Istota metody Monte Carlo jest następująca: musisz znaleźć wartość A jakaś badana wartość. W tym celu wybiera się taką zmienną losową X, której wartość oczekiwana matematyczna jest równa a: M(X)=a.
W praktyce robią to: obliczają (odgrywają) N możliwe wartości x i zmiennej losowej X, znajdź ich średnią arytmetyczną
I przyjmują jako oszacowanie (wartość przybliżoną) a * żądanej liczby a. Zatem, aby zastosować metodę Monte Carlo, konieczna jest umiejętność gry zmienną losową.
Niech będzie wymagane zagranie dyskretnej zmiennej losowej X, tj. obliczyć ciąg jej możliwych wartości x i (i=1,2, …), znając prawo dystrybucji X. Wprowadźmy zapis: R jest ciągłą zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0,1); r i (j=1,2,…) – liczby losowe (możliwe wartości R).
Reguła: Aby odtworzyć dyskretną zmienną losową X określoną przez prawo dystrybucji
X x 1 x 2 ... x rz
P p 1 p 2 … p rz
1. Podziel przedział (0,1) osi lub na n przedziałów cząstkowych:
Δ 1 = (0; p 1), Δ 2 = ( p 1; p 1+ p 2), ..., Δ n = ( p 1 + p 2 + ... + p n -1; 1).
2. Wybierz losową liczbę r j . Jeżeli r j mieściło się w przedziale cząstkowym Δ i , to grana wartość przyjmowała możliwą wartość x i . .
Rozgrywanie pełnej grupy wydarzeń
Wymagane jest rozegranie testów, w każdym z których występuje jedno ze zdarzeń z pełnej grupy, których prawdopodobieństwa są znane. Odtwarzanie pełnej grupy zdarzeń sprowadza się do odtwarzania dyskretnej zmiennej losowej.
Reguła: Aby przeprowadzić testy, w których występuje jedno ze zdarzeń A 1, A 2, ..., An z pełnej grupy, których prawdopodobieństwa p 1, p 2, ..., p n są znane, wystarczy zagrać dyskretną wartość X z następującym prawem dystrybucji:
P p 1 p 2 … p rz
Jeżeli w teście wartość X przybrała możliwą wartość x i =i, to wystąpiło zdarzenie A i.
Odtwarzanie ciągłej zmiennej losowej
Znana jest funkcja rozkładu F ciągłej zmiennej losowej X. Do gry w X wymagane jest zagranie, tj. obliczyć ciąg możliwych wartości x i (i=1,2, …).
A. Metoda funkcji odwrotnych. Zasada nr 1 x i ciągłej zmiennej losowej X, znając jej dystrybuantę F, należy wybrać liczbę losową r i , zrównać jej dystrybuantę i rozwiązać dla x i wynikowe równanie F(х i) = r i .
Jeśli znana jest gęstość prawdopodobieństwa f(x), wówczas stosowana jest reguła 2.
Zasada 2 Aby odtworzyć możliwe znaczenie x i ciągłej zmiennej losowej X, znając jej gęstość prawdopodobieństwa f, należy wybrać liczbę losową r i i rozwiązać równanie dla x i
lub równanie
gdzie a jest najmniejszą skończoną możliwą wartością X.
B. Metoda superpozycji. Zasada 3 Aby odtworzyć możliwą wartość zmiennej losowej X, której funkcja rozkładu
fa(x) = do 1 fa 1 (x)+ do 2 fa 2 (x)+…+ do n fa n (x),
gdzie F k (x) – dystrybuanty (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, należy wybrać dwie niezależne liczby losowe r 1 i r 2 i dla liczby losowej r 1 zagraj możliwą wartość pomocniczej dyskretnej zmiennej losowej Z (zgodnie z zasadą 1):
p do 1 do 2 … do rz
Jeśli okaże się, że Z=k, to równanie F k (x) = r 2 jest rozwiązane dla x.
Uwaga 1. Jeżeli gęstość prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X jest podana w postaci
f(x)=C 1 fa 1 (x)+C 2 fa 2 (x)+…+C n fa n (x),
gdzie f k to gęstości prawdopodobieństwa, współczynniki C k są dodatnie, ich suma jest równa jeden, a jeśli okaże się, że Z=k, to rozwiązują się (zgodnie z zasadą 2) względem x i względem równania lub
Przybliżone odtwarzanie normalnej zmiennej losowej
Reguła. W celu przybliżenia możliwej wartości x i normalnej zmiennej losowej X o parametrach a=0 i σ=1, dodaj 12 niezależnych liczb losowych i odejmij 6 od otrzymanej sumy:
Komentarz. Jeśli chcesz w przybliżeniu odtworzyć normalną zmienną losową Z z matematycznymi oczekiwaniami A i odchylenia standardowego σ, to po rozegraniu możliwej wartości x i zgodnie z powyższą regułą znajdują pożądaną możliwą wartość według wzoru: z i = σx i +a.
5.2.2. Odtwarzanie ciągłej zmiennej losowej
Niech będzie wymagane granie ciągłą zmienną losową X, tj. uzyskać ciąg jego możliwych wartości X I (I= 1,2,...). W tym przypadku funkcja dystrybucji F(X) znany.
istnieje Następny twierdzenie.
Jeśli R I jest liczbą losową, a następnie możliwą wartością X I odtwarzana ciągła zmienna losowa X ze znaną funkcją dystrybucji F(X) odpowiedni R I, jest pierwiastkiem równania
Algorytm odtwarzania ciągłej zmiennej losowej :
1. Musisz wybrać losową liczbę R I .
2. Zrównać wybraną liczbę losową znanej funkcji rozkładu F(X) i otrzymać równanie.
3. Rozwiąż to równanie dla X I. Otrzymana wartość X I dopasuje losową liczbę w tym samym czasie R I. i dane prawo dystrybucji F(X).
Przykład 5.2.
Zagraj w 3 możliwe wartości ciągłej zmiennej losowej X, rozłożone równomiernie w przedziale (2; 10).
Rozwiązanie
Funkcja rozkładu wielkości X ma następującą postać:
pod warunkiem, A = 2, B= 10, zatem
Zgodnie z algorytmem odtwarzania ciągłej zmiennej losowej zrównujemy F(X) wybrana liczba losowa R I.. Pobierz stąd:
Podstawiamy te liczby do równania (5.3) i otrzymujemy odpowiednie możliwe wartości X :
Przykład 5.3
Ciągła zmienna losowa X rozłożone zgodnie z prawem wykładniczym o znanej funkcji
(x>0, parametr > 0 jest znany)
Wymagane jest znalezienie formuły grania możliwych wartości X.
Rozwiązanie
Zgodnie z algorytmem odtwarzania ciągłej zmiennej losowej otrzymujemy równanie
Rozwiążmy to równanie dla X I. Otrzymujemy:
Liczba losowa R I mieści się w przedziale (0, 1). Stąd liczba (1- R I) jest również losowe i należy do przedziału (0, 1). Czyli zmienne losowe R i 1- R rozłożone równo, tj. równomiernie w tym samym przedziale (0, 1). Dlatego, aby znaleźć wartość X I Możesz użyć prostszej formuły:
5.2.3. Odtwarzanie zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym
Wiadomo, że jeśli zmienna losowa R rozłożone równomiernie w przedziale (0, 1), to jego matematyczne oczekiwanie PAN)= 1/2 i wariancja DR) = 1/12.
Podsumujmy N niezależne zmienne losowe R J(j = 1,2,...n), które są równomiernie rozłożone w przedziale (0, 1). dostajemy .
Znormalizujmy tę kwotę. Aby to zrobić, najpierw znajdujemy jego matematyczne oczekiwanie i wariancję. Wiadomo, że matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań wyrazów. Suma R I zawiera N warunki. Matematyczne oczekiwanie każdego terminu jest równe 1/2. Dlatego matematyczne oczekiwanie sumy to:
;
Podobnie dla wariancji sumy R J otrzymujemy:
Stąd odchylenie standardowe sumy R J :
Teraz normalizujemy sumę R J .
Aby to zrobić, odejmij od sumy R J matematyczną wartość oczekiwaną tej kwoty i podzielić przez odchylenie standardowe tej kwoty R J. Dostawać
(to jest )
Na podstawie centralne twierdzenie graniczne teoria prawdopodobieństwa, gdy rozkład tej znormalizowanej zmiennej losowej dąży do normalnego prawa z parametrami A= 0 i = 1.
Na finale N rozkład można uznać za w przybliżeniu normalny. Na przykład kiedy N= 12 otrzymujemy przybliżenie wystarczająco dokładne do ćwiczeń
W ten sposób otrzymujemy to, aby odtworzyć możliwą wartość X I normalna zmienna losowa X z parametrami A= 0 i = 1, musisz dodać 12 niezależnych liczb losowych i odjąć 6 od otrzymanej sumy.
Przykład 5.4.
1. Zagraj w 100 możliwych wartości zmiennej losowej X rozkład normalny z parametrami A= 0 i = 1.
2. Oszacuj parametry odtwarzanej zmiennej losowej X.
Rozwiązanie
1. Wybieramy 12 liczb losowych rozmieszczonych równomiernie w przedziale (0, 1) z tablicy liczb losowych lub z komputera. Dodajemy te liczby i od sumy odejmujemy 6, w wyniku czego otrzymujemy:
Postępując w podobny sposób znajdujemy pozostałe możliwe wartości .
2. Po wykonaniu niezbędnych obliczeń znajdujemy średnią z próby, która jest oszacowaniem, oraz odchylenie standardowe próbki, które jest oszacowaniem. Otrzymujemy:
Jak widać, szacunki są zadowalające; bliskie zeru i bliskie jedności.
Jeżeli wymagane jest odtworzenie wartości normalnej nieznormalizowanej zmiennej losowej z oczekiwaniem matematycznym różnym od zera i różnym od jedynki, to najpierw należy odtworzyć możliwe wartości X I znormalizowaną zmienną losową, a następnie znajdź żądaną wartość za pomocą wzoru
co otrzymujemy z zależności:
Tabela 5.1
Formuły do modelowania zmiennych losowych
Oznacz równomiernie rozłożony SW w przedziale (0, 1) przez R, a jego możliwe wartości (liczby losowe) przez r j .
Podzielmy interwał )