Aangevuld door: Chepkasov Rodion

6e leerjaar leerling

MBOU "Middelbare School nr. 53"

Barnaoel

Hoofd: Bulykina O.G.

wiskunde leraar

MBOU "Middelbare School nr. 53"

Barnaoel

Invoering. 1

Relaties en verhoudingen. 3

Directe en omgekeerd proportionele relaties. 4

Toepassing van direct en omgekeerd proportioneel 6

afhankelijkheden bij het oplossen van verschillende problemen.

Conclusie. elf

Literatuur. 12

Invoering.

Het woord proportie komt van het Latijnse woord proportie, wat over het algemeen proportionaliteit betekent, uitlijning van delen (een bepaalde verhouding van delen tot elkaar). In de oudheid werd de leer van verhoudingen hoog gewaardeerd door de Pythagoreeërs. Met proporties associeerden ze gedachten over orde en schoonheid in de natuur, over medeklinkerakkoorden in muziek en harmonie in het universum. Ze noemden sommige soorten verhoudingen muzikaal of harmonisch.

Zelfs in de oudheid ontdekte de mens dat alle verschijnselen in de natuur met elkaar verbonden zijn, dat alles voortdurend in beweging is, verandert en, uitgedrukt in cijfers, verbazingwekkende patronen onthult.

De Pythagoreeërs en hun volgelingen zochten een numerieke uitdrukking voor alles in de wereld. Ze kwamen erachter; dat wiskundige verhoudingen ten grondslag liggen aan muziek (de verhouding van de lengte van de snaar tot de toonhoogte, de relatie tussen intervallen, de verhouding van klanken in akkoorden die een harmonische klank geven). De Pythagoreeërs probeerden het idee van de eenheid van de wereld wiskundig te onderbouwen en voerden aan dat de basis van het universum symmetrische geometrische vormen waren. De Pythagoreeërs zochten naar een wiskundige basis voor schoonheid.

In navolging van de Pythagoreeërs noemde de middeleeuwse wetenschapper Augustinus schoonheid ‘numerieke gelijkheid’. De scholastische filosoof Bonaventure schreef: "Er is geen schoonheid en plezier zonder evenredigheid, en evenredigheid bestaat voornamelijk in aantallen. Het is noodzakelijk dat alles telbaar is." Leonardo da Vinci schreef over het gebruik van proporties in de kunst in zijn verhandeling over de schilderkunst: “De schilder belichaamt in de vorm van proporties dezelfde patronen die in de natuur verborgen zijn en die de wetenschapper kent in de vorm van de numerieke wet.”

Zowel in de oudheid als in de middeleeuwen werden verhoudingen gebruikt om verschillende problemen op te lossen. Bepaalde soorten problemen kunnen nu eenvoudig en snel worden opgelost met behulp van verhoudingen. Proporties en proportionaliteit werden en worden niet alleen in de wiskunde gebruikt, maar ook in de architectuur en de kunst. Proportie betekent in architectuur en kunst het handhaven van bepaalde verhoudingen tussen maten verschillende delen gebouw, figuur, beeldhouwwerk of ander kunstwerk. Proportionaliteit is in zulke gevallen een voorwaarde voor een correcte en mooie opbouw en weergave

In mijn werk probeerde ik het gebruik van directe en omgekeerd evenredige relaties op verschillende gebieden van het leven te overwegen, om via taken het verband met academische onderwerpen te traceren.

Relaties en verhoudingen.

Het quotiënt van twee getallen wordt genoemd houding deze cijfers.

Houding blijkt, hoe vaak het eerste getal groter is dan het tweede of welk deel het eerste getal van het tweede is.

Taak.

Er werd 2,4 ton peren en 3,6 ton appels naar de winkel gebracht. Welk deel van het meegebrachte fruit bestaat uit peren?

Oplossing . Laten we eens kijken hoeveel fruit ze brachten: 2,4+3,6=6(t). Om te achterhalen welk deel van de meegebrachte vruchten uit peren bestaat, maken we de verhouding 2,4:6=. Het antwoord kan ook in het formulier worden geschreven decimale of als percentage: = 0,4 = 40%.

Onderling omgekeerd genaamd cijfers, waarvan de producten gelijk zijn aan 1. Daarom de relatie wordt het omgekeerde van de relatie genoemd.

Beschouw twee gelijke verhoudingen: 4,5:3 en 6:4. Laten we er een gelijkteken tussen zetten en de verhouding berekenen: 4,5:3=6:4.

Proportie is de gelijkheid van twee relaties: a : b =c :d of = , waarbij a en d zijn extreme verhoudingen, c en b – gemiddelde leden(alle termen van de verhouding zijn verschillend van nul).

Basiseigenschap van proportie:

in de juiste verhouding is het product van de extreme termen gelijk aan het product van de middelste termen.

Als we de commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging toepassen, ontdekken we dat in de juiste verhouding de extreme termen of middentermen kunnen worden verwisseld. De resulterende verhoudingen zullen ook correct zijn.

Met behulp van de basiseigenschap van proportie kun je de onbekende term ervan vinden als alle andere termen bekend zijn.

Om de onbekende extreme term van de verhouding te vinden, moet je de gemiddelde termen vermenigvuldigen en delen door de bekende extreme term. x: b = c: d, x =

Om de onbekende middenterm van een aandeel te vinden, moet je de extreme termen vermenigvuldigen en delen door de bekende middenterm. a: b =x: d, x = .

Directe en omgekeerd proportionele relaties.

De waarden van twee verschillende grootheden kunnen onderling afhankelijk zijn van elkaar. De oppervlakte van een vierkant hangt dus af van de lengte van de zijde, en omgekeerd: de lengte van de zijde van een vierkant hangt af van de oppervlakte.

Van twee hoeveelheden wordt gezegd dat ze evenredig zijn als ze toenemen

(verlaagt) een van hen meerdere keren, de andere verhoogt (verlaagt) hetzelfde aantal keren.

Als twee grootheden direct evenredig zijn, zijn de verhoudingen van de overeenkomstige waarden van deze grootheden gelijk.

Voorbeeld direct proportionele afhankelijkheid .

Bij een benzinestation 2 liter benzine weegt 1,6 kg. Hoeveel zullen ze wegen 5 liter benzine?

Oplossing:

Het gewicht van kerosine is evenredig met het volume.

2l - 1,6kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6x=4

Antwoord: 4kg.

Hier blijft de gewicht-volumeverhouding ongewijzigd.

Twee grootheden worden omgekeerd evenredig genoemd als, wanneer een van hen meerdere keren toeneemt (verlaagt), de andere met hetzelfde bedrag afneemt (verhoogt).

Als hoeveelheden omgekeerd evenredig zijn, is de verhouding van de waarden van de ene hoeveelheid gelijk aan de omgekeerde verhouding van de overeenkomstige waarden van een andere hoeveelheid.

P voorbeeldomgekeerd proportioneel verband.

Twee rechthoeken hebben dezelfde oppervlakte. De lengte van de eerste rechthoek is 3,6 m en de breedte is 2,4 m. De lengte van de tweede rechthoek is 4,8 m. Zoek de breedte van de tweede rechthoek.

Oplossing:

1 rechthoek 3,6 m 2,4 m

2 rechthoeken 4,8 mx m

3,6 mx m

4,8 meter 2,4 meter

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Antwoord: 1,8 m.

Zoals je kunt zien, kunnen problemen met proportionele hoeveelheden worden opgelost met behulp van verhoudingen.

Niet elke twee grootheden zijn direct proportioneel of omgekeerd evenredig. De lengte van een kind neemt bijvoorbeeld toe naarmate zijn leeftijd toeneemt, maar deze waarden zijn niet proportioneel, aangezien wanneer de leeftijd verdubbelt, de lengte van het kind niet verdubbelt.

Praktische toepassing van directe en omgekeerd proportionele afhankelijkheid.

Taak nr. 1

IN schoolbibliotheek 210 wiskundeboeken, dat is 15% van de gehele bibliotheekcollectie. Hoeveel boeken bevinden zich in de bibliotheekcollectie?

Oplossing:

Totaal schoolboeken - ? - 100%

Wiskundigen - 210 -15%

15% 210 academisch.

X = 100* 210 = 1400 schoolboeken

100% x rekening. 15

Antwoord: 1400 schoolboeken.

Probleem nr. 2

Een fietser legt in 3 uur 75 km af. Hoe lang duurt het voor een fietser om 125 km met dezelfde snelheid af te leggen?

Oplossing:

3 uur – 75 km

H – 125 km

Tijd en afstand zijn daarom direct proportionele grootheden

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Antwoord: binnen 5 uur.

Probleem nr. 3

8 identieke leidingen vullen een zwembad in 25 minuten. Hoeveel minuten duurt het om een ​​zwembad met 10 van dergelijke leidingen te vullen?

Oplossing:

8 pijpen – 25 minuten

10 pijpen - ? minuten

Het aantal pijpen is dus omgekeerd evenredig met de tijd

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Antwoord: binnen 20 minuten.

Probleem nr. 4

Een team van 8 arbeiders voltooit de taak in 15 dagen. Hoeveel werknemers kunnen de taak in 10 dagen voltooien terwijl ze met dezelfde productiviteit werken?

Oplossing:

8 werkdagen – 15 dagen

Werknemers - 10 dagen

Het aantal werknemers is dus omgekeerd evenredig met het aantal dagen

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Antwoord: 12 werknemers.

Probleem nr. 5

Van 5,6 kg tomaten wordt 2 liter saus verkregen. Hoeveel liter saus kan worden verkregen uit 54 kg tomaten?

Oplossing:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Het aantal kilogram tomaten is dus recht evenredig met de hoeveelheid verkregen saus

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Antwoord: 19 l.

Probleem nr. 6

Om het schoolgebouw te verwarmen werden steenkool 180 dagen lang op verbruiksniveau opgeslagen

0,6 ton steenkool per dag. Hoeveel dagen zal deze voorraad duren als er dagelijks 0,5 ton wordt uitgegeven?

Oplossing:

Aantal dagen

Verbruik

Het aantal dagen is dus omgekeerd evenredig met het verbruik van steenkool

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Antwoord: 216 dagen.

Probleem nr. 7

In ijzererts zijn er voor elke 7 delen ijzer 3 delen onzuiverheden. Hoeveel ton onzuiverheden zit er in het erts dat 73,5 ton ijzer bevat?

Oplossing:

Aantal onderdelen

Gewicht

Ijzer

73,5

Onzuiverheden

Het aantal delen is daarom recht evenredig met de massa

7: 73,5 = 3:x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Antwoord: 31,5 t

Probleem nr. 8

De auto legde 500 km af en gebruikte 35 liter benzine. Hoeveel liter benzine is er nodig om 420 km af te leggen?

Oplossing:

Afstand, km

Benzine, l

De afstand is dus recht evenredig met het benzineverbruik

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Antwoord: 29,4 liter

Probleem nr. 9

In 2 uur vingen we 12 kroeskarpers. Hoeveel kroeskarpers worden er in 3 uur gevangen?

Oplossing:

Het aantal kroeskarpers is niet afhankelijk van de tijd. Deze grootheden zijn noch direct proportioneel, noch omgekeerd evenredig.

Antwoord: Er is geen antwoord.

Probleem nr. 10

Een mijnbouwonderneming moet voor een bepaald bedrag 5 nieuwe machines kopen tegen een prijs van 12 duizend roebel per stuk. Hoeveel van deze machines kan een onderneming kopen als de prijs voor één machine 15 duizend roebel wordt?

Oplossing:

Aantal auto's, st.

Prijs, duizend roebel

Het aantal auto's is omgekeerd evenredig met de kosten, dus

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Antwoord: 4 auto's.

Probleem nr. 11

In de stad N op vierkant P is er een winkel waarvan de eigenaar zo streng is dat hij voor te laat komen 70 roebel van het salaris afhoudt voor 1 te laat komen per dag. Op één afdeling werken twee meisjes, Yulia en Natasha. Hun salaris is afhankelijk van het aantal werkdagen. Yulia ontving 4.100 roebel in 20 dagen, en Natasha had in 21 dagen meer moeten ontvangen, maar ze was drie dagen op rij te laat. Hoeveel roebel zal Natasha ontvangen?

Oplossing:

Werk dagen

Salaris, wrijven.

Julia

4100

Natasja

Het salaris is dus recht evenredig met het aantal werkdagen

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 wrijven. Natasha had het moeten ontvangen.

4305 – 3 * 70 = 4095 (wrijving)

Antwoord: Natasha ontvangt 4095 roebel.

Probleem nr. 12

De afstand tussen twee steden op de kaart is 6 cm. Zoek de afstand tussen deze steden op de grond als de kaartschaal 1: 250.000 is.

Oplossing:

Laten we de afstand tussen steden op de grond aangeven met x (in centimeters) en de verhouding vinden tussen de lengte van het segment op de kaart en de afstand op de grond, die gelijk zal zijn aan de kaartschaal: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Antwoord: 15 km.

Probleem nr. 13

4000 g oplossing bevat 80 g zout. Wat is de zoutconcentratie in deze oplossing?

Oplossing:

Gewicht, gr

Concentratie, %

Oplossing

4000

Zout

4000: 80 = 100:x,

x =
,

x = 2.

Antwoord: De zoutconcentratie is 2%.

Probleem nr. 14

De bank verstrekt een lening van 10% per jaar. U hebt een lening van 50.000 roebel ontvangen. Hoeveel moet u binnen een jaar terugbetalen aan de bank?

Oplossing:

50.000 wrijven.

100%

x wrijven.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 wrijven. bedraagt ​​10%.

50.000 + 5000=55.000 (wrijving)

Antwoord: over een jaar krijgt de bank 55.000 roebel terug.

Conclusie.

Zoals we uit de gegeven voorbeelden kunnen zien, zijn directe en omgekeerd evenredige relaties toepasbaar op verschillende gebieden van het leven:

Economie,

Handel,

In de productie en industrie is

Schoolleven,

Koken,

Bouw en architectuur.

Sport,

Veeteelt,

Topografieën,

Natuurkundigen,

Chemie, enz.

In de Russische taal zijn er ook spreekwoorden en gezegden die directe en omgekeerde relaties tot stand brengen:

Als het terugkomt, zal het ook reageren.

Hoe hoger de stronk, hoe hoger de schaduw.

Hoe meer mensen, hoe minder zuurstof.

En het is klaar, maar stom.

Wiskunde is een van de oudste wetenschappen; zij is ontstaan ​​op basis van de behoeften en wensen van de mensheid. Sindsdien heb ik de geschiedenis van de vorming doorlopen Het oude Griekenland, het blijft nog steeds relevant en noodzakelijk Alledaagse leven iedere persoon. Het concept van directe en omgekeerde evenredigheid is al sinds de oudheid bekend, omdat het de wetten van de verhoudingen waren die architecten motiveerden tijdens elke constructie of creatie van een beeldhouwwerk.

Kennis over verhoudingen wordt op grote schaal gebruikt in alle domeinen van het menselijk leven en handelen - je kunt er niet zonder bij het schilderen van afbeeldingen (landschappen, stillevens, portretten, enz.), ze hebben ook breed gebruik onder architecten en ingenieurs - over het algemeen is het moeilijk voor te stellen dat je iets zou creëren zonder gebruik te maken van kennis over verhoudingen en hun relaties.

Literatuur.

Wiskunde-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofejev en anderen.

Wiskunde-9, GIA-9, onder redactie van F.F. Lysenko, S.Yu. Kulaboechova

Wiskunde-6, didactisch materiaal, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Problemen in de wiskunde voor groep 4-5, IV Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Verzameling van problemen en voorbeelden in de wiskundeklassen 5-6, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. “Aquarium” 1997

Vandaag zullen we kijken naar welke grootheden omgekeerd evenredig worden genoemd, hoe een inverse evenredigheidsgrafiek eruit ziet en hoe dit allemaal nuttig voor je kan zijn, niet alleen in wiskundelessen, maar ook buiten school.

Zulke verschillende verhoudingen

Evenredigheid noem twee grootheden die onderling afhankelijk zijn van elkaar.

De afhankelijkheid kan direct en omgekeerd zijn. Bijgevolg worden de relaties tussen hoeveelheden beschreven door directe en omgekeerde evenredigheid.

Directe evenredigheid– dit is een relatie tussen twee grootheden waarbij een toename of afname van de ene leidt tot een toename of afname van de andere. Die. hun houding verandert niet.

Hoe meer moeite je bijvoorbeeld steekt in het leren voor examens, hoe hoger je cijfers. Of hoe meer spullen je meeneemt op een wandeling, hoe zwaarder je rugzak zal zijn om te dragen. Die. De hoeveelheid moeite die wordt besteed aan de voorbereiding op examens is recht evenredig met de behaalde cijfers. En het aantal spullen dat in een rugzak zit, is recht evenredig met het gewicht.

Omgekeerde evenredigheid – dit is een functionele afhankelijkheid waarbij een afname of toename met meerdere keren van een onafhankelijke waarde (dit wordt een argument genoemd) een proportionele (d.w.z. hetzelfde aantal keren) toename of afname van een afhankelijke waarde veroorzaakt (dit wordt een functie).

Laten we het illustreren eenvoudig voorbeeld. Je wilt appels kopen op de markt. De appels op de toonbank en de hoeveelheid geld in je portemonnee zijn omgekeerd evenredig. Die. Hoe meer appels je koopt, hoe minder geld je overhoudt.

Functie en zijn grafiek

De inverse evenredigheidsfunctie kan worden beschreven als y = k/x. Waarin X≠ 0 en k≠ 0.

Deze functie heeft de volgende eigenschappen:

1. Het definitiedomein is de verzameling van alle reële getallen behalve X = 0. D(j): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Bereik is alles echte getallen, behalve j= 0. E(j): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Heeft geen maximum- of minimumwaarden.
4. Het is vreemd en de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
5. Niet-periodiek.
6. De grafiek ervan snijdt de coördinaatassen niet.
7. Heeft geen nullen.
8. Als k> 0 (d.w.z. het argument neemt toe), de functie neemt proportioneel af op elk van zijn intervallen. Als k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Naarmate het argument toeneemt ( k> 0) negatieve waarden functies bevinden zich in het interval (-∞; 0), en positieve zijn (0; +∞). Wanneer het argument afneemt ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

De grafiek van een inverse evenredigheidsfunctie wordt een hyperbool genoemd. Als volgt weergegeven:

Problemen met omgekeerde evenredigheid

Laten we, om het duidelijker te maken, naar verschillende taken kijken. Ze zijn niet al te ingewikkeld, en als je ze oplost, kun je beter visualiseren wat omgekeerde evenredigheid is en hoe deze kennis nuttig kan zijn in je dagelijks leven.

Taak nr. 1. Een auto rijdt met een snelheid van 60 km/uur. Het kostte hem 6 uur om zijn bestemming te bereiken. Hoe lang zal het hem duren om dezelfde afstand af te leggen als hij tweemaal zo snel beweegt?

We kunnen beginnen met het opschrijven van een formule die de relatie tussen tijd, afstand en snelheid beschrijft: t = S/V. Mee eens, het doet ons sterk denken aan de functie van omgekeerde evenredigheid. En het geeft aan dat de tijd die een auto op de weg doorbrengt en de snelheid waarmee hij rijdt omgekeerd evenredig zijn.

Om dit te verifiëren, gaan we naar V 2, die, afhankelijk van de voorwaarde, 2 keer zo hoog is: V 2 = 60 * 2 = 120 km/u. Vervolgens berekenen we de afstand met behulp van de formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nu is het niet moeilijk om de tijd t 2 te achterhalen die van ons nodig is volgens de omstandigheden van het probleem: t 2 = 360/120 = 3 uur.

Zoals je ziet zijn reistijd en snelheid inderdaad omgekeerd evenredig: bij een snelheid die 2 keer hoger is dan de oorspronkelijke snelheid, zal de auto 2 keer minder tijd op de weg doorbrengen.

De oplossing voor dit probleem kan ook als een proportie worden geschreven. Laten we dus eerst dit diagram maken:

↓ 60 km/u – 6 u

↓120 km/u – x u

Pijlen geven een omgekeerd evenredig verband aan. Ze suggereren ook dat bij het opstellen van een verhouding de rechterkant van de plaat moet worden omgedraaid: 60/120 = x/6. Waar halen we x = 60 * 6/120 = 3 uur.

Taak nr. 2. De werkplaats heeft 6 werknemers in dienst die een bepaalde hoeveelheid werk in 4 uur kunnen voltooien. Als het aantal werknemers wordt gehalveerd, hoe lang zal het dan duren voordat de overgebleven werknemers dezelfde hoeveelheid werk voltooien?

Laten we de voorwaarden van het probleem in het formulier schrijven visueel diagram:

↓ 6 werknemers – 4 uur

↓ 3 arbeiders – x h

Laten we dit als een verhouding schrijven: 6/3 = x/4. En we krijgen x = 6 * 4/3 = 8 uur.Als er 2 keer minder werknemers zijn, zullen de overgeblevenen 2 keer zoveel tijd besteden aan al het werk.

Taak nr. 3. Er lopen twee leidingen naar het zwembad. Door één leiding stroomt water met een snelheid van 2 l/s en vult het zwembad in 45 minuten. Via een andere leiding is het zwembad in 75 minuten gevuld. Met welke snelheid komt het water via deze leiding het zwembad binnen?

Laten we om te beginnen alle hoeveelheden die ons worden gegeven, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem, terugbrengen tot dezelfde meeteenheden. Om dit te doen, drukken we de snelheid van het vullen van het zwembad uit in liters per minuut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Omdat de voorwaarde inhoudt dat het zwembad langzamer vult via de tweede leiding, betekent dit dat de waterstroomsnelheid lager is. De evenredigheid is omgekeerd. Laten we de onbekende snelheid door x uitdrukken en het volgende diagram opstellen:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

En dan bepalen we de verhouding: 120/x = 75/45, waarbij x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

In het probleem wordt de vulsnelheid van het zwembad uitgedrukt in liters per seconde; laten we het antwoord dat we kregen terugbrengen tot dezelfde vorm: 72/60 = 1,2 l/s.

Taak nr. 4. Een kleine particuliere drukkerij drukt visitekaartjes. Een drukkerijmedewerker werkt met een snelheid van 42 visitekaartjes per uur en werkt een volledige dag - 8 uur. Als hij sneller zou werken en binnen een uur 48 visitekaartjes zou printen, hoeveel eerder zou hij dan naar huis kunnen gaan?

We volgen het beproefde pad en stellen een diagram op volgens de omstandigheden van het probleem, waarbij we de gewenste waarde aangeven als x:

↓ 42 visitekaartjes/uur – 8 uur

↓ 48 visitekaartjes/uur – x uur

We hebben een omgekeerd evenredige relatie: het aantal keren dat een medewerker van een drukkerij per uur meer visitekaartjes afdrukt, hetzelfde aantal keren dat hij minder tijd nodig heeft om hetzelfde werk te voltooien. Als we dit weten, gaan we een verhouding maken:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 uur.

Nadat de drukkerijmedewerker het werk in 7 uur had afgerond, kon hij dus een uur eerder naar huis.

Conclusie

Het lijkt ons dat deze problemen met omgekeerde evenredigheid heel eenvoudig zijn. Wij hopen dat u nu ook zo aan hen denkt. En het belangrijkste is dat kennis over de omgekeerd evenredige afhankelijkheid van hoeveelheden echt meer dan eens nuttig voor je kan zijn.

Niet alleen bij wiskundelessen en examens. Maar zelfs dan, als je je klaarmaakt om op reis te gaan, te gaan winkelen, te besluiten wat extra geld te verdienen tijdens de vakantie, enz.

Vertel ons in de reacties welke voorbeelden van omgekeerde en direct proportionele relaties u om u heen opmerkt. Laat het zo'n spel zijn. Je zult zien hoe spannend het is. Vergeet niet dit artikel te delen op in sociale netwerken zodat je vrienden en klasgenoten ook kunnen spelen.

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

Proportionaliteit is een relatie tussen twee grootheden, waarbij een verandering in de ene een verandering in de andere met hetzelfde bedrag met zich meebrengt.

Proportionaliteit kan direct of omgekeerd zijn. In deze les zullen we ze allemaal bekijken.

Inhoud van de les

Directe evenredigheid

Laten we aannemen dat de auto met een snelheid van 50 km/u rijdt. We herinneren ons dat snelheid de afstand is die per tijdseenheid wordt afgelegd (1 uur, 1 minuut of 1 seconde). In ons voorbeeld rijdt de auto met een snelheid van 50 km/u, dat wil zeggen dat hij in één uur een afstand van vijftig kilometer aflegt.

Laten we in de figuur de afstand weergeven die de auto in 1 uur aflegt.

Laat de auto nog een uur rijden met dezelfde snelheid van vijftig kilometer per uur. Dan blijkt dat de auto 100 km zal afleggen

Zoals uit het voorbeeld blijkt, leidde een verdubbeling van de tijd tot een toename van de afgelegde afstand met dezelfde hoeveelheid, dat wil zeggen tweemaal.

Grootheden zoals tijd en afstand worden direct proportioneel genoemd. En de relatie tussen dergelijke hoeveelheden wordt genoemd directe evenredigheid.

Directe evenredigheid is de relatie tussen twee grootheden waarbij een toename van de ene een toename van de andere met hetzelfde bedrag met zich meebrengt.

en omgekeerd: als de ene hoeveelheid een bepaald aantal keren afneemt, neemt de andere met hetzelfde aantal keren af.

Laten we aannemen dat het oorspronkelijke plan was om met een auto 100 km in 2 uur te rijden, maar na 50 km te hebben gereden, besloot de bestuurder te rusten. Dan blijkt dat door de afstand met de helft te verkleinen, de tijd met hetzelfde bedrag afneemt. Met andere woorden: het verkleinen van de afgelegde afstand zal leiden tot een tijdsverkorting met dezelfde hoeveelheid.

Een interessant kenmerk van direct proportionele grootheden is dat hun verhouding altijd constant is. Dat wil zeggen, wanneer de waarden van direct proportionele grootheden veranderen, blijft hun verhouding ongewijzigd.

In het beschouwde voorbeeld bedroeg de afstand aanvankelijk 50 km en de tijd één uur. De verhouding tussen afstand en tijd is het getal 50.

Maar we hebben de reistijd verdubbeld, waardoor deze gelijk is aan twee uur. Als gevolg hiervan nam de afgelegde afstand met hetzelfde bedrag toe, dat wil zeggen dat deze gelijk werd aan 100 km. De verhouding van honderd kilometer op twee uur is wederom het getal 50

Het nummer 50 wordt gebeld coëfficiënt van directe evenredigheid. Het laat zien hoeveel afstand er is per uur beweging. In dit geval speelt de coëfficiënt de rol van de bewegingssnelheid, aangezien snelheid de verhouding is tussen de afgelegde afstand en de tijd.

Verhoudingen kunnen worden gemaakt op basis van direct proportionele hoeveelheden. De verhoudingen vormen bijvoorbeeld de verhouding:

Vijftig kilometer is één uur, zoals honderd kilometer twee uur is.

Voorbeeld 2. De kosten en hoeveelheid gekochte goederen zijn recht evenredig. Als 1 kg snoep 30 roebel kost, kost 2 kg van hetzelfde snoep 60 roebel, 3 kg 90 roebel. Naarmate de kosten van een gekocht product stijgen, neemt de hoeveelheid ervan met hetzelfde bedrag toe.

Omdat de kosten van een product en de hoeveelheid ervan direct proportionele hoeveelheden zijn, is hun verhouding altijd constant.

Laten we opschrijven wat de verhouding is van dertig roebel tot één kilogram

Laten we nu opschrijven wat de verhouding van zestig roebel tot twee kilogram is. Deze verhouding zal opnieuw gelijk zijn aan dertig:

Hier is de directe evenredigheidscoëfficiënt het getal 30. Deze coëfficiënt laat zien hoeveel roebel er per kilogram snoep is. IN in dit voorbeeld de coëfficiënt speelt de rol van de prijs van één kilogram goederen, aangezien de prijs de verhouding is tussen de kosten van de goederen en de hoeveelheid ervan.

Omgekeerde evenredigheid

Beschouw het volgende voorbeeld. De afstand tussen de twee steden bedraagt ​​80 km. De motorrijder verliet de eerste stad en bereikte met een snelheid van 20 km/u in 4 uur de tweede stad.

Als de snelheid van een motorrijder 20 km/uur was, betekent dit dat hij elk uur een afstand van twintig kilometer aflegde. Laten we in de figuur de door de motorrijder afgelegde afstand en het tijdstip van zijn beweging weergeven:

Op de terugweg bedroeg de snelheid van de motorrijder 40 km/u, en op dezelfde rit bracht hij 2 uur door.

Het is gemakkelijk op te merken dat wanneer de snelheid verandert, de bewegingstijd in dezelfde mate verandert. Bovendien is het veranderd achterkant- dat wil zeggen, de snelheid nam toe, maar de tijd nam juist af.

Grootheden zoals snelheid en tijd worden omgekeerd evenredig genoemd. En de relatie tussen dergelijke hoeveelheden wordt genoemd omgekeerde evenredigheid.

Omgekeerde evenredigheid is de relatie tussen twee grootheden waarbij een toename van de ene een afname van de andere met hetzelfde bedrag met zich meebrengt.

en omgekeerd: als de ene hoeveelheid een bepaald aantal keren afneemt, neemt de andere met hetzelfde aantal keren toe.

Als de motorrijder op de terugweg bijvoorbeeld 10 km/u rijdt, dan legt hij dezelfde 80 km in 8 uur af:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, leidde een afname van de snelheid tot een even grote toename van de bewegingstijd.

Het bijzondere van omgekeerd evenredige grootheden is dat hun product altijd constant is. Dat wil zeggen, wanneer de waarden van omgekeerd evenredige hoeveelheden veranderen, blijft hun product ongewijzigd.

In het beschouwde voorbeeld bedroeg de afstand tussen steden 80 km. Wanneer de snelheid en bewegingstijd van de motorrijder veranderden, bleef deze afstand altijd onveranderd

Een motorrijder kon deze afstand afleggen met een snelheid van 20 km/uur in 4 uur, met een snelheid van 40 km/uur in 2 uur, en met een snelheid van 10 km/uur in 8 uur. In alle gevallen was het product van snelheid en tijd gelijk aan 80 km

Vond je de les leuk?
Kom bij onze nieuwe groep VKontakte en ontvang meldingen over nieuwe lessen

Afhankelijkheidstypen

Laten we eens kijken naar het opladen van de batterij. Laten we bij de eerste hoeveelheid de tijd nemen die nodig is om op te laden. De tweede waarde is de tijd dat hij zal werken na het opladen. Hoe langer u de batterij oplaadt, hoe langer deze meegaat. Het proces gaat door totdat de batterij volledig is opgeladen.

Afhankelijkheid van de gebruiksduur van de batterij van de tijd waarop deze wordt opgeladen

Notitie 1

Deze afhankelijkheid wordt genoemd direct:

Naarmate de ene waarde toeneemt, neemt de tweede ook toe. Naarmate één waarde afneemt, neemt de tweede waarde ook af.

Laten we naar een ander voorbeeld kijken.

Hoe meer boeken De leerling gaat dan lezen minder fouten zal het in dictaat doen. Of hoe hoger je in de bergen komt, hoe lager de atmosferische druk zal zijn.

Opmerking 2

Deze afhankelijkheid wordt genoemd achteruit:

Naarmate de ene waarde toeneemt, neemt de tweede af. Naarmate één waarde afneemt, neemt de tweede waarde toe.

Dus voor het geval dat directe afhankelijkheid beide grootheden veranderen evenveel (beide nemen toe of af), en in het geval omgekeerde relatie– tegenovergestelde (de ene neemt toe en de andere neemt af, of omgekeerd).

Afhankelijkheden tussen hoeveelheden bepalen

voorbeeld 1

De tijd die nodig is om een ​​vriend te bezoeken is $ 20 minuten. Als de snelheid (eerste waarde) met $2$ keer toeneemt, zullen we ontdekken hoe de tijd (tweede waarde) die op het pad naar een vriend wordt besteed, verandert.

Het is duidelijk dat de tijd met $2$ keer zal afnemen.

Notitie 3

Deze afhankelijkheid wordt genoemd proportioneel:

Het aantal keren dat één hoeveelheid verandert, het aantal keren dat de tweede hoeveelheid verandert.

Voorbeeld 2

Voor broden van $ 2 in de winkel moet je 80 roebel betalen. Als u voor € 4,- broden moet kopen (de hoeveelheid brood wordt € 2 keer zo groot), hoeveel keer moet u dan meer betalen?

Het is duidelijk dat de kosten ook $ 2 keer zullen stijgen. We hebben een voorbeeld van proportionele afhankelijkheid.

In beide voorbeelden werd rekening gehouden met proportionele afhankelijkheden. Maar in het voorbeeld met broden veranderen de hoeveelheden in één richting, dus de afhankelijkheid is direct. En in het voorbeeld van naar het huis van een vriend gaan, is de relatie tussen snelheid en tijd dat wel achteruit. Zo is het direct proportionele relatie En omgekeerd proportioneel verband.

Directe evenredigheid

Laten we eens kijken naar proportionele hoeveelheden van $ 2: het aantal broden en de kosten ervan. Laat $2$ broden $80$ roebel kosten. Als het aantal broodjes met $4 keer ($8$ broodjes) toeneemt, zullen de totale kosten $320$ roebel bedragen.

De verhouding van het aantal bolletjes: $\frac(8)(2)=4$.

Kostenverhouding voor broodjes: $\frac(320)(80)=$4.

Zoals je kunt zien, zijn deze relaties gelijk aan elkaar:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definitie 1

De gelijkheid van twee verhoudingen wordt genoemd proportie.

Bij een direct proportionele afhankelijkheid wordt een relatie verkregen wanneer de verandering in de eerste en tweede grootheid samenvalt:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definitie 2

De twee grootheden worden genoemd rechtevenredig, als wanneer een van hen verandert (stijging of daling), de andere waarde ook verandert (respectievelijk stijgt of daalt) met hetzelfde bedrag.

Voorbeeld 3

De auto legde $ 180 $ km af in $ 2 $ uur. Bereken de tijd waarin hij €2,- maal de afstand met dezelfde snelheid zal afleggen.

Oplossing.

De tijd is recht evenredig met de afstand:

$t=\frac(S)(v)$.

Hoe vaak zal de afstand, bij constante snelheid, met dezelfde hoeveelheid toenemen:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

De auto legde $ 180 $ km af in $ 2 $ uur

De auto legt $180 \cdot 2=360$ km af - in $x$ uur

Hoe langere afstand de auto passeert, hoe langer het zal duren. De relatie tussen de hoeveelheden is dus recht evenredig.

Laten we een verhouding maken:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Antwoord: De auto heeft $ 4 uur nodig.

Omgekeerde evenredigheid

Definitie 3

Oplossing.

De tijd is omgekeerd evenredig met de snelheid:

$t=\frac(S)(v)$.

Met hoeveel keer neemt de snelheid toe, met hetzelfde pad, neemt de tijd met dezelfde hoeveelheid af:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Laten we de probleemconditie in de vorm van een tabel schrijven:

De auto legde $60$ km af - in $6$ uur

De auto zal $120$ km afleggen – in $x$ uur

Hoe sneller de auto rijdt, hoe minder tijd het kost. De relatie tussen de hoeveelheden is dus omgekeerd evenredig.

Laten we een verhouding maken.

Omdat de evenredigheid is omgekeerd, de tweede relatie in de verhouding is omgekeerd:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Antwoord: De auto heeft $3$ uur nodig.