Een noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van een reeks.
harmonische reeks
Stelling op de noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van de reeks.
Als de reeks convergeert, dan is de limiet van de reeks gemeenschappelijke termen van deze reeks gelijk aan nul:
. (1.11)
Een andere formulering. Om de reeks te laten convergeren, is het noodzakelijk (maar niet voldoende!) dat de limiet van de reeks algemene termen in de reeks gelijk is aan nul.
Opmerking. Soms wordt kortheidshalve het woord "volgorde" weggelaten en zeggen ze: "de limiet van de gemeenschappelijke term van de reeks is nul." Hetzelfde voor de reeks deelsommen ("limiet van deelsommen").
Bewijs van de stelling. We geven de gemeenschappelijke term van de reeks weer in de vorm (1.10):
.
Door aanname convergeert de reeks daarom 
Het ligt voor de hand dat en 
, omdat P En P-1 tegelijkertijd naar oneindig neigen 
. Zoek de limiet van de reeks algemene termen van de reeks:
Opmerking. Het omgekeerde is niet waar. Een reeks die aan voorwaarde (1.11) voldoet, convergeert niet noodzakelijkerwijs. Daarom is de voorwaarde of het criterium (1.11) een noodzakelijk maar niet voldoende criterium voor de convergentie van de reeks.
voorbeeld 1. harmonische reeks. Overweeg de serie
(1.12)
Deze reeks wordt harmonisch genoemd, omdat elk van zijn leden, beginnend bij de tweede, is het harmonische gemiddelde van de aangrenzende leden:
.
Bijvoorbeeld: 
 |
|
Afb.1.3.1 Afb.1.3.2
De algemene term van de harmonische reeks voldoet aan de noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van de reeks (1.11): 
(fig.1.3.1). Later zal echter worden aangetoond (met behulp van de integrale Cauchy-test) dat deze reeks divergeert, d.w.z. de som is oneindig. Figuur 1.3.2 laat zien dat deelsommen oneindig toenemen naarmate het aantal toeneemt.
Gevolg. De noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van de reeks impliceert voldoende teken van divergentie rij: als 
of niet bestaat, dan divergeert de reeks.
Bewijs. Ga uit van het tegenovergestelde, d.w.z. 
(of bestaat niet), maar de reeks convergeert. Maar volgens de stelling over de noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van de reeks, moet de limiet van de gemeenschappelijke term gelijk zijn aan nul: 
. tegenstrijdigheid.
Voorbeeld 2 Onderzoek naar convergentie van een reeks met een gemeenschappelijke term 
.
Deze rij ziet eruit als: 
Zoek de limiet van de gemeenschappelijke term van de reeks:
. Volgens het uitvloeisel loopt deze reeks uiteen.
Een reeks gevormd door een geometrische progressie
Beschouw een reeks die is samengesteld uit leden van een geometrische reeks. Bedenk dat een geometrische progressie een numerieke reeks is, waarvan elk lid, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal, niet gelijk aan nul en de noemer van deze progressie wordt genoemd. De geometrische progressie ziet er als volgt uit:
en een serie samengesteld uit haar leden:
Zo'n reeks wordt een geometrische reeks genoemd, maar soms wordt het kortheidshalve eenvoudigweg een geometrische reeks genoemd. De naam "geometrische" progressie ontvangen omdat elk van zijn leden, vanaf de tweede, gelijk is aan geometrisch gemiddelde naburige leden:
, of 
.
Stelling. Een reeks bestaande uit leden van een geometrische progressie
wijkt af bij 
en convergeert op , en op 
rij som
Bewijs. De gemeenschappelijke term van de reeks heeft, net als de gemeenschappelijke term van een geometrische progressie, de vorm: 
.
1) Als , dan 
, omdat in dit geval een oneindig grote waarde.
2) Bij gedraagt de serie zich anders, omdat neemt verschillende vormen aan.
Bij 
;
Omdat de limiet van een constante is gelijk aan de constante zelf. Omdat door de hypothese van de stelling 
, neigt de gemeenschappelijke term van de reeks niet naar nul.
Bij 
; er is geen limiet.
Dus bij , is niet voldaan aan de noodzakelijke voorwaarde voor de convergentie van de reeks:
.
Hierdoor divergeert de reeks (1.13).
3) Als 
, dan zou de progressie oneindig afnemend zijn. Dat is bekend uit het schoolcurriculum N De e deelsom van de reeks (1.13) kan worden weergegeven als:
Laten we de som van de reeks vinden. Sinds op 
(oneindig klein), dan
.
Dus bij 
reeks (1.13) convergeert en heeft som gelijk aan
. (1.16)
Dit is de som van een oneindig afnemende geometrische progressie.
Voorbeeld 1º.
|
=2.
Laten we de som schatten, d.w.z. Laten we proberen te bepalen waar de volgorde van de deelsommen naar neigt.
Te zien is dat de opeenvolging van partiële sommen neigt naar het getal 2 (Fig. 1.4.1).
Laten we het nu bewijzen. Laten we het feit gebruiken dat deze reeks een reeks is die is samengesteld uit leden van een geometrische reeks, waar 
. De som van een oneindig afnemende meetkundige reeks
.
Voorbeeld 2º.
.
Het wordt op dezelfde manier berekend. Omdat veel van de termen van de reeks, in tegenstelling tot het vorige voorbeeld, een minteken hebben, bleek de som minder te zijn.
Voorbeeld 3º.
Dit is een geometrische reeks waar 
>1. Deze reeks loopt uiteen.
Eigenschappen van convergente reeksen
Beschouw twee convergente reeksen:
, (1.17)
. (1.18)
1. De reeks die wordt verkregen door term voor term optellen (aftrekken) van twee convergente reeksen convergeert ook, en de som is gelijk aan de algebraïsche som van de oorspronkelijke reeks, d.w.z.
. (1.19)
Bewijs. Laten we deelsommen maken van reeksen (1.17) en (1.18):
Omdat per voorwaarde convergeren deze reeksen, zijn er grenzen aan deze deelsommen:
, 
.
We stellen de partiële som van de reeks (1.19) samen en vinden de limiet:
Voorbeeld.
;
.
Opmerking. Het omgekeerde is niet waar, d.w.z. de convergentie van de reeks aan de linkerkant van gelijkheid (1.19) impliceert niet de convergentie van de reeks en . De reeks die in voorbeeld 4 wordt beschouwd, convergeert bijvoorbeeld en de som is 1; de algemene term van deze reeks is omgezet naar de vorm:
.
Daarom kan de reeks worden geschreven als:
.
Overweeg nu afzonderlijk rangen:
Deze reeksen divergeren omdat het harmonische reeksen zijn. De convergentie van de termen volgt dus niet uit de convergentie van de algebraïsche som van reeksen.
2. Als alle leden van een convergente reeks met som S vermenigvuldigen met hetzelfde getal Met, dan zal de resulterende reeks ook convergeren en de som hebben cS:
. (1.20)
Het bewijs is vergelijkbaar met de eerste eigenschap (bewijs het zelf).
Voorbeeld.c= 10000;
Beide reeksen convergeren, omdat hun sommen zijn eindig.
Convergente reeksen kunnen dus term voor term worden opgeteld, afgetrokken en vermenigvuldigd met een constante factor.
3. Stelling over het weggooien van de eerste paar termen van de reeks.
Het verwijderen (of toevoegen) van de eerste paar termen van een reeks heeft geen invloed op de convergentie of divergentie van deze reeks. Met andere woorden, als de reeks convergeert
dan convergeert de reeks
. (1.22)
(maar het bedrag kan verschillen). Omgekeerd, als de reeks (1.22) convergeert, convergeert de reeks (1.21) ook.
Opmerking 1. In de wiskunde betekent de term "meerdere" "een eindig getal", d.w.z. het kan 2 zijn, en 100, en 10 100, en meer.
Opmerking 2. Uit deze eigenschap volgt dat reeksen met gemeenschappelijke termen en equivalent zijn in de zin van convergentie. De harmonische reeks heeft bijvoorbeeld een gemeenschappelijke term , en reeksen met gemeenschappelijke termen and 
zijn ook harmonisch.
4. De rest van de rij. Zijn eigendom. Als een serie de eerste weggooit k leden krijgen we een nieuwe serie genaamd rest van de rij na k- lid.
Definitie. k-de rest van de rij
heet een rij
(1.23),
verkregen door de eerste weg te gooien k leden van de originele serie.
Inhoudsopgave k betekent hoeveel eerste termen van de reeks worden weggegooid. Dus,
enz.
|
, in tegenstelling tot de vorige stelling, waar P. In elk volgend lid van deze reeks zijn er "minder" termen (in feite zijn er een oneindig aantal in elke rest). Men kan ook zeggen dat er aan het begin van de serie een dynamiek is, en niet aan het einde. 
De rest van de reeks kan ook worden gedefinieerd als het verschil tussen de som van de reeks en de deelsom (fig. 1.5.1):
. (1.24)
|
. Uit de definitie van de som van de reeks volgt: 
.
Dan volgt uit (1.24):
We hebben gevonden dat de rest van de convergente reeks een oneindig kleine grootheid is bij 
, d.w.z. wanneer het aantal weggegooide termen van de reeks naar oneindig neigt. Dit blijkt ook uit de figuren 1.5.1 en 1.5.2.
Opmerking. De stelling over het weggooien van meerdere termen van een reeks kan als volgt worden geformuleerd: om een reeks te laten convergeren, is het noodzakelijk en voldoende dat de rest naar nul neigt.
§ 1.6. Sign-positieve serie
Beschouw een reeks met niet-negatieve termen
Dergelijke rijen worden aangeroepen teken-positief. Beschouw een reeks partiële sommen van de positief-tekenreeks (1.26). Het gedrag van deze reeks is bijzonder eenvoudig: hij neemt monotoon toe als N, d.w.z. . (aangezien bij elke volgende deelsom een niet-negatief getal wordt opgeteld).
Volgens de stelling van Weierstrass convergeert elke monotone begrensde reeks (zie 1e semester van de 1e cursus). Op basis hiervan formuleren we algemeen criterium convergentie van reeksen met positieve termen.
Stelling(algemeen criterium voor de convergentie van teken-positieve reeksen). Om een reeks met een positief teken te laten convergeren, is het noodzakelijk en voldoende dat de reeks van de deelsommen begrensd is.
Denk aan de definitie van begrensdheid van een reeks: een reeks wordt begrensd genoemd als die bestaat M>0 zodanig dat voor 
(fig.1.6.1). Voor teken-positieve reeksen 
, en we kunnen van bovenaf over begrensdheid praten, omdat onder nul begrensd.
Bewijs. 1) Noodzaak. Laat de reeks (1.26) convergeren en z heeft de rij van partiële sommen een limiet, d.w.z. convergeert. Door de begrenzingsstelling voor een convergente rij wordt elke convergente rij begrensd en wordt z begrensd.
2) Voldoende. Laat de rij van partiële sommen van de reeks (1.26) begrensd zijn.
Omdat , d.w.z. eentonig. Volgens de stelling van Weierstrass over monotone begrensde reeksen, convergeert het z en convergeert de reeks (1.26).
Kent u de verbazingwekkende legende over de korrels op het schaakbord?
De legende van de korrels op het schaakbord
Toen de maker van het schaken (een oude Indiase wiskundige genaamd Sessa) zijn uitvinding aan de heerser van het land liet zien, vond hij het spel zo leuk dat hij de uitvinder het recht gaf om zelf de beloning te kiezen. De wijze vroeg de koning om de eerste cel van het schaakbord om hem één graankorrel te betalen, voor de tweede - twee, voor de derde - vier, enz., waarbij hij het aantal korrels op elke volgende cel verdubbelde. De heerser, die geen wiskunde verstond, was het snel eens, zelfs enigszins beledigd door zo'n lage schatting van de uitvinding, en beval de penningmeester om de uitvinder de juiste hoeveelheid graan te berekenen en te geven. Toen de penningmeester een week later echter nog steeds niet kon berekenen hoeveel graan er nodig was, vroeg de heerser wat de reden was voor zo'n vertraging. De penningmeester liet hem de berekeningen zien en zei dat het onmogelijk was om te betalen.De koning luisterde met verbazing naar de woorden van de oudste.
Geef me dat monsterlijke aantal', zei hij.
18 triljoenen 446 quadriljoenen 744 biljoen 73 miljard 709 miljoen 551 duizend 615, o Heer!
Als we aannemen dat één tarwekorrel een massa heeft van 0,065 gram, dan zal de totale massa tarwe op het schaakbord 1200 biljoen ton zijn, wat meer is dan de totale hoeveelheid tarwe die in de hele geschiedenis van de mensheid is geoogst!
Definitie
Geometrische progressie- reeks getallen ( leden van de progressie) , waarin elk volgend getal, beginnend bij het tweede, wordt verkregen uit het vorige door het te vermenigvuldigen met een bepaald getal ( progressie noemer):
De reeks 1, 2, 4, 8, 16, ... is bijvoorbeeld geometrisch ()
Geometrische progressie
Noemer van een geometrische progressie
Karakteristieke eigenschap van een geometrische progressie
For title="Gegeven door QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}
Een reeks is meetkundig dan en slechts dan als voor elke n > 1 de bovenstaande relatie geldt.
In het bijzonder geldt voor een geometrische progressie met positieve termen:
Formule van de nde term van een meetkundige reeks
De som van de eerste n termen van een meetkundige reeks
(als dan )
Oneindig afnemende geometrische progressie
Voor wordt de geometrische progressie genoemd oneindig afnemend . De som van een oneindig afnemende meetkundige reeks is het getal en
Voorbeelden
voorbeeld 1.
De reeks () is een meetkundige reeks.
Vind als ,
Oplossing:
Volgens de formule hebben we:
Voorbeeld 2.
Vind de noemer van een geometrische progressie () waarin
ONDERWERP 8. RIJEN
NUMERIEKE REEKS
1. Basisconcepten van de nummerreeks.
2. Reeks geometrische progressie.
3. Basiseigenschappen van convergente reeksen. De rest van de rij.
4. Een noodzakelijk criterium voor de convergentie van een numerieke reeks.
5. harmonische reeks.
Reeksen zijn een van de belangrijkste instrumenten van wiskundige analyse. Met behulp van reeksen worden geschatte waarden van functies, integralen en oplossingen van differentiaalvergelijkingen gevonden. Alle tabellen die u in toepassingen tegenkomt, zijn opgebouwd uit rijen.
Historische referentie
De theorie van numerieke en functionele reeksen werd ontwikkeld in de 17-18 eeuw. In die tijd waren er nog geen precieze definities van de basisconcepten van wiskundige analyse. Het werd mogelijk geacht een reeks, ongeacht de convergentie en divergentie ervan, te behandelen als een eenvoudige som. Hoewel deze som werd beschouwd als "bestaande uit een oneindig aantal termen", werd ermee gewerkt als met een som bestaande uit een (eindig) aantal termen. Dit leidde soms tot fouten in berekeningen, onverklaarbaar in de toenmalige stand van de wiskundige wetenschap.
Het optellen van oneindige meetkundige reeksen met een noemer kleiner dan één werd al in de oudheid uitgevoerd (Archimedes).
De divergentie van de harmonische reeks werd vastgesteld door de Italiaanse wetenschapper Meng in 1650, en vervolgens strikter door de broers Jacob en Nicholas Bernoulli. Machtreeksen verschenen met Newton (1665), die aantoonde dat elke functie met hun hulp kan worden weergegeven. Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann en vele andere vooraanstaande wiskundigen hebben veel moeite gedaan om de theorie van reeksen verder te ontwikkelen.
Onder deze wetenschappers moet ongetwijfeld worden toegeschreven aan Newton's student - Taylor, die in 1715 zijn hoofdwerk "The method of increments, direct and inverse" publiceerde. In dit boek geeft Taylor voor het eerst een afleiding van de reeksuitbreiding van een willekeurige analytische functie. Hierdoor werd de machtreeks de "brug" die ons in staat stelde om van het veld van rationele functies naar de studie van transcendentale functies te gaan.
De fundamentele betekenis van deze bijdrage aan de wiskunde werd echter niet meteen onderkend. In 1742 werd de beroemde "Treatise on Fluxions" van Colin Maclaurin gepubliceerd, waarin Maclaurin een serie kreeg die zijn naam op een nieuwe manier droeg, en aangaf dat deze serie deel uitmaakt van de "Method of Increments". Aangezien Maclaurin voor een groot aantal functies aantoonde dat het gebruik van deze reeks het probleem van het uitbreiden van functies enorm vereenvoudigt, werd deze reeks, en daarmee de Taylorreeks, erg beroemd.
Het belang van de Taylor-reeks werd nog groter toen Lagrange er in 1772 de basis van alle differentiaalrekening van maakte. Hij geloofde dat de theorie van de uitbreiding van functies in reeksen de ware principes van differentiaalrekening bevat, bevrijd van oneindig kleine getallen en limieten.
Vraag 1. Basisbegrippen van de nummerreeks
Het concept zelf van een oneindige reeks is in wezen niet fundamenteel nieuw. Een oneindige reeks is slechts een eigenaardige vorm van een numerieke reeks. Dit nieuwe formulier heeft echter enkele functies die het gebruik van rijen handiger maken.
Laat een oneindige reeks getallen worden gegeven
een 1 , een 2 , …, een n ,…
O.1.1. Uitdrukking van het formulier
(1)
genaamd numerieke reeks of gewoon in de buurt van.
Getallen a 1 , a 2 , …, a n ,… worden genoemd leden van een nummer, en het getal a n met een willekeurig getal n wordt genoemd gemeenschappelijk lid van de serie (1).
Reeks (1) wordt als gegeven beschouwd als de gemeenschappelijke term van de reeks a n bekend is, uitgedrukt als een functie van het getal n:
een n = f(n), n=1,2,…
voorbeeld 1. Een reeks met een gemeenschappelijke term heeft de vorm
O.1.2. De som van de eerste n termen van reeks (1) wordt genoemd N-en gedeeltelijke som van de reeks en wordt aangeduid met Sn, d.w.z.
S n \u003d een 1 + een 2 + ... + een n.
Beschouw de rij van partiële sommen van reeks (1):
S 1 = een 1 , S 2 = een 1 + een 2 , ……., S n = een 1 + een 2 + …+ een n , …… (2)
O.1.3. Rij (1) wordt aangeroepen convergeren, als er een eindige limiet S bestaat van de reeks van zijn partiële sommen (2), d.w.z. . In dit geval wordt het nummer S genoemd de som van de reeks (1).
opgenomen:
Uit definitie O.1.3 volgt dat de som van een reeks niet noodzakelijkerwijs bestaat. Dit is het belangrijkste verschil tussen oneindige reeksen en eindige sommen: elke eindige reeks getallen heeft noodzakelijkerwijs een som, "het toevoegen van een oneindige reeks getallen blijkt lang niet altijd mogelijk te zijn."
Als niet bestaat of dan wordt serie (1) aangeroepen afwijkend. Deze reeks heeft geen som.
Voorbeeld 2.
1.
Rij 
convergeert en de som S = 0.
2.
Rij 
wijkt af omdat 
Vraag 2. Reeks geometrische progressie
O.2.1. Een reeks die is samengesteld uit leden van een geometrische reeks, d.w.z. rij van het formulier
, een ¹ 0, (3)