Не болды факторизация?Бұл ыңғайсыз және күрделі мысалды қарапайым және сүйкімді мысалға айналдыру тәсілі.) Өте күшті трюк! Әр бұрылыста және бетте табылды бастауыш математика, және ең жоғары.

Мұндай түрлендірулерді математикалық тілде өрнектердің бірдей түрлендірулері деп атайды. Кім тақырыпта жоқ - сілтеме бойынша серуендеңіз. Өте аз, қарапайым және пайдалы.) Кез келген бірдей түрлендірудің мағынасы - өрнек жазу басқа формадаоның мәнін сақтай отырып.

Мағынасы факторизацияларөте қарапайым және түсінікті. Тақырыптың өзінен бастап. Сіз көбейткіштің не екенін ұмыта аласыз (немесе білмейсіз), бірақ бұл сөздің «көбейту» сөзінен шыққанын анықтай аласыз ба?) Факторинг дегеніміз: өрнекті бір нәрсені бір нәрсеге көбейту ретінде көрсету. Математика мен орыс тілін кешіріңіз ...) Міне, болды.

Мысалы, 12 санын бөлшектеу керек. Сіз қауіпсіз түрде жаза аласыз:

Сонымен, біз 12 санын 3-тің 4-ке көбейтіндісі ретінде ұсындық. Оң жақтағы сандар (3 және 4) сол жақтағыдан (1 және 2) мүлдем басқаша екенін ескеріңіз. Бірақ біз 12 және 3 4 екенін жақсы білеміз бірдей.Трансформациядан 12 санының мәні өзгерген жоқ.

12-ні басқа жолмен ыдыратуға бола ма? Оңай!

12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=.........

Ыдырау опциялары шексіз.

Сандарды көбейткіштерге бөлу пайдалы нәрсе. Бұл, мысалы, тамырлармен күресу кезінде көп көмектеседі. Бірақ алгебралық өрнектерді көбейткіштерге бөлу пайдалы нәрсе емес, ол - қажетті!Мысалы:

Жеңілдету:

Өрнекті көбейткіштерге бөлуді білмейтіндер шетте қалады. Кім біледі - жеңілдетеді және алады:

Әсері керемет, солай емес пе?) Айтпақшы, шешім өте қарапайым. Төменде өзіңіз көресіз. Немесе, мысалы, мұндай тапсырма:

Теңдеуді шеш:

x 5 - x 4 = 0

Ақылмен шешті, айтпақшы. Факторизация көмегімен. Төменде біз бұл мысалды шешеміз. Жауап: x 1 = 0; x2 = 1.

Немесе, дәл солай, бірақ үлкендер үшін):

Теңдеуді шеш:

Бұл мысалдарда мен көрсеттім негізгі мақсатыкөбейткіштерге бөлу: бөлшек өрнектерді оңайлату және теңдеулердің кейбір түрлерін шешу. есте сақтауға кеңес беремін негізгі ереже:

Егер біздің алдымызда қорқынышты бөлшек өрнек болса, біз алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлуге тырысамыз. Көбінесе бөлшек қысқартылған және жеңілдетілген.

Егер алдымызда теңдеу болса, онда оң жақта нөл, сол жақта - нені түсінбесеңіз, сол жағын көбейткіштерге бөлуге болады. Кейде бұл көмектеседі.)

Факторизацияның негізгі әдістері.

Міне, ең танымал жолдар:

4. Квадрат үшмүшенің ыдырауы.

Бұл әдістерді есте сақтау керек. Сол тәртіпте. Күрделі мысалдар тексеріледі барлығына мүмкін жолдарыыдырау.Шатасып қалмас үшін ретімен тексерген дұрыс... Тәртіппен бастайық.)

1. Жақшадан ортақ көбейткішті шығару.

қарапайым және сенімді жол. Одан жаман болмайды! Бұл жақсы болады немесе мүлдем болмайды.) Сондықтан ол бірінші. Біз түсінеміз.

Ережені бәрі біледі (мен сенемін!):

a(b+c) = ab+ac

Немесе одан да көп жалпы көрініс:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Барлық теңдіктер солдан оңға қарай да, керісінше оңнан солға қарай да жұмыс істейді. Сіз жаза аласыз:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Жалпы факторды жақшаның ішінен шығарудың мәні осында.

Сол жағында А - ортақ факторбарлық шарттар үшін. Барлығына көбейтіледі.) Ең дұрысы Ақазірдің өзінде жақшалардан тыс.

Практикалық қолдануМысалдарды қарастырайық. Бастапқыда нұсқа қарапайым, тіпті қарабайыр.) Бірақ бұл нұсқада мен ( жасыл түсте) Өте маңызды нүктелеркез келген факторизация үшін.

Көбейту:

а+9x

Қайсы жалпыекі шартта да көбейткіш болып табылады? X, әрине! Біз оны жақшадан шығарамыз. Біз солай істейміз. Біз бірден x-ті жақшаның сыртына жазамыз:

ax+9x=x(

Ал жақшаға бөлу нәтижесін жазамыз әрбір терминдәл осы х. Қалпында:

Осымен болды. Әрине, мұндай егжей-тегжейлі бояу қажет емес, Бұл ақылмен жасалады. Бірақ не екенін түсіну үшін, бұл жөн). Жадта түзетеміз:

Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына жазамыз. Жақшаға барлық мүшелерді осы өте ортақ көбейткішке бөлудің нәтижелерін жазамыз. Қалпында.

Мұнда біз өрнекті кеңейттік а+9xкөбейткіштер үшін. Оны х-ке көбейтуге айналдырды (a + 9).Мен бастапқы өрнекте көбейту болғанын ескертемін, тіпті екі: a x және 9 x.Бірақ бұл факторизацияланбаған!Өйткені бұл өрнекте көбейтуден басқа қосу, «+» белгісі де болды! Және өрнекте x(a+9) көбейтуден басқа ештеңе жоқ!

Қалайша!? - Мен халықтың ашулы дауысын естимін - Ал жақшада!?)

Иә, жақшаның ішінде қосымша бар. Бірақ қулық мынада, жақшалар ашылмағанымен, біз оларды қарастырамыз бір әріп сияқты.Біз барлық әрекеттерді жақшалармен толығымен орындаймыз, бір әріп сияқты.Осы мағынада, өрнекте x(a+9)көбейтуден басқа ештеңе жоқ. Бұл факторизацияның барлық нүктесі.

Айтпақшы, біз бәрін дұрыс жасағанымызды тексерудің қандай да бір жолы бар ма? Оңай! Алынғанды ​​(x) жақшаға көбейтіп, оның орындалғанын көру жеткілікті бастапқыөрнек? Егер ол сәтті болса, бәрі керемет!)

x(a+9)=ax+9x

Болған.)

Бұл қарапайым мысалда ешқандай проблема жоқ. Бірақ егер бірнеше терминдер болса, тіпті бірге әртүрлі белгілер... Қысқасы, әрбір үшінші студент шатасып кетеді). Сондықтан:

Қажет болса, кері көбейту арқылы көбейткіштерге бөлуді тексеріңіз.

Көбейту:

3ax+9x

Біз ортақ факторды іздейміз. Жарайды, Х-мен бәрі түсінікті, оған шыдауға болады. Тағы бар ма жалпыфактор? Иә! Бұл трио. Сіз сондай-ақ өрнекті келесідей жаза аласыз:

3x+3 3x

Мұнда ортақ фактор болатыны бірден түсінікті 3x. Міне, біз оны шығарамыз:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Тарату.

Ал алсаң не болады тек x?Ерекше ештеңе жоқ:

3ax+9x=x(3a+9)

Бұл да факторизация болады. Бірақ бұл жерде қызықты процессМүмкіндік бар кезде бәрін тоқтағанша төсеу әдеті. Мұнда жақшада үштік шығаруға мүмкіндік бар. Алу:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Дәл солай, тек бір қосымша әрекетпен.) Есіңізде болсын:

Жақшалардан ортақ факторды шығару кезінде біз шығаруға тырысамыз максимумортақ көбейткіш.

Көңілді жалғастырайық?

Өрнекті көбейткіштерге бөлу:

3ax+9x-8a-24

Не шығарамыз? Үш, X? Жоқ... Сіз алмайсыз. Сіз тек алуға болатынын еске саламын жалпыкөбейткіш яғни барлығындаөрнектің шарттары. Сондықтан ол жалпы.Бұл жерде мұндай көбейткіш жоқ ... Не, сіз орналастыра алмайсыз!? Иә, біз қуандық, қалай ... Танысыңыз:

2. Топтастыру.

Негізі топтастыруды атау қиын тәуелсіз жолменфакторизациялар. Бұл одан шығудың жолы күрделі мысал.) Терминдерді барлығы орындалатындай етіп топтау керек. Мұны тек мысалмен көрсетуге болады. Сонымен, бізде өрнек бар:

3ax+9x-8a-24

Кейбір ортақ әріптер мен сандар бар екенін көруге болады. Бірақ... Жалпыбарлық терминдерде болатын көбейткіш жоқ. Жүрегіңізді жоғалтпаңыз және өрнекті бөліктерге бөлеміз.Топтасамыз. Сондықтан әрбір бөлікте ортақ фактор болды, оны шығаруға болатын нәрсе болды. Қалай бұзамыз? Иә, жай жақшалар.

Еске салайын, жақшаларды кез келген жерде және кез келген жолмен орналастыруға болады. Мысалдың мәні ғана болса өзгермеді.Мысалы, сіз мұны істей аласыз:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Екінші жақшаға назар аударыңыз! Олардың алдында минус таңбасы және 8аЖәне 24 позитивті болыңыз! Егер тексеру үшін жақшаларды қайта ашсақ, белгілер өзгереді және біз аламыз бастапқыөрнек. Анау. жақшадағы өрнектің мәні өзгерген жоқ.

Бірақ егер сіз таңбаның өзгеруін ескермей, жай ғана жақшаға алсаңыз, мысалы, келесідей:

3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8а-24 )

қателік болады. Дұрыс - қазірдің өзінде басқаөрнек. Жақшаларды кеңейтіңіз, сонда бәрі түсінікті болады. Сіз бұдан әрі шеше алмайсыз, иә ...)

Бірақ факторизацияға қайта оралу. Бірінші жақшаларды қараңыз (3x + 9x)және ойланыңыз, бір нәрсеге төтеп беруге болады ма? Жақсы, біз бұл мысалды жоғарыда шештік, біз оны алып тастай аламыз 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Біз екінші жақшаларды зерттейміз, сонда сегізді шығаруға болады:

(8a+24)=8(a+3)

Біздің бүкіл өрнек болады:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Көбейтінді? Жоқ. Ыдырау нәтижесінде пайда болуы керек тек көбейту,ал бізде минус таңбасы бәрін бұзады. Бірақ... Екі терминнің де ортақ факторы бар! Бұл (a+3). Жақшаларды тұтастай алғанда бір әріп деп бекер айтқан жоқпын. Сондықтан бұл жақшаларды жақшалардан шығаруға болады. Иә, дәл солай естіледі.)

Біз жоғарыда сипатталғандай жасаймыз. Жалпы көбейткішті жазыңыз (a+3), екінші жақшаға мүшелерді бөлудің нәтижелерін жазамыз (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Барлық! Оң жақта көбейтуден басқа ештеңе жоқ! Осылайша, факторизация сәтті аяқталды!) Міне:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Топтың мәнін қайталап көрейік.

Егер өрнек болмаса жалпыүшін көбейткіш барлықтерминдер үшін біз өрнекті жақшаға бөлеміз, сонда жақшаның ішінде ортақ көбейткіш болады болды.Оны шығарып, не болатынын көрейік. Сәті түсіп, жақшаның ішінде дәл сол өрнектер қалса, біз бұл жақшаларды жақшадан аламыз.

Топтастыру шығармашылық процесс екенін қосамын). Бұл әрқашан бірінші рет жұмыс істемейді. Бәрі жақсы. Кейде терминдерді алмастыру, қарастыру қажет әртүрлі нұсқаларжақсысы табылғанша топтастыру. Бұл жерде ең бастысы көңілді жоғалтпау!)

Мысалдар.

Енді біліммен байыта отырып, қиын мысалдарды да шешуге болады.) Сабақтың басында бұл үш ...

Жеңілдету:

Шын мәнінде, біз бұл мысалды шештік. Өзімді байқамай.) Еске саламын: егер бізге қорқынышты бөлшек берілсе, алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлуге тырысамыз. Басқа жеңілдету опциялары жай жоқ.

Ендеше, бұл жерде алым бөлшек емес, алым... Сабақ барысында бөлшекті бөлшектеп қойдық! Бұл сияқты:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Кеңейту нәтижесін бөлшектің алымына жазамыз:

Бөлшектерді азайту ережесі бойынша (бөлшектің негізгі қасиеті) алым мен бөлімді бірдей санға немесе өрнекке бөлуге болады (бір мезгілде!). Осыдан бөлшек өзгерген емес.Сонымен алым мен бөлгішті өрнек арқылы бөлеміз (3х-8). Ал мұнда және мұнда бірлік аламыз. Жеңілдетудің соңғы нәтижесі:

Мен ерекше атап өтейін: бөлшекті азайту өрнектерді көбейтумен қатар алым мен бөлгіште болған жағдайда ғана мүмкін болады. ештеңе жоқ.Сол себепті қосындының (айырманың) түрленуі көбейтужеңілдету өте маңызды. Әрине, егер өрнектер әртүрлі,сонда ештеңе азаймайды. Byvet. Бірақ факторизация мүмкіндік береді.Бұл ыдыраусыз мүмкіндік - жай жоқ.

Теңдеу мысалы:

Теңдеуді шеш:

x 5 - x 4 = 0

Ортақ факторды шығару x 4жақшалар үшін. Біз алып жатырмыз:

x 4 (x-1)=0

Факторлардың көбейтіндісі нөлге тең деп есептейміз содан кейін және тек содан кейінолардың кез келгені нөлге тең болғанда. Егер күмәніңіз болса, маған көбейткенде нөл болатын екі нөлдік емес сандарды табыңыз.) Сондықтан біз бірінші бірінші көбейткішті жазамыз:

Осы теңдікпен екінші фактор бізді алаңдатпайды. Кез келген адам бола алады, бәрібір, соңында нөл шығады. Нөлдің төртінші дәрежесіне дейінгі сан нешеге тең? Тек нөл! Басқа ештеңе ... Сондықтан:

Бірінші факторды анықтадық, бір түбір таптық. Екінші факторға тоқталайық. Енді біз бірінші көбейткішке мән бермейміз.):

Мұнда біз шешім таптық: x 1 = 0; x2 = 1. Бұл түбірлердің кез келгені біздің теңдеуімізге сәйкес келеді.

Өте маңызды ескерту. Назар аударыңыз, біз теңдеуді шештік бірте-бірте!Әрбір фактор нөлге қойылды. басқа факторларға қарамастан.Айтпақшы, егер мұндай теңдеуде біздегідей екі емес, үш, бес, сіз қалағаныңызша көп болса, біз шешеміз. ұқсас.Бөлшек-бөлшек. Мысалы:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Жақшаларды ашқан, бәрін көбейткен адам осы теңдеуге мәңгілікке ілінеді.) Дұрыс оқушыол бірден сол жақта көбейтуден басқа ештеңе жоқ екенін көреді, оң жақта - нөл. Және ол (ойында!) Барлық жақшаларды ретімен нөлге теңестіруді бастайды. Және ол (10 секундта!) дұрыс шешімді алады: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Керемет, солай ма?) Мұндай талғампаз шешім теңдеудің сол жағы болса мүмкін еселіктерге бөлінеді.Нұсқау түсінікті ме?)

Ал, соңғы мысал, үлкендер үшін):

Теңдеуді шеш:

Бұл бұрынғыға ұқсайды, қалай ойлайсыз?) Әрине. Жетінші сыныпта алгебра, синустар, логарифмдер және басқа кез келген нәрсені әріптердің астында жасыруға болатынын есте ұстайтын уақыт келді! Факторинг барлық математикада жұмыс істейді.

Ортақ факторды шығару lg4xжақшалар үшін. Біз алып жатырмыз:

lg 4x=0

Бұл бір тамыр. Екінші факторға тоқталайық.

Міне, соңғы жауап: x 1 = 1; x2 = 10.

Бөлшектерді жеңілдету және теңдеулерді шешуде көбейткіштердің күшін түсіндіңіз деп үміттенемін.)

Бұл сабақта ортақ көбейткішті алып тастау және топтастырумен таныстық. Қысқартылған көбейту және квадрат үшмүшесінің формулаларымен айналысу қалады.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Теңдеуді көбейткіштерге бөлу – көбейтілген кезде бастапқы теңдеуге әкелетін терминдерді немесе өрнектерді табу процесі. Факторинг негізгі алгебралық есептерді шешу үшін пайдалы дағды болып табылады және квадрат теңдеулермен және басқа көпмүшелермен жұмыс істегенде практикалық қажеттілікке айналады. Факторинг алгебралық теңдеулерді шешуді жеңілдету үшін оларды оңайлату үшін қолданылады. Факторинг белгілі бір ықтимал жауаптарды теңдеуді қолмен шешуге қарағанда тезірек жоюға көмектеседі.

Қадамдар

Сандарды көбейткіштерге бөлу және негізгі алгебралық өрнектер

1. Сандарды көбейткіштерге бөлу.Факторинг түсінігі қарапайым, бірақ іс жүзінде факторинг қиын болуы мүмкін (күрделі теңдеу берілген). Сондықтан, алдымен сандарды мысалға ала отырып, көбейткіштерге бөлу түсінігін қарастырамыз, әрі қарай жалғастырамыз қарапайым теңдеулер, содан кейін күрделі теңдеулерге көшіңіз. Көбейткіштер берілген нөміркөбейткенде бастапқы санды беретін сандар. Мысалы, 12 санының көбейткіштері мына сандар: 1, 12, 2, 6, 3, 4, өйткені 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Сол сияқты, санның көбейткіштерін оның бөлгіштері, яғни берілген сан бөлінетін сандар деп қарастыруға болады.
   • 60 санының барлық көбейткіштерін табыңыз. Біз 60 санын жиі қолданамыз (мысалы, сағатта 60 минут, минутта 60 секунд, т.б.) және бұл сан жеткілікті көп саныкөбейткіштер.
     • 60 көбейткіш: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 және 60.

2. Есіңізде болсын:коэффициенті (саны) мен айнымалысы бар өрнектің мүшелерін де көбейткіштерге бөлуге болады. Ол үшін айнымалыдағы коэффициенттің көбейткіштерін табыңыз. Теңдеулердің шарттарын көбейткіштерге бөлуді біле отырып, сіз оңай жеңілдете аласыз берілген теңдеу.

   • Мысалы, 12x мүшесін 12 мен х көбейтіндісі ретінде жазуға болады. Сондай-ақ, 12-ні өзіңізге қолайлы факторларға бөлу арқылы 3(4x), 2(6x) және т.б. деп жазуға болады.
     • Сіз қатарынан 12 рет бірнеше рет орналастыруға болады. Басқаша айтқанда, сіз 3(4x) немесе 2(6x) деңгейінде тоқтамауыңыз керек; кеңейтуді жалғастыру: 3(2(2x)) немесе 2(3(2x)) (анық, 3(4x)=3(2(2x)) т.б.)

3. Алгебралық теңдеулерді көбейткіштерге бөлу үшін көбейтудің үлестіргіш қасиетін қолдану.Сандарды және өрнек мүшелерін (айнымалылары бар коэффициенттер) көбейткіштерге бөлуді біле отырып, санның ортақ көбейткішін және өрнек мүшесін табу арқылы қарапайым алгебралық теңдеулерді оңайлатуға болады. Әдетте, теңдеуді жеңілдету үшін ең үлкен ортақ бөлгішті (gcd) табу керек. Мұндай жеңілдету көбейтудің үлестіргіш қасиетінің арқасында мүмкін болады: кез келген a, b, c сандары үшін a (b + c) = ab + ac теңдігі ақиқат.

   • Мысал. 12x + 6 теңдеуін көбейтіңіз. Алдымен 12x және 6-ның gcd мәнін табыңыз. 6 ең үлкен сан, ол 12x және 6-ны да бөледі, сондықтан бұл теңдеуді келесіге кеңейтуге болады: 6(2x+1).
   • Бұл процесс теріс және бөлшек мүшелері бар теңдеулер үшін де дұрыс. Мысалы, x/2+4 1/2(x+8)-ге ыдырауға болады; мысалы, -7x+(-21) -7(x+3)-ге ыдырауға болады.

   Квадрат теңдеулерді көбейткіштерге бөлу

   1. Теңдеудің квадрат түрінде екеніне көз жеткізіңіз (ax 2 + bx + c = 0).Квадрат теңдеулер: ax 2 + bx + c = 0, мұндағы a, b, c 0-ден басқа сандық коэффициенттер. Егер сізге бір айнымалысы (x) бар теңдеу берілсе және бұл теңдеудің екінші ретті бір немесе бірнеше мүшесі болса. айнымалы болса, теңдеудің барлық мүшелерін теңдеудің бір жағына жылжытып, оны нөлге теңестіруге болады.

      • Мысалы, берілген теңдеу: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Оны квадрат теңдеу болып табылатын x 2 + 6x + 9 = 0 теңдеуіне түрлендіруге болады.
      • Үлкен ретті х айнымалысы бар теңдеулер, мысалы, x 3 , x 4 , т.б. квадрат теңдеулер емес. Бұл текше теңдеулер, төртінші ретті теңдеулер және т.б. (мұндай теңдеулерді х айнымалысы 2-нің дәрежесіне дейінгі квадрат теңдеулерге оңайлату мүмкін болмаса ғана).

   2. a \u003d 1 болатын квадрат теңдеулер (x + d) (x + e), мұнда d * e \u003d c және d + e \u003d b.Егер сізге берілген квадрат теңдеудің пішіні болса: x 2 + bx + c \u003d 0 (яғни, x 2 кезіндегі коэффициент 1-ге тең), онда мұндай теңдеуді (бірақ кепілдік берілмейді) жоғарыда келтірілгенге бөлуге болады. факторлар. Ол үшін көбейткенде «с», ал қосқанда «б» беретін екі санды табу керек. Осы екі санды (d және e) тапқаннан кейін оларды қосыңыз келесі өрнек: (x+d)(x+e), жақшалар ашылғанда, бастапқы теңдеуге әкеледі.

      • Мысалы, x 2 + 5x + 6 = 0 квадрат теңдеуі берілген. 3*2=6 және 3+2=5, сондықтан теңдеуді (x+3)(x+2) етіп кеңейтуге болады.
      • Теріс терминдер үшін факторизация процесіне келесі шамалы өзгерістерді енгізіңіз:
        • Егер квадрат теңдеу x 2 -bx + c түрінде болса, онда ол ыдырайды: (x-_) (x-_).
        • Егер квадрат теңдеудің x 2 -bx-c түрі болса, онда ол былай ыдырайды: (x + _) (x-_).
      • Ескерту: бос орындарды бөлшек немесе ондық бөлшектермен ауыстыруға болады. Мысалы, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 теңдеуі (x + 10) (x + 1/2) -ге ыдырайды.

   3. Сынақ және қате арқылы көбейткіштерге бөлу.Күрделі емес квадрат теңдеулерсандарды жай ғана ауыстыру арқылы көбейтуге болады мүмкін шешімдертапқанша дұрыс шешім. Егер теңдеудің ax 2 +bx+c түрі болса, мұндағы a>1, мүмкін шешімдер (dx +/- _)(ex +/- _) түрінде жазылады, мұндағы d және e нөлден басқа сандық коэффициенттер, оны көбейткенде а береді. d немесе e (немесе екі коэффициент) 1-ге тең болуы мүмкін. Екі коэффициент те 1-ге тең болса, жоғарыда сипатталған әдісті қолданыңыз.

      • Мысалы, 3x 2 - 8x + 4 теңдеуі берілген. Мұнда 3 тек екі көбейткіш (3 және 1) бар, сондықтан мүмкін шешімдер (3x +/- _)(x +/- _) түрінде жазылады. Бұл жағдайда бос орындарға -2 орнына қойсаңыз, дұрыс жауапты табасыз: -2*3x=-6x және -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x және -2*-2=4, яғни жақшаларды ашу кезінде мұндай кеңейту бастапқы теңдеудің мүшелеріне әкеледі.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан немесе математикадан түсу емтиханынан мәселені шешу барысында сіз көбейткіштерге жіктелмейтін көпмүшені алсаңыз не істеу керек стандартты әдістерсен мектепте не үйрендің? Бұл мақалада математика мұғалімі бір тиімді әдіс туралы айтады, оны зерттеу мүмкін емес мектеп бағдарламасы, бірақ оның көмегімен көпмүшені көбейткіштерге бөлу қиын болмайды. Осы мақаланы соңына дейін оқып шығыңыз және қоса берілген бейне оқулықты қараңыз. Алған біліміңіз емтиханда сізге көмектеседі.

Көпмүшені бөлу әдісімен көбейткіштерге бөлу

Егер сіз екінші дәрежеден үлкен көпмүшені алсаңыз және бұл көпмүше нөлге тең болатын айнымалының мәнін болжай алсаңыз (мысалы, бұл мән тең), біліңіз! Бұл көпмүшені қалдықсыз бөлуге болады.

Мысалы, төртінші дәрежелі көпмүшенің жоғалып кететінін көру оңай. Бұл оны қалдықсыз бөлуге болатынын білдіреді, осылайша үшінші дәрежелі көпмүшені (бірден кіші) алуға болады. Яғни, оны келесі пішінге қойыңыз:

Қайда А, Б, CЖәне D- кейбір сандар. Жақшаларды кеңейтейік:

коэффициенттері болғандықтан тең дәрежелербірдей болуы керек, біз аламыз:

Сонымен бізде:

Ілгері жүру. Үшінші дәрежелі көпмүшенің қайтадан бөлінетінін көру үшін бірнеше кіші бүтін сандарды сұрыптау жеткілікті. Нәтижесінде екінші дәрежелі көпмүше пайда болады (бірден аз). Содан кейін біз жаңа рекордқа көшеміз:

Қайда Е, ФЖәне Г- кейбір сандар. Жақшаларды қайтадан ашсақ, біз келесі өрнекке келеміз:

Тағы да бірдей дәрежелердегі коэффициенттердің теңдігі шартынан мынаны аламыз:

Сонда біз аламыз:

Яғни, бастапқы көпмүшені келесідей көбейткіштерге бөлуге болады:

Негізінде, егер қажет болса, квадраттардың айырмашылығы формуласын пайдаланып, нәтиже келесі түрде де ұсынылуы мүмкін:

Сондықтан қарапайым және тиімді әдіскөпмүшелерді көбейткіштерге бөлу. Есіңізде болсын, бұл емтиханда немесе математикалық олимпиадада пайдалы болуы мүмкін. Бұл әдісті қолдануды үйренгеніңізді тексеріңіз. Келесі мәселені өзіңіз шешуге тырысыңыз.

Көпмүшені көбейткіштерге бөлу:

Жауаптарыңызды түсініктемелерде жазыңыз.

Дайындаған: Сергей Валерьевич

Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу бірдей түрлендіру болып табылады, нәтижесінде көпмүше бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне айналады - көпмүше немесе моном.

Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлудің бірнеше жолы бар.

1-әдіс. Ортақ факторды жақшаға қою.

Бұл түрлендіру көбейтудің дистрибутивтік заңына негізделген: ac + bc = c(a + b). Трансформацияның мәні қарастырылып отырған екі құрамдастағы ортақ факторды бөліп алып, жақшадан «шығару» болып табылады.

28x 3 - 35x 4 көпмүшені көбейткіштерге жіктейік.

Шешім.

1. 28x3 және 35x4 элементтерінің ортақ бөлгішін табамыз. 28 және 35 үшін 7 болады; x 3 және x 4 - x 3 үшін. Басқаша айтқанда, біздің ортақ коэффициентіміз 7х3.

2. Біз элементтердің әрқайсысын факторлардың туындысы ретінде көрсетеміз, олардың біреуі
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Ортақ факторды алып тастаймыз
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

2-әдіс.Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану. Бұл әдісті меңгерудің «шеберлігі» өрнекте қысқартылған көбейту формулаларының бірін байқау болып табылады.

x 6 - 1 көпмүшені көбейткіштерге жіктейік.

Шешім.

1 ТО берілген өрнекквадраттардың айырымы формуласын қолдана аламыз. Ол үшін х 6-ны (x 3) 2, ал 1-ді 1 2 түрінде көрсетеміз, яғни. 1. Өрнек келесі пішінді алады:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Алынған өрнекке кубтардың қосындысы мен айырмасының формуласын қолдануға болады:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Сонымен,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x) 2 + x + 1).

3-әдіс. Топтастыру. Топтастыру әдісі көпмүшенің құрамдас бөліктерін оларға амалдарды орындауға оңай болатындай етіп біріктіруден тұрады (қосу, азайту, ортақ көбейткішті шығару).

x 3 - 3x 2 + 5x - 15 көпмүшені көбейткіштерге жіктейміз.

Шешім.

1. Компоненттерді осылай топтаңыз: 1-ші 2-ші, ал 3-ші 4-ші.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Алынған өрнекте жақшаның ішінен ортақ көбейткіштерді аламыз: бірінші жағдайда x 2, екіншісінде 5.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Ортақ x - 3 көбейткішін алып, мынаны аламыз:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Сонымен,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5).

Материалды түзетейік.

a 2 - 7ab + 12b 2 көпмүшені көбейткіштер.

Шешім.

1. 7ab мономін 3ab + 4ab қосындысы ретінде көрсетеміз. Өрнек келесі формада болады:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Жақшаларды ашып, аламыз:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. Көпмүшенің компоненттерін осылай топтаңыз: 1-ші 2-ші және 3-ші 4-ші. Біз алып жатырмыз:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Жалпы факторларды бөліп алайық:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Ортақ көбейткішті шығарайық (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Сонымен,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 б) ∙ (а – 4б).

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Көпмүшені көбейткіштерге бөлу. 1 бөлім

Факторизацияшешуге көмектесетін әмбебап әдіс күрделі теңдеулержәне теңсіздіктер. Оң жағы нөлге тең болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде бірінші ойға келетін ой сол жағын көбейткіштерге бөлуге тырысу.

Біз негізгілерді тізімдейміз көпмүшені көбейткіштерге бөлу тәсілдері:

• жақшадан ортақ көбейткішті алу
• қысқартылған көбейту формулаларын қолдану
• квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы бойынша
• топтастыру әдісі
• көпмүшені биномға бөлу
• анықталмаған коэффициенттер әдісі

Бұл мақалада біз алғашқы үш әдіске егжей-тегжейлі тоқталамыз, қалғандары келесі мақалаларда талқыланады.

1. Жақшадан ортақ көбейткішті шығару.

Жақшадан ортақ көбейткішті шығару үшін алдымен оны табу керек. Ортақ көбейткіш коэффициентібарлық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішіне тең.

Хат бөлігіортақ көбейткіш көрсеткіші ең кіші әрбір мүшені құрайтын өрнектердің көбейтіндісіне тең.

Жалпы факторды шығару схемасы келесідей:

Назар аударыңыз!
Жақшадағы терминдер саны бастапқы өрнектегі терминдер санына тең. Терминдердің бірі ортақ көбейткішпен сәйкес келсе, оны ортақ көбейткішке бөлгенде біреуін аламыз.

1-мысал

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңіз:

Жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарайық. Ол үшін алдымен оны табамыз.

1. Көпмүшенің барлық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз, яғни. 20, 35 және 15 сандары. Ол 5-ке тең.

2. Айнымалы барлық мүшелерде болатынын, ал оның көрсеткішінің ең кішісі 2 екенін анықтаймыз. Айнымалы барлық мүшелерде қамтылған, ал оның көрсеткішінің ең кішісі 3-ке тең.

Айнымалы тек екінші мүшеде болады, сондықтан ол жалпы фактордың бөлігі емес.

Сонымен, ортақ фактор

3. Жоғарыдағы схема арқылы коэффициентті шығарамыз:

2-мысалТеңдеуді шеш:

Шешім. Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктейік. Жақшадан көбейткішті шығарайық:

Сонымен теңдеуді алдық

Әрбір факторды нөлге теңестіріңіз:

Бірінші теңдеудің түбірін аламыз.

Тамырлар:

Жауабы: -1, 2, 4

2. Қысқартылған көбейту формулаларын қолданып көбейткіштерге бөлу.

Егер көбейткіштерге жіктейтін көпмүшедегі мүшелер саны үштен кем немесе тең болса, онда қысқартылған көбейту формулаларын қолдануға тырысамыз.

1. Егер көпмүше болсаекі терминнің айырмашылығы, содан кейін біз өтініш беруге тырысамыз квадраттар айырымы формуласы:

немесе куб айырымы формуласы:

Міне әріптер және санды немесе алгебралық өрнекті белгілеңіз.

2. Егер көпмүше екі мүшенің қосындысы болса, оны көбейткіштерге бөлуге болады текшелердің қосындысының формулалары:

3. Егер көпмүше үш мүшеден тұрса, онда біз қолдануға тырысамыз қосындысының квадрат формуласы:

немесе айырмашылық квадратының формуласы:

Немесе көбейткіштерге бөлуге тырысамыз шаршы үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы:

Мұндағы және квадрат теңдеудің түбірлері

3-мысалӨрнекті көбейткіштерге бөлу:

Шешім. Бізде екі мүшенің қосындысы бар. Текшелердің қосындысының формуласын қолданып көрейік. Мұны істеу үшін алдымен әрбір терминді қандай да бір өрнектің текшесі ретінде көрсету керек, содан кейін текшелердің қосындысы формуласын қолдану керек:

4-мысалӨрнекті көбейткіштерге бөлу:

Шешім. Біздің алдымызда екі өрнектің квадраттарының айырмасы тұр. Бірінші өрнек: , екінші өрнек:

Квадраттардың айырымы формуласын қолданайық:

Жақшаларды ашып, ұқсас шарттарды берейік, біз аламыз: