Зверніть увагу!Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, чи можна скоротити дріб, який ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками,приклади:

,

,

Віднімання правильного дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, який є правильним , одиницю переводять до виду неправильного дробу , у неї знаменник дорівнює знаменнику дробу, що віднімається.

Приклад віднімання правильного дробу з одиниці:

Знаменник відрахованого дробу = 7 , тобто. одиницю подаємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильного дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів -правильної з цілого числа (натурального числа):

• Перекладаємо задані дроби, які містять цілу частину, у неправильні. Отримуємо нормальні доданки (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які вважаємо за правилами, наведеними вище;
• Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. У результаті майже знайдемо відповідь;
• Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дроби цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильний дріб: уявляємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто. займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у дробу, що віднімається.

Приклад віднімання дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильним дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відібрали дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів із різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого загального знаменника (НОЗ), і тільки після цього зробити віднімання як з дробами з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше загальне кратне) натуральних чисел, які є знаменниками цих дробів

Увага!Якщо в кінцевому дробі чисельник і знаменник мають спільні множники , то дріб необхідно скоротити. Неправильний дріб краще подати у вигляді змішаного дробу. Залишити результат віднімання, не скоротивши дріб, де є можливість, це незакінчене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

• знайти НОК для всіх знаменників;
• поставити всім дробів додаткові множники;
• помножити всі чисельники на додатковий множник;
• одержані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробами спільний знаменник;
• зробити віднімання чисельників дробів, підписуючи під різницею загальний знаменник.

Так само проводиться додавання і віднімання дробів за наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

При віднімання змішаних дробів(чисел)окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант віднімання змішаних дробів.

Якщо у дробових частин однаковізнаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини віднімається (його віднімаємо).

Наприклад:

Другий варіант віднімання змішаних дробів.

Коли у дробових частин різнізнаменники. Для початку приводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

Наприклад:

Третій варіант віднімання змішаних дробів.

Дробна частина меншого, що зменшується, меншої частини віднімається.

Приклад:

Т.к. у дробових елементів різні знаменники, отже, як і за другому варіанті, спочатку наводимо прості дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини меншого числа чисельника дробової частини віднімається.3 < 14. Значить, займаємо одиницю з цілої частини та наводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником та чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму чисельників, далі розкриваємо дужки у чисельнику від правої частини, тобто множимо все і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках заведено залишати твір. Отримуємо:

Продовжуємо вивчати дроби. Сьогодні ми поговоримо про їхнє порівняння. Тема цікава та корисна. Вона дозволить новачкові відчути себе вченим у білому халаті.

Суть порівняння дробів у тому, щоб дізнатися який із двох дробів більше чи менше.

Щоб відповісти на запитання, який з двох дробів більше або менше, користуються , такими як більше (>) або менше (<).

Вчені-математики вже подбали про готові правила, що дозволяють відразу відповісти на запитання який дріб більше, а який менше. Ці правила можна сміливо застосовувати.

Ми розглянемо ці правила і спробуємо розібратися, чому відбувається саме так.

Зміст уроку

Порівняння дробів з однаковими знаменниками

Дроби, які слід порівняти, трапляються різні. Найзручніший випадок це коли у дробів однакові знаменники, але різні чисельники. У цьому випадку застосовують таке правило:

З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший. І відповідно меншим буде той дріб, у якого чисельник менший.

Наприклад, порівняємо дроби та й відповімо, який із цих дробів більше. Тут однакові знаменники, але різні чисельники. У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж . Так і відповідаємо. Відповідати потрібно за допомогою піктограми більше (>)

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, розділені на чотири частини. піци більше, ніж піци:

Кожен погодиться з тим, що перша піца більша, ніж друга.

Порівняння дробів з однаковими чисельниками

Наступний випадок, коли ми можемо потрапити, це коли чисельники дробів однакові, але знаменники різні. Для таких випадків передбачено таке правило:

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той дріб, у якого знаменник менший. І відповідно менший той дріб, у якого знаменник більший.

Наприклад, порівняємо дроби та . У цих дробів однакові чисельники. У дробу знаменник менший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб . Так і відповідаємо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піци, які розділені на три та чотири частини. піци більше, ніж піци:

Кожен погодиться на те, що перша піца більше, ніж друга.

Порівняння дробів з різними чисельниками та різними знаменниками

Нерідко трапляється так, що доводиться порівнювати дроби з різними чисельниками та різними знаменниками.

Наприклад, порівняти дроби та . Щоб відповісти на запитання, який із цих дробів більший або менший, потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника. Потім можна буде легко визначити який дріб більший або менший.

Наведемо дроби і до однакового (загального) знаменника. Знайдемо (НОК) знаменників обох дробів. НОК знаменників дробів і число 6.

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знайдемо другий додатковий множник. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 6, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо додатковий множник 2. Записуємо його над другим дробом:

Помножимо дроби на свої додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби, які мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові знаменники. А як порівнювати такі дроби ми знаємо. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший:

Правило правилом, а ми спробуємо розібратися чомусь більше, ніж . Для цього виділимо цілу частину в дробі. У дробі нічого виділяти не потрібно, оскільки цей дріб вже правильний.

Після виділення цілої частини в дробі отримаємо наступне вираз:

Тепер можна легко зрозуміти, чому більше, ніж . Давайте намалюємо ці дроби у вигляді піци:

2 цілі піци та піци, більше ніж піци.

Віднімання змішаних чисел. Складні випадки.

Віднімаючи змішані числа, іноді можна виявити, що все йде не так гладко, як хотілося б. Часто трапляється так, що при вирішенні якогось прикладу відповідь виходить не такою, якою вона має бути.

При відніманні чисел зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку буде отримано нормальну відповідь.

Наприклад, 10-8 = 2

10 - зменшуване

8 - віднімається

2 - різниця

Зменшуване 10 більше віднімається 8, тому ми отримали нормальну відповідь 2.

А тепер подивимося, що буде якщо зменшуване виявиться менше віднімається. Приклад 5−7=−2

5 - зменшуване

7 - віднімається

−2 — різниця

У цьому випадку ми виходимо за межі звичних для нас чисел і потрапляємо у світ негативних чисел, де нам ходити поки що рано, а то й небезпечно. Щоб працювати з негативними числами, потрібна відповідна математична підготовка, яку ми ще отримали.

Якщо при вирішенні прикладів на віднімання ви виявите, що менше, що зменшується віднімається, то можете поки пропустити такий приклад. Працювати з негативними числами можна лише після їх вивчення.

З дробами ситуація та сама. Зменшуване має бути більше віднімається. Тільки в цьому випадку можна буде отримати нормальну відповідь. А щоб зрозуміти чи більше зменшуваний дріб, ніж віднімається, потрібно вміти порівняти ці дроби.

Наприклад, розв'яжемо приклад .

Це приклад на віднімання. Щоб вирішити його, потрібно перевірити чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. більше ніж

тому сміливо можемо повернутись до прикладу і вирішити його:

Тепер вирішимо такий приклад

Перевіряємо чи зменшуваний дріб більше, ніж віднімається. Виявляємо, що вона менша:

У цьому випадку розумніше зупинитись і не продовжувати подальше обчислення. Повернемося до цього прикладу, коли вивчимо негативні числа.

Змішані числа перед відніманням теж бажано перевіряти. Наприклад, знайдемо значення виразу.

Спочатку перевіримо чи зменшуване більше змішане число, ніж віднімається. Для цього переведемо змішані числа до неправильних дробів:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Щоб порівняти такі дроби, слід привести їх до однакового (загального) знаменника. Не докладно розписуватимемо, як це зробити. Якщо ви відчуваєте труднощі, обов'язково повторіть .

Після приведення дробів до однакового знаменника, отримуємо такий вираз:

Тепер потрібно порівняти дроби та . Це дроби з однаковими знаменниками. З двох дробів з однаковими знаменниками більше той дріб, у якого чисельник більший.

У дробу чисельник більший, ніж у дробу . Значить дріб більше, ніж дріб .

А це означає, що зменшуване більше, ніж віднімається

Отже ми можемо повернутися до нашого прикладу і сміливо вирішити його:

приклад 3.Знайти значення виразу

Перевіримо чи зменшуване, ніж віднімається.

Перекладемо змішані числа в неправильні дроби:

Отримали дроби з різними чисельниками та різними знаменниками. Наведемо ці дроби до однакового (загального) знаменника.

Ваша дитина принесла домашнє завданнязі школи, і ви не знаєте, як його вирішити? Тоді цей міні-урок для вас!

Як складати десяткові дроби

Десяткові дроби зручніше складати у стовпчик. Щоб виконати додавання десяткових дробів, Треба дотримуватися одного простого правила:

• Розряд повинен знаходитися під розрядом, кома під комою.

Як ви бачите на прикладі, цілі одиниці знаходяться один під одним, розряд десятих і сотих знаходиться один під одним. Тепер складаємо числа, не звертаючи уваги на кому. Що робити з комою? Кома переноситься на те місце, де стояла в розряді цілих.

Додавання дробів з рівними знаменниками

Щоб виконати складання із загальним знаменником, треба зберегти знаменник без зміни, знайти суму чисельників і отримаємо дріб, який буде загальною сумою.

Додавання дробів з різними знаменниками методом знаходження загального кратного

Перше, на що треба звернути увагу – це знаменники. Знаменники різні, чи не діляться одне на інше, чи є простими числами. Для початку треба привести до одного спільного знаменника, для цього існує кілька способів:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, для розв'язання цього прикладу треба знайти найменше загальне кратне число (НОК), яке ділитися на 2 знаменника. Для позначення найменшого кратного чисел a та b – НОК (а; b). У цьому прикладі НОК (3;4)=12. Перевіряємо: 12: 3 = 4; 12: 4 = 3.
• Перемножуємо множники та виконуємо складання отриманих чисел, отримуємо 13/12 – неправильний дріб.

• Для того щоб перевести неправильний дріб у правильний, розділимо чисельник на знаменник, отримаємо ціле число 1, залишок 1 – чисельник та 12 – знаменник.

Додавання дробів методом множення хрест на хрест

Для складання дробів із різними знаменниками існує ще один спосіб за формулою “хрест на хрест”. Це гарантований спосіб вирівняти знаменники, для цього вам треба чисельники перемножити зі знаменником одного дробу і назад. Якщо ви тільки на початковому етапівивчення дробів, цей спосіб найпростіший і точний, як отримати правильний результат при складанні дробів з різними знаменниками.

Зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками
2. Додавання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два одно одиниці:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали даний прикладнадто докладно. У навчальних закладахне прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є і Зворотній бікмедалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

1. Знайти НОК знаменників дробів;
2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
4. Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
2. Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піци. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, мова йдепро один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник та знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НДД) чисел 105 та 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

Розподіл дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числа дозволяють замінити поділ множенням.

Щоб розділити дріб на число, потрібно цей дріб помножити на число, яке зворотне дільнику.

Користуючись цим правилом, запишемо поділ нашої половини піци на дві частини.

Отже, потрібно розділити дріб на число 2 . Тут поділеним є дріб, а дільником число 2.

Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цей дріб помножити на число, зворотне дільнику 2. Зворотний дільнику 2 це дріб . Значить потрібно помножити на

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні більше складні правила, ніж для цілих чисел

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбавитися від шкідливої ​​звичкискладати знаменники досить легко. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Краще використовуйте просту схему, наведену нижче:

1. Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (хай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
2. Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
3. Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильним дробамта виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дріб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки її ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольні роботи. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

1. Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
2. Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
3. Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
4. Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.