak liczby Fibonacciego pojawiają się w przyrodzie? Bardzo prosta:

Układ liści u roślin opisuje ciąg Fibonacciego. Ziarna słonecznika, szyszki sosnowe, płatki kwiatów, komórki ananasa są również ułożone zgodnie z ciągiem Fibonacciego.
Długości paliczków ludzkich palców są w przybliżeniu takie same jak liczby Fibonacciego.
Cząsteczka DNA składa się z dwóch pionowo splecionych helis o długości 34 angstremów i szerokości 21 angstremów. Liczby 21 i 34 następują po sobie w ciągu Fibonacciego.

Za pomocą liczb Fibonacciego możesz zbudować Złotą Spiralę. Narysujmy więc mały kwadrat o boku, powiedzmy, 1. Następnie przypomnijmy sobie szkołę. Ile to jest 1 2? To będzie 1. Więc narysujmy kolejny kwadrat obok pierwszego, blisko. Następnie następna liczba Fibonacciego to 2 (1+1). Co to jest 2 2? To będzie 4. Narysujmy kolejny kwadrat blisko pierwszych dwóch kwadratów, ale teraz o boku 2 i polu 4. Następna liczba to liczba 3 (1 + 2). Kwadrat liczby 3 to 9. Narysuj kwadrat o boku 3 i polu 9 obok już narysowanych. Dalej mamy kwadrat o boku 5 i polu 25, kwadrat o boku 8 i polu 64 i tak dalej, w nieskończoność.

Czas na złotą spiralę. Połączmy punkty graniczne między kwadratami gładką zakrzywioną linią. I otrzymamy tę samą złotą spiralę, na podstawie której buduje się wiele żywych i nieożywionych obiektów w przyrodzie.

A zanim przejdziemy do złotego podziału, pomyślmy. Tutaj zbudowaliśmy spiralę opartą na kwadratach ciągu Fibonacciego (sekwencja 1, 1, 2, 3, 5, 8 i kwadraty 1, 1, 4, 9, 25, 64). Ale co się stanie, jeśli użyjemy nie kwadratów liczb, ale ich sześcianów? Sześciany będą wyglądać tak od środka:

A z boku tak:

Cóż, kiedy buduje się spiralę, okazuje się obszerna złota spirala:

Tak wygląda ta obszerna złota spirala z boku:

Ale co, jeśli nie weźmiemy kostek liczb Fibonacciego, ale przejdziemy do czwartego wymiaru?.. To jest zagadka, prawda?

Nie mam jednak pojęcia, jak w przyrodzie objawia się wolumetryczny złoty podział oparty na kostkach liczb Fibonacciego, a tym bardziej liczb do czwartego stopnia. Dlatego wracamy do złotej sekcji w samolocie. Spójrzmy więc ponownie na nasze kwadraty. Z matematycznego punktu widzenia wygląda to tak:

Czyli otrzymujemy złoty podział – gdzie jedna strona jest podzielona na dwie części w takim stosunku, że mniejsza część ma się do większej, jak większa do całej wartości.

To znaczy a: b = b: c lub c: b = b: a.

Na podstawie takiego stosunku wielkości buduje się między innymi pięciokąt foremny i pentagram:

Dla porównania: aby zbudować pentagram, musisz zbudować regularny pięciokąt. Sposób jego budowy opracował niemiecki malarz i grafik Albrecht Dürer (1471…1528). Niech O będzie środkiem okręgu, A punktem na okręgu, a E środkiem odcinka OA. Prosta prostopadła do promienia OA poprowadzona w punkcie O przecina się z okręgiem w punkcie D. Za pomocą cyrkla zaznacz na średnicy odcinek CE = ED. Długość boku pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg wynosi DC. Odkładamy odcinki DC na okręgu i otrzymujemy pięć punktów za narysowanie pięciokąta foremnego. Łączymy rogi pięciokąta przez jedną przekątną i otrzymujemy pentagram. Wszystkie przekątne pięciokąta dzielą się na segmenty połączone złotym podziałem.

Generalnie takie są wzorce. Co więcej, istnieje znacznie więcej różnorodnych wzorców, niż zostały opisane. A teraz, po tych wszystkich nudnych liczbach - obiecany klip wideo, w którym wszystko jest proste i jasne:

Jak widać, matematyka rzeczywiście jest obecna w przyrodzie. I to nie tylko w obiektach wymienionych w filmie, ale także w wielu innych obszarach. Na przykład, kiedy fala uderza w brzeg i skręca, skręca wzdłuż Złotej Spirali. No i tak dalej 🙂

Budujemy drewniany dom. Portal informacyjny