Als er bij directe of schuine buiging alleen een buigmoment in de dwarsdoorsnede van de balk optreedt, is er dienovereenkomstig sprake van een zuiver rechte of zuivere schuine buiging. Als er ook een dwarskracht in de dwarsdoorsnede werkt, is er sprake van een dwarse rechte of dwarse schuine bocht. Als het buigmoment de enige interne krachtfactor is, wordt een dergelijke buiging genoemd schoon(Afb. 6.2). Als er een dwarskracht is, wordt buigen genoemd dwars. Strikt genomen, tot eenvoudige soorten alleen weerstand is van toepassing zuivere bocht; Dwarse buiging wordt conventioneel geclassificeerd als een eenvoudig type weerstand, omdat in de meeste gevallen (voor voldoende lange balken) het effect van dwarskracht kan worden verwaarloosd bij het berekenen van de sterkte. Zie de toestand van de vlakbuigsterkte. Bij het berekenen van een buigbalk is een van de belangrijkste taken het bepalen van de sterkte ervan. Vlakbuigen wordt transversaal genoemd als er twee interne krachtfactoren optreden in de dwarsdoorsneden van de ligger: M - buigmoment en Q - dwarskracht, en zuiver als alleen M optreedt. Bij dwarsbuigen gaat het krachtvlak door de symmetrieas van de balk, een van de belangrijkste traagheidsassen van de sectie.

Wanneer een balk buigt, worden sommige lagen uitgerekt en andere samengedrukt. Daartussen bevindt zich een neutrale laag, die alleen buigt zonder de lengte te veranderen. Snijlijn van de neutrale laag met het vlak dwarsdoorsnede valt samen met de tweede hoofdtraagheidsas en wordt de neutrale lijn (neutrale as) genoemd.

Door de werking van het buigmoment ontstaan ​​normale spanningen in de dwarsdoorsneden van de balk, bepaald door de formule

waarbij M het buigmoment in de beschouwde sectie is;

I – traagheidsmoment van de dwarsdoorsnede van de balk ten opzichte van de neutrale as;

y is de afstand van de neutrale as tot het punt waarop de spanningen worden bepaald.

Zoals blijkt uit formule (8.1) zijn de normaalspanningen in het gedeelte van de balk langs de hoogte ervan lineair en bereiken ze een maximale waarde op de meest afgelegen punten van de neutrale laag.

waarbij W het weerstandsmoment is van de dwarsdoorsnede van de balk ten opzichte van de neutrale as.

27. Tangentiële spanningen in de dwarsdoorsnede van een balk. Zhuravsky's formule.

Met de formule van Zhuravsky kunt u tijdens het buigen de schuifspanningen bepalen die optreden op punten in de dwarsdoorsnede van de balk die zich op een afstand van de neutrale as x bevinden.

AFLEIDING VAN DE ZHURAVSKI-FORMULE

Laten we een element met een lengte en een extra langsdoorsnede in twee delen snijden van een balk met rechthoekige dwarsdoorsnede (Fig. 7.10, a) (Fig. 7.10, b).

Laten we eens kijken naar het evenwicht van het bovenste gedeelte: door het verschil in buigmomenten ontstaan ​​er verschillende drukspanningen. Om dit deel van de balk in evenwicht te brengen (), moet er een tangentiële kracht optreden in de lengtedoorsnede. Evenwichtsvergelijking voor een deel van de straal:

waarbij integratie alleen wordt uitgevoerd over het afgesneden deel van het dwarsdoorsnedeoppervlak van de balk (gearceerd in Fig. 7.10), – statisch traagheidsmoment van het afgesneden (gearceerde) deel van het dwarsdoorsnedeoppervlak ten opzichte van de neutrale x-as.

Laten we aannemen: de tangentiële spanningen () die optreden in de langsdoorsnede van de balk zijn gelijkmatig verdeeld over de breedte () op de dwarsdoorsnede:

We verkrijgen een uitdrukking voor tangentiële spanningen:

, a , dan de formule voor tangentiële spanningen () die optreden op punten van de dwarsdoorsnede van de balk die zich op een afstand y van de neutrale as x bevinden:

Zhuravsky's formule

De formule van Zhuravsky werd in 1855 verkregen door D.I. Zhuravsky draagt ​​daarom zijn naam.

Bij het uitrekken (comprimeren) van een balk in zijn dwarsdoorsneden alleen ontstaan normale spanningen. De resultante van de overeenkomstige elementaire krachten o, dA is de longitudinale kracht N- kan worden gevonden met behulp van de sectiemethode. Om de normaalspanningen bij een bekende waarde van de langskracht te kunnen bepalen, is het noodzakelijk om de wet van verdeling over de dwarsdoorsnede van de balk vast te stellen.

Dit probleem wordt opgelost op basis van vlak gedeelte kunstgebit(hypothesen van J. Bernoulli), die luidt:

delen van de balk die vlak en loodrecht op de as stonden vóór de vervorming, blijven zelfs tijdens de vervorming vlak en loodrecht op de as.

Bij het strekken van een balk (gemaakt bijvoorbeeld Voor grotere helderheid van ervaring van rubber), aan de oppervlakte van wie er wordt een systeem van longitudinale en transversale markeringen toegepast (Fig. 2.7, a), u kunt ervoor zorgen dat de markeringen recht en onderling loodrecht blijven, veranderen alleen

waarbij A het dwarsdoorsnedeoppervlak van de balk is. Als we de index z weglaten, krijgen we uiteindelijk

Voor normale spanningen wordt dezelfde tekenregel aangenomen als voor longitudinale krachten, d.w.z. bij het uitrekken wordt de spanning als positief beschouwd.

In feite hangt de verdeling van spanningen in de balksecties grenzend aan de plaats waar externe krachten worden uitgeoefend af van de methode van het uitoefenen van de belasting en kan deze ongelijkmatig zijn. Experimentele en theoretische studies tonen aan dat deze schending van de uniformiteit van de spanningsverdeling plaatsvindt lokaal karakter. In balksecties die zich op een afstand van de laadplaats bevinden die ongeveer gelijk is aan de grootste dwarsafmeting van de balk, kan de spanningsverdeling als vrijwel uniform worden beschouwd (Fig. 2.9).

De beschouwde situatie is een speciaal geval Het principe van Saint Venant die geformuleerd kan worden op de volgende manier:

De spanningsverdeling hangt in belangrijke mate af van de methode waarbij externe krachten alleen in de buurt van de laadplaats worden uitgeoefend.

In delen die voldoende ver verwijderd zijn van de plaats waar de krachten worden uitgeoefend, hangt de spanningsverdeling praktisch alleen af ​​van het statische equivalent van deze krachten, en niet van de wijze waarop ze worden uitgeoefend.

Gebruiken dus Saint-Venant-principe en als we abstractie maken van de kwestie van lokale spanningen, hebben we de mogelijkheid (zowel in dit als in de volgende hoofdstukken van de cursus) om niet geïnteresseerd te zijn in specifieke manieren om externe krachten aan te wenden.

Op plaatsen waar er een scherpe verandering is in de vorm en grootte van de dwarsdoorsnede van de balk, ontstaan ​​ook lokale spanningen. Dit fenomeen heet stressconcentratie, waar we in dit hoofdstuk geen rekening mee houden.

In gevallen waarin de normale spanningen in verschillende dwarsdoorsneden van de balk niet hetzelfde zijn, is het raadzaam om de wet van hun verandering langs de lengte van de balk in de vorm van een grafiek weer te geven - normale spanningsdiagrammen.

Voorbeeld 2.3. Voor een balk met een stapvariabele doorsnede (Fig. 2.10a), maak diagrammen van longitudinale krachten En normale stress.

Oplossing. We verdelen het hout in secties, beginnend bij de gratis boodschapper. De grenzen van de secties zijn de plaatsen waar externe krachten worden uitgeoefend en de afmetingen van de dwarsdoorsnede veranderen, d.w.z. de balk heeft vijf secties. Bij het construeren van alleen diagrammen N het hout mag slechts in drie delen worden verdeeld.

Met behulp van de sectiemethode bepalen we de longitudinale krachten in de dwarsdoorsneden van de balk en construeren we het bijbehorende diagram (Fig. 2.10.6). De constructie van diagram I verschilt fundamenteel niet van die besproken in voorbeeld 2.1, daarom laten we de details van deze constructie weg.

We berekenen normale spanningen met behulp van formule (2.1), waarbij we de waarden van krachten in Newton en gebieden in vierkante meters vervangen.

Binnen elk van de secties zijn de spanningen constant, d.w.z. e. het diagram in dit gebied is een rechte lijn, evenwijdig aan de abscis-as (Fig. 2.10, c). Voor sterkteberekeningen zijn vooral de secties waarin de grootste spanningen optreden van belang. Van belang is dat ze in het beschouwde geval niet samenvallen met die secties waar de langskrachten maximaal zijn.

In gevallen waarin de dwarsdoorsnede van de balk over de gehele lengte constant is, wordt het diagram weergegeven A als een diagram N en verschilt er alleen qua schaal van, daarom is het natuurlijk logisch om slechts één van de aangegeven diagrammen te construeren.

Spanning (compressie)- dit is een type belasting van een balk waarbij slechts één interne krachtfactor in de dwarsdoorsneden voorkomt: de longitudinale kracht N.

Bij trek en compressie worden externe krachten uitgeoefend langs de lengteas z (Figuur 109).

Figuur 109

Met behulp van de sectiemethode is het mogelijk om de waarde van VSF - longitudinale kracht N onder eenvoudige belasting te bepalen.

Interne krachten (spanningen) die tijdens trek (compressie) in een willekeurige doorsnede ontstaan, worden bepaald met behulp van Bernoulli's hypothese van vlakke doorsneden:

Het gedeelte van de balk, vlak en loodrecht op de as vóór het laden, blijft tijdens het laden hetzelfde.

Hieruit volgt dat de vezels van het hout (Figuur 110) even lang worden. Dit betekent dat de interne krachten (dat wil zeggen spanningen) die op elke vezel inwerken identiek zullen zijn en gelijkmatig over de dwarsdoorsnede zullen worden verdeeld.

Figuur 110

Omdat N de resultante is van interne krachten, is N = σ A, wat betekent dat de normaalspanningen σ bij trek en druk worden bepaald door de formule:

[N/mm2 = MPa], (72)

waarbij A het dwarsdoorsnedeoppervlak is.

Voorbeeld 24. Twee hengels: rond gedeelte diameter d = 4 mm en vierkante doorsnede met een zijde van 5 mm worden uitgerekt met dezelfde kracht F = 1000 N. Welke van de staven wordt het zwaarst belast?

Gegeven: d = 4 mm; a = 5 mm; F = 1000 N.

Definiëren: σ 1 en σ 2 – in staaf 1 en 2.

Oplossing:

Bij het strekken is de longitudinale kracht in de staven N = F = 1000 N.

Dwarsdoorsnedeoppervlakken van staven:

; .

Normale spanningen in dwarsdoorsneden van staven:

, .

Omdat σ 1 > σ 2 wordt de eerste ronde staaf meer belast.

Voorbeeld 25. Een kabel, gedraaid uit 80 draden met een diameter van 2 mm, rekt uit met een kracht van 5 kN. Bepaal de spanning in de doorsnede.

Gegeven: k = 80; d = 2 mm; F = 5 kN.

Definiëren: σ.

Oplossing:

N = F = 5 kN, ,

Dan .

Hier is A1 het dwarsdoorsnedeoppervlak van één draad.

Opmerking: De kabeldoorsnede is geen cirkel!

2.2.2 Diagrammen van longitudinale krachten N en normaalspanningen σ over de lengte van de balk

Om de sterkte en stijfheid van een complex belaste balk onder trek en druk te berekenen, is het noodzakelijk om de waarden van N en σ in verschillende doorsneden te kennen.

Hiervoor worden diagrammen gemaakt: plot N en diagram σ.

Diagram is een grafiek van veranderingen in longitudinale kracht N en normaalspanningen σ over de lengte van de balk.

Longitudinale kracht N in een willekeurige dwarsdoorsnede van de balk is gelijk aan de algebraïsche som van alle externe krachten die op het resterende deel worden uitgeoefend, d.w.z. aan één kant van het gedeelte

Externe krachten F, die de balk uitrekken en van de sectie af gericht, worden als positief beschouwd.

De volgorde van het plotten van N en σ

1 Met behulp van dwarsdoorsneden verdelen we het hout in secties, waarvan de grenzen zijn:

a) secties aan de uiteinden van de balk;

b) waar krachten F worden uitgeoefend;

c) waar het dwarsdoorsnedeoppervlak A verandert.

2 We nummeren de secties vanaf

vrij einde.

3 Voor elke site, met behulp van de methode

secties bepalen we de longitudinale kracht N

en bouw een diagram N op een schaal.

4 Bepaal normaalspanning σ

op elke site en ingebouwd

diagramschaal σ.

Voorbeeld 26. Construeer diagrammen van N en σ langs de lengte van de getrapte ligger (Figuur 111).

Gegeven: F1 = 10 kN; F2 = 35 kN; A1 = 1 cm2; A2 = 2 cm2.

Oplossing:

1) We verdelen de balk in secties, waarvan de grenzen zijn: secties aan de uiteinden van de balk, waar externe krachten F worden uitgeoefend, waar het dwarsdoorsnedeoppervlak A verandert - er zijn in totaal 4 secties.

2) We nummeren de secties vanaf het vrije uiteinde:

van I tot IV. Figuur 111

3) Voor elke sectie bepalen we met behulp van de sectiemethode de longitudinale kracht N.

De longitudinale kracht N is gelijk aan de algebraïsche som van alle externe krachten die op het resterende deel van de balk worden uitgeoefend. Bovendien worden externe krachten F, trekbalken als positief beschouwd.

Tabel 13

4) We construeren een diagram N op een schaal. We geven de schaal alleen aan met positieve waarden N; in het diagram wordt het plus- of minteken (extensie of compressie) aangegeven in een cirkel in de rechthoek van het diagram. Positieve waarden van N worden uitgezet boven de nul-as van het diagram, negatief - onder de as.

5) Verificatie (mondeling): In secties waar externe krachten F worden uitgeoefend, zal het diagram N verticale sprongen hebben die even groot zijn als deze krachten.

6) Bepaal de normaalspanningen in de secties van elke sectie:

; ;

; .

We bouwen een diagram σ op een schaal.

7) Inspectie: De tekens van N en σ zijn hetzelfde.

Denk na en beantwoord de vragen

1) het is onmogelijk; 2) het is mogelijk.

53 Zijn de trek- (druk) spanningen van staven afhankelijk van de vorm van hun doorsnede (vierkant, rechthoek, cirkel, enz.)?

1) afhankelijk; 2) zijn niet afhankelijk.

54 Is de grootte van de spanning in de dwarsdoorsnede afhankelijk van het materiaal waaruit de staaf is gemaakt?

1) hangt ervan af; 2) hangt niet af.

55 Welke punten van de dwarsdoorsnede van een ronde staaf worden meer onder spanning belast?

1) op de as van de balk; 2) op het oppervlak van de cirkel;

3) op alle punten van de doorsnede zijn de spanningen hetzelfde.

56 Stalen en houten staven met een gelijk dwarsdoorsnedeoppervlak worden met gelijke krachten uitgerekt. Zullen de spanningen die in de staven ontstaan ​​gelijk zijn?

1) in staal is de spanning groter;

2) in hout is de spanning groter;

3) Er zullen gelijke spanningen in de staven ontstaan.

57 Maak voor hout (Figuur 112) diagrammen van N en σ, als F 1 = 2 kN; F2 = 5 kN; A1 = 1,2 cm2; A2 = 1,4 cm2.

Schuin heet dit type buigen waarin alles externe belastingen die een buiging veroorzaken in een krachtvlak dat niet samenvalt met een van de hoofdvlakken.

Beschouw een balk die aan één uiteinde is vastgeklemd en aan het vrije uiteinde met een kracht is belast F(Afb. 11.3).

Rijst. 11.3. Ontwerpdiagram voor schuin buigen

Externe kracht F toegepast onder een hoek ten opzichte van de as j. Laten we de macht afbreken F in componenten die in de hoofdvlakken van de ligger liggen, en vervolgens:

Buigmomenten in een willekeurig gedeelte genomen op afstand z vanaf het vrije uiteinde zal gelijk zijn:

In elke sectie van de balk treden dus tegelijkertijd twee buigmomenten op, die buiging in de hoofdvlakken veroorzaken. Daarom kan een schuine bocht worden beschouwd als speciaal geval ruimtelijke buiging.

Normale spanningen in de dwarsdoorsnede van een balk tijdens schuin buigen worden bepaald door de formule

Om de hoogste normale trek- en drukspanningen tijdens schuin buigen te vinden, is het noodzakelijk een gevaarlijk gedeelte van de balk te selecteren.

Als buigmomenten | M x| en | Mijn| het hoogste bereiken grote waarden in een bepaalde sectie, dan is dit een gevaarlijke sectie. Dus,

Gevaarlijke secties omvatten ook secties waar buigmomenten | M x| en | Mijn| tegelijkertijd behoorlijk grote waarden bereiken. Daarom kunnen er bij schuin buigen verschillende gevaarlijke secties zijn.

Over het algemeen, wanneer – asymmetrische doorsnede, d.w.z. de neutrale as staat niet loodrecht op het krachtvlak. Bij symmetrische profielen is schuin buigen niet mogelijk.

11.3. Positie van de neutrale as en gevaarlijke punten

in dwarsdoorsnede. Sterktevoorwaarde voor schuine buiging.

Bepaling van de afmetingen van de doorsnede.

Bewegingen tijdens schuine buiging

De positie van de neutrale as tijdens schuin buigen wordt bepaald door de formule

waar is de hellingshoek van de neutrale as ten opzichte van de as X;

Hellingshoek van het krachtvlak ten opzichte van de as bij(Afb. 11.3).

In het gevaarlijke gedeelte van de balk (in de inbedding, Fig. 11.3) worden de spanningen op de hoekpunten bepaald door de formules:

Bij schuin buigen, net als bij ruimtelijk buigen, verdeelt de neutrale as het gedeelte van de balk in twee zones: een trekzone en een compressiezone. Voor een rechthoekige doorsnede worden deze zones getoond in Fig. 11.4.

Rijst. 11.4. Diagram van de dwarsdoorsnede van een ingeklemde balk tijdens schuin buigen

Om extreme trek- en drukspanningen te bepalen, is het noodzakelijk om raaklijnen aan de sectie in de trek- en drukzones te tekenen, evenwijdig aan de neutrale as (Fig. 11.4).

De meest afgelegen contactpunten van de neutrale as A En MET– gevaarlijke punten in respectievelijk de compressie- en spanningszones.

Voor plastic materialen, Wanneer berekende weerstanden houtmateriaal onder trek en druk is gelijk aan elkaar, d.w.z. [ σ р] = = [σc] = [σ ], in het gevaarlijke gedeelte wordt bepaald en de sterkteconditie kan in het formulier worden weergegeven

Voor symmetrische doorsneden (rechthoek, I-doorsnede) heeft de sterktevoorwaarde de volgende vorm:

Uit de sterktevoorwaarde volgen drie soorten berekeningen:

Rekening;

Ontwerp – bepaling van de geometrische afmetingen van de sectie;

Definitie draagvermogen hout (toegestane belasting).

Als de relatie tussen de zijden van de doorsnede bekend is, bijvoorbeeld voor een rechthoek H = 2B, dan is het vanuit de toestand van de sterkte van de geknepen balk mogelijk om de parameters te bepalen B En H op de volgende manier:

of

Eindelijk .

De parameters van elke sectie worden op een vergelijkbare manier bepaald. De totale verplaatsing van het balkgedeelte tijdens schuin buigen, rekening houdend met het principe van onafhankelijkheid van de werking van krachten, wordt bepaald als geometrische som bewegingen in de hoofdvlakken.

Laten we de verplaatsing van het vrije uiteinde van de balk bepalen. Laten we de methode van Vereshchagin gebruiken. We vinden de verticale verplaatsing door de diagrammen (Fig. 11.5) te vermenigvuldigen volgens de formule

Op dezelfde manier definiëren we horizontale verplaatsing:

Vervolgens bepalen we de totale verplaatsing met behulp van de formule

Rijst. 11.5. Diagram voor het bepalen van de totale waterverplaatsing

met schuine buiging

De richting van de volledige beweging wordt bepaald door de hoek β (Afb. 11.6):

De resulterende formule is identiek aan de formule voor het bepalen van de positie van de neutrale as van de straalsectie. Dit stelt ons in staat te concluderen dat, d.w.z. de afbuigingsrichting loodrecht op de neutrale as staat. Het afbuigvlak valt dus niet samen met het laadvlak.

Rijst. 11.6. Schema voor het bepalen van het afbuigvlak

met schuine buiging

Afwijkingshoek van het afbuigvlak ten opzichte van de hoofdas j groter zal zijn, hoe groter de verplaatsing. Daarom geldt voor een ligger met een elastische doorsnede de verhouding J x/Jj groot is, is schuin buigen gevaarlijk, omdat dit grote doorbuigingen en spanningen veroorzaakt in het vlak met de minste stijfheid. Voor hout met J x= Jj De totale doorbuiging ligt in het krachtvlak en schuine buiging is onmogelijk.

11.4. Excentrische spanning en compressie van een balk. Normaal

spanningen in dwarsdoorsneden van de liggers

Excentrische rek (compressie) is een type vervorming waarbij de trekkracht (drukkracht) evenwijdig is aan de lengteas van de balk, maar het punt van toepassing ervan valt niet samen met het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede.

Dit soort problemen wordt in de bouw vaak gebruikt bij het berekenen van gebouwkolommen. Laten we eens kijken naar de excentrische compressie van de balk. Laten we de coördinaten van het krachttoepassingspunt aangeven F door x F En y F, en de hoofddoorsnede-assen lopen door x en y. As z laten we het zo richten dat de coördinaten x F En y F waren positief (Fig. 11.7, a)

Als je de kracht overbrengt F evenwijdig aan zichzelf vanuit een punt MET naar het zwaartepunt van de sectie, dan kan excentrische compressie worden weergegeven als de som van drie eenvoudige vervormingen: compressie en buiging in twee vlakken (Fig. 11.7, b). In dit geval hebben we:

Spanningen op een willekeurig dwarsdoorsnedepunt onder excentrische compressie liggend in het eerste kwadrant, met coördinaten x en y kan worden gevonden op basis van het principe van onafhankelijkheid van de werking van krachten:

kwadraten van de traagheidsstralen van de sectie, dus

Waar X En j– coördinaten van het doorsnedepunt waarop de spanning wordt bepaald.

Bij het bepalen van spanningen is het noodzakelijk om rekening te houden met de tekens van coördinaten als toepassingspunten externe kracht en de punten waar de spanning wordt bepaald.

Rijst. 11.7. Diagram van een balk onder excentrische druk

In het geval van excentrische spanning van de balk moet het “min”-teken in de resulterende formule worden vervangen door een “plus”-teken.

Uit de formule voor het bepalen van spanningen en het diagram van de verdeling van tangentiële spanningen tijdens torsie wordt duidelijk dat de maximale spanningen op het oppervlak optreden.

Laten we de maximale spanning bepalen, rekening houdend daarmee ρ ta X =d/ 2, waar D- diameter ronde balk.

Voor een cirkelvormige doorsnede wordt het polaire traagheidsmoment berekend met behulp van de formule (zie lezing 25).

De maximale spanning vindt plaats op het oppervlak, en dat hebben we ook gedaan

Gebruikelijk JP/pmax duiden Wp en bel moment van weerstand in torsie, of polair weerstandsmoment secties

Zo bereken je de maximale oppervlaktespanning rond hout we krijgen de formule

Voor ronde doorsnede

Voor ringvormige doorsnede

Torsiesterkte toestand

Breuk van een balk tijdens torsie vindt plaats vanaf het oppervlak; bij het berekenen van de sterkte wordt de sterktevoorwaarde gebruikt

Waar [ τ k ] - toegestane torsiespanning.

Soorten sterkteberekeningen

Er zijn twee soorten sterkteberekeningen.

1. Ontwerpberekening - de diameter van de balk (schacht) in het gevaarlijke gedeelte wordt bepaald:

2. Verificatie berekening - het voldoen aan de sterktevoorwaarde wordt gecontroleerd

3. Bepaling van het draagvermogen (maximaal koppel)

Stijfheidsberekening

Bij het berekenen van de stijfheid wordt de vervorming bepaald en vergeleken met de toegestane vervorming. Laten we eens kijken naar de vervorming van een ronde balk onder invloed van een extern paar krachten met een moment T(Afb. 27.4).

Bij torsie wordt de vervorming geschat aan de hand van de draaihoek (zie college 26):

Hier φ - draaihoek; γ - afschuifhoek; l- balklengte; R- straal; R=d/2. Waar

De wet van Hooke heeft de vorm τ k = Gγ. Laten we de uitdrukking vervangen door γ , we krijgen

Werk GJP sectiestijfheid genoemd.

De elastische modulus kan worden gedefinieerd als G = 0,4E. Voor staal G= 0,8 10 5 MPa.

Gewoonlijk wordt de draaihoek per meter balklengte (schachtlengte) berekend. φ O.

De torsiestijfheidstoestand kan worden geschreven als

Waar φ o - relatieve draaihoek, φ o = φ/l; [φ o]≈ 1 graden/m = 0,02 rad/m - toegestane relatieve draaihoek.

Voorbeelden van probleemoplossing

Voorbeeld 1. Bepaal op basis van sterkte- en stijfheidsberekeningen de vereiste asdiameter om een ​​vermogen van 63 kW over te brengen bij een snelheid van 30 rad/s. Asmateriaal - staal, toegestane torsiespanning 30 MPa; toegestane relatieve draaihoek [φ o]= 0,02 rad/m; afschuifmodulus G= 0,8 * 10 5 MPa.

Oplossing

1. Bepaling van dwarsdoorsnedeafmetingen op basis van sterkte.

Torsiesterkte voorwaarde:

We bepalen het koppel uit de rotatiekrachtformule:

Uit de sterktevoorwaarde bepalen we het weerstandsmoment van de as tijdens torsie

We vervangen de waarden in newton en mm.

Bepaal de asdiameter:

2. Bepaling van dwarsdoorsnedeafmetingen op basis van stijfheid.

Torsiestijfheidstoestand:

Uit de stijfheidsvoorwaarde bepalen we het traagheidsmoment van de sectie tijdens torsie:

Bepaal de asdiameter:

3. Selecteren van de benodigde asdiameter op basis van sterkte- en stijfheidsberekeningen.

Om tegelijkertijd sterkte en stijfheid te garanderen, selecteren we de grootste van de twee gevonden waarden.

De resulterende waarde moet worden afgerond met behulp van een reeks voorkeursgetallen. In de praktijk ronden we de resulterende waarde af zodat het getal eindigt op 5 of 0. We nemen de waarde d van de as = 75 mm.

Voor het bepalen van de asdiameter is het raadzaam gebruik te maken van het standaard diameterbereik zoals aangegeven in bijlage 2.

Voorbeeld 2. In de dwarsdoorsnede van de balk D= 80 mm hoogste schuifspanning τmax= 40 N/mm2. Bepaal de schuifspanning op een punt op 20 mm afstand van het midden van de sectie.

Oplossing

B. Blijkbaar,

Voorbeeld 3. Op punten van de interne contour van de dwarsdoorsnede van de buis (d 0 = 60 mm; d = 80 mm) ontstaan ​​tangentiële spanningen gelijk aan 40 N/mm 2. Bepaal de maximale schuifspanningen die in de buis optreden.

Oplossing

Het diagram van tangentiële spanningen in de dwarsdoorsnede wordt getoond in Fig. 2.37, V. Blijkbaar,

Voorbeeld 4. In de ringvormige dwarsdoorsnede van de balk ( d0= 30 mm; d = 70 mm) koppel optreedt M z= 3 kN-m. Bereken de schuifspanning op een punt op 27 mm afstand van het midden van de sectie.

Oplossing

De tangentiële spanning op een willekeurig punt van de doorsnede wordt berekend met de formule

In het voorbeeld in kwestie M z= 3 kN-m = 3-10 6 N mm,

Voorbeeld 5. Stalen pijp(d 0 = l00 mm; d = 120 mm) lengte l= 1,8 m draaimomenten T, toegepast in de eindsecties. Bepaal de waarde T, waarbij de draaihoek φ = 0,25°. Wanneer de waarde is gevonden T Bereken de maximale schuifspanning.

Oplossing

De torsiehoek (in graden/m) voor één sectie wordt berekend met behulp van de formule

In dit geval

Vervanging numerieke waarden, we krijgen

We berekenen de maximale schuifspanning:

Voorbeeld 6. Voor een gegeven straal (Fig. 2.38, A) construeer diagrammen van koppels, maximale schuifspanningen en rotatiehoeken van dwarsdoorsneden.

Oplossing

De gegeven balk heeft secties I, II, III, IV, V(Afb. 2. 38, A). Laten we niet vergeten dat de grenzen van de doorsneden doorsneden zijn waarin externe (torsie)momenten worden toegepast en plaatsen waar de afmetingen van de doorsnede veranderen.

Gebruik maken van de verhouding

We bouwen een diagram van koppels.

Een diagram construeren M z We beginnen vanaf het vrije uiteinde van de balk:

voor percelen III En IV

voor de site V

Het diagram van koppels wordt getoond in Fig. 2.38, B. We construeren een diagram van de maximale tangentiële spanningen over de lengte van de balk. We schrijven voorwaardelijk toe τ controleer dezelfde tekens als de overeenkomstige aanhaalmomenten. Locatie aan I

Locatie aan II

Locatie aan III

Locatie aan IV

Locatie aan V

Het diagram van maximale tangentiële spanningen wordt getoond in Fig. 2.38, V.

De rotatiehoek van de dwarsdoorsnede van de balk bij constante (binnen elke sectie) doorsnedediameter en koppel wordt bepaald door de formule

We construeren een diagram van de rotatiehoeken van de dwarsdoorsneden. Sectie rotatiehoek Een φ l = 0, aangezien de balk in deze sectie is vastgelegd.

Het diagram van de rotatiehoeken van de dwarsdoorsneden wordt getoond in Fig. 2.38, G.

Voorbeeld 7. Op de katrol IN getrapte as (Fig. 2.39, A) het vermogen wordt door de motor overgedragen N B = 36 kW, katrollen A En MET dienovereenkomstig stroom overbrengen naar de machines N.A= 15 kW en N C= 21 kW. Assnelheid P= 300 tpm. Controleer de sterkte en stijfheid van de as als [ τ K J = 30 N/mm 2, [Θ] = 0,3 graden/m, G = 8,0-10 4 N/mm 2, d1= 45mm, d2= 50 mm.

Oplossing

Laten we de externe (torsie) momenten berekenen die op de as worden uitgeoefend:

We bouwen een diagram van koppels. In dit geval berekenen we, vanaf het linkeruiteinde van de schacht, voorwaardelijk het moment dat daarmee overeenkomt N Ach, positief Nc- negatief. Het Mz-diagram wordt getoond in Fig. 2.39, B. Maximale spanningen in dwarsdoorsneden van doorsnede AB

dat is minder [tk] door

Relatieve draaihoek van sectie AB

wat aanzienlijk groter is dan [Θ] ==0,3 graden/m.

Maximale spanningen in dwarsdoorsneden van de sectie Zon

dat is minder [tk] door

Relatieve draaihoek van de sectie Zon

wat aanzienlijk groter is dan [Θ] = 0,3 graden/m.

Bijgevolg is de sterkte van de as verzekerd, maar de stijfheid niet.

Voorbeeld 8. Van de elektromotor via een riem tot aan de as 1 kracht wordt overgedragen N= 20 kW, vanaf schacht 1 komt de schacht binnen 2 stroom N 1= 15 kW en voor werkende machines - vermogen N2= 2 kW en N3= 3 kW. Van de schacht 2 Er wordt stroom geleverd aan werkende machines N4= 7 kW, N5= 4 kW, N6= 4 kW (Afb. 2.40, A). Bepaal de diameters van de assen d 1 en d 2 op basis van de sterkte- en stijfheidsomstandigheden, als [ τ K J = 25 N/mm 2, [Θ] = 0,25 graden/m, G = 8,0-10 4 N/mm 2. Schachtsecties 1 En 2 over de gehele lengte als constant worden beschouwd. Snelheid motoras n = 970 tpm, poeliediameters D 1 = 200 mm, D 2 = 400 mm, D 3 = 200 mm, D 4 = 600 mm. Verwaarloos slippen in de riemaandrijving.

Oplossing

Afb. 2.40, B toont een schacht I. Het ontvangt stroom N en de macht wordt er uit gehaald Nl, N2 , N3.

Laten we de hoeksnelheid van de asrotatie bepalen 1 en externe torsiemomenten m, m1, t2, t3:

We bouwen een diagram van koppels voor as 1 (Fig. 2.40, V). Tegelijkertijd berekenen we, vanaf het linkeruiteinde van de schacht, voorwaardelijk de momenten die daarmee overeenkomen N3 En N 1, positief, en N- negatief. Nominaal (maximaal) koppel N x 1 max = 354,5 H * m.

Schachtdiameter 1 afhankelijk van sterkteomstandigheden

Asdiameter 1 vanaf stijfheidsvoorwaarde ([Θ], rad/mm)

Tenslotte accepteren we afronding naar de standaardwaarde d 1 = 58 mm.

Assnelheid 2

In afb. 2.40, G toont een schacht 2; Er wordt stroom aan de as geleverd N 1, en de macht wordt eruit verwijderd N4, N5, N6.

Laten we de externe torsiemomenten berekenen:

Koppeldiagram voor de as 2 getoond in afb. 2.40, D. Geschat (maximaal) koppel M i max " = 470 N-m.

Schachtdiameter 2 uit de krachttoestand

Schachtdiameter 2 uit de stijfheidstoestand

Wij accepteren het eindelijk d2 = 62 mm.

Voorbeeld 9. Bepaal het vermogen op basis van de omstandigheden van sterkte en stijfheid N(Afb. 2.41, A), die kan worden overgebracht door een stalen as met een diameter d = 50 mm, als [t k] = 35 N/mm2, [ΘJ = 0,9 graden/m; G = 8,0* I0 4 N/mm 2, N= 600 tpm.

Oplossing

Laten we de externe momenten berekenen die op de as worden toegepast:

Het ontwerpdiagram van de as wordt getoond in Fig. 2.41, B.

In afb. 2.41, V er wordt een diagram van koppels gepresenteerd. Nominaal (maximaal) koppel Mz = 9,54N. Sterkte conditie

Stijfheid toestand

De beperkende voorwaarde is de stijfheidsvoorwaarde. Daarom is de toegestane waarde van het overgedragen vermogen [N] = 82,3 kW.