• апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
• вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
• діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
• заснування (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у всякої правильної пірамідиможна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутника основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхніпіраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: зверніть увагу, що всі пункти поєднує одне загальна властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти

Визначення

Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).

Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.

Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:

\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;

\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;

\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.

\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.

Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.

Теорема

Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.

Доведення

Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.

1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Доведемо, що з ((c)) слід ((a)).

Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та по катету та гострому кутку. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).

Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.

5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).

Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.

Слідство

Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Визначення

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.

Важливі зауваження

1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).

2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).

3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).

4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.

Визначення

Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.

Важливі зауваження

1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.

3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.

\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]

Теорема

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \

Наслідки

Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.

1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).

3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.

\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]

Визначення

Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.

Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.

Важливі зауваження

1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.

2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, Утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднаною з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доведення.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доведення.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Так як, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доведення.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( заснування ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо у піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Об `єм;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Основизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхньої та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутник і всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо