Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.
Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.
Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.
Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .
Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.
Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.
Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .
Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.
Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.
Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Збільшення ступенів
Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.
Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.
Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .
Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.
Так, a n a m = a m + n .
Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;
І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;
Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).
Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.
1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n. y-m = y-n-m.
3. a -n. am = am-n.
Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто
Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.
Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.
Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Розподіл ступенів
Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.
Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .
Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.
При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..
Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.
І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.
Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями
1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.
3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .
4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .
5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.
8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.
9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.
Урок на тему: "Правила множення та поділу ступенів з однаковими та різними показниками. Приклади"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича
Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.
Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.
Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ця рівність називається "запис ступеня у вигляді твору". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Підстава ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= 1$.
Якщо n = 0, то $ a ^ 0 = 1 $.
Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та поділу ступенів.
Правила множення
a) Якщо множаться ступені з однаковою основою.Щоб $a^n * a^m$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_(m ) $.
На малюнку видно, що число авзяли n+mраз, тоді $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.
приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Якщо множаться ступеня з різною основою, але однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.
приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Правила розподілу
a) Підстава ступеня однакова, показники різні.Розглянемо розподіл ступеня з більшим показником на розподіл ступеня з меншим показником.
Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.
Запишемо ступеня у вигляді дробу:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Для зручності поділ запишемо у вигляді простого дробу.Тепер скоротимо дріб.
Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа в нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Для зручності уявимо.
Використовуючи властивість дробів, розіб'ємо великий дріб на твір дрібних, отримаємо.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Відповідно: $ frac (a ^ n) (b ^ n) = ( frac (a) (b)) ^ n $.
приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Початковий рівень
Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)
Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?
Щоб дізнатися все про ступеня, про те для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному життічитай цю статтю.
І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачі ОДЕабо ЄДІ і до вступу до ВНЗ твоєї мрії.
Let"s go... (Поїхали!)
Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).
ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ
Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.
Зараз поясню все людською мовою дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.
Почнемо зі складання.
Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього коли? Правильно – 16 пляшок.
Тепер множення.
Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного із восьми осіб однакова кількістьпляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.
Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...
Ось таблиця множення. Повторюй.
І інший, красивіший:
А які ще хитрі прийомирахунки придумали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.
Зведення числа до ступеня
Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.
Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це дуже полегшить тобі життя.
До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже гарне питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.
Приклад із життя №1
Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.
Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.
Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучуєшся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().
Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.
Приклад із життя №2
Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що Шахова дошка- це квадрат зі стороною, то можна звести вісім квадратів. Вийде клітини. () Так?
Приклад із життя №3
Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.
Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?
А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .
Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.
Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.
Приклад із життя №4
У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, бо ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені - мільйон! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?
Приклад із життя №5
У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.
Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.
Терміни та поняття... щоб не заплутатися
Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.
Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.
Ось тобі рисунок для вірності.
Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати …
Ступінь числа з натуральним показником
Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?
Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.
Будь-які дроби – це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Декілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чисел для вимірювання довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?
Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.
Резюме:
Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).
- Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
- Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе:
- Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:
Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.
Властивості ступенів
Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.
Подивимося: що таке і ?
За визначенням:
Скільки тут множників всього?
Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.
Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: , що потрібно було довести.
приклад: Спростіть вираз
Рішення:
Приклад:Спростіть вираз.
Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:
тільки для створення ступенів!
У жодному разі не можна написати, що.
2. то й є -а ступінь числа
Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:
Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:
По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:
Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?
Але це не так, адже.
Ступінь з негативною основою
До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.
Але якою має бути підстава?
У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.
Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?
Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.
Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.
Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Впорався?
Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.
Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).
Приклад 6) вже не такий простий!
6 прикладів для тренування
Розбір рішення 6 прикладів
Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:
Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.
Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.
Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.
Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!
Повернемося, наприклад:
І знову формула:
Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.
ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.
А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.
Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:
Як завжди, запитаємо себе: чому це так?
Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:
Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.
Можемо зробити те саме вже з довільним числом:
Повторимо правило:
Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.
Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).
З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.
Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, дійдемо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:
Звідси вже нескладно висловити:
Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:
Отже, сформулюємо правило:
Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).
Підведемо підсумки:
I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.
ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .
ІІІ. Число, що не дорівнює нулю, негативною мірою назад такому ж числу в позитивному ступені: .
Завдання для самостійного вирішення:
Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:
Розбір завдань для самостійного розв'язання:
Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!
Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.
Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?
Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.
Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:
Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:
Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:
Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?
Це формулювання - визначення кореня ступеня.
Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.
Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .
Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .
Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:
Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.
Жодне!
Згадуємо правило: будь-яке число, зведене парний ступінь - число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!
А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.
А що щодо висловлювання?
Але тут постає проблема.
Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.
І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.
Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).
Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.
Отже, якщо:
- - натуральне число;
- - ціле число;
Приклади:
Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:
5 прикладів для тренування
Розбір 5 прикладів для тренування
Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.
Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком
Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).
При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.
Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;
...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;
...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь « зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.
Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.
Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.
КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))
Наприклад:
Виріши самостійно:
Розбір рішень:
1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:
Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:
В даному випадку,
Виходить що:
Відповідь: .
2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:
Відповідь: 16
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивостіступенів:
ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
Визначення ступеня
Ступенем називається вираз виду: , де:
- — основа ступеня;
- - показник ступеня.
Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)
Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:
Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)
Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:
Зведення у нульовий ступінь:
Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.
Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:
(Бо на ділити не можна).
Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.
Приклади:
Ступінь із раціональним показником
- - натуральне число;
- - ціле число;
Приклади:
Властивості ступенів
Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.
Подивимося: що таке та?
За визначенням:
Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:
Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:
Що й потрібно було довести.
приклад : Спростіть вираз
Рішення : .
приклад : Спростіть вираз
Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:
Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!
У жодному разі не можна написати, що.
Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:
Перегрупуємо цей твір так:
Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:
По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !
Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.
Ступінь із негативною основою.
До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .
І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?
Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?
З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.
Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .
І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:
- парнуступінь - число позитивне.
- Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
- Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
- Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.
Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Впорався? Ось відповіді:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.
У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).
Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що стає ясно, що, а значить, підстава менше нуля. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.
І знову використовуємо визначення ступеня:
Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:
Перш ніж розібрати останнє правило, Вирішимо кілька прикладів.
Обчисли значення виразів:
Рішення :
Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!
Отримуємо:
Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.
Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:
Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!
Повернемося, наприклад:
І знову формула:
Отже, тепер останнє правило:
Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:
Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:
Приклад:
Ступінь з ірраціональним показником
На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).
При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.
Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.
Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.
Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)
Наприклад:
Виріши самостійно:
| 1) | 2) | 3) |
Відповіді:
- Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
- Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
- Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:
КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
ступенемназивається вираз виду: , де:
Ступінь із цілим показником
ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).
Ступінь із раціональним показником
ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.
Ступінь з ірраціональним показником
ступінь, показник якої - нескінченний десятковий дріб або корінь.
Властивості ступенів
Особливості ступенів.
- Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
- Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
- Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
- Нуль будь-якою мірою дорівнює.
- Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.
ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...
Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.
Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.
Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.
Напиши коментарі.
І удачі на іспитах!
Статті з природничих наук та математики
Властивості ступенів з однаковими основами
Існує три властивості ступенів з однаковими основами та натуральними показниками. Це
- твір сума
- Приватнедвох ступенів з однаковими основами дорівнює виразу, де основа та ж сама, а показник є різницяпоказників вихідних множників
- Зведення ступеня числа до ступенядорівнює виразу, в якому основа - це те саме число, а показник - це твірдвох ступенів.
Будьте уважні! Правил щодо додавання та відніманняступенів з однаковими основами не існує.
Запишемо ці властивості-правила у вигляді формул:
- a m? a n = a m+n
- a m? a n = a m-n
- (a m) n = a mn
Тепер розглянемо їх на конкретні прикладита спробуємо довести.
5 2 ? 5 3 = 5 5 – тут ми застосували правило; а тепер представимо як би ми вирішували цей приклад, якби не знали правила:
5 2 ? 5 3 = 5? 5? 5? 5? 5 = 5 5 - п'ять у квадраті - це п'ять помножений на п'ять, а в кубі - добуток трьох п'ятірок. В результаті вийшов добуток п'яти п'ятірок, але це щось інше як п'ять у п'ятому ступені: 5 5 .
3 9 ? 3 5 = 3 9-5 = 3 4 . Запишемо поділ у вигляді дробу:
Її можна скоротити: 
В результаті отримаємо: 
Таким чином ми довели, що при розподілі двох ступенів з однаковими підставами їх показники треба віднімати.
Однак при розподілі не можна, щоб дільник дорівнював нулю (бо на нуль ділити не можна). Крім того, оскільки ми розглядаємо ступеня тільки з натуральними показниками, то не можемо в результаті віднімання показників отримати число менше, ніж 1. Тому на формулу am? a n = a m-n накладаються обмеження: a? 0 та m > n.
Перейдемо до третьої якості:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8
Запишемо у розгорнутому вигляді:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8
Можна дійти такого висновку та логічно розмірковуючи. Потрібно перемножити два у квадраті чотири рази. Але в кожному квадраті дві двійки, отже, всього двійок буде вісім.
scienceland.info
Правила складання та віднімання.
1. Від зміни місць доданків сума не зміниться (комутативна властивість додавання)
13+25=38, можна записати як: 25+13=38
2. Результат додавання не зміниться, якщо сусідні доданки замінити їх сумою (асоціативна властивість додавання).
10+13+3+5=31 можна записати як: 23+3+5=31; 26 +5 = 31; 23 +8 = 31 і т.д.
3. Одиниці складаються з одиницями, десятки із десятками тощо.
34+11=45 (3 десятки плюс ще 1 десяток; 4 одиниці плюс 1 одиниця).
4. Одиниці віднімаються з одиниць, десятки з десятків тощо.
53-12 = 41 (3 одиниці мінус 2 одиниці; 5 десятків мінус 1 десяток)
Примітка: 10 одиниць становлять десяток. Це пам'ятати при відніманні, т.к. якщо кількість одиниць у віднімає більше, ніж у зменшуваного, то ми можемо «зайняти» один десяток у зменшуваного.
41-12 = 29 (Для того щоб і 1 відняти 2, ми спочатку повинні «зайняти» одиницю у десятків, отримуємо 11-2 = 9; пам'ятаємо, що у зменшуваного залишається на 1 десяток менше, отже, залишається 3 десятки і від нього віднімається 1 десяток (відповідь 29).
5. Якщо від суми двох доданків відняти одне з них, то вийде другий доданок.
Це означає, що додавання можна перевірити за допомогою віднімання.
Для перевірки із суми віднімають один із доданків: 49-7=42 або 49-42=7
Якщо в результаті віднімання ви не отримали один із доданків, значить у вашому додаванні була допущена помилка.
6. Якщо до різниці додати віднімається, то вийде зменшуване.
Це означає, що віднімання можна перевірити додаванням.
Для перевірки до різниці додамо віднімаємо: 19+50=69.
Якщо в результаті описаної вище процедури ви не отримали зменшення, то у вашому відніманні була допущена помилка.
Додавання та віднімання раціональних чисел
У цьому уроці розглядається додавання та віднімання раціональних чисел. Тема відноситься до категорії складних. Тут потрібно використовувати весь арсенал отриманих раніше знань.
Правила складання і віднімання цілих чисел справедливі й у раціональних чисел. Нагадаємо, що раціональними називають числа, які можуть бути подані у вигляді дробу, де a –це чисельник дробу, b- знаменник дробу. Причому bне повинно бути нулем.
У даному уроці дроби та змішані числа ми все частіше називатимемо одним загальним словосполученням. раціональні числа.
Навігація з уроку:
приклад 1.Знайти значення виразу
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що плюс який дано у виразі є знаком операції та не відноситься до дробу. Цей дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що його не записують. Але ми запишемо його для наочності:
Це додавання раціональних чисел з різними знаками. Щоб скласти раціональні числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший, і перед отриманим відповіддю поставити той знак, модуль якого більше. А щоб зрозуміти який модуль більше, а який менше, потрібно зуміти порівняти модулі цих дробів до їх обчислення:
Модуль раціонального числа більший, ніж модуль раціонального числа. Тому ми з відняли. Отримали відповідь. Потім скоротивши цей дріб на 2, отримали остаточну відповідь.
За бажання деякі примітивні дії, такі як укладання чисел у дужки та проставлення модулів, можна пропустити. Даний приклад цілком можна записати коротше:
приклад 2.Знайти значення виразу
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що мінус, який дано у виразі, є знаком операції і не відноситься до дробу.
Дріб у цьому випадку є позитивним раціональним числоммає знак плюс, який невидимий. Але ми запишемо його для наочності:
Замінимо віднімання додаванням. Нагадаємо, що для цього потрібно до зменшуваного додати число протилежне віднімається:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Щоб скласти негативні раціональні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:
приклад 3.Знайти значення виразу
У цьому виразі у дробів різні знаменники. Щоб полегшити собі завдання, наведемо ці дроби до однакового (загального) знаменника. Не будемо докладно зупинятись на цьому. Якщо ви відчуваєте труднощі, обов'язково поверніться до уроку дії з дробами і повторіть його.
Після приведення дробів до спільного знаменника вираз набуде наступного вигляду:
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Віднімаємо з більшого модуля менший і перед отриманою відповіддю ставимо той знак, модуль якого більше:
приклад 4.Знайти значення виразу
Отримали суму із трьох доданків. Спочатку знайдемо значення виразу, потім до отриманої відповіді додамо
Перша дія:
Друга дія:
Таким чином, значення виразу дорівнює.
Рішення для даного прикладуможна записати коротше
Приклад 5. Знайти значення виразу
Укладемо кожну кількість у дужки разом зі своїми знаками. Для цього змішане число тимчасово розгорнемо
Обчислимо цілі частини:
У головному виразі замість 
запишемо отриману одиницю:
Отриманий вираз повернемо. Для цього опустимо дужки та запишемо одиницю та дріб разом
Рішення для цього прикладу можна записати коротше:
Приклад 6.Знайти значення виразу
Переведемо змішане число в неправильний дріб. Решту перепишемо як є:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складемо модулі цих чисел і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
Таким чином, значення виразу дорівнює .
Рішення для цього прикладу можна записати коротше:
Приклад 7.Знайти значення вираз
Запишемо змішане число у розгорнутому вигляді. Решту перепишемо як є:
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом своїми знаками
Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:
Обчислимо цілі частини:
У головному виразі замість запишемо отримане число?7
Вираз є розгорнутою формою запису змішаного числа. Можна відразу записати відповідь, записавши разом числа?7 і дріб (заховавши мінус цього дробу)
Таким чином, значення виразу дорівнює
Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Якщо пропустити деякі подробиці, його можна записати так:
Приклад 8.Знайти значення виразу
Цей вираз можна обчислити двома способами. Розглянемо кожен із них.
Перший метод.Цілі та дробові частини виразу обчислюються окремо.
Для початку запишемо змішані числа у розгорнутому вигляді:
Укладемо кожне число в дужки разом зі своїми знаками:
Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:
Отримали суму з кількох доданків. Відповідно до сполучного закону складання, якщо вираз містить кілька доданків, то сума нічого очікувати залежати від порядку действий. Це дозволить нам згрупувати цілі та дробові частини окремо:
Обчислимо цілі частини:
У головному виразі замість запишемо отримане число?3
Обчислимо дробові частини:
У головному виразі замість запишемо отримане змішане число
Щоб обчислити вираз, що вийшов, змішане число потрібно тимчасово розгорнути, потім укласти в дужки кожне число і замінити віднімання додаванням. Робити це потрібно дуже акуратно, щоб не переплутати знаки доданків.
Після перетворення виразу ми отримали новий вираз, який легко обчислюється. Подібний вираз був у прикладі 7. Нагадаємо, що ми окремо склали цілі частини, а дробову залишили як є:
Значить значення виразу дорівнює
Рішення для цього прикладу можна записати коротше
У короткому рішенні пропускаються етапи укладання чисел у дужки, заміна віднімання додаванням, проставлення модулів. Якщо ви навчаєтесь у школі або в іншому навчальному закладі, то від вас вимагатимуть пропускати ці примітивні дії, щоб заощадити час та місце. Наведене вище коротке рішення можна записати ще коротше. Виглядатиме воно так:
Тому, перебуваючи в школі або в іншому навчальному закладі, будьте готові до того, що деякі дії доведеться виконувати в голові.
Другий спосіб.Змішані числа виразу переводять у неправильні дробиі обчислюють як звичайні дроби.
Укладемо у дужки кожне раціональне число разом зі своїми знаками
Замінимо віднімання додаванням:
Тепер змішані числа і переведемо до неправильних дробів:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складемо їх модулі і перед отриманою відповіддю поставимо мінус:
Отримали відповідь як і минулого разу.
Детальне рішення другим способом виглядає так:
Приклад 9.Знайти вирази виразу 
Перший метод.Складемо цілі та дробові частини окремо.
На цей раз спробуємо пропустити деякі примітивні дії, такі як запис виразу в розгорнутому вигляді, укладання чисел у дужки, заміна віднімання додаванням, проставлення модулів:
Зверніть увагу, що дрібні частини були приведені до спільного знаменника.
Другий спосіб.Переведемо змішані числа до неправильних дробів і обчислимо, як звичайні дроби.
приклад 10.Знайти значення виразу 
Замінимо віднімання додаванням:
У виразі немає негативних чисел, які є основною причиною припущення помилок. А оскільки немає негативних чисел, ми можемо прибрати плюс перед відніманням, а також прибрати дужки. Тоді отримаємо найпростіший вираз, який легко обчислюється:
У цьому прикладі цілі та дробові частини були обчислені окремо.
Приклад 11.Знайти значення виразу
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший і перед отриманим числом поставимо той знак, модуль якого більше:
Приклад 12Знайти значення виразу 
Вираз складається з кількох параметрів. Відповідно до порядку дій, насамперед необхідно виконати дії у дужках.
Спочатку обчислимо вираз, потім вираз Отримані відповіді складемо.
Перша дія:
Друга дія:
Третя дія:
Відповідь:значення виразу одно
приклад 13.Знайти значення виразу 
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додаванням раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший і перед відповіддю поставимо той знак, модуль якого більший. Але ми маємо справу із змішаними числами. Щоб зрозуміти, який модуль більше, а який менше, потрібно порівняти модулі цих змішаних чисел. А щоб порівняти модулі змішаних чисел, потрібно перевести їх у неправильні дроби та порівняти, як звичайні дроби.
На наступному малюнку показані усі етапи порівняння модулів змішаних чисел
Дізнавшись який модуль більше, а який менше, ми можемо продовжити обчислення нашого прикладу:
Таким чином, значення виразу одно
Розглянемо додавання та віднімання десяткових дробів, які теж відносяться до раціональних чисел і які можуть бути як позитивними, так і негативними.
приклад 14.Знайти значення виразу? 3,2 + 4,3
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що плюс який дано у виразі є знаком операції і не відноситься до десяткового дробу 4,3. Цей десятковий дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що його не записують. Але ми його запишемо для наочності:
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Щоб скласти раціональні числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший, і перед отриманим відповіддю поставити той знак, модуль якого більше. А щоб зрозуміти який модуль більше, а який менше, треба зуміти порівняти модулі цих десяткових дробів до їх обчислення:
Модуль числа 4,3 більший, ніж модуль числа?3,2 тому ми від 4,3 відняли 3,2. Отримали відповідь 1,1. Відповідь позитивна, оскільки у відповіді має стояти знак більшого модуля, тобто модуля | +4,3 |.
Таким чином, значення виразу? 3,2 + (+4,3) дорівнює 1,1
приклад 15.Знайти значення виразу 3,5+(?8,3)
Це складання раціональних чисел із різними знаками. Як і в минулому прикладі з більшого модуля віднімаємо менший і перед відповіддю ставимо той знак, модуль якого більше
3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8
Таким чином, значення виразу 3,5 + (? 8,3) дорівнює? 4,8
Цей приклад можна записати коротше:
Приклад 16Знайти значення виразу? 7,2 + (? 3,11)
Це складання негативних раціональних чисел. Щоб скласти негативні раціональні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31
Таким чином, значення виразу? 7,2 + (? 3,11) дорівнює? 10,31
Цей приклад можна записати коротше:
Приклад 17Знайти значення виразу? 0,48 + (? 2,7)
Це складання негативних раціональних чисел. Складемо їх модулі та перед отриманою відповіддю поставимо знак мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18
приклад 18.Знайти значення виразу? 4,9? 5,9
Укладемо кожне раціональне число в дужки разом зі своїми знаками. Враховуємо, що мінус, який дано у виразі, є знаком операції і не відноситься до десяткового дробу 5,9. Цей десятковий дроб має свій знак плюсу, який невидимий через те, що він не записується. Але ми запишемо його для наочності:
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставимо мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Таким чином, значення виразу? 4,9? 5,9 дорівнює?10,8
= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8
Приклад 19.Знайти значення виразу 7? 9,3
Укладемо в дужки кожне число разом зі своїми знаками
Замінимо віднімання додаванням
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший і перед відповіддю поставимо той знак, модуль якого більший. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3
Таким чином, значення виразу 7? 9,3 дорівнює?2,3
Докладне рішення цього прикладу записується наступним чином:
7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =
Коротке рішення виглядатиме так:
Приклад 20Знайти значення виразу? 0,25? (?1,2)
Замінимо віднімання додаванням:
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший і перед відповіддю поставимо той знак, модуль якого більше:
0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Докладне рішення цього прикладу записується наступним чином:
0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95
Коротке рішення виглядатиме так:
Приклад 21.Знайти значення виразу? 3,5 + (4,1? 7,1)
Насамперед виконаємо дії у дужках, потім складемо отриману відповідь з числом?3,5. Запис із модулями пропустимо, щоб не захаращувати вирази.
Перша дія:
4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0
Друга дія:
3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5
Відповідь:значення виразу? 3,5 + (4,1? 7,1) дорівнює? 6,5.
3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5
Приклад 22.Знайти значення виразу (3,5? 2,9)? (3,7 ? 9,1)
Виконаємо дії в дужках, потім із числа яке вийшло в результаті виконання перших дужок віднімемо число, яке вийшло в результаті виконання других дужок. Запис із модулями пропустимо, щоб не захаращувати вирази.
Перша дія:
3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6
Друга дія:
3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4
Третя дія
0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Відповідь:значення виразу (3,5? 2,9)? (3,7 ? 9,1) дорівнює 6.
Коротке рішення даного прикладу можна записати так:
(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6
Приклад 23.Знайти значення виразу? 3,8 + 17,15? 6,2? 6,15
Укладемо у дужки кожне раціональне число разом зі своїми знаками
Замінимо віднімання додаванням там, де це можна
Вираз складається з кількох доданків. Відповідно до сполучного закону складання, якщо вираз складається з кількох доданків, то сума нічого очікувати залежати від порядку действий. Це означає, що доданки можна складати у будь-якому порядку.
Не винаходитимемо велосипед, а складемо всі складові зліва направо в порядку їхнього прямування:
Перша дія:
(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35
Друга дія:
13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15
Третя дія:
7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Відповідь:значення виразу? 3,8 + 17,15? 6,2? 6,15 дорівнює 1.
Коротке рішення даного прикладу можна записати так:
3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1
Короткі рішення створюють менше проблемі плутаниць, тож бажано звикнути до них.
Приклад 24Знайти значення виразу
Переведемо десятковий дріб?1,8 у змішане число. Решту перепишемо, як є. Якщо ви відчуваєте труднощі з переведенням десяткового дробу в змішане число, обов'язково повторіть урок десяткові дроби.
Приклад 25.Знайти значення виразу 
Замінимо віднімання додаванням. Принагідно переведемо десятковий дріб (?4,4) у неправильний дріб
У виразі немає негативних чисел. А оскільки немає негативних чисел, ми можемо прибрати плюс перед другим числом і опустити дужки. Тоді отримаємо простий вираз на додавання, яке вирішується легко
Приклад 26.Знайти значення виразу 
Переведемо змішане число в неправильний дріб, а десятковий дріб?0,85 у звичайний дріб. Отримаємо наступний вираз:
Отримали додавання негативних раціональних чисел. Складемо їх модулі та перед отриманою відповіддю поставимо знак мінус. Запис із модулями можна пропустити, щоб не захаращувати вираз:
Приклад 27.Знайти значення виразу 
Переведемо обидві дроби до неправильних дробів. Щоб перевести десятковий дріб 2,05 у неправильний дріб, можна перевести його спочатку в змішане число, а потім у неправильний дріб:
Після переведення обох дробів у неправильні дроби, отримаємо такий вираз:
Отримали додавання раціональних чисел із різними знаками. Віднімемо з більшого модуля менший і перед отриманою відповіддю поставимо той знак, модуль якого більше:
Приклад 28.Знайти значення виразу
Замінимо віднімання додаванням. Принагідно переведемо десятковий дріб у звичайний дріб
Приклад 29.Знайти значення виразу 
Перекладемо десяткові дроби? 0,25 і? 1,25 в звичайні дроби, решту залишимо як є. Отримаємо такий вираз:
Можна спочатку замінити віднімання додаванням там, де це можна і скласти раціональні числа одне за одним. Є й другий варіант: спочатку скласти раціональні числа і , та був з отриманого числа відняти раціональне число . Цим варіантом і скористаємось.
Перша дія:
Друга дія:
Відповідь:значення виразу одно?2.
Приклад 30.Знайти значення виразу
Переведемо десяткові дроби до звичайних. Решту залишимо як є
Отримали суму з кількох доданків. Якщо сума складається з кількох доданків, то вираз можна обчислювати у будь-якому порядку. Це випливає із сполучного закону складання.
Тому ми можемо організувати найзручніший для нас варіант. Насамперед можна скласти перше і останнє доданок, саме раціональні числа і . У цих чисел однакові знаменники, А значить це звільнить нас від необхідності приводити їх до нього.
Перша дія:
Отримане число можна скласти з другим доданком, а саме з раціональним числом. У раціональних чисел і однакові знаменники в дрібних частинах, що знову ж таки є перевагою для нас
Друга дія:
Ну і складемо отримане число?7 з останнім доданком, а саме з раціональним числом. Зручно те, що при обчисленні даного виразу, сімки зникнуть, тобто їх сума дорівнюватиме нулю, оскільки сума протилежних чисел дорівнює нулю
Третя дія:
Відповідь:значення виразу дорівнює
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
Додавання та віднімання цілих чисел
У цьому уроці ми вивчимо додавання та віднімання цілих чисел, а також правила для їх складання та віднімання.
Нагадаємо, що цілі числа - це все позитивні та негативні числа, а також число 0. Наприклад, наступні числа є цілими:
Позитивні числа легко складаються і віднімаються, множаться та діляться. На жаль, цього не можна сказати про негативні числа, які бентежать багатьох новачків своїми мінусами перед кожною цифрою. Як показує практика, помилки зроблені через негативні числа, засмучують учнів найбільше.
Приклади складання та віднімання цілих чисел
Перше чого слід навчитися, це складати та віднімати цілі числа за допомогою координатної прямої. Зовсім необов'язково малювати координатну пряму. Достатньо уявляти її у своїх думках і бачити, де розташовуються негативні числа, а де позитивні.
Розглянемо найпростіший вираз: 1 + 3. Значення даного виразу дорівнює 4:
Цей приклад можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де знаходиться число 1, потрібно зрушити праворуч на три кроки. В результаті ми опинимося в точці, де розташовується число 4. На малюнку можна побачити як це відбувається:
Знак плюса у виразі 1+3 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.
приклад 2.Знайдемо значення виразу 1? 3.
Значення цього виразу дорівнює?2
Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується число 1, потрібно зрушити вліво на три кроки. У результаті ми опинимося в точці, де знаходиться від'ємне число?2. На малюнку можна побачити, як це відбувається:
Знак мінуса у виразі 1? 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.
Взагалі, слід запам'ятати, що й здійснюється додавання, потрібно рухатися вправо у бік збільшення. Якщо ж здійснюється віднімання, потрібно рухатися вліво у бік зменшення.
приклад 3.Знайти значення виразу?2 + 4
Значення даного виразу дорівнює 2
Цей приклад знову ж таки можна зрозуміти за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число?2, потрібно зрушити вправо на чотири кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться позитивне число 2.
Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число?2 у праву сторону на чотири кроки і опинилися в точці, де розташовується позитивне число 2.
Знак плюса у виразі?2 + 4 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.
приклад 4.Знайти значення виразу?1? 3
Значення цього виразу дорівнює?4
Цей приклад знову ж таки можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число?1, потрібно зрушити вліво на три кроки. У результаті ми опинимося в точці, де розташовується негативне число?4
Видно, що ми зрушили з точки, де розташовується від'ємне число?1 у ліву сторону на три кроки і опинилися в точці, де розташовується від'ємне число?4.
Знак мінуса у виразі?1? 3 вказує нам, що ми повинні рухатися вліво у бік зменшення чисел.
Приклад 5.Знайти значення виразу?2 + 2
Значення даного виразу дорівнює 0
Цей приклад можна вирішити за допомогою координатної прямої. Для цього з точки, де розташовується від'ємне число?2, потрібно зрушити вправо на два кроки. В результаті ми опинимося в точці, де знаходиться число 0
Видно, що ми зрушили з точки де розташовується від'ємне число?2 праворуч на два кроки і опинилися в точці, де розташовується число 0.
Знак плюса у виразі?2 + 2 вказує нам, що ми повинні рухатися праворуч у бік збільшення чисел.
Правила складання та віднімання цілих чисел
Щоб обчислити те чи інше вираз, необов'язково щоразу уявляти координатну пряму, і більше малювати її. Найзручніше скористатися готовими правилами.
Застосовуючи правила, потрібно звертати увагу на знак операції та знаки чисел, які потрібно скласти або відняти. Від цього буде залежати, яке правило застосовувати.
приклад 1.Знайти значення виразу?2 + 5
Тут до негативного числа додається позитивне число. Іншими словами, здійснюється додавання чисел з різними знаками. ?2 це від'ємне число, а 5 - позитивне. Для таких випадків передбачено таке правило:
Отже, подивимося який модуль більше:
Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа?2. Правило вимагає від більшого модуля відняти менший. Тому, ми повинні відняти 5 від 2, і перед отриманою відповіддю поставити той знак, модуль якого більше.
У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа буде відповідати. Тобто відповідь буде позитивною:
Зазвичай записують коротше? 2 + 5 = 3
приклад 2.Знайти значення виразу 3+(?2)
Тут, як і в попередньому прикладі, здійснюється складання чисел з різними знаками. 3 – це позитивне число, а?2 – негативне. Зверніть увагу, що число?2 укладено в дужки, щоб зробити вираз зрозумілішим і красивішим. Це вираз набагато простіше сприйняття, ніж вираз 3+?2.
Отже, застосуємо правило додавання чисел з різними знаками. Як і в минулому прикладі, з більшого модуля віднімаємо менший модуль і перед відповіддю ставимо той знак, модуль якого більше:
3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1
Модуль числа 3 більший, ніж модуль числа?2, тому ми з 3 відняли 2 і перед отриманою відповіддю поставили той знак модуль, якого більший. У числа 3 модуль більший, тому знак цього числа поставлений у відповіді. Тобто відповідь позитивна.
Зазвичай записують коротше 3+(?2) = 1
приклад 3.Знайти значення виразу 3? 7
У цьому вся виразі з меншого числа віднімається більше. Для такого випадку передбачено таке правило:
Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно з більшого числавідняти менше і перед отриманою відповіддю поставити мінус.
У цьому вся виразі є невелика загвоздка. Згадаймо, що знак рівності (=) ставиться між величинами та виразами тоді, коли вони рівні між собою.
Значення виразу 3? 7 як ми дізналися одно?4. Це означає, що будь-які перетворення, які ми будемо здійснювати в даному виразі, повинні бути рівними?
Але бачимо, що у другому етапі розташовується вираз 7 ? 3, яке не дорівнює?4.
Щоб виправити цю ситуацію, вираз 7? 3 потрібно взяти в дужки і перед цією дужкою поставити мінус:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4
У цьому випадку рівність дотримуватиметься на кожному етапі:
Після того, як вираз обчислено, дужки можна прибрати, що ми і зробили.
Тому, щоб бути точнішим, рішення має виглядати так:
3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4
Це правило можна записати за допомогою змінних. Виглядатиме воно наступним чином:
a? b =? (b? a)
Велика кількість дужок та знаків операцій можуть ускладнювати рішення, здавалося б зовсім просте завдання, тому доцільніше навчитися записувати такі приклади коротко, наприклад 3? 7 =? 4.
Насправді додавання і віднімання цілих чисел зводиться лише до складання. Що це означає? Це означає, що якщо потрібно здійснити віднімання чисел, цю операцію можна замінити додаванням.
Отже знайомимося з новим правилом:
Відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.
Наприклад, розглянемо найпростіший вираз 5? 3. На початкових етапахвивчення математики ми просто ставили знак рівності та записували відповідь:
Але зараз ми прогресуємо у вивченні, тому треба пристосовуватись до нових правил. Нове правило говорить, що відняти одне число з іншого означає додати до зменшуваного таке число, яке протилежно віднімається.
Приклад виразу 5?3 спробуємо зрозуміти це правило. Зменшуване в даному виразі це 5, а віднімається це 3. Правило каже, що для того, щоб з 5 відняти 3, потрібно до 5 додати таке число, яке буде протилежне 3. Протилежне для числа 3 це число?3. Записуємо новий вираз:
А як знаходити значення для таких виразів, ми вже знаємо. Це додавання чисел з різними знаками, яке ми розглянули вище. Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно з більшого модуля відняти менший і перед отриманою відповіддю поставити той знак, модуль якого більше:
5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2
Модуль числа 5 більший, ніж модуль числа?3. Тому ми з 5 відняли 3 і отримали 2. У числа 5 модуль більший, тому знак цього числа поставили у відповіді. Тобто відповідь позитивна.
Спочатку швидко замінювати віднімання додаванням вдається не всім. Це зв'язано з тим що позитивні числазаписуються без власного знака плюс.
Наприклад, у виразі 3? 1 знак мінуса, що вказує на віднімання, є знаком операції та не відноситься до одиниці. Одиниця в даному випадку є позитивним числом і має свій знак плюсу, але ми його не бачимо, оскільки плюс перед позитивними числами за традицією не записують.
А отже для наочності даний виразможна записати так:
Для зручності числа зі своїми знаками укладають у дужки. У такому разі замінити віднімання додаванням набагато простіше. Віднімається у разі це число (+1), а протилежне йому число (?1). Замінимо операцію віднімання додаванням і замість віднімається (+1) записуємо протилежне йому число (?1)
(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2
На перший погляд здасться, який сенс у цих зайвих рухах тіла, якщо можна старим добрим методом поставити знак рівності і відразу записати відповідь 2. Насправді це правило ще не раз нас виручить.
Вирішимо попередній приклад 3 ? 7, використовуючи правило віднімання. Спочатку наведемо вираз до нормального вигляду, розставивши кожному числу свої знаки. Трійка має знак плюса, оскільки вона є позитивним числом. Мінус, що вказує на віднімання не відноситься до сімки. У сімки знак плюса, оскільки вона також є позитивним числом:
Замінимо віднімання додаванням:
Подальше обчислення нескладно:
Приклад 7.Знайти значення виразу?4? 5
Перед нами знову операція віднімання. Цю операцію слід замінити додаванням. До зменшуваного (?4) додамо число, протилежне віднімається (+5). Протилежне числодля віднімання (+5) це число (?5).
Ми дійшли ситуації, де потрібно скласти негативні числа. Для таких випадків передбачено таке правило:
Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити мінус.
Отже, складемо модулі чисел, як від нас вимагає правило і поставимо перед отриманою відповіддю мінус:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9
Запис із модулями необхідно укласти в дужки і перед цими дужками поставити мінус. Так ми забезпечимо мінус, який має стояти перед відповіддю:
(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9
Рішення для цього прикладу можна записати коротше:
Приклад 8.Знайти значення виразу?3? 5? 7? 9
Наведемо вираз до зрозумілому вигляду. Тут усі числа, окрім числа?3 є позитивними, тому у них будуть знаки плюса:
Замінимо операції віднімання операціями складання. Усі мінуси (крім мінуса, який перед трійкою) зміняться на плюси і всі позитивні числа зміняться на протилежні:
Тепер застосуємо правило складання негативних чисел. Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі та перед отриманою відповіддю поставити мінус:
= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24
Рішення для цього прикладу можна записати коротше:
3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24
Приклад 9.Знайти значення виразу? 10 + 6? 15 + 11? 7
Наведемо вираз до зрозумілого вигляду:
Тут відразу дві операції: додавання та віднімання. Додавання залишаємо як є, а віднімання замінюємо додаванням:
(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)
Дотримуючись порядку дій, здійснимо по черзі кожну дію, спираючись на раніше вивчені правила. Записи з модулями можна пропустити:
Перша дія:
(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4
Друга дія:
(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19
Третя дія:
(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8
Четверта дія:
(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15
Таким чином, значення виразу? 10 + 6? 15 + 11? 7 дорівнює?15
Примітка. Наводити вираз до зрозумілого вигляду, укладаючи числа у дужки, зовсім необов'язково. Коли відбувається звикання до негативних чисел, цю дію можна пропустити, оскільки вона забирає час і може заплутати.
Отже, для складання та віднімання цілих чисел необхідно запам'ятати такі правила:
Щоб скласти числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль, і перед отриманим відповіддю поставити той знак, модуль якого більше.
Щоб від меншого числа відняти більше, потрібно від більшого числа відняти менше і перед отриманою відповіддю поставити знак мінуса.
Відняти одне число з іншого означає, додати до зменшуваного протилежне число віднімається.
Щоб скласти негативні числа, потрібно скласти їх модулі і перед отриманою відповіддю поставити знак мінус.
У минулому відеоуроці ми дізналися, що ступенем якоїсь підстави називається такий вираз, який є твір основи на самого себе, взятого в кількості, що дорівнює показнику ступеня. Вивчимо тепер деякі найважливіші властивостіта операції ступенів.
Наприклад, помножимо два різні ступені з однаковою основою:
Представимо цей твір у повному вигляді:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Обчисливши значення цього виразу, ми отримаємо число 32. З іншого боку, як очевидно з цього прикладу, 32 можна як твори однієї й тієї підстави (двійки), взятого у кількості 5 раз. Якщо перерахувати, то:
Таким чином, можна з упевненістю дійти висновку, що:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Подібне правило успішно працює для будь-яких показників та будь-яких підстав. Ця властивість множення ступеня випливає із правила безпеки значення виразів при перетвореннях у творі. За будь-якої підстави а добуток двох виразів (а)х і (а)у дорівнює а(х + у). Інакше кажучи, при добутку будь-яких виразів з однаковою основою, підсумковий одночлен має сумарний ступінь, що утворюється додаванням ступеня першого та другого виразів.
Представлене правило чудово працює і при множенні кількох виразів. Головна умова - щоб підстави у всіх були однаковими. Наприклад:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Не можна складати ступеня, та й взагалі проводити якісь статечні спільні дії з двома елементами виразу, якщо підстави у них є різними.
Як показує наше відео, через схожість процесів множення та поділу правила складання ступенів при творі чудово передаються і на процедуру поділу. Розглянемо такий приклад:
Зробимо почленное перетворення висловлювання на повний вигляд і скоротимо однакові елементи в ділимо і дільнику:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Кінцевий результат цього прикладу не такий цікавий, адже вже в ході його рішення ясно, що значення виразу дорівнює квадрату двійки. І саме двійка виходить при відніманні ступеня другого виразу зі ступеня першого.
Щоб визначити ступінь приватного необхідно від діленого ступеня відняти ступінь дільника. Правило працює при однаковій підставі для всіх його значень та для всіх натуральних ступенів. У вигляді абстракції маємо:
(а) х / (а) у = (а) х - у
З правила поділу однакових підстав зі ступенями випливає визначення для нульового ступеня. Очевидно, що такий вираз має вигляд:
(а) х / (а) х = (а) (х - х) = (а) 0
З іншого боку, якщо ми зробимо поділ більш наочним способом, то отримаємо:
(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1
При скороченні всіх видимих елементів дробу завжди виходить вираз 1/1, тобто одиниця. Тому прийнято вважати, що будь-яка основа, зведена в нульовий ступінь, дорівнює одиниці:
Незалежно від значення а.
Однак буде абсурдно, якщо 0 (при будь-яких перемноженнях дає все одно 0) буде якимось чином дорівнює одиниці, тому вираз виду (0) 0 (нуль в нульовому ступені) просто не має сенсу, а до формули (а) 0 = 1 додають умову: «якщо не дорівнює 0».
Вирішимо вправу. Знайдемо значення виразу:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Так як підстава скрізь однакова і дорівнює 34, то підсумкове значення матиме таку ж підставу зі ступенем (відповідно до вищевказаних правил):
Інакше кажучи:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Відповідь: вираз дорівнює одиниці.