is een veelvlak dat wordt gevormd door de basis van de piramide en een gedeelte evenwijdig daaraan. We kunnen zeggen dat een afgeknotte piramide een piramide is waarvan de bovenkant is afgesneden. Dit figuur heeft veel unieke eigenschappen:
- De zijvlakken van de piramide zijn trapeziums;
- De zijranden van een regelmatige afgeknotte piramide hebben dezelfde lengte en neigen onder dezelfde hoek naar de basis;
- De bases zijn soortgelijke veelhoeken;
- In een regelmatige afgeknotte piramide zijn de vlakken identiek gelijkbenige trapeziums, waarvan de oppervlakte gelijk is. Ze zijn ook onder één hoek ten opzichte van de basis geneigd.
De formule voor het zijoppervlak van een afgeknotte piramide is de som van de oppervlakken van de zijkanten: 
Omdat de zijden van een afgeknotte piramide trapeziums zijn, moet u voor het berekenen van de parameters de formule gebruiken trapeziumvormig gebied. Voor een gewone afgeknotte piramide kunt u een andere formule toepassen om de oppervlakte te berekenen. Omdat alle zijden, vlakken en hoeken aan de basis gelijk zijn, is het mogelijk om de omtrekken van de basis en de apothema toe te passen, en ook het gebied af te leiden uit de hoek aan de basis.
Als, volgens de omstandigheden in een regelmatige afgeknotte piramide, de apothema (hoogte van de zijkant) en de lengtes van de zijkanten van de basis worden gegeven, dan kan de oppervlakte worden berekend door het halfproduct van de som van de omtrekken van de bases en het apothema:
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het berekenen van het laterale oppervlak van een afgeknotte piramide.
Gegeven een regelmatige vijfhoekige piramide. Apothema l= 5 cm, de lengte van de rand in de grote basis is A= 6 cm, en de rand bevindt zich aan de kleinere basis B= 4 cm Bereken de oppervlakte van de afgeknotte piramide.
Laten we eerst de omtrekken van de bases vinden. Omdat we een vijfhoekige piramide hebben gekregen, begrijpen we dat de basis vijfhoeken is. Dit betekent dat de basis een figuur bevat met vijf identieke zijden. Laten we de omtrek van de grotere basis vinden:
Op dezelfde manier vinden we de omtrek van de kleinere basis:
Nu kunnen we de oppervlakte van een regelmatige afgeknotte piramide berekenen. Vervang de gegevens in de formule:
Zo berekenden we het gebied van een regelmatige afgeknotte piramide door de omtrekken en apothema.
Een andere manier om het laterale oppervlak te berekenen reguliere piramide, dit is de formule door de hoeken aan de basis en het gebied van deze bases.
Laten we een voorbeeldberekening bekijken. Wij herinneren ons dat deze formule is alleen van toepassing op een regelmatige afgeknotte piramide.
Laten we een regelmatige vierhoekige piramide geven. De rand van de onderste basis is a = 6 cm, en de rand van de bovenste basis is b = 4 cm. De tweevlakshoek aan de basis is β = 60°. Zoek het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide.
Laten we eerst het gebied van de bases berekenen. Omdat de piramide regelmatig is, zijn alle randen van de basis gelijk aan elkaar. Aangezien de basis een vierhoek is, begrijpen we dat het nodig zal zijn om te berekenen oppervlakte van het plein. Het is het product van breedte en lengte, maar in het kwadraat zijn deze waarden hetzelfde. Laten we het gebied van de grotere basis vinden: 
Nu gebruiken we de gevonden waarden om het zijoppervlak te berekenen. 
Omdat we een paar eenvoudige formules kenden, konden we eenvoudig het gebied van de laterale trapezium van een afgeknotte piramide berekenen met behulp van verschillende waarden.
Het vermogen om het volume van ruimtelijke figuren te berekenen is belangrijk bij het oplossen van een aantal praktische problemen in de meetkunde. Een van de meest voorkomende figuren is de piramide. In dit artikel zullen we zowel volledige als afgeknotte piramides beschouwen.
Piramide als driedimensionaal figuur
Iedereen weet ervan Egyptische piramides, zodat hij een goed idee heeft over wat voor figuur we het gaan hebben. Egyptische stenen constructies zijn echter slechts een speciaal geval van een enorme klasse piramides.
Het geometrische object dat in het algemene geval wordt overwogen, is een veelhoekige basis, waarvan elk hoekpunt is verbonden met een bepaald punt in de ruimte dat niet tot het vlak van de basis behoort. Deze definitie resulteert in een figuur bestaande uit één n-hoek en n driehoeken.
Elke piramide bestaat uit n+1 vlakken, 2*n randen en n+1 hoekpunten. Omdat de figuur in kwestie een perfect veelvlak is, gehoorzamen de aantallen gemarkeerde elementen aan de gelijkheid van Euler:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
De veelhoek aan de basis geeft de naam van de piramide, bijvoorbeeld driehoekig, vijfhoekig, enzovoort. Set piramides met Voor verschillende redenen weergegeven op de onderstaande foto.
Het punt waarop n driehoeken van een figuur elkaar ontmoeten, wordt het hoekpunt van de piramide genoemd. Als er een loodlijn van op de basis wordt neergelaten en deze in het geometrische middelpunt snijdt, wordt zo'n figuur een rechte lijn genoemd. Als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, ontstaat er een hellende piramide.
Een rechte figuur waarvan de basis wordt gevormd door een gelijkzijdige (gelijkhoekige) n-hoek, wordt regelmatig genoemd.
Formule voor het volume van een piramide
Om het volume van de piramide te berekenen, gebruiken we integraalrekening. Om dit te doen, verdelen we de figuur door vlakken evenwijdig aan de basis in een oneindig aantal dunne lagen te snijden. De onderstaande figuur toont een vierhoekige piramide met hoogte h en zijdelengte L, waarin de vierhoek gemarkeerd is dunne laag secties.
Het gebied van elke dergelijke laag kan worden berekend met behulp van de formule:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Hier is A 0 het gebied van de basis, z is de waarde van de verticale coördinaat. Het is duidelijk dat als z = 0, de formule de waarde A 0 geeft.
Om de formule voor het volume van een piramide te verkrijgen, moet je de integraal over de gehele hoogte van de figuur berekenen, dat wil zeggen:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Door de afhankelijkheid A(z) te vervangen en de primitief te berekenen, komen we tot de uitdrukking:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| u 0 = 1/3*A 0 *u.
We hebben de formule voor het volume van een piramide verkregen. Om de waarde van V te vinden, vermenigvuldigt u eenvoudigweg de hoogte van het figuur met de oppervlakte van de basis en deelt u het resultaat vervolgens door drie.
Merk op dat de resulterende uitdrukking geldig is voor het berekenen van het volume van een piramide van welk type dan ook. Dat wil zeggen, het kan hellend zijn en de basis kan een willekeurige n-hoek zijn.
en het volume ervan
Ontvangen in de bovenstaande paragraaf algemene formule voor volume kan worden opgegeven in het geval van een piramide met de juiste reden. Het gebied van een dergelijke basis wordt berekend met behulp van de volgende formule:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Hier is L de zijdelengte van een regelmatige veelhoek met n hoekpunten. Het symbool pi is het getal pi.
Door de uitdrukking voor A 0 in de algemene formule te vervangen, verkrijgen we het volume van een regelmatige piramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Voor een driehoekige piramide leidt deze formule bijvoorbeeld tot naar de volgende uitdrukking:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Voor een regelmatige vierhoekige piramide heeft de volumeformule de volgende vorm:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Het bepalen van de volumes van reguliere piramides vereist kennis van de zijkant van hun basis en de hoogte van de figuur.
Afgeknotte piramide
Laten we aannemen dat we een willekeurige piramide hebben genomen en een deel van het zijoppervlak hebben afgesneden dat het hoekpunt bevat. Het resterende cijfer wordt een afgeknotte piramide genoemd. Het bestaat al uit twee n-gonale basissen en n trapeziums die ze verbinden. Als het snijvlak evenwijdig was aan de basis van de figuur, wordt een afgeknotte piramide gevormd met vergelijkbare parallelle bases. Dat wil zeggen, de lengtes van de zijden van een van hen kunnen worden verkregen door de lengtes van de andere te vermenigvuldigen met een bepaalde coëfficiënt k.
De figuur hierboven toont een afgeknotte, regelmatige zeshoek. Je kunt zien dat de bovenste basis, net als de onderste, wordt gevormd door een regelmatige zeshoek.
De formule die kan worden afgeleid met behulp van integraalrekening, vergelijkbaar met de bovenstaande, is:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Waar A 0 en A 1 respectievelijk de gebieden van de onderste (grote) en bovenste (kleine) basis zijn. De variabele h geeft de hoogte van de afgeknotte piramide aan.
Volume van de Cheops-piramide
Het is interessant om het probleem op te lossen van het bepalen van het volume dat de grootste Egyptische piramide in zichzelf bevat.
In 1984 stelden de Britse egyptologen Mark Lehner en Jon Goodman de exacte afmetingen van de Cheops-piramide vast. De oorspronkelijke hoogte was 146,50 meter (momenteel ongeveer 137 meter). De gemiddelde lengte van elk van de vier zijden van de constructie was 230,363 meter. Basis van de piramide met hoge nauwkeurigheid is vierkant.
Laten we de gegeven cijfers gebruiken om het volume van deze stenen reus te bepalen. Omdat de piramide regelmatig vierhoekig is, is de formule daarvoor geldig:
Als we de getallen vervangen, krijgen we:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Het volume van de Cheops-piramide bedraagt bijna 2,6 miljoen m3. Ter vergelijking merken we op dat het Olympisch zwembad een volume heeft van 2,5 duizend m 3. Dat wil zeggen, om de hele Cheops-piramide te vullen, heb je meer dan 1000 van dergelijke pools nodig!
Een veelvlak waarvan één van de vlakken een veelhoek is, en alle andere vlakken driehoeken zijn met een gemeenschappelijk hoekpunt, wordt een piramide genoemd.
Deze driehoeken waaruit de piramide bestaat, worden genoemd zijvlakken, en de resterende polygoon is basis piramides.
Aan de voet van de piramide ligt geometrische figuur– n-gon. In dit geval wordt de piramide ook wel genoemd n-koolstof.
Een driehoekige piramide waarvan de randen allemaal gelijk zijn, wordt genoemd tetraëder.
De randen van de piramide die niet tot de basis behoren, worden genoemd lateraal, en hun gemeenschappelijke punt is hoekpunt piramides. De andere randen van de piramide worden meestal genoemd partijen aan de basis.
De piramide heet juist, als het gebaseerd is op regelmatige veelhoek en alle zijranden zijn gelijk aan elkaar.
De afstand van de top van de piramide tot het vlak van de basis wordt genoemd hoogte piramides. We kunnen zeggen dat de hoogte van de piramide een segment is dat loodrecht op de basis staat, waarvan de uiteinden zich aan de bovenkant van de piramide en op het vlak van de basis bevinden.
Voor elke piramide gelden de volgende formules:
1) S vol = S-zijde + S hoofd, Waar
S totaal – oppervlakte volledige oppervlakte piramides;
S-zijde – gebied van het zijoppervlak, d.w.z. de som van de oppervlakten van alle zijvlakken van de piramide;
S main – gebied van de basis van de piramide.
2) V = 1/3 S basis N, Waar
V – volume van de piramide;
H – hoogte van de piramide.
Voor reguliere piramide komt voor:
S-zijde = 1/2 P hoofdh, Waar
P main – omtrek van de basis van de piramide;
h is de lengte van de apothema, dat wil zeggen de lengte van de hoogte van het zijvlak verlaagd vanaf de top van de piramide.
Het deel van de piramide dat tussen twee vlakken is ingesloten, het vlak van de basis en het snijvlak evenwijdig aan de basis, wordt genoemd afgeknotte piramide.
De basis van de piramide en het gedeelte van de piramide door een parallel vlak worden genoemd redenen afgeknotte piramide. De overige gezichten worden gebeld lateraal. De afstand tussen de vlakken van de bases wordt genoemd hoogte afgeknotte piramide. Randen die niet tot de basissen behoren, worden genoemd lateraal.
Bovendien de basis van de afgeknotte piramide soortgelijke n-gonen. Als de basis van een afgeknotte piramide regelmatige veelhoeken is, en alle zijranden gelijk zijn aan elkaar, dan heet zo’n afgeknotte piramide juist.
Voor willekeurige afgeknotte piramide de volgende formules zijn van toepassing:
1) S vol = S-zijde + S 1 + S 2, Waar
S totaal – totale oppervlakte;
S-zijde – gebied van het zijoppervlak, d.w.z. de som van de oppervlakten van alle zijvlakken van een afgeknotte piramide, die trapeziums zijn;
S 1, S 2 – basisgebieden;
2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Waar
V – volume van de afgeknotte piramide;
H – hoogte van de afgeknotte piramide.
Voor regelmatige afgeknotte piramide we hebben ook:
S-kant = 1/2(P 1 + P 2) h, Waar
P 1, P 2 – omtrekken van de bases;
h – apothema (hoogte van het zijvlak, dat een trapezium is).
Laten we eens kijken naar verschillende problemen die te maken hebben met een afgeknotte piramide.
Taak 1.
In een driehoekige afgeknotte piramide met een hoogte gelijk aan 10 zijn de zijden van een van de basissen 27, 29 en 52. Bepaal het volume van de afgeknotte piramide als de omtrek van de andere basis 72 is.
Oplossing.
Beschouw de afgeknotte piramide ABCA 1 B 1 C 1, weergegeven in Figuur 1.
1. Het volume van een afgeknotte piramide kan worden gevonden met behulp van de formule
V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), waarbij S 1 de oppervlakte is van een van de bases, kan worden gevonden met behulp van de formule van Heron
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
omdat Het probleem geeft de lengtes van de drie zijden van een driehoek.
We hebben: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.
2. De piramide is afgeknot, wat betekent dat soortgelijke polygonen aan de basis liggen. In ons geval is driehoek ABC gelijkvormig aan driehoek A 1 B 1 C 1. Bovendien kan de gelijkeniscoëfficiënt worden gevonden als de verhouding van de omtrekken van de driehoeken in kwestie, en de verhouding van hun gebieden zal gelijk zijn aan het kwadraat van de gelijkeniscoëfficiënt. Zo hebben we:
S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Dus S 2 = 4S 1/9 = 4 270/9 = 120.
Dus V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.
Antwoord: 1900.
Taak 2.
In een driehoekige afgeknotte piramide wordt een vlak door de zijkant van de bovenste basis getrokken, evenwijdig aan de tegenoverliggende zijrand. In welke verhouding wordt het volume van een afgeknotte piramide verdeeld als de overeenkomstige zijden van de basis een verhouding van 1:2 hebben?
Oplossing.
Beschouw ABCA 1 B 1 C 1 - een afgeknotte piramide weergegeven in rijst. 2.
Omdat de zijden in de basissen de verhouding 1:2 hebben, hebben de oppervlakten van de basissen de verhouding 1:4 (driehoek ABC is vergelijkbaar met driehoek A 1 B 1 C 1).
Dan is het volume van de afgeknotte piramide:
V = 1/3u · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3u · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, waarbij S 2 – oppervlakte van de bovenste basis, h – hoogte.
Maar het volume van het prisma ADEA 1 B 1 C 1 is V 1 = S 2 h en daarom
V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.
Dus V 2: V 1 = 3: 4.
Antwoord: 3:4.
Taak 3.
De zijden van de basis van een regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide zijn gelijk aan 2 en 1, en de hoogte is 3. Door het snijpunt van de diagonalen van de piramide wordt een vlak getekend, evenwijdig aan de basis van de piramide, dat de piramide verdeelt in twee delen. Zoek het volume van elk van hen.
Oplossing.
Beschouw de afgeknotte piramide ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 weergegeven in rijst. 3.
Laten we O 1 O 2 = x aanduiden, dan OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.
Beschouw de driehoek B 1 O 2 D 1 en de driehoek BO 2 D:
hoek B 1 O 2 D 1 gelijk aan hoek VO 2 D als verticaal;
hoek BDO 2 is gelijk aan hoek D 1 B 1 O 2 en hoek O 2 ВD is gelijk aan hoek B 1 D 1 O 2 die kruislings ligt op B 1 D 1 || BD en respectievelijk secans B₁D en BD₁.
Daarom is de driehoek B 1 O 2 D 1 vergelijkbaar met de driehoek BO 2 D en is de zijdelingse verhouding:
В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 of 1/2 = x/(x – 3), vandaar x = 1.
Beschouw de driehoek B 1 D 1 B en de driehoek LO 2 B: hoek B is gebruikelijk, en er is ook een paar eenzijdige hoeken bij B 1 D 1 || LM, wat betekent dat driehoek B 1 D 1 B vergelijkbaar is met driehoek LO 2 B, waaruit B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, d.w.z.
LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .
Dan S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Dus V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Antwoord: 152/27; 37/27.
blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.
Piramide. Afgeknotte piramide
Piramide is een veelvlak, waarvan één zijde een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (Afb. 15). De piramide heet juist , als de basis een regelmatige veelhoek is en de top van de piramide in het midden van de basis wordt geprojecteerd (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd tetraëder .
Laterale rib van een piramide is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort Hoogte piramide is de afstand van de top tot het vlak van de basis. Alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar, alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema . Diagonaal gedeelte wordt een doorsnede van een piramide genoemd door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.
Zijdelingse oppervlakte piramide is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Totale oppervlakte wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis genoemd.
Stellingen
1. Als in een piramide alle zijranden even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.
2. Als alle zijranden van een piramide dezelfde lengte hebben, wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die wordt omgeschreven nabij de basis.
3. Als alle vlakken in een piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die in de basis is ingeschreven.
Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de juiste formule:
Waar V- volume;
S-basis– basisoppervlakte;
H– hoogte van de piramide.
Voor een regelmatige piramide zijn de volgende formules correct:
Waar P– basisomtrek;
h een– apothema;
H- hoogte;
S vol
S-kant
S-basis– basisoppervlakte;
V– volume van een regelmatige piramide.
Afgeknotte piramide wordt het deel van de piramide genoemd dat is ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Regelmatige afgeknotte piramide het deel van een gewone piramide genoemd, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.
Gronden afgeknotte piramide - vergelijkbare veelhoeken. Zijkanten – trapeziums. Hoogte van een afgeknotte piramide is de afstand tussen de bases. Diagonaal een afgeknotte piramide is een segment dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. Diagonaal gedeelte is een doorsnede van een afgeknotte piramide door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.
Voor een afgeknotte piramide gelden de volgende formules:
(4)
Waar S 1 , S 2 – gebieden van de bovenste en onderste basis;
S vol– totale oppervlakte;
S-kant– zijoppervlak;
H- hoogte;
V– volume van een afgeknotte piramide.
Voor een regelmatige afgeknotte piramide is de formule correct:
Waar P 1 , P 2 – omtrekken van de bases;
h een– apothema van een regelmatige afgeknotte piramide.
Voorbeeld 1. In een regelmatige driehoekige piramide is de tweevlakshoek aan de basis 60 graden. Zoek de raaklijn van de hellingshoek van de zijkant met het vlak van de basis.
Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 18).
 |
De piramide is regelmatig, wat betekent dat er aan de basis een gelijkzijdige driehoek is en dat alle zijvlakken gelijke gelijkbenige driehoeken zijn. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide ten opzichte van het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek A tussen twee loodlijnen: enz. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het midden van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel van de driehoek abc). De hellingshoek van de zijkant (bijv S.B.) is de hoek tussen de rand zelf en de projectie ervan op het vlak van de basis. Voor de rib S.B. deze hoek zal de hoek zijn SBD. Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS En O.B.. Laten we de lengte van het segment bepalen BD gelijk aan 3 A. Punt OVER lijnstuk BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: 
Van vinden we: 
Antwoord:
Voorbeeld 2. Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide als de diagonalen van de basis gelijk zijn aan cm en cm, en de hoogte 4 cm is.
Oplossing. Om het volume van een afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om de oppervlakte van de basissen te vinden, moet je de zijden van de basisvierkanten vinden, waarbij je hun diagonalen kent. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk gelijk aan 2 cm en 8 cm. Dit betekent de oppervlakte van de bases en door alle gegevens in de formule te vervangen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:
Antwoord: 112cm3.
Voorbeeld 3. Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de zijkanten van de basis 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide 2 cm.
Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 19).
Het zijvlak van deze piramide is een gelijkbenige trapezium. Om de oppervlakte van een trapezium te berekenen, moet je de basis en hoogte kennen. De basissen worden gegeven volgens de staat, alleen de hoogte blijft onbekend. We zullen haar vinden waar vandaan A 1 E loodrecht op een punt A 1 op het vlak van de onderste basis, A 1 D– loodrecht vanaf A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. Vinden DE Laten we een extra tekening maken die het bovenaanzicht laat zien (Fig. 20). Punt OVER– projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste basis. sinds (zie figuur 20) en aan de andere kant OK– straal ingeschreven in de cirkel en 
OM– straal ingeschreven in een cirkel:
MK = DE.
Volgens de stelling van Pythagoras uit
Zijvlak: 
Antwoord:
Voorbeeld 4. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenige trapezium, waarvan de basis A En B (A> B). Elk zijrand vormt een hoek gelijk aan het vlak van de basis van de piramide J. Zoek de totale oppervlakte van de piramide.
Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD gelijk aan de som van de gebieden en het gebied van het trapezium ABCD.
Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt OVER– hoekpuntprojectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD naar het vlak van de basis. Met behulp van de stelling over het gebied van de orthogonale projectie van een vlakke figuur verkrijgen we:
Zo betekent het ook 
Het probleem werd dus beperkt tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD. Laten we een trapezium tekenen ABCD afzonderlijk (Afb. 22). Punt OVER– het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een trapezium.
Omdat een cirkel in een trapezium kan worden ingeschreven, hebben we volgens de stelling van Pythagoras
