Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, w którym Achilles przebiega tę odległość, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw przeczołga się jeszcze dziesięć kroków i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni, w taki czy inny sposób, rozważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że » ... dyskusje toczą się obecnie, aby dojść do wspólnego zdania na temat istoty paradoksów społeczność naukowa jeszcze się nie udało... Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu ...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, na czym polega oszustwo.
Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie pokazał przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo jeszcze nie został opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez bezwładność myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwolnił do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już dogonić żółwia.
Jeśli zmienimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko się ułoży. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na pokonanie go jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy pojęcie „nieskończoności” w tej sytuacji, to poprawne byłoby stwierdzenie „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na wzajemność. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie potrzebnym Achillesowi na pokonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasu, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles wyprzedza żółwia o osiemset kroków.
Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez paradoksów logicznych. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie Problemy. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze zbadać, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.
Inna interesująca aporia Zenona mówi o lecącej strzale:
Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili czasu jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili czasu, zawsze jest w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że lecąca strzała w każdym momencie spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie można określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach czasu, ale nie można na ich podstawie określić odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz na ich podstawie określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże). Na czym chcę się skupić Specjalna uwaga, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.
środa, 4 lipca 2018 r
Bardzo dobrze różnice między setem a multisetem są opisane w Wikipedii. Patrzymy.
Jak widać, „zbiór nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zbiorze znajdują się identyczne elementy, to taki zbiór nazywany jest „wielozbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją takiej logiki absurdu. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, na których umysł jest nieobecny na słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne idee.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy budowali most, znajdowali się w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy kryją się za frazą „uważaj, jestem w domu”, czy raczej „matematyka studiuje abstrakcyjne pojęcia”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Oto przychodzi do nas matematyk po swoje pieniądze. Przeliczamy mu całą kwotę i rozkładamy na stole na różne stosy, w których umieszczamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „zestaw wynagrodzeń matematycznych”. Matematyce tłumaczymy, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewnienia, że na banknotach tego samego nominału znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że nie można ich uznać za identyczne elementy. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma numerów. Tutaj matematyk zacznie konwulsyjnie przypominać sobie fizykę: na różnych monetach jest inna kwota brud, struktura krystaliczna i układ atomowy każdej monety jest niepowtarzalny...
A teraz mam najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest granica, poza którą elementy multisetu zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.
Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyjmuje z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zbiorze, albo o wielozbiorze. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę wam, bez żadnego „pojmowalnego jako nie pojedyncza całość” czy „niepojmowalnego jako pojedyncza całość”.
niedziela, 18 marca 2018 r
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale oni są od tego szamanami, żeby uczyć swoich potomków ich umiejętności i mądrości, inaczej szamani po prostu wymrą.
Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, dzięki któremu można znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby są symbole graficzne, za pomocą którego zapisujemy liczby, aw języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.
Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak powiedzmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz liczbę na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.
2. Jedno otrzymane zdjęcie dzielimy na kilka obrazków zawierających osobne numery. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj otrzymane liczby. Teraz to matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia” szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.
Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy rachunkach, suma cyfr tej samej liczby będzie różna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukać głowy, rozważ liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak samo, jak gdybyś miał określić pole prostokąta w metrach i centymetrach, dostałbyś dokładnie różne wyniki.
Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Co dla matematyków istnieje tylko liczby? Dla szamanów mogę na to pozwolić, ale dla naukowców nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Otrzymany wynik należy traktować jako dowód na to, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? To jest, gdy wynik działanie matematyczne nie zależy od wartości liczby, zastosowanej jednostki miary ani od tego, kto wykonuje tę czynność.
Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieokreślonej świętości dusz po wstąpieniu do nieba! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.
Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowej kilka razy dziennie migające przed twoimi oczami,
Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:
Osobiście staram się zobaczyć minus cztery stopnie u kupczącej osoby (jedno zdjęcie) (skład kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie kto zna się na fizyce. Po prostu ma łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.
1A to nie „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „srający człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w systemie liczb szesnastkowych. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.
A przy obliczaniu wartości wyrażeń działania są wykonywane w określonej kolejności, innymi słowy, musisz przestrzegać kolejność działań.
W tym artykule dowiemy się, które czynności należy wykonać najpierw, a które po nich. Zacznijmy od najprostszych przypadków, gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone przez plus, minus, mnożenie i dzielenie. Następnie wyjaśnimy, jaka kolejność wykonywania działań powinna być przestrzegana w wyrażeniach z nawiasami. Na koniec rozważ kolejność wykonywania działań w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.
Nawigacja po stronie.
Najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie
Szkoła zapewnia, co następuje reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów:
- czynności wykonywane są w kolejności od lewej do prawej,
- gdzie najpierw wykonuje się mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Podana zasada jest postrzegana dość naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej tłumaczy się tym, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie odbywa się przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie te działania niosą same w sobie.
Spójrzmy na kilka przykładów zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się na kolejności wykonywania działań.
Przykład.
Wykonaj kroki 7-3+6 .
Rozwiązanie.
Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia i dzielenia. Dlatego wszystkie czynności powinniśmy wykonywać w kolejności od lewej do prawej, czyli najpierw odejmujemy 3 od 7, otrzymujemy 4, po czym do otrzymanej różnicy dodajemy 6, otrzymujemy 10.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: 7−3+6=4+6=10 .
Odpowiedź:
7−3+6=10 .
Przykład.
Wskaż kolejność wykonywania czynności w wyrażeniu 6:2·8:3 .
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na pytanie problemu, przejdźmy do reguły, która wskazuje kolejność wykonywania działań w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera tylko operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z regułą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.
Odpowiedź:
Najpierw 6 podzielone przez 2, ten iloraz jest mnożony przez 8, na końcu wynik jest dzielony przez 3.
Przykład.
Oblicz wartość wyrażenia 17−5·6:3−2+4:2 .
Rozwiązanie.
Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności powinny być wykonywane akcje w oryginalnym wyrażeniu. Obejmuje zarówno mnożenie i dzielenie, jak i dodawanie i odejmowanie. Najpierw, od lewej do prawej, musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2, otrzymujemy 2. Podstawiamy znalezioną wartość 10 zamiast 5 6:3 w oryginalnym wyrażeniu, a wartość 2 zamiast 4:2 mamy 17-5 6:3-2+4:2=17-10-2+2.
W otrzymanym wyrażeniu nie ma mnożenia ani dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Odpowiedź:
17-5 6:3-2+4:2=7 .
Na początku, aby nie pomylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieścić liczby nad znakami czynności odpowiadającymi kolejności ich wykonywania. Dla poprzedniego przykładu wyglądałoby to tak: .
Podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi należy przestrzegać tej samej kolejności operacji — najpierw mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Kroki 1 i 2
W niektórych podręcznikach do matematyki występuje podział operacji arytmetycznych na operacje kroku pierwszego i drugiego. Zajmijmy się tym.
Definicja.
Działania pierwszego kroku nazywane są dodawaniem i odejmowaniem, a mnożenie i dzielenie działania drugiego kroku.
W tych warunkach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania czynności, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej, czynności drugiego etapu ( mnożenie i dzielenie), a następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).
Kolejność wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach z nawiasami
Wyrażenia często zawierają nawiasy, aby wskazać kolejność wykonywania działań. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania działań w wyrażeniach z nawiasami, jest sformułowane w następujący sposób: najpierw wykonywane są działania w nawiasach, mnożenie i dzielenie również w kolejności od lewej do prawej, następnie dodawanie i odejmowanie.
Tak więc wyrażenia w nawiasach są uważane za składowe oryginalnego wyrażenia i zachowana jest w nich znana nam kolejność działań. Rozważ rozwiązania przykładów dla większej przejrzystości.
Przykład.
Wykonaj podane kroki 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Rozwiązanie.
Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy działania na wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2 3 . W nim trzeba najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2 3=7−6=1 . Przechodzimy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6−4 . Jest tu tylko jedna czynność - odejmowanie, wykonujemy ją 6−4=2 .
Otrzymane wartości podstawiamy do oryginalnego wyrażenia: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie, otrzymujemy 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Na tym wszystkie działania są zakończone, przestrzegaliśmy następującej kolejności ich wykonywania: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Zapiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Odpowiedź:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie powinieneś się tego bać, wystarczy konsekwentnie stosować dźwięczną regułę wykonywania czynności w wyrażeniach z nawiasami. Pokażmy przykładowe rozwiązanie.
Przykład.
Wykonaj działania w wyrażeniu 4+(3+1+4·(2+3)) .
Rozwiązanie.
Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4 (2+3) . To wyrażenie zawiera również nawiasy, więc musisz najpierw wykonać w nich działania. Zróbmy tak: 2+3=5 . Zastępując znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4 5 . W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4 5=3+1+20=24 . Wartość początkowa po podstawieniu tej wartości przyjmuje postać 4+24 , a pozostaje już tylko dokończyć akcje: 4+24=28 .
Odpowiedź:
4+(3+1+4 (2+3))=28 .
Ogólnie rzecz biorąc, gdy w wyrażeniu występują nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest zacząć od nawiasów wewnętrznych i przejść do nawiasów zewnętrznych.
Załóżmy na przykład, że musimy wykonać operacje na wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Najpierw wykonujemy działania w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1 , potem oryginalne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1 . Ponownie wykonujemy czynność w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5 , dochodzimy do następujące wyrażenie(4+5−1)−1 . Ponownie wykonujemy działania w nawiasach: 4+5−1=8 , podczas gdy dochodzimy do różnicy 8−1 , która jest równa 7 .
Kiedy pracujemy z różnymi wyrażeniami, które zawierają liczby, litery i zmienne, musimy zrobić duża liczba działania arytmetyczne. Kiedy dokonujemy transformacji lub obliczamy wartość, bardzo ważne jest, aby zachować odpowiednią kolejność tych działań. Innymi słowy, operacje arytmetyczne mają swoją własną specjalną kolejność wykonywania.
Yandex.RTB R-A-339285-1
W tym artykule podpowiemy, jakie działania należy wykonać w pierwszej kolejności, a które później. Najpierw przyjrzyjmy się kilku prostym wyrażeniom, które zawierają tylko zmienne lub wartości liczbowe, a także znaki dzielenia, mnożenia, odejmowania i dodawania. Następnie weźmiemy przykłady z nawiasami i zastanowimy się, w jakiej kolejności należy je ocenić. W trzeciej części podamy poprawną kolejność przekształceń i obliczeń w tych przykładach, które zawierają znaki pierwiastków, potęg i innych funkcji.
Definicja 1W przypadku wyrażeń bez nawiasów kolejność działań ustalana jest jednoznacznie:
- Wszystkie czynności są wykonywane od lewej do prawej.
- Po pierwsze wykonujemy dzielenie i mnożenie, a po drugie odejmowanie i dodawanie.
Znaczenie tych zasad jest łatwe do zrozumienia. Tradycyjna kolejność pisania od lewej do prawej określa podstawową kolejność obliczeń, a konieczność mnożenia lub dzielenia w pierwszej kolejności jest wyjaśniona samą istotą tych operacji.
Weźmy kilka zadań dla jasności. Użyliśmy tylko najprostszych wyrażeń liczbowych, aby wszystkie obliczenia można było wykonać w pamięci. Możesz więc szybko zapamiętać żądaną kolejność i szybko sprawdzić wyniki.
Przykład 1
Stan : schorzenie: oblicz ile 7 − 3 + 6 .
Rozwiązanie
W naszym wyrażeniu nie ma nawiasów, nie ma też mnożenia i dzielenia, więc wszystkie czynności wykonujemy w podanej kolejności. Najpierw odejmij trzy od siedmiu, a następnie dodaj sześć do reszty, w wyniku czego otrzymamy dziesięć. Oto zapis całego rozwiązania:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Odpowiedź: 7 − 3 + 6 = 10 .
Przykład 2
Stan : schorzenie: w jakiej kolejności należy wykonać obliczenia w wyrażeniu 6:2 8:3?
Rozwiązanie
Aby odpowiedzieć na to pytanie, ponownie odczytujemy regułę dla wyrażeń bez nawiasów, którą sformułowaliśmy wcześniej. Mamy tu tylko mnożenie i dzielenie, co oznacza, że zachowujemy pisemną kolejność obliczeń i liczymy kolejno od lewej do prawej.
Odpowiedź: najpierw dzielimy sześć przez dwa, mnożymy wynik przez osiem i dzielimy wynikową liczbę przez trzy.
Przykład 3
Stan : schorzenie: oblicz ile będzie 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.
Rozwiązanie
Najpierw ustalmy poprawną kolejność działań, ponieważ mamy tutaj wszystkie podstawowe rodzaje operacji arytmetycznych - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to podzielić i pomnożyć. Czynności te nie mają nad sobą pierwszeństwa, dlatego wykonujemy je w kolejności pisemnej od prawej do lewej. Oznacza to, że 5 należy pomnożyć przez 6 i uzyskać 30, a następnie 30 podzielić przez 3 i uzyskać 10. Następnie dzielimy 4 przez 2 , to jest 2 . Zastąp znalezione wartości oryginalnym wyrażeniem:
17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2
Nie ma tu dzielenia ani mnożenia, więc wykonujemy pozostałe obliczenia po kolei i otrzymujemy odpowiedź:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Odpowiedź:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.
Dopóki kolejność wykonywania działań nie zostanie mocno poznana, możesz umieszczać liczby nad znakami operacji arytmetycznych, wskazując kolejność obliczeń. Na przykład dla powyższego problemu moglibyśmy napisać to tak:
Jeśli mamy wyrażenia literalne, to robimy z nimi to samo: najpierw mnożymy i dzielimy, potem dodajemy i odejmujemy.
Jakie są kroki pierwszy i drugi
Czasami w podręcznikach wszystkie operacje arytmetyczne są podzielone na operacje pierwszego i drugiego etapu. Sformułujmy wymaganą definicję.
Operacje pierwszego etapu obejmują odejmowanie i dodawanie, drugiego - mnożenie i dzielenie.
Znając te nazwy możemy zapisać podaną wcześniej regułę dotyczącą kolejności działań w następujący sposób:
Definicja 2
W wyrażeniu, które nie zawiera nawiasów, najpierw wykonaj czynności drugiego kroku w kierunku od lewej do prawej, a następnie czynności pierwszego kroku (w tym samym kierunku).
Kolejność oceny w wyrażeniach z nawiasami
Same nawiasy są znakiem, który mówi nam o pożądanej kolejności wykonywania czynności. W tym przypadku słuszna reguła można zapisać tak:
Definicja 3
Jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, to najpierw wykonywana jest w nich akcja, po czym mnożymy i dzielimy, a następnie dodajemy i odejmujemy w kierunku od lewej do prawej.
Jeśli chodzi o samo wyrażenie w nawiasach, można je traktować jako składnik wyrażenia głównego. Przy obliczaniu wartości wyrażenia w nawiasach zachowujemy tę samą znaną nam procedurę. Zilustrujmy nasz pomysł przykładem.
Przykład 4
Stan : schorzenie: oblicz ile 5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2.
Rozwiązanie
W dane wyrażenie są nawiasy, więc zacznijmy od nich. Najpierw obliczmy, ile będzie wynosiło 7 − 2 · 3. Tutaj musimy pomnożyć 2 przez 3 i odjąć wynik od 7:
7 - 2 3 = 7 - 6 = 1
Rozważamy wynik w drugim nawiasie. Tam mamy tylko jedną akcję: 6 − 4 = 2 .
Teraz musimy podstawić wynikowe wartości do oryginalnego wyrażenia:
5 + (7 - 2 3) (6 - 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Zacznijmy od mnożenia i dzielenia, a następnie odejmujemy i otrzymujemy:
5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6
To kończy obliczenia.
Odpowiedź: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Nie przejmuj się, jeśli warunek zawiera wyrażenie, w którym jedne nawiasy zawierają inne. Musimy tylko konsekwentnie zastosować powyższą regułę do wszystkich wyrażeń ujętych w nawiasy. Weźmy to zadanie.
Przykład 5
Stan : schorzenie: oblicz ile 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Rozwiązanie
Mamy nawiasy w nawiasach. Zaczynamy od 3 + 1 + 4 (2 + 3) , czyli 2 + 3 . Będzie 5. Wartość trzeba będzie podstawić do wyrażenia i obliczyć, że 3 + 1 + 4 5 . Pamiętamy, że najpierw musimy pomnożyć, a potem dodać: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Zastępując znalezione wartości oryginalnym wyrażeniem, obliczamy odpowiedź: 4 + 24 = 28 .
Odpowiedź: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.
Innymi słowy, oceniając wartość wyrażenia zawierającego nawiasy w nawiasach, zaczynamy od nawiasów wewnętrznych i przechodzimy do nawiasów zewnętrznych.
Powiedzmy, że musimy znaleźć, ile będzie (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Zaczynamy od wyrażenia w nawiasach wewnętrznych. Ponieważ 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , oryginalne wyrażenie można zapisać jako (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Ponownie zwracamy się do nawiasów wewnętrznych: 4 + 1 = 5 . Doszliśmy do wyrażenia (4 + 5 − 1) − 1 . Wierzymy 4 + 5 − 1 = 8 w rezultacie otrzymujemy różnicę 8 - 1, której wynikiem będzie 7.
Kolejność obliczeń w wyrażeniach z potęgami, pierwiastkami, logarytmami i innymi funkcjami
Jeśli mamy wyrażenie w warunku ze stopniem, pierwiastkiem, logarytmem lub funkcja trygonometryczna(sinus, cosinus, tangens i cotangens) lub inne funkcje, to pierwszą rzeczą, którą robimy, jest obliczenie wartości funkcji. Następnie postępujemy zgodnie z zasadami określonymi w poprzednich paragrafach. Innymi słowy, funkcje mają taką samą wagę jak wyrażenie w nawiasie.
Spójrzmy na przykład takiego obliczenia.
Przykład 6
Stan : schorzenie: znajdź, ile będzie (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .
Rozwiązanie
Mamy wyrażenie ze stopniem, którego wartość należy najpierw znaleźć. Rozważamy: 6 2 \u003d 36. Teraz podstawiamy wynik do wyrażenia, po czym przyjmie on postać (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13
Odpowiedź: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.
W osobnym artykule poświęconym obliczaniu wartości wyrażeń przedstawiamy inne, nie tylko złożone przykłady obliczeń w przypadku wyrażeń z pierwiastkami, stopniami itp. Zalecamy zapoznanie się z nim.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W tej lekcji szczegółowo omówiono procedurę wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach bez nawiasów iz nawiasami. Studenci mają możliwość w trakcie wykonywania zadań ustalić, czy znaczenie wyrażeń zależy od kolejności wykonywania działań arytmetycznych, dowiedzieć się, czy kolejność działań arytmetycznych różni się w wyrażeniach bez nawiasów i z nawiasami, przećwiczyć stosowanie poznanej zasady, aby znaleźć i poprawić błędy popełniane przy ustalaniu kolejności działań.
W życiu nieustannie wykonujemy jakąś czynność: chodzimy, uczymy się, czytamy, piszemy, liczymy, uśmiechamy się, kłócimy i godzimy. Czynności te wykonujemy w inna kolejność. Czasami można je zamienić, czasami nie. Na przykład idąc rano do szkoły, możesz najpierw zrobić ćwiczenia, a potem pościelić łóżko lub odwrotnie. Ale nie możesz najpierw iść do szkoły, a potem się ubrać.
A czy w matematyce konieczne jest wykonywanie operacji arytmetycznych w określonej kolejności?
Sprawdźmy
Porównajmy wyrażenia:
8-3+4 i 8-3+4
Widzimy, że oba wyrażenia są dokładnie takie same.
Wykonajmy działania w jednym wyrażeniu od lewej do prawej, aw innym od prawej do lewej. Liczby mogą wskazywać kolejność wykonywania czynności (ryc. 1).
Ryż. 1. Procedura
W pierwszym wyrażeniu najpierw wykonamy operację odejmowania, a następnie do wyniku dodamy liczbę 4.
W drugim wyrażeniu najpierw znajdujemy wartość sumy, a następnie odejmujemy wynik 7 od 8.
Widzimy, że wartości wyrażeń są różne.
Podsumujmy: Nie można zmienić kolejności wykonywania operacji arytmetycznych..
Poznajmy zasadę wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach bez nawiasów.
Jeśli wyrażenie bez nawiasów zawiera tylko dodawanie i odejmowanie lub tylko mnożenie i dzielenie, to czynności są wykonywane w kolejności, w jakiej zostały zapisane.
Poćwiczmy.
Rozważ wyrażenie
To wyrażenie ma tylko operacje dodawania i odejmowania. Działania te są tzw działania pierwszego kroku.
Wykonujemy czynności od lewej do prawej w kolejności (ryc. 2).
Ryż. 2. Procedura
Rozważ drugie wyrażenie
W tym wyrażeniu są tylko operacje mnożenia i dzielenia - Są to działania drugiego kroku.
Wykonujemy czynności od lewej do prawej w kolejności (ryc. 3).
Ryż. 3. Procedura
W jakiej kolejności wykonywane są operacje arytmetyczne, jeśli wyrażenie zawiera nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale także mnożenie i dzielenie?
Jeśli wyrażenie bez nawiasów obejmuje nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale także mnożenie i dzielenie lub obie te operacje, to najpierw wykonaj mnożenie i dzielenie w kolejności (od lewej do prawej), a następnie dodawanie i odejmowanie.
Rozważ wyrażenie.
Rozumujemy tak. To wyrażenie zawiera operacje dodawania i odejmowania, mnożenia i dzielenia. Działamy zgodnie z regułą. Najpierw wykonujemy w kolejności (od lewej do prawej) mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Ustalmy procedurę.
Obliczmy wartość wyrażenia.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
W jakiej kolejności wykonywane są operacje arytmetyczne, jeśli wyrażenie zawiera nawiasy?
Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy, najpierw obliczana jest wartość wyrażeń w nawiasach.
Rozważ wyrażenie.
30 + 6 * (13 - 9)
Widzimy, że w tym wyrażeniu jest akcja w nawiasach, co oznacza, że najpierw wykonamy tę czynność, potem kolejno mnożenie i dodawanie. Ustalmy procedurę.
30 + 6 * (13 - 9)
Obliczmy wartość wyrażenia.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Jak należy rozumować, aby prawidłowo ustalić kolejność działań arytmetycznych w wyrażeniu liczbowym?
Przed przystąpieniem do obliczeń należy rozważyć wyrażenie (dowiedz się, czy zawiera nawiasy, jakie ma działania), a dopiero potem wykonaj działania w następującej kolejności:
1. czynności zapisane w nawiasach;
2. mnożenie i dzielenie;
3. dodawanie i odejmowanie.
Diagram pomoże ci zapamiętać tę prostą zasadę (ryc. 4).
Ryż. 4. Procedura
Poćwiczmy.
Rozważ wyrażenia, ustal kolejność działań i wykonaj obliczenia.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Przestrzegajmy zasad. Wyrażenie 43 - (20 - 7) +15 zawiera operacje w nawiasach, jak również operacje dodawania i odejmowania. Ustalmy przebieg akcji. Pierwszym krokiem jest wykonanie czynności w nawiasach, a następnie w kolejności od lewej do prawej, odejmowanie i dodawanie.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
Wyrażenie 32 + 9 * (19 - 16) zawiera operacje w nawiasach, a także operacje mnożenia i dodawania. Zgodnie z zasadą najpierw wykonujemy czynność w nawiasie, następnie mnożenie (liczbę 9 mnoży się przez wynik uzyskany przez odejmowanie) i dodawanie.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
W wyrażeniu 2*9-18:3 nie ma nawiasów, ale są operacje mnożenia, dzielenia i odejmowania. Działamy zgodnie z regułą. Najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie od wyniku uzyskanego przez mnożenie odejmujemy wynik uzyskany przez dzielenie. Oznacza to, że pierwszą czynnością jest mnożenie, drugą dzielenie, a trzecią odejmowanie.
2*9-18:3=18-6=12
Sprawdźmy, czy kolejność działań w poniższych wyrażeniach jest poprawnie zdefiniowana.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Rozumujemy tak.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
W tym wyrażeniu nie ma nawiasów, co oznacza, że najpierw wykonujemy mnożenie lub dzielenie od lewej do prawej, a następnie dodawanie lub odejmowanie. W tym wyrażeniu pierwszą akcją jest dzielenie, a drugą mnożenie. Trzecią czynnością powinno być dodawanie, czwartą - odejmowanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana poprawnie.
Znajdź wartość tego wyrażenia.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Kłócimy się dalej.
Drugie wyrażenie zawiera nawiasy, co oznacza, że najpierw wykonujemy czynność w nawiasie, a następnie od lewej do prawej mnożenie lub dzielenie, dodawanie lub odejmowanie. Sprawdzamy: pierwsza akcja jest w nawiasach, druga to dzielenie, trzecia to dodawanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana niepoprawnie. Popraw błędy, znajdź wartość wyrażenia.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
To wyrażenie również zawiera nawiasy, co oznacza, że najpierw wykonujemy czynność w nawiasie, a następnie od lewej do prawej mnożenie lub dzielenie, dodawanie lub odejmowanie. Sprawdzamy: pierwsza czynność jest w nawiasach, druga to mnożenie, trzecia to odejmowanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana niepoprawnie. Popraw błędy, znajdź wartość wyrażenia.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Dokończmy zadanie.
Uporządkujmy kolejność działań w wyrażeniu, korzystając z badanej reguły (ryc. 5).
Ryż. 5. Procedura
nie widzimy wartości liczbowe, więc nie będziemy w stanie znaleźć znaczenia wyrażeń, ale poćwiczymy stosowanie poznanej reguły.
Działamy zgodnie z algorytmem.
Pierwsze wyrażenie ma nawiasy, więc pierwsza akcja jest w nawiasach. Następnie mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie i dodawanie od lewej do prawej.
Drugie wyrażenie również zawiera nawiasy, co oznacza, że pierwszą czynność wykonujemy w nawiasach. Następnie od lewej do prawej mnożenie i dzielenie, a następnie odejmowanie.
Sprawdźmy sami (ryc. 6).
Ryż. 6. Procedura
Dzisiaj na lekcji poznaliśmy zasadę kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach bez nawiasów iz nawiasami.
Bibliografia
- MI. Moro, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 1. - M .: „Oświecenie”, 2012.
- MI. Moro, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 2. - M .: „Oświecenie”, 2012.
- MI. Moreau. Lekcje matematyki: Wytyczne dla nauczyciela. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
- Dokument regulacyjny. Monitorowanie i ocena efektów uczenia się. - M.: "Oświecenie", 2011.
- „Szkoła Rosji”: programy dla Szkoła Podstawowa. - M.: "Oświecenie", 2011.
- SI. Wołkow. Matematyka: Prace weryfikacyjne. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
- V.N. Rudnickaja. Testy. - M.: "Egzamin", 2012.
- Festiwal.1 września.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Praca domowa
1. Określ kolejność działań w tych wyrażeniach. Znajdź znaczenie wyrażeń.
2. Określ, w którym wyrażeniu wykonywana jest ta kolejność działań:
1. mnożenie; 2. podział;. 3. dodatek; 4. odejmowanie; 5. dodatek. Znajdź wartość tego wyrażenia.
3. Ułóż trzy wyrażenia, w których wykonywana jest następująca kolejność działań:
1. mnożenie; 2. dodatek; 3. odejmowanie
1. dodatek; 2. odejmowanie; 3. dodatek
1. mnożenie; 2. podział; 3. dodatek
Znajdź znaczenie tych wyrażeń.
Obliczając przykłady, musisz postępować zgodnie z określoną procedurą. Za pomocą poniższych zasad dowiemy się, w jakiej kolejności wykonywane są czynności i do czego służą nawiasy.
Jeśli w wyrażeniu nie ma nawiasów, to:
Rozważać procedura w następnym przykładzie.
Przypominamy o tym Kolejność działań w matematyce ułożone od lewej do prawej (od początku do końca przykładu).
Oceniając wartość wyrażenia, można rejestrować na dwa sposoby.
Pierwszy sposób
- Każda akcja jest rejestrowana osobno z jej numerem pod przykładem.
- Po zrobieniu ostatnia akcja odpowiedź musi być zapisana w oryginalnym przykładzie.
- Druga metoda nazywa się łańcuchowaniem. Wszystkie obliczenia są wykonywane dokładnie w tej samej kolejności operacji, ale wyniki są zapisywane bezpośrednio po znaku równości.
- Najpierw wykonujemy wszystkie czynności w nawiasach
- Następnie podnosimy do potęgi wszystkie nawiasy i liczby w potędze, od lewej do prawej (od początku do końca przykładu).
- Wykonaj pozostałe kroki w zwykły sposób
- czynności wykonywane są w kolejności od lewej do prawej,
- gdzie najpierw wykonuje się mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
- Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów, wszystkie czynności wykonujemy po kolei, od lewej do prawej.
- Jeśli przykład zawiera nawiasy, to najpierw wykonujemy czynności w nawiasach, a dopiero potem wszystkie pozostałe czynności, zaczynając od lewej do prawej.
- Jeśli w przykładzie nie ma nawiasów, najpierw wykonaj operacje mnożenia i dzielenia w kolejności od lewej do prawej. Następnie - operacje dodawania i odejmowania w kolejności od lewej do prawej.
- Jeśli przykład zawiera nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie zaczynając od lewej do prawej.
- Wykonując to zadanie, najpierw znajdź wartość wyrażenia zawartego w nawiasach.
- Zacznij od mnożenia, a następnie dodawaj.
- Po rozwiązaniu wyrażenia w nawiasach przystępujemy do działań poza nimi.
- Zgodnie z kolejnością działań następnym krokiem jest mnożenie.
- Ostatnim krokiem jest odejmowanie.
- Osobliwości księgowość dotacje Państwo stara się wspierać małe i średnie przedsiębiorstwa. Wsparcie to najczęściej ma formę grantów – grantów z […]
- Skarga na pediatrę Skarga na pediatrę jest oficjalnym dokumentem, który określa wymagania pacjenta i opisuje istotę występowania takich wymagań. Artykuł 4 prawo federalne„W kolejności rozpatrywania […]
- Wniosek o zmniejszenie wysokości roszczenia Jednym z rodzajów wyjaśnień roszczenia jest wniosek o zmniejszenie wysokości roszczenia. Gdy powód błędnie ustalił cenę przedmiotu sporu. Albo pozwany częściowo wykonał […]
- Rynek czarnego dolara w Kijowie Aukcja waluty na zakup dolarów w Kijowie Uwaga: administracja nie ponosi odpowiedzialności za treść ogłoszeń na aukcji waluty. Zasady publikowania ogłoszeń na giełdach […]
Obliczając wyniki działań za pomocą liczb dwucyfrowych i / lub trzycyfrowych, pamiętaj o umieszczeniu obliczeń w kolumnie.
Drugi sposób
Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy, najpierw wykonywane są czynności w nawiasach.
W obrębie samych nawiasów kolejność działań jest taka sama jak w wyrażeniach bez nawiasów.
Jeśli wewnątrz nawiasów znajdują się inne nawiasy, to najpierw wykonywane są czynności wewnątrz nawiasów zagnieżdżonych (wewnętrznych).
Procedura i potęgowanie
Jeśli przykład zawiera wyrażenie liczbowe lub literalne w nawiasach, które należy podnieść do potęgi, to:
Kolejność działań, zasady, przykłady.
Liczbowe, literałowe i wyrażenia ze zmiennymi w swoim zapisie mogą zawierać znaki różnych operacji arytmetycznych. Podczas konwersji wyrażeń i obliczania wartości wyrażeń działania są wykonywane w określonej kolejności, innymi słowy, należy przestrzegać kolejność działań.
W tym artykule dowiemy się, które czynności należy wykonać najpierw, a które po nich. Zacznijmy od najprostszych przypadków, gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone przez plus, minus, mnożenie i dzielenie. Następnie wyjaśnimy, jaka kolejność wykonywania działań powinna być przestrzegana w wyrażeniach z nawiasami. Na koniec rozważ kolejność wykonywania działań w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.
Nawigacja po stronie.
Najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie
Szkoła zapewnia, co następuje reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów:
Podana zasada jest postrzegana dość naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej tłumaczy się tym, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie odbywa się przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie te działania niosą same w sobie.
Spójrzmy na kilka przykładów zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się na kolejności wykonywania działań.
Wykonaj kroki 7-3+6 .
Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia i dzielenia. Dlatego wszystkie czynności powinniśmy wykonywać w kolejności od lewej do prawej, czyli najpierw odejmujemy 3 od 7, otrzymujemy 4, po czym do otrzymanej różnicy dodajemy 6, otrzymujemy 10.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: 7−3+6=4+6=10 .
Wskaż kolejność wykonywania czynności w wyrażeniu 6:2·8:3 .
Aby odpowiedzieć na pytanie problemu, przejdźmy do reguły, która wskazuje kolejność wykonywania działań w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera tylko operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z regułą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.
Najpierw podziel 6 przez 2, pomnóż ten iloraz przez 8, a na koniec podziel wynik przez 3.
Oblicz wartość wyrażenia 17−5·6:3−2+4:2 .
Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności powinny być wykonywane akcje w oryginalnym wyrażeniu. Obejmuje zarówno mnożenie i dzielenie, jak i dodawanie i odejmowanie. Najpierw, od lewej do prawej, musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2, otrzymujemy 2. Podstawiamy znalezioną wartość 10 zamiast 5 6:3 w pierwotnym wyrażeniu, a wartość 2 zamiast 4:2, mamy 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2 .
W otrzymanym wyrażeniu nie ma mnożenia ani dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Na początku, aby nie pomylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieścić liczby nad znakami czynności odpowiadającymi kolejności ich wykonywania. Dla poprzedniego przykładu wyglądałoby to tak: 
.
Podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi należy przestrzegać tej samej kolejności operacji — najpierw mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Kroki 1 i 2
W niektórych podręcznikach do matematyki występuje podział operacji arytmetycznych na operacje kroku pierwszego i drugiego. Zajmijmy się tym.
Działania pierwszego kroku nazywane są dodawaniem i odejmowaniem, a mnożenie i dzielenie działania drugiego kroku.
W tych warunkach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania czynności, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej, czynności drugiego etapu ( mnożenie i dzielenie), a następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).
Kolejność wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach z nawiasami
Wyrażenia często zawierają nawiasy, aby wskazać kolejność wykonywania działań. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania działań w wyrażeniach z nawiasami, jest sformułowane w następujący sposób: najpierw wykonywane są działania w nawiasach, mnożenie i dzielenie również w kolejności od lewej do prawej, następnie dodawanie i odejmowanie.
Tak więc wyrażenia w nawiasach są uważane za składowe oryginalnego wyrażenia i zachowana jest w nich znana nam kolejność działań. Rozważ rozwiązania przykładów dla większej przejrzystości.
Wykonaj podane kroki 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy działania na wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2 3 . W nim trzeba najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2 3=7−6=1 . Przechodzimy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6−4 . Jest tu tylko jedna czynność - odejmowanie, wykonujemy ją 6−4=2 .
Otrzymane wartości podstawiamy do pierwotnego wyrażenia: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2 . W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie, otrzymujemy 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Na tym wszystkie działania są zakończone, przestrzegaliśmy następującej kolejności ich wykonywania: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Napiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2=5+1=6 .
Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie powinieneś się tego bać, wystarczy konsekwentnie stosować dźwięczną regułę wykonywania czynności w wyrażeniach z nawiasami. Pokażmy przykładowe rozwiązanie.
Wykonaj działania w wyrażeniu 4+(3+1+4·(2+3)) .
Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4 (2+3) . To wyrażenie zawiera również nawiasy, więc musisz najpierw wykonać w nich działania. Zróbmy tak: 2+3=5 . Zastępując znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4 5 . W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4 5=3+1+20=24 . Wartość początkowa po podstawieniu tej wartości przyjmuje postać 4+24 , a pozostaje już tylko dokończyć akcje: 4+24=28 .
Ogólnie rzecz biorąc, gdy w wyrażeniu występują nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest zacząć od nawiasów wewnętrznych i przejść do nawiasów zewnętrznych.
Załóżmy na przykład, że musimy wykonać operacje na wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Najpierw wykonujemy działania w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1 , potem oryginalne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1 . Ponownie wykonujemy działanie w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5 , dochodzimy do następującego wyrażenia (4+5−1)−1 . Ponownie wykonujemy działania w nawiasach: 4+5−1=8 , podczas gdy dochodzimy do różnicy 8−1 , która jest równa 7 .
Kolejność wykonywania operacji w wyrażeniach z pierwiastkami, potęgami, logarytmami i innymi funkcjami
Jeżeli wyrażenie zawiera potęgi, pierwiastki, logarytmy, sinus, cosinus, tangens i cotangens, a także inne funkcje, to ich wartości są obliczane przed wykonaniem innych czynności, przy jednoczesnym uwzględnieniu zasad z poprzednich akapitów, które określają kolejność wykonywania czynności. Innymi słowy, wymienione rzeczy, z grubsza mówiąc, można uznać za ujęte w nawiasy, a wiemy, że czynności w nawiasach są wykonywane w pierwszej kolejności.
Rozważmy przykłady.
Wykonaj działania w wyrażeniu (3+1) 2+6 2:3−7 .
To wyrażenie zawiera potęgę 6 2 , jej wartość należy obliczyć przed wykonaniem pozostałych kroków. Wykonujemy więc potęgowanie: 6 2 \u003d 36. Podstawiamy tę wartość do pierwotnego wyrażenia, przybierze ono postać (3+1) 2+36:3−7 .
Wtedy wszystko jest jasne: wykonujemy czynności w nawiasach, po których pozostaje wyrażenie bez nawiasów, w którym w kolejności od lewej do prawej wykonujemy najpierw mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Mamy (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7= 8+12−7=13 .
Inne, w tym bardziej złożone przykłady wykonywania działań na wyrażeniach z pierwiastkami, stopniami itp., można zobaczyć w artykule obliczanie wartości wyrażeń.
smartstudents.ru
Gry online, symulatory, prezentacje, lekcje, encyklopedie, artykuły
Nawigacja po wpisach
Przykłady z nawiasami, lekcja z symulatorami.
W tym artykule przyjrzymy się trzem przykładom:
1. Przykłady z nawiasami (operacje dodawania i odejmowania)
2. Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
3. Przykłady z dużą ilością działań
1 Przykłady z nawiasami (operacje dodawania i odejmowania)
Spójrzmy na trzy przykłady. W każdym z nich procedura jest oznaczona czerwonymi cyframi:
Widzimy, że kolejność działań w każdym przykładzie będzie inna, chociaż liczby i znaki są takie same. Dzieje się tak, ponieważ drugi i trzeci przykład mają nawiasy.
*Ta reguła dotyczy przykładów bez mnożenia i dzielenia. Reguły dla przykładów z nawiasami, w tym operacje mnożenia i dzielenia, rozważymy w drugiej części tego artykułu.
Aby nie pomylić przykładu z nawiasami, możesz przekształcić go w zwykły przykład bez nawiasów. W tym celu zapisujemy uzyskany wynik w nawiasach nad nawiasami, następnie przepisujemy cały przykład, wpisując ten wynik zamiast nawiasów, a następnie wykonujemy wszystkie czynności w kolejności od lewej do prawej:
W prostych przykładach wszystkie te operacje można wykonać w umyśle. Najważniejsze jest, aby najpierw wykonać akcję w nawiasach i zapamiętać wynik, a następnie policzyć w kolejności, od lewej do prawej.
A teraz - trenerzy!
1) Przykłady z nawiasami do 20. Symulator online.
2) Przykłady z nawiasami do 100. Symulator online.
3) Przykłady z nawiasami. Trener nr 2
4) Wstaw brakującą liczbę - przykłady z nawiasami. Aparatura treningowa
2 Przykłady z nawiasami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
Rozważmy teraz przykłady, w których oprócz dodawania i odejmowania występuje mnożenie i dzielenie.
Przyjrzyjmy się najpierw przykładom bez nawiasów:
Jest jedna sztuczka, jak się nie pomylić przy rozwiązywaniu przykładów w kolejności działań. Jeśli nie ma nawiasów, wykonujemy operacje mnożenia i dzielenia, a następnie przepisujemy przykład, zapisując uzyskane wyniki zamiast tych działań. Następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w kolejności:
Jeśli przykład zawiera nawiasy, najpierw musisz pozbyć się nawiasów: przepisz przykład, zapisując uzyskany w nich wynik zamiast nawiasów. Następnie musisz w myślach zaznaczyć części przykładu oddzielone znakami „+” i „-” i policzyć każdą część osobno. Następnie wykonaj dodawanie i odejmowanie w podanej kolejności:
3 Przykłady z dużą ilością akcji
Jeśli w przykładzie jest wiele działań, wygodniej będzie nie ustalać kolejności działań w całym przykładzie, ale wybierać bloki i rozwiązywać każdy blok osobno. Aby to zrobić, znajdujemy wolne znaki „+” i „-” (wolne oznacza nie w nawiasach, pokazane strzałkami na rysunku).
Znaki te podzielą nasz przykład na bloki:
Wykonując czynności w każdym bloku, nie zapomnij o procedurze podanej powyżej w artykule. Po rozwiązaniu każdego bloku wykonujemy kolejno operacje dodawania i odejmowania.
A teraz naprawiamy rozwiązanie przykładów w kolejności działań na symulatorach!
1. Przykłady z nawiasami w obrębie liczb do 100, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Symulator online.
2. Symulator matematyczny 2 - 3 klasa "Ułóż kolejność działań (wyrażenia dosłowne)."
3. Kolejność działań (układanie kolejności i rozwiązywanie przykładów)
Procedura z matematyki klasa 4
Szkoła podstawowa dobiega końca, już niedługo dziecko wkroczy w dogłębny świat matematyki. Ale już w tym okresie uczeń napotyka trudności nauki. Wykonując proste zadanie, dziecko jest zdezorientowane, zagubione, co w rezultacie prowadzi do negatywnej oceny wykonanej pracy. Aby uniknąć takich problemów, podczas rozwiązywania przykładów musisz być w stanie nawigować w kolejności, w jakiej musisz rozwiązać przykład. Nieprawidłowo rozdzielając działania, dziecko nie wykonuje poprawnie zadania. Artykuł ujawnia podstawowe zasady rozwiązywania przykładów zawierających cały zakres obliczeń matematycznych, w tym nawiasy. Kolejność działań w matematyce klasa 4 zasady i przykłady.
Przed wykonaniem zadania poproś dziecko o ponumerowanie czynności, które zamierza wykonać. W razie trudności proszę o pomoc.
Niektóre zasady, których należy przestrzegać podczas rozwiązywania przykładów bez nawiasów:
Jeśli zadanie wymaga wykonania serii działań, musisz najpierw wykonać dzielenie lub mnożenie, a następnie dodawanie. Wszystkie czynności wykonywane są w trakcie pisania. W przeciwnym razie wynik rozwiązania nie będzie poprawny.
Jeśli przykład wymaga dodawania i odejmowania, wykonujemy w kolejności, od lewej do prawej.
27-5+15=37 (przy rozwiązywaniu przykładu kierujemy się zasadą. Najpierw wykonujemy odejmowanie, potem dodawanie).
Naucz swoje dziecko, aby zawsze planowało i numerowało czynności do wykonania.
Odpowiedzi do każdej rozwiązanej akcji są napisane nad przykładem. Dzięki temu dziecku będzie znacznie łatwiej poruszać się po akcjach.
Rozważ inną opcję, w której konieczne jest rozłożenie działań w kolejności:
Jak widać, przy rozwiązywaniu przestrzegana jest zasada, najpierw szukamy iloczynu, po - różnicy.
Ten proste przykłady które wymagają starannego rozważenia. Wiele dzieci wpada w osłupienie na widok zadania, w którym nie tylko mnożenie i dzielenie, ale także nawiasy. Uczeń, który nie zna kolejności wykonywania czynności, ma pytania, które uniemożliwiają mu wykonanie zadania.
Zgodnie z regułą, najpierw znajdujemy dzieło lub konkret, a potem wszystko inne. Ale są też nawiasy! Jak postępować w takim przypadku?
Rozwiązywanie przykładów z nawiasami
Weźmy konkretny przykład:
Jak widzimy dalej dobry przykład, wszystkie akcje są ponumerowane. Aby skonsolidować temat, poproś dziecko, aby samodzielnie rozwiązało kilka przykładów:
Kolejność, w jakiej wartość wyrażenia ma być oceniana, jest już ustawiona. Dziecko będzie musiało jedynie bezpośrednio wykonać decyzję.
Skomplikujmy zadanie. Pozwól dziecku samodzielnie znaleźć znaczenie wyrażeń.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Naucz swoje dziecko rozwiązywać wszystkie zadania w wersja robocza. W takim przypadku uczeń będzie miał możliwość poprawienia błędnej decyzji lub plam. W zeszyt ćwiczeń poprawki są niedozwolone. Wykonując zadania samodzielnie, dzieci dostrzegają swoje błędy.
Rodzice z kolei powinni zwracać uwagę na błędy, pomagać dziecku je rozumieć i poprawiać. Nie obciążaj mózgu ucznia dużą ilością zadań. Takimi działaniami pokonasz pragnienie wiedzy dziecka. We wszystkim musi być poczucie proporcji.
Zrób sobie przerwę. Dziecko powinno być rozproszone i odpocząć od zajęć. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie każdy ma matematyczny sposób myślenia. Może Twoje dziecko wyrośnie na sławnego filozofa.
detskoerazvitie.info
Lekcja matematyki Klasa 2 Kolejność działań w wyrażeniach z nawiasami.
Skorzystaj z rabatów do 50% na kursy Infourok
Cel: 1.
2.
3. Utrwalenie znajomości tabliczki mnożenia i dzielenia przez 2 - 6, pojęcia dzielnika i
4. Naucz się pracować w parach, aby rozwinąć umiejętności komunikacyjne.
Sprzęt * : + — (), materiał geometryczny.
Raz, dwa - głowa do góry.
Trzy, cztery - ramiona szersze.
Pięć, sześć - wszyscy siadają.
Siedem, osiem - odrzućmy lenistwo.
Ale najpierw musisz znać jego nazwę. Aby to zrobić, musisz wykonać kilka zadań:
6 + 6 + 6 ... 6 * 4 6 * 4 + 6 ... 6 * 5 - 6 14 dm 5 cm ... 4 dm 5 cm
Kiedy zapamiętywaliśmy kolejność działań w wyrażeniach, na zamku działy się cuda. Byliśmy tylko przy bramie, a teraz jesteśmy na korytarzu. Spójrz, drzwi. I ma zamek. Czy otworzymy?
1. Od liczby 20 odejmij iloraz liczb 8 i 2.
2. Podziel różnicę między liczbami 20 i 8 przez 2.
- Czym różnią się wyniki?
Kto może nazwać temat naszej lekcji?
(na matach do masażu)
Na torze, na torze
Skaczemy na prawą nogę,
Skaczemy na lewą nogę.
Biegnijmy wzdłuż ścieżki
Nasze założenie było całkowicie poprawne7
Gdzie są czynności wykonywane jako pierwsze, jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy?
Zobacz przed nami „żywe przykłady”. Ożywmy je.
* : + — ().
m – do * (a + re) + x
k: b + (a - c) * t
6. Pracujcie w parach.
Aby je rozwiązać, potrzebujesz materiału geometrycznego.
Uczniowie wykonują zadania w parach. Po zakończeniu sprawdź pracę w parach przy tablicy.
Czego nowego się nauczyłeś?
8. Praca domowa.
Temat: Kolejność działań w wyrażeniach z nawiasami.
Cel: 1. Wyprowadź regułę kolejności działań w wyrażeniach z nawiasami zawierającymi wszystko
4 operacje arytmetyczne,
2. Zbuduj umiejętność praktyczne zastosowanie zasady,
4. Naucz się pracować w parach, aby rozwinąć umiejętności komunikacyjne.
Sprzęt: podręcznik, zeszyty, karty ze znakami akcji * : + — (), materiał geometryczny.
1 .Fizminutka.
Dziewięć, dziesięć - siedź cicho.
2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Dziś wybieramy się w kolejną podróż przez Kraj Wiedzy do miasta matematyki. Musimy odwiedzić jeden pałac. Jakoś zapomniałem jego nazwy. Ale nie denerwujmy się, sam możesz mi powiedzieć, jak się nazywa. Kiedy się martwiłem, zbliżyliśmy się do bram pałacu. Chodźmy w?
1. Porównaj wyrażenia:
2. Rozszyfruj słowo.
3. Omówienie problemu. Otwarcie nowego.
Jak więc nazywa się pałac?
Kiedy mówimy o porządku w matematyce?
Co już wiesz o kolejności wykonywania działań w wyrażeniach?
- Co ciekawe, proponuje się nam zapisywanie i rozwiązywanie wyrażeń (nauczyciel czyta wyrażenia, uczniowie je zapisują i rozwiązują).
20 – 8: 2
(20 – 8) : 2
Dobrze zrobiony. Co jest ciekawego w tych wyrażeniach?
Spójrz na wyrażenia i ich wyniki.
- Co mają ze sobą wspólnego wyrażenia?
- Jak myślisz, dlaczego były różne wyniki, skoro liczby były takie same?
Kto odważy się sformułować regułę wykonywania czynności w wyrażeniach z nawiasami?
Poprawność tej odpowiedzi możemy sprawdzić w innym pokoju. Chodźmy tam.
4. Minuta fizyczna.
I po tej samej ścieżce
Dotrzemy do góry.
Zatrzymywać się. Odpocznijmy
I znowu chodźmy pieszo.
5. Konsolidacja pierwotna badanych.
Nadchodzimy.
Musimy rozwiązać jeszcze dwa wyrażenia, aby sprawdzić, czy nasze przypuszczenia są prawidłowe.
6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2
Aby sprawdzić poprawność założenia, otwórzmy podręczniki na stronie 33 i przeczytajmy regułę.
Jak wykonać działania po rozwiązaniu w nawiasie?
Wyrażenia alfabetyczne są zapisane na planszy, a karty ze znakami akcji leżą. * : + — (). Dzieci kolejno podchodzą do planszy, biorą kartę z czynnością, którą należy wykonać jako pierwszą, potem wychodzi drugi uczeń i bierze kartę z drugą czynnością itd.
a + (a – c)
za * (b + c) : D – T
M – C * ( A + D ) + X
k : B + ( A – C ) * T
(a-b) : t + re
6. Pracujcie w parach. Autonomiczny organizacja non-profit Biuro Egzaminów Kryminalistycznych Badanie kryminalistyczne. Badanie pozasądowe Przegląd do badania. Evaluation Autonomiczna organizacja non-profit Bureau of Forensic Examinations w Moskwie jest […]